ცოდნის კომპლექსური გამოყენების გაკვეთილი.

გაკვეთილის მიზნები.

1. განვიხილოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი.
2. მოსწავლეთა შემოქმედებითი შესაძლებლობების განვითარება განტოლებების ამოხსნით.
3. მოსწავლეთა თვითკონტროლის, ურთიერთკონტროლის, საგანმანათლებლო საქმიანობის თვითანალიზის წახალისება.

აღჭურვილობა: ეკრანი, პროექტორი, საცნობარო მასალა.

გაკვეთილების დროს

შესავალი საუბარი.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მთავარი მეთოდი მათი უმარტივესი შემცირებაა. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ჩვეულებრივი მეთოდები, მაგალითად, ფაქტორიზაცია, ისევე როგორც ტექნიკა, რომელიც გამოიყენება მხოლოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადასაჭრელად. ეს ხრიკები საკმაოდ ბევრია, მაგალითად, სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება, კუთხის გარდაქმნები, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გარდაქმნები. ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნების განურჩეველი გამოყენება, როგორც წესი, არ ამარტივებს განტოლებას, მაგრამ კატასტროფულად ართულებს მას. განტოლების ამოხსნის გეგმის ზოგადი თვალსაზრისით შემუშავებისთვის, განტოლების უმარტივესამდე დაყვანის ხერხის გამოსახატავად, პირველ რიგში აუცილებელია კუთხეების - განტოლებაში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არგუმენტების ანალიზი.

დღეს ვისაუბრებთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებზე. სწორად შერჩეული მეთოდი ხშირად იძლევა ამოხსნის მნიშვნელოვან გამარტივებას, ამიტომ ყველა მეთოდი, რომელიც ჩვენ შევისწავლეთ, ყოველთვის უნდა იყოს ჩვენი ყურადღების ზონაში, რათა ტრიგონომეტრიული განტოლებები ამოხსნას ყველაზე შესაფერისი გზით.

II. (პროექტორის გამოყენებით ვიმეორებთ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს.)

1. ტრიგონომეტრიული განტოლების ალგებრულზე შეყვანის მეთოდი.

აუცილებელია ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ერთი და იგივე არგუმენტით გამოხატვა. ეს შეიძლება გაკეთდეს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობისა და მისი შედეგების გამოყენებით. ვიღებთ განტოლებას ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციით. თუ მას ახალ უცნობად ვიღებთ, ვიღებთ ალგებრულ განტოლებას. ჩვენ ვიპოვით მის ფესვებს და ვუბრუნდებით ძველ უცნობს, ვხსნით უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს.

2. ფაქტორიზაციის მეთოდი.

კუთხის შესაცვლელად ხშირად გამოსადეგია შემცირების ფორმულები, არგუმენტების ჯამები და განსხვავებები, აგრეთვე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) პროდუქტად და პირიქით გადაქცევის ფორმულები.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. დამატებითი კუთხის შემოღების მეთოდი.

4. უნივერსალური ჩანაცვლების გამოყენების მეთოდი.

F(sinx, cosx, tgx) = 0 ფორმის განტოლებები მცირდება ალგებრულ განტოლებამდე უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით

სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის გამოხატვა ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით. ამ ხრიკს შეუძლია გამოიწვიოს უფრო მაღალი რიგის განტოლება. რომლის გადაწყვეტილებაც რთულია.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

შესავალი 2

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები 5

ალგებრული 5

განტოლებების ამოხსნა ამავე სახელწოდების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ტოლობის პირობის გამოყენებით 7

ფაქტორინგი 8

შემცირება ჰომოგენურ განტოლებამდე 10

დამხმარე კუთხის შემოღება 11

პროდუქტის გარდაქმნა ჯამად 14

უნივერსალური ჩანაცვლება 14

დასკვნა 17

შესავალი

მეათე კლასამდე მიზნისკენ მიმავალი მრავალი სავარჯიშოს მოქმედებების თანმიმდევრობა, როგორც წესი, ცალსახად არის განსაზღვრული. მაგალითად, წრფივი და კვადრატული განტოლებები და უტოლობა, წილადი და კვადრატული განტოლებები და ა.შ. ყოველი აღნიშნული მაგალითის ამოხსნის პრინციპის დეტალური გაანალიზების გარეშე აღვნიშნავთ ზოგადს, რაც აუცილებელია მათი წარმატებული გადაწყვეტისთვის.

უმეტეს შემთხვევაში, თქვენ უნდა განსაზღვროთ რა ტიპის დავალებაა, გახსოვდეთ მიზნისკენ მიმავალი მოქმედებების თანმიმდევრობა და შეასრულოთ ეს მოქმედებები. აშკარაა, რომ განტოლების ამოხსნის მეთოდების დაუფლებაში მოსწავლის წარმატება-მარცხი ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად შეძლებს ის სწორად განსაზღვროს განტოლების ტიპი და დაიმახსოვროს მისი ამოხსნის ყველა ეტაპის თანმიმდევრობა. რა თქმა უნდა, ეს ვარაუდობს, რომ სტუდენტს აქვს იდენტური გარდაქმნებისა და გამოთვლების შესრულების უნარები.

სრულიად განსხვავებული ვითარება ხდება, როდესაც მოსწავლე ხვდება ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს. ამავე დროს, არ არის რთული იმის დადგენა, რომ განტოლება ტრიგონომეტრიულია. სირთულეები წარმოიქმნება მოქმედების ისეთი კურსის პოვნისას, რომელიც დადებით შედეგამდე მიგვიყვანს. აქ კი სტუდენტს ორი პრობლემა აწყდება. განტოლების გარეგნობით ძნელია ტიპის დადგენა. და ტიპის ცოდნის გარეშე, თითქმის შეუძლებელია სასურველი ფორმულის არჩევა ხელმისაწვდომი რამდენიმე ათეულიდან.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების რთულ ლაბირინთში რომ გაიარონ გზა მოსწავლეებს, პირველ რიგში ეცნობიან განტოლებებს, რომლებიც ახალი ცვლადის შემოტანის შემდეგ მცირდება კვადრატამდე. შემდეგ ამოხსენით ერთგვაროვანი განტოლებები და შეამცირეთ მათზე. ყველაფერი, როგორც წესი, მთავრდება განტოლებებით, რომელთა ამოხსნისთვის საჭიროა მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება, შემდეგ თითოეული ფაქტორის ნულთან გათანაბრება.

იმის გაცნობიერებით, რომ გაკვეთილებზე გაანალიზებული ათეულნახევარი განტოლება აშკარად არ არის საკმარისი იმისათვის, რომ მოსწავლემ დამოუკიდებლად გაცუროს ტრიგონომეტრიულ „ზღვაზე“, მასწავლებელი ამატებს კიდევ რამდენიმე რეკომენდაციას საკუთარი თავისგან.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

მიიტანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა ფუნქცია „იგივე კუთხეებამდე“;

მიიტანეთ განტოლება „იგივე ფუნქციებზე“;

განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება და ა.შ.

მაგრამ, მიუხედავად ტრიგონომეტრიული განტოლებების ძირითადი ტიპების და მათი ამოხსნის რამდენიმე პრინციპის ცოდნისა, ბევრი სტუდენტი მაინც აღმოჩნდება ჩიხში თითოეული განტოლების წინ, რომელიც ოდნავ განსხვავდება ადრე ამოხსნილი განტოლებისგან. გაურკვეველი რჩება, რისკენ უნდა ისწრაფოდეს ამა თუ იმ განტოლების არსებობისას, რატომ არის საჭირო ერთ შემთხვევაში ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენება, მეორეში - ნახევარკუთხის, ხოლო მესამეში - მიმატების ფორმულების გამოყენება და ა.შ.

განმარტება 1.ტრიგონომეტრიული განტოლება არის განტოლება, რომელშიც უცნობი შედის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნის ქვეშ.

განმარტება 2.ამბობენ, რომ ტრიგონომეტრიულ განტოლებას აქვს იგივე კუთხეები, თუ მასში შემავალ ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას აქვს თანაბარი არგუმენტები. ამბობენ, რომ ტრიგონომეტრიულ განტოლებას აქვს იგივე ფუნქციები, თუ ის შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას.

განმარტება 3.ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი მონომის ხარისხი არის მასში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძალაუფლების მაჩვენებლების ჯამი.

განმარტება 4.განტოლებას ჰომოგენური ეწოდება, თუ მასში შემავალი ყველა მონომი ერთნაირი ხარისხია. ამ ხარისხს განტოლების წესრიგი ეწოდება.

განმარტება 5.ტრიგონომეტრიული განტოლება, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ფუნქციებს ცოდვადა cos, ჰქვია ერთგვაროვანი, თუ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან მიმართებაში ყველა მონომს აქვს იგივე ხარისხი, ხოლო თავად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს აქვთ თანაბარი კუთხეები და მონომების რაოდენობა 1-ით მეტია განტოლების რიგზე.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან: განტოლების ტრანსფორმაცია უმარტივესი ფორმის მისაღებად და მიღებული უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შვიდი ძირითადი მეთოდი არსებობს.

მე. ალგებრული მეთოდი.ეს მეთოდი კარგად არის ცნობილი ალგებრადან. (ცვლადების ჩანაცვლებისა და ჩანაცვლების მეთოდი).

განტოლებების ამოხსნა.

1)

შემოვიღოთ აღნიშვნა x=2 ცოდვა3 ტ, ვიღებთ

ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:
ან

იმათ. შეიძლება დაიწეროს

ნიშნების არსებობის გამო მიღებული ხსნარის დაწერისას ხარისხი
აზრი არ აქვს წერას.

პასუხი:

აღნიშნეთ

ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას
. მისი ფესვები რიცხვებია
და
. ამრიგად, ეს განტოლება მცირდება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე
და
. მათი გადაჭრით, ჩვენ ამას ვხვდებით
ან
.

პასუხი:
;
.

აღნიშნეთ

არ აკმაყოფილებს პირობას

ნიშნავს

პასუხი:

მოდით გარდავქმნათ განტოლების მარცხენა მხარე:

ამრიგად, ეს საწყისი განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

, ე.ი.

აღმნიშვნელი
, ვიღებთ
ამ კვადრატული განტოლების ამოხსნით, გვაქვს:

არ აკმაყოფილებს პირობას

ჩვენ ვწერთ საწყისი განტოლების ამოხსნას:

პასუხი:

Ცვლილება
ამცირებს ამ განტოლებას კვადრატულ განტოლებამდე
. მისი ფესვები რიცხვებია
და
. იმიტომ რომ
, მაშინ მოცემულ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი: არ არის ფესვები.

II. განტოლებების ამოხსნა ამავე სახელწოდების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ტოლობის პირობის გამოყენებით.

ა)
, თუ

ბ)
, თუ

in)
, თუ

ამ პირობების გამოყენებით განიხილეთ შემდეგი განტოლებების ამოხსნა:

6)

ა ნაწილში ნათქვამის გამოყენებით ვხვდებით, რომ განტოლებას აქვს ამონახსნი თუ და მხოლოდ თუ
.

ამ განტოლების ამოხსნით, ჩვენ ვპოულობთ
.

ჩვენ გვაქვს გადაწყვეტილებების ორი ჯგუფი:

.

7) ამოხსენით განტოლება:
.

ბ) ნაწილის პირობის გამოყენებით ვასკვნით, რომ
.

ამ კვადრატული განტოლებების ამოხსნით მივიღებთ:

.

8) ამოხსენით განტოლება
.

ამ განტოლებიდან ჩვენ დავასკვნათ, რომ. ამ კვადრატული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ ვხვდებით, რომ

.

III. ფაქტორიზაცია.

ჩვენ განვიხილავთ ამ მეთოდს მაგალითებით.

9) ამოხსენით განტოლება
.

გამოსავალი. გადავიტანოთ განტოლების ყველა წევრი მარცხნივ: .

ჩვენ გარდაქმნით და ფაქტორიზაციას ვაკეთებთ განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულებას:
.

.

.

1)
2)

იმიტომ რომ
და
არ მიიღოთ მნიშვნელობა null

ამავდროულად, შემდეგ გამოვყოფთ ორივე ნაწილს

განტოლებები
,

პასუხი:

10) ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი.

ან

პასუხი:

11) ამოხსენით განტოლება

გამოსავალი:

1)
2)
3)

,

პასუხი:

IV. შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე.

ერთგვაროვანი განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

გადაიტანეთ მისი ყველა წევრი მარცხენა მხარეს;

მოათავსეთ ყველა საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან;

ყველა ფაქტორის და ფრჩხილის გათანაბრება ნულთან;

ნულის ტოლფასი ფრჩხილები იძლევა უფრო მცირე ხარისხის ერთგვაროვან განტოლებას, რომელიც უნდა გაიყოს
(ან
) უფროს ხარისხში;

ამოიღეთ მიღებული ალგებრული განტოლება
.

განვიხილოთ მაგალითები:

12) ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი.

გაყავით განტოლების ორივე მხარე
,

აღნიშვნის გაცნობა
, სახელი

ამ განტოლების ფესვებია:

აქედან 1)
2)

პასუხი:

13) ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი. ორმაგი კუთხის ფორმულებისა და ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით, ჩვენ ვამცირებთ ამ განტოლებას ნახევარ არგუმენტამდე:

მსგავსი პირობების შემცირების შემდეგ გვაქვს:

ერთგვაროვანი ბოლო განტოლების გაყოფა
, ვიღებთ

მე დავნიშნავ
, ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას
, რომლის ფესვებია რიცხვები

Ამგვარად

გამოხატულება
ქრება ზე
, ე.ი. ზე
,
.

განტოლების ჩვენი ამოხსნა არ შეიცავს ამ რიცხვებს.

პასუხი:
, .

ვ. დამხმარე კუთხის დანერგვა.

განვიხილოთ ფორმის განტოლება

სად ა, ბ, გ- კოეფიციენტები, x- უცნობი.

გაყავით ამ განტოლების ორივე მხარე

ახლა განტოლების კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ: თითოეული მათგანის მოდული არ აღემატება ერთიანობას და მათი კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია.

შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მათ შესაბამისად დავასახელოთ
(აქ - დამხმარე კუთხე) და ჩვენი განტოლება იღებს ფორმას: .

მერე

და მისი გადაწყვეტილება

გაითვალისწინეთ, რომ შემოღებული აღნიშვნა ურთიერთშემცვლელია.

14) ამოხსენი განტოლება:

გამოსავალი. Აქ
, ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს

პასუხი:

15) ამოხსენი განტოლება

გამოსავალი. იმიტომ რომ
, მაშინ ეს განტოლება განტოლების ტოლფასია

იმიტომ რომ
, მაშინ არის კუთხე ისეთი, რომ
,
(ისინი.
).

Ჩვენ გვაქვს

იმიტომ რომ
, შემდეგ საბოლოოდ მივიღებთ:

.

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმის განტოლებას აქვს ამონახსნი თუ და მხოლოდ თუ

16) ამოხსენით განტოლება:

ამ განტოლების ამოსახსნელად ვაჯგუფებთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს იგივე არგუმენტებით

გაყავით განტოლების ორივე მხარე ორზე

ჩვენ ვაქცევთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამს ნამრავლად:

პასუხი:

VI. პროდუქტის ჯამად გადაქცევა.

აქ გამოიყენება შესაბამისი ფორმულები.

17) ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი. გადავიყვანოთ მარცხენა მხარე ჯამად:

VII.უნივერსალური ჩანაცვლება.

,

ეს ფორმულები ყველასთვის მართალია

Ცვლილება
უნივერსალურს უწოდებენ.

18) ამოხსენი განტოლება:

გამოსავალი: შეცვალეთ და
მათი გამოხატვის მეშვეობით
და აღვნიშნავთ
.

მივიღებთ რაციონალურ განტოლებას
, რომელიც გარდაიქმნება კვადრატად
.

ამ განტოლების ფესვები არის რიცხვები
.

მაშასადამე, პრობლემა დაყვანილ იქნა ორი განტოლების ამოხსნამდე
.

ჩვენ ამას ვპოულობთ
.

ღირებულების ნახვა
არ აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას, რომელიც მოწმდება მოცემული მნიშვნელობის შემოწმებით - ჩანაცვლებით ტთავდაპირველ განტოლებამდე.

პასუხი:
.

კომენტარი. მე-18 განტოლება შეიძლება სხვაგვარად გადაიჭრას.

ამ განტოლების ორივე მხარე გაყავით 5-ზე (ე.ი
):
.

იმიტომ რომ
, მაშინ არის ნომერი
, რა
და
. ამრიგად, განტოლება ხდება:
ან
. აქედან ვხვდებით ამას
სადაც
.

19) ამოხსენი განტოლება
.

გამოსავალი. ფუნქციებიდან გამომდინარე
და
აქვთ უდიდესი მნიშვნელობა 1-ის ტოლი, მაშინ მათი ჯამი უდრის 2-ს თუ
და
, ამავე დროს, ანუ
.

პასუხი:
.

ამ განტოლების ამოხსნისას გამოიყენეს ფუნქციების საზღვრები და.

დასკვნა.

თემაზე „ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამონახსნები“ მუშაობისას, თითოეული მასწავლებელმა სასარგებლოა შემდეგი რეკომენდაციების დაცვა:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების სისტემატიზაცია.

თავად შეარჩიეთ განტოლების ანალიზის საფეხურები და ამოხსნის ამა თუ იმ მეთოდის გამოყენების მიზანშეწონილობის ნიშნები.

მეთოდის განხორციელების აქტივობის თვითკონტროლის გზების მოფიქრება.

ისწავლეთ „თქვენი“ განტოლებების შედგენა თითოეული შესწავლილი მეთოდისთვის.

განაცხადი No1

ამოხსენით ერთგვაროვანი ან შემცირებადი განტოლებები.

1.	რეპ.
	რეპ.
	რეპ.
5.	რეპ.
	რეპ.
7.	რეპ.
	რეპ.

უფრო რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებები

განტოლებები

ცოდვა x = a,
cos x = a,
ტგ x = a,
ctg x = a

არის უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები. ამ განყოფილებაში, კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, განვიხილავთ უფრო რთულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს. მათი ამოხსნა, როგორც წესი, მცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნამდე.

მაგალითი 1 . განტოლების ამოხსნა

ცოდვა 2 X= cos Xცოდვა 2 x.

ამ განტოლების ყველა პირობის მარცხენა მხარეს გადატანით და მიღებული გამონათქვამის ფაქტორებად დაშლით, მივიღებთ:

ცოდვა 2 X(1 - cos X) = 0.

ორი გამონათქვამის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორე იღებს ნებისმიერ რიცხვით მნიშვნელობას, სანამ ის განსაზღვრულია.

Თუ ცოდვა 2 X = 0 , შემდეგ 2 X=n π ; X = π / 2n.

თუ 1 - cos X = 0 , შემდეგ cos X = 1; X = 2 კπ .

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფესვების ორი ჯგუფი: X = π / 2n; X = 2 კπ . ფესვების მეორე ჯგუფი აშკარად შეიცავს პირველს, რადგან n = 4k-ისთვის გამოხატულია X = π / 2nხდება
X = 2 კπ .

ამიტომ, პასუხი შეიძლება დაიწეროს ერთი ფორმულით: X = π / 2n, სად ნ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს განტოლება ვერ ამოიხსნება ცოდვით 2-ით შემცირებით x. მართლაც, შემცირების შემდეგ მივიღებთ 1 - cos x = 0, საიდანაც X= 2 კ π . ამრიგად, ჩვენ დავკარგავდით ზოგიერთ ფესვს, მაგალითად π / 2 , π , 3π / 2 .

მაგალითი 2.განტოლების ამოხსნა

წილადი არის ნულოვანი მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული.
Ამიტომაც ცოდვა 2 X = 0 , საიდანაც 2 X=n π ; X = π / 2n.

ამ ღირებულებებიდან X უნდა განადგურდეს, როგორც უცხო, ის მნიშვნელობები, რისთვისაც ცოდვაX ქრება (ნულოვანი მნიშვნელის მქონე წილადები უაზროა: ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული). ეს მნიშვნელობები არის რიცხვები, რომლებიც მრავლობითია π . ფორმულაში
X = π / 2nისინი მიიღება თუნდაც ნ. ამრიგად, ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები

X = π / 2 (2k + 1),

სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

მაგალითი 3 . განტოლების ამოხსნა

2 ცოდვა 2 X+ 7 ცალი x - 5 = 0.

ექსპრესი ცოდვა 2 X მეშვეობით cosx : ცოდვა 2 X = 1 - co 2x . მაშინ ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

2 (1 - cos 2 x) + 7 კოდ x - 5 = 0 , ან

2 cos 2 x- 7 ლარი x + 3 = 0.

აღმნიშვნელი cosx მეშვეობით ზე, მივდივართ კვადრატულ განტოლებამდე

2y 2 - 7y + 3 = 0,

რომლის ფესვებია რიცხვები 1/2 და 3. აქედან გამომდინარე, ან cos x= 1/2 ან cos X= 3. თუმცა ეს უკანასკნელი შეუძლებელია, ვინაიდან ნებისმიერი კუთხის კოსინუსის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება 1-ს.

ამის აღიარება რჩება cos x = 1 / 2 , სად

x = ± 60° + 360° n.

მაგალითი 4 . განტოლების ამოხსნა

2 ცოდვა X+ 3 cos x = 6.

რადგან ცოდვა xდა cos xარ აღემატებოდეს 1-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, შემდეგ გამოსახულებას
2 ცოდვა X+ 3 cos x არ შეუძლია მიიღოს იმაზე მეტი ღირებულებები, ვიდრე 5 . ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 5 . განტოლების ამოხსნა

ცოდვა X+ cos x = 1

ამ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში მიღებით მივიღებთ:

ცოდვა 2 X+ 2 ცოდვა x cos x+ cos2 x = 1,

მაგრამ ცოდვა 2 X + cos 2 x = 1 . Ამიტომაც 2 ცოდვა x cos x = 0 . Თუ ცოდვა x = 0 , მაშინ X = ნπ ; თუ
cos x , მაშინ X = π / 2 + კπ . გადაწყვეტილებების ეს ორი ჯგუფი შეიძლება დაიწეროს ერთ ფორმულაში:

X = π / 2n

ვინაიდან ამ განტოლების ორივე ნაწილი გავასწორეთ, არ არის გამორიცხული, რომ ჩვენს მიერ მოპოვებულ ფესვებს შორის იყოს გარე ფესვები. სწორედ ამიტომ, ამ მაგალითში, ყველა წინასგან განსხვავებით, აუცილებელია შემოწმება. ყველა ღირებულება

X = π / 2nშეიძლება დაიყოს 4 ჯგუფად

	1) X = 2 კπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2 კπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2 კπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2 კπ .	(n=4k+3)

ზე X = 2 კπცოდვა x+ cos x= 0 + 1 = 1. ამიტომ, X = 2 კπარის ამ განტოლების ფესვები.

ზე X = π / 2 + 2 კπ. ცოდვა x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2 კπასევე არის ამ განტოლების ფესვები.

ზე X = π + 2 კπცოდვა x+ cos x= 0 - 1 = - 1. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობები X = π + 2 კπარ არის ამ განტოლების ფესვები. ანალოგიურად, ნაჩვენებია, რომ X = 3π / 2 + 2 კπ. არ არის ფესვები.

ამრიგად, ამ განტოლებას აქვს შემდეგი ფესვები: X = 2 კπდა X = π / 2 + 2მპ., სადაც კდა მ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები არ არის ყველაზე მარტივი თემა. მტკივნეულად ისინი მრავალფეროვანია.) მაგალითად, ეს:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

და ა.შ..

მაგრამ ამ (და ყველა სხვა) ტრიგონომეტრიულ მონსტრს ორი საერთო და სავალდებულო მახასიათებელი აქვს. პირველი - არ დაიჯერებთ - განტოლებებში არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.) მეორე: x ყველა გამოსახულება არის იმავე ფუნქციების ფარგლებში.და მხოლოდ იქ! თუ x გამოჩნდება სადმე გარეთ,მაგალითად, sin2x + 3x = 3,ეს იქნება შერეული ტიპის განტოლება. ასეთი განტოლებები მოითხოვს ინდივიდუალურ მიდგომას. აქ ჩვენ არ განვიხილავთ მათ.

ბოროტ განტოლებებს არც ამ გაკვეთილზე მოვაგვარებთ.) აქ შევეხებით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.რატომ? დიახ, რადგან გადაწყვეტილება ნებისმიერიტრიგონომეტრიული განტოლებები შედგება ორი ეტაპისგან. პირველ ეტაპზე ბოროტების განტოლება მცირდება მარტივზე სხვადასხვა გარდაქმნების შედეგად. მეორეზე - ეს უმარტივესი განტოლება ამოხსნილია. სხვა გზა არაა.

ასე რომ, თუ მეორე ეტაპზე პრობლემები გაქვთ, პირველ ეტაპს დიდი აზრი არ აქვს.)

როგორ გამოიყურება ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

sinx = ა

cosx = ა

tgx = a

ctgx = a

Აქ ა დგას ნებისმიერ რიცხვზე. ნებისმიერი.

სხვათა შორის, ფუნქციის შიგნით შეიძლება იყოს არა სუფთა x, არამედ რაიმე სახის გამოხატულება, როგორიცაა:

cos(3x+π /3) = 1/2

და ა.შ. ეს ართულებს სიცოცხლეს, მაგრამ გავლენას არ ახდენს ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის მეთოდზე.

როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ტრიგონომეტრიული განტოლებები შეიძლება ამოხსნას ორი გზით. პირველი გზა: ლოგიკის და ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. ჩვენ აქ შევისწავლით ამ გზას. მეორე გზა - მეხსიერების და ფორმულების გამოყენება - განიხილება შემდეგ გაკვეთილზე.

პირველი გზა არის ნათელი, საიმედო და ძნელად დასავიწყებელი.) კარგია ტრიგონომეტრიული განტოლებების, უტოლობების და ყველა სახის სახიფათო არასტანდარტული მაგალითების ამოსახსნელად. ლოგიკა მეხსიერებაზე ძლიერია!

განტოლებებს ვხსნით ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით.

ჩვენ მოიცავს ელემენტარულ ლოგიკას და ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენების უნარს. არ შეგიძლია!? თუმცა... ტრიგონომეტრიაში გაგიჭირდება...) მაგრამ არა უშავს. შეხედეთ გაკვეთილებს "ტრიგონომეტრიული წრე ...... რა არის ეს?" და "კუთხების დათვლა ტრიგონომეტრიულ წრეზე". იქ ყველაფერი მარტივია. სახელმძღვანელოებისგან განსხვავებით...)

აჰ, იცი!? და აითვისა კიდეც "პრაქტიკული მუშაობა ტრიგონომეტრიულ წრეზე"!? მიიღეთ მილოცვები. ეს თემა თქვენთვის ახლო და გასაგები იქნება.) განსაკუთრებით სასიამოვნოა ის, რომ ტრიგონომეტრიულ წრეს არ აქვს მნიშვნელობა, რომელ განტოლებას ამოხსნით. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი - მისთვის ყველაფერი იგივეა. გადაწყვეტის პრინციპი იგივეა.

ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ნებისმიერ ელემენტარულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებას. მინიმუმ ეს:

cosx = 0.5

მე უნდა ვიპოვო X. ადამიანურ ენაზე საუბარი გჭირდებათ იპოვეთ კუთხე (x), რომლის კოსინუსი არის 0,5.

როგორ ვიყენებდით წრეს ადრე? მასზე კუთხე დავხატეთ. გრადუსებში ან რადიანებში. და მაშინვე ნანახი ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ახლა პირიქით მოვიქცეთ. წრეზე დახაზეთ 0,5-ის ტოლი კოსინუსი და მაშინვე ვნახოთ კუთხე. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.) დიახ, დიახ!

ვხატავთ წრეს და ვნიშნავთ კოსინუსს 0,5-ის ტოლი. კოსინუსების ღერძზე, რა თქმა უნდა. Ამგვარად:

ახლა დავხატოთ კუთხე, რომელსაც ეს კოსინუსი გვაძლევს. გადაიტანეთ მაუსი სურათზე (ან შეეხეთ სურათს ტაბლეტზე) და იხილეთიგივე კუთხე X.

რომელ კუთხეს აქვს კოსინუსი 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

ზოგი სკეპტიკურად ღრიალებს, დიახ... ამბობენ, ღირდა თუ არა წრის შემოღობვა, როცა ყველაფერი მაინც გასაგებია... შეიძლება, რა თქმა უნდა, ღრიალი...) მაგრამ ფაქტია, რომ ეს მცდარია. პასუხი. უფრო სწორად, არაადეკვატური. წრის მცოდნეებს ესმით, რომ ჯერ კიდევ არსებობს კუთხეების მთელი თაიგული, რომლებიც ასევე იძლევა კოსინუსს 0,5-ის ტოლი.

თუ გადაატრიალებთ მოძრავ მხარეს OA სრული შემობრუნებისთვის, წერტილი A უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას. იგივე კოსინუსით 0,5-ის ტოლი. იმათ. კუთხე შეიცვლება 360° ან 2π რადიანები და კოსინუსი არ არის.ახალი კუთხე 60° + 360° = 420° ასევე იქნება ჩვენი განტოლების ამონახსნი, რადგან

ასეთი სრული ბრუნვის უსასრულო რაოდენობაა... და ყველა ეს ახალი კუთხე იქნება ჩვენი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები. და ისინი ყველა უნდა ჩაიწეროს როგორმე. ყველა.წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადაწყვეტილება არ განიხილება, დიახ ...)

მათემატიკას შეუძლია ამის გაკეთება მარტივად და ელეგანტურად. ერთი მოკლე პასუხით დაწერეთ უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები. აი, როგორ გამოიყურება ის ჩვენი განტოლებისთვის:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

გავშიფრავ. მაინც დაწერე მნიშვნელოვნადუფრო ლამაზია, ვიდრე სულელურად იდუმალი ასოების დახატვა, არა?)

π /3 იგივე კუთხეა, რაც ჩვენ დაინახაწრეზე და განსაზღვრულიკოსინუსების ცხრილის მიხედვით.

2π არის ერთი სრული შემობრუნება რადიანებში.

ნ - ეს არის სრული რიცხვი, ე.ი. მთლიანირევოლუციები. Ნათელია, რომ ნ შეიძლება იყოს 0, ±1, ±2, ±3.... და ა.შ. როგორც მითითებულია მოკლე ჩანაწერში:

n ∈ Z

ნ ეკუთვნის ( ∈ ) მთელი რიცხვების სიმრავლეს ( ზ ). სხვათა შორის, წერილის ნაცვლად ნ ასოების გამოყენება შესაძლებელია კ, მ, ტ და ა.შ.

ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი მთელი რიცხვი ნ . მინიმუმ -3, მინიმუმ 0, მინიმუმ +55. Რა გინდა. თუ ამ რიცხვს შეაერთებთ თქვენს პასუხს, მიიღებთ კონკრეტულ კუთხეს, რომელიც, რა თქმა უნდა, იქნება ჩვენი მკაცრი განტოლების გამოსავალი.)

ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, x \u003d π / 3 არის უსასრულო სიმრავლის ერთადერთი ფესვი. ყველა სხვა ფესვის მისაღებად, საკმარისია დაამატოთ ნებისმიერი რაოდენობის სრული ბრუნი π / 3-ზე ( ნ ) რადიანებში. იმათ. 2πn რადიანი.

ყველაფერი? არა. მე კონკრეტულად ვწელავ სიამოვნებას. უკეთ რომ დავიმახსოვროთ.) ჩვენი განტოლების პასუხების მხოლოდ ნაწილი მივიღეთ. გადაწყვეტის პირველ ნაწილს დავწერ შემდეგნაირად:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - არა ერთი ფესვი, ეს არის ფესვების მთელი რიგი, მოკლედ დაწერილი.

მაგრამ არის სხვა კუთხეებიც, რომლებიც ასევე იძლევა კოსინუსს 0,5-ის ტოლი!

დავუბრუნდეთ ჩვენს სურათს, რომლის მიხედვითაც ჩავწერეთ პასუხი. Აი ისიც:

გადაიტანეთ მაუსი სურათზე და იხილეთკიდევ ერთი კუთხე, რომელიც ასევე იძლევა კოსინუსს 0.5.როგორ ფიქრობთ, რას უდრის? სამკუთხედები ერთი და იგივეა... დიახ! უდრის კუთხეს X , მხოლოდ უარყოფითი მიმართულებით არის დახატული. ეს არის კუთხე -X. მაგრამ ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ x. π /3 ან 60°. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავწეროთ:

x 2 \u003d - π / 3

და, რა თქმა უნდა, ჩვენ ვამატებთ ყველა კუთხეს, რომელიც მიიღება სრული შემობრუნებით:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ახლა სულ ესაა.) ტრიგონომეტრიულ წრეში ჩვენ დაინახა(ვისაც ესმის, რა თქმა უნდა)) ყველაკუთხეები, რომლებიც იძლევა 0,5-ის ტოლ კოსინუსს. და მათ ჩამოწერეს ეს კუთხეები მოკლე მათემატიკური ფორმით. პასუხი არის ფესვების ორი უსასრულო სერია:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ეს არის სწორი პასუხი.

იმედი, ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი პრინციპიწრის დახმარებით გასაგებია. მოცემული განტოლებიდან წრეზე ვნიშნავთ კოსინუსს (სინუსს, ტანგენტს, კოტანგენტს), ვხატავთ შესაბამის კუთხეებს და ვწერთ პასუხს.რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, როგორი კუთხეები ვართ დაინახაწრეზე. ზოგჯერ ეს არც ისე აშკარაა. ისე, როგორც ვთქვი, აქ ლოგიკაა საჭირო.)

მაგალითად, გავაანალიზოთ კიდევ ერთი ტრიგონომეტრიული განტოლება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ რიცხვი 0.5 არ არის ერთადერთი შესაძლო რიცხვი განტოლებებში!) უბრალოდ უფრო მოსახერხებელია მისი დაწერა, ვიდრე ფესვები და წილადები.

ჩვენ ვმუშაობთ ზოგადი პრინციპით. ვხატავთ წრეს, აღვნიშნავთ (სინუს ღერძზე, რა თქმა უნდა!) 0.5. ჩვენ ერთდროულად ვხატავთ ყველა კუთხეს, რომელიც შეესაბამება ამ სინუსს. ჩვენ ვიღებთ ამ სურათს:

ჯერ კუთხეს მივხედოთ. X პირველ კვარტალში. ჩვენ ვიხსენებთ სინუსების ცხრილს და განვსაზღვრავთ ამ კუთხის მნიშვნელობას. საქმე მარტივია:

x \u003d π / 6

ჩვენ ვიხსენებთ სრულ მონაცვლეობას და სუფთა სინდისით ვწერთ პასუხების პირველ სერიას:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

სამუშაოს ნახევარი შესრულებულია. ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ მეორე კუთხე...ეს უფრო რთულია ვიდრე კოსინუსებში, დიახ... მაგრამ ლოგიკა გადაგვარჩენს! როგორ განვსაზღვროთ მეორე კუთხე x-ის მეშვეობით? დიახ მარტივად! სურათზე სამკუთხედები იგივეა და წითელი კუთხე X კუთხის ტოლი X . მხოლოდ ის ითვლება π კუთხიდან უარყოფითი მიმართულებით. ამიტომ არის წითელი.) და ჩვენი პასუხისთვის გვჭირდება კუთხე დადებითი ნახევრადღერძიდან OX, ე.ი. 0 გრადუსიანი კუთხიდან.

გადაიტანეთ კურსორი სურათზე და ნახეთ ყველაფერი. პირველი კუთხე მოვხსენი, რომ სურათი არ გამირთულდეს. ჩვენთვის საინტერესო კუთხე (მწვანეში დახატული) ტოლი იქნება:

π - x

x ვიცით π /6 . ასე რომ, მეორე კუთხე იქნება:

π - π /6 = 5π /6

კვლავ ვიხსენებთ სრული რევოლუციების დამატებას და ვწერთ პასუხების მეორე სერიას:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Სულ ეს არის. სრული პასუხი შედგება ორი სერიის ფესვებისგან:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

განტოლებები ტანგენსთან და კოტანგენსთან ერთად შეიძლება ადვილად ამოხსნას ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის იგივე ზოგადი პრინციპის გამოყენებით. თუ, რა თქმა უნდა, არ იცით როგორ დახატოთ ტანგენსი და კოტანგენსი ტრიგონომეტრიულ წრეზე.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში გამოვიყენე სინუსის და კოსინუსის ტაბულური მნიშვნელობა: 0.5. იმათ. ერთ-ერთი იმ მნიშვნელობიდან, რომელიც სტუდენტმა იცის უნდა.ახლა მოდით გავაფართოვოთ ჩვენი შესაძლებლობები ყველა სხვა ღირებულება.გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!)

ასე რომ, ვთქვათ, ჩვენ უნდა გადავჭრათ შემდეგი ტრიგონომეტრიული განტოლება:

მოკლე ცხრილებში კოსინუსის ასეთი მნიშვნელობა არ არის. ჩვენ ცივად უგულებელყოფთ ამ საშინელ ფაქტს. ვხატავთ წრეს, კოსინუსების ღერძზე ვნიშნავთ 2/3 და ვხატავთ შესაბამის კუთხეებს. ჩვენ ვიღებთ ამ სურათს.

ჩვენ გვესმის, დამწყებთათვის, კუთხით პირველ მეოთხედში. იმის გასაგებად, თუ რას უდრის x, მაშინვე ჩაწერდნენ პასუხს! არ ვიცით... მარცხი!? დამშვიდდი! მათემატიკა საკუთარ თავს არ ტოვებს უბედურებაში! მან გამოიგონა რკალის კოსინუსები ამ შემთხვევისთვის. Არ ვიცი? ამაოდ. გაარკვიე, ეს ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე შენ გგონია. ამ ლინკის მიხედვით, არც ერთი სახიფათო შელოცვა არ არის „შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების“ შესახებ... ზედმეტია ამ თემაში.

თუ თქვენ იცით, უბრალოდ უთხარით საკუთარ თავს: "X არის კუთხე, რომლის კოსინუსი არის 2/3". და დაუყოვნებლივ, წმინდა არკოზინის განმარტებით, შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენ გვახსოვს დამატებითი რევოლუციები და მშვიდად ვწერთ ჩვენი ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების პირველ სერიას:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ფესვების მეორე სერია ასევე იწერება თითქმის ავტომატურად, მეორე კუთხისთვის. ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ x (arccos 2/3) იქნება მინუსით:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

და ყველაფერი! ეს არის სწორი პასუხი. უფრო ადვილია, ვიდრე ცხრილური მნიშვნელობებით. არაფრის დამახსოვრება არ გჭირდებათ.) სხვათა შორის, ყველაზე ყურადღებიანი შეამჩნევთ, რომ ეს სურათი ამონახსნით რკალის კოსინუსით არსებითად არ განსხვავდება გამოსახულებისგან cosx = 0.5 განტოლებისთვის.

ზუსტად! ზოგადი პრინციპი ამაზე და ზოგადად! მე კონკრეტულად დავხატე ორი თითქმის იდენტური სურათი. წრე გვიჩვენებს კუთხეს X თავისი კოსინუსით. ეს არის ტაბულური კოსინუსი, თუ არა - წრე არ იცის. როგორი კუთხეა ეს, π/3, ან რა სახის რკალის კოსინუსი არის ჩვენ გადასაწყვეტი.

სინუსით იგივე სიმღერა. Მაგალითად:

ისევ ვხატავთ წრეს, აღვნიშნავთ 1/3-ის ტოლ სინუსს, ვხატავთ კუთხეებს. გამოდის ეს სურათი:

და ისევ სურათი თითქმის იგივეა, რაც განტოლებისთვის sinx = 0.5.პირველ მეოთხედში ისევ კუთხიდან ვიწყებთ. რას უდრის x, თუ მისი სინუსი არის 1/3? Არაა პრობლემა!

ასე რომ, ფესვების პირველი შეკვრა მზად არის:

x 1 = რკალი 1/3 + 2π n, n ∈ Z

მოდით შევხედოთ მეორე კუთხეს. მაგალითში ცხრილის მნიშვნელობით 0.5, ის ტოლი იყო:

π - x

ასე რომ, აქ ზუსტად იგივე იქნება! მხოლოდ x არის განსხვავებული, arcsin 1/3. Მერე რა!? შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ ფესვების მეორე შეკვრა:

x 2 = π - რკალი 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ეს არის სრულიად სწორი პასუხი. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ გამოიყურება ძალიან ნაცნობი. მაგრამ ეს გასაგებია, იმედი მაქვს.)

ასე იხსნება ტრიგონომეტრიული განტოლებები წრის გამოყენებით. ეს გზა გასაგები და გასაგებია. ეს არის ის, ვინც ზოგავს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებში ფესვების შერჩევით მოცემულ ინტერვალზე, ტრიგონომეტრიულ უტოლობებში - ისინი ზოგადად წყდება თითქმის ყოველთვის წრეში. მოკლედ, ნებისმიერ ამოცანაში, რომელიც ცოტა უფრო რთულია, ვიდრე სტანდარტული.

ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენება?

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა:

თავიდან ეს უფრო მარტივია, პირდაპირ ამ გაკვეთილზე.

ახლა უფრო რთულია.

მინიშნება: აქ თქვენ უნდა იფიქროთ წრეზე. პირადად.)

ახლა კი გარეგნულად უპრეტენზიო... მათ ასევე უწოდებენ განსაკუთრებულ შემთხვევებს.

სინქსი = 0

სინქსი = 1

cosx = 0

cosx = -1

მინიშნება: აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ წრეში, სად არის პასუხის ორი სერია და სად არის ერთი ... და როგორ ჩაწეროთ ერთი პასუხის ორი სერიის ნაცვლად. დიახ, ისე, რომ უსასრულო რიცხვიდან არც ერთი ფესვი არ დაიკარგოს!)

ისე, საკმაოდ მარტივია):

სინქსი = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

მინიშნება: აქ თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის არქსინი, არკოზინი? რა არის რკალის ტანგენსი, რკალის ტანგენსი? უმარტივესი განმარტებები. მაგრამ თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე ცხრილის მნიშვნელობების დამახსოვრება!)

პასუხები, რა თქმა უნდა, არაერთგვაროვანია):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

ყველაფერი არ გამოდის? Ხდება ხოლმე. კიდევ ერთხელ წაიკითხეთ გაკვეთილი. მხოლოდ გააზრებულად(ასეთი მოძველებული სიტყვაა...) და მიჰყევით ბმულებს. ძირითადი ბმულები არის წრეზე. მის გარეშე ტრიგონომეტრიაში - როგორ უნდა გადაკვეთო გზა თვალდახუჭულმა. ზოგჯერ მუშაობს.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის კონცეფცია.

• ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად გადააკეთეთ იგი ერთ ან რამდენიმე ძირითად ტრიგონომეტრიულ განტოლებად. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა საბოლოოდ მოდის ოთხი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნაზე.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

• არსებობს ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების 4 ტიპი:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა მოიცავს სხვადასხვა x პოზიციების დათვალიერებას ერთეულების წრეზე, ასევე გარდაქმნის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებას.
• მაგალითი 1. sin x = 0.866. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: 2π/3. გახსოვდეთ: ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია, ანუ მათი მნიშვნელობები მეორდება. მაგალითად, sin x და cos x პერიოდულობა არის 2πn, ხოლო tg x და ctg x არის πn. ასე რომ, პასუხი ასე იწერება:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• მაგალითი 2 cos x = -1/2. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = 2π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• მაგალითი 3. tg (x - π/4) = 0.
• პასუხი: x \u003d π / 4 + πn.
• მაგალითი 4. ctg 2x = 1.732.
• პასუხი: x \u003d π / 12 + πn.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას გამოყენებული ტრანსფორმაციები.

• ტრიგონომეტრიული განტოლებების გარდაქმნისთვის გამოიყენება ალგებრული გარდაქმნები (ფაქტორირება, ერთგვაროვანი ტერმინების შემცირება და სხვ.) და ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
• მაგალითი 5. ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით განტოლება sin x + sin 2x + sin 3x = 0 გარდაიქმნება განტოლებაში 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. ამრიგად, შემდეგი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები. საჭიროა გადაჭრა: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• კუთხეების პოვნა ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან.

  • სანამ ისწავლით ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას, უნდა ისწავლოთ როგორ იპოვოთ კუთხეები ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ეს შეიძლება გაკეთდეს კონვერტაციის ცხრილის ან კალკულატორის გამოყენებით.
  • მაგალითი: cos x = 0.732. კალკულატორი მოგცემთ პასუხს x = 42,95 გრადუსი. ერთეული წრე მისცემს დამატებით კუთხეებს, რომელთა კოსინუსი ასევე უდრის 0,732-ს.

• მოათავსეთ ხსნარი ერთეულ წრეზე.

  • თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე არის რეგულარული მრავალკუთხედის წვეროები.
  • მაგალითი: ამონახსნები x = π/3 + πn/2 ერთეულ წრეზე არის კვადრატის წვეროები.
  • მაგალითი: ამონახსნები x = π/4 + πn/3 ერთეულ წრეზე არის რეგულარული ექვსკუთხედის წვეროები.

• ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

  • თუ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, ამოხსენით ეს განტოლება ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების სახით. თუ ეს განტოლება მოიცავს ორ ან მეტ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, მაშინ არსებობს ასეთი განტოლების ამოხსნის 2 მეთოდი (დამოკიდებულია მისი გარდაქმნის შესაძლებლობიდან).
    • მეთოდი 1
  • გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: f(x)*g(x)*h(x) = 0, სადაც f(x), g(x), h(x) არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
  • მაგალითი 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • გამოსავალი. ორმაგი კუთხის ფორმულის გამოყენებით sin 2x = 2*sin x*cos x, შეცვალეთ sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos x = 0 და (sin x + 1) = 0.
  • მაგალითი 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: cos 2x(2cos x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2cos x + 1) = 0.
  • მაგალითი 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2sin x + 1) = 0.
    • მეთოდი 2
  • გადააქციეთ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება განტოლებად, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას. შემდეგ შეცვალეთ ეს ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ზოგიერთი უცნობით, მაგალითად, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t და ა.შ.).
  • მაგალითი 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • გამოსავალი. ამ განტოლებაში ჩაანაცვლეთ (cos^2 x) (1 - sin^2 x)-ით (იდენტურობის მიხედვით). გარდაქმნილი განტოლება ასე გამოიყურება:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. ჩაანაცვლეთ sin x t. ახლა განტოლებაა: 5t^2 - 4t - 9 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება ორი ფესვით: t1 = -1 და t2 = 9/5. მეორე ფესვი t2 არ აკმაყოფილებს ფუნქციის დიაპაზონს (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • მაგალითი 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • გამოსავალი. ჩაანაცვლეთ tg x t-ით. გადაწერეთ საწყისი განტოლება შემდეგნაირად: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. ახლა იპოვეთ t და შემდეგ იპოვეთ x t = tg x-ისთვის.