განმარტება 1. მარტივი რიცხვიარის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა მხოლოდ თავისთავზე და 1-ზე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვი მარტივია, თუ მას აქვს მხოლოდ ორი განსხვავებული ბუნებრივი გამყოფი.

განმარტება 2. ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც თავისი და ერთის გარდა სხვა გამყოფებიც აქვს, ეწოდება კომპოზიტური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბუნებრივ რიცხვებს, რომლებიც არ არიან მარტივი, უწოდებენ კომპოზიტურ რიცხვებს. განმარტება 1 გულისხმობს, რომ შედგენილ რიცხვს აქვს ორზე მეტი ბუნებრივი გამყოფი. რიცხვი 1 არც მარტივია და არც შედგენილი. აქვს მხოლოდ ერთი გამყოფი 1 და, გარდა ამისა, მარტივი რიცხვების შესახებ ბევრი თეორემა არ შეესაბამება ერთიანობას.

1 და 2 განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ 1-ზე მეტი ყოველი დადებითი რიცხვი არის მარტივი ან შედგენილი რიცხვი.

ქვემოთ მოცემულია 5000-მდე მარტივი რიცხვების ჩვენების პროგრამა. შეავსეთ უჯრები, დააჭირეთ ღილაკს "შექმნა" და დაელოდეთ რამდენიმე წამს.

ძირითადი რიცხვების ცხრილი

განცხადება 1. Თუ გვარის მარტივი რიცხვი და ანებისმიერი მთელი რიცხვი, მაშინ ან აიყოფა გვ, ან გვდა აშედარებით მარტივი რიცხვები.

მართლა. Თუ გვმარტივი რიცხვი, მაშინ ის მხოლოდ თავისთავად იყოფა და 1 თუ აარ იყოფა გვ, მაშინ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი ადა გვუდრის 1. მაშინ გვდა აშედარებით მარტივი რიცხვები.

განცხადება 2. თუ რიცხვთა რამდენიმე რიცხვის ნამრავლი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ... იყოფა მარტივ რიცხვზე გვ, მაშინ მინიმუმ ერთი ნომერი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ... იყოფა გვ.

მართლა. თუ არცერთი რიცხვი არ იყოფა გვ, შემდეგ ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3, ... იქნება შედარებით მარტივი რიცხვები მიმართებაში გვ. მაგრამ დასკვნა 3 ()დან გამომდინარეობს, რომ მათი პროდუქტი ა 1 , ა 2 , ა 3, ... ასევე coprime მიმართებაში გვ, რაც ეწინააღმდეგება მტკიცების პირობას. აქედან გამომდინარე, რიცხვებიდან ერთი მაინც იყოფა გვ.

თეორემა 1. ნებისმიერი შედგენილი რიცხვი ყოველთვის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი და უფრო მეტიც, უნიკალური გზით, როგორც მარტივი რიცხვების სასრული რაოდენობის ნამრავლი.

მტკიცებულება. დაე იყოს კკომპოზიტური რიცხვი და ნება ა 1 არის მისი ერთ-ერთი გამყოფი, რომელიც განსხვავდება 1-ისგან და საკუთარი თავისგან. Თუ ა 1 არის კომპოზიტური, შემდეგ მას აქვს დამატებით 1 და ა 1 და კიდევ ერთი გამყოფი ა 2. Თუ ა 2 არის კომპოზიტური რიცხვი, შემდეგ მას აქვს, გარდა 1 და ა 2 და კიდევ ერთი გამყოფი ა 3 . ამგვარად კამათი და იმის გათვალისწინებით, რომ რიცხვები ა 1 , ა 2 , ა 3 , ... შემცირება და ეს სერია შეიცავს სასრულ რიცხვს, ჩვენ მივაღწევთ მარტივ რიცხვს გვერთი . მერე კშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

დავუშვათ, რომ არსებობს რიცხვის ორი გაფართოება კ:

როგორც k=p 1 გვ 2 გვ 3 ... იყოფა მარტივ რიცხვზე ქ 1 , შემდეგ მინიმუმ ერთი ფაქტორი, მაგალითად გვ 1 იყოფა ქერთი . მაგრამ გვ 1 არის მარტივი და იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. აქედან გამომდინარე გვ 1 =ქ 1 (რადგან ქ 1 ≠1)

შემდეგ (2)-დან შეგვიძლია გამოვრიცხოთ გვ 1 და ქ 1:

ამრიგად, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი, რომელიც შედის პირველ გაფართოებაში ფაქტორად ერთჯერ ან მეტჯერ, შედის მეორე გაფართოებაში, სულ მცირე, იმდენივე ჯერ და პირიქით, ნებისმიერი მარტივი რიცხვი, რომელიც შედის მეორე გაფართოებაში, როგორც ერთი ან რამდენიმე ფაქტორი. ჯერ ასევე შედის პირველ გაფართოებაში მინიმუმ იმდენჯერ. მაშასადამე, ნებისმიერი მარტივი რიცხვი ორივე გაფართოების კოეფიციენტად შედის ერთსა და იმავე რაოდენობაში და, შესაბამისად, ეს ორი გაფართოება ერთნაირია.■

კომპოზიტური რიცხვის დაშლა კშეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით

(3)

სადაც გვ 1 , გვ 2, ... განსხვავებული მარტივი რიცხვები, α, β, γ ... მთელი დადებითი რიცხვები.

დაშლა (3) ე.წ კანონიკური დაშლანომრები.

ნატურალური რიცხვების რიგის მარტივი რიცხვები არათანაბრად ჩნდება. სერიალის ზოგიერთ ნაწილში უფრო მეტია, ზოგში - ნაკლები. რაც უფრო შორს მივდივართ რიცხვთა სერიების გასწვრივ, მით უფრო იშვიათია მარტივი რიცხვები. საკითხავია, არის თუ არა ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვი? ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ დაამტკიცა, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია. ამ მტკიცებულებას ქვემოთ წარმოგიდგენთ.

თეორემა 2. მარტივი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა.

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ არსებობს მარტივი რიცხვების სასრული რიცხვი და ყველაზე დიდი მარტივი იყოს გვ. განვიხილოთ ყველა რიცხვი გვ. განცხადების დაშვებით, ეს რიცხვები უნდა იყოს შედგენილი და უნდა გაიყოს სულ მცირე ერთ მარტივ რიცხვზე. მოდით ავირჩიოთ რიცხვი, რომელიც არის ყველა ამ მარტივი რიცხვის ნამრავლი, პლუს 1:

ნომერი ზმეტი გვროგორც 2გვუკვე მეტი გვ. გვარ იყოფა არცერთ ამ მარტივ რიცხვზე, ვინაიდან როდესაც იყოფა თითოეულ მათგანზე, ის იძლევა ნაშთს 1-ის. ამგვარად მივდივართ წინააღმდეგობამდე. მაშასადამე, არსებობს უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები.

ეს თეორემა არის უფრო ზოგადი თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა:

თეორემა 3. მიეცით არითმეტიკული პროგრესია

შემდეგ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი ნ, ასევე უნდა იყოს ჩართული მ, ასე რომ შიგნით ნარ შეიძლება შეიცავდეს სხვა ძირითად ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მდა, უფრო მეტიც, ეს ძირითადი ფაქტორები ნგამოჩნდება არა მეტჯერ, ვიდრე მასში მ.

პირიქითაც მართალია. თუ რიცხვის ყოველი მარტივი კოეფიციენტი ნხდება სულ მცირე ერთი და იგივე რამდენჯერ მ, მაშინ მიყოფა ნ.

განცხადება 3. დაე იყოს ა 1 ,ა 2 ,ა 3 ,... სხვადასხვა მარტივი რიცხვები ჩნდება მისე

სადაც მე=0,1,...α , ჯ=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . შეამჩნია, რომ ა იიღებს α +1 მნიშვნელობები, β j იღებს β +1 მნიშვნელობები, γ k იღებს γ +1 მნიშვნელობები, ... .

ნატურალური რიცხვების დაყოფა მარტივ და კომპოზიტურად მიეკუთვნება ძველ ბერძენ მათემატიკოს პითაგორას. და თუ მიჰყვებით პითაგორას, მაშინ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შეიძლება დაიყოს სამ კლასად: (1) - სიმრავლე, რომელიც შედგება ერთი რიცხვისგან - ერთისაგან; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) არის მარტივი რიცხვების სიმრავლე; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) არის კომპოზიტური რიცხვების სიმრავლე.

მრავალი განსხვავებული საიდუმლო მალავს მეორე კომპლექტს. მაგრამ ჯერ გავარკვიოთ რა არის მარტივი რიცხვი. ვხსნით „მათემატიკურ ენციკლოპედიურ ლექსიკონს“ (იუ. ვ. პროხოროვი, გამომცემლობა „საბჭოთა ენციკლოპედია“, 1988 წ.) და ვკითხულობთ:

”უბრალო რიცხვი არის დადებითი მთელი რიცხვი, რომელიც აღემატება ერთს, რომელსაც არ აქვს სხვა გამყოფები მის გარდა და ერთი: 2,3,5,7,11,13,

მარტივი რიცხვის ცნება ფუნდამენტურია ნატურალური რიცხვების გაყოფის შესწავლისას; კერძოდ, არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა ამბობს, რომ ყოველი დადებითი მთელი რიცხვი, გარდა 1-ისა, შეიძლება ცალსახად დაიშალოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად (ფაქტორების რიგი არ არის გათვალისწინებული). უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია (ეს წინადადება, რომელსაც ევკლიდეს თეორემა ჰქვია, უკვე ცნობილი იყო ძველი ბერძენი მათემატიკოსებისთვის, მისი დადასტურება შეგიძლიათ იხილოთ ევკლიდეს ელემენტების მე-9 წიგნში). პ. დირიხლემ (1837) დაადგინა, რომ არითმეტიკული პროგრესიის დროს a+bx x=1-ზე. ,2,с coprime მთელი რიცხვებით a და b ასევე შეიცავს უსასრულოდ ბევრ მარტივ რიცხვს.

მარტივი რიცხვების საპოვნელად 1-დან x-მდე გამოიყენება მე-3 საუკუნიდან ცნობილი. ძვ.წ ე. ერატოსთენეს საცერი. მარტივი რიცხვების მიმდევრობის (*) გათვალისწინება 1-დან x-მდე აჩვენებს, რომ x იზრდება, ის საშუალოდ უფრო იშვიათი ხდება. არსებობს ნატურალური რიცხვების რიგის თვითნებურად გრძელი სეგმენტები, რომელთა შორის არც ერთი მარტივი რიცხვი არ არის (თეორემა 4). ამასთან, არის ისეთი მარტივი რიცხვები, რომელთა შორის სხვაობა უდრის 2-ს (ე.წ. ტყუპები). ამ დრომდე (1987) უცნობია ასეთი ტყუპების ნაკრები სასრულია თუ უსასრულო. პირველი 11 მილიონი ნატურალური რიცხვის პირველ რიცხვებში მარტივი რიცხვების ცხრილები აჩვენებს ძალიან დიდ ტყუპებს (მაგალითად, 10,006,427 და 10,006,429).

რიცხვების ბუნებრივ სერიებში მარტივი რიცხვების განაწილების გარკვევა რიცხვების თეორიაში ძალიან რთული პრობლემაა. იგი დასმულია, როგორც ფუნქციის ასიმპტოტური ქცევის შესწავლა, რომელიც აღნიშნავს მარტივი რიცხვების რაოდენობას, რომელიც არ აღემატება დადებით რიცხვს x. ევკლიდეს თეორემიდან ირკვევა, რომ ზე. ლ.ეილერმა შემოიტანა ზეტა ფუნქცია 1737 წელს.

მანაც ეს დაამტკიცა

სადაც შეჯამება ხორციელდება ყველა ნატურალურ რიცხვზე, ხოლო ნამრავლი აღებულია ყველა მარტივ რიცხვზე. ეს იდენტობა და მისი განზოგადება ფუნდამენტურ როლს თამაშობს რიცხვების განაწილების თეორიაში. აქედან გამომდინარე, ლ. ეილერმა დაამტკიცა, რომ სერია და პროდუქტი პირველ p-ში განსხვავდება. უფრო მეტიც, ლ. ეილერმა დაადგინა, რომ არსებობს „ბევრი“ მარტივი რიცხვები, რადგან

და ამავდროულად, თითქმის ყველა ნატურალური რიცხვი შედგენილია, ვინაიდან at.

და, ნებისმიერი (ანუ ის, რაც იზრდება როგორც ფუნქცია). ქრონოლოგიურად შემდეგი მნიშვნელოვანი შედეგი, რომელიც აზუსტებს ჩებიშევის თეორემას, არის ე.წ. მარტივი რიცხვების განაწილების ასიმპტოტური კანონი (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), რომელიც შედგებოდა იმაში, რომ შეფარდების ზღვარი უდრის 1-ს. შემდგომში მათემატიკოსთა მნიშვნელოვანი ძალისხმევა მიმართული იყო. მარტივი რიცხვების განაწილების ასიმპტოტური კანონის გარკვევა. მარტივი რიცხვების განაწილების კითხვები შესწავლილია როგორც ელემენტარული მეთოდებით, ასევე მათემატიკური ანალიზის მეთოდებით.

აქ აზრი აქვს სტატიაში მოცემული ზოგიერთი თეორემის დამტკიცებას.

ლემა 1. თუ gcd(a, b)=1, მაშინ არის მთელი რიცხვები x, y ისეთი, რომ.

მტკიცებულება. მოდით a და b იყოს შედარებით მარტივი რიცხვები. განვიხილოთ ყველა z ნატურალური რიცხვის J სიმრავლე, გამოსახული სახით და აირჩიეთ მასში ყველაზე პატარა რიცხვი d.

დავამტკიცოთ, რომ a იყოფა d-ზე. გაყავით a d-ზე ნაშთით: და მოდით. ვინაიდან მას აქვს ფორმა, ამიტომ,

ჩვენ ამას ვხედავთ.

ვინაიდან ვივარაუდეთ, რომ d არის J-ში ყველაზე პატარა რიცხვი, გვაქვს წინააღმდეგობა. ასე რომ a იყოფა d-ზე.

ანალოგიურად ვამტკიცებთ, რომ b იყოფა d-ზე. ასე რომ, d=1. ლემა დადასტურებულია.

თეორემა 1. თუ a და b რიცხვები თანაპირდაპირია და bx ნამრავლი იყოფა a-ზე, მაშინ x იყოფა a-ზე.

მტკიცებულება 1. უნდა დავამტკიცოთ, რომ ax იყოფა b-ზე და gcd(a,b)=1, შემდეგ x იყოფა b-ზე.

ლემა 1-ით არის x, y ისეთი, რომ. მაშინ, ცხადია, იყოფა b-ზე.

დადასტურება 2. განვიხილოთ ყველა z ნატურალური რიცხვის J სიმრავლე ისე, რომ zc იყოფა b-ზე. მოდით d იყოს J-ში ყველაზე პატარა რიცხვი. ამის დანახვა ადვილია. ლემა 1-ის დასტურის მსგავსად, ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ a იყოფა d-ზე და b იყოფა d-ზე

ლემა 2. თუ q,p1,p2,pn რიცხვები მარტივია და ნამრავლი იყოფა q-ზე, მაშინ ერთ-ერთი რიცხვი pi უდრის q.

მტკიცებულება. პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ თუ მარტივი რიცხვი p იყოფა q-ზე, მაშინ p=q. ეს დაუყოვნებლივ გულისხმობს ლემის მტკიცებას n=1-ისთვის. n=2-ისთვის პირდაპირ გამომდინარეობს თეორემა 1-დან: თუ p1p2 იყოფა მარტივ რიცხვზე q u, მაშინ p2 იყოფა q-ზე (ე.ი.).

n=3-ის ლემას ვამტკიცებთ შემდეგნაირად. მოდით p1 p2 p3 იყოფა q-ზე. თუ p3 = q, მაშინ ყველაფერი დადასტურებულია. თუ, მაშინ თეორემა 1-ის მიხედვით, p1 p2 იყოფა q-ზე. ამგვარად, n=3 შემთხვევა შევამცირეთ უკვე განხილულ შემთხვევამდე n=2.

ანალოგიურად, n=3-დან შეგვიძლია გადავიდეთ n=4-ზე, შემდეგ n=5-ზე და ზოგადად, თუ ვივარაუდებთ, რომ n=k ლემის მტკიცება დადასტურებულია, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად დავამტკიცოთ იგი n=k+1-ზე. ეს გვარწმუნებს, რომ ლემა მართალია ყველა n.

არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა. ყოველი ბუნებრივი რიცხვი შეიძლება დაიშალა პირველ ფაქტორებად უნიკალური გზით.

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ არსებობს a რიცხვის ორი ფაქტორიზაცია მარტივ ფაქტორებად:

ვინაიდან მარჯვენა მხარე იყოფა q1-ზე, ტოლობის მარცხენა მხარე ასევე უნდა გაიყოს q1-ზე. ლემა 2-ის მიხედვით, ერთ-ერთი რიცხვი უდრის q1-ს. გავაუქმოთ ტოლობის ორივე მხარე q1-ით.

მოდით განვახორციელოთ იგივე მსჯელობა q2-სთვის, შემდეგ q3-სთვის, qi-სთვის. ბოლოს მარჯვნივ ყველა ფაქტორი შემცირდება და დარჩება 1. ბუნებრივია, ერთის გარდა არაფერი დარჩება მარცხნივ. აქედან დავასკვნით, რომ ორი გაფართოება და შეიძლება განსხვავდებოდეს მხოლოდ ფაქტორების თანმიმდევრობით. თეორემა დადასტურდა.

ევკლიდეს თეორემა. მარტივი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა.

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ მარტივი რიცხვების სერია სასრულია და აღვნიშნოთ ბოლო მარტივი რიცხვი ასო N-ით. შეადგინეთ ნამრავლი

დავუმატოთ 1. მივიღებთ:

ეს რიცხვი, როგორც მთელი რიცხვი, უნდა შეიცავდეს სულ მცირე ერთ მარტივ კოეფიციენტს, ანუ ის უნდა გაიყოს სულ მცირე ერთ მარტივ რიცხვზე. მაგრამ ყველა მარტივი რიცხვი, ვარაუდით, არ აღემატება N-ს, ხოლო რიცხვი M + 1 ნაშთების გარეშე არ იყოფა არცერთ მარტივ რიცხვზე N-ზე ნაკლები ან ტოლი - ყოველ ჯერზე ნაშთი არის 1. თეორემა მტკიცდება.

თეორემა 4. უბრალო რიცხვებს შორის კომპოზიტური რიცხვების მონაკვეთები შეიძლება იყოს ნებისმიერი სიგრძის. ჩვენ ახლა დავამტკიცებთ, რომ სერია შედგება n თანმიმდევრული კომპოზიტური რიცხვისგან.

ეს რიცხვები პირდაპირ მიდიან ერთმანეთის მიყოლებით ბუნებრივ სერიებში, ვინაიდან ყოველი შემდეგი 1-ით მეტია წინაზე. რჩება იმის დასამტკიცებლად, რომ ისინი ყველა შედგენილია.

პირველი ნომერი

თანაც, რადგან მისი ორივე პირობა შეიცავს 2-ის კოეფიციენტს. და 2-ზე მეტი ნებისმიერი ლუწი რიცხვი შედგენილია.

მეორე რიცხვი შედგება ორი წევრისაგან, რომელთაგან თითოეული არის 3-ის ჯერადი. შესაბამისად, ეს რიცხვი შედგენილია.

ანალოგიურად, ჩვენ ვადგენთ, რომ შემდეგი რიცხვი არის 4-ის ჯერადი და ა.შ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი ჩვენს სერიებში შეიცავს ფაქტორს, რომელიც განსხვავდება ერთისგან და თავისგან; ამიტომ არის კომპოზიციური. თეორემა დადასტურდა.

თეორემების მტკიცებულებების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ სტატიის განხილვას. მის ტექსტში ერატოსთენეს საცერი იყო ნახსენები, როგორც მარტივი რიცხვების პოვნის საშუალება. მოდით წავიკითხოთ ამ მეთოდის შესახებ იგივე ლექსიკონიდან:

„ერატოსთენეს საცერი არის ერატოსთენეს მიერ შემუშავებული მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ კომპოზიტური რიცხვები ბუნებრივი სერიებიდან. ერატოსთენეს საცრის არსი შემდეგია. ერთეული გადახაზულია. ნომერი ორი მარტივია. ყველა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა 2-ზე, გადახაზულია. რიცხვი 3 - პირველი გადაკვეთილი რიცხვი იქნება მარტივი. გარდა ამისა, ყველა ნატურალური რიცხვი, რომლებიც იყოფა 3-ზე, გადახაზულია. რიცხვი 5 - შემდეგი გადაკვეთილი რიცხვი - იქნება მარტივი. მსგავსი გამოთვლების გაგრძელებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მარტივი რიცხვების მიმდევრობის თვითნებურად გრძელი სეგმენტი. ერატოსთენეს საცერი, როგორც რიცხვების თეორიის შესწავლის თეორიული მეთოდი, შეიმუშავა W. Brun-მა (1919).

აქ არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც ამჟამად ცნობილია, როგორც მარტივი:

ამ რიცხვს დაახლოებით შვიდასი ათობითი ადგილი აქვს. გამოთვლები, რომლითაც დადგინდა, რომ ეს რიცხვი პირველია, განხორციელდა თანამედროვე კომპიუტერებზე.

„რიმანის ზეტა ფუნქცია, -ფუნქცია, არის რთული ცვლადის ანალიტიკური ფუნქცია, σ>1-ისთვის, რომელიც განისაზღვრება დირიხლეს აბსოლიტურად და ერთნაირად კონვერგენტული სერიით:

σ>1-ისთვის, გამოსახულება ეილერის პროდუქტის სახით მოქმედებს:

(2) სადაც p გადის ყველა მარტივ რიცხვს.

სერიის (1) და პროდუქტის (2) იდენტურობა ზეტა ფუნქციის ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა. ის საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ სხვადასხვა მიმართებები, რომლებიც აკავშირებს ზეტა ფუნქციას ყველაზე მნიშვნელოვან რიცხვთა თეორიულ ფუნქციებთან. ამიტომ, ზეტა ფუნქცია დიდ როლს თამაშობს რიცხვების თეორიაში.

ზეტა ფუნქცია შემოიღო როგორც რეალური ცვლადის ფუნქცია L. Euler-მა (1737, publ. 1744), რომელმაც მიუთითა მისი მდებარეობა ნამრავლში (2). შემდეგ ზეტა ფუნქცია განიხილა პ.დირიხლემ და განსაკუთრებით წარმატებით პ.ლ.ჩებიშევმა მარტივი რიცხვების განაწილების კანონის შესწავლასთან დაკავშირებით. თუმცა, ზეტა ფუნქციის ყველაზე ღრმა თვისებები აღმოაჩინეს ბ. რიმანის ნაშრომების შემდეგ, რომელმაც პირველად 1859 წელს განიხილა ზეტა ფუნქცია რთული ცვლადის ფუნქციად, მან ასევე შემოიღო სახელი "ზეტა ფუნქცია" და დანიშნულება """.

მაგრამ ჩნდება კითხვა: რა პრაქტიკული გამოყენება აქვს მთელ ამ სამუშაოს მარტივ რიცხვებზე? მართლაც, მათი გამოყენება თითქმის არ არის, მაგრამ არის ერთი სფერო, სადაც მარტივი რიცხვები და მათი თვისებები გამოიყენება დღემდე. ეს არის კრიპტოგრაფია. აქ ძირითადი რიცხვები გამოიყენება დაშიფვრის სისტემებში გასაღებების გადაცემის გარეშე.

სამწუხაროდ, ეს არის ყველაფერი, რაც ცნობილია მარტივი რიცხვების შესახებ. ჯერ კიდევ ბევრი საიდუმლო დარჩა. მაგალითად, უცნობია არის თუ არა ორი კვადრატის სახით გამოსახული მარტივი რიცხვების სიმრავლე უსასრულო.

„არამარტივი ძირითადი რიცხვები“.

გადავწყვიტე მცირე კვლევა გამეკეთებინა, რათა მეპოვა პასუხი რამდენიმე კითხვაზე მარტივი რიცხვების შესახებ. უპირველეს ყოვლისა, მე შევადგინე პროგრამა, რომელიც ბეჭდავს ყველა თანმიმდევრულ მარტივ რიცხვს 1,000,000,000-ზე ნაკლები, გარდა ამისა, მე შევადგინე პროგრამა, რომელიც განსაზღვრავს თუ არა შეყვანილი რიცხვი მარტივი. მარტივი რიცხვების ამოცანების შესასწავლად ავაშენე გრაფიკი, რომელიც აღნიშნავს მარტივი რიცხვის მნიშვნელობის დამოკიდებულებას რიგით რიცხვზე. შემდგომი კვლევის გეგმის სახით გადავწყვიტე გამოვიყენო I.S. Zeltser-ისა და B.A. Kordemsky-ის სტატია „სახალისო ფარები. მარტივი რიცხვები." ავტორებმა გამოავლინეს შემდეგი კვლევის გზები:

1. პირველი ათასი ნატურალური რიცხვის 168 ადგილი უჭირავს მარტივ რიცხვებს. აქედან 16 რიცხვი პალინდრომულია - თითოეული ტოლია საპირისპირო: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 9299, .

არსებობს მხოლოდ 1061 ოთხნიშნა მარტივი და არცერთი მათგანი არ არის პალინდრომული.

ბევრი ხუთნიშნა მარტივი პალინდრომული რიცხვია. მათ შორისაა ასეთი ლამაზმანები: 13331, 15551, 16661, 19991. უდავოა, არის ამ ტიპის ფარები: ,. მაგრამ რამდენი ეგზემპლარია თითოეულ ასეთ სამწყსოში?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

ჩანს, რომ რიცხვების და რიცხვების ჯამი იყოფა 3-ზე, ამიტომ თავად ეს რიცხვებიც იყოფა 3-ზე.

რაც შეეხება ფორმის რიცხვებს, მათ შორის მარტივია 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 რიცხვები.

2. პირველ ათას რიცხვში არის ხუთი „კვარტეტი“, რომელიც შედგება თანმიმდევრული მარტივი რიცხვებისგან, რომელთა ბოლო ციფრები ქმნიან 1, 3, 7, 9 მიმდევრობას: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

რამდენი ასეთი კვარტეტია n-ციფრიან მარტივ რიცხვებს შორის n>3-ისთვის?

ჩემს მიერ დაწერილი პროგრამის გამოყენებით აღმოვაჩინე ავტორების მიერ გამოტოვებული კვარტეტი: (479, 467, 463, 461) და კვარტეტები n = 4, 5, 6-ისთვის. n = 4-ისთვის არის 11 კვარტეტი.

3. ცხრა მარტივი რიცხვის ფარა: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - მიმზიდველია არა მხოლოდ იმიტომ, რომ ეს არის არითმეტიკული პროგრესია 210-ის სხვაობით, არამედ იმიტომაც, რომ შეიძლება ჯდეს ცხრაში. უჯრედები ისე, რომ ჯადოსნური კვადრატი ჩამოყალიბდეს ორი მარტივი რიცხვის სხვაობის ტოლი მუდმივით: 3119 - 2:

განსახილველი პროგრესიის შემდეგი, მეათე წევრი, 2089, ასევე არის მარტივი რიცხვი. თუ სამწყსოს ამოიღებთ რიცხვს 199, მაგრამ შეიცავთ 2089-ს, მაშინ ამ კომპოზიციაში ფარას შეუძლია შექმნას ჯადოსნური კვადრატი - საძიებო თემა.

უნდა აღინიშნოს, რომ არსებობს სხვა ჯადოსნური კვადრატები, რომლებიც შედგება მარტივი რიცხვებისგან:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

შემოთავაზებული მოედანი საინტერესოა, რადგან

1. ეს არის 7x7 ჯადოსნური კვადრატი;

2. შეიცავს 5x5 ჯადოსნურ კვადრატს;

3. 5x5 ჯადოსნური კვადრატი შეიცავს 3x3 ჯადოსნურ კვადრატს;

4. ყველა ამ კვადრატს აქვს ერთი საერთო ცენტრალური ნომერი - 3407;

5. 7x7 კვადრატში შემავალი 49ვე რიცხვი მთავრდება 7 რიცხვში;

6. 7x7 კვადრატში შეტანილი 49ვე რიცხვი მარტივი რიცხვია;

7. 7x7 კვადრატში შემავალი 49 რიცხვიდან თითოეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 30n + 17.

გამოყენებული პროგრამები დაწერილია ჩემს მიერ Dev-C++ პროგრამირების ენაზე და მათ ტექსტებს ვაძლევ დანართში (იხილეთ ფაილები .cpp გაფართოებით). ყოველივე ზემოთქმულის გარდა, დავწერე პროგრამა, რომელიც ანაწილებს თანმიმდევრულ ნატურალურ რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად (იხ. გამყოფები 1. cpp) და პროგრამა, რომელიც ანაწილებს მხოლოდ შეყვანილ რიცხვს მარტივ ფაქტორებად (იხ. გამყოფები 2. cpp). ვინაიდან ეს პროგრამები კომპილირებული ფორმით იკავებს ძალიან დიდ ადგილს, მოცემულია მხოლოდ მათი ტექსტები. თუმცა, ნებისმიერს შეუძლია მათი შედგენა, თუ აქვს სწორი პროგრამა.

მარტივი რიცხვების პრობლემაში ჩართული მეცნიერთა ბიოგრაფიები

ევკლიდე

(დაახლოებით ძვ. წ. 330 - დაახლოებით ძვ. წ. 272 ​​წ.)

ძალიან ცოტა სანდო ინფორმაციაა შემონახული ანტიკურობის ყველაზე ცნობილი მათემატიკოსის ცხოვრების შესახებ. ითვლება, რომ ის სწავლობდა ათენში, რაც ხსნის მის ბრწყინვალე ცოდნას პლატონის სკოლის მიერ შემუშავებულ გეომეტრიაზე. თუმცა, როგორც ჩანს, ის არ იცნობდა არისტოტელეს თხზულებებს. ასწავლიდა ალექსანდრიაში, სადაც პტოლემე I სოტერის მეფობის დროს მასწავლებლობისთვის მაღალი შეფასება დაიმსახურა. არსებობს ლეგენდა, რომ ამ მეფემ მოითხოვა გამოეცხადებინა მათემატიკაში სწრაფი წარმატების მიღწევის გზა, რაზეც ევკლიდმა უპასუხა, რომ გეომეტრიაში სამეფო გზები არ არსებობდა (თუმცა ანალოგიური ამბავია მოთხრობილი მენხემის შესახებაც, რომელსაც თითქოს ჰკითხეს. დაახლოებით იგივე ალექსანდრე მაკედონელის მიერ). ტრადიციამ შემოინახა ევკლიდეს, როგორც კეთილგანწყობილი და მოკრძალებული ადამიანის ხსოვნა. ევკლიდე არის ტრაქტატების ავტორი სხვადასხვა თემაზე, მაგრამ მის სახელს ძირითადად ერთ-ერთ ტრაქტატს „დასაწყისები“ უწოდებს. საუბარია მასზე ადრე მომუშავე მათემატიკოსთა ნაშრომების კრებულზე (მათგან ყველაზე ცნობილი იყო ჰიპოკრატე კოსელი), რომლის შედეგებიც მან სრულყოფილებამდე მიიყვანა განზოგადების უნარისა და შრომისმოყვარეობის წყალობით.

ეულერი (ეილერი) ლეონარდი

(ბაზელი, შვეიცარია 1707 - სანკტ-პეტერბურგი, 1783)

მათემატიკოსი, მექანიკოსი და ფიზიკოსი. დაიბადა ღარიბი პასტორის პოლ ეილერის ოჯახში. განათლება მან ჯერ მამისგან მიიღო, ხოლო 1720–24 წლებში ბაზელის უნივერსიტეტში, სადაც ესწრებოდა ი. ბერნულის მათემატიკის ლექციებს.

1726 წლის ბოლოს ეილერი მიიწვიეს პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიაში და 1727 წლის მაისში ჩავიდა პეტერბურგში. ახლად ორგანიზებულ აკადემიაში ეილერმა აღმოაჩინა ხელსაყრელი პირობები სამეცნიერო საქმიანობისთვის, რამაც საშუალება მისცა დაუყოვნებლივ დაეწყო მათემატიკისა და მექანიკის შესწავლა. სიცოცხლის პირველი პეტერბურგის პერიოდის 14 წლის განმავლობაში ეილერმა გამოსაცემად მოამზადა 80-მდე ნაშრომი და გამოაქვეყნა 50-ზე მეტი. პეტერბურგში სწავლობდა რუსულს.

ეილერი მონაწილეობდა პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის მრავალ საქმიანობაში. ის კითხულობდა ლექციებს აკადემიური უნივერსიტეტის სტუდენტებს, მონაწილეობდა სხვადასხვა ტექნიკურ გამოცდებში, მუშაობდა რუსეთის რუქების შედგენაზე და დაწერა საჯაროდ ხელმისაწვდომი „არითმეტიკის გზამკვლევი“ (1738–40). აკადემიის სპეციალური მითითებებით, ეილერმა მოამზადა პუბლიკაციისთვის Naval Science (1749), ფუნდამენტური ნაშრომი გემთმშენებლობისა და ნავიგაციის თეორიაზე.

1741 წელს ეილერმა მიიღო პრუსიის მეფის ფრედერიკ II-ის წინადადება გადასულიყო ბერლინში, სადაც უნდა მომხდარიყო მეცნიერებათა აკადემიის რეორგანიზაცია. ბერლინის მეცნიერებათა აკადემიაში ეილერმა დაიკავა მათემატიკის კლასის დირექტორი და გამგეობის წევრი, ხოლო მისი პირველი პრეზიდენტის პ. მაუპერტუისის გარდაცვალების შემდეგ რამდენიმე წლის განმავლობაში (1759 წლიდან) რეალურად ხელმძღვანელობდა აკადემიას. ბერლინში ცხოვრების 25 წლის განმავლობაში მან მოამზადა 300-მდე ნაშრომი, მათ შორის არაერთი დიდი მონოგრაფია.

ბერლინში ყოფნისას ეილერმა არ შეუწყვეტია ინტენსიური მუშაობა პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიაში და შეინარჩუნა მისი საპატიო წევრის წოდება. აწარმოებდა ვრცელ სამეცნიერო და სამეცნიერო-ორგანიზაციულ მიმოწერას, კერძოდ, მიმოწერა ჰქონდა მ.ლომონოსოვთან, რომელსაც ძალიან აფასებდა. ეილერი რედაქტირებდა რუსეთის აკადემიური სამეცნიერო ორგანოს მათემატიკურ განყოფილებას, სადაც ამ დროის განმავლობაში მან გამოაქვეყნა თითქმის იმდენი სტატია, რამდენიც ბერლინის მეცნიერებათა აკადემიის "მოგონებებში". აქტიურად მონაწილეობდა რუსი მათემატიკოსების მომზადებაში; მისი ხელმძღვანელობით სასწავლებლად ბერლინში გაგზავნეს მომავალი აკადემიკოსები ს. კოტელნიკოვი, ს. რუმოვსკი და მ. სოფრონოვი. ეილერმა დიდი დახმარება გაუწია პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიას, შეიძინა მისთვის სამეცნიერო ლიტერატურა და აღჭურვილობა, მოლაპარაკება აწარმოა აკადემიის თანამდებობებზე კანდიდატებთან და ა.შ.

1766 წლის 17 (28) ივლისს ეილერი და მისი ოჯახი დაბრუნდნენ პეტერბურგში. მიუხედავად მოწინავე ასაკისა და თითქმის სრული სიბრმავისა, რაც თავს დაესხა, სიცოცხლის ბოლომდე ნაყოფიერად მუშაობდა. პეტერბურგში მეორე ყოფნის 17 წლის განმავლობაში მან მოამზადა 400-მდე ნაშრომი, მათ შორის რამდენიმე დიდი წიგნი. ეილერი აგრძელებდა მონაწილეობას აკადემიის საორგანიზაციო მუშაობაში. 1776 წელს ის იყო ერთ-ერთი ექსპერტი ნევაზე ერთი თაღოვანი ხიდის პროექტის შესახებ, რომელიც შემოთავაზებული იყო ი.კულიბინის მიერ და მთელი კომისიიდან მხოლოდ მან მისცა ფართო მხარდაჭერა პროექტს.

ეილერის, როგორც გამოჩენილი მეცნიერისა და სამეცნიერო კვლევების ორგანიზატორის ღვაწლი სიცოცხლის განმავლობაში ძალიან დაფასდა. სანქტ-პეტერბურგისა და ბერლინის აკადემიების გარდა, ის იყო ყველაზე დიდი სამეცნიერო დაწესებულებების: პარიზის მეცნიერებათა აკადემიის, ლონდონის სამეფო საზოგადოების და სხვა წევრი.

ეილერის მუშაობის ერთ-ერთი დამახასიათებელი ნიშანია მისი განსაკუთრებული პროდუქტიულობა. მხოლოდ მისი სიცოცხლის განმავლობაში გამოიცა მისი 550-მდე წიგნი და სტატია (ეილერის ნამუშევრების სია შეიცავს დაახლოებით 850 სათაურს). 1909 წელს შვეიცარიის საბუნებისმეტყველო საზოგადოებამ დაიწყო ეილერის სრული ნაშრომების გამოცემა, რომელიც დასრულდა 1975 წელს; იგი შედგება 72 ტომისგან. დიდ ინტერესს იწვევს ეილერის კოლოსალური სამეცნიერო მიმოწერა (დაახლოებით 3000 წერილი), რომელიც ჯერჯერობით მხოლოდ ნაწილობრივაა გამოქვეყნებული.

ეილერის კვლევის წრე უჩვეულოდ ფართო იყო და მოიცავდა თანამედროვე მათემატიკისა და მექანიკის ყველა განყოფილებას, ელასტიურობის თეორიას, მათემატიკური ფიზიკას, ოპტიკას, მუსიკის თეორიას, მანქანების თეორიას, ბალისტიკას, საზღვაო მეცნიერებას, სადაზღვევო ბიზნესს და ა.შ. ეილერის ნაშრომების დაახლოებით 3/5 ეკუთვნის მათემატიკას, დანარჩენი 2/5 ძირითადად მის აპლიკაციებს ეკუთვნის. მეცნიერმა თავისი შედეგები და სხვების მიერ მიღებული შედეგები სისტემატიზაცია მოახდინა არაერთ კლასიკურ მონოგრაფიაში, რომლებიც დაწერილია საოცარი სიცხადით და მოწოდებული ღირებული მაგალითებით. ესენია, მაგალითად, „მექანიკა, ან მოძრაობის მეცნიერება, ანალიტიკურად ჩამოყალიბებული“ (1736), „შესავალი ანალიზში“ (1748), „დიფერენციალური გამოთვლები“ ​​(1755), „ხისტი სხეულის მოძრაობის თეორია“ ( 1765), „უნივერსალური არითმეტიკა“ (1768-69), რომელმაც გაიარა 30-მდე გამოცემა 6 ენაზე, „ინტეგრალურ კალკულუს“ (1768-94) და სხვ. XVIII ს. ნაწილობრივ კი მე-19 საუკუნეში. საჯაროდ ხელმისაწვდომი წერილები სხვადასხვა ფიზიკურ და ფილოსოფიურ საკითხებზე, რომელიც დაწერილი იყო გერმანელი პრინცესასადმი, დიდი პოპულარობა მოიპოვა. (1768–74), რომელმაც გაიარა 40-ზე მეტი გამოცემა 10 ენაზე. ეილერის მონოგრაფიების შინაარსის უმეტესი ნაწილი მაშინ შევიდა უმაღლესი და ნაწილობრივ საშუალო სკოლების სახელმძღვანელოებში. შეუძლებელია ეილერის ყველა თეორემის, მეთოდისა და ფორმულის ჩამოთვლა, რომელიც აქამდე გამოიყენებოდა, რომელთაგან მხოლოდ რამდენიმე გვხვდება ლიტერატურაში მისი სახელით [მაგალითად, ეილერის გატეხილი ხაზის მეთოდი, ეილერის ჩანაცვლება, ეილერის მუდმივი, ეილერის განტოლებები, ეილერის ფორმულები, ეილერის ფუნქცია, ეილერის რიცხვები, ეილერის ფორმულა - მაკლორინი, ეილერ-ფურიეს ფორმულები, ეილერის მახასიათებელი, ეილერის ინტეგრალები, ეილერის კუთხეები].

„მექანიკაში“ ეილერმა პირველად ახსნა წერტილის დინამიკა მათემატიკური ანალიზის დახმარებით: წერტილის თავისუფალი მოძრაობა სხვადასხვა ძალების მოქმედების ქვეშ როგორც ვაკუუმში, ასევე წინააღმდეგობის მქონე გარემოში; წერტილის მოძრაობა მოცემული ხაზის გასწვრივ ან მოცემული ზედაპირის გასწვრივ; მოძრაობა ცენტრალური ძალების გავლენის ქვეშ. 1744 წელს მან პირველად სწორად ჩამოაყალიბა მინიმალური მოქმედების მექანიკური პრინციპი და აჩვენა მისი პირველი გამოყენება. ხისტი სხეულის მოძრაობის თეორიაში ეილერმა შეიმუშავა ხისტი სხეულის კინემატიკა და დინამიკა და მისცა განტოლებები მისი ბრუნვისთვის ფიქსირებული წერტილის გარშემო, რაც საფუძველი ჩაუყარა გიროსკოპების თეორიას. გემის თეორიაში ეილერმა მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა სტაბილურობის თეორიაში. მნიშვნელოვანია ეილერის აღმოჩენები ციურ მექანიკაში (მაგალითად, მთვარის მოძრაობის თეორიაში) და უწყვეტი მექანიკაში (იდეალური სითხის მოძრაობის ძირითადი განტოლებები ეილერის სახით და ე.წ. ლაგრანჟის ცვლადებში, გაზი რხევები მილებში და ა.შ.). ოპტიკაში ეილერმა (1747) მისცა ორმხრივამოზნექილი ლინზების ფორმულა და შემოგვთავაზა საშუალება გარემოს გარდატეხის ინდექსის გამოსათვლელად. ეილერი იცავდა სინათლის ტალღის თეორიას. მას სჯეროდა, რომ სხვადასხვა ფერები შეესაბამება სინათლის სხვადასხვა ტალღის სიგრძეს. ეილერმა შემოგვთავაზა გზები ლინზების ქრომატული აბერაციების აღმოსაფხვრელად და მისცა მეთოდები მიკროსკოპის ოპტიკური კომპონენტების გამოსათვლელად. ეილერმა 1748 წელს დაწყებული სამუშაოების ვრცელი სერია მიუძღვნა მათემატიკურ ფიზიკას: სიმების, ფირფიტის, მემბრანის ვიბრაციის პრობლემები და ა.შ. . ფუნქციები, დიფერენციალური გეომეტრია და ა.შ. ეილერის ბევრი მათემატიკური აღმოჩენა სწორედ ამ ნაშრომებშია მოცემული.

ეილერის, როგორც მათემატიკოსის მთავარი სამუშაო იყო მათემატიკური ანალიზის განვითარება. მან საფუძველი ჩაუყარა რამდენიმე მათემატიკურ დისციპლინას, რომლებიც მხოლოდ ჩვილებში იყვნენ ან სრულიად არ იყვნენ ი. ნიუტონის, გ. ლაიბნიცის და ძმები ბერნულის უსასრულო გამოთვლებში. ამრიგად, ეილერმა პირველმა შემოიტანა რთული არგუმენტის ფუნქციები და შეისწავლა რთული ცვლადის ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებები (ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები); კერძოდ, მან გამოიტანა ფორმულები, რომლებიც აკავშირებს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ექსპონენციალურთან. ეილერის მუშაობამ ამ მიმართულებით დაიწყო რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის დასაწყისი.

ეილერი იყო ვარიაციების გაანგარიშების შემქმნელი, რომელიც აღწერილია ნაშრომში „მაქსიმალური ან მინიმალური თვისებების მქონე მრუდი ხაზების პოვნის მეთოდი. » (1744). მეთოდი, რომლითაც ეილერმა 1744 წელს გამოიღო აუცილებელი პირობა ფუნქციის უკიდურესობისთვის, ეილერის განტოლება, იყო მე-20 საუკუნის ვარიაციების გაანგარიშების პირდაპირი მეთოდების პროტოტიპი. ეილერმა შექმნა ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების თეორია, როგორც დამოუკიდებელი დისციპლინა და საფუძველი ჩაუყარა ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების თეორიას. აქ მას ეკუთვნის უამრავი აღმოჩენა: წრფივი განტოლებების გადაჭრის კლასიკური მეთოდი მუდმივი კოეფიციენტებით, თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი, რიკატის განტოლების ძირითადი თვისებების გარკვევა, წრფივი განტოლებების ინტეგრაცია ცვლადი კოეფიციენტებით უსასრულო სერიების გამოყენებით. სპეციალური ამონახსნების კრიტერიუმები, ინტეგრირების ფაქტორის დოქტრინა, სხვადასხვა მიახლოებითი მეთოდები და პარციალური დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე ტექნიკა. ეილერმა ამ შედეგების მნიშვნელოვანი ნაწილი შეადგინა თავის „ინტეგრალურ კალკულუსში“.

ეილერმა ასევე გაამდიდრა დიფერენციალური და ინტეგრალური კალკულუსი სიტყვის ვიწრო გაგებით (მაგალითად, ცვლადების ცვლილების თეორია, თეორემა ერთგვაროვანი ფუნქციების შესახებ, ორმაგი ინტეგრალის კონცეფცია და მრავალი სპეციალური ინტეგრალის გამოთვლა). "დიფერენციალურ კალკულუსში" ეილერმა გამოხატა და მაგალითებით დაადასტურა თავისი რწმენა განსხვავებული სერიების გამოყენების მიზანშეწონილობის შესახებ და შემოთავაზებული მეთოდების განზოგადებული შეჯამება სერიების განზოგადებული სერიების განზოგადებული შეჯამებისთვის, განჭვრიტა იდეები დივერგენციული სერიების თანამედროვე მკაცრი თეორიის შესახებ, რომელიც შეიქმნა სერიების მიჯნაზე. მე-19 და მე-20 საუკუნეებში. გარდა ამისა, ეილერმა მიიღო მრავალი კონკრეტული შედეგი სერიების თეორიაში. მან გახსნა ე.წ. ეილერ-მაკლაურინის შეჯამების ფორმულა შემოგვთავაზა მის სახელს ატარებს სერიების ტრანსფორმაცია, დაადგინა სერიების უზარმაზარი რაოდენობის ჯამები და შემოიტანა სერიების ახალი მნიშვნელოვანი ტიპები მათემატიკაში (მაგალითად, ტრიგონომეტრიული სერიები). ეილერის კვლევები უწყვეტი წილადებისა და სხვა უსასრულო პროცესების თეორიის შესახებ აქ ერთვის.

ეილერი არის სპეციალური ფუნქციების თეორიის ფუძემდებელი. მან პირველად დაიწყო სინუსის და კოსინუსის განხილვა, როგორც ფუნქციები, და არა როგორც სეგმენტები წრეში. მან მიიღო ელემენტარული ფუნქციების თითქმის ყველა კლასიკური გაფართოება უსასრულო სერიებად და პროდუქტებად. მის ნაშრომებში შეიქმნა γ-ფუნქციის თეორია. მან გამოიკვლია ელიფსური ინტეგრალების თვისებები, ჰიპერბოლური და ცილინდრული ფუნქციები, ζ-ფუნქცია, ზოგიერთი θ-ფუნქცია, ინტეგრალური ლოგარითმი და სპეციალური მრავალწევრების მნიშვნელოვანი კლასები.

პ.ჩებიშევის აზრით, ეილერმა საფუძველი ჩაუყარა ყველა კვლევას, რომელიც შეადგენს რიცხვთა თეორიის ზოგად ნაწილს. ამგვარად, ეილერმა დაამტკიცა პ.ფერმას მიერ გაკეთებული მთელი რიგი დებულებები (მაგალითად, ფერმას პატარა თეორემა), განავითარა სიმძლავრის ნარჩენების თეორიის საფუძვლები და კვადრატული ფორმების თეორია, აღმოაჩინა (მაგრამ არ დაამტკიცა) კვადრატული რეციპროციულობის კანონი. და შეისწავლა მთელი რიგი პრობლემები დიოფანტინის ანალიზში. რიცხვების ტერმინებად დაყოფისა და მარტივი რიცხვების თეორიის შესახებ ნაშრომებში ეილერი იყო პირველი, ვინც გამოიყენა ანალიზის მეთოდები, რითაც იყო ანალიტიკური რიცხვების თეორიის შემქმნელი. კერძოდ, შემოიტანა ζ-ფუნქცია და დაამტკიცა ე.წ. ეილერის იდენტობა, რომელიც აკავშირებს მარტივ რიცხვებს ყველა ნატურალურ რიცხვთან.

ეილერის დამსახურება ასევე დიდია მათემატიკის სხვა სფეროებშიც. ალგებრაში მას ეკუთვნის ნაშრომები რადიკალებში უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნისა და ორ უცნობში განტოლებაზე, ასევე ე.წ. ეილერის ოთხი კვადრატული იდენტობა. ეილერმა მნიშვნელოვანი პროგრესი განიცადა ანალიტიკურ გეომეტრიაში, განსაკუთრებით მეორე რიგის ზედაპირების თეორიაში. დიფერენციალურ გეომეტრიაში მან დეტალურად შეისწავლა გეოდეზიური ხაზების თვისებები, პირველად გამოიყენა მოსახვევების ბუნებრივი განტოლებები და რაც მთავარია საფუძველი ჩაუყარა ზედაპირების თეორიას. მან შემოიტანა ძირითადი მიმართულებების კონცეფცია ზედაპირის წერტილში, დაამტკიცა მათი ორთოგონალურობა, გამოიღო ნებისმიერი ნორმალური მონაკვეთის გამრუდების ფორმულა, დაიწყო განვითარებადი ზედაპირების შესწავლა და ა.შ. ერთ-ერთ მშობიარობის შემდგომ გამოქვეყნებულ ნაშრომში (1862 წ.) მან ნაწილობრივ იწინასწარმეტყველა კ. გაუსის კვლევა ზედაპირების შინაგანი გეომეტრიის შესახებ. ეილერი ასევე შეეხო ტოპოლოგიის ცალკეულ კითხვებს და დაამტკიცა, მაგალითად, მნიშვნელოვანი თეორემა ამოზნექილი პოლიედრების შესახებ. მათემატიკოს ეილერს ხშირად უწოდებენ ბრწყინვალე „კალკულატორს“. მართლაც, ის იყო ფორმალური გამოთვლებისა და გარდაქმნების შეუდარებელი ოსტატი; მის ნამუშევრებში ბევრმა მათემატიკურმა ფორმულამ და სიმბოლომ მიიღო თანამედროვე სახე (მაგალითად, მას ეკუთვნის e და π აღნიშვნები). თუმცა, ეილერმა მეცნიერებაში მრავალი ღრმა იდეაც შემოიტანა, რომლებიც ახლა მკაცრად დასაბუთებულია და კვლევის საგანში შეღწევის სიღრმის მოდელს წარმოადგენს.

პ.ლაპლასის მიხედვით, ეილერი მე-18 საუკუნის მეორე ნახევარში მათემატიკოსთა მასწავლებელი იყო.

დირიშლე პიტერ გუსტავი

(Düren, ახლანდელი გერმანია, 1805 - Göttingen, იქვე, 1859)

სწავლობდა პარიზში, ინარჩუნებდა მეგობრულ ურთიერთობას გამოჩენილ მათემატიკოსებთან, კერძოდ ფურიესთან. ხარისხის მიღების შემდეგ იგი იყო ბრესლაუს (1826 - 1828), ბერლინის (1828 - 1855) და გოტინგენის უნივერსიტეტების პროფესორი, სადაც მეცნიერი კარლ ფრიდრიხ გაუსის გარდაცვალების შემდეგ გახდა მათემატიკის განყოფილების ხელმძღვანელი. მისი ყველაზე გამორჩეული წვლილი მეცნიერებაში ეხება რიცხვების თეორიას, პირველ რიგში სერიების შესწავლას. ამან საშუალება მისცა მას შეემუშავებინა ფურიეს მიერ შემოთავაზებული სერიების თეორია. შექმნა ფერმას თეორემის დადასტურების საკუთარი ვერსია, გამოიყენა ანალიტიკური ფუნქციები არითმეტიკული ამოცანების გადასაჭრელად და შემოიღო კონვერგენციის კრიტერიუმები სერიებისთვის. მათემატიკური ანალიზის დარგში მან გააუმჯობესა ფუნქციის განმარტება და კონცეფცია, თეორიული მექანიკის დარგში ყურადღება გაამახვილა სისტემების მდგრადობის შესწავლაზე და პოტენციალის ნიუტონის კონცეფციაზე.

ჩებიშევი პაფნუტი ლვოვიჩი

რუსი მათემატიკოსი, პეტერბურგის სამეცნიერო სკოლის დამაარსებელი, პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის აკადემიკოსი (1856 წ.). ჩებიშევის ნაშრომებმა საფუძველი ჩაუყარა მათემატიკის მრავალი ახალი დარგის განვითარებას.

ჩებიშევის ყველაზე მრავალრიცხოვანი ნაშრომები მათემატიკური ანალიზის სფეროშია. ის, კერძოდ, იყო დისერტაციის საგანი ლექციის უფლების შესახებ, რომელშიც ჩებიშევი იკვლევდა ალგებრულ ფუნქციებსა და ლოგარითმებში გარკვეული ირაციონალური გამონათქვამების ინტეგრირებას. ჩებიშევმა ასევე მიუძღვნა მრავალი სხვა ნაშრომი ალგებრული ფუნქციების ინტეგრაციას. ერთ-ერთ მათგანში (1853 წ.) მიღებული იქნა ცნობილი თეორემა ინტეგრალობის პირობების შესახებ დიფერენციალური ბინომის ელემენტარულ ფუნქციებში. მათემატიკური ანალიზის კვლევის მნიშვნელოვანი სფეროა მისი მუშაობა ორთოგონალური მრავალწევრების ზოგადი თეორიის აგებაზე. მისი შექმნის მიზეზი იყო პარაბოლური ინტერპოლაცია უმცირესი კვადრატების მეთოდით. ჩებიშევის გამოკვლევები მომენტების პრობლემისა და კვადრატული ფორმულების შესახებ იდეების იმავე წრეს უერთდება. გამოთვლების შემცირების გათვალისწინებით, ჩებიშევმა შესთავაზა (1873) განიხილოს კვადრატული ფორმულები თანაბარი კოეფიციენტებით (დაახლოებითი ინტეგრაცია). კვადრატული ფორმულების კვლევა და ინტერპოლაციის თეორია მჭიდრო კავშირში იყო იმ ამოცანებთან, რომლებიც ჩებიშევს დაუსვეს სამხედრო სამეცნიერო კომიტეტის საარტილერიო განყოფილებაში.

ალბათობის თეორიაში ჩებიშევს მიეწერება შემთხვევითი ცვლადების განხილვის სისტემატური შესავალი და ალბათობის თეორიის ზღვრული თეორემების დასამტკიცებელი ახალი ტექნიკის - ე.წ. მომენტების მეთოდი (1845, 1846, 1867, 1887). მან დაამტკიცა დიდი რიცხვების კანონი ძალიან ზოგადი ფორმით; ამავე დროს, მისი მტკიცებულება გასაოცარია თავისი სიმარტივით და ელემენტარულობით. ჩებიშევმა არ დაასრულა დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამების განაწილების ფუნქციების ნორმალურ კანონთან დაახლოების პირობების შესწავლა. თუმცა, A. A. Markov-მა ეს მოახერხა ჩებიშევის მეთოდების გარკვეული დამატებით. მკაცრი დერივაციების გარეშე, ჩებიშევმა ასევე გამოკვეთა ამ ზღვრული თეორემის დახვეწის შესაძლებლობა დამოუკიდებელი წევრთა ჯამის განაწილების ფუნქციის ასიმპტოტური გაფართოების სახით n21/2 ხარისხებით, სადაც n არის ტერმინების რაოდენობა. ჩებიშევის მუშაობა ალბათობის თეორიაზე წარმოადგენს მის განვითარებაში მნიშვნელოვან ეტაპს; გარდა ამისა, ისინი იყო საფუძველი, რომელზედაც გაიზარდა ალბათობის თეორიის რუსული სკოლა, რომელიც თავდაპირველად შედგებოდა ჩებიშევის უშუალო სტუდენტებისგან.

რიმან გეორგ ფრიდრიხ ბერნჰარდ

(ბრესელენცი, ქვემო საქსონია, 1826 - სელასკა, ინტრას მახლობლად, იტალია 66)

გერმანელი მათემატიკოსი. 1846 წელს იგი ჩაირიცხა გიოტინგენის უნივერსიტეტში: ის უსმენდა კ.გაუსის ლექციებს, რომელთა მრავალი იდეა მოგვიანებით მან შეიმუშავა. 1847–49 წლებში ესწრებოდა ლექციებს ბერლინის უნივერსიტეტში; 1849 წელს იგი დაბრუნდა გეტინგენში, სადაც დაუმეგობრდა გაუსის თანამშრომელს, ფიზიკოს ვ. ვებერს, რომელმაც მასში გააღვიძა ღრმა ინტერესი მათემატიკური ბუნებისმეტყველების საკითხების მიმართ.

1851 წელს დაიცვა სადოქტორო დისერტაცია „ერთი რთული ცვლადის ფუნქციების ზოგადი თეორიის საფუძვლები“. 1854 წლიდან Privatdozent, 1857 წლიდან გიოტინგენის უნივერსიტეტის პროფესორი.

რიმანის ნაშრომმა დიდი გავლენა იქონია მე-19 საუკუნის მეორე ნახევრის მათემატიკის განვითარებაზე. და მე-20 საუკუნეში. თავის სადოქტორო დისერტაციაში რიმანმა საფუძველი ჩაუყარა ანალიტიკური ფუნქციების თეორიის გეომეტრიულ მიმართულებას; მან გააცნო ეგრეთ წოდებული რიმანის ზედაპირები, რომლებიც მნიშვნელოვანია მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციების შესასწავლად, შეიმუშავა კონფორმული რუკების თეორია და ამასთან დაკავშირებით, მისცა ტოპოლოგიის ძირითადი იდეები, შეისწავლა ანალიტიკური ფუნქციების არსებობის პირობები რეგიონებში. სხვადასხვა ტიპის (ე.წ. დირიხლეს პრინციპი) და ა.შ. რიმანის მიერ შემუშავებული მეთოდები ფართოდ გამოიყენებოდა მის შემდგომ ნაშრომებში ალგებრული ფუნქციებისა და ინტეგრალების თეორიაზე, დიფერენციალურ განტოლებათა ანალიტიკურ თეორიაზე (კერძოდ, ჰიპერგეომეტრიული ფუნქციების განმსაზღვრელი განტოლებები. ), რიცხვების ანალიტიკურ თეორიაზე (მაგალითად, რიმანმა მიუთითა კავშირი მარტივი რიცხვების განაწილებასა და ζ-ფუნქციის თვისებებს შორის, კერძოდ, მისი ნულების განაწილებასთან კომპლექსურ დომენში - ე.წ. რიმანის ჰიპოთეზა, რომლის მართებულობა ჯერ არ არის დადასტურებული) და ა.შ.

მთელ რიგ ნაშრომებში რიმანმა გამოიკვლია ფუნქციების გაფართოება ტრიგონომეტრიულ სერიებად და ამასთან დაკავშირებით დაადგინა ინტეგრალობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები რიმანის გაგებით, რაც მნიშვნელოვანი იყო რეალური ცვლადის სიმრავლეებისა და ფუნქციების თეორიისთვის. . რიმანმა ასევე შემოგვთავაზა მეთოდები ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციისთვის (მაგალითად, ე.წ. რიმანის ინვარიანტებისა და რიმანის ფუნქციის გამოყენებით).

1854 წლის თავის ცნობილ ლექციაში "გეომეტრიის საფუძველი ჰიპოთეზების შესახებ" (1867), რიმანმა წარმოადგინა ზოგადი იდეა მათემატიკური სივრცის შესახებ (მისი სიტყვებით, "მრავლობითი"), მათ შორის ფუნქციური და ტოპოლოგიური სივრცეები. აქ მან გეომეტრია ფართო გაგებით განიხილა, როგორც უწყვეტი n-განზომილებიანი მრავალფეროვნების დოქტრინა, ანუ ნებისმიერი ერთგვაროვანი ობიექტების კოლექციები, და, განზოგადება გაუსის შედეგები ზედაპირის შინაგან გეომეტრიაზე, მან მისცა ხაზოვანი ელემენტის ზოგადი კონცეფცია. (მანიფოლტის წერტილებს შორის მანძილის დიფერენციალი), რითაც განსაზღვრავს იმას, რასაც ფინსლერის სივრცეები ეწოდება. უფრო დეტალურად, რიმანმა განიხილა ეგრეთ წოდებული რიმანის სივრცეები, განაზოგადა ევკლიდეს, ლობაჩევსკის და რიმანის ელიფსური გეომეტრიის გეომეტრიების სივრცეები, რომლებიც ხასიათდება ხაზოვანი ელემენტის განსაკუთრებული ტიპით და შეიმუშავა მათი გამრუდების თეორია. მისი იდეების ფიზიკურ სივრცეში გამოყენების განხილვისას, რიმანმა წამოაყენა საკითხი მისი „მეტრული თვისებების მიზეზების“ შესახებ, თითქოს წინასწარ აფიქრებინა ის, რაც გაკეთდა ფარდობითობის ზოგად თეორიაში.

რიმანის მიერ შემოთავაზებულმა იდეებმა და მეთოდებმა ახალი გზები გახსნა მათემატიკის განვითარებაში და იპოვეს გამოყენება მექანიკაში და ფარდობითობის ზოგად თეორიაში. მეცნიერი 1866 წელს გარდაიცვალა ტუბერკულოზით.

რიცხვები განსხვავებულია: ბუნებრივი, ბუნებრივი, რაციონალური, მთელი და წილადი, დადებითი და უარყოფითი, რთული და მარტივი, კენტი და ლუწი, რეალური და ა.შ. ამ სტატიიდან შეგიძლიათ გაიგოთ რა არის მარტივი რიცხვები.

რომელ რიცხვებს უწოდებენ ინგლისურ სიტყვას "მარტივი"?

ძალიან ხშირად, სკოლის მოსწავლეებმა არ იციან როგორ უპასუხონ მათემატიკაში ერთ-ერთ ყველაზე მარტივ კითხვას იმის შესახებ, თუ რა არის მარტივი რიცხვი. ისინი ხშირად ურევენ მარტივ რიცხვებს ბუნებრივ რიცხვებთან (ანუ იმ რიცხვებს, რომლებსაც ადამიანები იყენებენ საგნების დათვლისას, მაშინ როცა ზოგიერთ წყაროში იწყებენ ნულიდან, ზოგში კი - ერთიდან). მაგრამ ეს ორი სრულიად განსხვავებული ცნებაა. მარტივი რიცხვები არის ნატურალური რიცხვები, ანუ მთელი და დადებითი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და რომლებსაც აქვთ მხოლოდ 2 ბუნებრივი გამყოფი. ამ შემთხვევაში, ამ გამყოფებიდან ერთი არის მოცემული რიცხვი, ხოლო მეორე არის ერთეული. მაგალითად, სამი არის მარტივი რიცხვი, რადგან ის თანაბრად არ იყოფა რომელიმე სხვა რიცხვზე, გარდა თავისისა და ერთისა.

კომპოზიტური რიცხვები

მარტივი რიცხვების საპირისპიროა შედგენილი რიცხვები. ისინი ასევე ბუნებრივია, ასევე ერთზე დიდი, მაგრამ აქვთ არა ორი, არამედ მეტი გამყოფი. ასე, მაგალითად, რიცხვები 4, 6, 8, 9 და ა.შ. არის ბუნებრივი, შედგენილი, მაგრამ არა მარტივი რიცხვები. როგორც ხედავთ, ეს ძირითადად ლუწი რიცხვებია, მაგრამ არა ყველა. მაგრამ "ორი" არის ლუწი რიცხვი და "პირველი რიცხვი" მარტივი რიცხვების სერიებში.

ქვემიმდევრობა

მარტივი რიცხვების სერიის ასაგებად, აუცილებელია ყველა ნატურალური რიცხვიდან არჩევანის გაკეთება, მათი განმარტების გათვალისწინებით, ანუ თქვენ უნდა იმოქმედოთ წინააღმდეგობით. აუცილებელია თითოეული ბუნებრივი დადებითი რიცხვის გათვალისწინება იმ თემაზე, აქვს თუ არა მას ორზე მეტი გამყოფი. შევეცადოთ ავაშენოთ რიგი (მიმდევრობა), რომელიც შედგება მარტივი რიცხვებისგან. სია იწყება ორით, შემდეგ მოდის სამი, რადგან ის მხოლოდ თავისთავად და ერთზე იყოფა. განვიხილოთ ნომერი ოთხი. ოთხი და ერთის გარდა სხვა გამყოფები აქვს? დიახ, ეს რიცხვია 2. ასე რომ, ოთხი არ არის მარტივი რიცხვი. ხუთი ასევე მარტივია (გარდა 1-ისა და 5-ისა, ის არ იყოფა სხვა რიცხვზე), მაგრამ ექვსი იყოფა. და საერთოდ, თუ ყველა ლუწი რიცხვს მიჰყვებით, შეამჩნევთ, რომ „ორის“ გარდა არცერთი არ არის მარტივი. აქედან ვასკვნით, რომ ლუწი რიცხვები, გარდა ორისა, არ არის მარტივი. კიდევ ერთი აღმოჩენა: ყველა რიცხვი, რომელიც იყოფა სამზე, გარდა თავად სამეულისა, ლუწი თუ კენტი, ასევე არ არის მარტივი (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 და ა.შ.). იგივე ეხება რიცხვებს, რომლებიც იყოფა ხუთზე და შვიდზე. მათი მთელი ნაკრები ასევე არ არის მარტივი. შევაჯამოთ. ამრიგად, ყველა კენტი რიცხვი, გარდა ერთისა და ცხრასა, მიეკუთვნება მარტივ ერთნიშნა რიცხვებს და მხოლოდ „ორი“ ლუწებიდან. თავად ათეულები (10, 20,... 40 და ა.შ.) არ არის მარტივი. ორნიშნა, სამნიშნა და ა.შ. მარტივი რიცხვები შეიძლება განისაზღვროს ზემოაღნიშნული პრინციპებიდან გამომდინარე: თუ მათ არ აქვთ სხვა გამყოფები, გარდა საკუთარი თავისა და ერთისა.

თეორიები მარტივი რიცხვების თვისებების შესახებ

არსებობს მეცნიერება, რომელიც სწავლობს მთელი რიცხვების თვისებებს, მათ შორის პირველ რიცხვებს. ეს არის მათემატიკის დარგი, რომელსაც უმაღლესს უწოდებენ. მთელი რიცხვების თვისებების გარდა, იგი ასევე ეხება ალგებრულ, ტრანსცენდენტურ რიცხვებს, ასევე სხვადასხვა წარმოშობის ფუნქციებს, რომლებიც დაკავშირებულია ამ რიცხვების არითმეტიკასთან. ამ კვლევებში, გარდა ელემენტარული და ალგებრული მეთოდებისა, გამოიყენება ანალიტიკური და გეომეტრიულიც. კერძოდ, მარტივი რიცხვების შესწავლა ეხება „რიცხვთა თეორიას“.

მარტივი რიცხვები ნატურალური რიცხვების „სამშენებლო ბლოკებია“.

არითმეტიკაში არის თეორემა, რომელსაც მთავარი თეორემა ეწოდება. მისი მიხედვით, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, გარდა ერთობისა, შეიძლება წარმოვიდგინოთ ნამრავლად, რომლის ფაქტორები არის მარტივი რიცხვები, ხოლო ფაქტორების რიგი უნიკალურია, რაც ნიშნავს, რომ წარმოდგენის მეთოდი უნიკალურია. მას უწოდებენ ნატურალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლას. ამ პროცესს სხვა სახელი აქვს - რიცხვების ფაქტორიზაცია. აქედან გამომდინარე, პირველ რიცხვებს შეიძლება ეწოდოს "სამშენებლო მასალა", "ბლოკები" ნატურალური რიცხვების ასაგებად.

მოძებნეთ მარტივი რიცხვები. სიმარტივის ტესტები

სხვადასხვა დროის მრავალი მეცნიერი ცდილობდა ეპოვა გარკვეული პრინციპები (სისტემები) მარტივი რიცხვების სიის საპოვნელად. მეცნიერებამ იცის სისტემები, რომლებსაც უწოდებენ ატკინის საცერს, სუნდარტამის საცერს, ერატოსთენეს. თუმცა, ისინი არ იძლევიან რაიმე მნიშვნელოვან შედეგს და მარტივი ტესტი გამოიყენება მარტივი რიცხვების მოსაძებნად. ალგორითმები მათემატიკოსებმაც შექმნეს. მათ პირველობის ტესტებს უწოდებენ. მაგალითად, არსებობს რაბინისა და მილერის მიერ შემუშავებული ტესტი. მას იყენებენ კრიპტოგრაფები. ასევე არსებობს Kayala-Agrawala-Saskena ტესტი. თუმცა, მიუხედავად მისი საკმარისი სიზუსტისა, ძალიან რთულია გამოთვლა, რაც ამცირებს მის პრაქტიკულ ღირებულებას.

აქვს თუ არა მარტივი რიცხვების სიმრავლეს ზღვარი?

ის, რომ მარტივი რიცხვების სიმრავლე არის უსასრულობა, დაწერილია ძველი ბერძენი მეცნიერის ევკლიდეს წიგნში „საწყისები“. მან ასე თქვა: „მოდით, ერთი წუთით წარმოვიდგინოთ, რომ მარტივ რიცხვებს აქვთ საზღვარი. შემდეგ გავამრავლოთ ისინი ერთმანეთში და ერთი დავამატოთ ნამრავლს. ამ მარტივი მოქმედებების შედეგად მიღებული რიცხვი არ შეიძლება დაიყოს მარტივი რიცხვების არცერთ სერიზე, რადგან ნაშთი ყოველთვის იქნება ერთი. და ეს ნიშნავს, რომ არის სხვა რიცხვი, რომელიც ჯერ არ არის შეტანილი მარტივი რიცხვების სიაში. მაშასადამე, ჩვენი ვარაუდი არ შეესაბამება სიმართლეს და ამ კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ლიმიტი. ევკლიდეს მტკიცებულების გარდა, არსებობს უფრო თანამედროვე ფორმულა, რომელიც მოცემულია მეთვრამეტე საუკუნის შვეიცარიელი მათემატიკოსის ლეონჰარდ ეილერის მიერ. მისი თქმით, ჯამი, პირველი n რიცხვის ჯამის საპასუხო, განუსაზღვრელი ვადით იზრდება n რიცხვის ზრდასთან ერთად. და აი, თეორემის ფორმულა მარტივი რიცხვების განაწილებასთან დაკავშირებით: (n) იზრდება n/ln (n) მსგავსად.

რა არის ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვი?

ერთი და იგივე ლეონარდ ეილერმა შეძლო თავისი დროის ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვის პოვნა. ეს არის 2 31 - 1 = 2147483647. თუმცა, 2013 წლისთვის გამოითვალა კიდევ ერთი ყველაზე ზუსტი უდიდესი რიცხვების სიაში - 2 57885161 - 1. მას მერსენის რიცხვი ჰქვია. იგი შეიცავს დაახლოებით 17 მილიონ ათობითი ციფრს. როგორც ხედავთ, მეთვრამეტე საუკუნის მეცნიერის მიერ აღმოჩენილი რიცხვი ამაზე რამდენჯერმე მცირეა. ასეც უნდა ყოფილიყო, რადგან ეილერმა ეს გამოთვლა ხელით გააკეთა, ჩვენს თანამედროვეს კი ალბათ კომპიუტერი დაეხმარა. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი მიიღეს მათემატიკის დეპარტამენტში, ერთ-ერთ ამერიკულ დეპარტამენტში. ამ მეცნიერის სახელობის რიცხვები გადის ლუკ-ლემერის პირველობის ტესტს. თუმცა, მეცნიერებას არ სურს აქ გაჩერება. Electronic Frontier Foundation, რომელიც დაარსდა 1990 წელს ამერიკის შეერთებულ შტატებში (EFF), შესთავაზა ფულადი ჯილდო დიდი პირველი რიცხვების პოვნისთვის. და თუ 2013 წლამდე პრიზი ენიჭებოდათ იმ მეცნიერებს, რომლებიც იპოვნიდნენ მათ 1 და 10 მილიონი ათობითი რიცხვებიდან, დღეს ეს მაჩვენებელი 100 მილიონიდან 1 მილიარდამდეა. პრიზები 150-დან 250 ათას აშშ დოლარამდე მერყეობს.

სპეციალური მარტივი რიცხვების სახელები

იმ ციფრებს, რომლებიც აღმოაჩინეს გარკვეული მეცნიერების მიერ შექმნილი ალგორითმების წყალობით და გაიარეს სიმარტივის ტესტი, სპეციალური ეწოდება. აქ არის რამდენიმე მათგანი:

1. მერსინი.

4. კულენი.

6. მილსი და სხვ.

ზემოაღნიშნული მეცნიერების სახელობის ამ რიცხვების სიმარტივე დადგენილია შემდეგი ტესტების გამოყენებით:

1. ლუკას-ლემერი.

2. პეპინა.

3. რიზელი.

4. ბილჰარტი - ლემერი - სელფრიჯი და სხვები.

თანამედროვე მეცნიერება ამით არ ჩერდება და, ალბათ, უახლოეს მომავალში მსოფლიო გაიგებს მათ სახელებს, ვინც შეძლეს 250 000 დოლარის პრიზის მოპოვება ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვის გამოვლენით.

გამყოფთა სია.განსაზღვრებით, რიცხვი ნმარტივია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თანაბრად არ იყოფა 2-ზე და სხვა მთელ რიცხვებზე, გარდა 1-ისა და თავისა. ზემოაღნიშნული ფორმულა შლის ზედმეტ ნაბიჯებს და დაზოგავს დროს: მაგალითად, შემოწმების შემდეგ არის თუ არა რიცხვი 3-ზე, არ არის საჭირო იმის შემოწმება, იყო თუ არა იგი 9-ზე.

• სართული(x) ფუნქცია ამრგვალავს x-ს უახლოეს მთელ რიცხვამდე x-ზე ნაკლები ან ტოლი.

შეიტყვეთ მოდულარული არითმეტიკის შესახებ.ოპერაცია „x mod y“ (mod არის ლათინური სიტყვის „modulo“ შემოკლება, ანუ „module“) ნიშნავს „გაყავი x y-ზე და იპოვე ნაშთი“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდულურ არითმეტიკაში, გარკვეული მნიშვნელობის მიღწევისას, რომელსაც ე.წ მოდული, რიცხვები "უბრუნდება" ნულს. მაგალითად, საათი ზომავს დროს 12 მოდულში: ის აჩვენებს 10, 11 და 12 საათს და შემდეგ უბრუნდება 1-ს.

• ბევრ კალკულატორს აქვს mod გასაღები. ამ განყოფილების ბოლოს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ეს ფუნქცია ხელით დიდი რიცხვებისთვის.

შეიტყვეთ ფერმას პატარა თეორემის ხარვეზების შესახებ.ყველა რიცხვი, რომლებისთვისაც ტესტის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული, არის შედგენილი, მაგრამ დარჩენილი რიცხვები მხოლოდ ალბათუბრალოებად ითვლება. თუ გსურთ თავიდან აიცილოთ არასწორი შედეგები, მოძებნეთ ნ"კარმაიკლის ნომრების" (კომპოზიტური რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ ტესტს) და "ფსევდო-პირველი ფერმას რიცხვების" სიაში (ეს რიცხვები აკმაყოფილებს ტესტის პირობებს მხოლოდ ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. ა).

თუ მოსახერხებელია, გამოიყენეთ მილერ-რაბინის ტესტი.მიუხედავად იმისა, რომ ეს მეთოდი საკმაოდ რთულია ხელით გამოთვლებისთვის, ის ხშირად გამოიყენება კომპიუტერულ პროგრამებში. ის უზრუნველყოფს მისაღებ სიჩქარეს და იძლევა ნაკლებ შეცდომებს, ვიდრე ფერმას მეთოდი. კომპოზიციური რიცხვი არ მიიღება პირველ რიცხვად, თუ გამოთვლები კეთდება ¼-ზე მეტ მნიშვნელობაზე ა. თუ შემთხვევით აირჩევთ სხვადასხვა მნიშვნელობებს ადა ყველა მათგანისთვის ტესტი დადებით შედეგს მოგვცემს, საკმაოდ მაღალი დარწმუნებით შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ნარის მარტივი რიცხვი.

დიდი რიცხვებისთვის გამოიყენეთ მოდულური არითმეტიკა.თუ ხელთ არ გაქვთ მოდიფიკაციის კალკულატორი, ან თუ თქვენი კალკულატორი არ არის შექმნილი ამხელა რიცხვების დასამუშავებლად, გამოიყენეთ სიმძლავრის თვისებები და მოდულარული არითმეტიკა თქვენი გამოთვლების გასაადვილებლად. ქვემოთ მოცემულია მაგალითი 3 50 (\displaystyle 3^(50))მოდიფიკაცია 50:

• გადაწერეთ გამონათქვამი უფრო მოსახერხებელი ფორმით: mod 50. ხელით გაანგარიშებისას შეიძლება საჭირო გახდეს შემდგომი გამარტივება.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. აქ გავითვალისწინეთ მოდულური გამრავლების თვისება.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25))მოდიფიკაცია 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25))მოდიფიკაცია 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))მოდიფიკაცია 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849)მოდიფიკაცია 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

მარტივი რიცხვი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა მხოლოდ თავისთავზე და ერთზე.

დანარჩენ რიცხვებს კომპოზიციური ეწოდება.

მარტივი ნატურალური რიცხვები

მაგრამ ყველა ნატურალური რიცხვი არ არის მარტივი.

მარტივი ნატურალური რიცხვები არის მხოლოდ ის, რომლებიც იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და ერთზე.

მარტივი რიცხვების მაგალითები:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

მარტივი მთელი რიცხვები

აქედან გამომდინარეობს, რომ მხოლოდ ნატურალური რიცხვები არიან მარტივი რიცხვები.

ეს ნიშნავს, რომ მარტივი რიცხვები აუცილებლად ბუნებრივია.

მაგრამ ყველა ნატურალური რიცხვი ასევე მთელი რიცხვია.

ამრიგად, ყველა მარტივი რიცხვი არის მთელი რიცხვები.

მარტივი რიცხვების მაგალითები:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

თუნდაც მარტივი რიცხვები

არსებობს მხოლოდ ერთი ლუწი მარტივი რიცხვი და ეს არის ორი.

ყველა სხვა მარტივი რიცხვი კენტია.

რატომ არ შეიძლება ორზე მეტი ლუწი რიცხვი იყოს მარტივი რიცხვი?

მაგრამ რადგან ორზე მეტი ლუწი რიცხვი თავისთავად იყოფა არა ერთზე, არამედ ორზე, ანუ ასეთ რიცხვს ყოველთვის ექნება სამი გამყოფი და შესაძლოა მეტიც.