B9 ამოცანაში მოცემულია ფუნქციის ან წარმოებულის გრაფიკი, საიდანაც საჭიროა განისაზღვროს შემდეგი სიდიდეებიდან ერთ-ერთი:

1. წარმოებულის მნიშვნელობა რაღაც მომენტში x 0,
2. მაღალი ან დაბალი ქულები (ექსტრემალური წერტილები),
3. მზარდი და კლებადი ფუნქციების ინტერვალები (ერთფეროვნების ინტერვალები).

ამ პრობლემაში წარმოდგენილი ფუნქციები და წარმოებულები ყოველთვის უწყვეტია, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოსავალს. იმისდა მიუხედავად, რომ დავალება მათემატიკური ანალიზის განყოფილებას განეკუთვნება, ის საკმაოდ სუსტი სტუდენტებისთვისაც კი ძალუძს, რადგან აქ ღრმა თეორიული ცოდნა არ არის საჭირო.

წარმოებულის, ექსტრემალური წერტილებისა და ერთფეროვნების ინტერვალების მნიშვნელობის საპოვნელად არსებობს მარტივი და უნივერსალური ალგორითმები - ყველა მათგანი ქვემოთ იქნება განხილული.

ყურადღებით წაიკითხეთ B9 პრობლემის მდგომარეობა, რათა არ დაუშვათ სულელური შეცდომები: ზოგჯერ საკმაოდ მოცულობითი ტექსტები გვხვდება, მაგრამ არსებობს რამდენიმე მნიშვნელოვანი პირობა, რომელიც გავლენას ახდენს გადაწყვეტის კურსზე.

წარმოებულის ღირებულების გაანგარიშება. ორი წერტილის მეთოდი

თუ პრობლემას მოცემულია f(x) ფუნქციის გრაფიკი, ტანგენტი ამ გრაფიკზე რაღაც წერტილში x 0, და საჭიროა ამ ეტაპზე წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

1. იპოვეთ ორი „ადეკვატური“ წერტილი ტანგენტის გრაფიკზე: მათი კოორდინატები უნდა იყოს მთელი რიცხვი. ავღნიშნოთ ეს წერტილები A (x 1 ; y 1) და B (x 2 ; y 2). ჩაწერეთ კოორდინატები სწორად - ეს არის ამოხსნის მთავარი წერტილი და ნებისმიერი შეცდომა აქ იწვევს არასწორ პასუხს.
2. კოორდინატების ცოდნით ადვილია არგუმენტის Δx = x 2 − x 1 და Δy = y 2 − y 1 ფუნქციის ნამატის გამოთვლა.
3. საბოლოოდ, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას D = Δy/Δx. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაყოთ ფუნქციის ზრდა არგუმენტის ზრდაზე - და ეს იქნება პასუხი.

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ: A და B წერტილები ზუსტად უნდა ვეძებოთ ტანგენსზე და არა f(x) ფუნქციის გრაფიკზე, როგორც ეს ხშირად ხდება. ტანგენსი აუცილებლად შეიცავს მინიმუმ ორ ასეთ წერტილს, წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემა არასწორად არის ჩამოყალიბებული.

განვიხილოთ წერტილები A (−3; 2) და B (−1; 6) და იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x 0 წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 3) და B (3; 0), იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

ახლა ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x 0 წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 2) და B (5; 2) და იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

რჩება წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

ბოლო მაგალითიდან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი: თუ ტანგენსი პარალელურია OX ღერძის პარალელურად, ტანგენციის წერტილში ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში, თქვენ არც კი გჭირდებათ რაიმეს გამოთვლა - უბრალოდ შეხედეთ გრაფიკს.

მაღალი და დაბალი ქულების გამოთვლა

ზოგჯერ B9 ამოცანაში ფუნქციის გრაფიკის ნაცვლად მოცემულია წარმოებულის გრაფიკი და საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილის პოვნა. ამ სცენარში ორპუნქტიანი მეთოდი გამოუსადეგარია, მაგრამ არსებობს სხვა, კიდევ უფრო მარტივი ალგორითმი. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ტერმინოლოგია:

1. x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≤ f(x).

წარმოებულის გრაფიკზე მაქსიმალური და მინიმალური ქულების მოსაძებნად საკმარისია შემდეგი ნაბიჯების შესრულება:

1. გადახაზეთ წარმოებულის გრაფიკი, წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, დამატებითი მონაცემები მხოლოდ გამოსავალს ერევა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნულებს კოორდინატთა ღერძზე - და ეს არის ის.
2. გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებზე. თუ x 0 წერტილისთვის ცნობილია, რომ f'(x 0) ≠ 0, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ორი ვარიანტი: f'(x 0) ≥ 0 ან f'(x 0) ≤ 0. წარმოებულის ნიშანია მარტივია ორიგინალური ნახაზის დადგენა: თუ წარმოებული გრაფიკი დევს OX ღერძის ზემოთ, მაშინ f'(x) ≥ 0. პირიქით, თუ წარმოებული გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, მაშინ f'(x) ≤ 0.
3. ჩვენ კვლავ ვამოწმებთ წარმოებულის ნულებს და ნიშნებს. სადაც ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, არის მინიმალური წერტილი. პირიქით, თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. დათვლა ყოველთვის კეთდება მარცხნიდან მარჯვნივ.

ეს სქემა მუშაობს მხოლოდ უწყვეტი ფუნქციებისთვის - B9 პრობლემაში სხვა არ არის.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−5] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოვიშოროთ ზედმეტი ინფორმაცია - დავტოვებთ მხოლოდ საზღვრებს [−5; 5] და x = −3 და x = 2,5 წარმოებულის ნულები. ასევე გაითვალისწინეთ ნიშნები:

ცხადია, x = −3 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. ეს არის მინიმალური წერტილი.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−3; 7] და წარმოებულის ნულები x = −1.7 და x = 5. მიღებულ გრაფიკზე გაითვალისწინეთ წარმოებულის ნიშნები. Ჩვენ გვაქვს:

ცხადია, x = 5 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე - ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია სეგმენტზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი [−6; ოთხი]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა, რომლებიც მიეკუთვნება [−4; 3].

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საკმარისია გრაფის მხოლოდ სეგმენტით შემოსაზღვრული ნაწილის განხილვა [−4; 3]. ამიტომ ვაშენებთ ახალ გრაფიკს, რომელზედაც აღვნიშნავთ მხოლოდ საზღვრებს [−4; 3] და მის შიგნით წარმოებულის ნულები. კერძოდ, წერტილები x = −3.5 და x = 2. მივიღებთ:

ამ გრაფიკზე არის მხოლოდ ერთი მაქსიმალური წერტილი x = 2. სწორედ მასში იცვლება წარმოებულის ნიშანი პლუსიდან მინუსზე.

მცირე შენიშვნა არა მთელი რიცხვის კოორდინატებით წერტილების შესახებ. მაგალითად, ბოლო ამოცანაში განიხილებოდა წერტილი x = −3,5, მაგრამ იგივე წარმატებით შეგვიძლია ავიღოთ x = −3,4. თუ პრობლემა სწორად არის ჩამოყალიბებული, ასეთი ცვლილებები არ უნდა იმოქმედოს პასუხზე, ვინაიდან პუნქტები „ფიქსირებული საცხოვრებელი ადგილის გარეშე“ უშუალოდ არ არის ჩართული პრობლემის გადაჭრაში. რა თქმა უნდა, მთელი რიცხვებით, ასეთი ხრიკი არ იმუშავებს.

ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების პოვნა

ასეთ პრობლემაში, ისევე როგორც მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები, შემოთავაზებულია იპოვოთ უბნები, რომლებშიც თავად ფუნქცია იზრდება ან მცირდება წარმოებულის გრაფიკიდან. ჯერ განვსაზღვროთ რა არის აღმავალი და დაღმავალი:

1. ფუნქცია f(x) ეწოდება სეგმენტზე მზარდს, თუ ამ სეგმენტის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 დებულება მართალია: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია ფუნქციის მნიშვნელობა.
2. f(x) ფუნქციას ეწოდება კლებადი სეგმენტზე, თუ რომელიმე ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 ამ სეგმენტიდან ჭეშმარიტია: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). იმათ. არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

ჩვენ ვაყალიბებთ საკმარის პირობებს გაზრდისა და შემცირებისთვის:

1. იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე გაიზარდოს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს დადებითი, ე.ი. f'(x) ≥ 0.
2. იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე შემცირდეს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს უარყოფითი, ე.ი. f'(x) ≤ 0.

ჩვენ ვიღებთ ამ განცხადებებს მტკიცებულების გარეშე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სქემას ზრდისა და შემცირების ინტერვალების საპოვნელად, რომელიც მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია უკიდურესი წერტილების გამოთვლის ალგორითმს:

1. წაშალეთ ყველა ზედმეტი ინფორმაცია. წარმოებულის თავდაპირველ გრაფიკზე ჩვენ პირველ რიგში გვაინტერესებს ფუნქციის ნულები, ამიტომ ვტოვებთ მხოლოდ მათ.
2. მონიშნეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებში. სადაც f'(x) ≥ 0, ფუნქცია იზრდება, ხოლო სადაც f'(x) ≤ 0, ის მცირდება. თუ პრობლემას აქვს შეზღუდვები x ცვლადზე, ჩვენ დამატებით აღვნიშნავთ მათ ახალ დიაგრამაზე.
3. ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით ფუნქციის ქცევა და შეზღუდვა, რჩება პრობლემის საჭირო მნიშვნელობის გამოთვლა.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7.5]. იპოვეთ f(x) კლებადი ფუნქციის ინტერვალები. თქვენს პასუხში ჩაწერეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ხელახლა ვხატავთ გრაფიკს და აღვნიშნავთ საზღვრებს [−3; 7.5], ისევე როგორც x = −1.5 და x = 5.3 წარმოებულის ნულები. შემდეგ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნიშნებს. Ჩვენ გვაქვს:

ვინაიდან წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (− 1.5), ეს არის კლების ფუნქციის ინტერვალი. რჩება ამ ინტერვალის შიგნით არსებული ყველა რიცხვის შეჯამება:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−10] სეგმენტზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; ოთხი]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში ჩაწერეთ მათგან ყველაზე დიდის სიგრძე.

მოვიშოროთ ზედმეტი ინფორმაცია. ვტოვებთ მხოლოდ საზღვრებს [−10; 4] და წარმოებულის ნულები, რომლებიც ამჯერად ოთხი აღმოჩნდა: x = −8, x = −6, x = −3 და x = 2. გაითვალისწინეთ წარმოებულის ნიშნები და მიიღეთ შემდეგი სურათი:

ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები, ე.ი. სადაც f'(x) ≥ 0. გრაფიკზე ორი ასეთი ინტერვალია: (−8; −6) და (−3; 2). გამოვთვალოთ მათი სიგრძე:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

ვინაიდან საჭიროა ყველაზე დიდი ინტერვალების სიგრძის პოვნა, პასუხად ვწერთ მნიშვნელობას l 2 = 5.

ფუნქციის წარმოებული ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა სასკოლო სასწავლო გეგმაში. ყველა კურსდამთავრებული არ უპასუხებს კითხვას, თუ რა არის წარმოებული.

ეს სტატია უბრალოდ და ნათლად განმარტავს რა არის წარმოებული და რატომ არის საჭირო.. ჩვენ ახლა არ ვისწრაფვით პრეზენტაციის მათემატიკური სიმკაცრისკენ. მთავარია მნიშვნელობის გაგება.

გავიხსენოთ განმარტება:

წარმოებული არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე.

სურათზე ნაჩვენებია სამი ფუნქციის გრაფიკი. როგორ ფიქრობთ, რომელი იზრდება ყველაზე სწრაფად?

პასუხი აშკარაა - მესამე. მას აქვს ცვლილების ყველაზე მაღალი მაჩვენებელი, ანუ ყველაზე დიდი წარმოებული.

აი კიდევ ერთი მაგალითი.

კოსტიამ, გრიშამ და მატვეიმ ერთდროულად იმუშავეს. ვნახოთ, როგორ შეიცვალა მათი შემოსავალი წლის განმავლობაში:

თქვენ ხედავთ ყველაფერს სქემაზე დაუყოვნებლივ, არა? კოსტიას შემოსავალი ექვს თვეში გაორმაგდა. და გრიშას შემოსავალიც გაიზარდა, მაგრამ ცოტათი. მათეს შემოსავალი კი ნულამდე შემცირდა. საწყისი პირობები იგივეა, მაგრამ ფუნქციის ცვლილების სისწრაფე, ე.ი. წარმოებული, - განსხვავებული. რაც შეეხება მატვეის, მისი შემოსავლის წარმოებული ზოგადად უარყოფითია.

ინტუიციურად, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევაფასოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს?

რასაც ჩვენ რეალურად ვუყურებთ არის ის, თუ რამდენად ციცაბო მოძრაობს ფუნქციის გრაფიკი ზემოთ (ან ქვემოთ). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენად სწრაფად იცვლება y x-ით. ცხადია, ერთსა და იმავე ფუნქციას სხვადასხვა წერტილში შეიძლება ჰქონდეს წარმოებულის განსხვავებული მნიშვნელობა - ანუ ის შეიძლება შეიცვალოს უფრო სწრაფად ან ნელა.

ფუნქციის წარმოებული აღინიშნება .

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკის გამოყენებით.

შედგენილია ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი. აიღეთ წერტილი მასზე აბსცისით. დახაზეთ ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზე. ჩვენ გვინდა შევაფასოთ, თუ რამდენად ციცაბო მაღლდება ფუნქციის გრაფიკი. ამისთვის მოსახერხებელი ღირებულებაა ტანგენსის ფერდობის ტანგენსი.

ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს, რომელიც შედგენილია ფუნქციის გრაფიკზე ამ წერტილში.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ - როგორც ტანგენსის დახრის კუთხე, ვიღებთ კუთხეს ტანგენტსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის.

ზოგჯერ სტუდენტები კითხულობენ რა არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი. ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს ერთადერთი საერთო წერტილი ამ განყოფილების გრაფიკთან, უფრო მეტიც, როგორც ნაჩვენებია ჩვენს ფიგურაში. ის ჰგავს წრეზე ტანგენტს.

მოდი ვიპოვოთ. ჩვენ გვახსოვს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას მეზობელთან. სამკუთხედიდან:

ჩვენ ვიპოვეთ წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით ფუნქციის ფორმულის ცოდნის გარეშე. ასეთი დავალებები ხშირად გვხვდება მათემატიკაში გამოცდაზე ნომრის ქვეშ.

არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კორელაცია. შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით

რაოდენობა ამ განტოლებაში ეწოდება სწორი ხაზის ფერდობზე. ის ტოლია სწორი ხაზის ღერძისადმი დახრილობის კუთხის ტანგენტს.

.

ჩვენ ამას მივიღებთ

გავიხსენოთ ეს ფორმულა. იგი გამოხატავს წარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია იმ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმოებული უდრის ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს.

ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ერთსა და იმავე ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული წარმოებულები სხვადასხვა წერტილში. ვნახოთ, როგორ უკავშირდება წარმოებული ფუნქციის ქცევას.

დავხატოთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი. დაე ეს ფუნქცია გაიზარდოს ზოგიერთ რაიონში და შემცირდეს ზოგში და სხვადასხვა სიჩქარით. და მოდით ამ ფუნქციას ჰქონდეს მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

რაღაც მომენტში ფუნქცია იზრდება. წერტილში დახატული გრაფიკის ტანგენსი ქმნის მახვილ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ასე რომ, წარმოებული არის დადებითი წერტილი.

ამ ეტაპზე ჩვენი ფუნქცია მცირდება. ტანგენსი ამ წერტილში ქმნის ბლაგვ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ვინაიდან ბლაგვი კუთხის ტანგენსი უარყოფითია, წარმოებული წერტილი უარყოფითია.

აი რა ხდება:

თუ ფუნქცია იზრდება, მისი წარმოებული დადებითია.

თუ ის მცირდება, მისი წარმოებული უარყოფითია.

და რა მოხდება მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებზე? ჩვენ ვხედავთ, რომ (მაქსიმალურ წერტილში) და (მინიმალურ წერტილში) ტანგენსი ჰორიზონტალურია. მაშასადამე, ამ წერტილებში ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი არის ნული, ხოლო წარმოებულიც არის ნული.

წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი. ამ დროს ფუნქციის ზრდა იცვლება შემცირებით. შესაბამისად, წარმოებულის ნიშანი იცვლება წერტილში „პლუს“-დან „მინუსში“.

წერტილში - მინიმალურ წერტილში - წარმოებულიც ნულის ტოლია, მაგრამ მისი ნიშანი "მინუსიდან" იცვლება "პლუს".

დასკვნა: წარმოებულის დახმარებით შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს ფუნქციის ქცევის შესახებ.

თუ წარმოებული დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება.

თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება.

მაქსიმალურ წერტილში წარმოებული არის ნული და ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე.

მინიმალურ წერტილში წარმოებულიც არის ნული და ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე.

ჩვენ ვწერთ ამ დასკვნებს ცხრილის სახით:

	იზრდება	მაქსიმალური ქულა	მცირდება	მინიმალური ქულა	იზრდება
+	0	-	0	+

მოდით გავაკეთოთ ორი მცირე განმარტება. ერთი მათგანი დაგჭირდებათ საგამოცდო პრობლემების გადაჭრისას. მეორე - პირველ წელს, ფუნქციების და წარმოებულების უფრო სერიოზული შესწავლით.

შესაძლებელია შემთხვევა, როდესაც ფუნქციის წარმოებული რაღაც მომენტში ნულის ტოლია, მაგრამ ფუნქციას ამ მომენტში არც მაქსიმუმი აქვს და არც მინიმალური. ეს ე.წ :

ერთ წერტილში, გრაფიკის ტანგენსი ჰორიზონტალურია, ხოლო წარმოებული არის ნული. თუმცა, პუნქტამდე ფუნქცია გაიზარდა - და წერტილის შემდეგ ის აგრძელებს ზრდას. წარმოებულის ნიშანი არ იცვლება - ის ისეთივე დადებითი დარჩა, როგორიც იყო.

ასევე ხდება, რომ მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილში წარმოებული არ არსებობს. გრაფიკზე ეს შეესაბამება მკვეთრ წყვეტას, როდესაც შეუძლებელია მოცემულ წერტილში ტანგენტის დახატვა.

მაგრამ როგორ ვიპოვოთ წარმოებული, თუ ფუნქცია მოცემულია არა გრაფიკით, არამედ ფორმულით? ამ შემთხვევაში, ეს ეხება

სერგეი ნიკიფოროვი

თუ ფუნქციის წარმოებული მუდმივი ნიშანია ინტერვალზე, ხოლო თავად ფუნქცია უწყვეტია მის საზღვრებზე, მაშინ სასაზღვრო წერტილები მიმაგრებულია როგორც მზარდი, ისე კლებადი ინტერვალებით, რაც სრულად შეესაბამება მზარდი და კლებადი ფუნქციების განსაზღვრას.

ფარიტ იამაევი 26.10.2016 18:50

გამარჯობა. როგორ (რის საფუძველზე) შეიძლება ითქვას, რომ იმ წერტილში, სადაც წარმოებული ნულის ტოლია, ფუნქცია იზრდება. მიეცით მიზეზები. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს მხოლოდ ვიღაცის ახირებაა. რა თეორემით? და ასევე მტკიცებულება. Გმადლობთ.

მხარდაჭერა

წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში პირდაპირ არ არის დაკავშირებული ინტერვალზე ფუნქციის ზრდასთან. განვიხილოთ, მაგალითად, ფუნქციები - ისინი ყველა იზრდება სეგმენტზე

ვლადლენ პისარევი 02.11.2016 22:21

თუ ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე (a;b) და არის განსაზღვრული და უწყვეტი a და b წერტილებში, მაშინ ის იზრდება სეგმენტზე. იმათ. წერტილი x=2 შედის მოცემულ ინტერვალში.

თუმცა, როგორც წესი, ზრდა და შემცირება განიხილება არა სეგმენტზე, არამედ ინტერვალზე.

მაგრამ ზუსტად x=2 წერტილში ფუნქციას აქვს ლოკალური მინიმუმი. და როგორ ავუხსნათ ბავშვებს, რომ როდესაც ისინი ეძებენ ზრდის (კლების) წერტილებს, მაშინ ჩვენ არ ვითვლით ლოკალური ექსტრემის წერტილებს, არამედ ისინი შედიან ზრდის (კლების) ინტერვალებში.

თუ გავითვალისწინებთ, რომ გამოცდის პირველი ნაწილი „საბავშვო ბაღის საშუალო ჯგუფს“ ეხება, მაშინ ასეთი ნიუანსები ალბათ ზედმეტია.

ცალკე, დიდი მადლობა "მე მოვაგვარებ გამოცდას" ყველა თანამშრომელს - შესანიშნავი სახელმძღვანელო.

სერგეი ნიკიფოროვი

მარტივი ახსნა შეიძლება მივიღოთ, თუ დავიწყებთ მზარდი / კლებადი ფუნქციის განსაზღვრებიდან. შეგახსენებთ, რომ ასე ჟღერს: ფუნქციას ეწოდება ინტერვალზე გაზრდა/კლება, თუ ფუნქციის უფრო დიდი არგუმენტი შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ/პატარას მნიშვნელობას. ასეთი განსაზღვრება არანაირად არ იყენებს წარმოებულის ცნებას, ამიტომ არ შეიძლება წარმოიშვას კითხვები იმ წერტილების შესახებ, სადაც წარმოებული ქრება.

ირინა იშმაკოვა 20.11.2017 11:46

Შუადღემშვიდობის. აქ კომენტარებში ვხედავ რწმენას, რომ საზღვრები უნდა იყოს ჩართული. ვთქვათ, ვეთანხმები ამას. მაგრამ შეხედეთ, გთხოვთ, გადაწყვიტოთ 7089 პრობლემა. იქ, გაზრდის ინტერვალების მითითებისას, საზღვრები არ შედის. და ეს გავლენას ახდენს პასუხზე. იმათ. 6429 და 7089 ამოცანების ამონახსნები ეწინააღმდეგება ერთმანეთს. გთხოვთ განმარტოთ ეს სიტუაცია.

ალექსანდრე ივანოვი

6429 და 7089 ამოცანებს სრულიად განსხვავებული კითხვები აქვთ.

ერთში არის ზრდის ინტერვალები, მეორეში კი დადებითი წარმოებულის ინტერვალები.

არანაირი წინააღმდეგობა არ არის.

ექსტრემები შედის ზრდისა და კლების ინტერვალებში, მაგრამ წერტილები, რომლებშიც წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია, არ შედის იმ ინტერვალებში, რომლებშიც წარმოებული დადებითია.

ა ზ 28.01.2019 19:09

კოლეგებო, არსებობს წერტილის გაზრდის კონცეფცია

(იხილეთ ფიხტენჰოლცი მაგალითად)

და თქვენი გაგება x=2 წერტილში ზრდის შესახებ ეწინააღმდეგება კლასიკურ განმარტებას.

მატება და კლება პროცესია და მინდა დავიცვა ეს პრინციპი.

ნებისმიერ ინტერვალში, რომელიც შეიცავს x=2 წერტილს, ფუნქცია არ იზრდება. ამიტომ მოცემული x=2 წერტილის ჩართვა განსაკუთრებული პროცესია.

ჩვეულებრივ, დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, ინტერვალების ბოლოების ჩართვა ცალკე ნათქვამია.

ალექსანდრე ივანოვი

ფუნქციას y=f(x) ეწოდება მზარდი რაღაც ინტერვალზე, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.

x = 2 წერტილში ფუნქცია დიფერენცირებადია, ხოლო (2; 6) ინტერვალზე წარმოებული დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ მისი მნიშვნელობები მკაცრად დადებითია ინტერვალზე, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია მხოლოდ იზრდება ეს განყოფილება, ანუ ფუნქციის მნიშვნელობა მარცხენა ბოლოში x = −3-ით ნაკლები მის მნიშვნელობაზე მარჯვენა ბოლოში x = −2.

პასუხი: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) ანტიწარმოებულის გრაფიკის გამოყენება Φ 2 (x ) (ჩვენს შემთხვევაში ეს არის ლურჯი გრაფიკი), დაადგინეთ ფუნქციის 2 მნიშვნელობიდან რომელია მეტი. φ 2 (−1) ან φ 2 (4)?

ანტიწარმოებულის გრაფიკიდან ჩანს, რომ წერტილი x = −1 არის მზარდ ფართობზე, შესაბამისად შესაბამისი წარმოებულის მნიშვნელობა დადებითია. Წერტილი x = 4 არის კლებად ფართობზე და შესაბამისი წარმოებულის მნიშვნელობა უარყოფითია. ვინაიდან დადებითი მნიშვნელობა მეტია უარყოფითზე, დავასკვნით, რომ უცნობი ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც სწორედ წარმოებულია, ნაკლებია მე-4 წერტილში, ვიდრე −1 წერტილში.

პასუხი: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

თქვენ შეგიძლიათ დაუსვათ ბევრი მსგავსი შეკითხვა გამოტოვებულ გრაფიკზე, რაც იწვევს მრავალფეროვან პრობლემებს მოკლე პასუხით, რომელიც აგებულია იმავე სქემის მიხედვით. შეეცადეთ გადაჭრათ ზოგიერთი მათგანი.

წარმოებულის მახასიათებლების განსაზღვრის ამოცანები ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით.

სურათი 1.

სურათი 2.

დავალება 1

წ = ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−10.5;19). დაადგინეთ მთელი რიცხვის რაოდენობა, სადაც ფუნქციის წარმოებული დადებითია.

ფუნქციის წარმოებული დადებითია იმ ადგილებში, სადაც ფუნქცია იზრდება. ნახატიდან ჩანს, რომ ეს არის ინტერვალები (−10.5;−7.6), (−1;8.2) და (15.7;19). მოდით ჩამოვთვალოთ მთელი რიცხვები ამ ინტერვალებში: "−10", "−9", "−8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6" , "7", "8", "16", "17", "18". სულ 15 ქულაა.

პასუხი: 15

შენიშვნები.
1. როდესაც ფუნქციის გრაფიკის შესახებ ამოცანებში საჭიროა „წერტილების“ დასახელება, როგორც წესი, იგულისხმება მხოლოდ არგუმენტის მნიშვნელობები. x , რომლებიც წარმოადგენს გრაფიკზე მდებარე შესაბამისი წერტილების აბსციებს. ამ წერტილების ორდინატები არის ფუნქციის მნიშვნელობები, ისინი დამოკიდებულნი არიან და საჭიროების შემთხვევაში ადვილად გამოითვლება.
2. წერტილების ჩამოთვლისას ჩვენ არ გავითვალისწინეთ ინტერვალების კიდეები, ვინაიდან ამ წერტილებში ფუნქცია არ იზრდება ან მცირდება, არამედ „იხსნება“. ასეთ წერტილებში წარმოებული არც დადებითია და არც უარყოფითი, ის ნულის ტოლია, ამიტომ მათ სტაციონარულ წერტილებს უწოდებენ. გარდა ამისა, ჩვენ აქ არ განვიხილავთ დომენის საზღვრებს, რადგან პირობა ამბობს, რომ ეს არის ინტერვალი.

დავალება 2

სურათი 1 გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს წ = ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−10.5;19). დაადგინეთ მთელი რიცხვის რაოდენობა, რომლებზეც არის ფუნქციის წარმოებული ვ" (x ) უარყოფითია.

ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია იმ ადგილებში, სადაც ფუნქცია მცირდება. ნახაზი აჩვენებს, რომ ეს არის ინტერვალები (−7.6;−1) და (8.2;15.7). მთელი რიცხვები ამ ინტერვალებში: "−7","−6", "−5","−4", "−3","−2", "9","10", "11","12 ", "13", "14", "15". სულ 13 ქულაა.

პასუხი: 13

იხილეთ შენიშვნები წინა პრობლემის შესახებ.

შემდეგი პრობლემების გადასაჭრელად, კიდევ ერთი განმარტება უნდა გვახსოვდეს.

ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური რაოდენობა გაერთიანებულია საერთო სახელით - ექსტრემალური წერტილები .

ამ წერტილებში ფუნქციის წარმოებული ან ქრება ან არ არსებობს ( აუცილებელი პირობა ექსტრემისთვის).
თუმცა, აუცილებელი პირობა არის ნიშანი, მაგრამ არა ფუნქციის ექსტრემუმის არსებობის გარანტი. საკმარისი პირობა ექსტრემისთვისარის წარმოებულის ნიშნის ცვლილება: თუ წარმოებული ერთ წერტილში ცვლის ნიშანს "+"-დან "−", მაშინ ეს არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი; თუ წარმოებული წერტილში ცვლის ნიშანს "−"-დან "+", მაშინ ეს არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი; თუ რომელიმე წერტილში ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია ან არ არსებობს, მაგრამ წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილში გავლისას არ იცვლება საპირისპიროდ, მაშინ მითითებული წერტილი არ არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი. ეს შეიძლება იყოს გადახრის წერტილი, წყვეტის წერტილი ან ფუნქციის გრაფიკის წერტილი.

დავალება 3

სურათი 1 გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს წ = ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−10.5;19). იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი წრფის პარალელურია წ = 6 ან ემთხვევა მას.

შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა წ = kx + ბ , სად კ- ამ სწორი ხაზის დახრილობის კოეფიციენტი ღერძზე ოქსი. ჩვენს შემთხვევაში კ= 0, ე.ი. სწორი წ = 6 არ არის დახრილი, მაგრამ ღერძის პარალელურად ოქსი. ამიტომ სასურველი ტანგენტებიც ღერძის პარალელურად უნდა იყოს ოქსიდა ასევე უნდა ჰქონდეს დახრის კოეფიციენტი 0. ტანგენტებს აქვთ ეს თვისება ფუნქციების უკიდურეს წერტილებში. ამიტომ, კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თქვენ უბრალოდ უნდა დათვალოთ ყველა უკიდურესი წერტილი სქემაზე. მათგან 4-ია - ორი მაქსიმალური ქულა და ორი მინიმალური ქულა.

პასუხი: 4

დავალება 4

ფუნქციები წ = ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−11;23). იპოვეთ სეგმენტზე ფუნქციის უკიდურესი წერტილების ჯამი.

მითითებულ სეგმენტზე ჩვენ ვხედავთ 2 ექსტრემალურ წერტილს. ფუნქციის მაქსიმუმი მიიღწევა წერტილში x 1 = 4, მინიმალური წერტილი x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

პასუხი: 12

დავალება 5

სურათი 1 გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს წ = ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−10.5;19). იპოვეთ პუნქტების რაოდენობა, სადაც არის ფუნქციის წარმოებული ვ" (x ) უდრის 0-ს.

ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის უკიდურეს წერტილებში, რომელთაგან 4 ჩანს გრაფიკზე:
2 მაღალი და 2 დაბალი.

პასუხი: 4

ფუნქციის მახასიათებლების განსაზღვრის ამოცანები მისი წარმოებულის გრაფიკიდან.

სურათი 1.

სურათი 2.

დავალება 6

სურათი 2 გვიჩვენებს გრაფიკს ვ" (x ) - ფუნქციის წარმოებული ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−11;23). [−6;2] სეგმენტის რომელ წერტილშია ფუნქცია ვ (x ) იღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას.

მითითებულ სეგმენტზე წარმოებული არსად იყო დადებითი, შესაბამისად, ფუნქცია არ გაიზარდა. იგი შემცირდა ან გაიარა სტაციონარული წერტილებით. ამრიგად, ფუნქციამ მიაღწია მაქსიმალურ მნიშვნელობას სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე: x = −6.

პასუხი: −6

კომენტარი: წარმოებულის გრაფიკიდან ჩანს, რომ სეგმენტზე [−6;2] უდრის ნულს სამჯერ: წერტილებში x = −6, x = −2, x = 2. მაგრამ წერტილში x = −2, მან არ შეცვალა ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ ამ მომენტში არ შეიძლება არსებობდეს ფუნქციის ექსტრემუმი. სავარაუდოდ, თავდაპირველი ფუნქციის გრაფიკში არსებობდა გადახრის წერტილი.

დავალება 7

სურათი 2 გვიჩვენებს გრაფიკს ვ" (x ) - ფუნქციის წარმოებული ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−11;23). სეგმენტის რომელ წერტილში იღებს ფუნქციას ყველაზე მცირე მნიშვნელობა.

სეგმენტზე, წარმოებული არის მკაცრად დადებითი, შესაბამისად, ფუნქცია მხოლოდ გაიზარდა ამ სეგმენტზე. ამრიგად, ფუნქციამ მიაღწია ყველაზე დაბალ მნიშვნელობას სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე: x = 3.

პასუხი: 3

დავალება 8

სურათი 2 გვიჩვენებს გრაფიკს ვ" (x ) - ფუნქციის წარმოებული ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−11;23). იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა ვ (x ) ინტერვალის კუთვნილი [−5;10].

აუცილებელი ექსტრემალური მდგომარეობის მიხედვით, ფუნქციის მაქსიმუმი შესაძლოაიმ წერტილებში, სადაც მისი წარმოებული ნულის ტოლია. მოცემულ სეგმენტზე ეს არის პუნქტები: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. მაგრამ საკმარისი პირობის მიხედვით ის აუცილებლად იქნებამხოლოდ მათში, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება "+"-დან "−". წარმოებულის გრაფიკზე ვხედავთ, რომ ჩამოთვლილი წერტილებიდან მხოლოდ წერტილია ასეთი x = 6.

პასუხი: 1

დავალება 9

სურათი 2 გვიჩვენებს გრაფიკს ვ" (x ) - ფუნქციის წარმოებული ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−11;23). იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა ვ (x ) სეგმენტის კუთვნილება .

ფუნქციის უკიდურესობა შეიძლება იყოს იმ წერტილებში, სადაც მისი წარმოებული 0-ის ტოლია. წარმოებული გრაფიკის მოცემულ სეგმენტზე ჩვენ ვხედავთ 5 ასეთ წერტილს: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. მაგრამ წერტილში x = 14 წარმოებულს არ შეუცვლია ნიშანი, ამიტომ ის უნდა გამოირიცხოს განხილვისგან. ამრიგად, 4 ქულა რჩება.

პასუხი: 4

დავალება 10

სურათი 1 გვიჩვენებს გრაფიკს ვ" (x ) - ფუნქციის წარმოებული ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−10.5;19). იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ (x ). თქვენს პასუხში ჩაწერეთ მათგან ყველაზე დიდის სიგრძე.

ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ემთხვევა წარმოებულის პოზიტიურობის ინტერვალებს. გრაფიკზე ვხედავთ სამ მათგანს - (−9;−7), (4;12), (18;19). მათგან ყველაზე გრძელი მეორეა. მისი სიგრძე ლ = 12 − 4 = 8.

პასუხი: 8

დავალება 11

სურათი 2 გვიჩვენებს გრაფიკს ვ" (x ) - ფუნქციის წარმოებული ვ (x ) განსაზღვრულია ინტერვალზე (−11;23). იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ტანგენსია ფუნქციის გრაფიკზე ვ (x ) არის წრფის პარალელურად წ = −2x − 11 ან ემთხვევა მას.

მოცემული სწორი წრფის დახრის კოეფიციენტი (ასევე დახრის კუთხის ტანგენსი) k = −2. ჩვენ გვაინტერესებს პარალელური ან დამთხვევა ტანგენტები, ე.ი. სწორი ხაზები იგივე დახრილობით. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან გამომდინარე - ფუნქციის გრაფიკის განხილულ წერტილში ტანგენსის დახრილობა, ხელახლა ვიანგარიშებთ იმ წერტილებს, რომლებშიც წარმოებული არის −2. ნახაზ 2-ზე არის 9 ასეთი წერტილი. მოსახერხებელია მათი დათვლა გრაფიკისა და ღერძზე −2 მნიშვნელობის გამავალი ბადის კვეთებზე. ოი.

პასუხი: 9

როგორც ხედავთ, იმავე გრაფიკის გამოყენებით, შეგიძლიათ დასვათ სხვადასხვა კითხვები ფუნქციის ქცევისა და მისი წარმოებულის შესახებ. ასევე, იგივე კითხვა შეიძლება მიეწეროს სხვადასხვა ფუნქციის გრაფიკებს. ფრთხილად იყავით გამოცდაზე ამ პრობლემის გადაჭრისას და ძალიან გაგიადვილდებათ. ამ დავალების სხვა ტიპის ამოცანები - ანტიწარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე - განხილული იქნება სხვა ნაწილში.