ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის ძირითადი ფორმულები. ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ამ სტატიის დასაწყისშივე განვიხილეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონცეფცია. მათი დანიშნულების მთავარი მიზანია ტრიგონომეტრიის საფუძვლების შესწავლა და პერიოდული პროცესების შესწავლა. და ჩვენ დავხატეთ ტრიგონომეტრიული წრე მიზეზის გამო, რადგან უმეტეს შემთხვევაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განისაზღვრება, როგორც სამკუთხედის გვერდების ან მისი გარკვეული სეგმენტების თანაფარდობა ერთეულ წრეში. ასევე აღვნიშნე ტრიგონომეტრიის უდავოდ დიდი მნიშვნელობა თანამედროვე ცხოვრებაში. მაგრამ მეცნიერება არ დგას, შედეგად, ჩვენ შეგვიძლია მნიშვნელოვნად გავაფართოვოთ ტრიგონომეტრიის ფარგლები და გადავიტანოთ მისი დებულებები რეალურ, ზოგჯერ კი რთულ რიცხვებზე.

ტრიგონომეტრიის ფორმულებიარის რამდენიმე ტიპი. განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

ერთი და იგივე კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიმართებები

აქ მივდივართ ისეთი კონცეფციის განხილვამდე, როგორიცაა ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები.

ტრიგონომეტრიული იდენტობა არის თანასწორობა, რომელიც შედგება ტრიგონომეტრიული მიმართებებისაგან და რომელიც მართალია მასში შემავალი კუთხის ყველა მნიშვნელობისთვის.

განვიხილოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ტრიგონომეტრიული იდენტობები და მათი მტკიცებულებები:

პირველი იდენტურობა გამომდინარეობს ტანგენტის განმარტებიდან.

აიღეთ მართკუთხა სამკუთხედი მახვილი კუთხით x A წვეროზე.

იდენტობების დასამტკიცებლად საჭიროა გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

ახლა ჩვენ ვყოფთ (AB) 2-ზე ტოლობის ორივე ნაწილს და გავიხსენებთ ცოდვისა და კუთხის co-ის განმარტებებს, მივიღებთ მეორე იდენტურობას:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

მესამე და მეოთხე ვინაობის დასამტკიცებლად ვიყენებთ წინა მტკიცებულებას.

ამისათვის ჩვენ ვყოფთ მეორე იდენტობის ორივე ნაწილს cos 2 x-ზე:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

პირველი იდენტურობის საფუძველზე tg x \u003d sin x / cos x ვიღებთ მესამეს:

1 + tg2x = 1/cos2x

ახლა ჩვენ ვყოფთ მეორე იდენტობას ცოდვაზე 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x სხვა არაფერია, თუ არა 1/tg 2 x, ამიტომ მივიღებთ მეოთხე იდენტურობას:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

დროა გავიხსენოთ თეორემა სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამის შესახებ, რომელიც ამბობს, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი \u003d 180 0. გამოდის, რომ სამკუთხედის B წვეროზე არის კუთხე, რომლის მნიშვნელობაა 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.

კვლავ გავიხსენოთ ცოდვისა და კოსის განმარტებები და მივიღებთ მეხუთე და მეექვსე იდენტობებს:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

ახლა მოდით გავაკეთოთ შემდეგი:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

როგორც ხედავთ, აქ ყველაფერი ელემენტარულია.

არის სხვა იდენტობებიც, რომლებიც გამოიყენება მათემატიკური იდენტობების ამოხსნისას, მე მათ მხოლოდ მითითების სახით მივცემ, რადგან ისინი ყველა ზემოთ ჩამოთვლილიდან გამომდინარეობს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოხატვა ერთმანეთის მეშვეობით

(ძირის წინ ნიშნის არჩევანი განისაზღვრება იმით, რომ წრის რომელ მეოთხედში მდებარეობს კუთხე?)

ქვემოთ მოცემულია კუთხეების დამატებისა და გამოკლების ფორმულები:

ორმაგი, სამმაგი და ნახევარკუთხის ფორმულები.

მე აღვნიშნავ, რომ ისინი ყველა წინა ფორმულებიდან გამომდინარეობს.

sin 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციის ფორმულები:

"ცოდვის" მოთხოვნა გადამისამართებულია აქ; აგრეთვე სხვა მნიშვნელობები. "წმ" მოთხოვნა გადამისამართებულია აქ; აგრეთვე სხვა მნიშვნელობები. "Sine" გადამისამართდება აქ; აგრეთვე სხვა მნიშვნელობები ... ვიკიპედია

ბრინჯი. 1 ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, სეკანტი, კოსეკანტი, კოტანგენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ელემენტარული ფუნქციების ერთგვარია. ჩვეულებრივ მათში შედის სინუსი (sin x), კოსინუსი (cos x), ტანგენსი (tg x), კოტანგენსი (ctg x), ... ... ვიკიპედია

გეოდეზიური გაზომვები (XVII ს.) ... ვიკიპედია

ტრიგონომეტრიაში ნახევარკუთხის ტანგენსის ფორმულა აკავშირებს ნახევარკუთხის ტანგენტს სრული კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან: ამ ფორმულის სხვადასხვა ვარიაციები შემდეგია ... ვიკიპედია

- (ბერძნულიდან τρίγονο (სამკუთხედი) და ბერძნული μετρειν (გაზომვა), ანუ სამკუთხედების გაზომვა) მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და მათ გამოყენებას გეომეტრიაში. ეს ტერმინი პირველად 1595 წელს გამოჩნდა, როგორც ... ... ვიკიპედია

- (ლათინური solutio triangulorum) ისტორიული ტერმინი, რომელიც ნიშნავს მთავარი ტრიგონომეტრიული ამოცანის ამოხსნას: სამკუთხედის შესახებ ცნობილი მონაცემების გამოყენებით (გვერდები, კუთხეები და ა.შ.), იპოვეთ მისი დანარჩენი მახასიათებლები. სამკუთხედი შეიძლება განთავსდეს ... ... ვიკიპედიაში

წიგნები

მაგიდების კომპლექტი. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 17 ცხრილი + მეთოდოლოგია, . ცხრილები იბეჭდება სქელ პოლიგრაფიულ მუყაოს ზომით 680 x 980 მმ. კომპლექტში შედის ბროშურა მასწავლებლებისთვის მეთოდოლოგიური რეკომენდაციებით. სასწავლო ალბომი 17 ფურცლისგან.…
ინტეგრალების ცხრილები და სხვა მათემატიკური ფორმულები, Dwight G.B.. ცნობილი საცნობარო წიგნის მეათე გამოცემა შეიცავს განუსაზღვრელი და განსაზღვრული ინტეგრალების ძალიან დეტალურ ცხრილებს, ისევე როგორც სხვა მათემატიკური ფორმულების დიდ რაოდენობას: სერიების გაფართოებები, ...

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენო ელელმა ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწევა. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან მოძრაობის ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის მაინც გჭირდებათ დამატებითი მონაცემები, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ). კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მრავალკომპანია“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. ჩვენ ავხსნით მათემატიკას, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაამტკიცებს, რომ ნაკრები იდენტური ელემენტების გარეშე არ არის ტოლი სიმრავლის იდენტური ელემენტებით. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

ახლა კი ყველაზე საინტერესო კითხვა მაქვს: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ თქვენ მიიღებთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მართკუთხედის ფართობის მეტრებში და სანტიმეტრებში განსაზღვრისას.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!

ტოლობას, რომელიც შეიცავს უცნობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ (`sin x, cos x, tg x` ან `ctg x`) ტრიგონომეტრიული განტოლება ეწოდება და მათ ფორმულებს შემდგომ განვიხილავთ.

უმარტივესი განტოლებებია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.

1. განტოლება `sin x=a`.

`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.

`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. განტოლება `cos x=a`

`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსების შემთხვევაში, ნამდვილ რიცხვებს შორის ამონახსნები არ არის.

`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში.

3. განტოლება `tg x=a`

აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. განტოლება `ctg x=a`

მას ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები ცხრილში

სინუსისთვის:
კოსინუსისთვის:
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:

გამოყენება უმარტივესზე გადასაყვანად;
ამოხსენით მიღებული მარტივი განტოლება ფესვებისა და ცხრილების ზემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით.

განვიხილოთ გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები მაგალითების გამოყენებით.

ალგებრული მეთოდი.

ამ მეთოდით ხდება ცვლადის ჩანაცვლება და მისი თანასწორობით ჩანაცვლება.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,

ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ფაქტორიზაცია.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.

გადაწყვეტილება. გადაიტანეთ მარცხნივ ტოლობის ყველა პირობა: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე

პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:

`a sin x+b cos x=0` (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).

შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` პირველი შემთხვევისთვის და `cos^2 x \ne 0` მეორეზე. ვიღებთ `tg x`-ის განტოლებებს: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

გადაწყვეტილება. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, რომელიც ყოფს მის მარცხენა და მარჯვენა გვერდებს `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, შედეგად `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

გადადით ნახევარ კუთხეში

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

გადაწყვეტილება. ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, შედეგი არის: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

ზემოთ აღწერილი ალგებრული მეთოდის გამოყენებით მივიღებთ:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

დამხმარე კუთხის დანერგვა

ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, ორივე ნაწილს ვყოფთ `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

მარცხენა მხარეს კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ, მათი კვადრატების ჯამი არის 1, ხოლო მოდული მაქსიმუმ 1. ავღნიშნოთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , შემდეგ:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ შემდეგ მაგალითს:

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.

გადაწყვეტილება. განტოლების ორივე გვერდის გაყოფა `sqrt (3^2+4^2)`-ზე მივიღებთ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

აღნიშნეთ `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5`, როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

წილად-რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველებსა და მნიშვნელებში არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

გადაწყვეტილება. გაამრავლეთ და გაყავით განტოლების მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

წილადის მრიცხველი გავაიგივოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნები არის `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.

უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

ტრიგონომეტრია და კერძოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა მე-10 კლასში იწყება, გამოცდისთვის ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ ეცადეთ დაიმახსოვროთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ყველა ფორმულა - ისინი აუცილებლად გამოგადგებათ!

თუმცა, თქვენ არც კი გჭირდებათ მათი დამახსოვრება, მთავარია გაიგოთ არსი და შეძლოთ დასკვნა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ერთი და იგივე კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიმართებები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოხატვა ერთმანეთის მეშვეობით

ქვემოთ მოცემულია კუთხეების დამატებისა და გამოკლების ფორმულები:

ორმაგი, სამმაგი და ნახევარკუთხის ფორმულები.

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციის ფორმულები: