განაწილების ფუნქცია შეიცავს სრულ ინფორმაციას შემთხვევითი ცვლადის შესახებ. პრაქტიკაში, განაწილების ფუნქცია ყოველთვის არ შეიძლება ჩამოყალიბდეს; ზოგჯერ ასეთი ამომწურავი ცოდნა არ არის საჭირო. შემთხვევითი ცვლადის შესახებ ნაწილობრივი ინფორმაცია მოცემულია რიცხვითი მახასიათებლებით, რომლებიც, ინფორმაციის ტიპის მიხედვით, იყოფა შემდეგ ჯგუფებად.
1. შემთხვევითი ცვლადის პოზიციის მახასიათებლები რიცხვით ღერძზე (რეჟიმი მო, მედიანა მე, მოსალოდნელი ღირებულება M(X)).
2. შემთხვევითი ცვლადის გავრცელების მახასიათებლები საშუალო მნიშვნელობის გარშემო (დისპერსია D(X), სტანდარტული გადახრა σ( X)).
3. მრუდის ფორმის მახასიათებლები წ = φ( x) (ასიმეტრია როგორც, ქურთოზი მაგ).
მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული ეს მახასიათებელი.
Მოსალოდნელი ღირებულება
შემთხვევითი ცვლადი Xმიუთითებს საშუალო მნიშვნელობაზე, რომლის გარშემოც დაჯგუფებულია ყველა შესაძლო მნიშვნელობა X. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მხოლოდ სასრული რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობები, მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნამრავლების ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა:
. (2.4)
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის X, რომელსაც აქვს მოცემული განაწილების სიმკვრივე φ( x) მათემატიკური მოლოდინი არის შემდეგი ინტეგრალი: 
. (2.5)
აქ ვარაუდობენ, რომ არასწორი ინტეგრალი აბსოლიტურად იყრის თავს, ე.ი. არსებობს.
მათემატიკური მოლოდინის თვისებები:
1. ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ) = C, სად თან = კონსტ;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± ᲩᲔᲛᲘ), სადაც Xდა ი– ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადი;
4. M(X∙ი)=M(X)∙ᲩᲔᲛᲘ), სადაც Xდა იდამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადებია.
ორი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება დამოუკიდებელი
თუ ერთი მათგანის განაწილების კანონი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა შესაძლო მნიშვნელობებს აიღო მეორე მნიშვნელობა.
მოდა
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, აღინიშნება მო, მის ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობას უწოდებენ (ნახ. 2.3), ხოლო უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის რეჟიმი არის მნიშვნელობა, რომლის ალბათობის სიმკვრივე მაქსიმალურია (ნახ. 2.4). 
ბრინჯი. 2.3 ნახ. 2.4
მედიანური
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xმის მნიშვნელობას Me ეწოდება ისეთი, რისთვისაც თანაბრად სავარაუდოა, შემთხვევითი ცვლადი ნაკლები იქნება თუ მეტი მე, ე.ი.
P(X < მე) = P(X > მე)
მედიანის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ P(X<მე) = 0,5, ე.ი. ფ (მე) = 0,5. გეომეტრიულად, მედიანა შეიძლება განიმარტოს, როგორც აბსციზა, რომელშიც ორდინატი φ( x) ყოფს განაწილების მრუდით შემოსაზღვრულ ფართობს (ნახ. 2.5). სიმეტრიული განაწილების შემთხვევაში მედიანა ემთხვევა რეჟიმს და მათემატიკურ მოლოდინს (ნახ. 2.6). 
ბრინჯი. 2.5 ნახ. 2.6
დისპერსია.
შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია- მოცემული შემთხვევითი ცვლადის გავრცელების საზომი, ანუ მისი გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან. აღინიშნება დ[X] რუსულ ლიტერატურაში და (ინგლ. დისპერსიას) უცხო ქვეყნებში. სტატისტიკაში აღნიშვნა ან ხშირად გამოიყენება. დისპერსიის კვადრატულ ფესვს, ტოლი , ეწოდება სტანდარტული გადახრა, სტანდარტული გადახრა ან სტანდარტული გავრცელება. სტანდარტული გადახრა იზომება იმავე ერთეულებში, როგორც თავად შემთხვევითი ცვლადი, ხოლო ვარიაცია იზომება ამ ერთეულის კვადრატებში.
ჩებიშევის უთანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ შემთხვევითი ცვლადი შორდება მის მათემატიკური მოლოდინს მეტით. კსტანდარტული გადახრები 1/-ზე ნაკლები ალბათობით კ². ასე, მაგალითად, შემთხვევათა სულ მცირე 75%-ში, შემთხვევითი ცვლადი ამოღებულია საშუალოდან არაუმეტეს ორი სტანდარტული გადახრით, ხოლო დაახლოებით 89%-ში - არაუმეტეს სამით.
დისპერსია
შემთხვევით ცვლადს ეწოდება მათემატიკური მოლოდინი მისი გადახრის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი.
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია Xმოსახერხებელია გამოთვლა ფორმულით:
ა) დისკრეტული რაოდენობით
; (2.6)
ბ) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის
j( X) დ x – 2 . (2.7)
დისპერსიას აქვს შემდეგი თვისებები:
1. D(C) = 0, სადაც თან = კონსტ;
2. D(C× X) = C 2 ∙ D(X);
3. დ(X± ი) = დ(X) + დ(ი), თუ Xდა იდამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები.
Სტანდარტული გადახრა
შემთხვევითი ცვლადი Xეწოდება დისპერსიის არითმეტიკული ფესვი, ე.ი.
σ( X) = .
გაითვალისწინეთ, რომ განზომილება σ( X) ემთხვევა თავად შემთხვევითი ცვლადის განზომილებას X, ამიტომ სტანდარტული გადახრა უფრო მოსახერხებელია გაფანტვის დახასიათებისთვის.
შემთხვევითი ცვლადების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლების განზოგადება არის შემთხვევითი ცვლადის მომენტების კონცეფცია.
kth ბრძანების საწყისი მომენტი
α კშემთხვევითი ცვლადი Xსიდიდის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება X კ, ე.ი. α კ = M(X კ).
პირველი რიგის საწყისი მომენტი არის შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.
kth რიგის ცენტრალური მომენტი
μ კშემთხვევითი ცვლადი Xეწოდება რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი ( X–M(X))კ, ე.ი. μ კ = M(X–M(X))კ.
მეორე რიგის ცენტრალური მომენტი არის შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის საწყისი მომენტი გამოიხატება α ჯამით კ= , ხოლო ცენტრალური არის μ ჯამი კ = 
სადაც p i = p(X=x i). უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის საწყისი და ცენტრალური მომენტებისთვის შეიძლება მივიღოთ შემდეგი ტოლობები:
α კ = , μ კ = 
,
სადაც φ( x) არის X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე.
ღირებულება როგორც= μ 3 / σ 3 ეწოდება ასიმეტრიის კოეფიციენტი
.
თუ ასიმეტრიის კოეფიციენტი უარყოფითია, მაშინ ეს მიუთითებს დიდ გავლენას m 3 უარყოფითი გადახრების მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში, განაწილების მრუდი (ნახ. 2.7) უფრო ბრტყელია მარცხნივ M(X). თუ კოეფიციენტი As დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ დადებითი გადახრების გავლენა ჭარბობს, მაშინ განაწილების მრუდი (ნახ. 2.7) მარჯვნივ უფრო ბრტყელია. პრაქტიკაში, ასიმეტრიის ნიშანი განისაზღვრება განაწილების მრუდის მდებარეობით რეჟიმის მიმართ (დიფერენციალური ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი). 
ბრინჯი. 2.7
ქურთოზი
ეკრაოდენობას უწოდებენ
ეკ\u003d μ 4 / σ 4 - 3.
კითხვა 24: კორელაცია
კორელაცია (კორელაციური დამოკიდებულება) - ორი ან მეტი შემთხვევითი ცვლადის სტატისტიკური კავშირი (ან ცვლადები, რომლებიც ასეთად შეიძლება ჩაითვალოს გარკვეული მისაღები სიზუსტით). ამ შემთხვევაში, ამ რაოდენობის ერთი ან რამდენიმე მნიშვნელობის ცვლილებას თან ახლავს სხვა ან სხვა რაოდენობების მნიშვნელობების სისტემატური ცვლილება. ორი შემთხვევითი ცვლადის კორელაციის მათემატიკური საზომია კორელაციური ურთიერთობა, ან კორელაციის კოეფიციენტი (ან ). თუ ერთი შემთხვევითი ცვლადის ცვლილება არ იწვევს სხვა შემთხვევითი ცვლადის რეგულარულ ცვლილებას, მაგრამ იწვევს ამ შემთხვევითი ცვლადის სხვა სტატისტიკური მახასიათებლის ცვლილებას, მაშინ ასეთი ურთიერთობა არ განიხილება კორელაციად, თუმცა ის სტატისტიკურია.
პირველად, ტერმინი „კორელაცია“ სამეცნიერო მიმოქცევაში შემოიტანა ფრანგმა პალეონტოლოგმა ჟორჟ კუვიემ XVIII საუკუნეში. მან შეიმუშავა ცოცხალი არსების ნაწილებისა და ორგანოების „კორელაციის კანონი“, რომლის დახმარებითაც შესაძლებელია ნამარხი ცხოველის გარეგნობის აღდგენა, რომლის განკარგულებაშია მისი ნაშთების მხოლოდ ნაწილი. სტატისტიკაში სიტყვა „კორელაცია“ პირველად გამოიყენა ინგლისელმა ბიოლოგმა და სტატისტიკოსმა ფრენსის გალტონმა მე-19 საუკუნის ბოლოს.
კორელაციის კოეფიციენტების ზოგიერთი ტიპი შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი (ასევე შესაძლებელია, რომ არ არსებობდეს სტატისტიკური კავშირი - მაგალითად, დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადებისთვის). თუ ვივარაუდებთ, რომ ცვლადების მნიშვნელობებზე მოცემულია მკაცრი რიგის კავშირი, მაშინ უარყოფითი კორელაცია- კორელაცია, რომლის დროსაც ერთი ცვლადის ზრდა დაკავშირებულია მეორე ცვლადის შემცირებასთან, კორელაციის კოეფიციენტი კი შეიძლება იყოს უარყოფითი; დადებითი კორელაციაასეთ პირობებში, კორელაცია, რომლის დროსაც ერთი ცვლადის ზრდა დაკავშირებულია მეორე ცვლადის ზრდასთან, ხოლო კორელაციის კოეფიციენტი შეიძლება იყოს დადებითი.
ალბათობის თეორია მათემატიკის განსაკუთრებული დარგია, რომელსაც მხოლოდ უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტები სწავლობენ. გიყვართ გამოთვლები და ფორმულები? არ გეშინიათ ნორმალური განაწილების, ანსამბლის ენტროპიის, მათემატიკური მოლოდინისა და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის გაცნობის პერსპექტივის? მაშინ ეს თემა ძალიან საინტერესო იქნება თქვენთვის. მოდით გავეცნოთ მეცნიერების ამ მონაკვეთის რამდენიმე ყველაზე მნიშვნელოვან ძირითად კონცეფციას.
გავიხსენოთ საფუძვლები
მაშინაც კი, თუ გახსოვთ ალბათობის თეორიის უმარტივესი ცნებები, ნუ უგულებელყოფთ სტატიის პირველ პუნქტებს. ფაქტია, რომ საფუძვლების მკაფიო გაგების გარეშე, თქვენ ვერ შეძლებთ იმუშაოთ ქვემოთ განხილულ ფორმულებთან.
ასე რომ, არის რაღაც შემთხვევითი მოვლენა, რაღაც ექსპერიმენტი. განხორციელებული ქმედებების შედეგად შეიძლება მივიღოთ რამდენიმე შედეგი - ზოგიერთი მათგანი უფრო ხშირია, ზოგი ნაკლებად გავრცელებული. მოვლენის ალბათობა არის ერთი ტიპის რეალურად მიღებული შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობასთან. მხოლოდ ამ კონცეფციის კლასიკური განმარტების ცოდნით, შეგიძლიათ დაიწყოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის შესწავლა.
საშუალო
ჯერ კიდევ სკოლაში, მათემატიკის გაკვეთილებზე, დაიწყე საშუალო არითმეტიკით მუშაობა. ეს კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება ალბათობის თეორიაში და ამიტომ მისი იგნორირება არ შეიძლება. ჩვენთვის ამ მომენტში მთავარია, რომ მას შევხვდეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის ფორმულებში.
ჩვენ გვაქვს რიცხვების თანმიმდევრობა და გვინდა ვიპოვოთ საშუალო არითმეტიკული. ყველაფერი რაც ჩვენგან გვჭირდება არის შევაჯამოთ ყველაფერი ხელმისაწვდომი და გავყოთ თანმიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე. გვქონდეს რიცხვები 1-დან 9-მდე. ელემენტების ჯამი იქნება 45 და ამ მნიშვნელობას გავყოფთ 9-ზე პასუხი: - 5.
დისპერსია
მეცნიერული თვალსაზრისით, ვარიაცია არის მიღებული მახასიათებლის მნიშვნელობების არითმეტიკული საშუალოდან გადახრების საშუალო კვადრატი. ერთი აღინიშნება დიდი ლათინური ასო D. რა არის საჭირო მის გამოსათვლელად? მიმდევრობის თითოეული ელემენტისთვის ჩვენ ვიანგარიშებთ განსხვავებას ხელმისაწვდომ რიცხვსა და საშუალო არითმეტიკას შორის და კვადრატში. იქნება ზუსტად იმდენი მნიშვნელობა, რამდენიც შეიძლება იყოს შედეგი იმ მოვლენისთვის, რომელსაც განვიხილავთ. შემდეგი, ჩვენ ვაჯამებთ მიღებულ ყველაფერს და ვყოფთ თანმიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე. თუ გვაქვს ხუთი შესაძლო შედეგი, მაშინ გავყოთ ხუთზე.
დისპერსიას ასევე აქვს თვისებები, რომლებიც უნდა გახსოვდეთ, რათა გამოიყენოთ ის პრობლემების გადაჭრისას. მაგალითად, თუ შემთხვევითი ცვლადი გაიზარდა X-ჯერ, დისპერსია იზრდება X-ჯერ კვადრატზე (ე.ი. X*X). ის არასოდეს არის ნულზე ნაკლები და არ არის დამოკიდებული მნიშვნელობების თანაბარი მნიშვნელობით ზემოთ ან ქვევით გადანაცვლებაზე. ასევე დამოუკიდებელ ცდებზე ჯამის დისპერსია უდრის დისპერსიების ჯამს.
ახლა ჩვენ აუცილებლად უნდა განვიხილოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის და მათემატიკური მოლოდინის დისპერსიის მაგალითები.
ვთქვათ, ჩავატარეთ 21 ექსპერიმენტი და მივიღეთ 7 განსხვავებული შედეგი. თითოეულ მათგანს დავაკვირდით, შესაბამისად, 1,2,2,3,4,4 და 5-ჯერ. რა იქნება განსხვავება?
პირველ რიგში, ჩვენ ვიანგარიშებთ საშუალო არითმეტიკას: ელემენტების ჯამი, რა თქმა უნდა, არის 21. ვყოფთ მას 7-ზე, ვიღებთ 3-ს. ახლა გამოვაკლებთ 3-ს თავდაპირველი მიმდევრობის თითოეულ რიცხვს, კვადრატში ვამატებთ შედეგებს და ვამატებთ შედეგებს. . გამოდის 12. ახლა ჩვენთვის რჩება რიცხვი გავყოთ ელემენტების რაოდენობაზე და, როგორც ჩანს, სულ ესაა. მაგრამ არის დაჭერა! მოდი ვიმსჯელოთ.
ექსპერიმენტების რაოდენობაზე დამოკიდებულება
გამოდის, რომ დისპერსიის გამოთვლისას, მნიშვნელი შეიძლება იყოს ორი რიცხვიდან ერთი: ან N ან N-1. აქ N არის შესრულებული ექსპერიმენტების რაოდენობა ან ელემენტების რაოდენობა მიმდევრობაში (რაც არსებითად იგივეა). რაზეა ეს დამოკიდებული?
თუ ტესტების რაოდენობა ასობით არის გაზომილი, მაშინ მნიშვნელში N უნდა ჩავსვათ, თუ ერთეულებში, მაშინ N-1. მეცნიერებმა გადაწყვიტეს საზღვრის დახატვა საკმაოდ სიმბოლურად: დღეს ის გადის 30 რიცხვზე. თუ ჩავატარეთ 30-ზე ნაკლები ექსპერიმენტი, მაშინ რაოდენობას გავყოფთ N-1-ზე, ხოლო თუ მეტია, მაშინ N-ზე.
დავალება
მოდით დავუბრუნდეთ დისპერსიისა და მოლოდინის პრობლემის გადაჭრის ჩვენს მაგალითს. მივიღეთ შუალედური რიცხვი 12, რომელიც უნდა გავყოთ N-ზე ან N-1-ზე. ვინაიდან 21 ექსპერიმენტი ჩავატარეთ, რაც 30-ზე ნაკლებია, მეორე ვარიანტს ავირჩევთ. ასე რომ, პასუხი არის: განსხვავება არის 12/2 = 2.
Მოსალოდნელი ღირებულება
გადავიდეთ მეორე კონცეფციაზე, რომელიც უნდა განვიხილოთ ამ სტატიაში. მათემატიკური მოლოდინი არის ყველა შესაძლო შედეგის დამატების შედეგი, გამრავლებული შესაბამის ალბათობებზე. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ მიღებული მნიშვნელობა, ისევე როგორც დისპერსიის გამოთვლის შედეგი, მიიღება მხოლოდ ერთხელ მთელი ამოცანისთვის, რამდენი შედეგიც არ უნდა იყოს გათვალისწინებული მასში.
მოლოდინის მათემატიკური ფორმულა საკმაოდ მარტივია: ვიღებთ შედეგს, ვამრავლებთ მის ალბათობაზე, იგივეს ვამატებთ მეორე, მესამე შედეგს და ა.შ. ყველაფერი, რაც ამ კონცეფციასთან არის დაკავშირებული, ადვილი გამოსათვლელია. მაგალითად, მათემატიკური მოლოდინების ჯამი უდრის ჯამის მათემატიკურ მოლოდინს. იგივე ეხება სამუშაოს. ალბათობის თეორიაში ყველა სიდიდე არ იძლევა ასეთი მარტივი ოპერაციების შესრულების საშუალებას. ავიღოთ დავალება და გამოვთვალოთ ერთდროულად შესწავლილი ორი ცნების მნიშვნელობა. გარდა ამისა, თეორიამ გაგვაფანტა – პრაქტიკის დროა.
კიდევ ერთი მაგალითი
ჩვენ ჩავატარეთ 50 ცდა და მივიღეთ 10 სახის შედეგი - რიცხვები 0-დან 9-მდე - განსხვავებული პროცენტებით. ესენია, შესაბამისად: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. შეგახსენებთ, რომ ალბათობების მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ პროცენტული მნიშვნელობები 100-ზე. ამრიგად, მივიღებთ 0.02; 0.1 და ა.შ. მოვიყვანოთ შემთხვევითი ცვლადის და მათემატიკური მოლოდინის დისპერსიის ამოცანის ამოხსნის მაგალითი.
ჩვენ ვიანგარიშებთ საშუალო არითმეტიკას ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გვახსოვს დაწყებითი სკოლიდან: 50/10 = 5.
ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ალბათობები შედეგების რაოდენობად "ნაწილებად", რათა უფრო მოსახერხებელი იყოს დათვლა. ვიღებთ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 და 9. თითოეულ მიღებულ მნიშვნელობას გამოვაკლებთ საშუალო არითმეტიკულს, რის შემდეგაც თითოეულ მიღებულ შედეგს კვადრატში ვაქცევთ. იხილეთ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს პირველი ელემენტით, როგორც მაგალითი: 1 - 5 = (-4). შემდგომი: (-4) * (-4) = 16. სხვა მნიშვნელობებისთვის ეს ოპერაციები თავად გააკეთეთ. თუ ყველაფერი სწორად გააკეთე, მაშინ ყველაფრის დამატების შემდეგ მიიღებთ 90-ს.
გავაგრძელოთ დისპერსიისა და საშუალოს გამოთვლა 90-ის N-ზე გაყოფით. რატომ ავირჩიოთ N და არა N-1? ასეა, რადგან ჩატარებული ექსპერიმენტების რაოდენობა აღემატება 30-ს. ასე რომ: 90/10 = 9. მივიღეთ დისპერსია. თუ სხვა ნომერს მიიღებთ, არ დაიდარდოთ. სავარაუდოდ, თქვენ დაუშვით ბანალური შეცდომა გამოთვლებში. გადაამოწმე რაც დაწერე და აუცილებლად ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება.
ბოლოს გავიხსენოთ მოლოდინის მათემატიკური ფორმულა. ჩვენ არ მივცემთ ყველა გამოთვლას, ჩვენ მხოლოდ დავწერთ პასუხს, რომლითაც შეგიძლიათ შეამოწმოთ ყველა საჭირო პროცედურის დასრულების შემდეგ. მოსალოდნელი ღირებულება იქნება 5.48. ჩვენ მხოლოდ ვიხსენებთ, თუ როგორ უნდა განვახორციელოთ ოპერაციები, პირველი ელემენტების მაგალითის გამოყენებით: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... და ასე შემდეგ. როგორც ხედავთ, ჩვენ უბრალოდ ვამრავლებთ შედეგის მნიშვნელობას მის ალბათობაზე.
გადახრა
კიდევ ერთი კონცეფცია, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული დისპერსიასთან და მათემატიკურ მოლოდინთან არის სტანდარტული გადახრა. იგი აღინიშნება ან ლათინური ასოებით sd, ან ბერძნული მცირე ასოებით "სიგმა". ეს კონცეფცია გვიჩვენებს, თუ როგორ გადახრის საშუალოდ მნიშვნელობები ცენტრალური მახასიათებლიდან. მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ დისპერსიის კვადრატული ფესვი.
თუ თქვენ დახაზავთ ნორმალურ განაწილებას და გსურთ ნახოთ კვადრატული გადახრა პირდაპირ მასზე, ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე ნაბიჯით. აიღეთ გამოსახულების ნახევარი რეჟიმის მარცხნივ ან მარჯვნივ (ცენტრალური მნიშვნელობა), დახაზეთ ჰორიზონტალური ღერძის პერპენდიკულარული ისე, რომ მიღებული ფიგურების არეები თანაბარი იყოს. სეგმენტის მნიშვნელობა განაწილების შუასა და ჰორიზონტალურ ღერძზე მიღებულ პროექციას შორის იქნება სტანდარტული გადახრა.
პროგრამული უზრუნველყოფა
როგორც ფორმულების აღწერილობიდან და წარმოდგენილი მაგალითებიდან ჩანს, დისპერსიის და მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლა არითმეტიკული თვალსაზრისით უმარტივესი პროცედურა არ არის. იმისთვის, რომ დრო არ დავკარგოთ, აზრი აქვს უმაღლეს სასწავლებლებში გამოყენებული პროგრამის გამოყენებას – მას „რ“ ჰქვია. მას აქვს ფუნქციები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მნიშვნელობები მრავალი კონცეფციისთვის სტატისტიკიდან და ალბათობის თეორიიდან.
მაგალითად, თქვენ განსაზღვრავთ მნიშვნელობების ვექტორს. ეს კეთდება შემდეგნაირად: ვექტორი<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
ბოლოს და ბოლოს
დისპერსია და მათემატიკური მოლოდინი არის, რომლის გარეშეც ძნელია რაიმეს გამოთვლა მომავალში. უნივერსიტეტებში ლექციების ძირითად კურსში ისინი განიხილება საგნის შესწავლის უკვე პირველ თვეებში. სწორედ ამ მარტივი ცნებების გაუგებრობისა და მათი გამოთვლის შეუძლებლობის გამო, ბევრი სტუდენტი მაშინვე იწყებს პროგრამის ჩამორჩენას და მოგვიანებით სესიაზე ცუდი ქულების მიღებას, რაც მათ ართმევს სტიპენდიას.
ივარჯიშეთ მინიმუმ ერთი კვირა დღეში ნახევარი საათის განმავლობაში, ამ სტატიაში წარმოდგენილი ამოცანების ამოხსნით. შემდეგ, ალბათობის თეორიის ნებისმიერ ტესტზე, თქვენ გაუმკლავდებით მაგალითებს ზედმეტი რჩევებისა და მოტყუების ფურცლების გარეშე.
თითოეული ინდივიდუალური მნიშვნელობა მთლიანად განისაზღვრება მისი განაწილების ფუნქციით. ასევე, პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად საკმარისია ვიცოდეთ რამდენიმე რიცხვითი მახასიათებელი, რომლის წყალობითაც შესაძლებელი ხდება შემთხვევითი ცვლადის ძირითადი მახასიათებლების მოკლედ წარმოჩენა.
ეს რაოდენობები პირველ რიგში მოსალოდნელი ღირებულებადა დისპერსია .
Მოსალოდნელი ღირებულება- შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა ალბათობის თეორიაში. დანიშნულია როგორც.
უმარტივესი გზით, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X(w), გვხვდება როგორც განუყოფელილებეგალბათობის საზომთან მიმართებაში რ ორიგინალური ალბათობის სივრცე
თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი როგორც ლებეგის ინტეგრალიდან Xალბათობის განაწილებით R Xრაოდენობები X:
სადაც არის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნაკრები X.
ფუნქციების მათემატიკური მოლოდინი შემთხვევითი ცვლადიდან Xგანაწილების გზით ხდება R X. მაგალითად, თუ X- შემთხვევითი ცვლადი მნიშვნელობებით და f(x)- ცალსახა ბორელიფუნქცია X , შემდეგ:
Თუ F(x)- განაწილების ფუნქცია X, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი გამოსახულია განუყოფელიLebesgue - Stieltjes (ან Riemann - Stieltjes):
ხოლო ინტეგრირებადობა Xრა გაგებით ( * ) შეესაბამება ინტეგრალის სასრულობას
კონკრეტულ შემთხვევებში, თუ Xაქვს დისკრეტული განაწილება სავარაუდო მნიშვნელობებით x k, k=1, 2, . , და ალბათობა, მაშინ
თუ Xაქვს აბსოლუტურად უწყვეტი განაწილება ალბათობის სიმკვრივით p(x), მაშინ
ამ შემთხვევაში მათემატიკური მოლოდინის არსებობა შესაბამისი სერიის ან ინტეგრალის აბსოლუტური კონვერგენციის ტოლფასია.
შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.
- მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ მნიშვნელობას:
C- მუდმივი;
- M=C.M[X]
- შემთხვევით მიღებული მნიშვნელობების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს:
- დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი = მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლი:
M=M[X]+M[Y]
თუ Xდა იდამოუკიდებელი.
თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა:
მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის ალგორითმი.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების თვისებები: მათი ყველა მნიშვნელობა შეიძლება გადაირიცხოს ნატურალური რიცხვებით; გააიგივეთ თითოეული მნიშვნელობა არანულოვანი ალბათობით.
1. გაამრავლეთ წყვილები რიგრიგობით: x iზე პი.
2. დაამატეთ თითოეული წყვილის პროდუქტი x i p i.
Მაგალითად, ამისთვის ნ = 4 :
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციაეტაპობრივად, ის მკვეთრად იზრდება იმ წერტილებში, რომელთა ალბათობაც დადებითი ნიშანია.
მაგალითი:იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი ფორმულით.
შემთხვევითი X ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი (საშუალო მნიშვნელობა), მოცემული დისკრეტული ალბათობის სივრცეში, არის რიცხვი m =M[X]=∑x i p i, თუ სერია აბსოლუტურ თანხვედრაშია.
სამსახურის დავალება. ონლაინ სერვისით გამოითვლება მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა(იხ. მაგალითი). გარდა ამისა, გამოსახულია F(X) განაწილების ფუნქციის გრაფიკი.
შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის თვისებები
- მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი თავისთავად ტოლია: M[C]=C , C არის მუდმივი;
- M=C M[X]
- შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს: M=M[X]+M[Y]
- დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს: M=M[X] M[Y] თუ X და Y დამოუკიდებელია.
დისპერსიული თვისებები
- მუდმივი მნიშვნელობის დისპერსია ნულის ტოლია: D(c)=0.
- მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას დისპერსიული ნიშნის ქვემოდან მისი კვადრატში: D(k*X)= k 2 D(X).
- თუ შემთხვევითი ცვლადები X და Y დამოუკიდებელია, მაშინ ჯამის დისპერსია უდრის დისპერსიების ჯამს: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- თუ შემთხვევითი ცვლადები X და Y არიან დამოკიდებული: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- დისპერსიისთვის, გამოთვლითი ფორმულა მოქმედებს:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
მაგალითი. ცნობილია ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის X და Y მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაციები: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . იპოვეთ Z=9X-8Y+7 შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.
გადაწყვეტილება. მათემატიკური მოლოდინის თვისებებზე დაყრდნობით: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
დისპერსიული თვისებების მიხედვით: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის ალგორითმი
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების თვისებები: მათი ყველა მნიშვნელობა შეიძლება გადაირიცხოს ნატურალური რიცხვებით; თითოეულ მნიშვნელობას მიანიჭეთ არანულოვანი ალბათობა.- გაამრავლეთ წყვილები სათითაოდ: x i p i-ზე.
- ვამატებთ თითოეული წყვილის ნამრავლს x i p i.
მაგალითად, n = 4-ისთვის: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
მაგალითი #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| პი | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
მათემატიკური მოლოდინი გვხვდება m = ∑x i p i ფორმულით.
მათემატიკური მოლოდინი M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
დისპერსია გვხვდება ფორმულით d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
დისპერსია D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
სტანდარტული გადახრა σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
მაგალითი #2. დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს აქვს შემდეგი განაწილების სერიები:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| რ | ა | 0,32 | 2ა | 0,41 | 0,03 |
გადაწყვეტილება. მნიშვნელობა a გვხვდება მიმართებიდან: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ან 0,24 = 3 a , საიდანაც a = 0,08
მაგალითი #3. დაადგინეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, თუ მისი დისპერსია ცნობილია და x 1
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3
d(x)=12.96
გადაწყვეტილება.
აქ თქვენ უნდა შეადგინოთ ფორმულა d (x) დისპერსიის საპოვნელად:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
სადაც მოლოდინი m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
ჩვენი მონაცემებისთვის
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
ან -9/100 (x 2 -20x+96)=0
შესაბამისად, აუცილებელია განტოლების ფესვების პოვნა და ორი მათგანი იქნება.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
ვირჩევთ ისეთს, რომელიც აკმაყოფილებს x1 პირობას
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3
მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე ხშირად გამოყენებული რიცხვითი მახასიათებლებია. ისინი ახასიათებენ განაწილების ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს: მის პოზიციას და დისპერსიის ხარისხს. პრაქტიკის ბევრ პრობლემაში შემთხვევითი ცვლადის სრული, ამომწურავი აღწერა - განაწილების კანონი - ან საერთოდ ვერ მოიპოვება, ან საერთოდ არ არის საჭირო. ამ შემთხვევებში, ისინი შემოიფარგლება შემთხვევითი ცვლადის სავარაუდო აღწერით რიცხვითი მახასიათებლების გამოყენებით.
მათემატიკური მოლოდინი ხშირად მოიხსენიება უბრალოდ, როგორც შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა. შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია არის დისპერსიის მახასიათებელი, შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია მისი მათემატიკური მოლოდინის გარშემო.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი
მოდით მივუდგეთ მათემატიკური მოლოდინის კონცეფციას, პირველ რიგში, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მექანიკური ინტერპრეტაციიდან გამომდინარე. მოდით, ერთეული მასა გადანაწილდეს x-ღერძის წერტილებს შორის x1 , x 2 , ..., xნდა თითოეულ მატერიალურ წერტილს აქვს შესაბამისი მასა გვ1 , გვ 2 , ..., გვნ. საჭიროა x ღერძზე ერთი წერტილის არჩევა, რომელიც ახასიათებს მატერიალური წერტილების მთელი სისტემის პოზიციას მათი მასების გათვალისწინებით. ბუნებრივია მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი ასეთ წერტილად ავიღოთ. ეს არის შემთხვევითი ცვლადის შეწონილი საშუალო X, რომელშიც თითოეული წერტილის აბსციზა xმეშემოდის შესაბამისი ალბათობის ტოლი „წონით“. ამგვარად მიღებული შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა Xეწოდება მის მათემატიკური მოლოდინი.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობის პროდუქციის ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა:
მაგალითი 1მოაწყო მომგებიანი ლატარია. არის 1000 მოგება, აქედან 400 თითო 10 რუბლია. თითოეული 300-20 რუბლი თითო 200-100 რუბლი. და თითოეული 100 - 200 რუბლი. რა არის საშუალო მოგება იმისთვის, ვინც ყიდულობს ერთ ბილეთს?
გადაწყვეტილება. საშუალო მოგებას ვიპოვით, თუ მოგების ჯამური რაოდენობა, რომელიც უდრის 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 რუბლს, გაიყოფა 1000-ზე (მოგების მთლიანი რაოდენობა). შემდეგ ვიღებთ 50000/1000 = 50 რუბლს. მაგრამ საშუალო მოგების გამოთვლის გამოხატულება ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:
მეორეს მხრივ, ამ პირობებში, მოგების ოდენობა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 10, 20, 100 და 200 რუბლი. 0,4-ის ტოლი ალბათობით; 0.3; 0.2; 0.1. მაშასადამე, მოსალოდნელი საშუალო ანაზღაურება უდრის ანაზღაურების ზომის პროდუქტების ჯამს და მათი მიღების ალბათობას.
მაგალითი 2გამომცემლობამ ახალი წიგნის გამოცემა გადაწყვიტა. წიგნის გაყიდვას 280 მანეთად აპირებს, საიდანაც 200 მას გადაეცემა, 50 წიგნის მაღაზიას, 30 კი ავტორს. ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია წიგნის გამოცემის ღირებულებისა და წიგნის გარკვეული რაოდენობის ასლების გაყიდვის ალბათობის შესახებ.
იპოვეთ გამომცემლის მოსალოდნელი მოგება.
გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადი „მოგება“ უდრის სხვაობას გაყიდვიდან შემოსავალსა და დანახარჯების ღირებულებას შორის. მაგალითად, თუ წიგნის 500 ეგზემპლარი გაიყიდება, მაშინ გაყიდვიდან შემოსავალი არის 200 * 500 = 100 000, ხოლო გამოცემის ღირებულება 225 000 რუბლს შეადგენს. ამრიგად, გამომცემელს 125000 რუბლის ზარალი ემუქრება. შემდეგი ცხრილი აჯამებს შემთხვევითი ცვლადის - მოგების მოსალოდნელ მნიშვნელობებს:
| ნომერი | მოგება xმე | ალბათობა გვმე | xმე გვმე |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| სულ: | 1,00 | 25000 |
ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ გამომცემლის მოგების მათემატიკურ მოლოდინს:
.
მაგალითი 3ერთი გასროლით დარტყმის შანსი გვ= 0.2. განსაზღვრეთ ჭურვების მოხმარება, რომლებიც უზრუნველყოფენ 5-ის ტოლი დარტყმების რაოდენობის მათემატიკურ მოლოდინს.
გადაწყვეტილება. იგივე მოლოდინის ფორმულიდან, რომელსაც აქამდე ვიყენებდით, გამოვხატავთ x- ჭურვების მოხმარება:
.
მაგალითი 4დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი xდარტყმების რაოდენობა სამი გასროლით, თუ ყოველი გასროლით დარტყმის ალბათობაა გვ = 0,4 .
მინიშნება: იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ალბათობა ბერნულის ფორმულა .
მოლოდინის თვისებები
განვიხილოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.
საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი ამ მუდმივის ტოლია:
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან:
საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს (განსხვავებას):
საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს:
საკუთრება 5.თუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა Xკლება (გადიდება) იმავე რაოდენობით თან, მაშინ მისი მათემატიკური მოლოდინი შემცირდება (გაიზრდება) იგივე რაოდენობით:
როცა მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინით ვერ შემოიფარგლები
უმეტეს შემთხვევაში, მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინი არ შეუძლია ადეკვატურად დაახასიათოს შემთხვევითი ცვლადი.
დაუშვით შემთხვევითი ცვლადები Xდა იმოცემულია შემდეგი განაწილების კანონებით:
| მნიშვნელობა X | ალბათობა |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| მნიშვნელობა ი | ალბათობა |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
ამ სიდიდეების მათემატიკური მოლოდინი იგივეა - ნულის ტოლია:
თუმცა, მათი განაწილება განსხვავებულია. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მხოლოდ მნიშვნელობები, რომლებიც ოდნავ განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისა და შემთხვევითი ცვლადისგან იშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები, რომლებიც მნიშვნელოვნად განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან. მსგავსი მაგალითი: საშუალო ხელფასი არ იძლევა საშუალებას ვიმსჯელოთ მაღალა და დაბალანაზღაურებად მუშაკთა პროპორციაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათემატიკური მოლოდინით არ შეიძლება ვიმსჯელოთ მისგან, საშუალოდ მაინც, რა გადახრებია შესაძლებელი. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია
დისპერსიადისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xმათემატიკური მოლოდინისგან მისი გადახრის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება:
შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა Xარის მისი ვარიაციის კვადრატული ფესვის არითმეტიკული მნიშვნელობა:
.
მაგალითი 5გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადების ვარიაციები და სტანდარტული გადახრები Xდა ი, რომლის განაწილების კანონები მოცემულია ზემოთ მოცემულ ცხრილებში.
გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი Xდა იროგორც ზემოთ ვნახეთ, ნულის ტოლია. დისპერსიის ფორმულის მიხედვით ე(X)=ე(წ)=0 ვიღებთ:
შემდეგ შემთხვევითი ცვლადების სტანდარტული გადახრები Xდა იშეადგენენ
.
ამრიგად, იგივე მათემატიკური მოლოდინებით, შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია Xძალიან პატარა და შემთხვევითი ი- მნიშვნელოვანი. ეს არის მათი განაწილების სხვაობის შედეგი.
მაგალითი 6ინვესტორს აქვს 4 ალტერნატიული საინვესტიციო პროექტი. ცხრილი აჯამებს მონაცემებს ამ პროექტებში მოსალოდნელი მოგების შესახებ შესაბამისი ალბათობით.
| პროექტი 1 | პროექტი 2 | პროექტი 3 | პროექტი 4 |
| 500, პ=1 | 1000, პ=0,5 | 500, პ=0,5 | 500, პ=0,5 |
| 0, პ=0,5 | 1000, პ=0,25 | 10500, პ=0,25 | |
| 0, პ=0,25 | 9500, პ=0,25 |
იპოვეთ თითოეული ალტერნატივის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.
გადაწყვეტილება. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოითვლება ეს რაოდენობები მე-3 ალტერნატივისთვის:
ცხრილი აჯამებს ნაპოვნი მნიშვნელობებს ყველა ალტერნატივისთვის.
ყველა ალტერნატივას აქვს ერთი და იგივე მათემატიკური მოლოდინი. ეს ნიშნავს, რომ გრძელვადიან პერსპექტივაში ყველას ერთნაირი შემოსავალი აქვს. სტანდარტული გადახრა შეიძლება განიმარტოს, როგორც რისკის საზომი - რაც უფრო დიდია ის, მით მეტია ინვესტიციის რისკი. ინვესტორი, რომელსაც არ სურს დიდი რისკი, აირჩევს პროექტს 1, რადგან მას აქვს ყველაზე მცირე სტანდარტული გადახრა (0). თუ ინვესტორი უპირატესობას ანიჭებს რისკს და მაღალ შემოსავალს მოკლე პერიოდში, მაშინ ის აირჩევს პროექტს ყველაზე დიდი სტანდარტული გადახრით - პროექტი 4.
დისპერსიული თვისებები
წარმოგიდგენთ დისპერსიის თვისებებს.
საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის დისპერსია ნულია:
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში:
.
საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია ტოლია ამ მნიშვნელობის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინისა, რომელსაც აკლდება თავად მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინის კვადრატი:
,
სადაც 
.
საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს (განსხვავებას):
მაგალითი 7ცნობილია, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას: −3 და 7. გარდა ამისა, ცნობილია მათემატიკური მოლოდინი: ე(X) = 4. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ მიერ გვალბათობა, რომლითაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობას x1 = −3 . მაშინ მნიშვნელობის ალბათობა x2 = 7 იქნება 1 − გვ. მოდით გამოვიტანოთ განტოლება მათემატიკური მოლოდინისთვის:
ე(X) = x 1 გვ + x 2 (1 − გვ) = −3გვ + 7(1 − გვ) = 4 ,
სადაც ვიღებთ ალბათობას: გვ= 0.3 და 1 - გვ = 0,7 .
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:
| X | −3 | 7 |
| გვ | 0,3 | 0,7 |
ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიას ფორმულის გამოყენებით დისპერსიის 3 თვისებიდან:
დ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და შემდეგ ნახეთ გამოსავალი
მაგალითი 8დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას. ის იღებს 3-ის უფრო დიდ მნიშვნელობას 0,4 ალბათობით. გარდა ამისა, ცნობილია შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიაც დ(X) = 6. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.
მაგალითი 9ურნა შეიცავს 6 თეთრ და 4 შავ ბურთულას. ურნიდან იღებენ 3 ბურთულას. თეთრი ბურთების რაოდენობა დახატულ ბურთებს შორის არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X. იპოვეთ ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.
გადაწყვეტილება. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0, 1, 2, 3. შესაბამისი ალბათობები შეიძლება გამოითვალოს ალბათობათა გამრავლების წესი. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| გვ | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
აქედან გამომდინარეობს ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი:
მ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
მოცემული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაციაა:
დ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინის მექანიკური ინტერპრეტაცია ინარჩუნებს იგივე მნიშვნელობას: მასის ცენტრი ერთეული მასისთვის, რომელიც განაწილებულია მუდმივად x ღერძზე სიმკვრივით. ვ(x). დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისგან განსხვავებით, რომლისთვისაც ფუნქციის არგუმენტია xმეიცვლება მკვეთრად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, არგუმენტი მუდმივად იცვლება. მაგრამ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ასევე დაკავშირებულია მის საშუალო მნიშვნელობასთან.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ განსაზღვრული ინტეგრალები. . თუ მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივის ფუნქცია, მაშინ ის პირდაპირ შედის ინტეგრანდში. თუ მოცემულია ალბათობის განაწილების ფუნქცია, მაშინ მისი დიფერენცირებით, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმკვრივის ფუნქცია.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის არითმეტიკული საშუალო ეწოდება მას მათემატიკური მოლოდინი, აღინიშნება ან .
