ფუნქციის კვლევა.
1) D(y) - განსაზღვრების დომენი: x ცვლადის ყველა იმ მნიშვნელობის სიმრავლე. რომლის მიხედვითაც ალგებრული გამონათქვამები f(x) და g(x) აზრი აქვს.
თუ ფუნქცია მოცემულია ფორმულით, მაშინ განსაზღვრების დომენი შედგება დამოუკიდებელი ცვლადის ყველა მნიშვნელობისაგან, რომლისთვისაც ფორმულა აზრი აქვს.
2) ფუნქციის თვისებები: ლუწი/კენტი, პერიოდულობა:
კენტიდა თუნდაცეწოდება ფუნქციები, რომელთა გრაფიკები სიმეტრიულია არგუმენტის ნიშნის ცვლილების მიმართ.
უცნაური ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც ცვლის მნიშვნელობას საპირისპიროდ, როდესაც იცვლება დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშანი (სიმეტრიული კოორდინატების ცენტრის მიმართ).
თუნდაც ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც არ იცვლის მნიშვნელობას დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშნის ცვლილებისას (სიმეტრიული y-ღერძის მიმართ).
არც ლუწი და არც კენტი ფუნქცია (ზოგადი ფუნქცია)არის ფუნქცია, რომელსაც არ აქვს სიმეტრია. ეს კატეგორია მოიცავს ფუნქციებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება წინა 2 კატეგორიას.
ფუნქციებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ზემოთ ჩამოთვლილ რომელიმე კატეგორიას, ეწოდება არც ლუწი და არც კენტი(ან ზოგადი ფუნქციები).
უცნაური ფუნქციები
კენტი სიმძლავრე, სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი.
ფუნქციებიც კი
ლუწი ძალა, სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი.
პერიოდული ფუნქციაარის ფუნქცია, რომელიც იმეორებს თავის მნიშვნელობებს არგუმენტის რაღაც რეგულარულ ინტერვალში, ანუ არ ცვლის მის მნიშვნელობას, როდესაც არგუმენტს ემატება რაიმე ფიქსირებული არანულოვანი რიცხვი ( პერიოდიფუნქციები) განსაზღვრების მთელ დომენზე.
3) ფუნქციის ნულები (ფესვები) არის ის წერტილები, სადაც ის ქრება.
გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის პოვნა ოი. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ ღირებულება ვ(0). იპოვეთ აგრეთვე გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ოქსირატომ იპოვნეთ განტოლების ფესვები ვ(x) = 0 (ან დარწმუნდით, რომ ფესვები არ არის).
წერტილებს, სადაც გრაფიკი კვეთს ღერძს, ეწოდება ფუნქცია ნულები. ფუნქციის ნულების საპოვნელად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება, ანუ იპოვოთ ეს x მნიშვნელობები, რისთვისაც ფუნქცია ქრება.
4) ნიშნების, ნიშნების მუდმივობის ინტერვალები მათში.
ინტერვალები, სადაც ფუნქცია f(x) ინარჩუნებს თავის ნიშანს.
მუდმივობის ინტერვალი არის ინტერვალი ყოველ წერტილში, რომელშიცფუნქცია დადებითი ან უარყოფითია.
x-ღერძის ზემოთ.
BELOW ღერძი.
5) უწყვეტობა (შეწყვეტის წერტილები, წყვეტის ხასიათი, ასიმპტოტები).
უწყვეტი ფუნქცია- ფუნქცია "ნახტომების" გარეშე, ანუ ის, რომელშიც არგუმენტის მცირე ცვლილებები იწვევს ფუნქციის მნიშვნელობის მცირე ცვლილებებს.
მოსახსნელი წყვეტის წერტილები
თუ ფუნქციის ლიმიტი არსებობს, მაგრამ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული ამ ეტაპზე, ან ლიმიტი არ ემთხვევა ფუნქციის მნიშვნელობას ამ ეტაპზე:
,
მაშინ წერტილი ეწოდება შესვენების წერტილიფუნქციები (კომპლექსურ ანალიზში, მოსახსნელი სინგულარული წერტილი).
თუ ფუნქციას „გამოვასწორებთ“ მოხსნადი შეწყვეტის წერტილში და დავაყენებთ 
, მაშინ მივიღებთ ფუნქციას, რომელიც ამ ეტაპზე უწყვეტია. ფუნქციაზე ასეთი ოპერაცია ე.წ ფუნქციის გაგრძელება უწყვეტამდეან ფუნქციის გაფართოება უწყვეტობით, რომელიც ამართლებს წერტილის სახელს, როგორც ქულებს ერთჯერადიუფსკრული.
პირველი და მეორე სახის შეწყვეტის წერტილები
თუ ფუნქციას აქვს უწყვეტობა მოცემულ წერტილში (ანუ, ფუნქციის ზღვარი მოცემულ წერტილში არ არის ან არ ემთხვევა მოცემულ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას), მაშინ რიცხვითი ფუნქციებისთვის არის ორი შესაძლო ვარიანტი. რიცხვითი ფუნქციების არსებობასთან დაკავშირებული ცალმხრივი საზღვრები:
თუ ორივე ცალმხრივი ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ ასეთ წერტილს უწოდებენ პირველი ტიპის რღვევის წერტილი. მოხსნადი შეწყვეტის წერტილები არის პირველი სახის შეწყვეტის წერტილები;
თუ ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც არ არსებობს ან არ არის სასრული მნიშვნელობა, მაშინ ასეთი წერტილი ე.წ. მეორე ტიპის რღვევის წერტილი.
ასიმპტოტი - სწორი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ მანძილი მრუდის წერტილიდან ამ სწორიმიდრეკილია ნულისკენ, რადგან წერტილი ტოტის გასწვრივ უსასრულობისკენ მოძრაობს.
ვერტიკალური
ვერტიკალური ასიმპტოტი - ლიმიტის ხაზი 
.
როგორც წესი, ვერტიკალური ასიმპტოტის განსაზღვრისას ისინი ეძებენ არა ერთ ზღვარს, არამედ ორ ცალმხრივს (მარცხნივ და მარჯვნივ). ეს კეთდება იმისთვის, რომ დადგინდეს, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია, როდესაც ის უახლოვდება ვერტიკალურ ასიმპტოტს სხვადასხვა მიმართულებით. Მაგალითად:
Ჰორიზონტალური
ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - სწორისახეობა, ექვემდებარება არსებობას ზღვარი
.
ირიბი
ირიბი ასიმპტოტა - სწორისახეობა, ექვემდებარება არსებობას საზღვრები
შენიშვნა: ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ორი ირიბი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტი.
შენიშვნა: თუ ზემოთ ნახსენები ორი ლიმიტიდან ერთი მაინც არ არსებობს (ან უდრის ), მაშინ ირიბი ასიმპტოტი at (ან )-ზე არ არსებობს.
თუ მე-2 პუნქტში.), მაშინ, და ლიმიტი ნაპოვნია ჰორიზონტალური ასიმპტოტის ფორმულით, 
.
6) მონოტონურობის ინტერვალების მოძიება.იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები ვ(x) (ანუ მატებისა და კლების ინტერვალები). ეს ხდება წარმოებულის ნიშნის შესწავლით ვ(x). ამისათვის იპოვნეთ წარმოებული ვ(x) და ამოხსენით უტოლობა ვ(x) 0. იმ ინტერვალებზე, სადაც ეს უტოლობა დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ვ(x) იზრდება. სადაც საპირისპირო უტოლობა მოქმედებს ვ(x)0, ფუნქცია ვ(x) მცირდება.
ადგილობრივი ექსტრემის პოვნა.მონოტონურობის ინტერვალების აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ ლოკალური ექსტრემის ის წერტილები, სადაც მატება იცვლება შემცირებით, არის ადგილობრივი მაქსიმუმები და სადაც კლება იცვლება ზრდით, ლოკალური მინიმალური. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილებში. თუ ფუნქციას აქვს კრიტიკული წერტილები, რომლებიც არ არის ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილები, მაშინ სასარგებლოა ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა ამ წერტილებშიც.
სეგმენტზე y = f(x) ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა(გაგრძელება)
|
1. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული: ვ(x). 2. იპოვეთ წერტილები, სადაც წარმოებული არის ნული: ვ(x)=0x 1, x 2 ,... 3. განსაზღვრეთ ქულების საკუთრება X 1 ,X 2 , … სეგმენტი [ ა; ბ]: იყოს x 1ა;ბ, ა x 2ა;ბ . 4. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები არჩეულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში: ვ(x 1), ვ(x 2),..., ვ(x ა),ვ(x ბ), 5. ფუნქციის ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების შერჩევა ნაპოვნიდან. კომენტარი. თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] არის შეწყვეტის წერტილები, მაშინ აუცილებელია მათში ცალმხრივი ლიმიტების გამოთვლა და შემდეგ მათი მნიშვნელობების გათვალისწინება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების არჩევისას. |
7) ამოზნექილისა და ჩაზნექის ინტერვალების მოძიება. ეს ხდება მეორე წარმოებულის ნიშნის შესწავლით ვ(x). იპოვნეთ გადახრის წერტილები ამოზნექილი და ჩაზნექილი ინტერვალების შეერთებებზე. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა გადახრის წერტილებში. თუ ფუნქციას აქვს უწყვეტობის სხვა წერტილები (გარდა გადახრის წერტილებისა), რომლებშიც მეორე წარმოებული 0-ის ტოლია ან არ არსებობს, მაშინ ამ წერტილებში ასევე სასარგებლოა ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა. მოძიება ვ(x), ვხსნით უტოლობას ვ(x) 0. ამოხსნის თითოეულ ინტერვალზე ფუნქცია ქვემოთ ამოზნექილი იქნება. საპირისპირო უტოლობის ამოხსნა ვ(x)0, ჩვენ ვპოულობთ ინტერვალებს, სადაც ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ (ანუ ჩაზნექილი). ჩვენ განვსაზღვრავთ დახრის წერტილებს, როგორც იმ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქცია ცვლის ამოზნექის მიმართულებას (და უწყვეტია).
ფუნქციის დახრის წერტილი- ეს ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უწყვეტია და გავლისას ფუნქცია ცვლის ამოზნექის მიმართულებას.
არსებობის პირობები
გადახრის წერტილის არსებობის აუცილებელი პირობა:თუ ფუნქცია ორჯერ დიფერენცირებადია წერტილის რომელიმე პუნქციურ მიმდებარე ტერიტორიაზე, მაშინ ან 
.
y ცვლადის დამოკიდებულებას x ცვლადზე, რომელშიც x-ის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება y-ის ერთ მნიშვნელობას, ეწოდება ფუნქცია. აღნიშვნა არის y=f(x). თითოეულ ფუნქციას აქვს რამდენიმე ძირითადი თვისება, როგორიცაა ერთფეროვნება, პარიტეტი, პერიოდულობა და სხვა.
განვიხილოთ პარიტეტული თვისება უფრო დეტალურად.
ფუნქცია y=f(x) იწოდება მაშინაც კი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:
2. ფუნქციის სიდიდე x წერტილში, რომელიც მიეკუთვნება ფუნქციის ფარგლებს, უნდა იყოს -x წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი. ანუ, ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d f (-x) უნდა იყოს ჭეშმარიტი.
ლუწი ფუნქციის გრაფიკი
თუ თქვენ ააგებთ ლუწი ფუნქციის გრაფიკს, ის სიმეტრიული იქნება y-ღერძის მიმართ.
მაგალითად, ფუნქცია y=x^2 ლუწია. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.
აიღეთ თვითნებური x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. ამიტომ, f(x) = f(-x). ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია თანაბარია. ქვემოთ მოცემულია y=x^2 ფუნქციის გრაფიკი.
ნახაზი აჩვენებს, რომ გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ.
უცნაური ფუნქციის გრაფიკი
ფუნქციას y=f(x) ეწოდება კენტი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:
1. მოცემული ფუნქციის დომენი უნდა იყოს სიმეტრიული O წერტილის მიმართ, ანუ თუ რომელიმე a წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის დომენს, მაშინ შესაბამისი წერტილი -a ასევე უნდა მიეკუთვნებოდეს მოცემული ფუნქციის დომენს.
2. ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d -f (x).
კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ - საწყისი. მაგალითად, ფუნქცია y=x^3 არის უცნაური. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.
აიღეთ თვითნებური x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. ამიტომ f(x) = -f(x). ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია კენტია. ქვემოთ მოცემულია y=x^3 ფუნქციის გრაფიკი.
ნახაზი ნათლად აჩვენებს, რომ კენტი ფუნქცია y=x^3 სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.
თუნდაც, თუ ყველასთვის \(x\) მისი დომენიდან მართალია: \(f(-x)=f(x)\) .
ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია \(y\) ღერძის მიმართ:
მაგალითი: ფუნქცია \(f(x)=x^2+\cos x\) ლუწია, რადგან \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\შავი სამკუთხედი\) ფუნქცია \(f(x)\) გამოძახებულია კენტი, თუ ყველასთვის \(x\) მისი დომენიდან მართალია: \(f(-x)=-f(x)\) .
უცნაური ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ:
მაგალითი: ფუნქცია \(f(x)=x^3+x\) კენტია, რადგან \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\შავი სამკუთხედი\) ფუნქციებს, რომლებიც არც ლუწია და არც კენტი, ეწოდება ზოგადი ფუნქციები. ასეთი ფუნქცია ყოველთვის შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი, როგორც ლუწი და კენტი ფუნქციის ჯამი.
მაგალითად, ფუნქცია \(f(x)=x^2-x\) არის ლუწი ფუნქციის \(f_1=x^2\) და კენტი ფუნქციის \(f_2=-x\) ჯამი.
\(\შავი სამკუთხედი\) ზოგიერთი თვისება:
1) ერთი და იგივე პარიტეტის ორი ფუნქციის ნამრავლი და კოეფიციენტი არის ლუწი ფუნქცია.
2) სხვადასხვა პარიტეტის ორი ფუნქციის ნამრავლი და კოეფიციენტი არის კენტი ფუნქცია.
3) ლუწი ფუნქციების ჯამი და სხვაობა არის ლუწი ფუნქცია.
4) კენტი ფუნქციების ჯამი და სხვაობა კენტი ფუნქციაა.
5) თუ \(f(x)\) არის ლუწი ფუნქცია, მაშინ განტოლებას \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) აქვს უნიკალური ფესვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც \(x =0\) .
6) თუ \(f(x)\) არის ლუწი ან კენტი ფუნქცია, ხოლო განტოლებას \(f(x)=0\) აქვს ფესვი \(x=b\) , მაშინ ამ განტოლებას აუცილებლად ექნება მეორე. ფესვი \(x =-b\) .
\(\შავი სამკუთხედი\) ფუნქცია \(f(x)\) ეწოდება პერიოდულ \(X\)-ზე, თუ რომელიმე რიცხვისთვის \(T\ne 0\) გვაქვს \(f(x)=f(x+ T) \) , სადაც \(x, x+T\X-ში\) . უმცირეს \(T\) , რომლისთვისაც ეს ტოლობა მოქმედებს, ფუნქციის ძირითადი (ძირითადი) პერიოდი ეწოდება.
პერიოდულ ფუნქციას აქვს \(nT\) ფორმის ნებისმიერი რიცხვი, სადაც \(n\in \mathbb(Z)\) ასევე იქნება წერტილი.
მაგალითი: ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია;
\(f(x)=\sin x\) და \(f(x)=\cos x\) ფუნქციებისთვის ძირითადი პერიოდი უდრის \(2\pi\) , ფუნქციებისთვის \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) და \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ძირითადი პერიოდი არის \(\pi\) .
პერიოდული ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, შეგიძლიათ მისი გრაფიკის დახატვა \(T\) სიგრძის ნებისმიერ სეგმენტზე (მთავარი პერიოდი); მაშინ მთელი ფუნქციის გრაფიკი სრულდება აგებული ნაწილის მთელი რიცხვით წერტილების მარჯვნივ და მარცხნივ გადაწევით:
\(\შავი სამკუთხედი\) \(f(x)\) ფუნქციის დომენი \(D(f)\) არის ნაკრები, რომელიც შედგება არგუმენტის \(x\) ყველა მნიშვნელობისაგან, რომლისთვისაც ფუნქციას აქვს აზრი. (განსაზღვრულია).
მაგალითი: ფუნქციას \(f(x)=\sqrt x+1\) აქვს განმარტების დომენი: \(x\in
ამოცანა 1 #6364
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
\(a\) პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება
აქვს უნიკალური გამოსავალი?
გაითვალისწინეთ, რომ რადგან \(x^2\) და \(\cos x\) ლუწი ფუნქციებია, თუ განტოლებას აქვს ფესვი \(x_0\) , მას ასევე ექნება ფესვი \(-x_0\) .
მართლაც, დაე, \(x_0\) იყოს ფესვი, ანუ თანასწორობა \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)უფლება. შემცვლელი \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
ამრიგად, თუ \(x_0\ne 0\) , მაშინ განტოლებას უკვე ექნება მინიმუმ ორი ფესვი. ამიტომ, \(x_0=0\) . შემდეგ:
მივიღეთ პარამეტრის ორი მნიშვნელობა \(a\). გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ გამოვიყენეთ ის ფაქტი, რომ \(x=0\) არის ზუსტად საწყისი განტოლების ფესვი. მაგრამ ჩვენ არასდროს გამოგვიყენებია ის ფაქტი, რომ ის ერთადერთია. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია პარამეტრის \(a\) მიღებული მნიშვნელობების ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში და შეამოწმეთ რომელი \(a\) ფესვი \(x=0\) იქნება მართლაც უნიკალური.
1) თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება მიიღებს \(2x^2=0\) ფორმას. ცხადია, ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი \(x=0\) . ამიტომ, მნიშვნელობა \(a=0\) გვერგება.
2) თუ \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , მაშინ განტოლება იღებს ფორმას \ განტოლებას ვწერთ ფორმაში \ როგორც \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), მაშინ \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). ამრიგად, განტოლების მარჯვენა მხარის მნიშვნელობები (*) ეკუთვნის ინტერვალს \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
ვინაიდან \(x^2\geqslant 0\) , მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე (*) მეტია ან ტოლია \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
ამრიგად, ტოლობა (*) შეიძლება დაფიქსირდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების ორივე მხარე უდრის \(\mathrm(tg)^2\,1\) . და ეს იმას ნიშნავს \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა \(a=-\mathrm(tg)\,1\) გვერგება.
პასუხი:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
ამოცანა 2 #3923
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის ფუნქციის გრაფიკი \
სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ.
თუ ფუნქციის გრაფიკი საწყისთან მიმართებაში სიმეტრიულია, მაშინ ასეთი ფუნქცია კენტია, ანუ \(f(-x)=-f(x)\) დაკმაყოფილებულია ნებისმიერი \(x\)-ისთვის ფუნქციის დომენი. ამრიგად, საჭიროა იმ პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებისთვისაც \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(გასწორებული) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(გასწორებული)\]
ბოლო განტოლება უნდა იყოს ყველა \(x\) დომენიდან \(f(x)\) , შესაბამისად \(\sin(2\pi a)=0 \მარჯვენა ისარი a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
პასუხი:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
ამოცანა 3 #3069
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლებას \ აქვს 4 ამონახსნი, სადაც \(f\) არის ლუწი პერიოდული ფუნქცია წერტილით \(T=\dfrac(16)3\) განსაზღვრულია მთელ რეალურ ხაზზე და \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(დავალება აბონენტებისგან)
ვინაიდან \(f(x)\) არის ლუწი ფუნქცია, მისი გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ, ამიტომ, როდესაც \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . ამრიგად, ზე \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)და ეს არის \(\dfrac(16)3\) სიგრძის სეგმენტი, ფუნქცია \(f(x)=ax^2\) .
1) მოდით \(a>0\) . შემდეგ \(f(x)\) ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება: 
მაშინ იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს 4 ამონახსნი, აუცილებელია, რომ გრაფიკმა \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) გაიაროს \(A\) წერტილში: 
აქედან გამომდინარე, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(გასწორებული) \end(შეიკრიბა)\მარჯვნივ. \quad\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\ოთხი \მარცხნივ[\ დასაწყისი(შეკრებილი)\ დასაწყისი(გასწორებული) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(გასწორებული) \end( შეიკრიბა)\მართალია.\]ვინაიდან \(a>0\) , მაშინ \(a=\dfrac(18)(23)\) კარგია.
2) მოდით \(ა<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
ჩვენ გვჭირდება გრაფიკი \(g(x)\) რათა გაიაროს წერტილი \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(გასწორებული) \end(შეკრებილი)\მარჯვნივ.\]მას შემდეგ, რაც \ (ა<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) შემთხვევა, როდესაც \(a=0\) არ არის შესაფერისი, რადგან მაშინ \(f(x)=0\) ყველასთვის \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) და განტოლებას ექნება მხოლოდ 1 ფესვი.
პასუხი:
\(a\in \მარცხნივ\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\მარჯვნივ\)\)
ამოცანა 4 #3072
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.
(დავალება აბონენტებისგან)
განტოლებას ვწერთ ფორმაში \
და განვიხილოთ ორი ფუნქცია: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) და \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
ფუნქცია \(g(x)\) არის ლუწი, აქვს მინიმალური წერტილი \(x=0\) (და \(g(0)=49\) ).
ფუნქცია \(f(x)\) \(x>0\)-ისთვის მცირდება, ხოლო \(x-ისთვის<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
მართლაც, \(x>0\)-ისთვის მეორე მოდული დადებითად ფართოვდება (\(|x|=x\)), შესაბამისად, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ გაფართოვდება პირველი მოდული, \(f(x)\) ტოლი იქნება \ (kx+A\) , სადაც \(A\) არის გამოხატულება \(a\)-დან და \(k\) უდრის \(-9\) ან \(-3\)-ს. \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
იპოვეთ მნიშვნელობა \(f\) მაქსიმალურ წერტილში: \ 
იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, აუცილებელია \(f\) და \(g\) ფუნქციების გრაფიკებს ჰქონდეს მინიმუმ ერთი გადაკვეთის წერტილი. ამიტომ, თქვენ გჭირდებათ: \ \\]
პასუხი:
\(a\in \(-7\)\თასი\)
ამოცანა 5 #3912
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს ექვსი განსხვავებული გამოსავალი.
გავაკეთოთ ჩანაცვლება \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას \
ჩვენ თანდათან დავწერთ იმ პირობებს, რომლებშიც თავდაპირველ განტოლებას ექნება ექვსი ამონახსნი.
გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას \((*)\) შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ორი ამონახსნი. ნებისმიერ კუბურ განტოლებას \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს სამი ამონახსნი. მაშასადამე, თუ განტოლებას \((*)\) აქვს ორი განსხვავებული ამონახსნი (დადებითი!, ვინაიდან \(t\) უნდა იყოს ნულზე მეტი) \(t_1\) და \(t_2\) , მაშინ გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება, ჩვენ ვიღებთ: \[\ მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ.\]ვინაიდან ნებისმიერი დადებითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც \(\sqrt2\) გარკვეულწილად, მაგალითად, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), მაშინ სიმრავლის პირველი განტოლება გადაიწერება ფორმაში \
როგორც უკვე ვთქვით, ნებისმიერ კუბურ განტოლებას არ აქვს სამი ამონახსნის მეტი, შესაბამისად, სიმრავლიდან თითოეულ განტოლებას ექნება არაუმეტეს სამი ამონახსნები. ეს ნიშნავს, რომ მთელ კომპლექტს ექნება არაუმეტეს ექვსი გამოსავალი.
ეს ნიშნავს, რომ იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ექვსი ამონახსნილი ჰქონდეს, კვადრატულ განტოლებას \((*)\) უნდა ჰქონდეს ორი განსხვავებული ამონახსნი და თითოეულ კუბურ განტოლებას (ნაკრებიდან) უნდა ჰქონდეს სამი განსხვავებული ამონახსნები (და არა ერთი. ერთი განტოლების ამოხსნა უნდა ემთხვეოდეს რომელს - ან მეორეს გადაწყვეტილებით!)
ცხადია, თუ კვადრატულ განტოლებას \((*)\) აქვს ერთი ამონახსნი, მაშინ არ მივიღებთ ექვს ამონახსანს საწყისი განტოლებისთვის.
ამრიგად, გადაწყვეტის გეგმა ნათელი ხდება. მოდით ჩამოვწეროთ ის პირობები, რომლებიც უნდა აკმაყოფილებდეს პუნქტად.
1) იმისათვის, რომ განტოლებას \((*)\) ჰქონდეს ორი განსხვავებული ამონახსნი, მისი დისკრიმინანტი დადებითი უნდა იყოს: \
2) ჩვენ ასევე გვჭირდება ორივე ფესვი დადებითი (რადგან \(t>0\) ). თუ ორი ფესვის ნამრავლი დადებითია და მათი ჯამი დადებითია, მაშინ თავად ფესვები დადებითი იქნება. ამიტომ, თქვენ გჭირდებათ: \[\ begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end (cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
ამრიგად, ჩვენ უკვე მივაწოდეთ საკუთარ თავს ორი განსხვავებული დადებითი ფესვი \(t_1\) და \(t_2\) .
3)
მოდით შევხედოთ ამ განტოლებას \
რისთვის \(t\) ექნება მას სამი განსხვავებული გამოსავალი? ამრიგად, ჩვენ დავადგინეთ, რომ განტოლების ორივე ფესვი \((*)\) უნდა მდებარეობდეს \((1;4)\) ინტერვალში. როგორ დავწეროთ ეს პირობა? ჰქონდა ოთხი განსხვავებული არა-ნულოვანი ფესვი, რაც \(x=0\)-თან ერთად წარმოადგენს არითმეტიკულ პროგრესიას. გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ლუწია, ასე რომ, თუ \(x_0\) არის განტოლების ფესვი \((* )\ ) , მაშინ \(-x_0\) ასევე იქნება მისი ფესვი. მაშინ აუცილებელია, რომ ამ განტოლების ფესვები იყოს რიცხვები, რომლებიც დალაგებულია ზრდის მიხედვით: \(-2d, -d, d, 2d\) (შემდეგ \(d>0\) ). სწორედ მაშინ ეს ხუთი რიცხვი შექმნის არითმეტიკულ პროგრესიას (სხვაობით \(d\) ). იმისათვის, რომ ეს ფესვები იყოს რიცხვები \(-2d, -d, d, 2d\) , აუცილებელია, რომ რიცხვები \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) იყოს ძირები. განტოლება \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . შემდეგ ვიეტას თეორემით: განტოლებას ვწერთ ფორმაში \
და განვიხილოთ ორი ფუნქცია: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) და \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, აუცილებელია \(f\) და \(g\) ფუნქციების გრაფიკებს ჰქონდეს მინიმუმ ერთი გადაკვეთის წერტილი. ამიტომ, თქვენ გჭირდებათ: \
სისტემების ამ ნაკრების გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ პასუხს: \\]
პასუხი: \(a\in \(-2\)\თასი\) ფუნქციის თანაბარობა და უცნაურობა მისი ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა, თანასწორობა კი მათემატიკის სასკოლო კურსის შთამბეჭდავ ნაწილს იკავებს. ის დიდწილად განსაზღვრავს ფუნქციის ქცევის ბუნებას და დიდად უწყობს ხელს შესაბამისი გრაფიკის აგებას. მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის პარიტეტი. ზოგადად რომ ვთქვათ, შესასწავლი ფუნქცია განიხილება მაშინაც კი, თუ დამოუკიდებელი ცვლადის (x) საპირისპირო მნიშვნელობებისთვის, რომელიც მდებარეობს მის განსაზღვრის დომენში, y-ის (ფუნქციის) შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია. მოდით მივცეთ უფრო მკაცრი განმარტება. განვიხილოთ ზოგიერთი ფუნქცია f (x), რომელიც განსაზღვრულია D დომენში. ეს იქნება თუნდაც ნებისმიერი x წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს განსაზღვრების დომენში: ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს ასეთი ფუნქციის განსაზღვრის დომენისთვის აუცილებელი პირობა, კერძოდ, სიმეტრია O წერტილის მიმართ, რომელიც არის კოორდინატების საწყისი, რადგან თუ b წერტილი შეიცავს an-ის განსაზღვრის დომენს. ლუწი ფუნქცია, მაშინ შესაბამისი წერტილი - b ასევე დევს ამ დომენში. აქედან გამომდინარე, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს დასკვნა: ლუწი ფუნქციას აქვს ფორმა, რომელიც სიმეტრიულია ორდინატთა ღერძის მიმართ (Oy). როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის პარიტეტი პრაქტიკაში? მიეცით h(x)=11^x+11^(-x) ფორმულის გამოყენებით. იმ ალგორითმის მიხედვით, რომელიც უშუალოდ განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, ჩვენ პირველ რიგში ვსწავლობთ მის განმარტების სფეროს. ცხადია, ის განსაზღვრულია არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, ანუ პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია. შემდეგი ნაბიჯი არის არგუმენტის (x) ჩანაცვლება მისი საპირისპირო მნიშვნელობით (-x). შევამოწმოთ h(x)=11^x-11^(-x) ფუნქციის თანასწორობა. იგივე ალგორითმის მიხედვით ვიღებთ h(-x) = 11^(-x) -11^x. მინუსის ამოღება, შედეგად, გვაქვს სხვათა შორის, უნდა გავიხსენოთ, რომ არის ფუნქციები, რომელთა კლასიფიცირება შეუძლებელია ამ კრიტერიუმების მიხედვით, მათ არც ლუწი და არც კენტი ეწოდება. ფუნქციებსაც კი აქვთ მრავალი საინტერესო თვისება: ფუნქციის პარიტეტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას განტოლებების ამოხსნისას. ისეთი განტოლების ამოსახსნელად, როგორიც არის g(x) = 0, სადაც განტოლების მარცხენა მხარე არის ლუწი ფუნქცია, საკმარისი იქნება მისი ამონახსნების პოვნა ცვლადის არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. განტოლების მიღებული ფესვები უნდა იყოს შერწყმული საპირისპირო რიცხვებთან. ერთ-ერთი მათგანი გადამოწმებას ექვემდებარება. იგივე წარმატებით გამოიყენება პარამეტრით არასტანდარტული პრობლემების გადასაჭრელად. მაგალითად, არის თუ არა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომელიც განტოლებას 2x^6-x^4-ax^2=1 ექნება სამი ფესვი? თუ გავითვალისწინებთ, რომ ცვლადი განტოლებაში შედის ლუწი ხარისხებით, მაშინ ცხადია, რომ x-ით ჩანაცვლება არ შეცვლის მოცემულ განტოლებას. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ გარკვეული რიცხვი არის მისი ფესვი, მაშინ ასევე არის საპირისპირო რიცხვი. დასკვნა აშკარაა: განტოლების ფესვები, გარდა ნულისა, შედის მისი ამონახსნების სიმრავლეში "წყვილებში". ცხადია, რომ რიცხვი 0 არ არის, ანუ ასეთი განტოლების ფესვების რაოდენობა შეიძლება იყოს მხოლოდ ლუწი და, ბუნებრივია, პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მას არ შეიძლება ჰქონდეს სამი ფესვი. მაგრამ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 განტოლების ფესვების რაოდენობა შეიძლება იყოს კენტი და პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მართლაც, ადვილია იმის შემოწმება, რომ მოცემული განტოლების ფესვთა სიმრავლე შეიცავს ამონახსნებს „წყვილებში“. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა 0 ფესვი. განტოლებაში მისი ჩანაცვლებისას მივიღებთ 2=2. ამრიგად, გარდა "დაწყვილებული" 0-ისა, არის ფესვიც, რომელიც ადასტურებს მათ კენტ რიცხვს. ფუნქცია ნულები ნულები არის ფუნქციის გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ოჰ.
ფუნქციის პარიტეტი უცნაური ფუნქცია ფუნქციის გაზრდა კლების ფუნქცია იპოვეთ მონოტონურობის ინტერვალები სერვისის გამოყენებით გაზრდის და კლების ფუნქციების ინტერვალები ადგილობრივი მაქსიმუმი ადგილობრივი მინიმალური ფუნქციის პერიოდულობა მუდმივი ინტერვალები ფუნქციის უწყვეტობა შესვენების წერტილები მაგალითი:გამოიკვლიეთ ფუნქცია და შექმენით მისი გრაფიკი: y = x 3 - 3x
განვიხილოთ ფუნქცია \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
შეიძლება გამრავლდეს: \
ამიტომ მისი ნულებია: \(x=-1;2\) .
თუ ვიპოვით წარმოებულს \(f"(x)=3x^2-6x\) , მაშინ მივიღებთ ორ უკიდურეს წერტილს \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
ამიტომ, გრაფიკი ასე გამოიყურება: 
ჩვენ ვხედავთ, რომ ნებისმიერი ჰორიზონტალური ხაზი \(y=k\) , სადაც \(0
ამრიგად, თქვენ გჭირდებათ: \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
ასევე დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ თუ რიცხვები \(t_1\) და \(t_2\) განსხვავებულია, მაშინ რიცხვები \(\log_(\sqrt2)t_1\) და \(\log_(\sqrt2)t_2\) იქნება. იყოს განსხვავებული, ამიტომ განტოლებები \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)და \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)განსხვავებული ფესვები ექნება.
\((**)\) სისტემა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) 1
ჩვენ პირდაპირ არ დავწერთ ფესვებს.
განვიხილოთ ფუნქცია \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . მისი გრაფიკი არის პარაბოლა ზევით ტოტებით, რომელსაც აქვს გადაკვეთის ორი წერტილი აბსცისის ღერძთან (ეს პირობა დავწერეთ პუნქტში 1)). როგორი უნდა იყოს მისი გრაფიკი ისე, რომ აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იყოს \((1;4)\) ინტერვალში? Ისე: 
ჯერ ერთი, ფუნქციის \(g(1)\) და \(g(4)\) მნიშვნელობები \(1\) და \(4\) წერტილებში უნდა იყოს დადებითი და მეორე, წვერო. პარაბოლა \(t_0\ ) ასევე უნდა იყოს \((1;4)\) ინტერვალში. ამრიგად, სისტემა შეიძლება დაიწეროს: \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
ფუნქციას \(g(x)\) აქვს მაქსიმალური წერტილი \(x=0\) (და \(g_(\text(ზედა))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). ნულოვანი წარმოებული: \(x=0\) . \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\)-სთვის: \(g"<0\)
.
ფუნქცია \(f(x)\) \(x>0\)-ისთვის იზრდება და \(x-ისთვის<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
მართლაც, \(x>0\)-ისთვის პირველი მოდული ფართოვდება დადებითად (\(|x|=x\) ), შესაბამისად, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ გაფართოვდება მეორე მოდული, \(f(x)\) ტოლი იქნება \ (kx+A\) , სადაც \(A\) არის გამოხატულება \(a\)-დან და \(k\) არის ან \(13-10=3\) ან \(13+10=23\) . \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
ვიპოვოთ მნიშვნელობა \(f\) მინიმალურ წერტილში: \
ჩვენ ვიღებთ:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
ვინაიდან შეკრება აკმაყოფილებს კომუტატიურ (გადაადგილების) კანონს, აშკარაა, რომ h(-x) = h(x) და მოცემული ფუნქციური დამოკიდებულება ლუწია.
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). აქედან გამომდინარე, h(x) არის კენტი.
ფუნქციის ნული არის მნიშვნელობა X, რომლის დროსაც ფუნქცია ხდება 0, ანუ f(x)=0.
ფუნქცია გამოიძახება თუნდაც რომელიმესთვის Xგანმარტების დომენიდან, ტოლობა f(-x) = f(x) 
ლუწი ფუნქცია სიმეტრიულია ღერძის მიმართ OU
ფუნქციას ეწოდება კენტი, თუ რომელიმე Xგანმარტების დომენიდან დაკმაყოფილებულია ტოლობა f(-x) = -f(x). 
კენტი ფუნქცია სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.
ფუნქციას, რომელიც არც ლუწია და არც კენტი, ზოგადი ფუნქცია ეწოდება. 
ფუნქცია f(x) ეწოდება მზარდი, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას, ე.ი. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1) 
f(x) ფუნქციას კლებადი ეწოდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას, ე.ი. x 2 >x 1 → f(x 2) 
ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქცია ან მხოლოდ მცირდება ან მხოლოდ იზრდება, ეწოდება ერთფეროვნების ინტერვალები. f(x) ფუნქციას აქვს მონოტონურობის 3 ინტერვალი:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞) 
Წერტილი x 0ეწოდება ლოკალური მაქსიმალური წერტილი ასეთის შემთხვევაში Xწერტილის სამეზობლოდან x 0მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) > f(x) 
Წერტილი x 0ეწოდება ლოკალურ მინიმალურ წერტილს, თუ არსებობს Xწერტილის სამეზობლოდან x 0მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0)< f(x).
ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილებს და ლოკალურ მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილები. 
x 1, x 2 - ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილები.
ფუნქციას f(x) ეწოდება პერიოდული, წერტილით თ, თუ რომელიმესთვის X f(x+T) = f(x) . 
ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქცია მხოლოდ დადებითია ან მხოლოდ უარყოფითია, მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს უწოდებენ. 
f(x)>0 x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტს x 0 წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი x → x 0 უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ამ წერტილში, ე.ი. 
.
წერტილებს, რომლებშიც ირღვევა უწყვეტობის პირობა, ეწოდება ფუნქციის უწყვეტობის წერტილები. 
x0- რღვევის წერტილი.ფუნქციების შედგენის ზოგადი სქემა
1. იპოვეთ D(y) ფუნქციის დომენი.
2. იპოვეთ ფუნქციების გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით.
3. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ლუწი ან კენტი.
4. გამოიკვლიეთ ფუნქცია პერიოდულობისთვის.
5. იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების და უკიდურესი წერტილების ინტერვალები.
6. იპოვეთ ფუნქციის ამოზნექილობისა და დახრის წერტილების ინტერვალები.
7. იპოვეთ ფუნქციის ასიმპტოტები.
8. კვლევის შედეგების მიხედვით ააგეთ გრაფიკი.
8) კვლევის შედეგების საფუძველზე ავაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს: 
