ამ სტატიაში მეთოდი განიხილება, როგორც წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის გზა (SLAE). მეთოდი არის ანალიტიკური, ანუ ის საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ გადაწყვეტის ალგორითმი ზოგადი ფორმით, შემდეგ კი შეცვალოთ მნიშვნელობები კონკრეტული მაგალითებიდან. მატრიცული მეთოდისგან ან კრამერის ფორმულებისგან განსხვავებით, გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას, ასევე შეგიძლიათ იმუშაოთ მათთან, რომლებსაც აქვთ უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. ან საერთოდ არ აქვთ.

რას ნიშნავს გაუსი?

ჯერ უნდა ჩამოწეროთ ჩვენი განტოლებების სისტემა ეს ასე გამოიყურება. სისტემა აღებულია:

კოეფიციენტები იწერება ცხრილის სახით, ხოლო მარჯვნივ ცალკე სვეტში - თავისუფალი წევრები. თავისუფალი წევრების მქონე სვეტი გამოყოფილია მოხერხებულობისთვის.მატრიცას, რომელიც მოიცავს ამ სვეტს, ეწოდება გაფართოებული.

გარდა ამისა, ძირითადი მატრიცა კოეფიციენტებით უნდა შემცირდეს ზედა სამკუთხედის ფორმამდე. ეს არის გაუსის მეთოდით სისტემის ამოხსნის მთავარი პუნქტი. მარტივად რომ ვთქვათ, გარკვეული მანიპულაციების შემდეგ, მატრიცა ასე უნდა გამოიყურებოდეს, რომ მის ქვედა მარცხენა ნაწილში მხოლოდ ნულები იყოს:

შემდეგ, თუ ახალ მატრიცას კვლავ დაწერთ განტოლებათა სისტემის სახით, შეამჩნევთ, რომ ბოლო მწკრივი უკვე შეიცავს ერთ-ერთი ფესვის მნიშვნელობას, რომელიც შემდეგ ჩანაცვლებულია ზემოთ მოცემულ განტოლებაში, იპოვება სხვა ფესვი და ა.შ.

ეს არის ამოხსნის აღწერა გაუსის მეთოდით ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით. და რა მოხდება, თუ მოულოდნელად სისტემას არ აქვს გამოსავალი? ან არის მათი უსასრულო რაოდენობა? ამ და კიდევ ბევრ კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია ცალ-ცალკე განხილული ყველა ელემენტი, რომელიც გამოსავალში გამოიყენება გაუსის მეთოდით.

მატრიცები, მათი თვისებები

მატრიცაში ფარული მნიშვნელობა არ არის. ეს უბრალოდ მოსახერხებელი გზაა მონაცემების ჩასაწერად შემდგომი ოპერაციებისთვის. სკოლის მოსწავლეებსაც კი არ უნდა ეშინოდეთ მათი.

მატრიცა ყოველთვის მართკუთხაა, რადგან ის უფრო მოსახერხებელია. გაუსის მეთოდშიც კი, სადაც ყველაფერი სამკუთხა მატრიცის აგებამდე მიდის, ჩანაწერში ჩნდება მართკუთხედი, მხოლოდ ნულებით იმ ადგილას, სადაც რიცხვები არ არის. ნულები შეიძლება გამოტოვოთ, მაგრამ ისინი იგულისხმება.

მატრიცას აქვს ზომა. მისი "სიგანე" არის რიგების რაოდენობა (მ), მისი "სიგრძე" არის სვეტების რაოდენობა (n). შემდეგ A მატრიცის ზომა (როგორც წესი, დიდი ლათინური ასოები გამოიყენება მათი აღსანიშნავად) აღინიშნა როგორც A m×n. თუ m=n, მაშინ ეს მატრიცა არის კვადრატი, ხოლო m=n არის მისი რიგი. შესაბამისად, A მატრიცის ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება აღვნიშნოთ მისი მწკრივისა და სვეტის რიცხვით: a xy ; x - მწკრივის ნომერი, ცვლილებები, y - სვეტის ნომერი, ცვლილებები.

B არ არის ამოხსნის მთავარი წერტილი. პრინციპში, ყველა ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს უშუალოდ განტოლებით, მაგრამ აღნიშვნა გაცილებით რთული აღმოჩნდება და მასში დაბნეულობა ბევრად უფრო ადვილი იქნება.

განმსაზღვრელი

მატრიცას ასევე აქვს განმსაზღვრელი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი თვისებაა. ახლა მისი მნიშვნელობის გარკვევა არ ღირს, შეგიძლიათ უბრალოდ აჩვენოთ როგორ გამოითვლება და შემდეგ თქვათ მატრიცის რა თვისებებს განსაზღვრავს იგი. დეტერმინანტის პოვნის უმარტივესი გზაა დიაგონალები. მატრიცაში გამოსახულია წარმოსახვითი დიაგონალები; თითოეულ მათგანზე განლაგებული ელემენტები მრავლდება, შემდეგ კი მიღებულ პროდუქტებს ემატება: დიაგონალები დახრილობით მარჯვნივ - "პლუს" ნიშნით, მარცხნივ დახრილობით - "მინუს" ნიშნით.

ძალზე მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ განმსაზღვრელი შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცისთვის. მართკუთხა მატრიცისთვის შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი: აირჩიეთ მწკრივების და სვეტების რიცხვიდან ყველაზე პატარა (დავცეთ k), და შემდეგ შემთხვევით მონიშნეთ k სვეტი და k რიგები მატრიცაში. არჩეული სვეტებისა და რიგების კვეთაზე მდებარე ელემენტები შექმნიან ახალ კვადრატულ მატრიცას. თუ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, გარდა ნულისა, მაშინ მას უწოდებენ ორიგინალური მართკუთხა მატრიცის საფუძველს.

სანამ გავასის მეთოდით განტოლებათა სისტემის ამოხსნას გავაგრძელებთ, არ ავნებს დეტერმინანტის გამოთვლას. თუ აღმოჩნდება ნული, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცას აქვს ან უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები, ან საერთოდ არ არსებობს. ასეთ სამწუხარო შემთხვევაში, თქვენ უნდა წახვიდეთ უფრო შორს და გაიგოთ მატრიცის რანგის შესახებ.

სისტემის კლასიფიკაცია

არსებობს ისეთი რამ, როგორიცაა მატრიცის წოდება. ეს არის მისი განმსაზღვრელი მაქსიმალური რიგი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან (თუ გავიხსენებთ საბაზისო მინორს, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცის წოდება არის საბაზისო მინორის რიგი).

იმის მიხედვით, თუ როგორ არის საქმე წოდებასთან, SLAE შეიძლება დაიყოს:

• ერთობლივი. ზეერთობლივი სისტემების, მთავარი მატრიცის (მხოლოდ კოეფიციენტებისგან შემდგარი) რანგი ემთხვევა გაფართოებულის წოდებას (თავისუფალი ტერმინების სვეტით). ასეთ სისტემებს აქვთ გამოსავალი, მაგრამ არა აუცილებლად ერთი, ამიტომ ერთობლივი სისტემები დამატებით იყოფა:
• - გარკვეული- აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. გარკვეულ სისტემებში მატრიცის რანგი და უცნობის რაოდენობა (ან სვეტების რაოდენობა, რაც იგივეა) ტოლია;
• - განუსაზღვრელი -უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებით. ასეთი სისტემების მატრიცების რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე.
• შეუთავსებელი. ზეასეთ სისტემებში ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგები ერთმანეთს არ ემთხვევა. შეუთავსებელ სისტემებს გამოსავალი არ აქვს.

გაუსის მეთოდი კარგია იმით, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ან სისტემის შეუსაბამობის ცალსახა მტკიცებულება (დიდი მატრიცების განმსაზღვრელების გამოთვლის გარეშე) ან უსასრულო რაოდენობის ამონახსნების მქონე სისტემის ზოგადი ამონახსნები.

ელემენტარული გარდაქმნები

სანამ უშუალოდ სისტემის გადაწყვეტაზე გადავიდოდეთ, შესაძლებელია ის ნაკლებად შრომატევადი და უფრო მოსახერხებელი გახადოთ გამოთვლებისთვის. ეს მიიღწევა ელემენტარული გარდაქმნებით – ისეთი, რომ მათი განხორციელება არანაირად არ ცვლის საბოლოო პასუხს. უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთი ზემოაღნიშნული ელემენტარული ტრანსფორმაცია მოქმედებს მხოლოდ მატრიცებისთვის, რომელთა წყაროც სწორედ SLAE იყო. აქ არის ამ გარდაქმნების სია:

1. სიმებიანი პერმუტაცია. აშკარაა, რომ თუ სისტემურ ჩანაწერში განტოლებების თანმიმდევრობას შევცვლით, მაშინ ეს არანაირ გავლენას არ მოახდენს ამოხსნაზე. შესაბამისად, ასევე შესაძლებელია ამ სისტემის მატრიცაში რიგების გაცვლა, რა თქმა უნდა, არ უნდა დაგვავიწყდეს თავისუფალი წევრების სვეტის შესახებ.
2. სტრიქონის ყველა ელემენტის გამრავლება რაღაც ფაქტორზე. Ძალიან სასარგებლო! მასთან ერთად შეგიძლიათ შეამციროთ დიდი რიცხვები მატრიცაში ან ამოიღოთ ნულები. გადაწყვეტილებების ნაკრები, როგორც ყოველთვის, არ შეიცვლება და უფრო მოსახერხებელი გახდება შემდგომი ოპერაციების შესრულება. მთავარია, რომ კოეფიციენტი არ იყოს ნულის ტოლი.
3. წაშალეთ რიგები პროპორციული კოეფიციენტებით. ეს ნაწილობრივ გამომდინარეობს წინა პუნქტიდან. თუ მატრიცაში ორ ან მეტ მწკრივს აქვს პროპორციული კოეფიციენტები, მაშინ ერთ-ერთი მწკრივის პროპორციულობის კოეფიციენტზე გამრავლების/გაყოფისას მიიღება ორი (ან კიდევ მეტი) აბსოლუტურად იდენტური მწკრივი და შეგიძლიათ ზედმეტი ამოიღოთ, დატოვოთ მხოლოდ. ერთი.
4. ნულოვანი ხაზის ამოღება. თუ ტრანსფორმაციების დროს მიიღება სტრიქონი სადმე, რომელშიც ყველა ელემენტი, მათ შორის თავისუფალი წევრი, არის ნულოვანი, მაშინ ასეთ სტრიქონს შეიძლება ეწოდოს ნული და გადააგდეს მატრიციდან.
5. ერთი რიგის ელემენტებს ემატება მეორის ელემენტები (შესაბამის სვეტებში), გამრავლებული გარკვეულ კოეფიციენტზე. ყველაზე ბუნდოვანი და ყველაზე მნიშვნელოვანი ტრანსფორმაცია. ღირს ამაზე უფრო დეტალურად საუბარი.

კოეფიციენტზე გამრავლებული სტრიქონის დამატება

გასაგებად, ღირს ამ პროცესის ეტაპობრივად დაშლა. ორი სტრიქონი აღებულია მატრიციდან:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ბ 2

დავუშვათ, რომ თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი მეორეს, გამრავლებული კოეფიციენტით "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

შემდეგ მატრიცაში მეორე რიგი იცვლება ახლით და პირველი რჩება უცვლელი.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

გასათვალისწინებელია, რომ გამრავლების კოეფიციენტის არჩევა შესაძლებელია ისე, რომ ორი სტრიქონის მიმატების შედეგად ახალი სტრიქონის ერთ-ერთი ელემენტი ნულის ტოლი იყოს. მაშასადამე, შესაძლებელია სისტემაში განტოლების მიღება, სადაც იქნება ერთი ნაკლები უცნობი. და თუ თქვენ მიიღებთ ორ ასეთ განტოლებას, მაშინ ოპერაცია შეიძლება განმეორდეს და მიიღოთ განტოლება, რომელიც უკვე შეიცავს ორ ნაკლებ უცნობს. და თუ ყოველ ჯერზე მივმართავთ ნულ ერთ კოეფიციენტს ყველა მწკრივზე, რომლებიც თავდაპირველზე დაბალია, მაშინ შეგვიძლია, ნაბიჯების მსგავსად, ჩავიდეთ მატრიცის ბოლოში და მივიღოთ განტოლება ერთი უცნობით. ამას ჰქვია სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

Ზოგადად

დაე, იყოს სისტემა. მას აქვს m განტოლებები და n უცნობი ფესვები. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

ძირითადი მატრიცა შედგენილია სისტემის კოეფიციენტებიდან. თავისუფალი წევრების სვეტი ემატება გაფართოებულ მატრიცას და გამოყოფილია ზოლით მოხერხებულობისთვის.

• მატრიცის პირველი მწკრივი მრავლდება კოეფიციენტით k = (-a 21 / a 11);
• ემატება მატრიცის პირველი შეცვლილი მწკრივი და მეორე მწკრივი;
• მეორე რიგის ნაცვლად მატრიცაში ჩასმულია წინა აბზაცის მიმატების შედეგი;
• ახლა პირველი კოეფიციენტი ახალ მეორე რიგში არის 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

ახლა შესრულებულია გარდაქმნების იგივე სერია, ჩართულია მხოლოდ პირველი და მესამე რიგები. შესაბამისად, ალგორითმის თითოეულ საფეხურზე ელემენტი a 21 იცვლება 31-ით. შემდეგ ყველაფერი მეორდება 41, ... m1-ისთვის. შედეგი არის მატრიცა, სადაც რიგების პირველი ელემენტი ნულის ტოლია. ახლა ჩვენ უნდა დავივიწყოთ პირველი ხაზი და შევასრულოთ იგივე ალგორითმი მეორე ხაზიდან დაწყებული:

• კოეფიციენტი k \u003d (-a 32 / a 22);
• მეორე შეცვლილი ხაზი ემატება "მიმდინარე" ხაზს;
• დამატების შედეგი ჩანაცვლებულია მესამე, მეოთხე და ასე შემდეგ ხაზებში, ხოლო პირველი და მეორე უცვლელი რჩება;
• მატრიცის რიგებში პირველი ორი ელემენტი უკვე ნულის ტოლია.

ალგორითმი უნდა განმეორდეს მანამ, სანამ არ გამოჩნდება კოეფიციენტი k = (-a m,m-1 /a mm). ეს ნიშნავს, რომ ალგორითმი ბოლოს მხოლოდ ქვედა განტოლებისთვის იყო გაშვებული. ახლა მატრიცა სამკუთხედს ჰგავს, ან აქვს საფეხურიანი ფორმა. ქვედა ხაზი შეიცავს ტოლობას a mn × x n = b m. კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ცნობილია და მათი მეშვეობით ძირი გამოიხატება: x n = b m /a mn. შედეგად მიღებული ფესვი ჩანაცვლებულია ზედა მწკრივში, რათა მოიძებნოს x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . და ასე შემდეგ ანალოგიით: ყოველ მომდევნო სტრიქონში არის ახალი ფესვი და, როდესაც მიაღწიეთ სისტემის "მწვერვალს", შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალი გამოსავალი. ეს იქნება ერთადერთი.

როცა გამოსავალი არ არის

თუ მატრიცის ერთ-ერთ მწკრივში ყველა ელემენტი, გარდა თავისუფალი წევრისა, ნულის ტოლია, მაშინ ამ მწკრივის შესაბამისი განტოლება გამოიყურება 0 = b. გამოსავალი არ აქვს. და რადგან ასეთი განტოლება შედის სისტემაში, მაშინ მთელი სისტემის ამონახსნთა სიმრავლე ცარიელია, ანუ დეგენერირებულია.

როცა ამონახსნების უსასრულო რაოდენობაა

შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ შემცირებულ სამკუთხა მატრიცაში არ არის რიგები ერთი ელემენტით - განტოლების კოეფიციენტით და ერთი - თავისუფალი წევრით. არსებობს მხოლოდ სტრიქონები, რომლებიც ხელახლა ჩაწერისას გამოიყურებიან განტოლებას ორი ან მეტი ცვლადით. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები. ამ შემთხვევაში პასუხის გაცემა შესაძლებელია ზოგადი ამოხსნის სახით. Როგორ გავაკეთო ეს?

მატრიცაში ყველა ცვლადი იყოფა ძირითად და თავისუფალებად. ძირითადი - ეს არის ის, ვინც დგას საფეხუროვანი მატრიცის რიგების "კიდეზე". დანარჩენი უფასოა. ზოგად ამოხსნაში ძირითადი ცვლადები იწერება თავისუფალის მიხედვით.

მოხერხებულობისთვის, მატრიცა თავიდან გადაიწერება განტოლებების სისტემაში. შემდეგ მათგან ბოლოში, სადაც ზუსტად მხოლოდ ერთი ძირითადი ცვლადი დარჩა, ის რჩება ერთ მხარეს, დანარჩენი კი მეორეზე გადადის. ეს კეთდება თითოეული განტოლებისთვის ერთი ძირითადი ცვლადით. შემდეგ, დანარჩენ განტოლებებში, სადაც შესაძლებელია, ძირითადი ცვლადის ნაცვლად, ჩანაცვლებულია მისთვის მიღებული გამოხატულება. თუ შედეგი ისევ არის გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ძირითად ცვლადს, ის ისევ იქიდან გამოიხატება და ასე შემდეგ, სანამ თითოეული ძირითადი ცვლადი არ დაიწერება გამოხატვის სახით თავისუფალი ცვლადებით. ეს არის SLAE-ის ზოგადი გადაწყვეტა.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სისტემის ძირითადი გადაწყვეტა - მიეცით უფასო ცვლადებს რაიმე მნიშვნელობა და შემდეგ ამ კონკრეტული შემთხვევისთვის გამოთვალეთ ძირითადი ცვლადების მნიშვნელობები. უსასრულოდ ბევრი კონკრეტული გადაწყვეტაა.

გამოსავალი კონკრეტული მაგალითებით

აქ არის განტოლებათა სისტემა.

მოხერხებულობისთვის, უმჯობესია დაუყოვნებლივ შექმნათ მისი მატრიცა

ცნობილია, რომ გაუსის მეთოდით ამოხსნისას პირველი რიგის შესაბამისი განტოლება გარდაქმნების ბოლოს უცვლელი დარჩება. ამიტომ, უფრო მომგებიანი იქნება, თუ მატრიცის ზედა მარცხენა ელემენტი არის ყველაზე პატარა - მაშინ ოპერაციების შემდეგ დარჩენილი რიგების პირველი ელემენტები ნულამდე გადაიქცევა. ეს ნიშნავს, რომ შედგენილ მატრიცაში ხელსაყრელი იქნება მეორის დადება პირველი რიგის ადგილზე.

მეორე ხაზი: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

მესამე ხაზი: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

ახლა, იმისათვის, რომ არ დავბნედეთ, აუცილებელია ჩავწეროთ მატრიცა გარდაქმნების შუალედური შედეგებით.

აშკარაა, რომ ასეთი მატრიცა შეიძლება უფრო მოსახერხებელი გახდეს აღქმისთვის ზოგიერთი ოპერაციების დახმარებით. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ყველა "მინუსი" მეორე სტრიქონიდან თითოეული ელემენტის "-1"-ზე გამრავლებით.

აღსანიშნავია ისიც, რომ მესამე რიგში ყველა ელემენტი არის სამის ჯერადი. შემდეგ შეგიძლიათ შეამციროთ სტრიქონი ამ რიცხვით, გაამრავლოთ თითოეული ელემენტი "-1/3"-ით (მინუს - ამავე დროს უარყოფითი მნიშვნელობების ამოსაღებად).

ბევრად ლამაზად გამოიყურება. ახლა ჩვენ უნდა დავტოვოთ პირველი ხაზი და ვიმუშაოთ მეორეზე და მესამეზე. დავალება არის მეორე მწკრივის დამატება მესამე მწკრივს, გამრავლებული ისეთ კოეფიციენტზე, რომ ელემენტი a 32 გახდეს ნულის ტოლი.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 წილადები და მხოლოდ ამის შემდეგ, როდესაც პასუხები მიიღება, გადაწყვიტეთ დამრგვალოთ და გადათარგმნოთ თუ არა აღნიშვნის სხვა ფორმა)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

მატრიცა კვლავ იწერება ახალი მნიშვნელობებით.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

როგორც ხედავთ, მიღებულ მატრიცას უკვე აქვს საფეხურიანი ფორმა. ამიტომ, სისტემის შემდგომი გარდაქმნები გაუსის მეთოდით არ არის საჭირო. რისი გაკეთებაც აქ შეიძლება არის მესამე ხაზიდან საერთო კოეფიციენტის „-1/7“ ამოღება.

ახლა ყველაფერი მშვენიერია. წერტილი მცირეა - ისევ ჩაწერეთ მატრიცა განტოლებათა სისტემის სახით და გამოთვალეთ ფესვები

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

ალგორითმს, რომლითაც ახლა აღმოჩნდება ფესვები, გაუსის მეთოდით საპირისპირო მოძრაობა ეწოდება. განტოლება (3) შეიცავს z-ის მნიშვნელობას:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

და პირველი განტოლება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

ჩვენ გვაქვს უფლება ვუწოდოთ ასეთ სისტემას ერთობლივი და თუნდაც გარკვეული, ანუ უნიკალური გადაწყვეტის მქონე. პასუხი იწერება შემდეგი ფორმით:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

განუსაზღვრელი სისტემის მაგალითი

გაანალიზებულია გარკვეული სისტემის გაუსის მეთოდით ამოხსნის ვარიანტი, ახლა საჭიროა განვიხილოთ შემთხვევა, თუ სისტემა განუსაზღვრელია, ანუ მისთვის უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი მოიძებნება.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

თავად სისტემის ფორმა უკვე საგანგაშოა, რადგან უცნობის რაოდენობა არის n = 5, ხოლო სისტემის მატრიცის რანგი უკვე ზუსტად ამ რიცხვზე ნაკლებია, რადგან მწკრივების რაოდენობაა m = 4, ანუ, კვადრატის განმსაზღვრელი ყველაზე დიდი რიგია 4. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა და აუცილებელია მისი ზოგადი ფორმის ძიება. გაუსის მეთოდი ხაზოვანი განტოლებისთვის შესაძლებელს ხდის ამის გაკეთებას.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, შედგენილია გაძლიერებული მატრიცა.

მეორე ხაზი: კოეფიციენტი k = (-a 21 / a 11) = -3. მესამე სტრიქონში პირველი ელემენტი არის ტრანსფორმაციების წინ, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ რაიმეს შეხება, თქვენ უნდა დატოვოთ ის, როგორც არის. მეოთხე ხაზი: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

რიგრიგობით გავამრავლოთ პირველი რიგის ელემენტები თითოეულ მათგანს კოეფიციენტზე და დავუმატოთ ისინი სასურველ მწკრივებს, მივიღებთ შემდეგი ფორმის მატრიცას:

როგორც ხედავთ, მეორე, მესამე და მეოთხე რიგები შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც ერთმანეთის პროპორციულია. მეორე და მეოთხე ზოგადად ერთნაირია, ამიტომ ერთი მათგანი შეიძლება ამოღებულ იქნას დაუყოვნებლივ, ხოლო დანარჩენი გამრავლდეს კოეფიციენტზე "-1" და მივიღოთ ხაზი ნომერი 3. და ისევ, დავტოვოთ ერთი ორი იდენტური ხაზი.

აღმოჩნდა ასეთი მატრიცა. სისტემა ჯერ არ არის ჩამოწერილი, აქ აუცილებელია ძირითადი ცვლადების დადგენა - კოეფიციენტებზე დგომა 11 \u003d 1 და 22 \u003d 1 და თავისუფალი - ყველა დანარჩენი.

მეორე განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ძირითადი ცვლადი - x 2 . მაშასადამე, ის შეიძლება იქიდან გამოიხატოს, ჩაწერა x 3 , x 4 , x 5 ცვლადების მეშვეობით, რომლებიც უფასოა.

ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას პირველ განტოლებაში.

აღმოჩნდა განტოლება, რომელშიც ერთადერთი ძირითადი ცვლადია x 1. მოდით, იგივე მოვიქცეთ, როგორც x 2-თან ერთად.

ყველა ძირითადი ცვლადი, რომელთაგან ორია, გამოიხატება სამი თავისუფალის სახით, ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი ზოგადი ფორმით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიუთითოთ სისტემის ერთ-ერთი კონკრეტული გადაწყვეტა. ასეთი შემთხვევებისთვის, როგორც წესი, თავისუფალი ცვლადების მნიშვნელობებად არჩეულია ნულები. მაშინ პასუხი იქნება:

16, 23, 0, 0, 0.

შეუთავსებელი სისტემის მაგალითი

გაუსის მეთოდით განტოლებათა არათანმიმდევრული სისტემების ამოხსნა ყველაზე სწრაფია. ის მთავრდება როგორც კი ერთ-ერთ საფეხურზე მიიღება განტოლება, რომელსაც ამონახსნი არ აქვს. ანუ ფესვების გამოთვლის ეტაპი, რომელიც საკმაოდ გრძელი და მოსაწყენია, ქრება. განიხილება შემდეგი სისტემა:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ჩვეულებისამებრ, მატრიცა შედგენილია:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

და ის მცირდება საფეხურზე:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ, მესამე ხაზი შეიცავს ფორმის განტოლებას

გამოსავალი არ აქვს. ამიტომ, სისტემა არათანმიმდევრულია და პასუხი არის ცარიელი ნაკრები.

მეთოდის უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები

თუ აირჩევთ რომელი მეთოდის ამოხსნას SLAE ქაღალდზე კალმით, მაშინ მეთოდი, რომელიც განხილული იყო ამ სტატიაში, ყველაზე მიმზიდველად გამოიყურება. ელემენტარულ გარდაქმნებში ბევრად უფრო რთულია დაბნეულობა, ვიდრე ეს ხდება, თუ ხელით უნდა მოძებნოთ განმსაზღვრელი ან რაიმე რთული ინვერსიული მატრიცა. ამასთან, თუ იყენებთ პროგრამებს ამ ტიპის მონაცემებთან მუშაობისთვის, მაგალითად, ცხრილები, მაშინ გამოდის, რომ ასეთი პროგრამები უკვე შეიცავს მატრიცების ძირითადი პარამეტრების გამოთვლის ალგორითმებს - განმსაზღვრელი, მცირე, ინვერსიული და ა.შ. და თუ დარწმუნებული ხართ, რომ მანქანა თავად გამოთვლის ამ მნიშვნელობებს და შეცდომას არ დაუშვებს, უფრო მიზანშეწონილია გამოიყენოთ მატრიცის მეთოდი ან კრამერის ფორმულები, რადგან მათი გამოყენება იწყება და მთავრდება დეტერმინანტებისა და შებრუნებული მატრიცების გამოთვლით.

განაცხადი

ვინაიდან გაუსის ამოხსნა არის ალგორითმი, ხოლო მატრიცა, ფაქტობრივად, ორგანზომილებიანი მასივია, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროგრამირებაში. მაგრამ იმის გამო, რომ სტატია პოზიციონირებს როგორც გზამკვლევს "მუნჯებისთვის", უნდა ითქვას, რომ მეთოდის ჩასართავად ყველაზე მარტივი ადგილი არის ცხრილები, მაგალითად, Excel. ისევ, ნებისმიერი SLAE, რომელიც შეყვანილია ცხრილში მატრიცის სახით, განიხილება Excel-ის მიერ, როგორც ორგანზომილებიანი მასივი. მათთან ოპერაციებისთვის კი ბევრი კარგი ბრძანებაა: დამატება (შეგიძლიათ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცების დამატება!), რიცხვზე გამრავლება, მატრიცის გამრავლება (ასევე გარკვეული შეზღუდვებით), შებრუნებული და ტრანსპონირებული მატრიცების პოვნა და რაც მთავარია. , დეტერმინანტის გამოთვლა. თუ ეს შრომატევადი ამოცანა შეიცვლება ერთი ბრძანებით, ბევრად უფრო სწრაფია მატრიცის რანგის დადგენა და, შესაბამისად, მისი თავსებადობის ან შეუსაბამობის დადგენა.

მე-16-მე-18 საუკუნეების დასაწყისიდან მათემატიკოსებმა ინტენსიურად დაიწყეს ფუნქციების შესწავლა, რომელთა წყალობითაც ბევრი რამ შეიცვალა ჩვენს ცხოვრებაში. კომპიუტერული ტექნოლოგია ამ ცოდნის გარეშე უბრალოდ არ იარსებებს. რთული ამოცანების, წრფივი განტოლებებისა და ფუნქციების გადასაჭრელად შეიქმნა სხვადასხვა ცნებები, თეორემები და ამოხსნის ტექნიკა. წრფივი განტოლებებისა და მათი სისტემების ამოხსნის ერთ-ერთი ასეთი უნივერსალური და რაციონალური მეთოდი და მეთოდი იყო გაუსის მეთოდი. მატრიცები, მათი წოდება, განმსაზღვრელი - ყველაფრის გამოთვლა შესაძლებელია რთული ოპერაციების გამოყენების გარეშე.

რა არის SLAU

მათემატიკაში არსებობს ცნება SLAE - წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა. რას წარმოადგენს იგი? ეს არის m განტოლებათა კომპლექტი საჭირო n უცნობით, ჩვეულებრივ აღინიშნება x, y, z ან x 1, x 2 ... x n ან სხვა სიმბოლოებით. ამ სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით ნიშნავს ყველა უცნობი უცნობის პოვნას. თუ სისტემას აქვს იგივე რაოდენობის უცნობი და განტოლება, მაშინ მას უწოდებენ n-ე რიგის სისტემას.

SLAE გადაჭრის ყველაზე პოპულარული მეთოდები

საშუალო განათლების საგანმანათლებლო დაწესებულებებში სწავლობენ ასეთი სისტემების გადაჭრის სხვადასხვა მეთოდებს. ყველაზე ხშირად, ეს არის მარტივი განტოლებები, რომლებიც შედგება ორი უცნობისგან, ამიტომ მათზე პასუხის პოვნის ნებისმიერ არსებულ მეთოდს დიდი დრო არ დასჭირდება. ეს შეიძლება იყოს ჩანაცვლების მეთოდის მსგავსი, როდესაც სხვა განტოლება მიღებულია ერთი განტოლებიდან და ჩანაცვლებულია თავდაპირველში. ან ვადით გამოკლება და დამატება. მაგრამ გაუსის მეთოდი ითვლება ყველაზე იოლი და უნივერსალური. ეს შესაძლებელს ხდის განტოლებების ამოხსნას ნებისმიერი რაოდენობის უცნობით. რატომ ითვლება ეს ტექნიკა რაციონალურად? ყველაფერი მარტივია. მატრიცული მეთოდი კარგია, რადგან მას არ სჭირდება რამდენჯერმე გადაწერა არასაჭირო სიმბოლოები უცნობის სახით, საკმარისია არითმეტიკული მოქმედებების გაკეთება კოეფიციენტებზე - და მიიღებთ საიმედო შედეგს.

სად გამოიყენება SLAE პრაქტიკაში?

SLAE-ის ამოხსნა არის ხაზების გადაკვეთის წერტილები ფუნქციების გრაფიკებზე. ჩვენს მაღალტექნოლოგიურ კომპიუტერულ ეპოქაში, ადამიანებმა, რომლებიც მჭიდროდ არიან ჩართულნი თამაშებისა და სხვა პროგრამების შემუშავებაში, უნდა იცოდნენ, როგორ გადაჭრან ასეთი სისტემები, რას წარმოადგენენ ისინი და როგორ შეამოწმონ მიღებული შედეგის სისწორე. ყველაზე ხშირად, პროგრამისტები ავითარებენ სპეციალურ ხაზოვან ალგებრის კალკულატორებს, ეს მოიცავს ხაზოვანი განტოლების სისტემას. გაუსის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ყველა არსებული ამოხსნა. ასევე გამოიყენება სხვა გამარტივებული ფორმულები და ტექნიკა.

SLAE თავსებადობის კრიტერიუმი

ასეთი სისტემის გადაჭრა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თავსებადია. სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ SLAE-ს სახით Ax=b. მას აქვს ამონახსნი, თუ რანგი (A) უდრის რანგს (A,b). ამ შემთხვევაში, (A,b) არის გაფართოებული ფორმის მატრიცა, რომელიც შეიძლება მივიღოთ A მატრიციდან მისი თავისუფალი ტერმინებით გადაწერით. გამოდის, რომ გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია.

შესაძლოა, ზოგიერთი აღნიშვნა ბოლომდე გასაგები არ არის, ამიტომ აუცილებელია ყველაფრის მაგალითით განხილვა. ვთქვათ არსებობს სისტემა: x+y=1; 2x-3y=6. იგი შედგება მხოლოდ ორი განტოლებისგან, რომელშიც არის 2 უცნობი. სისტემას ექნება გამოსავალი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მატრიცის რანგი უდრის გაზრდილი მატრიცის რანგის. რა არის წოდება? ეს არის სისტემის დამოუკიდებელი ხაზების რაოდენობა. ჩვენს შემთხვევაში, მატრიცის რანგია 2. მატრიცა A შედგება უცნობის მახლობლად მდებარე კოეფიციენტებისგან, ხოლო "=" ნიშნის უკან კოეფიციენტები ასევე მოერგება გაფართოებულ მატრიცას.

რატომ შეიძლება SLAE იყოს წარმოდგენილი მატრიცის სახით

დადასტურებული კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით თავსებადობის კრიტერიუმზე დაყრდნობით, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით. გაუსის კასკადის მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ მატრიცა და მიიღოთ ერთადერთი საიმედო პასუხი მთელი სისტემისთვის. თუ ჩვეულებრივი მატრიცის წოდება უდრის მისი გაფართოებული მატრიცის წოდებას, მაგრამ ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, მაშინ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის პასუხები.

მატრიცული გარდაქმნები

სანამ მატრიცების ამოხსნაზე გადავიდოდეთ, საჭიროა ვიცოდეთ, რა მოქმედებები შეიძლება შესრულდეს მათ ელემენტებზე. არსებობს რამდენიმე ელემენტარული ტრანსფორმაცია:

• სისტემის მატრიცულ ფორმაში გადაწერით და მისი ამოხსნის განხორციელებით შესაძლებელია სერიის ყველა ელემენტის ერთი და იგივე კოეფიციენტით გამრავლება.
• მატრიცის კანონიკურ ფორმად გადაქცევის მიზნით, შესაძლებელია ორი პარალელური მწკრივის შეცვლა. კანონიკური ფორმა გულისხმობს, რომ მატრიცის ყველა ელემენტი, რომლებიც განლაგებულია მთავარი დიაგონალის გასწვრივ, ხდება ერთი, ხოლო დანარჩენი - ნულები.
• მატრიცის პარალელური რიგების შესაბამისი ელემენტები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს.

ჟორდანი-გაუსის მეთოდი

გაუსის მეთოდით წრფივი ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნის არსი არის უცნობების თანდათანობით აღმოფხვრა. ვთქვათ, გვაქვს ორი განტოლების სისტემა, რომელშიც არის ორი უცნობი. მათი მოსაძებნად, თქვენ უნდა შეამოწმოთ სისტემა თავსებადობისთვის. გაუსის განტოლება ამოხსნილია ძალიან მარტივად. აუცილებელია თითოეული უცნობის მახლობლად მდებარე კოეფიციენტების ჩაწერა მატრიცის სახით. სისტემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა ჩამოწეროთ გაძლიერებული მატრიცა. თუ ერთ-ერთი განტოლება შეიცავს უცნობის უფრო მცირე რაოდენობას, მაშინ გამოტოვებული ელემენტის ნაცვლად უნდა დაიდოს "0". მატრიცაზე გამოიყენება ტრანსფორმაციის ყველა ცნობილი მეთოდი: გამრავლება, რიცხვზე გაყოფა, რიგების შესაბამისი ელემენტების ერთმანეთთან დამატება და სხვა. გამოდის, რომ თითოეულ მწკრივში აუცილებელია ერთი ცვლადის დატოვება მნიშვნელობით "1", დანარჩენი უნდა დაიწიოს ნულამდე. უფრო ზუსტი გაგებისთვის აუცილებელია გაუსის მეთოდის გათვალისწინება მაგალითებით.

2x2 სისტემის ამოხსნის მარტივი მაგალითი

დასაწყისისთვის, ავიღოთ ალგებრული განტოლებების მარტივი სისტემა, რომელშიც იქნება 2 უცნობი.

მოდით გადავიწეროთ ის გაფართოებულ მატრიცაში.

ამ წრფივი განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა მხოლოდ ორი ოპერაცია. ჩვენ უნდა მივიყვანოთ მატრიცა კანონიკურ ფორმამდე ისე, რომ იყოს ერთეულები მთავარი დიაგონალის გასწვრივ. ასე რომ, მატრიცული ფორმიდან სისტემაში გადათარგმნით, ვიღებთ განტოლებებს: 1x+0y=b1 და 0x+1y=b2, სადაც b1 და b2 არის ამოხსნის პროცესში მიღებული პასუხები.

1. გაზრდილი მატრიცის ამოხსნის პირველი ნაბიჯი იქნება შემდეგი: პირველი მწკრივი უნდა გამრავლდეს -7-ზე და შესაბამისი ელემენტები დაემატოს შესაბამისად მეორე რიგს, რათა მეორე განტოლებაში ერთი უცნობი მოვიშოროთ.
2. ვინაიდან გაუსის მეთოდით განტოლებების ამოხსნა გულისხმობს მატრიცის კანონიკურ ფორმამდე მიყვანას, მაშინ აუცილებელია იგივე მოქმედებების გაკეთება პირველი განტოლებით და მეორე ცვლადის ამოღება. ამისთვის პირველს გამოვაკლებთ მეორე სტრიქონს და ვიღებთ საჭირო პასუხს - SLAE-ის ამოხსნას. ან, როგორც ნახატზეა ნაჩვენები, მეორე მწკრივს ვამრავლებთ -1-ზე და ვამატებთ მეორე რიგის ელემენტებს პირველ რიგში. ეს იგივეა.

როგორც ხედავთ, ჩვენი სისტემა იხსნება ჟორდანი-გაუსის მეთოდით. გადავიწერთ საჭირო ფორმით: x=-5, y=7.

SLAE 3x3 ამოხსნის მაგალითი

დავუშვათ, გვაქვს წრფივი განტოლებათა უფრო რთული სისტემა. გაუსის მეთოდი შესაძლებელს ხდის პასუხის გამოთვლას ყველაზე ერთი შეხედვით დამაბნეველი სისტემისთვისაც კი. ამიტომ, იმისათვის, რომ ჩავუღრმავდეთ გაანგარიშების მეთოდოლოგიას, შეგვიძლია გადავიდეთ უფრო რთულ მაგალითზე სამი უცნობით.

როგორც წინა მაგალითში, ჩვენ გადავიწერთ სისტემას გაფართოებული მატრიცის სახით და ვიწყებთ მის კანონიკურ ფორმაში მიყვანას.

ამ სისტემის გადასაჭრელად მოგიწევთ გაცილებით მეტი მოქმედების შესრულება, ვიდრე წინა მაგალითში.

1. ჯერ პირველ სვეტში უნდა გააკეთოთ ერთი ელემენტი და დანარჩენი ნულები. ამისათვის გაამრავლეთ პირველი განტოლება -1-ზე და დაამატეთ მას მეორე განტოლება. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ჩვენ გადავწერთ პირველ სტრიქონს თავდაპირველი სახით, ხოლო მეორე - უკვე შეცვლილი ფორმით.
2. შემდეგი, მესამე განტოლებიდან ჩვენ ვხსნით იგივე პირველ უცნობს. ამისთვის ვამრავლებთ პირველი რიგის ელემენტებს -2-ზე და ვამატებთ მესამე რიგს. ახლა პირველი და მეორე სტრიქონები გადაწერილია თავდაპირველი სახით, ხოლო მესამე - უკვე ცვლილებებით. როგორც შედეგიდან ხედავთ, პირველი მივიღეთ მატრიცის მთავარი დიაგონალის დასაწყისში, დანარჩენი კი ნულებია. კიდევ რამდენიმე მოქმედება და გაუსის მეთოდით განტოლებების სისტემა საიმედოდ გადაიჭრება.
3. ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ ოპერაციები რიგების სხვა ელემენტებზე. მესამე და მეოთხე ნაბიჯები შეიძლება გაერთიანდეს ერთში. მეორე და მესამე სტრიქონები უნდა გავყოთ -1-ზე, რათა თავი დავაღწიოთ ნეგატივს დიაგონალზე. ჩვენ უკვე მივიტანეთ მესამე ხაზი საჭირო ფორმამდე.
4. შემდეგი, ჩვენ ვახდენთ მეორე სტრიქონის კანონიზაციას. ამისთვის ვამრავლებთ მესამე რიგის ელემენტებს -3-ზე და ვამატებთ მატრიცის მეორე ხაზს. შედეგიდან ჩანს, რომ მეორე სტრიქონიც დაყვანილია ჩვენთვის საჭირო ფორმამდე. რჩება კიდევ რამდენიმე ოპერაციის გაკეთება და პირველი რიგიდან უცნობის კოეფიციენტების ამოღება.
5. რიგის მეორე ელემენტიდან 0 რომ გააკეთოთ, მესამე მწკრივი უნდა გაამრავლოთ -3-ზე და დაამატოთ პირველ რიგში.
6. შემდეგი გადამწყვეტი ნაბიჯი არის მეორე რიგის საჭირო ელემენტების პირველ რიგში დამატება. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ მატრიცის კანონიკურ ფორმას და, შესაბამისად, პასუხს.

როგორც ხედავთ, გაუსის მეთოდით განტოლებების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია.

4x4 განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი

განტოლების ზოგიერთი უფრო რთული სისტემის ამოხსნა შესაძლებელია გაუსის მეთოდით კომპიუტერული პროგრამების გამოყენებით. აუცილებელია კოეფიციენტების გადატანა უცნობებისთვის არსებულ ცარიელ უჯრედებში და პროგრამა გამოთვლის საჭირო შედეგს ეტაპობრივად და დეტალურად აღწერს თითოეულ მოქმედებას.

ასეთი მაგალითის გადაჭრის ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები აღწერილია ქვემოთ.

პირველ ეტაპზე, უფასო კოეფიციენტები და რიცხვები უცნობისთვის შეყვანილია ცარიელ უჯრედებში. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე გაძლიერებულ მატრიცას, რომელსაც ხელით ვწერთ.

და ყველა საჭირო არითმეტიკული ოპერაცია შესრულებულია გაფართოებული მატრიცის კანონიკურ ფორმამდე მისასვლელად. უნდა გვესმოდეს, რომ განტოლებათა სისტემის პასუხი ყოველთვის არ არის მთელი რიცხვები. ზოგჯერ ამონახსნი შეიძლება იყოს წილადი რიცხვებიდან.

ხსნარის სისწორის შემოწმება

ჟორდანი-გაუსის მეთოდი ითვალისწინებს შედეგის სისწორის შემოწმებას. იმისათვის, რომ გაარკვიოთ, სწორად არის თუ არა გამოთვლილი კოეფიციენტები, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ შედეგი განტოლების თავდაპირველ სისტემაში. განტოლების მარცხენა მხარე უნდა ემთხვეოდეს მარჯვენა მხარეს, რომელიც არის ტოლობის ნიშნის უკან. თუ პასუხები არ ემთხვევა, მაშინ თქვენ უნდა გამოთვალოთ სისტემა ან სცადოთ გამოიყენოთ თქვენთვის ცნობილი SLAE ამოხსნის სხვა მეთოდი, როგორიცაა ჩანაცვლება ან ტერმინების გამოკლება და დამატება. ყოველივე ამის შემდეგ, მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელსაც აქვს გადაჭრის უამრავი სხვადასხვა მეთოდი. მაგრამ დაიმახსოვრე: შედეგი ყოველთვის უნდა იყოს იგივე, არ აქვს მნიშვნელობა რა გადაწყვეტის მეთოდს იყენებდი.

გაუსის მეთოდი: ყველაზე გავრცელებული შეცდომები SLAE-ს ამოხსნისას

განტოლებათა წრფივი სისტემების ამოხსნისას ყველაზე ხშირად ჩნდება შეცდომები, როგორიცაა კოეფიციენტების არასწორი გადატანა მატრიცულ ფორმაში. არის სისტემები, რომლებშიც ზოგიერთი უცნობი აკლია ერთ-ერთ განტოლებას, შემდეგ, მონაცემების გაფართოებულ მატრიცაში გადატანისას, ისინი შეიძლება დაიკარგოს. შედეგად, ამ სისტემის გადაჭრისას შედეგი შეიძლება არ შეესაბამებოდეს რეალურს.

კიდევ ერთი მთავარი შეცდომა შეიძლება იყოს საბოლოო შედეგის არასწორი ჩაწერა. ნათლად უნდა გვესმოდეს, რომ პირველი კოეფიციენტი შეესაბამება სისტემიდან პირველ უცნობს, მეორე - მეორეს და ა.შ.

გაუსის მეთოდი დეტალურად აღწერს წრფივი განტოლებების ამოხსნას. მისი წყალობით ადვილია საჭირო ოპერაციების შესრულება და სწორი შედეგის პოვნა. გარდა ამისა, ეს არის უნივერსალური ინსტრუმენტი ნებისმიერი სირთულის განტოლებებზე საიმედო პასუხის საპოვნელად. შესაძლოა ამიტომაა, რომ ის ასე ხშირად გამოიყენება SLAE-ს გადასაჭრელად.

ნება მიეცეს წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა, რომელიც უნდა ამოხსნას (იპოვეთ хi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს შეუთავსებელი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელიც ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანეთ პასუხამდე! მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერის და მატრიცული მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენება მოითხოვს მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნას, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაფართოებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები.

2) თუ მატრიცაში არის (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება გამრავლება (გაყოფა)ნულის გარდა ნებისმიერ რიცხვზე.

5) მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.

გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსანს.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ტოლია ნულის ტოლი (ზემოდან ქვევით გადაადგილება). ). მაგალითად, ამ ტიპის:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და კოეფიციენტი x 1-ზე უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვაფორმებთ შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას ვყოფთ (კოეფიციენტები უცნობისთვის, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) უცნობი x 1-ის კოეფიციენტზე, რომელიც არის თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას ( კოეფიციენტები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის). მეორე განტოლებაში x 1-ზე ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე ტრანსფორმირებულ განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, ასე რომ სანამ ყველა განტოლებას, გარდა პირველისა, x 1 უცნობის მქონე არ ექნება კოეფიციენტი 0.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის M-ს. ყველა "ქვემდებარე" განტოლებით ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილი განტოლების მოქმედებას. ამრიგად, უცნობის ქვეშ x 2 ყველა განტოლებაში იქნება ნული.

3) გადავდივართ შემდეგ განტოლებაზე და ასე ვაგრძელებთ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.

1. გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახსანს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 \u003d 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას "ზედა" შემდეგ განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.

მაგალითი.

ჩვენ ვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემას გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არავინ არის, ასე რომ რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მოდით გავაკეთოთ ეს ასე:
1 ნაბიჯი . პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხნივ "მინუს ერთი", რომელიც მშვენივრად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოქმედება: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალოს მისი ნიშანი).

2 ნაბიჯი . მეორე სტრიქონს დაემატა 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

3 ნაბიჯი . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში ეს სილამაზისთვისაა. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.

4 ნაბიჯი . მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

5 ნაბიჯი . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღებთ რაღაცას (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.

ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო მოძრაობას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია პირდაპირ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს "ქვემოდან ზემოდან". ამ მაგალითში საჩუქარი აღმოჩნდა:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

უპასუხე:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე 3-ზე. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

გავამრავლოთ მეორე და მესამე განტოლება 4-ზე, მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0.4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამე განტოლებას, მივიღებთ "ნაბიჯ" გაძლიერებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების პროცესში დაგროვდა შეცდომა, ვიღებთ x 3 \u003d 0.96, ან დაახლოებით 1.

x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.

ამგვარად ამოხსნით, არასოდეს დაიბნევით გამოთვლებში და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი ადვილად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს უცნობის კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არა მთელი რიცხვების კოეფიციენტებთან.

Წარმატებას გისურვებ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი დიმიტრი აისტრახანოვი.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ხაზოვანი განტოლების ორი სისტემა ექვივალენტურად ითვლება, თუ მათი ყველა ამონახსნის სიმრავლე ერთნაირია.

განტოლებათა სისტემის ელემენტარული გარდაქმნებია:

1. ტრივიალური განტოლებათა სისტემიდან წაშლა, ე.ი. რომელთათვისაც ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია;
2. ნებისმიერი განტოლების გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;
3. ნებისმიერი j-ე განტოლების დამატება, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე.

ცვლადს x i უწოდებენ თავისუფალს, თუ ეს ცვლადი არ არის დაშვებული და დაშვებულია განტოლებათა მთელი სისტემა.

თეორემა. ელემენტარული გარდაქმნები განტოლებათა სისტემას გარდაქმნის ეკვივალენტად.

გაუსის მეთოდის მნიშვნელობა არის განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის გარდაქმნა და ექვივალენტური დაშვებული ან ექვივალენტური არათანმიმდევრული სისტემის მიღება.

ასე რომ, გაუსის მეთოდი შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1. განვიხილოთ პირველი განტოლება. ვირჩევთ პირველ არანულოვან კოეფიციენტს და ვყოფთ მასზე მთელ განტოლებას. ვიღებთ განტოლებას, რომელშიც x i ცვლადი შედის 1-ის კოეფიციენტით;
2. მოდით გამოვაკლოთ ეს განტოლება ყველა დანარჩენს, გავამრავლოთ ის რიცხვებით, რომ დარჩენილ განტოლებებში x i ცვლადის კოეფიციენტები ნულის ტოლია. ვიღებთ სისტემას, რომელიც გადაწყვეტილია x i ცვლადის მიმართ და ორიგინალურის ექვივალენტურია;
3. თუ ტრივიალური განტოლებები წარმოიქმნება (იშვიათად, მაგრამ ეს ხდება; მაგალითად, 0 = 0), ჩვენ ვშლით მათ სისტემიდან. შედეგად, განტოლებები ხდება ერთით ნაკლები;
4. ჩვენ ვიმეორებთ წინა ნაბიჯებს არა უმეტეს n-ჯერ, სადაც n არის განტოლებების რაოდენობა სისტემაში. ყოველ ჯერზე ვირჩევთ ახალ ცვლადს „დამუშავებისთვის“. თუ ურთიერთგამომრიცხავი განტოლებები წარმოიქმნება (მაგალითად, 0 = 8), სისტემა არათანმიმდევრულია.

შედეგად, რამდენიმე ნაბიჯის შემდეგ ვიღებთ ან დაშვებულ სისტემას (შესაძლოა თავისუფალი ცვლადებით) ან არათანმიმდევრულ სისტემას. დაშვებული სისტემები იყოფა ორ შემთხვევაში:

1. ცვლადების რაოდენობა უდრის განტოლებათა რაოდენობას. ასე რომ სისტემა განსაზღვრულია;
2. ცვლადების რაოდენობა განტოლებათა რაოდენობაზე მეტია. ჩვენ ვაგროვებთ ყველა თავისუფალ ცვლადს მარჯვნივ - ვიღებთ ფორმულებს დაშვებული ცვლადების შესახებ. ეს ფორმულები წერია პასუხში.

Სულ ეს არის! წრფივი განტოლებათა სისტემა ამოხსნილია! ეს საკმაოდ მარტივი ალგორითმია და მის დასაუფლებლად, თქვენ არ გჭირდებათ მათემატიკის დამრიგებელთან დაკავშირება. განვიხილოთ მაგალითი:

დავალება. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

ნაბიჯების აღწერა:

1. პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორეს და მესამეს - მივიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 1;
2. მეორე განტოლებას ვამრავლებთ (−1-ზე), ხოლო მესამე განტოლებას ვყოფთ (−3)-ზე - მივიღებთ ორ განტოლებას, რომლებშიც ცვლადი x 2 შედის 1-ის კოეფიციენტით;
3. პირველს ვუმატებთ მეორე განტოლებას და ვაკლებთ მესამეს. მივიღოთ დაშვებული ცვლადი x 2 ;
4. და ბოლოს, პირველს გამოვაკლებთ მესამე განტოლებას - ვიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 3 ;
5. ჩვენ მივიღეთ ავტორიზებული სისტემა, ვწერთ პასუხს.

წრფივი განტოლებათა ერთობლივი სისტემის ზოგადი ამონახსნი არის ახალი სისტემა, თავდაპირველის ეკვივალენტური, რომელშიც ყველა დაშვებული ცვლადი გამოიხატება თავისუფალის მიხედვით.

როდის შეიძლება იყოს საჭირო ზოგადი გადაწყვეტა? თუ k-ზე ნაკლები ნაბიჯის გადადგმა მოგიწევთ (k არის რამდენი განტოლება ჯამში). თუმცა, მიზეზები, რის გამოც პროცესი მთავრდება რაღაც საფეხურზე l< k , может быть две:

1. l-ე საფეხურის შემდეგ ვიღებთ სისტემას, რომელიც არ შეიცავს განტოლებას რიცხვთან (l + 1). სინამდვილეში, ეს კარგია, რადგან. გადაწყვეტილი სისტემა მიიღება მაინც - თუნდაც რამდენიმე ნაბიჯით ადრე.
2. l-ე საფეხურის შემდეგ მიიღება განტოლება, რომელშიც ცვლადების ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ხოლო თავისუფალი კოეფიციენტი ნულისაგან განსხვავდება. ეს არის არათანმიმდევრული განტოლება და, შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია.

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ გაუსის მეთოდით არათანმიმდევრული განტოლების გამოჩენა არათანმიმდევრულობის საკმარისი მიზეზია. ამავდროულად, აღვნიშნავთ, რომ l-th საფეხურის შედეგად ტრივიალური განტოლებები ვერ დარჩება - ყველა მათგანი წაიშლება უშუალოდ პროცესში.

ნაბიჯების აღწერა:

1. გამოვაკლოთ პირველი განტოლება 4-ჯერ მეორეს. და ასევე დაამატეთ პირველი განტოლება მესამეს - მივიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 1;
2. მეორე განტოლებას გამოვაკლებთ 2-ზე გამრავლებულ მესამე განტოლებას - მივიღებთ წინააღმდეგობრივ განტოლებას 0 = −5.

ასე რომ, სისტემა არათანმიმდევრულია, რადგან ნაპოვნია არათანმიმდევრული განტოლება.

დავალება. გამოიკვლიეთ თავსებადობა და იპოვნეთ სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა:

ნაბიჯების აღწერა:

1. პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორეს (ორზე გამრავლების შემდეგ) და მესამეს - მივიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 1;
2. გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამეს. ვინაიდან ამ განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი ერთნაირია, მესამე განტოლება ხდება ტრივიალური. ამავდროულად ვამრავლებთ მეორე განტოლებას (−1-ზე);
3. პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას - მივიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 2. განტოლებათა მთელი სისტემა ახლა ასევე გადაწყვეტილია;
4. ვინაიდან x 3 და x 4 ცვლადები თავისუფალია, ჩვენ მათ მარჯვნივ გადავიტანთ დაშვებული ცვლადების გამოსახატავად. ეს არის პასუხი.

ასე რომ, სისტემა არის ერთობლივი და განუსაზღვრელი, რადგან არსებობს ორი დაშვებული ცვლადი (x 1 და x 2) და ორი თავისუფალი (x 3 და x 4).

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა დეტერმინანტების გამოთვლაზე დაფუძნებული მეთოდი ( კრამერის წესი). მისი უპირატესობა ის არის, რომ საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ გამოსავალი, განსაკუთრებით მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემის კოეფიციენტები არ არის რიცხვები, არამედ ზოგიერთი პარამეტრი. მისი მინუსი არის გამოთვლების უხერხულობა დიდი რაოდენობის განტოლების შემთხვევაში, უფრო მეტიც, კრამერის წესი პირდაპირ არ ვრცელდება სისტემებზე, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას. ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ გამოიყენება გაუსის მეთოდი.

წრფივი განტოლებათა სისტემებს, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების ერთნაირი ნაკრები ეწოდება ექვივალენტი. ცხადია, წრფივი სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არ შეიცვლება, თუ რომელიმე განტოლება ერთმანეთს ცვლის, ან თუ ერთ-ერთი განტოლება გამრავლდება რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ან თუ ერთი განტოლება დაემატება მეორეს.

გაუსის მეთოდი (უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი) მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ ეტაპობრივ სისტემამდე. პირველი, პირველი განტოლების დახმარებით, xსისტემის ყველა შემდგომი განტოლების 1. შემდეგ, მე-2 განტოლების გამოყენებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ xმე-3 განტოლების 2 და ყველა შემდგომი განტოლება. ამ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი, გრძელდება მანამ, სანამ მხოლოდ ერთი უცნობი დარჩება ბოლო განტოლების მარცხენა მხარეს x n. ამის შემდეგ მზადდება გაუსიანი რევერსი– ბოლო განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ x n; ამის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. ბოლოს ვიპოვით x 1 პირველი განტოლებიდან.

მოსახერხებელია გაუსის გარდაქმნების განხორციელება გარდაქმნების შესრულებით არა თავად განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების მატრიცებით. განვიხილოთ მატრიცა:

დაურეკა გაფართოებული მატრიცული სისტემა,რადგან სისტემის მთავარი მატრიცის გარდა იგი მოიცავს თავისუფალი წევრების სვეტს. გაუსის მეთოდი ეფუძნება სისტემის ძირითადი მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე მიყვანას (ან ტრაპეციულ ფორმას არაკვადრატული სისტემების შემთხვევაში) სისტემის გაფართოებული მატრიცის ელემენტარული მწკრივის გარდაქმნების (!) გამოყენებით.

მაგალითი 5.1.ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და პირველი რიგის გამოყენებით, ამის შემდეგ დავაყენებთ დანარჩენ ელემენტებს ნულზე:

ჩვენ ვიღებთ ნულებს პირველი სვეტის მე-2, მე-3 და მე-4 სტრიქონებში:

ახლა ჩვენ გვჭირდება ყველა ელემენტი მეორე სვეტის მე-2 რიგის ქვემოთ, რომ იყოს ნულის ტოლი. ამისათვის შეგიძლიათ მეორე სტრიქონი გაამრავლოთ -4/7-ზე და დაამატოთ მე-3 სტრიქონი. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან საქმე არ გვქონდეს, ჩვენ შევქმნით ერთეულს მეორე სვეტის მე-2 რიგში და მხოლოდ

ახლა, სამკუთხა მატრიცის მისაღებად, საჭიროა მე-3 სვეტის მეოთხე რიგის ელემენტის ნულიდან გამორიცხვა, ამისთვის შეგიძლიათ მესამე მწკრივი გაამრავლოთ 8/54-ზე და დაამატოთ ის მეოთხეზე. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან არ გვქონდეს საქმე, გავცვლით მე-3 და მე-4 სტრიქონებს და მე-3 და მე-4 სვეტებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავაყენებთ მითითებულ ელემენტს. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც სვეტები გადანაწილებულია, შესაბამისი ცვლადები იცვლება და ეს უნდა დაიმახსოვროთ; სხვა ელემენტარული გარდაქმნები სვეტებით (შეკრება და რიცხვით გამრავლება) შეუძლებელია!

ბოლო გამარტივებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალის:

აქედან, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის გამოყენებით, ვხვდებით მეოთხე განტოლებიდან x 3 = -1; მესამედან x 4 = -2, მეორედან x 2 = 2 და პირველი განტოლებიდან x 1 = 1. მატრიცის სახით პასუხი იწერება როგორც

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც სისტემა განსაზღვრულია, ე.ი. როდესაც გამოსავალი მხოლოდ ერთია. ვნახოთ, რა მოხდება, თუ სისტემა არათანმიმდევრული ან განუსაზღვრელია.

მაგალითი 5.2.გამოიკვლიეთ სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა გამარტივებულ სისტემას:

აი, ბოლო განტოლებაში აღმოჩნდა, რომ 0=4, ე.ი. წინააღმდეგობა. ამიტომ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ე.ი. ის არის შეუთავსებელი. à

მაგალითი 5.3.შეისწავლეთ და ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:

გარდაქმნების შედეგად ბოლო სტრიქონში მხოლოდ ნულები მიიღეს. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებების რაოდენობა შემცირდა ერთით:

ამრიგად, გამარტივების შემდეგ რჩება ორი განტოლება, ხოლო ოთხი უცნობი, ე.ი. ორი უცნობი „დამატებითი“. დაე, "ზედმეტი", ან, როგორც ამბობენ, უფასო ცვლადები, იქნება x 3 და x 4 . მერე

ვარაუდით x 3 = 2ადა x 4 = ბ, ვიღებთ x 2 = 1–ადა x 1 = 2ბ–ა; ან მატრიცის სახით

ამ გზით დაწერილ ამოხსნას ეწოდება გენერალი, ვინაიდან, პარამეტრების მიცემით ადა ბსხვადასხვა მნიშვნელობებით, შესაძლებელია სისტემის ყველა შესაძლო გადაწყვეტის აღწერა. ა