ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი საიტზე სტუდენტებისა და სკოლის მოსწავლეების მიერ გაშუქებული მასალის სრული კონსოლიდაციისთვის და მათი პრაქტიკული უნარების სწავლისთვის. როგორ გამოვიყენოთ ლიმიტის კალკულატორი ონლაინ ჩვენს რესურსზე? ეს კეთდება თუნდაც ძალიან მარტივად, უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ ორიგინალური ფუნქცია არსებულ ველში, ამოირჩიოთ ცვლადის საჭირო ზღვრული მნიშვნელობა სელექტორიდან და დააჭიროთ ღილაკს "გადაწყვეტა". თუ რაღაც მომენტში გჭირდებათ ლიმიტის მნიშვნელობის გამოთვლა, მაშინ უნდა შეიყვანოთ სწორედ ამ წერტილის მნიშვნელობა - რიცხვითი ან სიმბოლური. ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი დაგეხმარებათ იპოვოთ ზღვრული მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში, ლიმიტი ფუნქციის განსაზღვრის ინტერვალში და ეს მნიშვნელობა, სადაც შესწავლილი ფუნქციის მნიშვნელობა ჩქარობს, როდესაც მისი არგუმენტი მოცემულ წერტილამდე მიდის, არის გამოსავალი. ლიმიტი. ჩვენს რესურსზე ონლაინ ლიმიტის კალკულატორის მიხედვით, საიტს შეუძლია შემდეგი თქვას - ინტერნეტში ანალოგების დიდი რაოდენობაა, შეგიძლიათ იპოვოთ ღირსეული, თქვენ უნდა მოძებნოთ ეს გაჭირვებით. მაგრამ აქ თქვენ წააწყდებით იმ ფაქტს, რომ ერთი საიტიდან მეორე საიტი განსხვავებულია. ბევრი მათგანი საერთოდ არ გვთავაზობს ონლაინ ლიმიტის კალკულატორს, ჩვენგან განსხვავებით. თუ რომელიმე ცნობილ საძიებო სისტემაში, იქნება ეს Yandex ან Google, ეძებთ საიტებს ფრაზით „ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი“, მაშინ საიტი იქნება ძიების შედეგების პირველ ხაზებზე. ეს ნიშნავს, რომ ეს საძიებო სისტემები გვენდობიან და ჩვენს საიტზე არის მხოლოდ მაღალი ხარისხის კონტენტი და რაც მთავარია სასარგებლო სკოლისა და უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის! განვაგრძოთ საუბარი ლიმიტის კალკულატორებზე და ზოგადად ლიმიტზე გადასვლის თეორიაზე. ძალიან ხშირად, ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრისას ფორმულირებულია სამეზობლოების ცნება. აქ ფუნქციების საზღვრები, ისევე როგორც ამ ლიმიტების ამოხსნა, შესწავლილია მხოლოდ იმ წერტილებში, რომლებიც შემზღუდველია ფუნქციების განსაზღვრის სფეროსთვის, რადგან ვიცით, რომ ასეთი წერტილის თითოეულ სამეზობლოში არის წერტილები განსაზღვრის დომენიდან. ამ ფუნქციას. ეს საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ ცვლადი ფუნქციის ტენდენციაზე მოცემულ წერტილზე. თუ ფუნქციის დომენის რომელიმე წერტილში არის ლიმიტი და ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი იძლევა ფუნქციის დეტალურ ლიმიტულ გადაწყვეტას მოცემულ წერტილში, მაშინ ფუნქცია უწყვეტია ამ წერტილში. მოდით, ჩვენმა ონლაინ ლიმიტის კალკულატორმა გამოსავლით გარკვეული დადებითი შედეგი მოგვცეს და ჩვენ მას სხვა საიტებზე შევამოწმებთ. ამან შეიძლება დაამტკიცოს ჩვენი რესურსის ხარისხი და, როგორც ბევრმა უკვე იცის, ის საუკეთესოა და იმსახურებს უმაღლეს შექებას. ამასთან, არსებობს ონლაინ კალკულატორის ლიმიტების შესაძლებლობა, დეტალური გადაწყვეტით, ისწავლოს დამოუკიდებლად, მაგრამ პროფესიონალი მასწავლებლის მჭიდრო მეთვალყურეობის ქვეშ. ხშირად ეს ქმედება გამოიწვევს მოსალოდნელ შედეგებს. ყველა სტუდენტი უბრალოდ ოცნებობს, რომ ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი ამოხსნით დეტალურად აღწერს მათ რთულ ამოცანას, რომელიც მასწავლებელმა აჩვენა სემესტრის დასაწყისში. მაგრამ ეს არც ისე მარტივია. ჯერ უნდა შეისწავლოთ თეორია, შემდეგ კი გამოიყენოთ უფასო კალკულატორი. ონლაინ ლიმიტების მსგავსად, კალკულატორი მოგაწვდით საჭირო ჩანაწერების დეტალებს და შედეგით კმაყოფილი დარჩებით. მაგრამ განსაზღვრების დომენის ზღვრული წერტილი შეიძლება არ მიეკუთვნებოდეს განმარტების ამ დომენს და ეს დასტურდება ონლაინ ლიმიტის კალკულატორის დეტალური გაანგარიშებით. მაგალითი: ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ფუნქციის ზღვარი ღია სეგმენტის ბოლოებზე, რომელზედაც ჩვენი ფუნქციაა განსაზღვრული. ამ შემთხვევაში, თავად სეგმენტის საზღვრები არ შედის განმარტების დომენში. ამ თვალსაზრისით, ამ წერტილის სამეზობლოების სისტემა არის ქვესიმრავლეების ასეთი ბაზის განსაკუთრებული შემთხვევა. ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი დეტალური გადაწყვეტით იწარმოება რეალურ დროში და მასზე გამოიყენება ფორმულები მოცემული აშკარა ანალიტიკური ფორმით. ფუნქციის ლიმიტი ონლაინ ლიმიტის კალკულატორის გამოყენებით დეტალური ამოხსნით არის მიმდევრობის ლიმიტის კონცეფციის განზოგადება: თავდაპირველად, ფუნქციის ლიმიტი წერტილში გაგებული იყო, როგორც დიაპაზონის ელემენტების თანმიმდევრობის ზღვარი. ფუნქციის, რომელიც შედგება მოცემულ წერტილში მყოფი ფუნქციის დომენის ელემენტების მიმდევრობის წერტილების გამოსახულებებისაგან (ლიმიტი, რომელზეც განიხილება); თუ ასეთი ლიმიტი არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია უახლოვდება მითითებულ მნიშვნელობას; თუ ასეთი ლიმიტი არ არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია განსხვავდება. ზოგადად რომ ვთქვათ, ზღვარზე გადასვლის თეორია არის ყველა მათემატიკური ანალიზის ძირითადი კონცეფცია. ყველაფერი დაფუძნებულია ზუსტად ლიმიტის გადასვლებზე, ანუ ლიმიტების დეტალური გადაწყვეტა არის მათემატიკური ანალიზის მეცნიერების საფუძველი, ხოლო ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი საფუძველს უქმნის სტუდენტის სწავლას. ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი დეტალური გადაწყვეტით საიტზე არის უნიკალური სერვისი რეალურ დროში ზუსტი და მყისიერი პასუხის მისაღებად. არცთუ იშვიათად, უფრო სწორად ძალიან ხშირად, მოსწავლეებს მაშინვე უჭირთ ლიმიტების ამოხსნა მათემატიკური ანალიზის საწყისი შესწავლისას. ჩვენ გარანტიას ვაძლევთ, რომ ჩვენს სერვისზე ლიმიტის კალკულატორის ონლაინ გადაჭრა არის სიზუსტის და მაღალი ხარისხის პასუხის მიღების გარანტი. კალკულატორით ლიმიტის დეტალურ ამოხსნაზე პასუხს რამდენიმე წამში მიიღებთ, შეიძლება მყისიერადაც კი თქვათ. . თუ მიუთითებთ არასწორ მონაცემებს, ანუ სიმბოლოებს, რომლებიც არ არის დაშვებული სისტემის მიერ, არა უშავს, სერვისი ავტომატურად შეგატყობინებთ შეცდომის შესახებ. შეასწორეთ ადრე შეყვანილი ფუნქცია (ან ლიმიტის წერტილი) და მიიღეთ სწორი დეტალური გადაწყვეტა ონლაინ ლიმიტის კალკულატორით. გვერწმუნეთ და ჩვენ არასოდეს გაგიცრუებთ. თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გამოიყენოთ საიტი და გადაწყვეტილებით ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი დეტალურად აღწერს პრობლემის გამოთვლის ნაბიჯ-ნაბიჯ ნაბიჯებს. თქვენ უბრალოდ უნდა დაელოდოთ რამდენიმე წამს და მიიღოთ სასურველი პასუხი. ონლაინ კალკულატორით ლიმიტების გადასაჭრელად, დეტალური გადაწყვეტილებით, გამოიყენება ყველა შესაძლო ტექნიკა, განსაკუთრებით L'Hospital მეთოდი გამოიყენება ძალიან ხშირად, რადგან ის უნივერსალურია და იწვევს პასუხს უფრო სწრაფად, ვიდრე ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლის სხვა მეთოდებს. . ხშირად ლიმიტის კალკულატორის ონლაინ დეტალური გადაწყვეტა საჭიროა რიცხვების თანმიმდევრობის ჯამის გამოსათვლელად. მოგეხსენებათ, რიცხვითი მიმდევრობის ჯამის საპოვნელად საჭიროა მხოლოდ ამ თანმიმდევრობის ნაწილობრივი ჯამის სწორად გამოხატვა, შემდეგ კი ყველაფერი მარტივია ჩვენი საიტის უფასო სერვისის გამოყენებით, რადგან ლიმიტის გაანგარიშება ჩვენი ონლაინ ლიმიტის კალკულატორის გამოყენებით ნაწილობრივი ჯამი იქნება რიცხვითი მიმდევრობის საბოლოო ჯამი. დეტალური გადაწყვეტა ლიმიტის კალკულატორით ონლაინ საიტის სერვისის გამოყენებით სტუდენტებს საშუალებას აძლევს დაინახონ პრობლემების გადაჭრის პროგრესი, რაც აადვილებს და ხელმისაწვდომს ხდის ლიმიტების თეორიის გაგებას თითქმის ყველასთვის. იყავით კონცენტრირებული და ნუ მისცემთ უფლებას არასწორ ქმედებებს ცუდი შეფასებების გამო პრობლემები შეგაწუხოთ. როგორც ნებისმიერი დეტალური გადაწყვეტა ონლაინ სერვისის ლიმიტის კალკულატორით, პრობლემა წარმოდგენილი იქნება მოსახერხებელი და გასაგები ფორმით, დეტალური გადაწყვეტით, გადაწყვეტის მიღების ყველა წესისა და რეგულაციის დაცვით. ამავდროულად, შეგიძლიათ დაზოგოთ. დრო და ფული, რადგან ამისთვის აბსოლუტურად არაფერს ვითხოვთ. ჩვენს ვებგვერდზე, ონლაინ ლიმიტის კალკულატორების დეტალური გადაწყვეტა ყოველთვის ხელმისაწვდომია დღეში ოცდაოთხი საათის განმავლობაში. სინამდვილეში, ყველა ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი, რომელსაც აქვს გადაწყვეტა, შეიძლება დეტალურად არ აჩვენოს ნაბიჯ-ნაბიჯ გადაწყვეტის პროგრესი, თქვენ არ უნდა დაივიწყოთ ეს და მიჰყვეთ ყველას. როგორც კი ონლაინ კალკულატორის ლიმიტები დეტალური გადაწყვეტით მოგთხოვთ დააწკაპუნოთ ღილაკზე "გადაწყვეტა", მაშინ ჯერ გთხოვთ შეამოწმოთ ყველაფერი. ანუ შეამოწმეთ შეყვანილი ფუნქცია, ასევე ლიმიტის მნიშვნელობა და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელეთ მოქმედება. ეს გიხსნით მტკივნეული გამოცდილებისგან წარუმატებელი გამოთვლებისთვის. შემდეგ კი ონლაინ კალკულატორის საზღვრები დეტალური კანონით მისცემს ნაბიჯ-ნაბიჯ მოქმედების სწორ ფაქტორულ წარმოდგენას. თუ ონლაინ ლიმიტის კალკულატორმა მოულოდნელად არ მისცა დეტალური გადაწყვეტა, მაშინ ამის რამდენიმე მიზეზი შეიძლება იყოს. პირველ რიგში, შეამოწმეთ წერილობითი ფუნქციის გამოხატულება. ის უნდა შეიცავდეს ცვლადს "x", წინააღმდეგ შემთხვევაში მთელი ფუნქცია სისტემა განიხილება როგორც მუდმივი. შემდეგი, შეამოწმეთ ლიმიტის მნიშვნელობა, თუ მიუთითეთ მოცემული წერტილი ან სიმბოლური მნიშვნელობა. ის ასევე უნდა შეიცავდეს მხოლოდ ლათინურ ასოებს - ეს მნიშვნელოვანია! შემდეგ შეგიძლიათ სცადოთ ხელახლა იპოვოთ ლიმიტების დეტალური გადაწყვეტა ონლაინ ჩვენს შესანიშნავ სერვისზე და გამოიყენოთ შედეგი. როგორც კი იტყვიან, რომ ონლაინ გადაწყვეტილების საზღვრები დეტალურად ძალიან რთულია - არ დაიჯეროთ და რაც მთავარია პანიკაში ჩავარდეთ, ტრენინგ კურსის ფარგლებში ყველაფერი ნებადართულია. გირჩევთ, პანიკის გარეშე, სულ რამდენიმე წუთი დაუთმოთ ჩვენს მომსახურებას და შეამოწმოთ მოცემული სავარჯიშო. თუ, მიუხედავად ამისა, ონლაინ გადაწყვეტის საზღვრები დეტალურად ვერ გადაიჭრება, მაშინ შეცდომა დაუშვით, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში საიტი აგვარებს თითქმის ნებისმიერ პრობლემას დიდი სირთულის გარეშე. მაგრამ არ არის საჭირო იმაზე ფიქრი, რომ შრომისა და ძალისხმევის გარეშე დაუყოვნებლივ შეგიძლიათ მიიღოთ სასურველი შედეგი. ნებისმიერ საჭიროებაზე, დაუთმოს საკმარისი დრო მასალის შესწავლას. შესაძლებელია თითოეული ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი ხსნარით გამოირჩეოდეს დეტალურად ექსპოზიციური ხსნარის აგების ეტაპზე და ვივარაუდოთ პირიქით. მაგრამ არ აქვს მნიშვნელობა როგორ გამოვხატოთ ეს, რადგან ჩვენ შეშფოთებულნი ვართ მეცნიერული მიდგომის თავად პროცესით. შედეგად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ეფუძნება ლიმიტის კალკულატორი ონლაინ გადაწყვეტილებით მათემატიკის, როგორც მეცნიერების ფუნდამენტურ ასპექტზე. განსაზღვრეთ ხუთი ძირითადი პრინციპი და დაიწყეთ წინსვლა. მოგეკითხებათ, ხელმისაწვდომია თუ არა ლიმიტის კალკულატორის გადაწყვეტა ონლაინ ყველასთვის დეტალური გადაწყვეტილებით, და თქვენ უპასუხებთ - დიახ, ასეა! შესაძლოა, ამ თვალსაზრისით არ არის განსაკუთრებული აქცენტი შედეგებზე, მაგრამ ონლაინ ლიმიტს აქვს ოდნავ განსხვავებული მნიშვნელობა დეტალურად, ვიდრე ეს შეიძლება ჩანდეს დისციპლინის შესწავლის დასაწყისში. დაბალანსებული მიდგომით, ძალების სათანადო განლაგებით, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად გამოიტანოთ ლიმიტი ონლაინ დეტალურად.! სინამდვილეში, ეს იქნება ის, რომ ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი დეტალური გადაწყვეტით დაიწყებს ნაბიჯ-ნაბიჯ გაანგარიშების ყველა ნაბიჯის პროპორციულად წარმოჩენას უფრო სწრაფად.

მიმდევრობისა და ფუნქციების საზღვრების ცნებები. როცა საჭიროა მიმდევრობის ზღვრის პოვნა, ის ასე იწერება: lim xn=a. მიმდევრობათა ასეთ მიმდევრობაში xn მიდრეკილია a-სკენ, n კი უსასრულობისკენ. მიმდევრობა ჩვეულებრივ წარმოდგენილია სერიების სახით, მაგალითად:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
თანმიმდევრობები იყოფა აღმავალ და დაღმავალებად. Მაგალითად:
xn=n^2 - მზარდი თანმიმდევრობა
yn=1/n - თანმიმდევრობა
მაგალითად, xn=1/n^ მიმდევრობის ზღვარი:
lim1/n^2=0

x→∞
ეს ზღვარი ნულის ტოლია, რადგან n→∞ და თანმიმდევრობა 1/n^2 მიდრეკილია ნულისკენ.

ჩვეულებრივ, ცვლადი x მიდრეკილია a სასრულ ზღვრამდე, უფრო მეტიც, x მუდმივად უახლოვდება a-ს, ხოლო a-ს მნიშვნელობა მუდმივია. ეს იწერება შემდეგნაირად: limx = a, ხოლო n ასევე შეიძლება მიდრეკილი იყოს როგორც ნულისკენ, ასევე უსასრულობისკენ. უსასრულო ფუნქციებია, მათთვის ზღვარი უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. სხვა შემთხვევებში, როდესაც, მაგალითად, მატარებლის შენელების ფუნქცია, შესაძლებელია ლიმიტი ნულისკენ მიდრეკილი.
ლიმიტებს აქვს მთელი რიგი თვისებები. როგორც წესი, ნებისმიერ ფუნქციას აქვს მხოლოდ ერთი ლიმიტი. ეს არის ლიმიტის მთავარი თვისება. სხვები ჩამოთვლილია ქვემოთ:
* ჯამის ლიმიტი უდრის ლიმიტების ჯამს:
lim(x+y)=limx+limy
* პროდუქტის ზღვარი ტოლია ლიმიტების ნამრავლის:
lim(xy)=limx*limy
* კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ზღვრების კოეფიციენტის:
lim(x/y)=lim x/lim y
* მუდმივი ფაქტორი ამოღებულია ზღვრული ნიშნიდან:
lim(Cx)=C lim x
მოცემულია ფუნქცია 1 /x, სადაც x →∞, მისი ზღვარი არის ნული. თუ x→0, მაშინ ასეთი ფუნქციის ზღვარი უდრის ∞-ს.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის არის ასეთი წესები. ვინაიდან sin x ფუნქცია ყოველთვის ერთისკენ მიისწრაფვის, როცა ის უახლოვდება ნულს, იდენტურობა მასზე მოქმედებს:
lim sin x/x=1

რიგ ფუნქციებში, რომლის ზღვრების გაანგარიშებისას წარმოიქმნება გაურკვევლობა - სიტუაცია, რომელშიც ლიმიტის გამოთვლა შეუძლებელია. ერთადერთი გამოსავალი ამ სიტუაციიდან არის L'Hopital. არსებობს ორი სახის გაურკვევლობა:
* ფორმის გაურკვევლობა 0/0
* ∞/∞ ფორმის გაურკვევლობა
მაგალითად, მოცემულია შემდეგი ფორმის ლიმიტი: lim f(x)/l(x), უფრო მეტიც, f(x0)=l(x0)=0. ამ შემთხვევაში, არსებობს 0/0 ფორმის გაურკვევლობა. ასეთი პრობლემის გადასაჭრელად ხდება ორივე ფუნქციის დიფერენცირება, რის შემდეგაც იპოვება შედეგის ზღვარი. 0/0 ფორმის გაურკვევლობისთვის ზღვარი არის:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (როგორც x→0)
იგივე წესი მოქმედებს ∞/∞ ტიპის გაურკვევლობებზე. მაგრამ ამ შემთხვევაში ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობა: f(x)=l(x)=∞
L'Hospital წესის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი ლიმიტის მნიშვნელობები, რომლებშიც გაურკვევლობა ჩნდება. სავალდებულო პირობა ამისთვის

მოცულობა - წარმოებულების პოვნაში შეცდომების არარსებობა. მაგალითად, ფუნქციის წარმოებული (x^2)" უდრის 2x-ს. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ:
f"(x)=nx^(n-1)

ფუნქციის ლიმიტი- ნომერი აიქნება გარკვეული ცვლადის მნიშვნელობის ზღვარი, თუ მისი ცვლილების პროცესში ეს ცვლადი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება ა.

ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვი აარის ფუნქციის ზღვარი y=f(x)წერტილში x0, თუ ფუნქციის განსაზღვრის სფეროდან პუნქტების რომელიმე მიმდევრობისთვის, არ არის ტოლი x0და რომელიც ემთხვევა წერტილს x 0 (lim x n = x0), ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების თანმიმდევრობა გადადის რიცხვთან ა.

ფუნქციის გრაფიკი, რომლის ზღვარი უსასრულობისკენ მიდრეკილი არგუმენტით არის ლ:

მნიშვნელობა მაგრამარის ფუნქციის ლიმიტი (ზღვრული მნიშვნელობა). f(x)წერტილში x0თუ პუნქტების რომელიმე თანმიმდევრობისთვის , რომელიც იყრის თავს x0, მაგრამ რომელიც არ შეიცავს x0როგორც მისი ერთ-ერთი ელემენტი (ანუ პუნქციურ უბანში x0), ფუნქციის მნიშვნელობების თანმიმდევრობა ემთხვევა ა.

ფუნქციის ზღვარი კოშის მიხედვით.

მნიშვნელობა აიქნება ფუნქციის ლიმიტი f(x)წერტილში x0თუ რომელიმე წინ აღებული არაუარყოფითი რიცხვისთვის ε მოიძებნება არაუარყოფითი შესაბამისი რიცხვი δ = δ(ε) ისეთი, რომ ყოველი არგუმენტისთვის x, აკმაყოფილებს პირობას 0 < | x - x0 | < δ , უთანასწორობა | f(x) A |< ε .

ეს ძალიან მარტივი იქნება, თუ გესმით ლიმიტის არსი და მისი პოვნის ძირითადი წესები. რომ ფუნქციის ლიმიტი ვ(x)ზე xმიისწრაფვის აუდრის ა, ასე წერია:

უფრო მეტიც, მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიდრეკილია ცვლადი x, შეიძლება იყოს არა მხოლოდ რიცხვი, არამედ უსასრულობაც (∞), ზოგჯერ +∞ ან -∞, ან შეიძლება საერთოდ არ იყოს ლიმიტი.

იმის გასაგებად, თუ როგორ იპოვნეთ ფუნქციის საზღვრები, უმჯობესია ნახოთ გადაწყვეტილებების მაგალითები.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის საზღვრები ვ(x) = 1/x at:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

მოდი ვიპოვოთ პირველი ლიმიტის ამოხსნა. ამისათვის თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ჩაანაცვლოთ xრიცხვი, რომლისკენაც მიისწრაფვის, ე.ი. 2, ჩვენ ვიღებთ:

იპოვეთ ფუნქციის მეორე ზღვარი. აქ ჩაანაცვლეთ სუფთა სახით 0-ის ნაცვლად xშეუძლებელია, რადგან არ შეიძლება დაიყოს 0-ზე. მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მნიშვნელობები ნულთან ახლოს, მაგალითად, 0.01; 0,001; 0.0001; 0.00001 და ასე შემდეგ, ფუნქციის მნიშვნელობით ვ(x)გაიზრდება: 100; 1000; 10000; 100000 და ასე შემდეგ. ამრიგად, შეიძლება გავიგოთ, რომ როდესაც x→ 0 ლიმიტის ნიშნის ქვეშ მყოფი ფუნქციის მნიშვნელობა განუსაზღვრელი ვადით გაიზრდება, ე.ი. სწრაფვა უსასრულობისკენ. Რაც ნიშნავს:

რაც შეეხება მესამე ლიმიტს. იგივე სიტუაცია, როგორც წინა შემთხვევაში, შეუძლებელია ჩანაცვლება ∞ მისი სუფთა სახით. ჩვენ უნდა განვიხილოთ შეუზღუდავი ზრდის შემთხვევა x. ჩვენ მონაცვლეობით ვცვლით 1000; 10000; 100000 და ასე შემდეგ, გვაქვს ფუნქციის ეს მნიშვნელობა ვ(x) = 1/xშემცირდება: 0,001; 0.0001; 0,00001; და ასე შემდეგ ნულისკენ მიდრეკილება. Ისე:

აუცილებელია ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლა

მეორე მაგალითის ამოხსნის დაწყებით, ჩვენ ვხედავთ გაურკვევლობას. აქედან ვპოულობთ მრიცხველისა და მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხს - ეს არის x 3, ამოვიღებთ მას მრიცხველში და მნიშვნელში ფრჩხილებიდან და ვამცირებთ მასზე:

უპასუხე

პირველი ნაბიჯი ამ ლიმიტის პოვნა, ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა 1-ის ნაცვლად x, რაც იწვევს გაურკვევლობას . მის ამოსახსნელად, ჩვენ ვანაწილებთ მრიცხველს ფაქტორებად, ამას გავაკეთებთ კვადრატული განტოლების ფესვების მოძიებით. x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

ასე რომ, მრიცხველი იქნება:

უპასუხე

ეს არის მისი სპეციფიკური მნიშვნელობის ან კონკრეტული არეალის განსაზღვრა, სადაც ფუნქცია მოდის, რომელიც შეზღუდულია ლიმიტით.

ლიმიტების გადასაწყვეტად დაიცავით წესები:

არსი და მთავარი რომ გაიგო შეზღუდვის გადაწყვეტილების წესები, თქვენ მიიღებთ ძირითად გაგებას, თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ ისინი.

შეზღუდვები მათემატიკის ყველა სტუდენტს უამრავ პრობლემას უქმნის. ლიმიტის გადასაჭრელად, ზოგჯერ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ბევრი ხრიკი და აირჩიოთ სხვადასხვა გადაწყვეტილებებიდან ზუსტად ის, რაც შესაფერისია კონკრეტული მაგალითისთვის.

ამ სტატიაში ჩვენ არ დაგეხმარებით თქვენი შესაძლებლობების საზღვრების გაგებაში ან კონტროლის საზღვრების გაგებაში, მაგრამ შევეცდებით ვუპასუხოთ კითხვას: როგორ გავიგოთ საზღვრები უმაღლეს მათემატიკაში? გაგება გამოცდილებასთან ერთად მოდის, ამიტომ ამავდროულად მივცემთ ლიმიტების ამოხსნის რამდენიმე დეტალურ მაგალითს განმარტებებით.

ლიმიტის ცნება მათემატიკაში

პირველი კითხვაა: რა არის ზღვარი და რისი ზღვარი? შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი მიმდევრობებისა და ფუნქციების საზღვრებზე. ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია, რადგან სწორედ მათ ხვდებიან სტუდენტები ყველაზე ხშირად. მაგრამ პირველი, ლიმიტის ყველაზე ზოგადი განმარტება:

ვთქვათ, არის რაღაც ცვლადი. თუ ეს მნიშვნელობა ცვლილების პროცესში განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება გარკვეულ რიცხვს ა , მაშინ ა არის ამ მნიშვნელობის ზღვარი.

რაღაც ინტერვალში განსაზღვრული ფუნქციისთვის f(x)=y ლიმიტი არის რაოდენობა ა , რომლისკენ მიდრეკილია ფუნქცია როცა X მიდრეკილია გარკვეული წერტილისკენ ა . Წერტილი ა მიეკუთვნება იმ ინტერვალს, რომელზედაც ფუნქციის განსაზღვრა ხდება.

უხერხულად ჟღერს, მაგრამ ძალიან მარტივად წერია:

ლიმ- ინგლისურიდან ზღვარი- ზღვარი.

ლიმიტის განსაზღვრის გეომეტრიული ახსნაც არსებობს, მაგრამ აქ თეორიაში არ შევალთ, ვინაიდან საკითხის უფრო პრაქტიკული, ვიდრე თეორიული მხარე გვაინტერესებს. როცა ამას ვამბობთ X მიდრეკილია გარკვეული მნიშვნელობისკენ, ეს ნიშნავს, რომ ცვლადი არ იღებს რიცხვის მნიშვნელობას, არამედ უახლოვდება მას უსასრულოდ ახლოს.

ავიღოთ კონკრეტული მაგალითი. გამოწვევა არის ლიმიტის პოვნა.

ამ მაგალითის გადასაჭრელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას x=3 ფუნქციაში. ჩვენ ვიღებთ:

სხვათა შორის, თუ გაინტერესებთ, წაიკითხეთ ცალკე სტატია ამ თემაზე.

მაგალითებში X შეუძლია ნებისმიერი ღირებულებისკენ მიდრეკილება. ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ან უსასრულობა. აქ არის მაგალითი, როდესაც X მიდრეკილია უსასრულობისკენ:

ინტუიციურად ნათელია, რომ რაც უფრო დიდია რიცხვი მნიშვნელში, მით უფრო მცირე მნიშვნელობას მიიღებს ფუნქცია. ასე რომ, შეუზღუდავი ზრდით X მნიშვნელობა 1/x შემცირდება და მიუახლოვდება ნულს.

როგორც ხედავთ, ლიმიტის გადასაჭრელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ ფუნქცია, რომლისკენაც ისწრაფვით. X . თუმცა ეს უმარტივესი შემთხვევაა. ხშირად ლიმიტის პოვნა არც ისე აშკარაა. საზღვრებში არსებობს ტიპის გაურკვევლობა 0/0 ან უსასრულობა/უსასრულობა . რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევებში? გამოიყენეთ ხრიკები!

გაურკვევლობა შიგნით

უსასრულობის/უსასრულობის ფორმის განუსაზღვრელობა

იყოს ლიმიტი:

თუ შევეცდებით უსასრულობის ჩანაცვლებას ფუნქციაში, მივიღებთ უსასრულობას როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში. ზოგადად, ღირს იმის თქმა, რომ ასეთი გაურკვევლობების გადაჭრაში არსებობს ხელოვნების გარკვეული ელემენტი: თქვენ უნდა შეამჩნიოთ, თუ როგორ შეგიძლიათ გარდაქმნათ ფუნქცია ისე, რომ გაურკვევლობა გაქრეს. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს და მნიშვნელს X უფროს ხარისხში. Რა მოხდება?

ზემოთ უკვე განხილული მაგალითიდან ვიცით, რომ მნიშვნელში x შემცველი ტერმინები ნულისკენ მიისწრაფვიან. მაშინ ლიმიტის გამოსავალი არის:

ტიპის გაურკვევლობის გამოსავლენად უსასრულობა/უსასრულობაგაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი Xუმაღლესი ხარისხით.

Ჰო მართლა! ჩვენი მკითხველისთვის ახლა მოქმედებს 10%-იანი ფასდაკლება

სხვა ტიპის გაურკვევლობა: 0/0

როგორც ყოველთვის, ჩანაცვლება მნიშვნელობის ფუნქციაში x=-1 აძლევს 0 მრიცხველში და მნიშვნელში. ცოტა უფრო კარგად დააკვირდით და შეამჩნევთ, რომ მრიცხველში გვაქვს კვადრატული განტოლება. მოდი ვიპოვოთ ფესვები და დავწეროთ:

შევამციროთ და მივიღოთ:

ასე რომ, თუ შეგხვდებათ ტიპის გაურკვევლობა 0/0 - მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია.

მაგალითების ამოხსნის გასაადვილებლად, აქ მოცემულია ცხრილი რამდენიმე ფუნქციის საზღვრებით:

L'Hopital-ის წესი შიგნით

კიდევ ერთი ძლიერი გზა ორივე ტიპის გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად. რა არის მეთოდის არსი?

თუ ზღვარში არის გაურკვევლობა, ვიღებთ მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულს, სანამ განუსაზღვრელობა არ გაქრება.

ვიზუალურად, L'Hopital-ის წესი ასე გამოიყურება:

მნიშვნელოვანი წერტილი : ლიმიტი, რომელშიც მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაცვლად არის წარმოებულები მრიცხველისა და მნიშვნელისა, უნდა არსებობდეს.

ახლა კი რეალური მაგალითი:

ტიპიური გაურკვევლობაა 0/0 . აიღეთ მრიცხველის და მნიშვნელის წარმოებულები:

Voila, გაურკვევლობა აღმოფხვრილი სწრაფად და ელეგანტურად.

ვიმედოვნებთ, რომ თქვენ შეძლებთ ამ ინფორმაციის გამოყენებას პრაქტიკაში და იპოვით პასუხს კითხვაზე „როგორ ამოხსნათ ლიმიტები უმაღლეს მათემატიკაში“. თუ თქვენ უნდა გამოთვალოთ მიმდევრობის ლიმიტი ან ფუნქციის ლიმიტი წერტილში, და ამ სამუშაოსთვის დრო არ არის სიტყვიდან "აბსოლუტურად", დაუკავშირდით პროფესიონალ სტუდენტურ სამსახურს სწრაფი და დეტალური გადაწყვეტისთვის.

პირველ შესანიშნავ ზღვარს ეწოდება შემდეგი თანასწორობა:

\begin(განტოლება)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(განტოლება)

ვინაიდან $\alpha\to(0)$-ისთვის გვაქვს $\sin\alpha\to(0)$, ჩვენ ვამბობთ, რომ პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტი ავლენს $\frac(0)(0)$ ფორმის განუსაზღვრელობას. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფორმულაში (1), $\alpha$ ცვლადის ნაცვლად, სინუს ნიშნის ქვეშ და მნიშვნელში, ნებისმიერი გამოხატულება შეიძლება განთავსდეს, თუ დაკმაყოფილებულია ორი პირობა:

1. გამონათქვამები სინუს ნიშნის ქვეშ და მნიშვნელში ერთდროულად მიდრეკილია ნულისკენ, ე.ი. არსებობს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა.
2. გამონათქვამები სინუს ნიშნის ქვეშ და მნიშვნელში იგივეა.

ასევე ხშირად გამოიყენება პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის დასკვნა:

\begin(განტოლება) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(განტოლება) \begin(განტოლება) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(განტოლება) \begin(განტოლება) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \ბოლო (განტოლება)

თერთმეტი მაგალითი მოგვარებულია ამ გვერდზე. მაგალითი No1 ეთმობა (2)-(4) ფორმულების დადასტურებას. მაგალითები #2, #3, #4 და #5 შეიცავს გადაწყვეტილებებს დეტალური კომენტარებით. მაგალითები 6-10 შეიცავს გადაწყვეტილებებს მცირე ან კომენტარის გარეშე, რადგან დეტალური ახსნა იყო მოცემული წინა მაგალითებში. ამოხსნისას გამოიყენება რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს.

მე აღვნიშნავ, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არსებობა, $\frac (0) (0)$-ის გაურკვევლობასთან ერთად, არ ნიშნავს, რომ უნდა იქნას გამოყენებული პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი. ზოგჯერ საკმარისია მარტივი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნები - მაგალითად, იხ.

მაგალითი #1

დაამტკიცეთ, რომ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

ა) ვინაიდან $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, მაშინ:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

ვინაიდან $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ და $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, მაშინ:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ბ) გავაკეთოთ ჩანაცვლება $\alpha=\sin(y)$. ვინაიდან $\sin(0)=0$, მაშინ $\alpha\to(0)$ მდგომარეობიდან გვაქვს $y\to(0)$. გარდა ამისა, არის ნულის სამეზობლო, სადაც $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, ასე რომ:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

დადასტურებულია ტოლობა $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.

გ) გავაკეთოთ ჩანაცვლება $\alpha=\tg(y)$. ვინაიდან $\tg(0)=0$, პირობები $\alpha\to(0)$ და $y\to(0)$ ექვივალენტურია. გარდა ამისა, არის ნულის სამეზობლო, სადაც $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, შესაბამისად, a წერტილის შედეგებზე დაყრდნობით, გვექნება:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

დადასტურებულია ტოლობა $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

ტოლობები a), b), c) ხშირად გამოიყენება პირველ საყურადღებო ზღვართან ერთად.

მაგალითი #2

ლიმიტის გამოთვლა $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

ვინაიდან $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ და $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ე.ი. ხოლო წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ერთდროულად მიდრეკილია ნულისკენ, მაშინ აქ საქმე გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის განუსაზღვრელობასთან, ე.ი. შესრულებულია. გარდა ამისა, ჩანს, რომ გამონათქვამები სინუს ნიშნის ქვეშ და მნიშვნელში იგივეა (ე.ი. და დაკმაყოფილებულია):

ასე რომ, გვერდის დასაწყისში ჩამოთვლილი ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია. აქედან გამომდინარეობს, რომ ფორმულა გამოიყენება, ე.ი. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

უპასუხე: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

მაგალითი #3

იპოვეთ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

ვინაიდან $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ და $\lim_(x\to(0))x=0$, საქმე გვაქვს $\frac(-ის ფორმის გაურკვევლობასთან. 0 )(0)$, ე.ი. შესრულებულია. თუმცა, გამონათქვამები სინუს ნიშნის ქვეშ და მნიშვნელში არ ემთხვევა. აქ საჭიროა მნიშვნელში გამოხატვის სასურველ ფორმაზე მორგება. ჩვენ გვჭირდება გამონათქვამი $9x$ რომ იყოს მნიშვნელში - მაშინ ის გახდება ჭეშმარიტი. ძირითადად, ჩვენ გამოგვრჩება $9$-ის ფაქტორი მნიშვნელში, რომლის შეყვანა არც ისე რთულია, უბრალოდ გაამრავლეთ მნიშვნელის გამოხატულება $9$-ზე. ბუნებრივია, 9$-ზე გამრავლების კომპენსაციისთვის მოგიწევთ დაუყოვნებლივ გაყოთ $9$-ზე და გაყოთ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\მარცხნივ|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

ახლა გამონათქვამები მნიშვნელში და სინუს ნიშნის ქვეშ იგივეა. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ლიმიტის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია. აქედან გამომდინარე, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. და ეს ნიშნავს, რომ:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

უპასუხე: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

მაგალითი #4

იპოვეთ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

ვინაიდან $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ და $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, აქ საქმე გვაქვს გაურკვევლობასთან. ფორმა $\frac(0)(0)$. თუმცა, პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ფორმა დარღვეულია. მრიცხველი, რომელიც შეიცავს $\sin(5x)$-ს, მოითხოვს $5x$ მნიშვნელში. ამ სიტუაციაში ყველაზე მარტივი გზაა მრიცხველის გაყოფა $5x$-ზე და დაუყოვნებლივ გამრავლება $5x$-ზე. გარდა ამისა, ჩვენ გავაკეთებთ მსგავს ოპერაციას მნიშვნელით, გავამრავლებთ და გავყოფთ $\tg(8x)$-ზე $8x$-ზე:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\მარცხნივ|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$-ით შემცირება და $\frac(5)(8)$ მუდმივი ლიმიტის ნიშნიდან ამოღება, მივიღებთ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

გაითვალისწინეთ, რომ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ სრულად აკმაყოფილებს პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის მოთხოვნებს. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$-ის საპოვნელად გამოიყენება შემდეგი ფორმულა:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

უპასუხე: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

მაგალითი #5

იპოვეთ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

ვინაიდან $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (შეგახსენებთ, რომ $\cos(0)=1$) და $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, მაშინ საქმე გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის განუსაზღვრელობასთან. თუმცა, პირველი მშვენიერი ლიმიტის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა მოიცილოთ კოსინუსი მრიცხველში სინუსებზე (იმისთვის, რომ შემდეგ გამოიყენოთ ფორმულა) ან ტანგენტები (იმისთვის, რომ შემდეგ გამოიყენოთ ფორმულა). ამის გაკეთება შეგიძლიათ შემდეგი ტრანსფორმაციის საშუალებით:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\მარჯვნივ)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

დავუბრუნდეთ ლიმიტს:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\მარცხნივ|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\მარჯვნივ) $$

ფრაქცია $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ უკვე ახლოსაა პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტისთვის საჭირო ფორმასთან. მოდით ცოტა ვიმუშაოთ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ წილადთან, დავარეგულიროთ იგი პირველ შესანიშნავ ზღვარზე (გაითვალისწინეთ, რომ გამონათქვამები მრიცხველში და სინუსში უნდა ემთხვეოდეს):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\მარჯვნივ)^2$$

დავუბრუნდეთ განხილულ ლიმიტს:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\მარჯვნივ) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

უპასუხე: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

მაგალითი #6

იპოვეთ ლიმიტი $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

ვინაიდან $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ და $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, მაშინ საქმე გვაქვს $\frac(0)(0)$-ის გაურკვევლობასთან. მოდით გავხსნათ იგი პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის დახმარებით. ამისათვის გადავიდეთ კოსინუსებიდან სინუსებზე. ვინაიდან $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, მაშინ:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

სინუსების მოცემულ ზღვარზე გადასვლისას გვექნება:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\მარცხნივ|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\მარცხნივ(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

უპასუხე: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

მაგალითი #7

გამოთვალეთ ლიმიტი $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ მოცემული $\alpha\neq\ beta $.

დეტალური განმარტებები ადრე იყო მოცემული, მაგრამ აქ ჩვენ უბრალოდ აღვნიშნავთ, რომ კვლავ არის $\frac(0)(0)$-ის განუსაზღვრელობა. მოდით გადავიდეთ კოსინუსებიდან სინუსებზე ფორმულის გამოყენებით

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\მარცხნივ|\frac(0)( 0)\მარჯვნივ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ ბეტა(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

უპასუხე: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ალფა^2)(2)$.

მაგალითი #8

იპოვეთ ლიმიტი $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

ვინაიდან $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (გაიხსენეთ, რომ $\sin(0)=\tg(0)=0$) და $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, მაშინ აქ საქმე გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის განუსაზღვრელობასთან. მოდით დავშალოთ ასე:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\მარჯვნივ))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

უპასუხე: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

მაგალითი #9

იპოვეთ ლიმიტი $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

ვინაიდან $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ და $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, მაშინ არის $\frac(0)(0)$ ფორმის განუსაზღვრელობა. სანამ მის გაფართოებას გააგრძელებთ, მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა ისე, რომ ახალი ცვლადი ნულისკენ მიისწრაფვის (გაითვალისწინეთ, რომ ცვლადი $\alpha \0$-მდე ფორმულებში). უმარტივესი გზაა $t=x-3$ ცვლადის შემოღება. თუმცა, შემდგომი გარდაქმნების მოხერხებულობისთვის (ეს სარგებელი ჩანს ქვემოთ მოყვანილი ამოხსნის პროცესში), ღირს შემდეგი ჩანაცვლება: $t=\frac(x-3)(2)$. აღვნიშნავ, რომ ორივე ჩანაცვლება გამოიყენება ამ შემთხვევაში, მხოლოდ მეორე ჩანაცვლება საშუალებას მოგცემთ ნაკლები იმუშაოთ წილადებთან. $x\to(3)$, შემდეგ $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\მარცხნივ|\frac (0)(0)\მარჯვნივ| =\მარცხნივ|\begin(გასწორებული)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(გასწორებული)\მარჯვნივ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\მარჯვნივ) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

უპასუხე: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

მაგალითი #10

იპოვეთ ლიმიტი $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

ისევ გვაქვს საქმე $\frac(0)(0)$-ის გაურკვევლობასთან. სანამ მის გაფართოებას გააგრძელებთ, მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა ისე, რომ ახალი ცვლადი ნულისკენ მიისწრაფვის (გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულებში ცვლადი არის $\alpha\to(0)$). უმარტივესი გზაა $t=\frac(\pi)(2)-x$ ცვლადის შემოღება. ვინაიდან $x\to\frac(\pi)(2)$, შემდეგ $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\მარჯვნივ)^2) =\მარცხნივ|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\მარცხნივ|\begin(გასწორებული)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(გასწორებული)\მარჯვნივ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\მარჯვნივ)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

უპასუხე: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

მაგალითი #11

იპოვეთ ლიმიტები $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

ამ შემთხვევაში, ჩვენ არ უნდა გამოვიყენოთ პირველი მშვენიერი ლიმიტი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: როგორც პირველ, ასევე მეორე ზღვრებში არის მხოლოდ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და რიცხვები. ხშირად, ამ ტიპის მაგალითებში, შესაძლებელია ლიმიტის ნიშნის ქვეშ მდებარე გამოხატვის გამარტივება. უფრო მეტიც, აღნიშნული გამარტივებისა და ზოგიერთი ფაქტორის შემცირების შემდეგ გაურკვევლობა ქრება. მე მოვიყვანე ეს მაგალითი მხოლოდ ერთი მიზნით: მეჩვენებინა, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არსებობა ზღვრის ნიშნის ქვეშ სულაც არ ნიშნავს პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის გამოყენებას.

ვინაიდან $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (გაიხსენეთ, რომ $\sin\frac(\pi)(2)=1$) და $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (გაიხსენეთ, რომ $\cos\frac(\pi)(2)=0$), მაშინ საქმე გვაქვს გაურკვევლობასთან $\frac(0)(0)$ ფორმის. თუმცა, ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტი. გაურკვევლობის გამოსავლენად, საკმარისია გავითვალისწინოთ, რომ $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\მარცხნივ|\frac(0)(0)\მარჯვნივ| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

მსგავსი გამოსავალია დემიდოვიჩის ამოხსნის წიგნში (No475). რაც შეეხება მეორე ლიმიტს, როგორც ამ განყოფილების წინა მაგალითებში, გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა. რატომ ჩნდება? ის წარმოიქმნება იმის გამო, რომ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ და $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. ჩვენ ვიყენებთ ამ მნიშვნელობებს მრიცხველში და მნიშვნელში გამოსახულებების გარდაქმნისთვის. ჩვენი მოქმედებების მიზანია ჯამის ჩაწერა მრიცხველში და მნიშვნელში, როგორც ნამრავლი. სხვათა შორის, ხშირად მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა მსგავსი ფორმის ფარგლებში ისე, რომ ახალი ცვლადი ნულისკენ მიისწრაფვის (იხილეთ, მაგალითად, მაგალითები No9 ან No10 ამ გვერდზე). თუმცა ამ მაგალითში აზრი არ აქვს ცვლადის ჩანაცვლებას, თუმცა სურვილის შემთხვევაში $t=x-\frac(2\pi)(3)$ ცვლადის ჩანაცვლება მარტივია.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\მარჯვნივ))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\მარჯვნივ)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

როგორც ხედავთ, პირველი მშვენიერი ლიმიტის გამოყენება არ დაგვჭირდა. რა თქმა უნდა, ეს შეიძლება გაკეთდეს სურვილის შემთხვევაში (იხილეთ შენიშვნა ქვემოთ), მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი.

რა იქნება გამოსავალი პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის გამოყენებით? ჩვენება დამალვა

პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ მარჯვნივ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

უპასუხე: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.