დავალებაში B14 USE-დან მათემატიკაში, თქვენ უნდა იპოვოთ ერთი ცვლადის ფუნქციის უმცირესი ან უდიდესი მნიშვნელობა. ეს საკმაოდ ტრივიალური პრობლემაა მათემატიკური ანალიზიდან და სწორედ ამ მიზეზით, ყოველი საშუალო სკოლის კურსდამთავრებულს შეუძლია და უნდა ისწავლოს მისი ნორმალურად გადაჭრა. მოდით გავაანალიზოთ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც სკოლის მოსწავლეებმა გადაჭრეს მათემატიკაში სადიაგნოსტიკო სამუშაოზე, რომელიც ჩატარდა მოსკოვში 2011 წლის 7 დეკემბერს.

იმ ინტერვალიდან გამომდინარე, რომელზედაც გსურთ იპოვოთ ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა, ამ პრობლემის გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი სტანდარტული ალგორითმები.

I. ალგორითმი სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად:

• იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული.
• ექსტრემზე ეჭვმიტანილი წერტილებიდან აირჩიეთ ის, რაც მიეკუთვნება მოცემულ სეგმენტს და ფუნქციის დომენს.
• გამოთვალეთ მნიშვნელობები ფუნქციები(არა წარმოებული!) ამ წერტილებში.
• მიღებულ მნიშვნელობებს შორის აირჩიეთ ყველაზე დიდი ან ყველაზე პატარა, ეს იქნება სასურველი.

მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა
წ = x 3 – 18x 2 + 81x+23 სეგმენტზე.

გამოსავალი:ჩვენ ვმოქმედებთ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნის ალგორითმის მიხედვით:

• ფუნქციის ფარგლები შეზღუდული არ არის: D(y) = რ.
• ფუნქციის წარმოებული არის: შენ = 3x 2 – 36x+ 81. ფუნქციის წარმოებულის ფარგლები ასევე არ არის შეზღუდული: D(y') = რ.
• წარმოებულის ნულები: შენ = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, ასე რომ x 2 – 12x+ 27 = 0, საიდანაც x= 3 და x= 9, ჩვენი ინტერვალი მოიცავს მხოლოდ x= 9 (ერთი ქულა საეჭვოა ექსტრემისთვის).
• ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას ექსტრემის საეჭვო წერტილში და ინტერვალის კიდეებზე. გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ჩვენ წარმოვადგენთ ფუნქციას სახით: წ = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • წ(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • წ(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • წ(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

ასე რომ, მიღებული მნიშვნელობებიდან ყველაზე პატარა არის 23. პასუხი: 23.

II. ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის პოვნის ალგორითმი:

• იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები.
• იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული.
• დაადგინეთ წერტილები, რომლებიც საეჭვოა ექსტრემის მიმართ (ის წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ქრება და წერტილები, რომლებშიც არ არის ორმხრივი სასრულ წარმოებული).
• მონიშნეთ ეს წერტილები და ფუნქციის დომენი რიცხვით წრფეზე და განსაზღვრეთ ნიშნები წარმოებული(არა ფუნქციები!) მიღებულ ინტერვალებზე.
• განსაზღვრეთ ღირებულებები ფუნქციები(არა წარმოებული!) მინიმალურ წერტილებში (იმ წერტილებში, რომლებზეც წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუს-დან პლუსზე), ამ მნიშვნელობებიდან ყველაზე პატარა იქნება ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა. თუ არ არის მინიმალური ქულები, მაშინ ფუნქციას არ აქვს მინიმალური მნიშვნელობა.
• განსაზღვრეთ ღირებულებები ფუნქციები(არა წარმოებული!) მაქსიმალურ წერტილებზე (ის პუნქტები, რომლებზეც წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე), ამ მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი იქნება ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა. თუ არ არის მაქსიმალური ქულები, მაშინ ფუნქციას არ აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა.

მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა.

2020 წლის ივლისში NASA იწყებს ექსპედიციას მარსზე. კოსმოსური ხომალდი მარსს მიაწვდის ელექტრონულ გადამზიდველს ექსპედიციის ყველა რეგისტრირებული წევრის სახელებით.

თუ ამ პოსტმა გადაჭრა თქვენი პრობლემა ან უბრალოდ მოგეწონათ, გაუზიარეთ ბმული თქვენს მეგობრებს სოციალურ ქსელებში.

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის დაან ტეგის შემდეგ . პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და იტვირთება MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, მაშინ ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვით, მაშინ გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად ყველაზე მარტივი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ წარმოდგენილი დატვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისამდე (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). Სულ ეს არის. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ მათემატიკის ფორმულების ჩასართავად თქვენს ვებ გვერდებზე.

კიდევ ერთი ახალი წლის ღამე... ყინვაგამძლე ამინდი და ფიფქები ფანჯრის მინაზე... ამ ყველაფერმა მიბიძგა კიდევ ერთხელ დავწერო... ფრაქტალებზე და რა იცის ამის შესახებ ვოლფრამ ალფამ. ამ შემთხვევაში, არის საინტერესო სტატია, რომელშიც არის ორგანზომილებიანი ფრაქტალური სტრუქტურების მაგალითები. აქ განვიხილავთ სამგანზომილებიანი ფრაქტალების უფრო რთულ მაგალითებს.

ფრაქტალი შეიძლება ვიზუალურად იყოს წარმოდგენილი (აღწერილი) როგორც გეომეტრიული ფიგურა ან სხეული (რაც ნიშნავს, რომ ორივე არის ერთობლიობა, ამ შემთხვევაში, წერტილების ნაკრები), რომელთა დეტალებს იგივე ფორმა აქვს, რაც თავად თავდაპირველ ფიგურას. ანუ, ეს არის საკუთარი თავის მსგავსი სტრუქტურა, რომლის დეტალების გათვალისწინებით, გადიდებისას დავინახავთ იგივე ფორმას, რაც გადიდების გარეშე. მაშინ როცა ჩვეულებრივი გეომეტრიული ფიგურის შემთხვევაში (არა ფრაქტალი), მასშტაბირებისას დავინახავთ დეტალებს, რომლებსაც უფრო მარტივი ფორმა აქვთ, ვიდრე თავად თავდაპირველ ფიგურას. მაგალითად, საკმარისად მაღალი გადიდებისას, ელიფსის ნაწილი სწორი ხაზის სეგმენტს ჰგავს. ეს არ ხდება ფრაქტალებთან: მათი ნებისმიერი გაზრდისას ჩვენ კვლავ დავინახავთ იმავე რთულ ფორმას, რომელიც ყოველი გაზრდისას მეორდება ისევ და ისევ.

ბენუა მანდელბროტი, ფრაქტალების მეცნიერების ფუძემდებელი, თავის სტატიაში ფრაქტალები და ხელოვნება მეცნიერებისთვის წერდა: „ფრაქტალები არის გეომეტრიული ფორმები, რომლებიც ისეთივე რთულია მათი დეტალებით, როგორც მთლიანი ფორმით. ანუ, თუ ფრაქტალის ნების ნაწილია. გადიდდეს მთლიანის ზომამდე, ის გამოიყურება როგორც მთლიანი, ან ზუსტად, ან შესაძლოა მცირე დეფორმაციით.

დაუშვით ფუნქცია y=ვ(X)უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ]. როგორც ცნობილია, ასეთი ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ ინტერვალზე. ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ეს მნიშვნელობები სეგმენტის შიდა წერტილში [ ა, ბ], ან სეგმენტის საზღვარზე.

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად [ ა, ბ] აუცილებელი:

1) იპოვნეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები ინტერვალში ( ა, ბ);

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილებში;

3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში, ანუ ამისთვის x=ადა x = ბ;

4) ფუნქციის ყველა გამოთვლილი მნიშვნელობიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

მაგალითი.იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

სეგმენტზე.

კრიტიკული წერტილების პოვნა:

ეს წერტილები დევს სეგმენტის შიგნით; წ(1) = ‒ 3; წ(2) = ‒ 4; წ(0) = ‒ 8; წ(3) = 1;

წერტილში x= 3 და წერტილში x= 0.

ამოზნექილობისა და დახრის წერტილის ფუნქციის გამოკვლევა.

ფუნქცია წ = ვ (x) დაურეკა ამოზნექილიშორის (ა, ბ) , თუ მისი გრაფიკი დევს ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში დახატული ტანგენტის ქვეშ და ე.წ ამოზნექილი ქვემოთ (ჩაზნექილი)თუ მისი გრაფიკი ტანგენსზე მაღლა დგას.

გადასვლის წერტილს, რომლის მეშვეობითაც ამოზნექილი ჩაზნექილი იცვლება ან პირიქით, ე.წ. დახრის წერტილი.

ამოზნექილობისა და დახრის წერტილის შესწავლის ალგორითმი:

1. იპოვეთ მეორე სახის კრიტიკული წერტილები, ანუ ის წერტილები, რომლებშიც მეორე წარმოებული ტოლია ან არ არსებობს.

2. დააყენეთ კრიტიკული წერტილები რიცხვით წრფეზე, დაყავით იგი ინტერვალებად. იპოვეთ მეორე წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე; თუ , მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ, თუ, მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ქვევით.

3. თუ მეორე სახის კრიტიკულ წერტილში გავლისას ის იცვლის ნიშანს და ამ დროს მეორე წარმოებული ნულის ტოლია, მაშინ ეს წერტილი არის დახრის წერტილის აბსცისა. იპოვეთ მისი ორდინატი.

ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები. ფუნქციის გამოკვლევა ასიმპტოტებად.

განმარტება.ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი ეწოდება სწორი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ დიაგრამის ნებისმიერი წერტილიდან ამ წრფემდე მანძილი ნულისკენ მიისწრაფვის გრაფის წერტილის შეუზღუდავი ამოღებით საწყისიდან.

არსებობს სამი სახის ასიმპტოტები: ვერტიკალური, ჰორიზონტალური და დახრილი.

განმარტება.დაურეკა პირდაპირ ვერტიკალური ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)თუ ფუნქციის ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც უდრის უსასრულობას, ეს არის

სად არის ფუნქციის შეწყვეტის წერტილი, ანუ ის არ განეკუთვნება განსაზღვრების სფეროს.

მაგალითი.

დ( წ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - წყვეტის წერტილი.

განმარტება.პირდაპირ y=ადაურეკა ჰორიზონტალური ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)ზე, თუ

მაგალითი.

x
წ

განმარტება.პირდაპირ y=კx +ბ (კ≠ 0) ეწოდება ირიბი ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)სად

ფუნქციების შესწავლისა და შედგენის ზოგადი სქემა.

ფუნქციების კვლევის ალგორითმიy = f(x) :

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი დ (წ).

2. იპოვნეთ (თუ შესაძლებელია) გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან (ერთად x= 0 და ზე წ = 0).

3. გამოიკვლიეთ ლუწი და კენტი ფუნქციები ( წ (‒ x) = წ (x) ‒ პარიტეტი; წ(‒ x) = ‒ წ (x) ‒ უცნაური).

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

5. იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები.

6. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

7. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის (ჩაზნექის) და გადახრის წერტილები.

8. ჩატარებული კვლევის საფუძველზე ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ ფუნქცია და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

1) დ (წ) =

x= 4 - წყვეტის წერტილი.

2) როდის x = 0,

(0; – 5) – გადაკვეთის წერტილი ოი.

ზე წ = 0,

3) წ(‒ x)= ზოგადი ფუნქცია (არც ლუწი და არც კენტი).

4) ჩვენ ვიკვლევთ ასიმპტოტებს.

ა) ვერტიკალური

ბ) ჰორიზონტალური

გ) იპოვეთ ირიბი ასიმპტოტები სად

‒ირიბი ასიმპტოტის განტოლება

5) ამ განტოლებაში არ არის საჭირო ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალების პოვნა.

6)

ეს კრიტიკული წერტილები ანაწილებენ ფუნქციის მთელ დომენს ინტერვალზე (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) და (10; +∞). მოსახერხებელია მიღებული შედეგების წარმოდგენა შემდეგი ცხრილის სახით:

				არანაირი ზედმეტი.

ცხრილიდან ჩანს, რომ წერტილი X= ‒2‒მაქსიმალური წერტილი, წერტილში X= 4‒ ექსტრემის გარეშე, X= 10 – მინიმალური ქულა.

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა (‒ 3) განტოლებაში:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

ამ ფუნქციის მაქსიმუმია

(– 2; – 4) – მაქსიმალური ექსტრემუმი.

ამ ფუნქციის მინიმალურია

(10; 20) არის მინიმალური ექსტრემუმი.

7) შეისწავლეთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილი და დახრის წერტილი

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების კონცეფცია.

ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების კონცეფცია მჭიდრო კავშირშია ფუნქციის კრიტიკული წერტილის კონცეფციასთან.

განმარტება 1

$x_0$ ეწოდება $f(x)$ ფუნქციის კრიტიკულ წერტილს, თუ:

1) $x_0$ - განმარტების დომენის შიდა წერტილი;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ან არ არსებობს.

ახლა შემოვიღოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების განმარტებები.

განმარტება 2

ფუნქცია $y=f(x)$, რომელიც განსაზღვრულია $X$-ის ინტერვალზე, აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, თუ არსებობს $x_0\X$-ში ისეთი წერტილი, რომ ყველა $x\in X$-ში უტოლობა

განმარტება 3

ფუნქცია $y=f(x)$, რომელიც განსაზღვრულია $X$ ინტერვალზე, აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას, თუ არსებობს $x_0\X$-ში ისეთი წერტილი, რომ ყველა $x\in X$-ში უტოლობა

ვაიერშტრასის თეორემა ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის შესახებ

ჯერ შემოვიღოთ ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის კონცეფცია:

განმარტება 4

$f\left(x\right)$ ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი $$ ინტერვალზე, თუ ის უწყვეტია $(a,b)$ ინტერვალის ყველა წერტილში და ასევე უწყვეტი მარჯვნივ $x= წერტილში. a$ და მარცხნივ $x =b$ წერტილში.

ჩამოვაყალიბოთ თეორემა ინტერვალზე უწყვეტ ფუნქციაზე.

თეორემა 1

ვაიერშტრასის თეორემა

ფუნქცია $f\left(x\right)$, რომელიც უწყვეტია $$-ის ინტერვალზე, აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ ინტერვალზე, ანუ არის $\alpha,\beta \$-ში ასეთი წერტილები. რომ ყველა $x\in $ უტოლობა $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

თეორემის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ნაჩვენებია სურათზე 1.

აქ ფუნქცია $f(x)$ აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას $x=\alpha $ აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას $x=\beta $ წერტილში.

$f(x)$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის სქემა $$ სეგმენტზე

1) იპოვეთ წარმოებული $f"(x)$;

2) იპოვეთ წერტილები, სადაც წარმოებული $f"\left(x\right)=0$;

3) იპოვეთ წერტილები, სადაც $f"(x)$ წარმოებული არ არსებობს;

4) მე-2 და მე-3 პუნქტებში მიღებული ქულებიდან აირჩიეთ ის, რომელიც ეკუთვნის $$ სეგმენტს;

5) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მე-4 საფეხურზე მიღებულ წერტილებზე, ასევე $$ სეგმენტის ბოლოებზე;

6) ამოირჩიეთ მიღებული მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი და ყველაზე პატარა მნიშვნელობა.

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემები

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

გამოსავალი.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\in \მარცხნივ,\ 3\$-ში;

5) ღირებულებები:

\ \ \ \

6) ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი არის $33$, ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე პატარა არის $1$. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ:

პასუხი:$max=33,\ min=1$.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

გამოსავალი.

გადაწყვეტა განხორციელდება ზემოაღნიშნული სქემის მიხედვით.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ არსებობს განმარტების დომენის ყველა წერტილში;

4) $ -3\არათ\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 4) 4) 4) $ -3

5) ღირებულებები:

\ \ \

6) ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი არის $225$, ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე პატარა არის $50$. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ:

პასუხი:$max=225,\ min=50$.

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

გამოსავალი.

გადაწყვეტა განხორციელდება ზემოაღნიშნული სქემის მიხედვით.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ არ არსებობს $x=1$ წერტილში

4) $3\არა \მარცხნივ[-2,2\მარჯვნივ],\ -1\მარცხნივ[-2,2\მარჯვნივ],\ 1\მარცხნივ[-2,2\მარჯვნივ]$, თუმცა 1 არ ეკუთვნის ფარგლებს;

5) ღირებულებები:

\ \ \

6) ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი არის $1$, ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე პატარა არის $-8\frac(1)(3)$. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ: \end(enumerate)

პასუხი:$max=1,\ min==-8\frac(1)(3)$.

ქვემოთ მოყვანილი ფიგურები გვიჩვენებს, თუ სად შეიძლება მიაღწიოს ფუნქციას უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობას. მარცხენა ფიგურაში უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები ფიქსირდება ფუნქციის ლოკალური მინიმალური და მაქსიმუმის წერტილებზე. მარჯვენა ფიგურაში - სეგმენტის ბოლოებში.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ] , შემდეგ ის აღწევს ამ სეგმენტზე სულ მცირე და უმაღლესი ღირებულებები . ეს, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, შეიძლება მოხდეს ნებისმიერში ექსტრემალური წერტილებიან სეგმენტის ბოლოებში. ამიტომ, რომ იპოვოთ სულ მცირე და ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობები , უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ], თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობები ყველაში კრიტიკული წერტილებიდა სეგმენტის ბოლოებში, შემდეგ კი აირჩიეთ მათგან ყველაზე პატარა და უდიდესი.

მოდით, მაგალითად, საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობის განსაზღვრა ვ(x) სეგმენტზე [ ა, ბ] . ამისათვის იპოვნეთ მისი ყველა კრიტიკული წერტილი, რომელიც მდებარეობს [ ა, ბ] .

კრიტიკული წერტილი ეწოდება წერტილი, სადაც ფუნქცია განსაზღვრულია, და ის წარმოებულიარის ნული ან არ არსებობს. შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში. და ბოლოს, უნდა შევადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში ( ვ(ა) და ვ(ბ) ). ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი იქნება ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ინტერვალზე [ა, ბ] .

პოვნის პრობლემა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობები .

ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 2] .

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს. გაუტოლეთ წარმოებული ნულს () და მიიღეთ ორი კრიტიკული წერტილი: და . მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად საკმარისია მისი მნიშვნელობების გამოთვლა სეგმენტის ბოლოებში და წერტილში, რადგან წერტილი არ ეკუთვნის სეგმენტს [-1, 2] . ეს ფუნქციის მნიშვნელობები შემდეგია: , , . Აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა(ქვემოთ გრაფიკზე მონიშნულია წითლად), ტოლია -7, მიიღწევა სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში - წერტილში, და უდიდესი(გრაფიკაზე ასევე წითელი), უდრის 9-ს, - კრიტიკულ წერტილში.

თუ ფუნქცია უწყვეტია გარკვეულ ინტერვალში და ეს ინტერვალი არ არის სეგმენტი (მაგრამ არის, მაგალითად, ინტერვალი; განსხვავება ინტერვალსა და სეგმენტს შორის: ინტერვალის სასაზღვრო წერტილები არ შედის ინტერვალში, მაგრამ სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები შედის სეგმენტში), მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის შეიძლება არ იყოს ყველაზე პატარა და უდიდესი. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ სურათზე გამოსახული ფუნქცია უწყვეტია ]-∞, +∞[-ზე და არ აქვს უდიდესი მნიშვნელობა.

თუმცა, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (დახურული, ღია ან უსასრულო) მოქმედებს უწყვეტი ფუნქციების შემდეგი თვისება.

გამოთვლების დროს თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ წარმოებულების კალკულატორი .

მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 3] .

გამოსავალი. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ, როგორც კოეფიციენტის წარმოებულს:

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რაც გვაძლევს ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის [-1, 3] ინტერვალს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

მოდით შევადაროთ ეს ღირებულებები. დასკვნა: -5/13-ის ტოლია, წერტილში და უდიდესი ღირებულებაუდრის 1 წერტილში.

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების ძიებას

არიან მასწავლებლები, რომლებიც ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის თემაზე არ აძლევენ მოსწავლეებს უფრო რთულ მაგალითებს, ვიდრე ახლახან განვიხილეთ, ანუ ისეთები, რომლებშიც ფუნქცია არის მრავალწევრი ან წილადი, მრიცხველი. და რომლის მნიშვნელიც არის მრავალწევრები. მაგრამ ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ასეთი მაგალითებით, რადგან მასწავლებლებს შორის არიან სტუდენტების სრული აზროვნების მოყვარულები (წარმოებულების ცხრილი). ამიტომ გამოყენებული იქნება ლოგარითმი და ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი 8. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ როგორც პროდუქტის წარმოებული :

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რომელიც იძლევა ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

ყველა მოქმედების შედეგი: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას 0-ის ტოლი, წერტილში და წერტილში და უდიდესი ღირებულებატოლია ე² , წერტილში .

გამოთვლების დროს თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ წარმოებულების კალკულატორი .

მაგალითი 9. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს:

გამოიტანეთ წარმოებული ნულთან:

ერთადერთი კრიტიკული წერტილი ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

დასკვნა: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას, ტოლია , წერტილში და უდიდესი ღირებულება, ტოლია , წერტილში .

გამოყენებული ექსტრემალური პრობლემების დროს უმცირესი (ყველაზე დიდი) ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნა, როგორც წესი, მცირდება მინიმალურის (მაქსიმუმის) პოვნამდე. მაგრამ უფრო დიდი პრაქტიკული ინტერესი არ არის თვით მინიმუმები ან მაქსიმუმები, არამედ არგუმენტების ღირებულებები, რომლითაც ისინი მიიღწევა. გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას წარმოიქმნება დამატებითი სირთულე - ფუნქციების შედგენა, რომელიც აღწერს განსახილველ ფენომენს ან პროცესს.

მაგალითი 10 4 ცალი ტევადობის ავზი, რომელსაც აქვს კვადრატული ფუძის მქონე პარალელეპიპედის ფორმა და ზემოდან ღია, უნდა იყოს დაკონსერვებული. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები, რომ დაფაროს იგი მინიმალური რაოდენობით?

გამოსავალი. დაე x- ბაზის მხარე თ- ავზის სიმაღლე, ს- მისი ზედაპირის ფართობი საფარის გარეშე, ვ- მისი მოცულობა. ავზის ზედაპირის ფართობი გამოიხატება ფორმულით, ე.ი. არის ორი ცვლადის ფუნქცია. გამოხატოს სერთი ცვლადის ფუნქციად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ , საიდან . ნაპოვნი გამონათქვამის ჩანაცვლება თფორმულაში შევიდა ს:

მოდით განვიხილოთ ეს ფუნქცია ექსტრემისთვის. ის ყველგან არის განსაზღვრული და დიფერენცირებადი ]0, +∞[ და

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს () და ვპოულობთ კრიტიკულ წერტილს. გარდა ამისა, როდესაც წარმოებული არ არსებობს, მაგრამ ეს მნიშვნელობა არ შედის განმარტების დომენში და, შესაბამისად, არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი. ასე რომ, - ერთადერთი კრიტიკული წერტილი. მოდით შევამოწმოთ ის ექსტრემის არსებობაზე მეორე საკმარისი ნიშნის გამოყენებით. ვიპოვოთ მეორე წარმოებული. როდესაც მეორე წარმოებული მეტია ნულზე (). ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ფუნქცია მიაღწევს მინიმუმს . რადგან ეს მინიმალური - ამ ფუნქციის ერთადერთი ექსტრემი, ეს არის მისი ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. ასე რომ, ავზის ძირის მხარე უნდა იყოს 2 მ, ხოლო მისი სიმაღლე.

გამოთვლების დროს თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ