სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას წილადები პირველ რიგში მივყავართ საერთო მნიშვნელი. ეს ნიშნავს, რომ ისინი პოულობენ ასეთ ერთ მნიშვნელს, რომელიც იყოფა თითოეული ალგებრული წილადის თავდაპირველ მნიშვნელზე, რომელიც ამ გამოხატვის ნაწილია.

მოგეხსენებათ, თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (ან იყოფა) იმავე რიცხვზე ნულის გარდა, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება. ეს არის წილადის მთავარი თვისება. ამიტომ, როდესაც წილადები მივყავართ საერთო მნიშვნელს, ფაქტობრივად, თითოეული წილადის თავდაპირველი მნიშვნელი მრავლდება გამოტოვებულ ფაქტორზე საერთო მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ამ ფაქტორზე და წილადის მრიცხველზე გამრავლება (თითოეული წილადისთვის განსხვავებულია).

მაგალითად, მოცემულია ალგებრული წილადების შემდეგი ჯამი:

საჭიროა გამოხატვის გამარტივება, ანუ ორი ალგებრული წილადის დამატება. ამისათვის, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ტერმინები-წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. პირველი ნაბიჯი არის მონომის პოვნა, რომელიც იყოფა 3x-ზე და 2y-ზე. ამ შემთხვევაში, სასურველია, რომ ის იყოს ყველაზე პატარა, ანუ იპოვონ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) 3x და 2y.

რიცხვითი კოეფიციენტებისა და ცვლადებისთვის, LCM იძებნება ცალკე. LCM(3, 2) = 6 და LCM(x, y) = xy. გარდა ამისა, ნაპოვნი მნიშვნელობები მრავლდება: 6xy.

ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რა ფაქტორით უნდა გავამრავლოთ 3x, რომ მივიღოთ 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

ეს ნიშნავს, რომ პირველი ალგებრული წილადის საერთო მნიშვნელზე შემცირებისას მისი მრიცხველი უნდა გავამრავლოთ 2y-ზე (მნიშვნელი უკვე გამრავლებულია საერთო მნიშვნელზე შეყვანისას). ანალოგიურად იძებნება მეორე წილადის მრიცხველის კოეფიციენტი. უდრის 3x.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ:

გარდა ამისა, უკვე შესაძლებელია ვიმოქმედოთ როგორც წილადებთან ერთი და იგივე მნიშვნელებით: ემატება მრიცხველები და მნიშვნელში იწერება ერთი საერთო:

გარდაქმნების შემდეგ მიიღება გამარტივებული გამოხატულება, რომელიც არის ერთი ალგებრული წილადი, რომელიც არის ორი ორიგინალის ჯამი:

თავდაპირველ გამოსახულებაში ალგებრული წილადები შეიძლება შეიცავდეს მნიშვნელებს, რომლებიც პოლინომებია და არა მონომები (როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში). ამ შემთხვევაში, სანამ საერთო მნიშვნელს იპოვით, შეაფასეთ მნიშვნელები (თუ შესაძლებელია). გარდა ამისა, საერთო მნიშვნელი გროვდება სხვადასხვა ფაქტორებიდან. თუ ფაქტორი რამდენიმე საწყის მნიშვნელშია, მაშინ იგი აღებულია ერთხელ. თუ ფაქტორს აქვს სხვადასხვა ხარისხი თავდაპირველ მნიშვნელებში, მაშინ იგი აღებულია უფრო დიდით. Მაგალითად:

აქ მრავალწევრი a 2 - b 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით (a - b)(a + b). კოეფიციენტი 2a – 2b გაფართოებულია როგორც 2(a – b). ამრიგად, საერთო მნიშვნელი ტოლი იქნება 2(a - b)(a + b).

თავიდან მინდოდა საერთო მნიშვნელის მეთოდების ჩართვა "წილადების შეკრება და გამოკლება" აბზაცში. მაგრამ იმდენი ინფორმაცია იყო და მისი მნიშვნელობა იმდენად დიდია (ბოლოს და ბოლოს, არა მხოლოდ რიცხვით წილადებს აქვთ საერთო მნიშვნელები), რომ სჯობს ეს საკითხი ცალკე შევისწავლოთ.

ვთქვათ, გვაქვს ორი წილადი სხვადასხვა მნიშვნელით. და ჩვენ გვინდა დავრწმუნდეთ, რომ მნიშვნელები იგივე გახდება. სამაშველოში მოდის წილადის მთავარი თვისება, რომელიც, შეგახსენებთ, ასე ჟღერს:

წილადი არ იცვლება, თუ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე.

ამრიგად, თუ სწორ ფაქტორებს აირჩევთ, წილადების მნიშვნელები ტოლი იქნება - ამ პროცესს საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ეწოდება. ხოლო სასურველ რიცხვებს, მნიშვნელების „გათანაბრებას“, დამატებით ფაქტორებს უწოდებენ.

რატომ გჭირდებათ წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან? აქ არის მხოლოდ რამდენიმე მიზეზი:

1. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება და გამოკლება. ამ ოპერაციის სხვა გზა არ არსებობს;
2. წილადის შედარება. ზოგჯერ საერთო მნიშვნელამდე შემცირება მნიშვნელოვნად ამარტივებს ამ ამოცანას;
3. პრობლემების გადაჭრა აქციებზე და პროცენტებზე. პროცენტები, ფაქტობრივად, ჩვეულებრივი გამონათქვამებია, რომლებიც შეიცავს წილადებს.

მრავალი გზა არსებობს რიცხვების საპოვნელად, რომლებიც გამრავლებისას მნიშვნელებს ტოლს ხდის. ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ სამ მათგანს - სირთულის და, გარკვეული გაგებით, ეფექტურობის გაზრდის მიზნით.

გამრავლება "ჯვარედინი"

ყველაზე მარტივი და საიმედო გზა, რომელიც გარანტირებულია მნიშვნელების გათანაბრება. ჩვენ ვიმოქმედებთ „წინ“: პირველ წილადს ვამრავლებთ მეორე წილადის მნიშვნელზე, ხოლო მეორეს პირველის მნიშვნელზე. შედეგად, ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი გახდება საწყისი მნიშვნელების ნამრავლის. Შეხედე:

დამატებით ფაქტორებად განიხილეთ მეზობელი წილადების მნიშვნელები. ჩვენ ვიღებთ:

დიახ, ეს ასე მარტივია. თუ ახლახან იწყებთ წილადების შესწავლას, ჯობია ამ მეთოდით იმუშაოთ - ამ გზით თავს დაიზღვევთ მრავალი შეცდომისგან და გარანტირებული გაქვთ შედეგის მიღება.

ამ მეთოდის ერთადერთი ნაკლი ის არის, რომ ბევრი უნდა დათვალოთ, რადგან მნიშვნელები მრავლდება „წინ“ და შედეგად, ძალიან დიდი რიცხვების მიღება შეიძლება. ეს არის საიმედოობის ფასი.

საერთო გამყოფი მეთოდი

ეს ტექნიკა მნიშვნელოვნად ამცირებს გამოთვლებს, მაგრამ, სამწუხაროდ, ის იშვიათად გამოიყენება. მეთოდი ასეთია:

1. შეხედეთ მნიშვნელებს, სანამ გადახვალთ „გადაკვეთა“ (ანუ „ჯვარედინი“). შესაძლოა, ერთი მათგანი (ის, რომელიც უფრო დიდია) იყოფა მეორეზე.
2. ასეთი გაყოფის შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება დამატებითი ფაქტორი მცირე მნიშვნელის მქონე წილადისთვის.
3. ამავდროულად, დიდი მნიშვნელის მქონე წილადს საერთოდ არაფერზე გამრავლება არ სჭირდება - ეს არის დანაზოგი. ამავდროულად, მკვეთრად მცირდება შეცდომის ალბათობა.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:

გაითვალისწინეთ, რომ 84: 21 = 4; 72:12 = 6. ვინაიდან ორივე შემთხვევაში ერთი მნიშვნელი იყოფა ნაშთის გარეშე მეორეზე, ვიყენებთ საერთო ფაქტორების მეთოდს. Ჩვენ გვაქვს:

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე წილადი საერთოდ არაფერზე არ გამრავლებულა. ფაქტობრივად, ჩვენ გავანახევრეთ გამოთვლების რაოდენობა!

სხვათა შორის, ამ მაგალითში წილადები მიზეზის გამო ავიღე. თუ გაინტერესებთ, სცადეთ მათი დათვლა ჯვარედინი მეთოდით. შემცირების შემდეგ პასუხები იგივე იქნება, მაგრამ სამუშაო გაცილებით მეტი იქნება.

ეს არის საერთო გამყოფების მეთოდის სიძლიერე, მაგრამ, ისევ და ისევ, მისი გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ერთ-ერთი მნიშვნელი იყოფა მეორეზე ნაშთის გარეშე. რაც საკმაოდ იშვიათად ხდება.

ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავალჯერადი მეთოდი

როდესაც წილადებს ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე, არსებითად ვცდილობთ ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე. შემდეგ ამ რიცხვამდე მივყავართ ორივე წილადის მნიშვნელებს.

ასეთი რიცხვები ბევრია და მათგან უმცირესი სულაც არ იქნება ორიგინალური წილადების მნიშვნელების პირდაპირი ნამრავლის ტოლი, როგორც ამას ვარაუდობენ „ჯვარედინი“ მეთოდით.

მაგალითად, მნიშვნელებისთვის 8 და 12, ნომერი 24 საკმაოდ შესაფერისია, რადგან 24: 8 = 3; 24:12 = 2. ეს რიცხვი გაცილებით ნაკლებია ვიდრე ნამრავლი 8 12 = 96.

უმცირეს რიცხვს, რომელიც იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე, ეწოდება მათი უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM).

აღნიშვნა: a-სა და b-ის უმცირესი საერთო ჯერადი აღინიშნება LCM(a ; b)-ით. მაგალითად, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

თუ მოახერხებთ ასეთი რიცხვის პოვნას, გამოთვლების საერთო რაოდენობა მინიმალური იქნება. შეხედეთ მაგალითებს:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:

გაითვალისწინეთ, რომ 234 = 117 2; 351 = 117 3 . 2 და 3 ფაქტორები არის თანაპირველი (არ აქვთ საერთო გამყოფები 1-ის გარდა), ხოლო 117 ფაქტორი საერთოა. ამიტომ LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

ანალოგიურად, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . 3 და 4 ფაქტორები შედარებით მარტივია, ხოლო ფაქტორი 5 საერთოა. ამიტომ LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

ახლა მოდით მივიყვანოთ წილადები საერთო მნიშვნელებთან:

გაითვალისწინეთ, რამდენად სასარგებლო აღმოჩნდა თავდაპირველი მნიშვნელების ფაქტორიზაცია:

1. ერთი და იგივე ფაქტორების აღმოჩენის შემდეგ, მაშინვე მივაღწიეთ უმცირეს საერთო ჯერადს, რაც, ზოგადად, არატრივიალური პრობლემაა;
2. შედეგად მიღებული გაფართოებიდან შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელი ფაქტორები "აკლდა" თითოეულ წილადს. მაგალითად, 234 3 \u003d 702, შესაბამისად, პირველი წილადისთვის დამატებითი ფაქტორი არის 3.

იმის სანახავად, თუ რამდენ მოგებას იძლევა ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავალჯერადი მეთოდი, სცადეთ გამოთვალოთ იგივე მაგალითები ჯვარედინი მეთოდის გამოყენებით. რა თქმა უნდა, კალკულატორის გარეშე. ვფიქრობ, ამის შემდეგ კომენტარები ზედმეტი იქნება.

არ იფიქროთ, რომ ასეთი რთული წილადები არ იქნება რეალურ მაგალითებში. ისინი ყოველთვის ხვდებიან და ზემოაღნიშნული ამოცანები არ არის ლიმიტი!

ერთადერთი პრობლემა ისაა, თუ როგორ მოვძებნოთ ეს NOC. ზოგჯერ ყველაფერი რამდენიმე წამში გვხვდება, სიტყვასიტყვით „თვალით“, მაგრამ ზოგადად ეს რთული გამოთვლითი პრობლემაა, რომელიც ცალკე განხილვას მოითხოვს. აქ ჩვენ არ შევეხებით ამას.

წილადებით მაგალითების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა შეძლოთ უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნა. ქვემოთ მოცემულია დეტალური ინსტრუქცია.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი - კონცეფცია

უმცირესი საერთო მნიშვნელი (LCD) მარტივი სიტყვებით არის მინიმალური რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემული მაგალითის ყველა წილადის მნიშვნელებზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მას უწოდებენ უმცირეს საერთო მრავალჯერადს (LCM). NOZ გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წილადების მნიშვნელები განსხვავებულია.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი - მაგალითები

განვიხილოთ NOZ-ის პოვნის მაგალითები.

გამოთვალეთ: 3/5 + 2/15.

გამოსავალი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• ვუყურებთ წილადების მნიშვნელებს, ვრწმუნდებით, რომ ისინი განსხვავდებიან და გამოსახულებები შემცირებულია მაქსიმალურად.
• ჩვენ ვპოულობთ უმცირეს რიცხვს, რომელიც იყოფა როგორც 5-ზე, ასევე 15-ზე. ეს რიცხვი იქნება 15. ამრიგად, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• ჩვენ გავარკვიეთ მნიშვნელი. რა იქნება მრიცხველში? დამატებითი მულტიპლიკატორი დაგვეხმარება ამის გარკვევაში. დამატებითი ფაქტორია რიცხვი, რომელიც მიიღება NOZ-ის კონკრეტული წილადის მნიშვნელზე გაყოფით. 3/5-ისთვის დამატებითი კოეფიციენტი არის 3, ვინაიდან 15/5 = 3. მეორე წილადისთვის დამატებითი კოეფიციენტი არის 1, ვინაიდან 15/15 = 1.
• დამატებითი კოეფიციენტის აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ ვამრავლებთ მას წილადების მრიცხველებზე და ვამატებთ მიღებულ მნიშვნელობებს. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

პასუხი: 3/5 + 2/15 = 11/15.

თუ მაგალითში ემატება ან გამოკლებულია არა 2, არამედ 3 ან მეტი წილადი, მაშინ NOZ უნდა მოძებნოთ იმდენი წილადი, რამდენიც მოცემულია.

გამოთვალეთ: 1/2 - 5/12 + 3/6

გამოსავალი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელის პოვნა. მინიმალური რიცხვი, რომელიც იყოფა 2-ზე, 12-ზე და 6-ზე არის 12.
• ვიღებთ: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• ჩვენ ვეძებთ დამატებით მულტიპლიკატორებს. 1/2-ისთვის - 6; 5/12-ისთვის - 1; 3/6 - 2.
• ვამრავლებთ მრიცხველებზე და ვანიჭებთ შესაბამის ნიშნებს: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

პასუხი: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.