ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად. ამისთვის საჭიროა ვიეტას თეორემა და მისი შებრუნებული გავიხსენოთ. ეს უნარი დაგვეხმარება სწრაფად და მოხერხებულად დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად და ასევე გავამარტივოთ გამოსახულებებისაგან შემდგარი წილადების შემცირება.

ასე რომ, დავუბრუნდეთ კვადრატულ განტოლებას, სადაც.

რასაც მარცხენა მხარეს გვაქვს კვადრატული ტრინომი ეწოდება.

თეორემა მართალია:თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ იდენტურობა მართალია

სად არის წამყვანი კოეფიციენტი, არის განტოლების ფესვები.

ასე რომ, გვაქვს კვადრატული განტოლება - კვადრატული ტრინომი, სადაც კვადრატული განტოლების ფესვებს ასევე უწოდებენ კვადრატული ტრინომის ფესვებს. მაშასადამე, თუ გვაქვს კვადრატული ტრინომის ფესვები, მაშინ ეს ტრინომი იშლება წრფივ ფაქტორებად.

მტკიცებულება:

ამ ფაქტის დადასტურება ხორციელდება ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რომელიც განვიხილეთ წინა გაკვეთილებში.

გავიხსენოთ რას გვეუბნება ვიეტას თეორემა:

თუ არის კვადრატული ტრინომის ფესვები, რომლისთვისაც , მაშინ .

ეს თეორემა გულისხმობს შემდეგ მტკიცებას, რომ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ვიეტას თეორემის მიხედვით, ანუ ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ზემოთ მოცემულ ფორმულაში, მივიღებთ შემდეგ გამონათქვამს.

ქ.ე.დ.

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა, რომ თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ დაშლა მართებულია.

ახლა გავიხსენოთ კვადრატული განტოლების მაგალითი, რომლის ფესვები ვიეტას თეორემის გამოყენებით შევარჩიეთ. ამ ფაქტიდან ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი ტოლობა დადასტურებული თეორემის წყალობით:

ახლა მოდით შევამოწმოთ ამ ფაქტის სისწორე უბრალოდ ფრჩხილების გაფართოებით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ჩვენ სწორად გავაფართოვეთ და ნებისმიერი ტრინომი, თუ მას აქვს ფესვები, შეიძლება ამ თეორემის მიხედვით გადანაწილდეს წრფივ ფაქტორებად ფორმულის მიხედვით

თუმცა, მოდით შევამოწმოთ, შესაძლებელია თუ არა რომელიმე განტოლებისთვის ასეთი ფაქტორიზაცია:

მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება. ჯერ შევამოწმოთ დისკრიმინანტის ნიშანი

და გვახსოვს, რომ ნასწავლი თეორემის შესასრულებლად D უნდა იყოს 0-ზე მეტი, შესაბამისად, ამ შემთხვევაში შესწავლილი თეორემის მიხედვით ფაქტორიზაცია შეუძლებელია.

ამიტომ, ჩვენ ვაყალიბებთ ახალ თეორემას: თუ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები, მაშინ ის არ შეიძლება დაიშალოს წრფივ ფაქტორებად.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ვიეტას თეორემა, კვადრატული ტრინომის წრფივ ფაქტორებად დაშლის შესაძლებლობა და ახლა მოვაგვარებთ რამდენიმე პრობლემას.

დავალება #1

ამ ჯგუფში ჩვენ რეალურად მოვაგვარებთ პრობლემას დასმულის საპირისპიროდ. ჩვენ გვქონდა განტოლება და ვიპოვეთ მისი ფესვები, ფაქტორებად დაშლა. აქ ჩვენ პირიქით მოვიქცევით. ვთქვათ, გვაქვს კვადრატული განტოლების ფესვები

შებრუნებული პრობლემა ასეთია: დაწერეთ კვადრატული განტოლება ისე, რომ იყო მისი ფესვები.

ამ პრობლემის მოგვარების 2 გზა არსებობს.

ვინაიდან არის განტოლების ფესვები, მაშინ არის კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებზე მოცემულია რიცხვები. ახლა გავხსნათ ფრჩხილები და შევამოწმოთ:

ეს იყო პირველი გზა ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება მოცემული ფესვებით, რომელსაც სხვა ფესვები არ აქვს, რადგან ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ორი ფესვი.

ეს მეთოდი მოიცავს შებრუნებული ვიეტას თეორემის გამოყენებას.

თუ განტოლების ფესვებია, მაშინ ისინი აკმაყოფილებენ იმ პირობას, რომ .

შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის , ანუ ამ შემთხვევაში და .

ამრიგად, ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება, რომელსაც აქვს მოცემული ფესვები.

დავალება #2

თქვენ უნდა შეამციროთ ფრაქცია.

ჩვენ გვაქვს ტრინომი მრიცხველში და ტრინომი მნიშვნელში და ტრინომები შეიძლება იყოს ან არა ფაქტორიზირებული. თუ ორივე მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზებულია, მაშინ მათ შორის შეიძლება იყოს თანაბარი ფაქტორები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს.

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია მრიცხველის ფაქტორიზირება.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ, შეიძლება თუ არა ამ განტოლების ფაქტორირება, იპოვნეთ დისკრიმინანტი. ვინაიდან , მაშინ ნიშანი დამოკიდებულია პროდუქტზე (უნდა იყოს 0-ზე ნაკლები), ამ მაგალითში, ანუ მოცემულ განტოლებას აქვს ფესვები.

გადასაჭრელად ვიყენებთ ვიეტას თეორემას:

ამ შემთხვევაში, ვინაიდან ფესვებთან გვაქვს საქმე, ფესვების უბრალოდ მოკრეფა საკმაოდ რთული იქნება. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ კოეფიციენტები დაბალანსებულია, ანუ თუ ჩავთვლით, რომ და ჩავანაცვლებთ ამ მნიშვნელობას განტოლებაში, მაშინ მიიღება შემდეგი სისტემა: ანუ 5-5=0. ამრიგად, ჩვენ ავირჩიეთ ამ კვადრატული განტოლების ერთ-ერთი ფესვი.

ჩვენ ვეძებთ მეორე ფესვს განტოლებათა სისტემაში უკვე ცნობილის ჩანაცვლებით, მაგალითად, ე.ი. .

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი და შეგვიძლია შევცვალოთ მათი მნიშვნელობები თავდაპირველ განტოლებაში, რათა მოხდეს მისი ფაქტორი:

გავიხსენოთ თავდაპირველი პრობლემა, დაგვჭირდა წილადის შემცირება.

შევეცადოთ ამოცანის გადაჭრა მრიცხველის ნაცვლად ჩანაცვლებით.

არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ შემთხვევაში მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ე.ი.

თუ ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ ჩვენ შევამცირეთ საწყისი წილადი ფორმამდე.

დავალება #3 (ამოცანა პარამეტრით)

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი

თუ ამ განტოლების ფესვები არსებობს, მაშინ , საკითხავია როდის .

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია ერთ-ერთი სასკოლო დავალებაა, რომელიც ადრე თუ გვიან ყველას აწყდება. Როგორ გავაკეთო ეს? რა არის კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა? მოდით გადავიდეთ ეტაპობრივად მაგალითებით.

ზოგადი ფორმულა

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია ხორციელდება კვადრატული განტოლების ამოხსნით. ეს არის მარტივი ამოცანა, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია რამდენიმე მეთოდით - დისკრიმინანტის მოძიებით, ვიეტას თეორემის გამოყენებით, არსებობს მისი ამოხსნის გრაფიკული გზაც. პირველ ორ მეთოდს სწავლობენ საშუალო სკოლაში.

ზოგადი ფორმულა ასე გამოიყურება:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

დავალების შესრულების ალგორითმი

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაციისთვის საჭიროა იცოდე ვიტის თეორემა, გქონდეს ხელთ ამოხსნის პროგრამა, შეძლოს ამონახსნის გრაფიკულად პოვნა ან დისკრიმინაციული ფორმულით მეორე ხარისხის განტოლების ფესვების მოძებნა. თუ მოცემულია კვადრატული ტრინომი და ის უნდა იყოს ფაქტორირებული, მოქმედებების ალგორითმი ასეთია:

1) განტოლების მისაღებად ორიგინალური გამოხატულება გაათანაბრეს ნულთან.

2) მიუთითეთ მსგავსი პირობები (საჭიროების შემთხვევაში).

3) იპოვეთ ფესვები ნებისმიერი ცნობილი მეთოდით. გრაფიკული მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, თუ წინასწარ არის ცნობილი, რომ ფესვები არის მთელი და მცირე რიცხვები. უნდა გვახსოვდეს, რომ ფესვების რაოდენობა უდრის განტოლების მაქსიმალურ ხარისხს, ანუ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

4) შემცვლელი ღირებულება Xგამოხატვაში (1).

5) ჩაწერეთ კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია.

მაგალითები

პრაქტიკა საშუალებას გაძლევთ საბოლოოდ გაიგოთ, თუ როგორ სრულდება ეს დავალება. მაგალითები ასახავს კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

თქვენ უნდა გააფართოვოთ გამოხატულება:

მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ალგორითმი:

1) x 2 -17x+32=0

2) მსგავსი ვადები მცირდება

3) Vieta ფორმულის მიხედვით, ძნელია ამ მაგალითის ფესვების პოვნა, ამიტომ უმჯობესია გამოვიყენოთ გამონათქვამი დისკრიმინანტისთვის:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) შეცვალეთ ფესვები, რომლებიც აღმოვაჩინეთ გაფართოების მთავარ ფორმულაში:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) მაშინ პასუხი იქნება:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

მოდით შევამოწმოთ შეესაბამება თუ არა დისკრიმინანტის მიერ ნაპოვნი გადაწყვეტილებები Vieta ფორმულებს:

14,845 . 2,155=32

ამ ფესვებისთვის გამოიყენება ვიეტას თეორემა, ისინი სწორად იქნა ნაპოვნი, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ მიერ მიღებული ფაქტორიზაცია ასევე სწორია.

ანალოგიურად, ჩვენ ვაფართოებთ 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

წინა შემთხვევაში ამონახსნები იყო არა მთელი რიცხვი, მაგრამ რეალური რიცხვები, რომელთა პოვნა ადვილია თქვენს წინაშე არსებული კალკულატორით. ახლა განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, რომელშიც ფესვები რთულია: ფაქტორიზაცია x 2 + 4x + 9. ვიეტას ფორმულის მიხედვით ფესვები ვერ მოიძებნება და დისკრიმინანტი უარყოფითია. ფესვები კომპლექსურ სიბრტყეზე იქნება.

D=-20

ამის საფუძველზე ვიღებთ ჩვენთვის დაინტერესებულ ფესვებს -4 + 2i * 5 1/2 და -4-2i * 5 1/2 რადგან (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

ჩვენ ვიღებთ სასურველ გაფართოებას ფესვების ზოგადი ფორმულით ჩანაცვლებით.

კიდევ ერთი მაგალითი: თქვენ უნდა დაახარისხოთ გამონათქვამი 23x 2 -14x + 7.

ჩვენ გვაქვს განტოლება 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

ასე რომ, ფესვები არის 14+21,166i და 14-21,166ი. პასუხი იქნება:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166ი )*(X- 14+21.166ი ).

მოდით მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს დისკრიმინანტის დახმარების გარეშე.

მოდით, საჭირო გახდეს კვადრატული განტოლების დაშლა x 2 -32x + 255. ცხადია, მისი გადაჭრა დისკრიმინანტითაც შეიძლება, მაგრამ ამ შემთხვევაში ფესვების პოვნა უფრო სწრაფია.

x 1 =15

x2=17

ნიშნავს x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი და ნამრავლი. ფორმულების (59.8) გამოყენებით ზემოაღნიშნული განტოლების ფესვებისთვის ვიღებთ

(პირველი თანასწორობა აშკარაა, მეორე მიიღება მარტივი გამოთვლის შემდეგ, რომელსაც მკითხველი დამოუკიდებლად განახორციელებს; მოსახერხებელია გამოიყენოს ფორმულა ორი რიცხვის ჯამის მათ განსხვავებაზე გასამრავლებლად).

Შემდეგი

ვიეტას თეორემა. მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო მათი ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

შეუმცირებელი კვადრატული განტოლების შემთხვევაში, ფორმულის (60.1) გამონათქვამები უნდა ჩაანაცვლოს ფორმულებში (60.1) და მიიღოს ფორმა.

მაგალითი 1. შეადგინეთ კვადრატული განტოლება მისი ფესვების მიხედვით:

ამოხსნა, ა) ვხვდებით, რომ განტოლებას აქვს ფორმა

მაგალითი 2. იპოვეთ განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი თავად განტოლების ამოხსნის გარეშე.

გადაწყვეტილება. ცნობილია ფესვების ჯამი და ნამრავლი. ჩვენ წარმოვადგენთ კვადრატული ფესვების ჯამს ფორმაში

და მიიღე

Vieta ფორმულებიდან ადვილია ფორმულის მიღება

კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის წესის გამოხატვა.

მართლაც, ჩვენ ვწერთ ფორმულებს (60.2) ფორმაში

ახლა გვაქვს

რაც თქვენ უნდა მიიღოთ.

ვიეტას ფორმულების ზემოაღნიშნული წარმოშობა მკითხველისთვის ცნობილია უმაღლესი სკოლის ალგებრის კურსიდან. სხვა წარმოშობა შეიძლება მივცეთ ბეზუტის თეორემისა და მრავალწევრის ფაქტორიზაციის გამოყენებით (§§ 51, 52).

მოდით განტოლების ფესვები, მაშინ, ზოგადი წესის (52.2) მიხედვით, განტოლების მარცხენა მხარეს ტრინომი ფაქტორიზებულია:

ამ იდენტური ტოლობის მარჯვენა მხარეს ფრჩხილების გაფართოებით, მივიღებთ

ხოლო თანაბარი სიმძლავრის კოეფიციენტების შედარება მოგვცემს ვიეტას ფორმულებს (60.1).

ამ წარმოებულის უპირატესობა ის არის, რომ ის ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებებზე, რათა მივიღოთ გამონათქვამები განტოლების კოეფიციენტებისთვის მისი ფესვების მიხედვით (თავად ფესვების პოვნის გარეშე!). მაგალითად, თუ შემცირებული კუბური განტოლების ფესვები

არსი ისაა, რომ თანასწორობის მიხედვით (52.2) ვპოულობთ

(ჩვენს შემთხვევაში, ტოლობის მარჯვენა მხარეს ფრჩხილების გახსნით და სხვადასხვა ხარისხით კოეფიციენტების შეგროვებით, მივიღებთ

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად. ამისთვის საჭიროა ვიეტას თეორემა და მისი შებრუნებული გავიხსენოთ. ეს უნარი დაგვეხმარება სწრაფად და მოხერხებულად დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად და ასევე გავამარტივოთ გამოსახულებებისაგან შემდგარი წილადების შემცირება.

ასე რომ, დავუბრუნდეთ კვადრატულ განტოლებას, სადაც.

რასაც მარცხენა მხარეს გვაქვს კვადრატული ტრინომი ეწოდება.

თეორემა მართალია:თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ იდენტურობა მართალია

სად არის წამყვანი კოეფიციენტი, არის განტოლების ფესვები.

ასე რომ, გვაქვს კვადრატული განტოლება - კვადრატული ტრინომი, სადაც კვადრატული განტოლების ფესვებს ასევე უწოდებენ კვადრატული ტრინომის ფესვებს. მაშასადამე, თუ გვაქვს კვადრატული ტრინომის ფესვები, მაშინ ეს ტრინომი იშლება წრფივ ფაქტორებად.

მტკიცებულება:

ამ ფაქტის დადასტურება ხორციელდება ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რომელიც განვიხილეთ წინა გაკვეთილებში.

გავიხსენოთ რას გვეუბნება ვიეტას თეორემა:

თუ არის კვადრატული ტრინომის ფესვები, რომლისთვისაც , მაშინ .

ეს თეორემა გულისხმობს შემდეგ მტკიცებას, რომ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ვიეტას თეორემის მიხედვით, ანუ ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ზემოთ მოცემულ ფორმულაში, მივიღებთ შემდეგ გამონათქვამს.

ქ.ე.დ.

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა, რომ თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ დაშლა მართებულია.

ახლა გავიხსენოთ კვადრატული განტოლების მაგალითი, რომლის ფესვები ვიეტას თეორემის გამოყენებით შევარჩიეთ. ამ ფაქტიდან ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი ტოლობა დადასტურებული თეორემის წყალობით:

ახლა მოდით შევამოწმოთ ამ ფაქტის სისწორე უბრალოდ ფრჩხილების გაფართოებით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ჩვენ სწორად გავაფართოვეთ და ნებისმიერი ტრინომი, თუ მას აქვს ფესვები, შეიძლება ამ თეორემის მიხედვით გადანაწილდეს წრფივ ფაქტორებად ფორმულის მიხედვით

თუმცა, მოდით შევამოწმოთ, შესაძლებელია თუ არა რომელიმე განტოლებისთვის ასეთი ფაქტორიზაცია:

მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება. ჯერ შევამოწმოთ დისკრიმინანტის ნიშანი

და გვახსოვს, რომ ნასწავლი თეორემის შესასრულებლად D უნდა იყოს 0-ზე მეტი, შესაბამისად, ამ შემთხვევაში შესწავლილი თეორემის მიხედვით ფაქტორიზაცია შეუძლებელია.

ამიტომ, ჩვენ ვაყალიბებთ ახალ თეორემას: თუ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები, მაშინ ის არ შეიძლება დაიშალოს წრფივ ფაქტორებად.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ვიეტას თეორემა, კვადრატული ტრინომის წრფივ ფაქტორებად დაშლის შესაძლებლობა და ახლა მოვაგვარებთ რამდენიმე პრობლემას.

დავალება #1

ამ ჯგუფში ჩვენ რეალურად მოვაგვარებთ პრობლემას დასმულის საპირისპიროდ. ჩვენ გვქონდა განტოლება და ვიპოვეთ მისი ფესვები, ფაქტორებად დაშლა. აქ ჩვენ პირიქით მოვიქცევით. ვთქვათ, გვაქვს კვადრატული განტოლების ფესვები

შებრუნებული პრობლემა ასეთია: დაწერეთ კვადრატული განტოლება ისე, რომ იყო მისი ფესვები.

ამ პრობლემის მოგვარების 2 გზა არსებობს.

ვინაიდან არის განტოლების ფესვები, მაშინ არის კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებზე მოცემულია რიცხვები. ახლა გავხსნათ ფრჩხილები და შევამოწმოთ:

ეს იყო პირველი გზა ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება მოცემული ფესვებით, რომელსაც სხვა ფესვები არ აქვს, რადგან ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ორი ფესვი.

ეს მეთოდი მოიცავს შებრუნებული ვიეტას თეორემის გამოყენებას.

თუ განტოლების ფესვებია, მაშინ ისინი აკმაყოფილებენ იმ პირობას, რომ .

შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის , ანუ ამ შემთხვევაში და .

ამრიგად, ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება, რომელსაც აქვს მოცემული ფესვები.

დავალება #2

თქვენ უნდა შეამციროთ ფრაქცია.

ჩვენ გვაქვს ტრინომი მრიცხველში და ტრინომი მნიშვნელში და ტრინომები შეიძლება იყოს ან არა ფაქტორიზირებული. თუ ორივე მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზებულია, მაშინ მათ შორის შეიძლება იყოს თანაბარი ფაქტორები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს.

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია მრიცხველის ფაქტორიზირება.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ, შეიძლება თუ არა ამ განტოლების ფაქტორირება, იპოვნეთ დისკრიმინანტი. ვინაიდან , მაშინ ნიშანი დამოკიდებულია პროდუქტზე (უნდა იყოს 0-ზე ნაკლები), ამ მაგალითში, ანუ მოცემულ განტოლებას აქვს ფესვები.

გადასაჭრელად ვიყენებთ ვიეტას თეორემას:

ამ შემთხვევაში, ვინაიდან ფესვებთან გვაქვს საქმე, ფესვების უბრალოდ მოკრეფა საკმაოდ რთული იქნება. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ კოეფიციენტები დაბალანსებულია, ანუ თუ ჩავთვლით, რომ და ჩავანაცვლებთ ამ მნიშვნელობას განტოლებაში, მაშინ მიიღება შემდეგი სისტემა: ანუ 5-5=0. ამრიგად, ჩვენ ავირჩიეთ ამ კვადრატული განტოლების ერთ-ერთი ფესვი.

ჩვენ ვეძებთ მეორე ფესვს განტოლებათა სისტემაში უკვე ცნობილის ჩანაცვლებით, მაგალითად, ე.ი. .

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი და შეგვიძლია შევცვალოთ მათი მნიშვნელობები თავდაპირველ განტოლებაში, რათა მოხდეს მისი ფაქტორი:

გავიხსენოთ თავდაპირველი პრობლემა, დაგვჭირდა წილადის შემცირება.

შევეცადოთ ამოცანის გადაჭრა მრიცხველის ნაცვლად ჩანაცვლებით.

არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ შემთხვევაში მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ე.ი.

თუ ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ ჩვენ შევამცირეთ საწყისი წილადი ფორმამდე.

დავალება #3 (ამოცანა პარამეტრით)

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი

თუ ამ განტოლების ფესვები არსებობს, მაშინ , საკითხავია როდის .

კვადრატული ტრინომი არის ax^2+bx+c ფორმის მრავალწევრი, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და a არ არის ნულის ტოლი.
სინამდვილეში, პირველი, რაც უნდა ვიცოდეთ უბედური ტრინომის ფაქტორიზაციისთვის, არის თეორემა. ეს ასე გამოიყურება: „თუ x1 და x2 არის კვადრატული ტრინომის ax^2+bx+c ფესვები, მაშინ ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)“. რა თქმა უნდა, არსებობს ამ თეორემის მტკიცებულებაც, მაგრამ ის მოითხოვს გარკვეულ თეორიულ ცოდნას (თუ ამოვიღებთ a ფაქტორს მრავალწევრში ax^2+bx+c მივიღებთ ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) ვიეტის თეორემით x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, აქედან გამომდინარე b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), ასე რომ ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ზოგჯერ მასწავლებლები გაიძულებენ ისწავლო მტკიცებულება, მაგრამ თუ ეს ასეა არ არის საჭირო, გირჩევთ უბრალოდ დაიმახსოვროთ საბოლოო ფორმულა.

2 ნაბიჯი

მაგალითისთვის ავიღოთ ტრინომიალი 3x^2-24x+21. პირველი, რაც უნდა გავაკეთოთ არის ტრინომის ნულის გათანაბრება: 3x^2-24x+21=0. შედეგად მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვები იქნება ტრინომის ფესვები, შესაბამისად.

3 ნაბიჯი

ამოხსენით განტოლება 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. მაშ ასე, გადავწყვიტოთ. ვინც არ იცის როგორ ამოხსნას კვადრატული განტოლებები, გადახედეთ ჩემს ინსტრუქციას მათი ამოხსნის 2 ხერხით, იგივე განტოლების მაგალითის გამოყენებით. მივიღეთ ფესვები x1=7, x2=1.

4 ნაბიჯი

ახლა, როცა გვაქვს ტრინომალური ფესვები, შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავანაცვლოთ ისინი ფორმულაში =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
ვიღებთ: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
შეგიძლიათ მოიშოროთ ტერმინი a ფრჩხილებში ჩასვით: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
შედეგად ვიღებთ: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). შენიშვნა: თითოეული მიღებული ფაქტორი ((x-7), (3x-3) არის პირველი ხარისხის პოლინომები. ეს არის მთელი დაშლა =) თუ მიღებულ პასუხში ეჭვი გეპარებათ, ყოველთვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ ის ფრჩხილების გამრავლებით.

5 ნაბიჯი

ხსნარის შემოწმება. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. ახლა ჩვენ ზუსტად ვიცით, რომ ჩვენი გამოსავალი სწორია! იმედი მაქვს, რომ ჩემი ინსტრუქციები ვინმეს დაეხმარება =) წარმატებებს გისურვებთ სწავლაში!

• ჩვენს შემთხვევაში, განტოლებაში D > 0 და მივიღეთ თითო 2 ფესვი. ეს რომ იყოს დ<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• თუ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები, მაშინ ის არ შეიძლება ჩაითვალოს პირველი ხარისხის მრავალწევრებში.