განტოლებათა სისტემების ამოხსნის შესახებ დამატებითი ლიტერატურის შესწავლისას შევხვდი ახალი ტიპის სისტემებს - სიმეტრიულს. და ჩემს თავს დავსახე მიზანი:

შეაჯამეთ სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.

გაიაზრონ და ისწავლონ ახალი ცვლადების დანერგვის ხერხის ამოხსნა;

3) განვიხილოთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები

4) ისწავლეთ განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ისტორია.

ხაზოვანი განტოლებიდან უცნობის ამოღება დიდი ხანია გამოიყენება. მე-17-18 საუკუნეებში. in. გამორიცხვის ტექნიკა შეიმუშავეს ფერმატმა, ნიუტონმა, ლაიბნიცმა, ეულერმა, ბეზოუტმა, ლაგრანჟმა.

თანამედროვე აღნიშვნით, ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორი უცნობით აქვს ფორმა: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 ამ სისტემის ამონახსნები გამოიხატება ფორმულებით.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

მე-17 საუკუნეში შექმნილი კოორდინატული მეთოდის წყალობით. ფერმას და დეკარტს, შესაძლებელი გახდა განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნა.

ძველ ბაბილონურ ტექსტებში დაწერილი ძვ.წ 3-2 ათასწლეულებში. ე. , შეიცავს განტოლებათა სისტემების შედგენით გადაწყვეტილ ბევრ პრობლემას, რომლებშიც მეორე ხარისხის განტოლებებიც არის შემოტანილი.

მაგალითი #1:

დავამატე ჩემი ორი კვადრატის ფართობები: 25. მეორე კვადრატის გვერდი უდრის პირველის გვერდს და კიდევ 5. შესაბამისი აღნიშვნის განტოლებათა სისტემა ასე გამოიყურება: x2 + y2 = 25, y = x = 5

დიოფანტე, რომელსაც ბევრი უცნობის აღნიშვნა არ ჰქონდა, დიდი შრომა სჭირდებოდა უცნობის არჩევას ისე, რომ სისტემის ამონახსნები ერთი განტოლების ამოხსნამდე დაეყვანა.

მაგალითი #2:

იპოვნეთ ორი ნატურალური რიცხვი, იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20, ხოლო კვადრატების ჯამი 208.

პრობლემა ასევე გადაწყდა განტოლებათა სისტემის შედგენით, x + y = 20, მაგრამ ამოხსნილია x2 + y2 = 208

დიოფანტე, უცნობ ნახევარად ირჩევს სასურველი რიცხვების სხვაობას, ე.ი.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- არ აკმაყოფილებს ამოცანის პირობას, შესაბამისად, თუ z = 2x = 12 და y = 8

ალგებრული განტოლებათა სისტემის ცნებები.

ბევრ პრობლემაში შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე უცნობი სიდიდის პოვნა, იმის ცოდნა, რომ მათი დახმარებით წარმოქმნილი სხვა სიდიდეები (უცნობების ფუნქციები) ტოლია ერთმანეთის ან მოცემული სიდიდის. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი.

2400 მ2 ფართობის მართკუთხა მიწის ნაკვეთი შემოღობილია 200 მ სიგრძის გალავნით. იპოვნეთ სეგმენტის სიგრძე და სიგანე. სინამდვილეში, ამ პრობლემის „ალგებრული მოდელი“ არის ორი განტოლებისა და ერთი უტოლობის სისტემა.

შესაძლო შეზღუდვები - უთანასწორობები ყოველთვის უნდა იყოს მხედველობაში. როცა ხსნით განტოლებათა სისტემების შედგენის ამოცანებს. მაგრამ მაინც მთავარია განტოლებების თავად ამოხსნა. მე გეტყვით გამოყენებული მეთოდების შესახებ.

დავიწყოთ განმარტებებით.

განტოლებათა სისტემა არის რამდენიმე (ერთზე მეტი) განტოლების ნაკრები, რომლებიც დაკავშირებულია ხვეული ფრჩხილით.

ხვეული ფრჩხილი ნიშნავს, რომ სისტემის ყველა განტოლება უნდა შესრულდეს ერთდროულად და აჩვენებს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების წყვილი (x; y), რომელიც აქცევს თითოეულ განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში.

სისტემის ამონახსნი არის x და y რიცხვების ისეთი წყვილი, რომელიც ამ სისტემაში ჩანაცვლებისას აქცევს მის თითოეულ განტოლებას ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.

ჩანაცვლების მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ ერთ-ერთ განტოლებაში ერთი ცვლადი გამოხატულია მეორის თვალსაზრისით. მიღებული გამოხატულება ჩანაცვლებულია სხვა განტოლებით, რომელიც შემდეგ გადაიქცევა განტოლებად ერთი ცვლადით და შემდეგ იხსნება. ამ ცვლადის შედეგად მიღებული მნიშვნელობები ჩანაცვლებულია ორიგინალური სისტემის ნებისმიერ განტოლებაში და ნაპოვნია მეორე ცვლადი.

ალგორითმი.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან გამოხატეთ y x-ის მიხედვით.

2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.

3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.

4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.

5) ჩაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y).

მაგალითი No. 1 y \u003d x - 1,

ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში y \u003d x - 1, ვიღებთ 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, საიდანაც x \u003d 2. ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას პირველ განტოლებაში: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

პასუხი: (2; 1).

მაგალითი #2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2

5წ \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2

2x - 21 წელი \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8წ - 4) - 21წ \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

პასუხი: (-20; -2).

მაგალითი #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - კვადრატული განტოლება y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

აქედან გამომდინარე (-2; -4); (4; 8) არის ამ სისტემის გადაწყვეტილებები.

დამატების მეთოდი.

დამატების მეთოდი მდგომარეობს იმაში, რომ თუ მოცემული სისტემა შედგება განტოლებისგან, რომლებიც ერთად შეკრებისას ქმნიან განტოლებას ერთ ცვლადთან, მაშინ ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობებს. ნაპოვნია მეორე ცვლადის მნიშვნელობა, როგორც ჩანაცვლების მეთოდით.

სისტემის ამოხსნის ალგორითმი დამატების მეთოდით.

1. კოეფიციენტების მოდულების გათანაბრება ერთ-ერთი უცნობისთვის.

2. მიღებული განტოლებების შეკრება ან გამოკლება, იპოვეთ ერთი უცნობი.

3. აღმოჩენილი მნიშვნელობის ჩანაცვლება საწყისი სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში, იპოვეთ მეორე უცნობი.

მაგალითი #1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა დამატებით: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

მეორე განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, მივიღებთ

ჩვენ გამოვხატავთ მეორე გამონათქვამიდან x \u003d 20 - y

ჩაანაცვლეთ y \u003d 5 ამ გამოსახულებაში: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

პასუხი: (15; 5).

მაგალითი #2:

მოდით წარმოვადგინოთ შემოთავაზებული სისტემის განტოლებები სხვაობის სახით, მივიღებთ

7y = 21, საიდანაც y = 3

ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა x = სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოხატული მნიშვნელობით, მივიღებთ x = 4.

პასუხი: (4; 3).

მაგალითი #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

ამ განტოლებების დამატება მივიღებთ:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, ამ მნიშვნელობის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

10 * 2 - 11y \u003d 9, საიდანაც y \u003d 1.

ამ სისტემის გამოსავალი არის წყვილი: (2; 1).

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული გზა.

ალგორითმი.

1. ააგეთ სისტემის თითოეული განტოლების გრაფიკები.

2. აგებული წრფეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების მოძიება.

თვითმფრინავზე ხაზების ურთიერთ მოწყობის შემთხვევა.

1. თუ წრფეები იკვეთება, ანუ აქვთ ერთი საერთო წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი.

2. თუ წრფეები პარალელურია, ანუ საერთო წერტილები არ აქვთ, მაშინ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს.

3. თუ წრფეები ემთხვევა, ანუ აქვთ ბევრი წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მაგალითი #1:

გრაფიკულად ამოხსენით განტოლებათა სისტემა x - y \u003d -1,

ჩვენ გამოვხატავთ პირველი და მეორე განტოლებიდან y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

მოდით ავაშენოთ სისტემის თითოეული განტოლების გრაფიკები:

1) y \u003d 1 + x - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 y 4 2

პასუხი: (1; 2).

მაგალითი #2: y x ​​+ 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 3 2 y \u003d - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 2 1

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი No. 3: y x ​​- 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y -1 0

პასუხი: სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი.

ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი არის ის, რომ ახალი ცვლადი შემოდის მხოლოდ ერთ განტოლებაში ან ორ ახალ ცვლადში ორივე განტოლებისთვის ერთდროულად, შემდეგ განტოლება ან განტოლებები წყდება ახალ ცვლადებთან მიმართებაში, რის შემდეგაც რჩება უფრო მარტივი სისტემის ამოხსნა. განტოლებათა, საიდანაც ვპოულობთ სასურველ ამონახსნებს.

მაგალითი #1:

x + y = 5

აღნიშნეთ = z, შემდეგ =.

პირველი განტოლება მიიღებს z + = ფორმას, ის უდრის 6z - 13 + 6 = 0. მიღებული განტოლების ამოხსნის შემდეგ გვაქვს z = ; z=. შემდეგ = ან =, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი განტოლება იყოფა ორ განტოლებად, შესაბამისად, გვაქვს ორი სისტემა:

x + y = 5 x + y = 5

ამ სისტემების გადაწყვეტილებები არის მოცემული სისტემის გადაწყვეტილებები.

პირველი სისტემის ამონახსნი არის წყვილი: (2; 3), ხოლო მეორე არის წყვილი (3; 2).

მაშასადამე, სისტემის ამონახსნები + = , x + y = 5

წყვილები არიან (2; 3); (3; 2)

მაგალითი #2:

მოდით = X, a = Y.

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7.5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

2 x = 1, y = 0.5

პასუხი: (1; 0.5).

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები.

n უცნობის მქონე სისტემას ეწოდება სიმეტრიული, თუ ის არ იცვლება უცნობის გადალაგებისას.

ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობით x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით. გაითვალისწინეთ, რომ სიმეტრიულ სისტემებში შეხვედრილი გამონათქვამები გამოხატულია u და v-ით. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი, რომლებიც უდავო ინტერესს იწვევს მრავალი სიმეტრიული სისტემის ამოხსნისთვის: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v და ა.შ.

x y, z უცნობის სამი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ამოხსნილია x + y + z = u, xy + yz + xz = w ჩანაცვლებით. თუ ნაპოვნია u, v, w, მაშინ წარმოიქმნება კუბური განტოლება t2 – ut2 + vt – w = 0, რომლის ფესვები t1, t2, t3 სხვადასხვა პერმუტაციებში არის საწყისი სისტემის ამონახსნები. ასეთ სისტემებში ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამები გამოიხატება u, v, w შემდეგნაირად: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

მაგალითი #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

მოდით x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

მოდით x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

მოდით x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

მოდით x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

პასუხი: (4; 1); (თოთხმეტი).

მაგალითი #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

მოდით შევცვალოთ უცნობები, სისტემა მიიღებს ფორმას u2 + v = 49, u + v = 23

ამ განტოლებების მიმატებით მივიღებთ u2 + u - 72 = 0 ფესვებით u1 = 8, u2 = -9. შესაბამისად, v1 = 15, v2 = 32. რჩება სისტემის სიმრავლის ამოხსნა x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

სისტემა x + y = 8 აქვს ამონახსნები x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

სისტემა x + y = -9 არ აქვს რეალური ამონახსნები.

პასუხი: (3; 5), (5; 3).

მაგალითი ნომერი 6. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით u = y + x და v = xy ვიღებთ განტოლებათა შემდეგ სისტემას

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

სისტემის მეორე განტოლებიდან v = -3 – u გამოთქმის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ შემდეგ განტოლებას 2u2 + 7u + 5 = 0, რომლის ფესვებია u1 = -1 და u2 = -2,5; და, შესაბამისად, v1 = -2 და v2 = -0.5 მნიშვნელობები მიიღება v = -3 - u-დან.

ახლა რჩება სისტემების შემდეგი ნაკრების გადაჭრა x + y \u003d -1, და x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5

სისტემების ამ ნაკრების და, შესაბამისად, თავდაპირველი სისტემის (მათი ეკვივალენტობის გამო) ამონახსნები შემდეგია: (1; -2), (-2; 1), (;).

მაგალითი #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით, სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით

3uv - 2v = 78,

გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, მივიღებთ 9v2 - 28v - 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v1 = 6 და v2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები u1 = 5, u2 = - გამოთქმიდან u =.

ახლა ჩვენ ვხსნით სისტემების შემდეგ კომპლექტს x + y \u003d 5, და x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.

x = 5 – y, და y = -x -, y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 და x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

პასუხი: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

დასკვნა.

სტატიის წერის პროცესში გავეცანი ალგებრული განტოლებების სხვადასხვა ტიპის სისტემას. შეჯამებული სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.

გაიგეს და ისწავლეს ამოხსნა ახალი ცვლადების შემოტანით;

განვიხილეთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები

ვისწავლეთ განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

შესავალი ჩემი პროექტის პრობლემა ის არის, რომ გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის საჭიროა განტოლებათა სხვადასხვა სისტემის ამოხსნის უნარი და საშუალო სკოლის მსვლელობისას მათ არ ეძლევათ საკმარისი დრო ამ საკითხის უფრო ღრმად გასაცნობად. სამუშაოს მიზანი: მომზადება გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის. სამუშაოს ამოცანები: გააფართოვეთ ცოდნა მათემატიკის დარგში „სიმეტრიის“ ცნებასთან დაკავშირებული. გააუმჯობესეთ თქვენი მათემატიკური კულტურა, გამოიყენეთ "სიმეტრიის" ცნება განტოლებათა სისტემების ამოხსნისას, რომელსაც ეწოდება სიმეტრიული, ისევე როგორც მათემატიკის სხვა ამოცანები.

სიმეტრიის ცნება. სიმეტრია - (ძვ. ბერძნ. συμμετρία), ფართო გაგებით - უცვლელობა ნებისმიერი გარდაქმნებისას. ასე, მაგალითად, სხეულის სფერული სიმეტრია ნიშნავს, რომ სხეულის გარეგნობა არ შეიცვლება, თუ ის სივრცეში ბრუნავს თვითნებური კუთხით. ორმხრივი სიმეტრია ნიშნავს, რომ მარჯვენა და მარცხენა რაღაც სიბრტყის მიმართ ერთნაირად გამოიყურება.

პრობლემის გადაჭრა სიმეტრიის გამოყენებით. პრობლემა 1 ორი ადამიანი რიგრიგობით დებს იდენტურ მონეტებს მრგვალ მაგიდაზე და მონეტები არ უნდა ფარავდეს ერთმანეთს. ის, ვინც მოძრაობას ვერ აკეთებს, კარგავს. ვინ იგებს სწორად თამაშისას? (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომელ მოთამაშეს აქვს გამარჯვების სტრატეგია?)

სიმეტრიული სისტემების ამოხსნის მეთოდები. სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა შესაძლებელია ცვლადების ცვლილებით, რომლებიც წარმოადგენს ძირითად სიმეტრიულ მრავალწევრებს. ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობით x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით.

მაგალითი No2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით 3uv - 2v \u003d -78 3v \u003d -8. გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, ვიღებთ 9v2– 28v – 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v 1 = 6 და v 2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები U1 = 5, u2= - გამოთქმიდან u =.

მოდით ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე მოდით ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე x + y = 5, და x + y = - , xy = 6 xy = - . x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, და x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= პასუხი: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

სიმეტრიული სისტემების ამოხსნისას გამოყენებული თეორემები. თეორემა 1. (სიმეტრიულ მრავალწევრებზე) ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი ორ ცვლადში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი ძირითადი სიმეტრიული პოლინომის ფუნქცია. ქ) ისეთი, რომ

თეორემა 2. (სიმეტრიულ მრავალწევრებზე) თეორემა 2. (სიმეტრიულ მრავალწევრებზე) ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი სამ ცვლადში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრის ფუნქციად: სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სიმეტრიული მრავალწევრისთვის f (x, y) არის სამი ცვლადის ისეთი ფუნქცია θ (u, v, w) ისეთი, რომ

უფრო რთული სიმეტრიული სისტემები - მოდულის შემცველი სისტემები: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. განვიხილოთ ეს სისტემა ცალკე x-ისთვის< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

ბ) x ≤ y-სთვის< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, ან - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, საიდანაც ვპოულობთ x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. რიცხვების მეორე წყვილი განსახილველ ფართობს განეკუთვნება, ანუ ეს არის გამოსავალი ამ სისტემას.

თუ x ≥ 1, მაშინ: თუ x ≥ 1, მაშინ: ა) x > y და y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y და y ≥ 1 სისტემა იღებს ფორმას x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ან x - y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x = 1, y = 3. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ ფართობს;

გ) x ≤ y (მაშინ y ≥ 1), სისტემა იღებს ფორმას c) x ≤ y (შემდეგ y ≥ 1), სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ან - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ ტერიტორიას. ამრიგად, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. პასუხი: (- 1; 1); (თერთმეტი).

დასკვნა მათემატიკა ავითარებს ადამიანის აზროვნებას, ასწავლის ლოგიკის მეშვეობით სხვადასხვა ამოხსნის პოვნას. ასე რომ, როდესაც ვისწავლე სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა, მივხვდი, რომ მათი გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ კონკრეტული მაგალითების დასასრულებლად, არამედ სხვადასხვა სახის პრობლემების გადასაჭრელად. ვფიქრობ, რომ პროექტი არა მარტო მე მომგებიანია. ვისაც ასევე სურს ამ თემის გაცნობა, ჩემი ნამუშევარი კარგი დამხმარე იქნება.

გამოყენებული ლიტერატურის სია: ბაშმაკოვი M.I., "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი", მე-2 გამოცემა, მოსკოვი, "Prosveshchenie", 1992, 350 გვერდი. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები ", დირექტორია; მესამე გამოცემა, შესწორებული და გადიდებული; კიევი, ნაუკოვა, დუმკა, 1987, 648 გვერდი, შარიგინი ი.

ნამუშევარი შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაკვეთილებზე და მოხსენებებზე თემაზე "მათემატიკა"

მზა მათემატიკის პრეზენტაციები გამოიყენება როგორც ვიზუალური დამხმარე საშუალებები, რომლებიც მასწავლებელს ან მშობელს საშუალებას აძლევს აჩვენონ სახელმძღვანელოდან შესასწავლი თემა სლაიდების და ცხრილების გამოყენებით, აჩვენონ მაგალითები ამოცანებისა და განტოლებების გადასაჭრელად და შეამოწმონ ცოდნა. საიტის ამ განყოფილებაში შეგიძლიათ იპოვოთ და ჩამოტვირთოთ ბევრი მზა პრეზენტაცია მათემატიკაში 1,2,3,4,5,6 კლასების სტუდენტებისთვის, ასევე პრეზენტაციები უმაღლესი მათემატიკაში უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის.

შესავალი

სიმეტრია... არის იდეა, რომლის მეშვეობითაც ადამიანი საუკუნეების მანძილზე ცდილობდა გაეგო და შეექმნა წესრიგი, სილამაზე და სრულყოფილება.

სიმეტრიის ცნება გადის კაცობრიობის მთელ ისტორიაში. ის უკვე გვხვდება ადამიანის ცოდნის საწყისებში. იგი წარმოიშვა ცოცხალი ორგანიზმის, კერძოდ, ადამიანის შესწავლასთან დაკავშირებით და გამოიყენებოდა მოქანდაკეების მიერ ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე V საუკუნეში. ე.
სიტყვა "სიმეტრია" ბერძნულია. ნიშნავს „პროპორციულობას“, „პროპორციულობას“, ნაწილების განლაგების ერთნაირობას. მას ფართოდ იყენებენ თანამედროვე მეცნიერების ყველა სფერო გამონაკლისის გარეშე.
ბევრი დიდი ადამიანი ფიქრობდა ამ ნიმუშზე. მაგალითად, L.N. ტოლსტოიმ თქვა: ”შავი დაფის წინ ვიდექი და მასზე ცარცით სხვადასხვა ფიგურებს ვხატავდი, უცებ გამიელვა აზრმა: რატომ არის სიმეტრია მკაფიო თვალისთვის? რა არის სიმეტრია? ეს თანდაყოლილი გრძნობაა. რას ეფუძნება?
მართლაც, სიმეტრია სასიამოვნოა თვალისთვის. ვისაც არ აღფრთოვანებულა ბუნების შემოქმედების სიმეტრიით: ფოთლები, ყვავილები, ფრინველები, ცხოველები; ანუ ადამიანის შემოქმედება: შენობები, ტექნოლოგია, - ყველაფერი, რაც ბავშვობიდან გვახვევს, რომელიც სილამაზისა და ჰარმონიისკენ ისწრაფვის.
სიმეტრია (სხვა ბერძნული συμμετρία - "პროპორციულობა"), ფართო გაგებით - უცვლელობა ნებისმიერი ტრანსფორმაციის დროს. ასე, მაგალითად, სხეულის სფერული სიმეტრია ნიშნავს, რომ სხეულის გარეგნობა არ შეიცვლება, თუ იგი სივრცეში ბრუნავს თვითნებური კუთხით (ერთი წერტილის შენარჩუნებით). ორმხრივი სიმეტრია ნიშნავს, რომ მარჯვენა და მარცხენა მხარეები ერთნაირად გამოიყურება ზოგიერთი სიბრტყის მიმართ.
სიმეტრიით ვხვდებით ყველგან - ბუნებაში, ტექნოლოგიაში, ხელოვნებაში, მეცნიერებაში. ჩვენ აღვნიშნავთ, მაგალითად, პეპლისა და ნეკერჩხლის ფოთლის თანდაყოლილი სიმეტრია, მანქანისა და თვითმფრინავის სიმეტრია, სიმეტრია ლექსისა და მუსიკალური ფრაზის რიტმულ კონსტრუქციაში, ორნამენტებისა და საზღვრების სიმეტრია, სიმეტრია. მოლეკულების და კრისტალების ატომური სტრუქტურა. სიმეტრიის კონცეფცია გადის ადამიანის შემოქმედების მთელ მრავალსაუკუნოვან ისტორიაში. ის უკვე გვხვდება ადამიანის ცოდნის საწყისებში; მას ფართოდ იყენებს თანამედროვე მეცნიერების ყველა სფერო გამონაკლისის გარეშე. სიმეტრიის პრინციპები მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ფიზიკასა და მათემატიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, ინჟინერიასა და არქიტექტურაში, ფერწერასა და ქანდაკებაში, პოეზიასა და მუსიკაში. ბუნების კანონები, რომლებიც მართავს ფენომენების სურათს, ამოუწურავია მისი მრავალფეროვნებით, თავის მხრივ, ემორჩილება სიმეტრიის პრინციპებს.

მიზნები:

განვიხილოთ სიმეტრიის სახეები და ტიპები;

გააანალიზეთ როგორ და სად გამოიყენება სიმეტრია;

განვიხილოთ, როგორ გამოიყენება სიმეტრია სკოლის ალგებრის კურსში

Სიმეტრია.
სიტყვა „სიმეტრიას“ ორმაგი მნიშვნელობა აქვს. ერთი გაგებით, სიმეტრიული ნიშნავს რაღაც ძალიან პროპორციულს, დაბალანსებულს; სიმეტრია გვიჩვენებს მრავალი ნაწილის კოორდინაციის გზას, რომლის დახმარებით ისინი გაერთიანებულია მთლიანობაში. ამ სიტყვის მეორე მნიშვნელობა არის ბალანსი. არისტოტელეც კი საუბრობდა სიმეტრიაზე, როგორც მდგომარეობაზე, რომელიც ხასიათდება უკიდურესობების თანაფარდობით. ამ განცხადებიდან გამომდინარეობს, რომ არისტოტელე, ალბათ, ყველაზე ახლოს იყო ბუნების ერთ-ერთი ყველაზე ფუნდამენტური კანონის - მისი ორმაგობის კანონების აღმოჩენასთან.
აუცილებელია ხაზი გავუსვა იმ ასპექტებს, რომელთა გარეშეც შეუძლებელია სიმეტრია:
1) ობიექტი სიმეტრიის მატარებელია; საგნები, პროცესები, გეომეტრიული ფიგურები, მათემატიკური გამონათქვამები, ცოცხალი ორგანიზმები და ა.შ. შეიძლება მოქმედებენ როგორც სიმეტრიული ობიექტები.

2) საგნის ზოგიერთი მახასიათებელი - სიმეტრიული გარდაქმნების დროს უცვლელი რჩება სიდიდეები, თვისებები, მიმართებები, პროცესები, ფენომენები; მათ უწოდებენ ინვარიანტებს ან ინვარიანტებს.

3) ცვლილებები (ობიექტის), რომელიც ტოვებს ობიექტს თავის იდენტურს უცვლელი მახასიათებლების თვალსაზრისით; ასეთ ცვლილებებს სიმეტრიის გარდაქმნები ეწოდება;

4) ობიექტის თვისება, რომ შერჩეული მახასიათებლების მიხედვით გადააქციოს საკუთარ თავში შესაბამისი ცვლილებების შემდეგ.

ამრიგად, სიმეტრია გამოხატავს რაღაცის შენარჩუნებას გარკვეული ცვლილებებით ან რაიმეს შენარჩუნებას ცვლილების მიუხედავად. სიმეტრია გულისხმობს არა მხოლოდ თავად ობიექტის, არამედ მისი ნებისმიერი თვისების უცვლელობას ობიექტზე შესრულებულ გარდაქმნებთან მიმართებაში. გარკვეული ობიექტების უცვლელობა შეიძლება შეინიშნოს სხვადასხვა ოპერაციებთან მიმართებაში - ბრუნვასთან, თარგმნასთან, ნაწილების ურთიერთგამოცვლასთან, ანარეკლებთან და ა.შ. ამ მხრივ, არსებობს სხვადასხვა სახის სიმეტრია.

ასიმეტრია

ასიმეტრია არის სიმეტრიის არარსებობა ან დარღვევა.
არქიტექტურაში სიმეტრია და ასიმეტრია სივრცითი ფორმის რეგულარული ორგანიზების ორი საპირისპირო მეთოდია. არქიტექტურის განვითარებაში ასიმეტრიული კომპოზიციები წარმოიშვა, როგორც ცხოვრების პროცესების და გარემო პირობების რთული კომბინაციების განსახიერება.

დისიმეტრია

გატეხილი, ნაწილობრივ დეტონირებული სიმეტრია ჩვენ მოვუწოდებთ დისიმეტრია .
დისიმეტრია ველურ ბუნებაში ფართოდ გავრცელებული ფენომენია. ის ასევე დამახასიათებელია ადამიანებისთვის. ადამიანი დისიმეტრიულია, მიუხედავად იმისა, რომ მისი სხეულის კონტურებს აქვს სიმეტრიის სიბრტყე. დისიმეტრია გავლენას ახდენს
ერთი ხელის უკეთესი ფლობა, გულის და მრავალი სხვა ორგანოს ასიმეტრიულ მოწყობაში, ამ ორგანოების აგებულებაში.
ადამიანის სხეულის დისიმეტრიები მსგავსია და გადახრები ზუსტი სიმეტრიისგან არქიტექტურაში. ჩვეულებრივ, ისინი გამოწვეულია პრაქტიკული აუცილებლობით, იმით, რომ ფუნქციების მრავალფეროვნება არ ჯდება ხისტი სიმეტრიის კანონების საზღვრებში. ზოგჯერ ასეთი გადახრები იწვევს მწვავე ემოციურ ეფექტს.

^ მათემატიკასა და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში ნაპოვნი სიმეტრიის ტიპები:

ორმხრივი სიმეტრია- სარკის ასახვის სიმეტრია, რომელშიც ობიექტს აქვს სიმეტრიის ერთი სიბრტყე, რომლის მიმართაც მისი ორი ნახევარი სარკე სიმეტრიულია. ცხოველებში ორმხრივი სიმეტრია ვლინდება სხეულის მარცხენა და მარჯვენა ნახევრის მსგავსებაში ან თითქმის სრულ იდენტურობაში. ამ შემთხვევაში ყოველთვის არის შემთხვევითი გადახრები სიმეტრიისგან (მაგალითად, პაპილარული ხაზების განსხვავება, გემების განშტოება. ხშირად არის მცირე, მაგრამ რეგულარული განსხვავებები გარე სტრუქტურაში და უფრო მნიშვნელოვანი განსხვავებები სხეულის მარჯვენა და მარცხენა ნახევრებს შორის. შინაგანი ორგანოების მდებარეობა მაგალითად, ძუძუმწოვრებში გული ჩვეულებრივ მდებარეობს ასიმეტრიულად, მარცხნივ გადაადგილებული.

ცხოველებში, ევოლუციაში ორმხრივი სიმეტრიის გამოჩენა ასოცირდება სუბსტრატის გასწვრივ მცოცავთან (რეზერვუარის ფსკერზე), რომელთანაც ჩნდება სხეულის დორსალური და ვენტრალური, ასევე მარჯვენა და მარცხენა ნახევარი. ზოგადად, ცხოველებს შორის ორმხრივი სიმეტრია უფრო გამოხატულია აქტიურად მოძრავ ფორმებში, ვიდრე მჯდომარე მცენარეებში, ორმხრივი სიმეტრია ჩვეულებრივ არის არა მთელი ორგანიზმი, არამედ მისი ცალკეული ნაწილები - ფოთლები ან ყვავილები. ბოტანიკურად ორმხრივ სიმეტრიულ ყვავილებს ზიგომორფულს უწოდებენ.

^ n-ე რიგის სიმეტრია- სიმეტრია ბრუნვის მიმართ 360 ° / ნ კუთხით ნებისმიერი ღერძის გარშემო. აღწერილია ჯგუფის მიერ Zn.

ღერძული სიმეტრია(რადიალური სიმეტრია, სხივების სიმეტრია) - სიმეტრიის ფორმა, რომლის დროსაც სხეული (ან ფიგურა) ემთხვევა თავის თავს, როდესაც ობიექტი ბრუნავს გარკვეული წერტილის ან ხაზის გარშემო. ხშირად ეს წერტილი ემთხვევა ობიექტის სიმეტრიის ცენტრს, ანუ იმ წერტილს, სადაც
ორმხრივი სიმეტრიის ღერძების უსასრულო რაოდენობის გადაკვეთა. რადიალური სიმეტრია ფლობს გეომეტრიულ ობიექტებს, როგორიცაა წრე, ბურთი, ცილინდრი ან კონუსი. აღწერილია SO(2) ჯგუფის მიერ.

↑ სფერული სიმეტრია- სიმეტრია ბრუნვის მიმართ სამგანზომილებიან სივრცეში თვითნებური კუთხით. აღწერილია SO(3) ჯგუფის მიერ. სივრცის ან საშუალო ლოკალურ სფერულ სიმეტრიას ასევე იზოტროპიას უწოდებენ.

^ ბრუნვის სიმეტრია- ტერმინი, რომელიც ნიშნავს ობიექტის სიმეტრიას m-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ყველა ან ზოგიერთი სწორი ბრუნვის მიმართ.

^ სიმეტრია ცხოველებსა და ადამიანებში.

სიმეტრია არის სასიცოცხლო ნიშანი, რომელიც ასახავს ცხოველის სტრუქტურის, ცხოვრების წესის და ქცევის თავისებურებებს. ფორმის სიმეტრია აუცილებელია თევზის ცურვისთვის; ჩიტი საფრენად. ასე რომ, სიმეტრია ბუნებაში არსებობს მიზეზის გამო: ის ასევე სასარგებლოა, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიზანშეწონილი. ბიოლოგიაში სიმეტრიის ცენტრს აქვს: ყვავილები, მედუზა, ვარსკვლავური თევზი და ა.შ. სიმეტრიული ფორმების არსებობა უკვე ჩანს უმარტივესში - ერთუჯრედულში (ცილიატები, ამება) ადამიანის სხეული აგებულია ორმხრივი სიმეტრიის პრინციპზე. ტვინი ორ ნაწილად იყოფა. ადამიანის სხეულის ზოგადი სიმეტრიის სრული დაცვით, თითოეული ნახევარსფერო მეორის თითქმის ზუსტი სარკისებური გამოსახულებაა. ადამიანის სხეულის ძირითადი მოძრაობებისა და მისი სენსორული ფუნქციების კონტროლი თანაბრად ნაწილდება ტვინის ორ ნახევარსფეროს შორის. მარცხენა ნახევარსფერო აკონტროლებს ტვინის მარჯვენა მხარეს, ხოლო მარჯვენა ნახევარსფერო აკონტროლებს მარცხენა მხარეს. კვლევებმა აჩვენა, რომ სიმეტრიული სახე უფრო მიმზიდველია. მკვლევარები ასევე ამტკიცებენ, რომ იდეალური პროპორციების მქონე სახე იმის ნიშანია, რომ მისი მფლობელის სხეული კარგად არის მომზადებული ინფექციებთან საბრძოლველად. გაციება, ასთმა და გრიპი დიდი ალბათობით იკლებს იმ ადამიანების წინაშე, რომელთა მარცხენა მხარე ზუსტად მარჯვენას ჰგავს. და ტანსაცმელში ადამიანიც, როგორც წესი, ცდილობს შეინარჩუნოს სიმეტრიის შთაბეჭდილება: მარჯვენა ყდის შეესაბამება მარცხენას, მარჯვენა ფეხის შეესაბამება მარცხენას. პიჯაკისა და პერანგზე ღილები ზუსტად შუაზე დევს და თუ მისგან შორდება, მაშინ სიმეტრიულ მანძილზე. და ამავდროულად, ზოგჯერ ადამიანი ცდილობს ხაზი გაუსვას, გააძლიეროს განსხვავება მარცხენასა და მარჯვენას შორის. შუა საუკუნეებში კაცები ერთ დროს ფრიალებდნენ პანტალონებს სხვადასხვა ფერის ფეხებით (მაგალითად, ერთი წითელი და მეორე შავი ან თეთრი). მაგრამ
ასეთი მოდა ყოველთვის ხანმოკლეა. მხოლოდ ტაქტიანი, მოკრძალებული გადახრები სიმეტრიისგან რჩება დიდი ხნის განმავლობაში.

სიმეტრია ხელოვნებაში

სიმეტრია ზოგადად ხელოვნებაში და კონკრეტულად ვიზუალურ ხელოვნებაში სათავეს იღებს რეალობაში, სავსეა სიმეტრიულად განლაგებული ფორმებით.
კომპოზიციის სიმეტრიულ ორგანიზაციას ახასიათებს მისი ნაწილების წონასწორობა მასის, ტონის, ფერისა და თუნდაც ფორმის მიხედვით. ასეთ შემთხვევებში ერთი ნაწილი მეორის თითქმის სარკისებური გამოსახულებაა. სიმეტრიულ კომპოზიციებში ყველაზე ხშირად არის გამოხატული ცენტრი. როგორც წესი, იგი ემთხვევა სურათის სიბრტყის გეომეტრიულ ცენტრს. თუ გაქრობის წერტილი გადაადგილებულია ცენტრიდან, ერთ-ერთი ნაწილი უფრო დატვირთულია მასის მხრივ, ან გამოსახულება დიაგონალზეა აგებული, ეს ყველაფერი კომპოზიციის დინამიურობას ასახავს და გარკვეულწილად არღვევს იდეალურ წონასწორობას.
სიმეტრიის წესს იყენებდნენ ძველი საბერძნეთის მოქანდაკეები. მაგალითია ზევსისა და ოლიმპიას ტაძრის დასავლეთ ფრონტონის კომპოზიცია. მას საფუძვლად უდევს ლაპიტების (ბერძნების) ბრძოლა კენტავრებთან ღმერთის აპოლონის თანდასწრებით. მოძრაობა თანდათან იზრდება კიდეებიდან ცენტრისკენ. იგი ექსპრესიულობის ზღვარს აღწევს ორი ახალგაზრდა მამაკაცის გამოსახულებაში, რომლებიც კენტავრებს ატრიალებდნენ. მზარდი მოძრაობა, როგორც ეს იყო, მაშინვე წყდება აპოლონის ფიგურის მიდგომებზე, რომელიც მშვიდად და დიდებულად დგას ფრონტონის ცენტრში.
მე-5 საუკუნის ცნობილი მხატვრების დაკარგული ნამუშევრების იდეა. ე. შეიძლება შედგენილი იყოს უძველესი ვაზის მხატვრობიდან და პომპეის ფრესკებიდან, შთაგონებული, როგორც მკვლევარები მიიჩნევენ, კლასიკური ეპოქის ბერძენი ოსტატების ნამუშევრებით ...
სიმეტრიული კომპოზიციები შეიმჩნეოდა აგრეთვე ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV-III საუკუნეების ბერძენ ოსტატებს შორის. ე. ამის შესახებ შეიძლება ვიმსჯელოთ ფრესკების ასლებით. პომპეის ფრესკებში მთავარი ფიგურები პირამიდული კომპოზიციის ცენტრშია, რომელიც სიმეტრიით გამოირჩევა.
მხატვრები ხშირად მიმართავდნენ სიმეტრიის წესებს, როდესაც ასახავდნენ საზეიმო ხალხმრავალ შეხვედრებს, აღლუმებს, შეხვედრებს დიდ დარბაზებში და ა.შ.
დიდი ყურადღება დაეთმო სიმეტრიის წესს ადრეული რენესანსის მხატვრებმა, რასაც მონუმენტური მხატვრობა მოწმობს (მაგალითად, ჯოტოს ფრესკები). მაღალი რენესანსის დროს იტალიურმა კომპოზიციამ სიმწიფეს მიაღწია. მაგალითად, ნახატში „წმინდა ანა მარიამთან და ქრისტეს შვილთან ერთად“, ლეონარდო და ვინჩი აწყობს სამ ფიგურას ზევით მიმართულ სამკუთხედად. ქვედა მარჯვენა კუთხეში ის კრავის ფიგურას აძლევს პატარა ქრისტეს ხელში. ყველაფერი ისეა მოწყობილი, რომ ეს სამკუთხედი მხოლოდ ფიგურათა მოცულობით-სივრცითი ჯგუფის ქვეშ არის გამოცნობილი.
ლეონარდო და ვინჩის ბოლო ვახშამი ასევე შეიძლება ეწოდოს სიმეტრიულ კომპოზიციას. ეს ფრესკა გვიჩვენებს დრამატულ მომენტს, როდესაც
ქრისტემ უთხრა თავის მოწაფეებს: „ერთი თქვენგანი გამცემს მე“. მოციქულთა ფსიქოლოგიური რეაქცია ამ წინასწარმეტყველურ სიტყვებზე პერსონაჟებს აკავშირებს კომპოზიციურ ცენტრთან, რომელშიც ქრისტეს ფიგურა მდებარეობს. ამ ცენტრიდანული კომპოზიციის მთლიანობის შთაბეჭდილებას კიდევ უფრო აძლიერებს ის ფაქტი, რომ მხატვარმა სატრაპეზო ოთახი პერსპექტიულად აჩვენა ფანჯრის შუაში პარალელური ხაზების გაქრობის წერტილით, რომლის წინააღმდეგაც აშკარად არის დახატული ქრისტეს თავი. ამრიგად, მაყურებლის მზერა უნებურად არის მიმართული სურათის ცენტრალურ ფიგურაზე.
სიმეტრიის შესაძლებლობებს ასახავს ნაწარმოებებს შორის, ასევე შეიძლება დავასახელოთ რაფაელის ნიშნობა მარიამის შესახებ, სადაც რენესანსისთვის დამახასიათებელმა კომპოზიციურმა ტექნიკამ ყველაზე სრულყოფილი გამოხატულება ჰპოვა.
ვ.მ. ვასნეცოვის ნახატი "ბოგატირები" ასევე აგებულია სიმეტრიის წესის საფუძველზე. კომპოზიციის ცენტრია ილია მურომეცის ფიგურა. მარცხნივ და მარჯვნივ, თითქოს სარკისებურად, მოთავსებულია ალიოშა პოპოვიჩი და დობრინია ნიკიტიჩი. ფიგურები განლაგებულია სურათის სიბრტყის გასწვრივ, რომელიც მშვიდად ზის ცხენებზე. კომპოზიციის სიმეტრიული კონსტრუქცია ფარდობითი დასვენების მდგომარეობას გადმოსცემს. მემარცხენე და მემარჯვენე ფიგურები მასობრივად ერთნაირი არ არის, რაც ავტორის იდეოლოგიური ჩანაფიქრით არის განპირობებული. მაგრამ ორივე მათგანი ნაკლებად ძლიერია მურომეცის ფიგურასთან შედარებით და მთლიანობაში სრულ ბალანსს ანიჭებს კომპოზიციას.
კომპოზიციის სტაბილურობა მაყურებელს აგრძნობინებს თავდაჯერებულობას გმირების, რუსული მიწის დამცველების უძლეველობაში. უფრო მეტიც, „ბოგატირსში“ მოქმედებაში გადასვლის პირას დაძაბული დასვენების მდგომარეობაა გადმოცემული. და ეს ნიშნავს, რომ სიმეტრია ასევე ატარებს დინამიური მოძრაობის ჩანასახს დროსა და სივრცეში.

სიმეტრია ალგებრაში.

კვადრატული განტოლების ფესვების უმარტივესი სიმეტრიული გამონათქვამები გვხვდება ვიეტას თეორემაში. ეს საშუალებას აძლევს მათ გამოიყენონ კვადრატულ განტოლებასთან დაკავშირებული ზოგიერთი ამოცანის გადაჭრაში. განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1:

Კვადრატული განტოლება აქვს ფესვები და. ამ განტოლების ამოხსნის გარეშე, ჩვენ გამოვხატავთ კუთხით და ჯამებით, . გამოთქმა სიმეტრიულია და . ჩვენ გამოვხატავთ მათ + და ში, შემდეგ ვიყენებთ ვიეტას თეორემას.

მთავარი > გამოსავალი

რაციონალური განტოლებები და უტოლობა

I. რაციონალური განტოლებები.

წრფივი განტოლებები.

წრფივი განტოლებათა სისტემები.

დაბრუნების განტოლებები.

ვიეტას ფორმულა უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრებისთვის.

მეორე ხარისხის განტოლებათა სისტემები.

განტოლებებისა და განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ახალი უცნობების შემოტანის მეთოდი.

ჰომოგენური განტოლებები.

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

განტოლებები და განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით.

არაწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი.

მოდულის ნიშნის შემცველი განტოლებები.

რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

II. რაციონალური უტოლობები.

ეკვივალენტური უტოლობების თვისებები.

ალგებრული უტოლობები.

ინტერვალის მეთოდი.

წილად-რაციონალური უტოლობა.

უცნობის შემცველი უტოლობა აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნით.

უტოლობები პარამეტრებთან.

რაციონალური უტოლობების სისტემები.

უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა.

III. გადამოწმების ტესტი.

რაციონალური განტოლებები

ნახვის ფუნქცია

P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,

სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, a 0, a 1,…, a n არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, ეწოდება მთლიან რაციონალურ ფუნქციას.

P(x) = 0 ფორმის განტოლებას, სადაც P(x) არის მთელი რაციონალური ფუნქცია, ეწოდება მთლიანი რაციონალური განტოლება.

ტიპის განტოლება

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

სადაც P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) არის მთელი რაციონალური ფუნქციები, ეწოდება რაციონალური განტოლება .

რაციონალური განტოლების ამოხსნა P (x) / Q (x) = 0, სადაც P (x) და Q (x) არის პოლინომები (Q (x)  0), მცირდება განტოლების ამოხსნამდე P (x) = 0 და შემოწმება აკმაყოფილებს თუ არა ფესვები Q (x)  0 პირობას.

წრფივი განტოლებები.

ax+b=0 ფორმის განტოლებას, სადაც a და b ზოგიერთი მუდმივია, წრფივი განტოლება ეწოდება.

თუ a0, მაშინ წრფივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: x = -b /a.

თუ a=0; b0, მაშინ წრფივ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

თუ a=0; b=0, მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლების გადაწერით ax = -b სახით, ადვილი მისახვედრია, რომ ნებისმიერი x არის წრფივი განტოლების ამონახსნი.

სწორხაზოვან განტოლებას აქვს ფორმა: y = ax + b.

თუ წრფე გადის წერტილში X 0 და Y 0 კოორდინატებით, მაშინ ეს კოორდინატები აკმაყოფილებენ წრფის განტოლებას, ანუ Y 0 = aX 0 + b.

მაგალითი 1.1. განტოლების ამოხსნა

2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.

გადაწყვეტილება. გავაფართოვოთ ფრჩხილები სათითაოდ, მივცეთ მსგავსი პირობები და ვიპოვოთ x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

მაგალითი 1.2.განტოლების ამოხსნა

2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.

გადაწყვეტილება. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.

პასუხი: .

მაგალითი 1.3. ამოხსენით განტოლება.

2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.

გადაწყვეტილება. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

- 4x + 9 = 9 - 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

პასუხი: ნებისმიერი ნომერი.

წრფივი განტოლებათა სისტემები.

ტიპის განტოლება

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

სადაც a 1 , b 1 , … ,a n , b არის გარკვეული მუდმივები, ეწოდება წრფივი განტოლება n უცნობით x 1 , x 2 , …, x n .

განტოლებათა სისტემას წრფივი ეწოდება, თუ სისტემაში ყველა განტოლება წრფივია. თუ სისტემა შედგება n უცნობისგან, მაშინ შესაძლებელია შემდეგი სამი შემთხვევა:

სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები;

სისტემას აქვს ზუსტად ერთი გამოსავალი;

სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

მაგალითი 2.4.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გადაწყვეტილება. წრფივი განტოლებათა სისტემა შეიძლება ამოხსნას ჩანაცვლების მეთოდით, რომელიც მოიცავს ერთი უცნობის გამოხატვას სისტემის ნებისმიერი განტოლების სხვა უცნობის მიხედვით და შემდეგ ამ უცნობის მნიშვნელობის დანარჩენ განტოლებებში ჩანაცვლება.

პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ: x = (8 - 3y) / 2. ამ გამოსახულებას ვცვლით მეორე განტოლებაში და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას.

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. მეორე განტოლებიდან ვიღებთ y \u003d 2. ამის გათვალისწინებით, პირველი განტოლებიდან x \u003d 1. პასუხი: (1; 2) მაგალითი 2.5. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გადაწყვეტილება. სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ვინაიდან სისტემის ორი განტოლება არ შეიძლება დაკმაყოფილდეს ერთდროულად (პირველი განტოლებიდან x + y = 3, ხოლო მეორედან x + y = 3.5).

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი 2.6. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გადაწყვეტილება. სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი ამონახსნები, რადგან მეორე განტოლება მიიღება პირველიდან 2-ზე გამრავლებით (ანუ, ფაქტობრივად, არსებობს მხოლოდ ერთი განტოლება ორი უცნობით).

პასუხი: უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

მაგალითი 2.7. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

x + y - z = 2,

2x – y + 4z = 1,

გადაწყვეტილება. წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას მოსახერხებელია გამოიყენოს გაუსის მეთოდი, რომელიც შედგება სისტემის სამკუთხა ფორმაში გადაქცევაში.

სისტემის პირველ განტოლებას ვამრავლებთ - 2-ზე და მეორე განტოლებით მიღებულ შედეგს დავამატებთ, მივიღებთ - 3y + 6z \u003d - 3. ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც y - 2z \u003d 1. პირველი განტოლების დამატება. მესამესთან ერთად ვიღებთ 7y \u003d 7, ან y = 1.

ამრიგად, სისტემამ სამკუთხა ფორმა მიიღო

x + y - z = 2,

y = 1 მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ z = 0. y =1 და z = 0 ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში ვპოულობთ x = 1. პასუხი: (1; 1; 0) მაგალითი 2.8. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლებათა სისტემა

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი? გადაწყვეტილება. პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ x:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1.

ამ გამოხატვის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

ბოლო განტოლების გაანალიზებისას აღვნიშნავთ, რომ a = 3-ს აქვს ფორმა 0y = 0, ე.ი. ის დაკმაყოფილებულია y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობით. პასუხი: 3.

კვადრატული განტოლებები და მათზე შემცირებული განტოლებები.

ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი (a0);

x არის ცვლადი, რომელსაც ეწოდება კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულა.

პირველ რიგში, ax 2 + bx + c = 0 განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ a-ზე - ეს არ შეცვლის მის ფესვებს. მიღებული განტოლების ამოსახსნელად

x 2 + (ბ / ა) x + (გ / ა) = 0

აირჩიეთ სრული კვადრატი მარცხენა მხარეს

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / ა) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).

მოკლედ, ჩვენ აღვნიშნავთ გამონათქვამს (b 2 - 4ac) D-ით. შემდეგ მიღებული იდენტობა იღებს ფორმას.

შესაძლებელია სამი შემთხვევა:

თუ რიცხვი D დადებითია (D > 0), მაშინ ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ავიღოთ D-ის კვადრატული ფესვი და დავწეროთ D როგორც D = (D) 2 . მერე

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, ამიტომ იდენტურობა იღებს ფორმას

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .

კვადრატების განსხვავების ფორმულის მიხედვით, აქედან გამომდინარეობს:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) - (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).

თეორემა:თუ ვინაობა ინარჩუნებს

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),

მაშინ კვადრატულ განტოლებას ax 2 + bx + c \u003d 0 X 1  X 2 აქვს ორი ფესვი X 1 და X 2, ხოლო X 1 \u003d X 2 - მხოლოდ ერთი ფესვი X 1.

ამ თეორემის ძალით, ზემოთ მიღებული იდენტობიდან გამომდინარეობს, რომ განტოლება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

და ამრიგად, განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს ორი ფესვი:

X 1 \u003d (-b +  D) / 2a; X 2 \u003d (-b -  D) / 2a.

ამრიგად x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1) (x - x2).

ჩვეულებრივ, ეს ფესვები იწერება ერთი ფორმულით:

სადაც b 2 - 4ac \u003d D.

თუ რიცხვი D უდრის ნულს (D = 0), მაშინ იდენტურობა

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

იღებს ფორმას x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

აქედან გამომდინარეობს, რომ D = 0-სთვის განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს 2 სიმრავლის ერთი ფესვი: X 1 = - b / 2a

3) თუ რიცხვი D უარყოფითია (D< 0), то – D >0 და, შესაბამისად, გამოხატულება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

არის ორი წევრის ჯამი, რომელთაგან ერთი არის არაუარყოფითი და მეორე დადებითი. ასეთი ჯამი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ განტოლება

x 2 + (ბ / ა) x + (გ / ა) = 0

არ აქვს ნამდვილი ფესვები. არც განტოლება ax 2 + bx + c = 0.

ამრიგად, კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად, უნდა გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი

D \u003d b 2 - 4ac.

თუ D = 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი:

თუ D > 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).

თუ დ< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

თუ ერთ-ერთი კოეფიციენტი b ან c უდრის ნულს, მაშინ კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას დისკრიმინანტის გამოთვლის გარეშე:

b = 0; c  0; გ/ა<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c = 0 გვხვდება ფორმულით

კვადრატულ განტოლებას, რომელშიც კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის 1-ს, ეწოდება შემცირებული. როგორც წესი, მოცემული კვადრატული განტოლება აღინიშნება შემდეგნაირად:

x 2 + px + q = 0.

ვიეტას თეორემა.

ჩვენ გამოვიყვანეთ იდენტობა

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),

სადაც X 1 და X 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c =0. მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები ამ იდენტობის მარჯვენა მხარეს.

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

აქედან გამომდინარეობს, რომ X 1 + X 2 = - b / a და X 1 X 2 = c / a. ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი თეორემა, რომელიც პირველად დაადგინა ფრანგმა მათემატიკოსმა ფ. ვიეტმა (1540 - 1603 წწ.):

თეორემა 1 (ვიეტა). კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის X-ის კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით და გაყოფილი X 2-ის კოეფიციენტზე; ამ განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს გაყოფილი X 2-ზე კოეფიციენტზე.

თეორემა 2 (უკუ). თუ თანასწორობები

X 1 + X 2 \u003d - b / a და X 1 X 2 \u003d c / a,

მაშინ X 1 და X 2 რიცხვები არის კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c = 0.

კომენტარი. ფორმულები X 1 + X 2 \u003d - b / a და X 1 X 2 \u003d c / a რჩება ჭეშმარიტი იმ შემთხვევაშიც კი, როდესაც განტოლებას ax 2 + bx + c \u003d 0 აქვს ერთი ფესვი X 1 სიმრავლის 2, თუ ჩვენ ვსვამთ მითითებულ ფორმულებს X 2 = X 1 . აქედან გამომდინარე, ზოგადად მიღებულია, რომ D = 0-სთვის განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს ორი ფესვი, რომლებიც ემთხვევა ერთმანეთს.

ვიეტას თეორემასთან დაკავშირებული ამოცანების გადაჭრისას სასარგებლოა მიმართებების გამოყენება

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).

მაგალითი 3.9.ამოხსენით განტოლება 2x 2 + 5x - 1 = 0.

გადაწყვეტილება. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

პასუხი: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

მაგალითი 3.10.ამოხსენით განტოლება x 3 - 5x 2 + 6x = 0

გადაწყვეტილება. მოდით გავამრავლოთ განტოლების მარცხენა მხარე x(x 2 - 5x + 6) = 0,

აქედან გამომდინარე, x \u003d 0 ან x 2 - 5x + 6 \u003d 0.

კვადრატული განტოლების ამოხსნით, ვიღებთ X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.

პასუხი: 0; 2; 3.

მაგალითი 3.11.

x 3 - 3x + 2 = 0. ამოხსნა. მოდით გადავიწეროთ განტოლება, დავწეროთ -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0 და ახლა ვაჯგუფებთ x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. პასუხი: x 1 = x 3 = 1, x 2 = - 2. მაგალითი 3.12. 7 განტოლების ამოხსნა