პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია, ე.ი. დაწექი პარალელურ ხაზებზე

პარალელოგრამის თვისებები:
თეორემა 22. პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები ტოლია.
მტკიცებულება. დახაზეთ AC დიაგონალი ABCD პარალელოგრამზე. სამკუთხედები ACD და ACB თანმიმდევრულია, რადგან აქვთ საერთო გვერდი AC და ორი წყვილი თანაბარი კუთხე. მის მიმდებარედ: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (როგორც ჯვარედინი კუთხეები AD და BC პარალელური ხაზებით). აქედან გამომდინარე, AB=CD და BC=AD, როგორც ტოლი სამკუთხედების შესაბამისი გვერდები და ა.შ. ამ სამკუთხედების ტოლობა ასევე გულისხმობს სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეების ტოლობას:
თეორემა 23. პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეებია: ∠ A=∠ C და ∠ B=∠ D.
პირველი წყვილის ტოლობა მოდის ABD და CBD სამკუთხედების ტოლობიდან, ხოლო მეორე - ABC და ACD.
თეორემა 24. პარალელოგრამის მეზობელი კუთხეები, ე.ი. ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეები ემატება 180 გრადუსს.
ეს იმიტომ ხდება, რომ ისინი შიდა ცალმხრივი კუთხეებია.
თეორემა 25. პარალელოგრამის დიაგონალები ერთმანეთს კვეთენ მათი გადაკვეთის წერტილში.
მტკიცებულება. განვიხილოთ სამკუთხედები BOC და AOD. პირველი თვისების მიხედვით, AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV და ∠ ОDA=∠ ОВС, როგორც AD და BC პარალელური წრფეების გასწვრივ. მაშასადამე, BOC და AOD სამკუთხედები ტოლია გვერდით და მის მიმდებარე კუთხეებით. აქედან გამომდინარე, BO=OD და AO=OC, როგორც ტოლი სამკუთხედების შესაბამისი გვერდები და ა.შ.

პარალელოგრამის მახასიათებლები
თეორემა 26. თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე მხარეები წყვილებში ტოლია, მაშინ ის პარალელოგრამია.
მტკიცებულება. დაე, ოთხკუთხედს ABCD ჰქონდეს გვერდები AD და BC, AB და CD, შესაბამისად, ტოლები (ნახ. 2). დავხატოთ AC დიაგონალი. სამკუთხედს ABC და ACD აქვს სამი თანაბარი გვერდი. მაშინ კუთხეები BAC და DCA ტოლია და ამიტომ AB არის CD-ის პარალელურად. BC და AD გვერდების პარალელიზმი გამომდინარეობს CAD და DIA კუთხეების ტოლობიდან.
თეორემა 27. თუ ოთხკუთხედის საპირისპირო კუთხეები წყვილებში ტოლია, მაშინ ის პარალელოგრამია.
მოდით ∠ A=∠ C და ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, შემდეგ ∠ A+∠ B=180 o და AD და BC გვერდები პარალელურია (პარალელური წრფეების საფუძველზე). ჩვენ ასევე ვამტკიცებთ AB და CD გვერდების პარალელიზმს და დავასკვნით, რომ ABCD განსაზღვრებით პარალელოგრამია.
თეორემა 28. თუ ოთხკუთხედის მიმდებარე კუთხეები, ე.ი. ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეები ემატება 180 გრადუსს, მაშინ ეს არის პარალელოგრამი.
თუ შიდა ცალმხრივი კუთხეები ემატება 180 გრადუსს, მაშინ ხაზები პარალელურია. ეს ნიშნავს, რომ AB არის წყვილი CD და BC არის წყვილი AD. ოთხკუთხედი გამოდის პარალელოგრამი განსაზღვრებით.
თეორემა 29. თუ ოთხკუთხედის დიაგონალები გადაკვეთის ადგილას ორმხრივ იყოფა შუაზე, მაშინ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
მტკიცებულება. თუ AO=OC, BO=OD, მაშინ სამკუთხედები AOD და BOC ტოლია, რადგან აქვთ თანაბარი კუთხეები (ვერტიკალური) O წვეროზე, ჩასმული ტოლ გვერდებს შორის. სამკუთხედების ტოლობიდან ვასკვნით, რომ AD და BC ტოლია. გვერდები AB და CD ასევე ტოლია და ოთხკუთხედი აღმოჩნდება პარალელოგრამი 1-ლი მახასიათებლის მიხედვით.
თეორემა 30. თუ ოთხკუთხედს აქვს წყვილი თანაბარი, პარალელური გვერდი, მაშინ ის პარალელოგრამია.
მოდით, AB და CD გვერდები იყოს პარალელური და ტოლი ოთხკუთხედში ABCD. დახაზეთ დიაგონალები AC და BD. ამ წრფეების პარალელიზმიდან გამომდინარეობს ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობა ABO=CDO და BAO=OCD. სამკუთხედები ABO და CDO ტოლია გვერდით და მიმდებარე კუთხით. ამიტომ, AO=OC, BO=OD, ე.ი. გადაკვეთის წერტილის დიაგონალები იყოფა ნახევრად და ოთხკუთხედი აღმოჩნდება პარალელოგრამი 4-ის მიხედვით.

გეომეტრიაში განიხილება პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევები.

დავალება 1. პარალელოგრამის ერთ-ერთი კუთხეა 65°. იპოვეთ პარალელოგრამის დარჩენილი კუთხეები.

∠C = ∠A = 65°, როგორც პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები.

∠A + ∠B = 180°, როგორც კუთხეები პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარედ.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D = ∠B = 115°, როგორც პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები.

პასუხი: ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°.

დავალება 2.პარალელოგრამის ორი კუთხის ჯამი არის 220°. იპოვეთ პარალელოგრამის კუთხეები.

ვინაიდან პარალელოგრამს აქვს 2 ტოლი მახვილი კუთხე და 2 ტოლი ბლაგვი კუთხე, მოცემულია ორი ბლაგვი კუთხის ჯამი, ე.ი. ∠B +∠D = 220°. შემდეგ ∠В =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180°, როგორც კუთხეები პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარედ, ამიტომ ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. შემდეგ ∠C =∠A = 70°.

პასუხი: ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°.

დავალება 3.პარალელოგრამის ერთი კუთხე 3-ჯერ მეტია მეორეზე. იპოვეთ პარალელოგრამის კუთხეები.

მოდით ∠A =x. შემდეგ ∠B = 3x. იმის ცოდნა, რომ პარალელოგრამის ერთ-ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი უდრის 180 °, ჩვენ ვადგენთ განტოლებას.

x = 180 : 4;

ჩვენ ვიღებთ: ∠A \u003d x \u003d 45 ° და ∠ B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ტოლია

∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.

პასუხი: ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.

დავალება 4.დაამტკიცეთ, რომ თუ ოთხკუთხედის ორი გვერდი პარალელურია და ტოლია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

მტკიცებულება.

დახაზეთ BD დიაგონალი და განიხილეთ Δ ADB და Δ CBD.

AD = BC პირობით. BD მხარე საერთოა. ∠1 = ∠2 როგორც შიდა გადაკვეთა პარალელური (ვარაუდით) AD და BC ხაზების ქვეშ და სკანტური BD. მაშასადამე, Δ ADB = Δ CBD ორ მხარეს და მათ შორის კუთხე (სამკუთხედების ტოლობის 1-ლი კრიტერიუმი). თანმიმდევრულ სამკუთხედებში შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ამიტომ ∠3 = ∠4. და ეს კუთხეები შიდა ჯვარედინი მდგომარეობს AB და CD ხაზებთან და სეკანტურ BD ხაზებთან. ეს გულისხმობს AB და CD წრფეების პარალელიზმს. ამგვარად, მოცემულ ოთხკუთხედში ABCD მოპირდაპირე გვერდები წყვილ-წყვილად პარალელურია, შესაბამისად, განმარტებით ABCD არის პარალელოგრამი, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.

დავალება 5.პარალელოგრამის ორი გვერდი დაკავშირებულია როგორც 2 : 5, ხოლო პერიმეტრი 3,5 მ იპოვეთ პარალელოგრამის გვერდები.

∙ (AB+AD).

ერთი ნაწილი ავღნიშნოთ x-ით. შემდეგ AB = 2x, AD = 5x მეტრი. იმის ცოდნა, რომ პარალელოგრამის პერიმეტრია 3,5 მ, ჩვენ ვწერთ განტოლებას:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x=3.5;

x=3.5 : 14;

ერთი ნაწილი არის 0,25 მ, შემდეგ AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 მ; AD=5 ∙ 0,25 = 1,25 მ.

ექსპერტიზა.

პარალელოგრამის პერიმეტრი P ABCD = 2 ∙ (AB+AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (მ).

ვინაიდან პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები ტოლია, მაშინ CD = AB = 0,25 მ; BC = AD = 1,25 მ.

პასუხი: CD = AB = 0,25 მ; BC = AD = 1,25 მ.

ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა ამოხსნათ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია. ეს განმარტება უკვე საკმარისია, ვინაიდან პარალელოგრამის დარჩენილი თვისებები მისგან გამომდინარეობს და დადასტურებულია თეორემების სახით.

პარალელოგრამის ძირითადი თვისებებია:

• პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი;
• პარალელოგრამს აქვს მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში ტოლი;
• პარალელოგრამს აქვს მოპირდაპირე კუთხეები, რომლებიც ტოლია წყვილებში;
• პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით.

პარალელოგრამი - ამოზნექილი ოთხკუთხედი

ჯერ დავამტკიცოთ თეორემა, რომ პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი. მრავალკუთხედი ამოზნექილია, როდესაც მისი რომელი გვერდი გაჭიმულია სწორ ხაზამდე, მრავალკუთხედის ყველა სხვა მხარე იქნება ამ სწორი ხაზის იმავე მხარეს.

მიეცეს პარალელოგრამი ABCD, რომელშიც AB არის მოპირდაპირე მხარე CD-სთვის, ხოლო BC არის მოპირდაპირე მხარე AD-სთვის. შემდეგ პარალელოგრამის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ AB || CD, BC || ახ.წ.

პარალელურ სეგმენტებს არ აქვთ საერთო წერტილები, ისინი არ იკვეთებიან. ეს ნიშნავს, რომ CD დევს AB-ის ერთ მხარეს. ვინაიდან BC სეგმენტი აკავშირებს AB სეგმენტის B წერტილს CD სეგმენტის C წერტილთან, ხოლო AD სეგმენტი აკავშირებს სხვა AB და CD წერტილებს, BC და AD სეგმენტები ასევე დევს AB ხაზის იმავე მხარეს, სადაც არის CD. ამრიგად, სამივე მხარე - CD, BC, AD - AB-ის ერთ მხარეს დევს.

ანალოგიურად, დადასტურდა, რომ პარალელოგრამის სხვა გვერდებთან მიმართებაში, დანარჩენი სამი მხარე ერთ მხარეს დევს.

მოპირდაპირე მხარეები და კუთხეები ტოლია

პარალელოგრამის ერთ-ერთი თვისებაა ის პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები და მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია. მაგალითად, თუ პარალელოგრამი მოცემულია ABCD, მაშინ მას აქვს AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. ეს თეორემა შემდეგნაირად არის დადასტურებული.

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი. ასე რომ, მას აქვს ორი დიაგონალი. ვინაიდან პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი, ნებისმიერი მათგანი ყოფს მას ორ სამკუთხედად. განვიხილოთ სამკუთხედები ABC და ADC პარალელოგრამაში ABCD, რომელიც მიღებულია AC დიაგონალის დახაზვით.

ამ სამკუთხედებს ერთი გვერდი აქვთ საერთო - AC. კუთხე BCA უდრის CAD კუთხით, ისევე როგორც ვერტიკალები პარალელური BC და AD. კუთხეები BAC და ACD ასევე ტოლია, ისევე როგორც ვერტიკალური კუთხეები, როდესაც AB და CD პარალელურია. ამიტომ, ∆ABC = ∆ADC ორ კუთხით და მათ შორის მდებარე გვერდით.

ამ სამკუთხედებში AB გვერდი შეესაბამება CD მხარეს, ხოლო BC გვერდი შეესაბამება AD. ამიტომ, AB = CD და BC = AD.

კუთხე B შეესაბამება D კუთხეს, ანუ ∠B = ∠D. პარალელოგრამის A კუთხე არის ორი კუთხის ჯამი - ∠BAC და ∠CAD. კუთხე C ტოლი შედგება ∠BCA და ∠ACD-ისგან. ვინაიდან კუთხეების წყვილი ერთმანეთის ტოლია, მაშინ ∠A = ∠C.

ამრიგად, დადასტურდა, რომ პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები და კუთხეები ტოლია.

შუაზე გაჭრილი დიაგონალები

ვინაიდან პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი, მას აქვს ორი ორი დიაგონალი და ისინი იკვეთებიან. მიეცით პარალელოგრამი ABCD, მისი დიაგონალები AC და BD იკვეთება E წერტილში. განვიხილოთ მათ მიერ წარმოქმნილი სამკუთხედები ABE და CDE.

ამ სამკუთხედებს აქვთ AB და CD გვერდები პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების ტოლი. კუთხე ABE უდრის CDE კუთხს, რადგან ისინი მდებარეობენ პარალელურ ხაზებზე AB და CD. ამავე მიზეზით, ∠BAE = ∠DCE. აქედან გამომდინარე, ∆ABE = ∆CDE ორ კუთხით და მათ შორის მდებარე გვერდით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ AEB და CED კუთხეები ვერტიკალურია და, შესაბამისად, ერთმანეთის ტოლია.

ვინაიდან სამკუთხედები ABE და CDE ერთმანეთის ტოლია, ასე რომ, ყველა მათი შესაბამისი ელემენტი. პირველი სამკუთხედის AE გვერდი შეესაბამება მეორის CE მხარეს, ამიტომ AE = CE. ანალოგიურად, BE = DE. თანაბარი სეგმენტების თითოეული წყვილი ქმნის პარალელოგრამის დიაგონალს. ამრიგად, დადასტურებულია, რომ პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით.

საშუალო დონე

პარალელოგრამი, მართკუთხედი, რომბი, კვადრატი (2019)

1. პარალელოგრამი

რთული სიტყვა „პარალელოგრამი“? და მის უკან არის ძალიან მარტივი ფიგურა.

ანუ, ჩვენ ავიღეთ ორი პარალელური ხაზი:

გადაკვეთა კიდევ ორი:

შიგნით კი - პარალელოგრამი!

რა თვისებები აქვს პარალელოგრამს?

პარალელოგრამის თვისებები.

ანუ რა შეიძლება გამოვიყენოთ თუ პრობლემაში პარალელოგრამია მოცემული?

ამ კითხვაზე პასუხი გაცემულია შემდეგი თეორემით:

მოდით დავხატოთ ყველაფერი დეტალურად.

Რას თეორემის პირველი წერტილი? და ის ფაქტი, რომ თუ თქვენ გაქვთ პარალელოგრამი, მაშინ აუცილებლად

მეორე აბზაცი ნიშნავს, რომ თუ არის პარალელოგრამი, მაშინ, ისევ, აუცილებლად:

და ბოლოს, მესამე წერტილი ნიშნავს, რომ თუ პარალელოგრამი გაქვთ, მაშინ დარწმუნდით:

ნახეთ, რა სიმდიდრეა არჩევანი? რა გამოვიყენოთ დავალებაში? შეეცადეთ ფოკუსირება მოახდინოთ დავალების საკითხზე, ან უბრალოდ სცადეთ ყველაფერი თავის მხრივ - რაიმე სახის "გასაღები" გამოდგება.

ახლა კი დავუსვათ საკუთარ თავს კიდევ ერთი შეკითხვა: როგორ ამოვიცნოთ პარალელოგრამი „სახეზე“? რა უნდა დაემართოს ოთხკუთხედს, რომ ჩვენ გვქონდეს უფლება მივცეთ მას პარალელოგრამის „სათაური“?

ამ კითხვას პასუხობს პარალელოგრამის რამდენიმე ნიშანი.

პარალელოგრამის მახასიათებლები.

ყურადღება! დაწყება.

პარალელოგრამი.

მიაქციეთ ყურადღება: თუ თქვენს პრობლემაში ერთი ნიშანი მაინც იპოვეთ, მაშინ ზუსტად პარალელოგრამი გაქვთ და შეგიძლიათ გამოიყენოთ პარალელოგრამის ყველა თვისება.

2. მართკუთხედი

არა მგონია, ეს თქვენთვის სიახლე იყოს.

პირველი კითხვაა: არის თუ არა მართკუთხედი პარალელოგრამი?

რა თქმა უნდა არის! ბოლოს და ბოლოს, მას აქვს - გახსოვთ, ჩვენი ნიშანი 3?

და აქედან, რა თქმა უნდა, აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხედისთვის, როგორც ნებისმიერი პარალელოგრამისთვის, და, და დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით შუაზე.

მაგრამ არის მართკუთხედი და ერთი გამორჩეული თვისება.

მართკუთხედის თვისება

რატომ არის ეს ქონება გამორჩეული? რადგან არცერთ სხვა პარალელოგრამს არ აქვს თანაბარი დიაგონალები. უფრო ნათლად ჩამოვაყალიბოთ.

ყურადღება მიაქციეთ: იმისათვის, რომ ოთხკუთხედი გახდეს, ოთხკუთხედი ჯერ პარალელოგრამი უნდა იქცეს, შემდეგ კი დიაგონალების ტოლობა წარმოადგინოს.

3. ბრილიანტი

და ისევ ისმის კითხვა: რომბი პარალელოგრამია თუ არა?

სრული უფლებით - პარალელოგრამი, რადგან მას აქვს და (გაიხსენეთ ჩვენი ნიშანი 2).

და კიდევ, რადგან რომბი არის პარალელოგრამი, მაშინ მას უნდა ჰქონდეს პარალელოგრამის ყველა თვისება. ეს ნიშნავს, რომ რომბს აქვს საპირისპირო კუთხეები ტოლი, მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია და დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით.

რომბის თვისებები

Შეხედე სურათს:

როგორც მართკუთხედის შემთხვევაში, ეს თვისებები გამორჩეულია, ანუ თითოეული ამ თვისებისთვის შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გვაქვს არა მხოლოდ პარალელოგრამი, არამედ რომბი.

რომბის ნიშნები

და კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება: უნდა იყოს არა მხოლოდ ოთხკუთხედი პერპენდიკულარული დიაგონალებით, არამედ პარალელოგრამი. Დარწმუნდი:

არა, რა თქმა უნდა არა, თუმცა მისი დიაგონალები და პერპენდიკულარულია, ხოლო დიაგონალი არის u კუთხეების ბისექტორი. მაგრამ ... დიაგონალები არ იყოფა, გადაკვეთის წერტილი შუაზე, მაშასადამე - არა პარალელოგრამი და, შესაბამისად, არა რომბი.

ანუ კვადრატი ერთდროულად არის მართკუთხედი და რომბი. ვნახოთ რა გამოვა აქედან.

გასაგებია რატომ? - რომბი - A კუთხის ბისექტორი, რომელიც უდრის. ასე რომ, ის იყოფა (და ასევე) ორ კუთხედ გასწვრივ.

ისე, სავსებით გასაგებია: მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია; რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია, ხოლო ზოგადად - პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით შუაზე.

შუა დონე

ოთხკუთხედების თვისებები. პარალელოგრამი

პარალელოგრამის თვისებები

ყურადღება! სიტყვები " პარალელოგრამის თვისებები» ნიშნავს, რომ თუ გაქვთ დავალება იქ არისპარალელოგრამი, მაშინ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ყველა ქვემოთ ჩამოთვლილი.

თეორემა პარალელოგრამის თვისებების შესახებ.

ნებისმიერ პარალელოგრამაში:

ვნახოთ, რატომ არის ეს სიმართლე, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ჩვენ დავამტკიცებთთეორემა.

რატომ არის 1) მართალია?

ვინაიდან ის პარალელოგრამია, მაშინ:

• როგორც ჯვარედინი წოლა
• როგორც წევს.

მაშასადამე, (II საფუძველზე: და - ზოგადი.)

აბა, ერთხელ, მერე - ესე იგი! - დაამტკიცა.

მაგრამ სხვათა შორის! ჩვენც დავამტკიცეთ 2)!

რატომ? მაგრამ ბოლოს და ბოლოს (შეხედეთ სურათს), ეს არის, კერძოდ, იმიტომ.

დარჩა მხოლოდ 3).

ამისათვის თქვენ ჯერ კიდევ უნდა დახაზოთ მეორე დიაგონალი.

ახლა კი ვხედავთ, რომ - II ნიშნის მიხედვით (კუთხე და გვერდი „მათ შორის“).

თვისებები დადასტურებულია! მოდით გადავიდეთ ნიშნებზე.

პარალელოგრამის მახასიათებლები

შეგახსენებთ, რომ პარალელოგრამის ნიშანი პასუხობს კითხვას „როგორ გავარკვიოთ?“ რომ ფიგურა პარალელოგრამია.

ხატებში ეს ასეა:

რატომ? კარგი იქნებოდა იმის გაგება, თუ რატომ - საკმარისია. მაგრამ შეხედე:

კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რატომ არის 1 ნიშანი ჭეშმარიტი.

ისე, ეს კიდევ უფრო ადვილია! ისევ დავხატოთ დიაგონალი.

Რაც ნიშნავს:

დაასევე ადვილია. მაგრამ... განსხვავებული!

ნიშნავს,. Ვაუ! მაგრამ ასევე - შიდა ცალმხრივი სეკანტში!

მაშასადამე ის ფაქტი, რაც იმას ნიშნავს.

და თუ მეორე მხრიდან შეხედავ, მაშინ ისინი შიდა ცალმხრივია სეკანტში! Და, შესაბამისად.

ნახეთ, რა მაგარია?!

და ისევ უბრალოდ:

ზუსტად იგივე და.

Ყურადღებით:თუ იპოვე მინიმუმპარალელოგრამის ერთი ნიშანი თქვენს პრობლემაში, მაშინ გაქვთ ზუსტადპარალელოგრამი და შეგიძლიათ გამოიყენოთ ყველასპარალელოგრამის თვისებები.

სრული სიცხადისთვის, შეხედეთ დიაგრამას:

ოთხკუთხედების თვისებები. მართკუთხედი.

მართკუთხედის თვისებები:

პუნქტი 1) საკმაოდ აშკარაა - ბოლოს და ბოლოს, ნიშანი 3 () უბრალოდ შესრულებულია

და წერტილი 2) - ძალიან მნიშვნელოვანი. ასე რომ დავამტკიცოთ

ასე რომ, ორ ფეხზე (და - ზოგადად).

კარგი, რადგან სამკუთხედები ტოლია, მათი ჰიპოტენუსებიც ტოლია.

დაამტკიცა ეს!

და წარმოიდგინეთ, დიაგონალების ტოლობა არის მართკუთხედის განმასხვავებელი თვისება ყველა პარალელოგრამას შორის. ანუ, შემდეგი განცხადება მართალია

ვნახოთ რატომ?

ასე რომ, (იგულისხმება პარალელოგრამის კუთხეები). მაგრამ კიდევ ერთხელ გახსოვდეთ, რომ - პარალელოგრამი და ამიტომ.

ნიშნავს,. და, რა თქმა უნდა, აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული მათგანი ბოლოს და ბოლოს, იმ ოდენობით, რაც მათ უნდა მისცეს!

აქ ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ პარალელოგრამიმოულოდნელად (!) იქნება თანაბარი დიაგონალები, მაშინ ეს ზუსტად მართკუთხედი.

მაგრამ! Ყურადღებით!ეს არის დაახლოებით პარალელოგრამები! არა რომელიმეთანაბარი დიაგონალის მქონე ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი და მხოლოდპარალელოგრამი!

ოთხკუთხედების თვისებები. რომბი

და ისევ ისმის კითხვა: რომბი პარალელოგრამია თუ არა?

სრული უფლებით - პარალელოგრამი, რადგან მას აქვს და (გაიხსენეთ ჩვენი ნიშანი 2).

და კიდევ, რადგან რომბი არის პარალელოგრამი, მას უნდა ჰქონდეს პარალელოგრამის ყველა თვისება. ეს ნიშნავს, რომ რომბს აქვს საპირისპირო კუთხეები ტოლი, მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია და დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით.

მაგრამ ასევე არსებობს სპეციალური თვისებები. ჩვენ ვაყალიბებთ.

რომბის თვისებები

რატომ? ისე, რადგან რომბი არის პარალელოგრამი, მაშინ მისი დიაგონალები იყოფა შუაზე.

რატომ? დიახ, ამიტომ!

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დიაგონალები და აღმოჩნდა რომბის კუთხეების ბისექტრები.

როგორც მართკუთხედის შემთხვევაში, ეს თვისებები არის გამორჩეული, თითოეული მათგანი ასევე რომბის ნიშანია.

რომბის ნიშნები.

Რატომ არის, რომ? და შეხედე

აქედან გამომდინარე, და ორივეეს სამკუთხედები ტოლფერდაა.

რომბი რომ იყოს, ოთხკუთხედი ჯერ პარალელოგრამად უნდა „გახდეს“ და შემდეგ უკვე აჩვენოს მახასიათებელი 1 ან 2.

ოთხკუთხედების თვისებები. მოედანი

ანუ კვადრატი ერთდროულად არის მართკუთხედი და რომბი. ვნახოთ რა გამოვა აქედან.

გასაგებია რატომ? კვადრატი - რომბი - კუთხის ბისექტორი, რომელიც უდრის. ასე რომ, ის იყოფა (და ასევე) ორ კუთხედ გასწვრივ.

ისე, სავსებით გასაგებია: მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია; რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია, ხოლო ზოგადად - პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით შუაზე.

რატომ? უბრალოდ გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა.

შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

პარალელოგრამის თვისებები:

1. მოპირდაპირე მხარეები ტოლია: , .
2. საპირისპირო კუთხეებია: , .
3. კუთხეები ერთ მხარეს ემატება: , .
4. დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით: .

მართკუთხედის თვისებები:

1. მართკუთხედის დიაგონალებია: .
2. მართკუთხედი არის პარალელოგრამი (პარალელოგრამის ყველა თვისება სრულდება მართკუთხედისთვის).

რომბის თვისებები:

1. რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია: .
2. რომბის დიაგონალები მისი კუთხეების ბისექტრებია: ; ; ; .
3. რომბი არის პარალელოგრამი (პარალელოგრამის ყველა თვისება შესრულებულია რომბისთვის).

კვადრატული თვისებები:

კვადრატი არის რომბი და მართკუთხედი ერთდროულად, ამიტომ კვადრატისთვის სრულდება მართკუთხედის და რომბის ყველა თვისება. Ისევე, როგორც.