განვიხილოთ $n$ დამოუკიდებელი ცდების თანმიმდევრობა, რომელთაგან თითოეულში $A$ შეიძლება მოხდეს $p$ ალბათობით, ან არ მოხდეს - ალბათობით $q=1-p$. აღნიშნეთ მიერ პ ნ (კ) ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა $A$ მოხდეს ზუსტად $k$-ჯერ $n$ შესაძლოდან.

ამ შემთხვევაში, ღირებულება პ ნ(k ) გვხვდება ბერნულის თეორემის გამოყენებით (იხილეთ გაკვეთილი „ბერნულის სქემა. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები“):

ეს თეორემა მშვენივრად მუშაობს, მაგრამ აქვს ნაკლი. თუ $n$ საკმარისად დიდია, იპოვეთ მნიშვნელობა პ ნ (კ) ხდება არარეალური გამოთვლების უზარმაზარი მოცულობის გამო. ამ შემთხვევაში მუშაობს ლოკალური დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა:

ლოკალური დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა. თუ ბერნულის სქემაში რიცხვი $n$ დიდია და რიცხვი $p$ განსხვავდება 0-დან და 1-დან, მაშინ:

ფუნქცია φ ( x) ეწოდება გაუსის ფუნქციას. მისი მნიშვნელობები დიდი ხანია გამოითვლება და შედის ცხრილში, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტესტებსა და გამოცდებშიც კი.

გაუსის ფუნქციას აქვს ორი თვისება, რომელიც უნდა გვახსოვდეს მნიშვნელობების ცხრილთან მუშაობისას:

1. φ (− x) = φ ( x) - გაუსის ფუნქცია - ლუწი;
2. დიდი ღირებულებებისთვის xჩვენ გვაქვს: φ ( x) ≈ 0.

ადგილობრივი დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა იძლევა ბერნულის ფორმულის შესანიშნავ მიახლოებას, თუ ტესტების რაოდენობა ნსაკმარისად დიდი. რა თქმა უნდა, ფორმულირება „ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია“ ძალზე თვითნებურია და სხვადასხვა წყარო სხვადასხვა ციფრს იძლევა. Მაგალითად:

1. საერთო მოთხოვნაა: ნგვ ქ> 10. ალბათ ეს არის მინიმალური ზღვარი;
2. სხვები ვარაუდობენ, რომ ეს ფორმულა მუშაობს მხოლოდ $n > 100$-ზე და ნგვ ქ > 20.

ჩემი აზრით, საკმარისია მხოლოდ პრობლემის მდგომარეობის მიხედვა. თუ ხედავთ, რომ ბერნულის სტანდარტული თეორემა არ მუშაობს დიდი გამოთვლების გამო (მაგალითად, არავინ დათვლის რიცხვს 58! ან 45!), მოგერიდებათ გამოიყენოთ ლოკალური მოივრე-ლაპლასის თეორემა.

გარდა ამისა, რაც უფრო ახლოს არის $q$ და $p$ ალბათობების მნიშვნელობები 0.5-თან, მით უფრო ზუსტია ფორმულა. და, პირიქით, სასაზღვრო მნიშვნელობებისთვის (როდესაც $p$ ახლოს არის 0-თან ან 1-თან), ლოკალური მოივრე-ლაპლასის თეორემა იძლევა დიდ შეცდომას, რომელიც მნიშვნელოვნად განსხვავდება რეალური ბერნულის თეორემისგან.

თუმცა, ფრთხილად იყავი! უმაღლეს მათემატიკის ბევრი დამრიგებელი თავად უშვებს შეცდომებს ასეთ გამოთვლებში. ფაქტია, რომ საკმაოდ რთული რიცხვი, რომელიც შეიცავს არითმეტიკულ კვადრატულ ფესვს და წილადს, ჩანაცვლებულია გაუსის ფუნქციაში. ეს რიცხვი უნდა მოიძებნოს ფუნქციაში ჩანაცვლებამდეც კი. მოდით განვიხილოთ ყველაფერი კონკრეტულ ამოცანებზე:

Დავალება. ბიჭის გაჩენის ალბათობა 0,512-ია. იპოვეთ ალბათობა, რომ 100 ახალშობილს შორის იქნება ზუსტად 51 ბიჭი.

ასე რომ, მთლიანი ტესტები ბერნულის სქემის მიხედვით ნ= 100. გარდა ამისა, p = 0.512, ქ= 1 − p = 0,488.

Იმიტომ რომ ნ= 100 საკმარისად დიდი რიცხვია, ჩვენ ვიმუშავებთ Local de Moivre-Laplace-ის თეორემის მიხედვით. შეამჩნია, რომ ნგვ ქ= 100 0.512 0.488 ≈ 25 > 20. გვაქვს:

მას შემდეგ, რაც ჩვენ დავამრგვალეთ მნიშვნელობა ნგვ ქმთელ რიცხვზე პასუხი ასევე შეიძლება დამრგვალდეს: 0,07972 ≈ 0,08. უბრალოდ აზრი არ აქვს დანარჩენი რიცხვების გათვალისწინებას.

Დავალება. სატელეფონო სადგური 200 აბონენტს ემსახურება. თითოეულ აბონენტზე ალბათობა იმისა, რომ ის ერთ საათში დარეკავს სადგურზე არის 0,02. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ზუსტად 5 აბონენტი დარეკავს ერთ საათში.

ბერნულის სქემის მიხედვით, ნ= 200, p = 0.02, ქ= 1 - p = 0,98. შეამჩნია, რომ ნ= 200 არ არის სუსტი რიცხვი, ამიტომ ვიყენებთ ლოკალურ დე მოივრე-ლაპლასის თეორემას. ჯერ მოვძებნოთ ნგვ ქ\u003d 200 0.02 0.98 ≈ 4. რა თქმა უნდა, 4 ძალიან მცირეა, ამიტომ შედეგები არაზუსტი იქნება. თუმცა, ჩვენ გვაქვს:

დავამრგვალოთ პასუხი მეორე ათწილადამდე: 0,17605 ≈ 0,18. ჯერ კიდევ აზრი არ აქვს მეტი პერსონაჟის გათვალისწინებას, რადგან დავამრგვალეთ ნგვ ქ= 3,92 ≈ 4 (ზუსტ კვადრატამდე).

Დავალება. მაღაზიამ მიიღო 1000 ბოთლი არაყი. ტრანზიტის დროს ბოთლის გატეხვის ალბათობა არის 0,003. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მაღაზიამ ზუსტად ორი გატეხილი ბოთლი მიიღოს.

ბერნულის სქემის მიხედვით გვაქვს: ნ= 1000, p = 0.003, ქ= 0.997. აქედან ნგვ ქ= 2,991 ≈ 1,73 2 (აირჩიეთ უახლოესი ზუსტი კვადრატი). ნომრიდან გამომდინარე ნ= 1000 საკმარისად დიდია, ჩვენ ყველა რიცხვს ვცვლით ლოკალური მოივრე-ლაპლასის თეორემის ფორმულაში:

ჩვენ განზრახ ვტოვებთ მხოლოდ ერთ ათობითი ადგილს (ფაქტობრივად, ის აღმოჩნდება 0,1949 ...), რადგან თავდაპირველად ვიყენებდით საკმაოდ უხეში შეფასებებს. კერძოდ: 2.991 ≈ 1.73 2 . გაუსის ფუნქციის შიგნით მრიცხველში სამეული წარმოიშვა გამოხატვისგან ნ p = 1000 0.003 = 3.

თუ მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ტესტში მუდმივია და აკმაყოფილებს ორმაგ უტოლობას
და დამოუკიდებელი ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდი, შემდეგ ალბათობა
შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი სავარაუდო ფორმულის გამოყენებით

(14) ,

სადაც ინტეგრალის საზღვრები განისაზღვრება ტოლობებით

ფორმულა (14) რაც უფრო ზუსტია, მით მეტია ტესტების რაოდენობა ამ ექსპერიმენტში.

ტოლობის (13) საფუძველზე, ფორმულა (14) შეიძლება გადაიწეროს როგორც

(15)
.

(16)
(N.F.L)

ჩვენ აღვნიშნავთ ფუნქციის უმარტივეს თვისებებს
:

ბოლო თვისება დაკავშირებულია გაუსის ფუნქციის თვისებებთან
.

ფუნქცია
კენტი. მართლაც, ცვლადების ცვლილების შემდეგ

=


;

მეორე თვისების შესამოწმებლად საკმარისია ნახატის გაკეთება. ანალიტიკურად ის დაკავშირებულია ე.წ არასწორ პუასონის ინტეგრალთან.

აქედან პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ ყველა რიცხვისთვის
შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ
ამრიგად, ამ ფუნქციის ყველა მნიშვნელობა მდებარეობს სეგმენტში [-0.5; 0.5], ხოლო ყველაზე პატარა არის
შემდეგ ფუნქცია ნელ-ნელა იზრდება და ქრება, ე.ი.
და შემდეგ იზრდება
ამიტომ, მთელ რეალურ ხაზზე არის მკაცრად მზარდი ფუნქცია, ე.ი. თუ
მაშინ

აღსანიშნავია, რომ დასკვნა ქონების 2 ფუნქციისთვის
გამართლებულია პუასონის არასწორი ინტეგრალის საფუძველზე.

კომენტარი.ამოცანების გადაჭრისას, რომლებიც საჭიროებენ მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის გამოყენებას, გამოიყენება სპეციალური ცხრილები. ცხრილი იძლევა მნიშვნელობებს დადებითი არგუმენტებისთვის და ამისთვის
; ღირებულებებისთვის
თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ცხრილი, თანასწორობის გათვალისწინებით

გარდა ამისა, ფუნქციების ცხრილის გამოსაყენებლად
, ჩვენ გარდაქმნით თანასწორობას (15), შემდეგნაირად:

და ეფუძნება თვისებას 2 (კენტი
), ინტეგრანტის პარიტეტის გათვალისწინებით, ვიღებთ

=
.

ამრიგად, მოვლენის ალბათობა გამოჩნდება დამოუკიდებელი ტესტები მაინც ერთხელ და მეტი არა ჯერ, გამოითვლება ფორმულით:

(17)

;

მაგალითი 12. ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობაა 0,75. იპოვეთ ალბათობა, რომ 300 გასროლით მიზანს მოხვდება მინიმუმ 150 და მაქსიმუმ 250-ჯერ.

გამოსავალი: Აქ
,
,
,
,
. გამოთვალეთ

,
,

,
.

ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ

პრაქტიკაში, თანასწორობასთან ერთად (16), ხშირად გამოიყენება სხვა ფორმულა, სახელწოდებით " ალბათობის ინტეგრალი» ან ლაპლასის ფუნქცია (დაწვრილებით იხილეთ მე-2 თავში, სექცია 9., T.9.).

(ი.ვ. ან ფ.ლ.)

ამ ფუნქციისთვის, ტოლობები მართალია:

მაშასადამე, იგი დაკავშირებულია ცხრილის ფუნქციასთან
და, შესაბამისად, არსებობს ასევე სავარაუდო მნიშვნელობების ცხრილი (იხილეთ დანართი წიგნის ბოლოს).

მაგალითი 13ალბათობა იმისა, რომ ნაწილმა არ გაიარა ხარისხის კონტროლის დეპარტამენტის შემოწმება არის 0,2. იპოვეთ ალბათობა, რომ დაუმოწმებელი ნაწილების 400 შემთხვევით შერჩეულ ნაწილს შორის იქნება 70-დან 100-მდე ნაწილი.

გამოსავალი.დავალების მიხედვით
,
,
.
,
. გამოვიყენოთ მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა:

,

მოდით გამოვთვალოთ ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვარი:

ამიტომ, ფუნქციის ცხრილის მნიშვნელობების გათვალისწინებით
;

ვიღებთ სასურველ ალბათობას

.

ახლა ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა, როგორც განხილული ზღვრული თეორემების გამოყენება, დავამტკიცოთ კარგად ცნობილი თეორემა « დიდი რიცხვების კანონი ბერნულის ფორმით »

დიდი რიცხვების კანონი (LLN ბერნულის ფორმით)

დიდი რიცხვების პირველი ისტორიულად უმარტივესი კანონი არის თეორემა

ი.ბერნოული. ბერნულის თეორემა გამოხატავს დიდი რიცხვების კანონის მანიფესტაციის უმარტივეს ფორმას. იგი ასაბუთებს მოვლენის ალბათობის სავარაუდო გამოთვლის თეორიულ შესაძლებლობას მისი ფარდობითი სიხშირის გამოყენებით, ე.ი. ასაბუთებს ფარდობითი სიხშირის სტაბილურობის თვისებას.

დაე, ჩატარდეს დამოუკიდებელი ცდები, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის
და ფარდობითი სიხშირე თითოეულ ტესტის სერიაში არის

განიხილეთ პრობლემა:ტესტირების პირობებში ბერნულის სქემის მიხედვით და საკმარისად დიდი რაოდენობით დამოუკიდებელი ტესტებითიპოვეთ ფარდობითი სიხშირის გადახრის ალბათობა
მუდმივი ალბათობიდან მოვლენის დადგომა აბსოლუტური მნიშვნელობით არ აღემატება მოცემულ რიცხვს
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვნეთ ალბათობა:

საკმარისად დიდი რაოდენობით დამოუკიდებელი ტესტებით.

თეორემა (ZBCh J. Bernoulli 1713)ზემოაღნიშნულ პირობებში, ნებისმიერი რაც არ უნდა ცოტა
, გვაქვს ზღვრული თანასწორობა

(19)
.

მტკიცებულება.დავამტკიცოთ ეს მნიშვნელოვანი დებულება მოივრის - ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის საფუძველზე. განმარტებით, ფარდობითი სიხშირე არის

მაგრამ
მოვლენის დადგომის ალბათობა ერთ ტესტში. მოდით, ჯერ დავადგინოთ შემდეგი თანასწორობა ნებისმიერისთვის
და საკმარისად დიდი :

(20)

.

მართლაც, პირობის შესაბამისად
ადვილი მისახვედრია, რომ არსებობს ორმაგი უთანასწორობა. აღნიშნეთ

(21)
.

მაშინ გვექნება უთანასწორობები

ამიტომ, სასურველი ალბათობისთვის. ახლა, შემთხვევებისთვის
ჩვენ ვიყენებთ თანასწორობას

;

და უცნაურობის გათვალისწინებით
ვიღებთ

== 2
.

მიიღება ტოლობა (20).

პირდაპირ ფორმულიდან (20) გამომდინარეობს, რომ ზე
(იმის გათვალისწინებით
სადაც), ვიღებთ ზღვრულ ტოლობას (20).

მაგალითი 14
. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეულ 400 ნაწილს შორის, არასტანდარტული ნაწილების წარმოქმნის ფარდობითი სიხშირე გადახრის
აბსოლუტური მნიშვნელობით არაუმეტეს 0.03.

გამოსავალი.პრობლემის პირობების მიხედვით საჭიროა მოძებნა

ფორმულით (3) გვაქვს

=2
.

ფუნქციის ტაბულური მნიშვნელობის გათვალისწინებით
ვიღებთ

.

მიღებული შედეგის მნიშვნელობა ასეთია: თუ ავიღებთ ნიმუშების საკმარისად დიდ რაოდენობას

დეტალები, შემდეგ თითოეულ ნიმუშში არის დაახლოებით გადახრა ფარდობითი „სიხშირის“ მიხედვით

95,44% და ღირებულება
ეს ნიმუშები ალბათობიდან
, მოდული არაუმეტეს 0.03.

განვიხილოთ სხვა მაგალითი, სადაც გსურთ იპოვოთ რიცხვი
.

მაგალითი 15ალბათობა იმისა, რომ ნაწილი არასტანდარტულია
. რამდენი ნაწილი უნდა შეირჩეს ისე, რომ 0,9999 ალბათობით შეიძლება ითქვას, რომ არასტანდარტული ნაწილების ფარდობითი სიხშირე (შერჩეულთა შორის) გადახრის მოდული არაუმეტეს 0.03. იპოვეთ ეს რაოდენობა

გამოსავალი.აი, პირობის მიხედვით
.

საჭიროა განსაზღვრა
. ფორმულით (13) გვაქვს

.

Იმიტომ რომ,

ცხრილის მიხედვით ვხვდებით, რომ ეს მნიშვნელობა შეესაბამება არგუმენტს
. აქედან,
. ამ შედეგის მნიშვნელობა არის ის, რომ ფარდობითი სიხშირე დადებული იქნება

ნომრებს შორის. ამდენად, არასტანდარტული ნაწილების რაოდენობა ნიმუშების 99,99%-ში იქნება 101,72 (7% 1444 რიცხვის) და 187,72 (13% 1444 რიცხვის) შორის.

თუ ავიღებთ 1444 ნაწილის მხოლოდ ერთ ნიმუშს, მაშინ დიდი დარწმუნებით შეიძლება ველოდოთ, რომ არასტანდარტული ნაწილების რაოდენობა იქნება არანაკლებ 101 და არაუმეტეს 188, ხოლო ამავე დროს ნაკლებად სავარაუდოა, რომ იყოს ნაკლები. 101-ზე ან 188-ზე მეტი.

უნდა აღინიშნოს, რომ ბერნულის თეორემა ასევე ამბობს: ცდების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, შემთხვევითი მოვლენის სიხშირით ალბათობით გადადის იმავე მოვლენის ნამდვილ ალბათობასთან, ე.ი. ქვემოდან მიღებული შეფასება მოქმედებს

(22)
;
,

იმ პირობით, რომ მოვლენის ალბათობა ტესტიდან ტესტამდე რჩება უცვლელი და თანაბარი
სადაც
.

უტოლობა (22) არის ჩებიშევის ცნობილი უტოლობის პირდაპირი შედეგი (იხილეთ ქვემოთ თემა „ალბათობის თეორიის ზღვრული თეორემები“ „ჩებიშევის თეორემა“). ჩვენ მოგვიანებით დავუბრუნდებით ამ ZBC-ს. ეს მოსახერხებელია ქვემოდან ალბათობების შეფასების მისაღებად და მოვლენის მოვლენის საჭირო რაოდენობის ორმხრივი შეფასებისთვის, ისე, რომ ალბათობა ფარდობით სიხშირესა და ნამდვილ ალბათობას შორის სხვაობის მოდულიდან აკმაყოფილებდეს მოცემულ შეზღუდვას. განსახილველი ღონისძიება.

მაგალითი 16მონეტა აგდებულია 1000-ჯერ. შეაფასეთ ქვემოდან "გერბის" გაჩენის სიხშირის გადახრის ალბათობა მისი გაჩენის ალბათობიდან 0,1-ზე ნაკლებით.

გამოსავალი. აქაური პირობით

უტოლობის (4) საფუძველზე ვიღებთ

აქედან გამომდინარე, უთანასწორობა
ორმაგი უტოლობის ტოლფასია

აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ "გერბის" დარტყმების რაოდენობის ალბათობა ინტერვალში (400; 600) მეტია, ვიდრე

მაგალითი 17.ურნა შეიცავს 1000 თეთრ და 2000 შავ ბურთულას. ამოღებული (დაბრუნებით) 300 ბურთი. შეაფასეთ ქვემოდან გათამაშებული ბურთების რაოდენობის ალბათობა მ(და ისინი უნდა იყვნენ თეთრი) აკმაყოფილებს ორმაგ უტოლობას 80< მ <120.

გამოსავალი.ორმაგი უტოლობა სიდიდისთვის მგადაწერეთ ფორმაში:

ამრიგად, საჭიროა შეფასდეს უთანასწორობის შესრულების ალბათობა

შესაბამისად,

.

ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა

თეორემა. თუ A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ ცდაში მუდმივია და განსხვავდება ნულიდან და ერთიდან, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენის დადგომის რიცხვი m n დამოუკიდებელ ცდაში იყოს a-სა და b-ს შორის (მათ შორის), a. საკმარისად დიდი რაოდენობის ცდები n, დაახლოებით უდრის

ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულა, ისევე როგორც ადგილობრივი მოივრე-ლაპლასის ფორმულა, რაც უფრო ზუსტია, მით მეტი ნდა რაც უფრო ახლოს არის 0.5 მნიშვნელობები გვდა ქ. ამ ფორმულით გაანგარიშება იძლევა უმნიშვნელო შეცდომას, როდესაც პირობა დაკმაყოფილებულია npq≥ 20, თუმცა მდგომარეობა npq > 10.

ფუნქცია F( x) არის ცხრილი (იხ. დანართი 2). ამ ცხრილის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ Ф(ფუნქციის) თვისებები x):

1. ფუნქცია Ф( x) უცნაურია, ე.ი. F(- x) = – F( x).

2. ფუნქცია Ф( x) მონოტონურად იზრდება და როგორც x → +∞ Ф( x) → 0.5 (პრაქტიკაში შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ უკვე ზე x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).

მაგალითი 3.4.მაგალითი 3.3-ის პირობების გამოყენებით გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ 300-დან 360-მდე (მათ შორის) სტუდენტი წარმატებით ჩააბარებს გამოცდას პირველივე ცდაზე.

გამოსავალი. ჩვენ ვიყენებთ ლაპლასის ინტეგრალურ თეორემას ( npq≥ 20). ჩვენ ვიანგარიშებთ:

= –2,5; = 5,0;

პ 400 (300 ≤ მ≤ 360) = F(5.0) – F(–2.5).

Ф(ფუნქციის) თვისებების გათვალისწინებით x) და მისი მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენებით ვხვდებით: Ф(5.0) = 0.5; F(–2.5) = – F(2.5) = – 0.4938.

ვიღებთ პ 400 (300 ≤ მ ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

ჩამოვწეროთ ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის შედეგები.

შედეგი 1. თუ A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ ცდაში მუდმივია და განსხვავდება ნულიდან და ერთიდან, მაშინ საკმარისად დიდი რაოდენობის n დამოუკიდებელი გამოცდის შემთხვევაში, ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენის რიცხვი m განსხვავდება ნამრავლისგან np. არაუმეტეს ε > 0

.

(3.8)

მაგალითი 3.5.მაგალითი 3.3-ის პირობების გამოყენებით იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ 280-დან 360-მდე სტუდენტი წარმატებით ჩააბარებს გამოცდას ალბათობის თეორიაში პირველივე ცდაზე.

გამოსავალი. გამოთვალეთ ალბათობა რ 400 (280 ≤ მ≤ 360) შეიძლება იყოს წინა მაგალითის მსგავსი მთავარი ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ ამის გაკეთება უფრო ადვილია, თუ შეამჩნევთ, რომ 280 და 360 ინტერვალის საზღვრები სიმეტრიულია მნიშვნელობის მიმართ. np=320. შემდეგ, დასკვნის 1-ზე დაყრდნობით, ვიღებთ

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) ≈ 2 0.5 ≈ 1,

იმათ. თითქმის დარწმუნებულია, რომ გამოცდას პირველივე ცდით 280-დან 360-მდე სტუდენტი ჩააბარებს. ◄

შედეგი 2. თუ A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ საცდელში მუდმივია და განსხვავდება ნულიდან და ერთიდან, მაშინ საკმარისად დიდი რაოდენობის n დამოუკიდებელი ცდების შემთხვევაში, ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენის სიხშირე m/n იყოს α-დან დიაპაზონში. β-მდე (მათ შორის) უდრის

,

(3.9)

სადაც

, .

(3.10)

მაგალითი 3.6.სტატისტიკის მიხედვით, ახალშობილთა საშუალოდ 87% 50 წლამდე ცოცხლობს. იპოვეთ ალბათობა, რომ 1000 ახალშობილიდან 50 წლამდე გადარჩენის პროპორცია (სიხშირე) იქნება 0,9-დან 0,95-მდე დიაპაზონში.

გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ ახალშობილი 50 წლამდე იცოცხლებს რ= 0.87. იმიტომ რომ ნ= 1000 არის დიდი (ანუ მდგომარეობა npq= 1000 0.87 0.13 = 113.1 ≥ 20 დაკმაყოფილებულია), მაშინ ვიყენებთ ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის დასკვნას 2. Ჩვენ ვიპოვეთ:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

შედეგი 3. თუ A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ საცდელში მუდმივია და განსხვავდება ნულიდან და ერთიდან, მაშინ საკმარისად დიდი რაოდენობის n დამოუკიდებელი გამოცდის შემთხვევაში, ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენის m/n სიხშირე განსხვავდება მისი ალბათობიდან p. მეტი აღარΔ > 0 (აბსოლუტური მნიშვნელობით) უდრის

.

(3.11)

მაგალითი 3.7.წინა პრობლემის პირობებში იპოვეთ ალბათობა, რომ 1000 ახალშობილიდან 50 წლამდე გადარჩენილთა პროპორცია (სიხშირე) ამ მოვლენის ალბათობისგან განსხვავდება არაუმეტეს 0,04-ით (აბსოლუტური მნიშვნელობით).

გამოსავალი. ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის მე-3 დასკვნის გამოყენებით ვხვდებით:

= 2ფ(3.76) = 2 0.4999 = 0.9998.

ვინაიდან უთანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია, შედეგი ნიშნავს, რომ პრაქტიკულად დარწმუნებულია, რომ 1000 ახალშობილთა 83-დან 91%-მდე იცოცხლებს 50 წლამდე. ◄

ჩვენ ადრე დავადგინეთ, რომ დამოუკიდებელი ცდებისთვის რიცხვის ალბათობა მმოვლენის შემთხვევები მაგრამ in ნტესტი ნაპოვნია ბერნულის ფორმულით. თუ ნარის დიდი, მაშინ გამოიყენება ლაპლასის ასიმპტომური ფორმულა. თუმცა, ეს ფორმულა არ არის შესაფერისი, თუ მოვლენის ალბათობა მცირეა ( რ≤ 0.1). Ამ შემთხვევაში ( ნდიდი, რმცირე) გამოიყენე პუასონის თეორემა

პუასონის ფორმულა

თეორემა. თუ ყოველ ცდაში A მოვლენის დადგომის p ალბათობა ნულისკენ მიისწრაფვის (p → 0) ცდების n რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით (n → ∞), და ნამრავლი np მიისწრაფვის მუდმივ რიცხვზე λ (np → λ), მაშინ ალბათობა P n (m), რომ მოვლენა A გამოჩნდება m-ჯერ. n დამოუკიდებელი ცდები აკმაყოფილებს ზღვრულ თანასწორობას

ალბათობა იმისა, რომ n დამოუკიდებელ ცდაში, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
φ(x) ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი; x-ის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის გამოიყენება იგივე ცხრილი (ფუნქცია φ (x) არის ლუწი: φ (-x) = φ (x)).

ღონისძიება შეიძლება მოვიდეს ერთხელ. ამ მოვლენის დადგომის ალბათობა არის . იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა:
მოვა ერთხელ;
ნაკლები ერთხელ;
მინიმუმ ერთხელ;
მეტი ერთხელ;
მეტი აღარ ერთხელ;
მინიმუმ და მეტი არა ერთხელ;
ერთხელ მაინც მოდი.
გამომავალი ანგარიშისთვის:
სავარაუდო რიცხვი;
ალბათობა იმისა, რომ მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე გადახრის მის ალბათობას აბსოლუტური მნიშვნელობით არაუმეტეს .

მაგალითი #1. 700 დამოუკიდებელი ცდიდან თითოეულში A მოვლენა ხდება 0,35 მუდმივი ალბათობით. იპოვეთ A მოვლენის დადგომის ალბათობა: ა) ზუსტად 270-ჯერ; ბ) 270-ზე ნაკლები და 230-ჯერ მეტი; გ) 270-ზე მეტი.
გამოსავალი.ვინაიდან ცდების რაოდენობა n = 700 საკმაოდ დიდია, ვიყენებთ ლაპლასის ფორმულებს.
ა) მოცემულია: n = 700, p = 0,35, k = 270.
იპოვეთ P 700 (270). ჩვენ ვიყენებთ ადგილობრივ ლაპლასის თეორემას.
Ჩვენ ვიპოვეთ:

ცხრილიდან ვპოულობთ φ(x) ფუნქციის მნიშვნელობას:

ბ) მოცემულია: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
იპოვეთ P 700 (230< k < 270).
ჩვენ ვიყენებთ ლაპლასის ინტეგრალურ თეორემას (23), (24). Ჩვენ ვიპოვეთ:

ცხრილიდან ვპოულობთ Ф (x) ფუნქციის მნიშვნელობას:

გ) მოცემულია: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
იპოვეთ P 700 (k > 270).
Ჩვენ გვაქვს:

მაგალითი #2. ქსოვის ქარხანაში სტაბილური პროცესის დროს ხდება 10 ძაფის წყვეტა საათში 100 ღერძზე. დაადგინეთ: ა) ალბათობა იმისა, რომ ერთი საათის განმავლობაში 80 ღეროზე 7 ძაფის გაწყვეტა მოხდება; ბ) ძაფის წყვეტის ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა საათში 80 ღეროზე.
გამოსავალი.ერთი საათის განმავლობაში ძაფის გაწყვეტის სტატისტიკური ალბათობა არის p = 10/100 = 0.1 და, შესაბამისად, q = 1 - 0.1 = 0.9; n = 80; k = 7.
ვინაიდან n დიდია, გამოიყენება ლაპლასის ლოკალური თეორემა (23). ჩვენ ვიანგარიშებთ:

გამოვიყენოთ თვისება φ(-x) = φ(x), ვიპოვოთ φ(0.37) ≈ 0.3726 და შემდეგ გამოვთვალოთ საჭირო ალბათობა:

ამდენად, ალბათობა იმისა, რომ 7 ძაფის გაწყვეტა მოხდება 80 ღეროზე ერთი საათის განმავლობაში არის დაახლოებით 0,139.
განმეორებითი ტესტების დროს მოვლენის დადგომის ყველაზე სავარაუდო რიცხვი k 0 განისაზღვრება ფორმულით (14). დასკვნა: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

მაგალითი #3. ალბათობა იმისა, რომ პირველი კლასის ნაწილი არის 0,4. დამზადებულია 150 ნაწილისგან. იპოვეთ ალბათობა, რომ მათ შორის არის პირველი კლასის 68 ნაწილი.

მაგალითი #4. მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ დამოუკიდებელ ცდაში არის p.
იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა მოხდეს n-ჯერ, თუ m ცდა ჩატარდება.
მიეცით თქვენი პასუხი უახლოეს სამ მნიშვნელოვან ფიგურას.
p=0.75, n=87, m=120

მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა . თუ A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ საცდელში მუდმივია და განსხვავდება 0-დან და 1-დან, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენის დადგომის რიცხვი m n დამოუკიდებელ ცდაში დევს a-დან b-მდე საზღვრებში (მათ შორის) , საკმარისად დიდი რიცხვით n, დაახლოებით უდრის

სად
- ლაპლასის ფუნქცია (ან ალბათობათა ინტეგრალი);

,
.

ფორმულას ეწოდება მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულა. რაც უფრო დიდია n, მით უფრო ზუსტია ეს ფორმულა. პირობით npq ≥ 20, ინტეგრალური ფორმულა
, ისევე როგორც ლოკალური, იძლევა, როგორც წესი, შეცდომას ალბათობების გამოთვლაში, რაც დამაკმაყოფილებელია პრაქტიკისთვის.

ფუნქცია Ф(х) არის ტაბულირებული (იხ. ცხრილი). ამ ცხრილის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუნქციის თვისებები :

Ф(х) ფუნქცია კენტია, ე.ი. F(-x) = -F(x).

ფუნქცია Ф(х) მონოტონურად იზრდება, უფრო მეტიც, როგორც x → +∞ Ф(х) → 1 (პრაქტიკაში შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ უკვე x > 4 Ф(х) ≈ 1-ისთვის).

მაგალითი . ზოგიერთ რაიონში, ყოველი 100 ოჯახიდან 80-ს აქვს მაცივარი. გამოთვალეთ ალბათობა, რომ 400-დან 300-დან 360-მდე (მათ შორის) ოჯახს აქვს მაცივარი.

გამოსავალი. ვიყენებთ მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალურ თეორემას (npq = 64 ≥ 20). ჯერ განვსაზღვროთ:

,

.

ახლა ფორმულის მიხედვით
, Ф(х) თვისებების გათვალისწინებით ვიღებთ

(ცხრილის მიხედვით F(2.50) = 0.9876, F(5.0) ≈ 1)

1. შედეგები მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური თეორემიდან (დერივაციასთან ერთად). მაგალითები.

განვიხილოთ მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის შედეგი.

შედეგი. თუ A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ ცდაში მუდმივია და განსხვავდება 0-დან და 1-დან, მაშინ დამოუკიდებელი ცდების საკმარისად დიდი რაოდენობით n-ით, ალბათობა იმისა, რომ:

ა) A მოვლენის შემთხვევების რიცხვი m განსხვავდება np ნამრავლისაგან არაუმეტეს ε >
;

ბ) სიხშირე მოვლენა A მდგომარეობს α-დან β-მდე დიაპაზონში (შემსვლელში), ე.ი.
, სად
,
.

გ) სიხშირე მოვლენა A განსხვავდება მისი p ალბათობიდან არაუმეტეს Δ > 0-ით (აბსოლუტური მნიშვნელობით), ე.ი.
.

□ 1) უთანასწორობა
უდრის ორმაგ უტოლობას pr - E ~ m ~ pr + E. ამიტომ, ინტეგრალური ფორმულით
:

.

2) უთანასწორობა
უდრის a ≤ m ≤ b უტოლობას a = nα-სთვის და b = nβ. ჩანაცვლება ფორმულებში
და
,
მიღებული გამონათქვამებით a და b მნიშვნელობებს ვიღებთ დასამტკიცებელ ფორმულებს
და
,
.

3) უთანასწორობა
უდრის უტოლობას
. ჩანაცვლება ფორმულაში

, ვიღებთ დასამტკიცებელ ფორმულას
.

მაგალითი . სტატისტიკის მიხედვით, ახალშობილთა საშუალოდ 87% 50 წლამდე ცოცხლობს. იპოვეთ ალბათობა, რომ 1000 ახალშობილიდან 50 წლამდე გადარჩენილთა წილი (სიხშირე) იქნება: ა) 0,9-დან 0,95-მდე დიაპაზონში; ბ) განსხვავდება ამ მოვლენის ალბათობიდან არაუმეტეს 0,04-ით (აბსოლუტური სიდიდით)?

გამოსავალი. ა) p ალბათობა იმისა, რომ ახალშობილმა იცოცხლოს 50 წლამდე არის 0,87. იმიტომ რომ n = 1000 დიდია (პირობა npq = 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 დაკმაყოფილებულია), მაშინ ვიყენებთ მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის დასკვნას. ჯერ განვსაზღვროთ:

,
. ახლა ფორმულის მიხედვით
:

ბ) ფორმულის მიხედვით
:

რადგან უთანასწორობა
უდრის უტოლობას
, მიღებული შედეგი ნიშნავს, რომ თითქმის დარწმუნებულია, რომ 1000 ახალშობილთა რიცხვიდან 0,83-დან 0,91-მდე იცოცხლებს 50 წლამდე.

„შემთხვევითი ცვლადის“ ცნება და მისი აღწერა. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი და მისი განაწილების კანონი (სერიები). დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები. მაგალითები.

ქვეშ შემთხვევითი ცვლადი გაგებულია, როგორც ცვლადი, რომელიც ტესტების შედეგად, შემთხვევიდან გამომდინარე, იღებს მისი მნიშვნელობების ერთ-ერთ შესაძლო კომპლექტს (რომელიც წინასწარ არ არის ცნობილი).

შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები : 1) მოსკოვში დღის განმავლობაში დაბადებული ბავშვების რაოდენობა; 2) დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა მოცემულ პარტიაში; 3) გასროლის რაოდენობა პირველ დარტყმამდე; 4) საარტილერიო ჭურვის ფრენის დიაპაზონი; 5) ელექტროენერგიის მოხმარება პრ-ტიონისთვის თვეში.

შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება დისკრეტული (შეწყვეტილი) თუ მისი მნიშვნელობების სიმრავლე არის სასრული, ან უსასრულო, მაგრამ თვლადი.

ქვეშ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი ჩვენ გავიგებთ სიდიდეს, რომლის უსასრულო უთვალავი სიმრავლე არის რიცხვითი ღერძის გარკვეული ინტერვალი (სასრული ან უსასრულო).

ასე რომ, ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში 1-3 გვაქვს დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები (მაგალითებში 1 და 2 - მნიშვნელობების სასრული სიმრავლით; მაგალითად 3 - უსასრულო, მაგრამ თვლადი სიმრავლით); ხოლო 4 და 5 მაგალითებში - უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.

ამისთვის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიბევრი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები, ე.ი. ფუნქციები
, სასრულად ან თვლადად, ამისთვის უწყვეტი- უსასრულო და უთვალავი.

შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით X, Y, Z, ..., ხოლო მათი მნიშვნელობები - შესაბამისი მცირე ასოებით x, y, z, ....

შემთხვევითი ცვლადი არის "განაწილებული" მოცემული განაწილების კანონის მიხედვით ან "დაქვემდებარებული" ამ განაწილების კანონის მიხედვით.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის განაწილების კანონი მ.ბ. მოცემულია ცხრილის სახით, ანალიტიკური (ფორმულის სახით) და გრაფიკულად.

დისკრეტული შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების კანონის დაზუსტების უმარტივესი ფორმა არის ცხრილი (მატრიცა), რომელიც ზრდის მიმდევრობით ჩამოთვლის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას და მათ შესაბამის ალბათობას, ე.ი.

ან
.

ასეთ მაგიდას ე.წ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მახლობლად .

მოვლენები X=x 1, X=x 2,…,X=x n, რომელიც შედგება იმაში, რომ ტესტის შედეგად შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს მნიშვნელობებს x 1, x 2, ... , x n, შესაბამისად, შეუთავსებელია და ერთადერთი შესაძლო (რადგან ცხრილში ჩამოთვლილია შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა), ე.ი. შექმენით სრული ჯგუფი. მაშასადამე, მათი ალბათობების ჯამი 1-ის ტოლია. ამრიგად, ნებისმიერი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი
.

განაწილების სერია შეიძლება იყოს გამოსახულია გრაფიკულად, თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ და მათი შესაბამისი ალბათობები ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. მიღებული წერტილების შეერთება ქმნის გაწყვეტილ ხაზს, ე.წ მრავალკუთხედი ან ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედი .

ორი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება დამოუკიდებელი თუ ერთი მათგანის განაწილების კანონი არ იცვლება იმისდა მიხედვით, თუ რა შესაძლო მნიშვნელობები მიიღო მეორე მნიშვნელობამ. ასე რომ, თუ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს X შეუძლია მიიღოს x i მნიშვნელობები (i = 1, 2, ..., n), ხოლო შემთხვევითი ცვლადი Y შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები y j (j = 1, 2, ..., m), მაშინ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების დამოუკიდებლობა X და Y ნიშნავს მოვლენების დამოუკიდებლობას X = x i და Y = y ნებისმიერი i = 1, 2, ... , n და j = 1. , 2, ..., მ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შემთხვევითი ცვლადები ეწოდება დამოკიდებული .

Მაგალითად , თუ არსებობს ბილეთები ორი განსხვავებული ფულადი ლატარიისთვის, მაშინ შემთხვევითი ცვლადები X და Y, რომლებიც გამოხატავს მოგებას თითოეულ ბილეთზე (ფულად ერთეულებში), შესაბამისად, იქნება დამოუკიდებელი, იმიტომ ერთი ლატარიის ბილეთზე ნებისმიერი მოგებისთვის (მაგალითად, როდესაც X = x i), სხვა ბილეთზე (Y) მოგების განაწილების კანონი არ შეიცვლება.

თუ შემთხვევითი ცვლადები X და Y გამოხატავს მოგებას ერთი და იგივე ფულის ლატარიის ბილეთებზე, მაშინ ამ შემთხვევაში X და Y არიან დამოკიდებულნი, რადგან ნებისმიერი მოგება ერთ ბილეთზე (X = x i) იწვევს მოგების ალბათობების ცვლილებას. სხვა ბილეთი (Y), ანუ ე. W-ის განაწილების კანონის ცვლილებას.

მათემატიკური მოქმედებები დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადებზე ნიღბები და განაწილების კანონების მშენებლობის მაგალითები KH, X" 1 , X + K, XV დამოუკიდებელი შემთხვევების მოცემული განაწილების მიხედვით ღირებულებები X და U.

განვსაზღვროთ მათემატიკური ოპერაციები დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადებზე.

მიეცეს ორი შემთხვევითი ცვლადი:

X შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლი kX მუდმივი k მნიშვნელობით არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს kx i მნიშვნელობებს იგივე ალბათობით р i (i = 1,2,...,n).

მ X შემთხვევითი ცვლადის th ხარისხი, ე.ი.
, ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს იგივე ალბათობით p i (i = 1,2,...,n).

X და Y შემთხვევითი ცვლადების ჯამი (განსხვავება ან ნამრავლი). ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს хi+уj ფორმის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას (хj-уj ან хj yj), სადაც i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, ალბათობით pij, რომ შემთხვევითი ცვლადი X იღებს xi მნიშვნელობას და y მნიშვნელობას yj:

თუ შემთხვევითი ცვლადები X და Y დამოუკიდებელია, ე.ი. ნებისმიერი მოვლენა X=хi, Y=yj დამოუკიდებელნი არიან, შემდეგ ალბათობების გამრავლების თეორემა დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის

3 შენიშვნა . დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადებზე მოქმედებების ზემოაღნიშნული განმარტებები უნდა დაზუსტდეს: ვინაიდან რიგ შემთხვევებში იგივე მნიშვნელობებია. ,
,
შეიძლება მიღებულ იქნას სხვადასხვა გზით სხვადასხვა xi, yj-სთვის pi, pij ალბათობით, შემდეგ ასეთი განმეორებითი მნიშვნელობების ალბათობა იპოვება მიღებული ალბათობების pi ან pij-ის დამატებით.

ოპერაციის ტიპი	გამოხატვის მნიშვნელობა S/V	Exv ღირებულება
		არ შეცვალო
		არ შეცვალო