როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ალბათობის განაწილების მაგალითები უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X არის:
- უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის ერთგვაროვანი განაწილება;
- უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ექსპონენციალური ალბათობის განაწილება;
- ნორმალური დისტრიბუცია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა.
მოდით მივცეთ ერთიანი და ექსპონენციალური განაწილების კანონების კონცეფცია, ალბათობის ფორმულები და განხილული ფუნქციების რიცხვითი მახასიათებლები.
| ინდიკატორი | შემთხვევითი განაწილების კანონი | განაწილების ექსპონენციალური კანონი |
|---|---|---|
| განმარტება | უნიფორმა ე.წ უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის განაწილება, რომლის სიმკვრივე რჩება მუდმივი ინტერვალზე და აქვს ფორმა | ექსპონენციალური (ექსპონენციალური) ეწოდება უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის განაწილება, რომელიც აღწერილია ფორმის მქონე სიმკვრივით |
 სადაც λ არის მუდმივი დადებითი მნიშვნელობა |
||
| განაწილების ფუნქცია |  |
 |
| ალბათობა ინტერვალის დარტყმა |  |
 |
| Მოსალოდნელი ღირებულება |  |
|
| დისპერსია |  |
|
| Სტანდარტული გადახრა |  |
პრობლემის გადაჭრის მაგალითები თემაზე "განაწილების ერთიანი და ექსპონენციალური კანონები"
დავალება 1.
ავტობუსები მკაცრად მოძრაობენ განრიგის მიხედვით. მოძრაობის ინტერვალი 7 წთ. იპოვეთ: (ა) ალბათობა იმისა, რომ გაჩერებაზე მომავალი მგზავრი ორ წუთზე ნაკლებ ხანს დაელოდება შემდეგ ავტობუსს; ბ) ალბათობა იმისა, რომ გაჩერებაზე მიმავალი მგზავრი დაელოდება მომდევნო ავტობუსს მინიმუმ სამი წუთის განმავლობაში; გ) X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა - მგზავრის ლოდინის დრო.
გადაწყვეტილება. 1. პრობლემის პირობით, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X=(მგზავრის ლოდინის დრო) თანაბრად განაწილებული ორი ავტობუსის ჩამოსვლას შორის. X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ინტერვალის სიგრძე უდრის b-a=7, სადაც a=0, b=7.
2. ლოდინის დრო ორ წუთზე ნაკლები იქნება, თუ შემთხვევითი მნიშვნელობა X მოხვდება ინტერვალში (5;7). მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა გვხვდება ფორმულით: P(x1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P (5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. ლოდინის დრო იქნება მინიმუმ სამი წუთი (ანუ სამიდან შვიდ წუთამდე), თუ შემთხვევითი მნიშვნელობა X მოხვდება ინტერვალში (0; 4). მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა გვხვდება ფორმულით: P(x1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. უწყვეტი, ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი X ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი - მგზავრის ლოდინის დრო, ჩვენ ვპოულობთ ფორმულით: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.
5. უწყვეტი, ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი X ცვლადის სტანდარტული გადახრა - მგზავრის ლოდინის დრო, ვპოულობთ ფორმულით: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.
დავალება 2.
ექსპონენციალური განაწილება მოცემულია x ≥ 0-ზე f(x) = 5e – 5x სიმკვრივით. საჭიროა: ა) დაწეროს გამონათქვამი განაწილების ფუნქციისთვის; ბ) იპოვონ ალბათობა იმისა, რომ ტესტის შედეგად X მოხვდება ინტერვალში (1; 4); გ) იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად X ≥ 2; დ) გამოთვალეთ M(X), D(X), σ(X).
გადაწყვეტილება. 1. ვინაიდან, პირობით, ექსპონენციალური განაწილება , შემდეგ X შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივის ფორმულიდან ვიღებთ λ = 5. მაშინ განაწილების ფუნქცია ასე გამოიყურება:
2. ალბათობა იმისა, რომ ტესტის შედეგად X მოხვდება ინტერვალში (1; 4), იპოვება ფორმულით:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. ალბათობა იმისა, რომ X ≥ 2 ტესტის შედეგად აღმოჩნდება ფორმულით: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. ექსპონენციალური განაწილებისთვის ვპოულობთ:
- მათემატიკური მოლოდინი ფორმულის მიხედვით M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2;
- დისპერსია ფორმულის მიხედვით D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04;
- სტანდარტული გადახრა ფორმულის მიხედვით σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.
ეს საკითხი დიდი ხანია დეტალურად იყო შესწავლილი და ყველაზე ფართოდ გამოიყენებოდა 1958 წელს ჯორჯ ბოქსის, მერვინ მიულერისა და ჯორჯ მარსალიას მიერ შემოთავაზებული პოლარული კოორდინატების მეთოდი. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ დამოუკიდებელი ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების წყვილი საშუალო 0 და ვარიაციები 1 შემდეგნაირად:
სადაც Z 0 და Z 1 არის სასურველი მნიშვნელობები, s \u003d u 2 + v 2, და u და v არის შემთხვევითი ცვლადები, რომლებიც თანაბრად განაწილებულია სეგმენტზე (-1, 1), შერჩეული ისე, რომ დაკმაყოფილდეს პირობა 0.< s < 1.
ბევრი იყენებს ამ ფორმულებს დაუფიქრებლად და ბევრს არც კი ეპარება ეჭვი მათ არსებობაზე, რადგან ისინი იყენებენ მზა განხორციელებებს. მაგრამ არიან ადამიანები, რომლებსაც აქვთ კითხვები: „საიდან გაჩნდა ეს ფორმულა? და რატომ იღებთ წყვილი ღირებულებებს ერთდროულად? შემდგომში ვეცდები ამ კითხვებზე მკაფიო პასუხის გაცემას.
დასაწყისისთვის, შეგახსენებთ, რა არის ალბათობის სიმკვრივე, შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია და შებრუნებული ფუნქცია. დავუშვათ, არის რაღაც შემთხვევითი ცვლადი, რომლის განაწილება მოცემულია f(x) სიმკვრივის ფუნქციით, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმა:
ეს ნიშნავს, რომ ალბათობა იმისა, რომ ამ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა იქნება ინტერვალში (A, B) უდრის დაჩრდილული ფართობის ფართობს. და შედეგად, მთელი დაჩრდილული ფართობის ფართობი უნდა იყოს ერთიანობის ტოლი, რადგან ნებისმიერ შემთხვევაში შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა მოხვდება f ფუნქციის დომენში.
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია სიმკვრივის ფუნქციის ინტეგრალია. და ამ შემთხვევაში, მისი სავარაუდო ფორმა იქნება შემდეგი:
აქ მნიშვნელობა არის ის, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა იქნება A-ზე ნაკლები ალბათობით B. და შედეგად, ფუნქცია არასოდეს მცირდება და მისი მნიშვნელობები დევს ინტერვალში.
ინვერსიული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც აბრუნებს ორიგინალური ფუნქციის არგუმენტს, თუ მასში გადასცემთ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობას. მაგალითად, x 2 ფუნქციისთვის შებრუნებული იქნება ფესვის ამოღების ფუნქცია, sin (x) -სთვის არის arcsin (x) და ა.შ.
ვინაიდან ფსევდო შემთხვევითი რიცხვების გენერატორების უმეტესობა იძლევა მხოლოდ ერთგვაროვან განაწილებას გამომავალზე, ხშირად ხდება საჭირო მისი სხვაზე გადაყვანა. ამ შემთხვევაში, ნორმალური გაუსიანისთვის:
ერთიანი განაწილების ნებისმიერ სხვა განაწილებად გარდაქმნის ყველა მეთოდის საფუძველია ინვერსიული ტრანსფორმაციის მეთოდი. იგი მუშაობს შემდეგნაირად. ნაპოვნია ფუნქცია, რომელიც შებრუნებულია საჭირო განაწილების ფუნქციასთან და სეგმენტზე (0, 1) თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი მას არგუმენტად გადაეცემა. გამოსავალზე ვიღებთ მნიშვნელობას საჭირო განაწილებით. სიცხადისთვის, აქ არის შემდეგი სურათი.
ამრიგად, ერთგვაროვანი სეგმენტი, როგორც იქნა, შეიზილება ახალი განაწილების შესაბამისად, დაპროექტებულია სხვა ღერძზე ინვერსიული ფუნქციის საშუალებით. მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ გაუსის განაწილების სიმკვრივის ინტეგრალი არ არის ადვილი გამოთვლა, ამიტომ ზემოხსენებულ მეცნიერებს მოუწიათ მოტყუება.
არსებობს chi-კვადრატის განაწილება (Pearson distribution), რომელიც არის k დამოუკიდებელი ნორმალური შემთხვევითი ცვლადების კვადრატების ჯამის განაწილება. და იმ შემთხვევაში, როდესაც k = 2, ეს განაწილება არის ექსპონენციალური.
ეს ნიშნავს, რომ თუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წერტილს აქვს შემთხვევითი X და Y კოორდინატები განაწილებული ნორმალურად, მაშინ ამ კოორდინატების პოლარულ სისტემაში გადაყვანის შემდეგ (r, θ), რადიუსის კვადრატი (მანძილი საწყისიდან წერტილამდე) განაწილდება ექსპონენციალურად, ვინაიდან რადიუსის კვადრატი არის კოორდინატების კვადრატების ჯამი (პითაგორას კანონის მიხედვით). სიბრტყეზე ასეთი წერტილების განაწილების სიმკვრივე ასე გამოიყურება:
ვინაიდან ის ყველა მიმართულებით ტოლია, კუთხე θ ექნება ერთგვაროვანი განაწილება 0-დან 2π-მდე დიაპაზონში. პირიქითაც მართალია: თუ თქვენ მიუთითებთ წერტილს პოლარული კოორდინატთა სისტემაში ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის გამოყენებით (კუთხე განაწილებული თანაბრად და რადიუსი განაწილებული ექსპონენციალურად), მაშინ ამ წერტილის მართკუთხა კოორდინატები იქნება დამოუკიდებელი ნორმალური შემთხვევითი ცვლადები. და ერთიანი განაწილებიდან ექსპონენციალური განაწილების მიღება უკვე ბევრად უფრო ადვილია, იგივე შებრუნებული ტრანსფორმაციის მეთოდის გამოყენებით. ეს არის Box-Muller პოლარული მეთოდის არსი.
ახლა მოდით მივიღოთ ფორმულები.
(1)
r და θ-ის მისაღებად აუცილებელია ორი შემთხვევითი ცვლადის გენერირება, რომლებიც თანაბრად განაწილებულია სეგმენტზე (0, 1) (მოდით დავარქვათ მათ u და v), რომელთაგან ერთის განაწილება (ვთქვათ v) უნდა გარდაიქმნას ექსპონენციურად. რადიუსის მიღება. ექსპონენციალური განაწილების ფუნქცია ასე გამოიყურება:
მისი შებრუნებული ფუნქცია:
ვინაიდან ერთგვაროვანი განაწილება სიმეტრიულია, ტრანსფორმაცია ფუნქციასთან ანალოგიურად იმუშავებს
chi-კვადრატის განაწილების ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ λ = 0.5. ჩვენ ვცვლით λ, v ამ ფუნქციას და ვიღებთ რადიუსის კვადრატს, შემდეგ კი თავად რადიუსს:
ჩვენ ვიღებთ კუთხეს ერთეულის სეგმენტის 2π-მდე გაჭიმვით:
ახლა ჩვენ ვცვლით r და θ ფორმულებში (1) და ვიღებთ:
(2)
ეს ფორმულები მზადაა გამოსაყენებლად. X და Y იქნება დამოუკიდებლები და ნორმალურად განაწილებული 1-ის დისპერსიით და საშუალო 0-ის. სხვა მახასიათებლებით განაწილების მისაღებად საკმარისია ფუნქციის შედეგი გავამრავლოთ სტანდარტულ გადახრაზე და დავუმატოთ საშუალო.
მაგრამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისგან თავის დაღწევა შესაძლებელია კუთხის მითითებით არა პირდაპირ, არამედ ირიბად წრეში შემთხვევითი წერტილის მართკუთხა კოორდინატების მეშვეობით. შემდეგ ამ კოორდინატების მეშვეობით შესაძლებელი იქნება რადიუსის ვექტორის სიგრძის გამოთვლა, შემდეგ კი კოსინუსის და სინუსის პოვნა x და y მასზე შესაბამისად გაყოფით. როგორ და რატომ მუშაობს?
ჩვენ ვირჩევთ შემთხვევით წერტილს ერთეული რადიუსის წრეში თანაბრად განაწილებულიდან და აღვნიშნავთ ამ წერტილის რადიუსის ვექტორის სიგრძის კვადრატს ასო s-ით:
არჩევანი ხდება შემთხვევითი x და y მართკუთხა კოორდინატების მინიჭებით (-1, 1) ინტერვალში თანაბრად განაწილებული და წერტილების გაუქმებით, რომლებიც არ მიეკუთვნება წრეს, ისევე როგორც ცენტრალური წერტილი, რომელზეც არის რადიუსის ვექტორის კუთხე. არ არის განსაზღვრული. ანუ პირობა 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
ჩვენ ვიღებთ ფორმულებს, როგორც სტატიის დასაწყისში. ამ მეთოდის მინუსი არის იმ წერტილების უარყოფა, რომლებიც არ შედის წრეში. ანუ გენერირებული შემთხვევითი ცვლადების მხოლოდ 78.5%-ის გამოყენება. ძველ კომპიუტერებზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნაკლებობა მაინც დიდი უპირატესობა იყო. ახლა, როდესაც ერთი პროცესორის ინსტრუქცია ერთდროულად ითვლის სინუსსა და კოსინუსს მყისიერად, ვფიქრობ, რომ ამ მეთოდებს კონკურენცია მაინც შეუძლიათ.
მე პირადად კიდევ ორი კითხვა მაქვს:
- რატომ არის s-ის მნიშვნელობა თანაბრად გადანაწილებული?
- რატომ არის ორი ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის კვადრატების ჯამი ექსპონენტურად განაწილებული?
თუ მსგავსი ტრანსფორმაცია განხორციელდება ჩვეულებრივი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მაშინ მისი კვადრატის სიმკვრივის ფუნქცია ჰიპერბოლის მსგავსი აღმოჩნდება. და ნორმალური შემთხვევითი ცვლადების ორი კვადრატის დამატება უკვე ბევრად უფრო რთული პროცესია, რომელიც დაკავშირებულია ორმაგ ინტეგრაციასთან. და ის, რომ შედეგი იქნება ექსპონენციალური განაწილება, პირადად მე რჩება მისი შემოწმება პრაქტიკული მეთოდით ან მივიღო აქსიომად. და ვისაც აინტერესებს, მე გთავაზობთ, რომ უფრო ახლოს გაეცნოთ თემას, გამოიტანოთ ცოდნა ამ წიგნებიდან:
- Wentzel E.S. ალბათობის თეორია
- კნუტ დ.ე. პროგრამირების ხელოვნება ტომი 2
დასასრულს, მე მივცემ მაგალითს JavaScript-ში ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი რიცხვების გენერატორის განხორციელების შესახებ:
ფუნქცია Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = ფუნქცია (საშუალო, dev) ( საშუალო = საშუალო == განუსაზღვრელი ? 0.0: საშუალო; dev = dev == განუსაზღვრელი ? 1.0: dev; თუ ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; დაბრუნება r * v * dev + mean; ) ) ) g = new Gauss(); // ობიექტის შექმნა a = g.next(); // შექმენით მნიშვნელობების წყვილი და მიიღეთ პირველი b = g.next(); // მიიღეთ მეორე c = g.next(); // კვლავ შექმენით მნიშვნელობების წყვილი და მიიღეთ პირველი
საშუალო (მათემატიკური მოლოდინი) და dev (სტანდარტული გადახრა) პარამეტრები არჩევითია. თქვენს ყურადღებას ვაქცევ იმ ფაქტს, რომ ლოგარითმი ბუნებრივია.
განაწილება ერთნაირად ითვლება, თუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა (მისი არსებობის რეგიონში, მაგალითად, ინტერვალში) თანაბრად სავარაუდოა. ასეთი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა:
განაწილების სიმკვრივე: 
1
ბრინჯი. განაწილების ფუნქციის (მარცხნივ) და განაწილების სიმკვრივის (მარჯვნივ) გრაფიკები.
ერთიანი განაწილება - კონცეფცია და ტიპები. კატეგორიის კლასიფიკაცია და მახასიათებლები „ერთგვაროვანი განაწილება“ 2017, 2018 წ.
შემთხვევითი ცვლადების ძირითადი დისკრეტული განაწილება განმარტება 1. შემთხვევითი ცვლადი Х, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს 1, 2, …, n, აქვს ერთგვაროვანი განაწილება, თუ Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n . აშკარაა რომ. განვიხილოთ შემდეგი ამოცანა, ურნაში არის N ბურთი, რომელთაგან M თეთრია... .
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონები განმარტება 5. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომელიც იღებს მნიშვნელობას ინტერვალზე, აქვს ერთგვაროვანი განაწილება, თუ განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა. (1) ამის გადამოწმება ადვილია, . თუ შემთხვევითი ცვლადი... .
განაწილება ითვლება ერთგვაროვნად, თუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა (მისი არსებობის რეგიონში, მაგალითად, ინტერვალში) თანაბრად სავარაუდოა. ასეთი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა: განაწილების სიმკვრივე: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
ნორმალური განაწილების კანონები ერთიანი, ექსპონენციალური და ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია ერთიანი კანონის არის: (10.17) სადაც a და b მოცემულია რიცხვები, a.< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
ალბათობის ერთგვაროვანი განაწილება ყველაზე მარტივია და შეიძლება იყოს დისკრეტული ან უწყვეტი. დისკრეტული ერთიანი განაწილება არის ისეთი განაწილება, რომლისთვისაც CB-ის თითოეული მნიშვნელობის ალბათობა იგივეა, ანუ: სადაც N არის რიცხვი ... .
განმარტება 16. უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს აქვს ერთგვაროვანი განაწილება ინტერვალზე, თუ ამ სეგმენტზე ამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე მუდმივია, მის გარეთ კი ნულის ტოლია, ანუ (45) ერთგვაროვანი განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი არის ნაჩვენებია...
როგორც უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მაგალითი, განვიხილოთ შემთხვევითი X ცვლადი, რომელიც თანაბრად არის განაწილებული ინტერვალზე (a; b). ჩვენ ვამბობთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი X თანაბრად განაწილებული ინტერვალზე (a; b), თუ მისი განაწილების სიმკვრივე არ არის მუდმივი ამ ინტერვალზე:
ნორმალიზაციის მდგომარეობიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ c მუდმივის მნიშვნელობას. განაწილების სიმკვრივის მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი უნდა იყოს ერთის ტოლი, მაგრამ ჩვენს შემთხვევაში ეს არის მართკუთხედის ფართობი ფუძით (b - α) და სიმაღლით c (ნახ. 1). 
ბრინჯი. 1 განაწილების ერთგვაროვანი სიმკვრივე
აქედან ვპოულობთ c მუდმივის მნიშვნელობას: 
ასე რომ, ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივე უდრის 
ახლა ვიპოვოთ განაწილების ფუნქცია ფორმულით:
1) ამისთვის 
2) ამისთვის
3) 0+1+0=1-ისთვის.
ამრიგად, 
განაწილების ფუნქცია უწყვეტია და არ მცირდება (ნახ. 2). 
ბრინჯი. 2 თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია
მოდი ვიპოვოთ ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინიფორმულის მიხედვით:
ერთიანი განაწილების ვარიაციაგამოითვლება ფორმულით და უდრის
მაგალითი #1. საზომი ხელსაწყოს მასშტაბის გაყოფის ღირებულებაა 0,2. ინსტრუმენტის ჩვენებები მრგვალდება უახლოეს მთელ განყოფილებამდე. იპოვეთ ალბათობა, რომ წაკითხვისას დაშვებული იქნება შეცდომა: ა) 0,04-ზე ნაკლები; ბ) დიდი 0,02
გადაწყვეტილება. დამრგვალების შეცდომა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც თანაბრად ნაწილდება მიმდებარე მთელ რიცხვებს შორის ინტერვალზე. განვიხილოთ ინტერვალი (0; 0.2), როგორც ასეთი გაყოფა (ნახ. ა). დამრგვალება შეიძლება განხორციელდეს როგორც მარცხენა საზღვრისკენ - 0, ასევე მარჯვნივ - 0.2, რაც ნიშნავს, რომ 0.04-ზე ნაკლები ან ტოლი შეცდომა შეიძლება ორჯერ დაშვებული იყოს, რაც მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ალბათობის გაანგარიშებისას: 
P = 0.2 + 0.2 = 0.4
მეორე შემთხვევაში, შეცდომის მნიშვნელობა ასევე შეიძლება აღემატებოდეს 0.02-ს ორივე გაყოფის საზღვრებზე, ანუ ის შეიძლება იყოს 0.02-ზე მეტი ან 0.18-ზე ნაკლები. 
მაშინ ასეთი შეცდომის ალბათობა:
მაგალითი #2. ითვლებოდა, რომ ქვეყანაში ეკონომიკური მდგომარეობის სტაბილურობა (ომების არარსებობა, სტიქიური უბედურებები და ა.შ.) ბოლო 50 წლის განმავლობაში შეიძლება ვიმსჯელოთ მოსახლეობის ასაკის მიხედვით განაწილების ბუნებით: მშვიდ ვითარებაში, ეს უნდა იყოს ერთიანი. კვლევის შედეგად ერთ-ერთი ქვეყნისთვის შემდეგი მონაცემები იქნა მიღებული.
არსებობს რაიმე საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ ქვეყანაში არასტაბილური მდგომარეობა იყო?ჩვენ ვიღებთ გადაწყვეტილებას კალკულატორის ჰიპოთეზის ტესტირების გამოყენებით. ცხრილი ინდიკატორების გამოსათვლელად.
| ჯგუფები | შუალედი შუა, x i | რაოდენობა, ფი | x i * f i | კუმულაციური სიხშირე, ს | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | სიხშირე, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
საშუალო შეწონილი
ვარიაციის ინდიკატორები.
აბსოლუტური ვარიაციის განაკვეთები.
ვარიაციის დიაპაზონი არის განსხვავება პირველადი სერიის ატრიბუტის მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს შორის.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
დისპერსია- ახასიათებს გავრცელების ზომას მისი საშუალო მნიშვნელობის ირგვლივ (დისპერსიის საზომი, ე.ი. გადახრა საშუალოდან).
Სტანდარტული გადახრა.
სერიის თითოეული მნიშვნელობა განსხვავდება 43-ის საშუალო მნიშვნელობიდან არაუმეტეს 23,92-ით
ჰიპოთეზების ტესტირება განაწილების ტიპის შესახებ.
4. ჰიპოთეზის ტესტირება ერთგვაროვანი განაწილებასაერთო მოსახლეობა.
X-ის ერთგვაროვანი განაწილების შესახებ ჰიპოთეზის შესამოწმებლად, ე.ი. კანონის მიხედვით: f(x) = 1/(b-a) ინტერვალში (a,b)
საჭირო:
1. შეაფასეთ a და b პარამეტრები - ინტერვალის ბოლოები, რომელშიც დაფიქსირდა X-ის შესაძლო მნიშვნელობები, ფორმულების მიხედვით (* ნიშანი აღნიშნავს პარამეტრების შეფასებას):
2. იპოვეთ სავარაუდო განაწილების ალბათობის სიმკვრივე f(x) = 1/(b * - a *)
3. იპოვეთ თეორიული სიხშირეები:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. შეადარეთ ემპირიული და თეორიული სიხშირეები პირსონის ტესტის გამოყენებით, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობის გათვალისწინებით k = s-3, სადაც s არის საწყისი შერჩევის ინტერვალების რაოდენობა; თუმცა, თუ გაკეთდა მცირე სიხშირეების და, შესაბამისად, თავად ინტერვალების კომბინაცია, მაშინ s არის კომბინაციის შემდეგ დარჩენილი ინტერვალების რაოდენობა.
გადაწყვეტილება:
1. იპოვეთ ერთიანი განაწილების a * და b * პარამეტრების შეფასებები ფორმულების გამოყენებით:
2. იპოვეთ სავარაუდო ერთგვაროვანი განაწილების სიმკვრივე:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. იპოვეთ თეორიული სიხშირეები:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
დარჩენილი n-ები ტოლი იქნება:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| მე | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| სულ | 1 | 0.0532 |
ამიტომ, ამ სტატისტიკისთვის კრიტიკული რეგიონი ყოველთვის მემარჯვენეა: . თუ ამ სეგმენტზე შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე მუდმივია, ანუ თუ დიფერენციალური განაწილების ფუნქცია f(x) აქვს შემდეგი ფორმა:
ამ განაწილებას ზოგჯერ უწოდებენ ერთიანი სიმკვრივის კანონი. რაოდენობის შესახებ, რომელსაც აქვს ერთგვაროვანი განაწილება გარკვეულ სეგმენტზე, ჩვენ ვიტყვით, რომ იგი ერთნაირად ნაწილდება ამ სეგმენტზე.
იპოვეთ c მუდმივის მნიშვნელობა. ვინაიდან განაწილების მრუდით და ღერძით შემოსაზღვრული ფართობი ოჰ,უდრის 1, მაშინ
სადაც თან=1/(ბ-ა).
ახლა ფუნქცია f(x)შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც
ავაშენოთ განაწილების ფუნქცია
F(x ), რომლის გამოთქმას ვპოულობთ F (x) ინტერვალზე [ ა , ბ]:
f (x) და F (x) ფუნქციების გრაფიკები ასე გამოიყურება:
მოდი ვიპოვოთ რიცხვითი მახასიათებლები.
NSW-ის მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:
ამრიგად, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი თანაბრად განაწილებული ინტერვალზე [ა , ბ] ემთხვევა ამ სეგმენტის შუას.
იპოვეთ თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია:
საიდანაც დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ სტანდარტული გადახრა:
ახლა ვიპოვოთ ალბათობა, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა ერთგვაროვანი განაწილებით მოხვდება ინტერვალში.(ა, ბ), მთლიანად მიეკუთვნება სეგმენტს [ა, ბ
]:
|
|
გეომეტრიულად, ეს ალბათობა არის დაჩრდილული მართკუთხედის ფართობი. ნომრები ადა
ბდაურეკა განაწილების პარამეტრებიდაცალსახად განსაზღვრავს ერთგვაროვან განაწილებას.მაგალითი 1. გარკვეული მარშრუტის ავტობუსები მკაცრად მოძრაობენ განრიგის მიხედვით. მოძრაობის ინტერვალი 5 წუთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მგზავრი მიუახლოვდა ავტობუსის გაჩერებას. მომავალ ავტობუსს 3 წუთზე ნაკლებ დროზე დაელოდება.
გადაწყვეტილება:
ST - ავტობუსის მოლოდინის დრო აქვს ერთგვაროვანი განაწილება. მაშინ სასურველი ალბათობა ტოლი იქნება:
მაგალითი 2. x კუბის კიდე იზომება დაახლოებით. და
კუბის კიდის გათვალისწინება, როგორც შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც თანაბრად ნაწილდება ინტერვალში (
ა, ბ), იპოვნეთ კუბის მოცულობის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.გადაწყვეტილება:
კუბის მოცულობა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განისაზღვრება გამოხატულებით Y \u003d X 3. მაშინ მათემატიკური მოლოდინი არის:
დისპერსია:
ონლაინ სერვისი:
