ბევრი გამყოფი

განვიხილოთ შემდეგი ამოცანა: იპოვეთ 140 რიცხვის გამყოფი. აშკარაა, რომ რიცხვ 140-ს აქვს არა ერთი გამყოფი, არამედ რამდენიმე. ასეთ შემთხვევებში, ამბობენ, რომ დავალება აქვს რამოდენიმეგადაწყვეტილებები. მოდი ვიპოვოთ ისინი ყველა. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვყოფთ ამ რიცხვს პირველ ფაქტორებად:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მარტივად დავწეროთ ყველა გამყოფი. დავიწყოთ მარტივი გამყოფებით, ანუ ისინი, რომლებიც წარმოდგენილია ზემოთ მოცემულ გაფართოებაში:

შემდეგ ჩვენ ვწერთ მათ, რომლებიც მიიღება მარტივი გამყოფების წყვილი გამრავლებით:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

შემდეგ - ისინი, რომლებიც შეიცავს სამ მარტივ გამყოფს:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

დაბოლოს, არ დავივიწყოთ ერთეული და თავად რღვევა რიცხვი:

ჩვენ მიერ ნაპოვნი ყველა გამყოფი ყალიბდება რამოდენიმე 140 რიცხვის გამყოფები, რომელიც იწერება ხვეული ბრეკეტების გამოყენებით:

რიცხვის გამყოფთა სიმრავლე 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

აღქმის მოხერხებულობისთვის ჩვენ აქ დავწერეთ გამყოფები ( კომპლექტის ელემენტები) ზრდადი თანმიმდევრობით, მაგრამ ზოგადად რომ ვთქვათ, ეს არ არის აუცილებელი. გარდა ამისა, შემოგთავაზებთ აბრევიატურას. "140 რიცხვის გამყოფთა სიმრავლის" ნაცვლად დავწერთ "D (140)". ამრიგად,

ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ გამყოფთა სიმრავლე ნებისმიერი სხვა ნატურალური რიცხვისთვის. მაგალითად, დაშლისგან

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

ჩვენ ვიღებთ:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

ყველა გამყოფთა სიმრავლიდან უნდა განვასხვავოთ მარტივი გამყოფების სიმრავლე, რომლებიც 140 და 105 რიცხვებისთვის შესაბამისად ტოლია:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ 140 რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას ორი არის ორჯერ, ხოლო PD(140) სიმრავლეში მხოლოდ ერთია. PD(140) სიმრავლე, არსებითად, არის ყველა პასუხი პრობლემაზე: „იპოვე 140 რიცხვის უბრალო კოეფიციენტი“. გასაგებია, რომ ერთი და იგივე პასუხი ერთზე მეტჯერ არ უნდა განმეორდეს.

ფრაქციების შემცირება. უდიდესი საერთო გამყოფი

განვიხილოთ წილადი

ჩვენ ვიცით, რომ ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს რიცხვით, რომელიც არის მრიცხველის (105) გამყოფიც და მნიშვნელის (140) გამყოფიც. ვნახოთ D(105) და D(140) სიმრავლეები და დავწეროთ მათი საერთო ელემენტები.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

D(105) და D(140) = კომპლექტების საერთო ელემენტები

ბოლო ტოლობა შეიძლება დაიწეროს უფრო მოკლედ, კერძოდ:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

აქ სპეციალური ხატულა "∩" ("ჩანთა ნახვრეტით ქვემოთ") უბრალოდ მიუთითებს, რომ მის მოპირდაპირე მხარეს დაწერილი ორი ნაკრებიდან უნდა შეირჩეს მხოლოდ საერთო ელემენტები. ჩანაწერში "D (105) ∩ D (140)" ნათქვამია " კვეთა Te-ს ნაკრები 105-დან და Te 140-დან.

[გაითვალისწინეთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ორობითი ოპერაციები კომპლექტებით, თითქმის როგორც რიცხვებით. კიდევ ერთი გავრცელებული ორობითი ოპერაცია არის კავშირი, რომელიც მითითებულია ხატულა "∪" ("ჩანთა ნახვრეტით"). ორი კომპლექტის გაერთიანება მოიცავს ორივე ნაკრების ყველა ელემენტს:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ წილადი

შეიძლება შემცირდეს ნაკრების კუთვნილ ნებისმიერ რიცხვამდე

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

და არ შეიძლება შემცირდეს სხვა ნატურალური რიცხვით. აქ მოცემულია შემცირების ყველა შესაძლო გზა (გარდა ერთით უინტერესო შემცირებისა):

აშკარაა, რომ ყველაზე პრაქტიკულია წილადის შემცირება რიცხვით, თუ შესაძლებელია, უფრო დიდით. ამ შემთხვევაში, ეს არის რიცხვი 35, რომელიც ნათქვამია ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი (GCD) ნომრები 105 და 140. ეს იწერება როგორც

gcd(105, 140) = 35.

თუმცა, პრაქტიკაში, თუ გვეძლევა ორი რიცხვი და უნდა ვიპოვოთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი, ჩვენ საერთოდ არ მოგვიწევს რაიმე სიმრავლის აგება. საკმარისია უბრალოდ ორივე რიცხვი გავერთიანდეთ მარტივ ფაქტორებად და ხაზი გავუსვათ ამ ფაქტორებს, რომლებიც საერთოა ორივე ფაქტორიზაციისთვის, მაგალითად:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

ხაზგასმული რიცხვების გამრავლებით (ნებისმიერ გაფართოებაში) მივიღებთ:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ორზე მეტი ხაზგასმული ფაქტორი იყოს:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

აქედან ირკვევა, რომ

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

განსაკუთრებული აღნიშვნა იმსახურებს სიტუაციას, როდესაც საერთოდ არ არსებობს საერთო ფაქტორები და არაფერია ხაზგასმული, მაგალითად:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Ამ შემთხვევაში,

gcd(42, 55) = 1.

ორი ნატურალური რიცხვი, რომლებისთვისაც gcd უდრის ერთს, ეწოდება კოპრაიმი. თუ თქვენ გააკეთებთ წილადს ასეთი რიცხვებისგან, მაგალითად,

მაშინ ასეთი წილადია შეუმცირებელი.

ზოგადად, წილადების შემცირების წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

		ა/ gcd( ა, ბ)
		ბ/ gcd( ა, ბ)

აქ ვარაუდობენ, რომ ადა ბნატურალური რიცხვებია და ყველა წილადი დადებითია. თუ ახლა ამ ტოლობის ორივე მხარეს მივანიჭებთ მინუს ნიშანს, მივიღებთ უარყოფითი წილადების შესაბამის წესს.

წილადების შეკრება და გამოკლება. უმცირესი საერთო ჯერადი

დავუშვათ, რომ გსურთ გამოთვალოთ ორი წილადის ჯამი:

ჩვენ უკვე ვიცით, როგორ იშლება მნიშვნელები პირველ ფაქტორებად:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

ამ დაშლიდან მაშინვე გამომდინარეობს, რომ წილადების საერთო მნიშვნელთან მიყვანისთვის საკმარისია პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ 2 ∙ 2-ზე (მეორე მნიშვნელის დაუხაზავი მარტივი ფაქტორების ნამრავლი) და მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 3-ით („პროდუქტი“ პირველი მნიშვნელის დაუხაზავი მარტივი ფაქტორები). შედეგად, ორივე წილადის მნიშვნელი გახდება რიცხვის ტოლი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

ადვილი მისახვედრია, რომ ორივე საწყისი მნიშვნელი (როგორც 105, ასევე 140) არის 420 რიცხვის გამყოფი, ხოლო რიცხვი 420, თავის მხრივ, არის ორივე მნიშვნელის ნამრავლი - და არა უბრალოდ ჯერადი, ის არის უმცირესი საერთო ჯერადი (NOC) ნომრები 105 და 140. ასე იწერება:

LCM(105, 140) = 420.

105 და 140 რიცხვების გაფართოებას უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, ამას ვხედავთ

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

ანალოგიურად, თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის ბდა დ:

ბ ∙ დ= LCM( ბ, დ) ∙ GCD( ბ, დ).

ახლა დავასრულოთ ჩვენი წილადების ჯამი:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Შენიშვნა.ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის რიცხვის კვადრატი. რიცხვის კვადრატი ადარეკა ნომერზე ათავისთავად გამრავლებული, ანუ ა∙ა. (როგორც ხედავთ, ის ტოლია კვადრატის ფართობის გვერდითი ა).

ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები.

რიცხვები, რომლებიც იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე, ეწოდებათუნდაც .

რიცხვებს, რომლებიც თანაბრად არ იყოფა 2-ზე, უწოდებენკენტი .

2-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ ნატურალური რიცხვის ჩანაწერი სრულდება ლუწი ციფრით, მაშინ ეს რიცხვი იყოფა 2-ზე ნარჩენის გარეშე, ხოლო თუ რიცხვის ჩანაწერი კენტი ციფრით, მაშინ ეს რიცხვი ნაშთის გარეშე არ იყოფა 2-ზე.

მაგალითად, რიცხვები 60 , 30 8 , 8 4 ნარჩენების გარეშე იყოფა 2-ზე, ხოლო რიცხვები 5-ზე1 , 8 5 , 16 7 ნაშთის გარეშე არ იყოფა 2-ზე.

3-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, მაშინ რიცხვიც იყოფა 3-ზე; თუ რიცხვის ციფრების ჯამი არ იყოფა 3-ზე, მაშინ რიცხვი არ იყოფა 3-ზე.

მაგალითად, გავარკვიოთ, იყო თუ არა რიცხვი 2772825 3-ზე. ამისათვის გამოვთვალოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - იყოფა 3-ზე. ასე რომ, რიცხვი 2772825 იყოფა 3-ზე.

5-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ ნატურალური რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება 0-ით ან 5-ით, მაშინ ეს რიცხვი იყოფა ნარჩენის გარეშე 5-ზე, თუ რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება სხვა ციფრით, მაშინ რიცხვი ნაშთის გარეშე არ იყოფა 5-ზე.

მაგალითად, ნომრები 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 ნარჩენების გარეშე იყოფა 5-ზე, ხოლო რიცხვები 1-ზე7 , 37 8 , 9 1 არ გაიზიარო.

9-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე, მაშინ რიცხვი ასევე იყოფა 9-ზე; თუ რიცხვის ციფრების ჯამი არ იყოფა 9-ზე, მაშინ რიცხვი არ იყოფა 9-ზე.

მაგალითად, გავარკვიოთ, იყოფა თუ არა რიცხვი 5402070 9-ზე. ამისათვის გამოვთვალოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - არ იყოფა 9. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5402070 არ იყოფა 9-ზე.

10-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ ნატურალური რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება 0-ით, მაშინ ეს რიცხვი იყოფა 10-ზე ნარჩენის გარეშე, თუ ნატურალური რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება სხვა ციფრით, მაშინ ის ნაშთების გარეშე არ იყოფა 10-ზე.

მაგალითად, ნომრები 40 , 17 0 , 1409 0 ნარჩენების გარეშე იყოფა 10-ზე, ხოლო რიცხვები 1-ზე7 , 9 3 , 1430 7 - არ გაიზიარო.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნის წესი (gcd).

რამდენიმე ნატურალური რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად საჭიროა:

2) ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან გადახაზეთ ისინი, რომლებიც არ შედის სხვა რიცხვების გაფართოებაში;

3) იპოვნეთ დარჩენილი ფაქტორების პროდუქტი.

მაგალითი. ვიპოვოთ GCD (48;36). გამოვიყენოთ წესი.

1. 48 და 36 რიცხვებს ვშლით მარტივ ფაქტორებად.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. 48 რიცხვის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან ვშლით მათ, რომლებიც არ შედის 36 რიცხვის გაფართოებაში.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

არსებობს 2, 2 და 3 ფაქტორები.

3. გაამრავლეთ დარჩენილი ფაქტორები და მიიღეთ 12. ეს რიცხვი არის 48 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის წესი (LCM).

რამდენიმე ნატურალური რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი საპოვნელად საჭიროა:

1) მათი დაშლა პირველ ფაქტორებად;

2) ჩამოწერეთ ერთ-ერთი რიცხვის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორები;

3) დაამატეთ მათ დარჩენილი რიცხვების გაფართოებებიდან გამოტოვებული ფაქტორები;

4) იპოვნეთ მიღებული ფაქტორების პროდუქტი.

მაგალითი.ვიპოვოთ LCM (75;60). გამოვიყენოთ წესი.

1. 75 და 60 რიცხვებს ვშლით მარტივ ფაქტორებად.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. ჩამოწერეთ 75 რიცხვის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორები: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. დაამატეთ მათ 60 რიცხვის დაშლის გამოტოვებული ფაქტორები, ე.ი. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. იპოვეთ მიღებული ფაქტორების ნამრავლი

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

მოვაგვაროთ პრობლემა. ჩვენ გვაქვს ორი სახის ქუქი-ფაილები. ზოგი შოკოლადიანია, ზოგიც უბრალო. არის 48 შოკოლადის ნაჭერი, ხოლო მარტივი 36. ამ ნამცხვრებიდან აუცილებელია საჩუქრების მაქსიმალური რაოდენობა და ყველა მათგანი უნდა იყოს გამოყენებული.

ჯერ ჩამოვწეროთ ამ ორი რიცხვიდან თითოეულის ყველა გამყოფი, რადგან ორივე ეს რიცხვი უნდა იყოფა საჩუქრების რაოდენობაზე.

ვიღებთ

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

გამყოფებს შორის ვიპოვოთ საერთო, რაც აქვს როგორც პირველს, ასევე მეორე რიცხვს.

საერთო გამყოფები იქნება: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 12. ამ რიცხვს 36-ისა და 48-ის უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება.

შედეგიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 12 საჩუქრის დამზადება შესაძლებელია ყველა ქუქიიდან. ერთი ასეთი საჩუქარი შეიცავს 4 შოკოლადის ნამცხვარს და 3 ჩვეულებრივ ფუნთუშას.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნა

• უდიდეს ნატურალურ რიცხვს, რომლითაც ორი რიცხვი a და b იყოფა ნაშთის გარეშე, ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება.

ზოგჯერ აბრევიატურა GCD გამოიყენება ჩანაწერის შემოკლებისთვის.

რიცხვების ზოგიერთ წყვილს აქვს ერთი ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი. ასეთ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები.მაგალითად, რიცხვები 24 და 35. აქვს GCD =1.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი

იმისთვის, რომ ვიპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი, არ არის საჭირო ამ რიცხვების ყველა გამყოფის ამოწერა.

სხვაგვარად შეგიძლია. პირველ რიგში, დააკავშირეთ ორივე რიცხვი პირველ ფაქტორებად.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

ახლა, იმ ფაქტორებიდან, რომლებიც შედის პირველი რიცხვის გაფართოებაში, ჩვენ ვშლით ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც არ შედის მეორე ნომრის გაფართოებაში. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ორი დუქცია.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

რჩება ფაქტორები 2, 2 და 3. მათი ნამრავლია 12. ეს რიცხვი იქნება 48 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

ეს წესი შეიძლება გავრცელდეს სამი, ოთხი და ა.შ. ნომრები.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნის ზოგადი სქემა

• 1. რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად.
• 2. ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან გადახაზეთ ისინი, რომლებიც არ შედის სხვა რიცხვების გაფართოებაში.
• 3. გამოთვალეთ დარჩენილი ფაქტორების ნამრავლი.

იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ორი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი, თქვენ უნდა გესმოდეთ რა არის ბუნებრივი, მარტივი და რთული რიცხვები.

ნატურალური რიცხვია ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოიყენება მთელი რიცხვების დასათვლელად.

თუ ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიყოს მხოლოდ თავისთავზე და ერთზე, მაშინ მას ეწოდება მარტივი.

ყველა ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიყოს საკუთარ თავზე და ერთზე, მაგრამ ერთადერთი ლუწი მარტივი რიცხვი არის 2, ყველა დანარჩენი შეიძლება გაიყოს ორზე. ამიტომ, მხოლოდ კენტი რიცხვები შეიძლება იყოს მარტივი.

მარტივი რიცხვები ბევრია, მათი სრული სია არ არსებობს. GCD-ის საპოვნელად მოსახერხებელია ასეთი ნომრებით სპეციალური ცხრილების გამოყენება.

ნატურალური რიცხვების უმეტესობა შეიძლება დაიყოს არა მხოლოდ ერთზე, საკუთარ თავზე, არამედ სხვა რიცხვებზეც. მაგალითად, რიცხვი 15 შეიძლება დაიყოს 3-ზე და 5-ზე. ყველა მათგანს ეწოდება 15 რიცხვის გამყოფი.

ამრიგად, ნებისმიერი A-ს გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც იგი შეიძლება გაიყოს ნაშთების გარეშე. თუ რიცხვს აქვს ორზე მეტი ბუნებრივი გამყოფი, მას კომპოზიციური ეწოდება.

რიცხვ 30-ს აქვს ისეთი გამყოფები, როგორიცაა 1, 3, 5, 6, 15, 30.

ხედავთ, რომ 15-ს და 30-ს აქვთ იგივე გამყოფები 1, 3, 5, 15. ამ ორი რიცხვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 15.

ამრიგად, A და B რიცხვების საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც შეგიძლიათ მათი სრული გაყოფა. მაქსიმუმ შეიძლება ჩაითვალოს მაქსიმალური ჯამური რიცხვი, რომლითაც ისინი შეიძლება დაიყოს.

პრობლემების გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი შემოკლებული წარწერა:

GCD (A; B).

მაგალითად, GCD (15; 30) = 30.

ნატურალური რიცხვის ყველა გამყოფის ჩასაწერად გამოიყენება აღნიშვნა:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

ამ მაგალითში ნატურალურ რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი. მათ ეძახიან coprime, შესაბამისად, ერთეული მათი უდიდესი საერთო გამყოფია.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი

რამდენიმე ნომრის GCD-ს საპოვნელად გჭირდებათ:

იპოვეთ თითოეული ნატურალური რიცხვის ყველა გამყოფი ცალ-ცალკე, ანუ დაშალეთ ისინი ფაქტორებად (მარტივი რიცხვები);

აირჩიეთ ყველა იგივე ფაქტორი მოცემული რიცხვებისთვის;

გაამრავლეთ ისინი ერთად.

მაგალითად, 30-ისა და 56-ის უდიდესი საერთო გამყოფის გამოსათვლელად, თქვენ დაწერთ შემდეგს:

იმისათვის, რომ არ აგერიოთ, მოსახერხებელია მულტიპლიკატორების დაწერა ვერტიკალური სვეტების გამოყენებით. ხაზის მარცხენა მხარეს, თქვენ უნდა მოათავსოთ დივიდენდი, ხოლო მარჯვნივ - გამყოფი. დივიდენდის ქვეშ უნდა მიუთითოთ მიღებული კოეფიციენტი.

ასე რომ, მარჯვენა სვეტში იქნება გადაწყვეტისთვის საჭირო ყველა ფაქტორი.

მოხერხებულობისთვის შეიძლება ხაზგასმული იყოს იდენტური გამყოფები (ნაპოვნი ფაქტორები). ისინი ხელახლა უნდა დაიწეროს და გამრავლდეს და ჩაიწეროს უდიდესი საერთო გამყოფი.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

მართლაც ასე მარტივია რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა. მცირე პრაქტიკით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება თითქმის ავტომატურად.

ყველაზე დიდი ნატურალური რიცხვი, რომლითაც რიცხვები a და b იყოფა ნაშთების გარეშე, ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფიეს ნომრები. აღნიშნეთ GCD(a, b).

განვიხილოთ GCD-ის პოვნა ორი ნატურალური რიცხვის 18 და 60 მაგალითის გამოყენებით:

1 მოდით დავშალოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 წაშალეთ პირველი რიცხვის გაფართოებიდან ყველა ფაქტორი, რომელიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში, მივიღებთ 2×3×3 .

3 ჩვენ ვამრავლებთ დარჩენილ მარტივ ფაქტორებს გადახაზვის შემდეგ და ვიღებთ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფს: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 გაითვალისწინეთ, რომ არ აქვს მნიშვნელობა პირველი ან მეორე რიცხვიდან გადავკვეთოთ ფაქტორები, შედეგი იგივე იქნება:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 და 432

მოდით დავშალოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

წაშალეთ პირველი რიცხვიდან, რომლის ფაქტორები არ არის მეორე და მესამე ნომრებში, მივიღებთ:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD-ის შედეგად ( 324 , 111 , 432 )=3

GCD-ის პოვნა ევკლიდეს ალგორითმით

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნის მეორე გზა გამოყენებით ევკლიდეს ალგორითმი. ევკლიდეს ალგორითმი არის ყველაზე ეფექტური გზა GCD, მისი გამოყენებით თქვენ მუდმივად უნდა იპოვოთ რიცხვების დაყოფის დარჩენილი ნაწილი და გამოიყენოთ განმეორებითი ფორმულა.

განმეორებითი ფორმულა GCD-სთვის, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), სადაც mod b არის a b-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი.

ევკლიდეს ალგორითმი

მაგალითი იპოვეთ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი 7920 და 594

მოდი ვიპოვოთ GCD( 7920 , 594 ) ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვლით დანარჩენ გაყოფას კალკულატორის გამოყენებით.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 მოდ 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 მოდ 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ GCD( 7920 , 594 ) = 198

უმცირესი საერთო ჯერადი

იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო მნიშვნელი სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას, თქვენ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ გამოთვლა უმცირესი საერთო ჯერადი(NOC).

რიცხვის "a" ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა რიცხვზე "a" ნაშთის გარეშე.

რიცხვები, რომლებიც 8-ის ჯერადია (ანუ ეს რიცხვები ნაშთის გარეშე გაიყოფა 8-ზე): ეს არის რიცხვები 16, 24, 32 ...

9-ის ნამრავლები: 18, 27, 36, 45…

მოცემული a რიცხვის უსასრულოდ ბევრი ჯერადია, ერთი და იგივე რიცხვის გამყოფებისგან განსხვავებით. გამყოფები - სასრული რიცხვი.

ორი ნატურალური რიცხვის საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც თანაბრად იყოფა ორივე ამ რიცხვზე..

უმცირესი საერთო ჯერადიორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის (LCM) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე.

როგორ მოვძებნოთ NOC

LCM შეიძლება მოიძებნოს და დაიწეროს ორი გზით.

LCM-ის პოვნის პირველი გზა

ეს მეთოდი ჩვეულებრივ გამოიყენება მცირე რაოდენობით.

1. ჩვენ ვწერთ მამრავლებს თითოეული რიცხვისთვის სტრიქონში, სანამ არ იქნება ჯერადი, რომელიც ერთნაირია ორივე რიცხვისთვის.
2. რიცხვი "a"-ს ჯერადი აღინიშნება დიდი ასო "K"-ით.

მაგალითი. იპოვეთ LCM 6 და 8.

LCM-ის პოვნის მეორე გზა

ეს მეთოდი მოსახერხებელია სამი ან მეტი ნომრისთვის LCM-ის მოსაძებნად.

რიცხვების გაფართოებაში იდენტური ფაქტორების რაოდენობა შეიძლება განსხვავებული იყოს.

მცირე რიცხვის (პატარა რიცხვების) გაფართოებისას ხაზი გაუსვით იმ ფაქტორებს, რომლებიც არ იყო შეტანილი დიდი რიცხვის გაფართოებაში (ჩვენს მაგალითში ეს არის 2) და დაამატეთ ეს ფაქტორები უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებას.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

ჩაწერეთ მიღებული ნამუშევარი პასუხად.
პასუხი: LCM (24, 60) = 120

თქვენ ასევე შეგიძლიათ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა ფორმალურად შემდეგნაირად. მოდი ვიპოვოთ LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

როგორც რიცხვების გაფართოებიდან ვხედავთ, 12-ის ყველა ფაქტორი შედის 24-ის გაფართოებაში (რიცხვებიდან ყველაზე დიდი), ამიტომ LCM-ს 16 რიცხვის გაფართოებიდან მხოლოდ ერთ 2-ს ვუმატებთ.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

პასუხი: LCM (12, 16, 24) = 48

NOC-ების აღმოჩენის განსაკუთრებული შემთხვევები

თუ რომელიმე რიცხვი თანაბრად იყოფა მეორეზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვს.

მაგალითად, LCM(60, 15) = 60
ვინაიდან თანაპირველ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი გამყოფები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს.

ჩვენს საიტზე, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სპეციალური კალკულატორი, რათა იპოვოთ ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავლობითი ონლაინ, რათა შეამოწმოთ თქვენი გამოთვლები.

თუ ნატურალური რიცხვი იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე, მაშინ მას მარტივი ეწოდება.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ყოველთვის იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე.

რიცხვი 2 არის ყველაზე პატარა მარტივი რიცხვი. ეს არის ერთადერთი ლუწი მარტივი რიცხვი, დანარჩენი მარტივი რიცხვები კენტია.

უამრავი მარტივი რიცხვია და მათ შორის პირველი არის ნომერი 2. თუმცა, ბოლო მარტივი რიცხვი არ არსებობს. განყოფილებაში „სწავლისთვის“ შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მარტივი რიცხვების ცხრილი 997-მდე.

მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი თანაბრად იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.

• რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;
• 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.

რიცხვებს, რომლებზეც რიცხვი თანაბრად იყოფა (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) რიცხვის გამყოფები ეწოდება.

a ნატურალური რიცხვის გამყოფი ისეთი ნატურალური რიცხვია, რომელიც მოცემულ რიცხვს "a" ყოფს ნაშთის გარეშე.

ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი ფაქტორი, ეწოდება კომპოზიტური რიცხვი.

გაითვალისწინეთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფები. ეს არის რიცხვები: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12.

ორი მოცემული რიცხვის "a" და "b" საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.

უდიდესი საერთო გამყოფი(GCD) ორი მოცემული რიცხვის "a" და "b" არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც ორივე რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.

მოკლედ, "a" და "b" რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი იწერება შემდეგნაირად:

მაგალითი: gcd (12; 36) = 12.

ამოხსნის ჩანაწერში რიცხვების გამყოფები აღინიშნება დიდი ასო "D"-ით.

7 და 9 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები.

კოპრიმი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. მათი GCD არის 1.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი

ორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის gcd-ის საპოვნელად გჭირდებათ:

• რიცხვთა გამყოფების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;

გამოთვლები მოხერხებულად იწერება ვერტიკალური ზოლის გამოყენებით. ხაზის მარცხნივ ჯერ ჩაწერეთ დივიდენდი, მარჯვნივ - გამყოფი. შემდგომ მარცხენა სვეტში ჩვენ ვწერთ კერძოს მნიშვნელობებს.

მოდი მაშინვე ავხსნათ მაგალითით. მოდით გავამრავლოთ 28 და 64 რიცხვები მარტივ ფაქტორებად.

ხაზი გაუსვით ერთსა და იმავე მარტივ ფაქტორებს ორივე რიცხვში.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2 2
ვპოულობთ იდენტური მარტივი ფაქტორების ნამრავლს და ვწერთ პასუხს;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

პასუხი: GCD (28; 64) = 4

თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ GCD-ის მდებარეობა ორი გზით: სვეტში (როგორც ეს გაკეთდა ზემოთ) ან "ხაზში".

GCD ჩაწერის პირველი გზა

იპოვეთ GCD 48 და 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

GCD ჩაწერის მეორე გზა

ახლა მოდით დავწეროთ GCD საძიებო გადაწყვეტა ხაზში. იპოვეთ GCD 10 და 15.

ჩვენს საინფორმაციო საიტზე ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი ონლაინ დამხმარე პროგრამის გამოყენებით თქვენი გამოთვლების შესამოწმებლად.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, მეთოდები, LCM-ის პოვნის მაგალითები.

ქვემოთ წარმოდგენილი მასალა არის თეორიის ლოგიკური გაგრძელება სტატიიდან სათაურით LCM - უმცირესი საერთო მრავალჯერადი, განმარტება, მაგალითები, ურთიერთობა LCM-სა და GCD-ს შორის. აქ ჩვენ ვისაუბრებთ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა, და განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ მაგალითების ამოხსნას. ჯერ ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოითვლება ორი რიცხვის LCM ამ რიცხვების GCD-ის მიხედვით. შემდეგი, განიხილეთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნაზე და ასევე ყურადღებას მივაქცევთ უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლას.

გვერდის ნავიგაცია.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) გამოთვლა gcd-ის მეშვეობით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ერთ-ერთი გზა ემყარება LCM-სა და GCD-ს შორის ურთიერთობას. LCM-სა და GCD-ს შორის არსებული ურთიერთობა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ცნობილი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით. შესაბამის ფორმულას აქვს ფორმა LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). განვიხილოთ LCM-ის პოვნის მაგალითები ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით.

იპოვეთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 126 და 70.

ამ მაგალითში a=126, b=70. გამოვიყენოთ LCM-ის ბმული GCD-თან, რომელიც გამოიხატება ფორმულით LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . ანუ ჯერ უნდა ვიპოვოთ 70 და 126 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც შეგვიძლია დაწერილი ფორმულის მიხედვით გამოვთვალოთ ამ რიცხვების LCM.

იპოვეთ gcd(126, 70) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4, აქედან გამომდინარე gcd(126, 70)=14.

ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

რა არის LCM(68, 34)?

ვინაიდან 68 თანაბრად იყოფა 34-ზე, მაშინ gcd(68, 34)=34. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითი ერგება შემდეგ წესს დადებითი მთელი რიცხვებისთვის a და b-სთვის LCM-ის მოსაძებნად: თუ რიცხვი a იყოფა b-ზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის a.

LCM-ის პოვნა რიცხვების ძირითად ფაქტორებად გადაყვანით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის კიდევ ერთი გზა ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადაქცევას. თუ ამ რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს გავაკეთებთ, რის შემდეგაც ამ ნამრავლიდან გამოვრიცხავთ ყველა საერთო მარტივ ფაქტორს, რომელიც არის ამ რიცხვების გაფართოებებში, მაშინ მიღებული ნამრავლი ტოლი იქნება ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადისა.

LCM-ის პოვნის გამოცხადებული წესი გამომდინარეობს ტოლობიდან LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . მართლაც, a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია a და b რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორის ნამრავლის. თავის მხრივ, gcd(a, b) უდრის ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება a და b რიცხვების გაფართოებებში (რაც აღწერილია განყოფილებაში gcd-ის პოვნის შესახებ რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით. ).

ავიღოთ მაგალითი. გავიგოთ, რომ 75=3 5 5 და 210=2 3 5 7 . შეადგინეთ ამ გაფართოების ყველა ფაქტორის ნამრავლი: 2 3 3 5 5 5 7 . ახლა ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხავთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც წარმოდგენილია როგორც 75 რიცხვის გაფართოებაში, ასევე 210 რიცხვის გაფართოებაში (ასეთი ფაქტორებია 3 და 5), მაშინ პროდუქტი მიიღებს 2 3 5 5 7 ფორმას. ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის 75-ისა და 210-ის უმცირეს საერთო ჯერადს, ანუ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

441 და 700 რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლების შემდეგ, იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

მოდით დავშალოთ რიცხვები 441 და 700 მარტივ ფაქტორებად:

ვიღებთ 441=3 3 7 7 და 700=2 2 5 5 7 .

ახლა მოდით შევადგინოთ ყველა ფაქტორი, რომელიც მონაწილეობს ამ რიცხვების გაფართოებაში: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხოთ ყველა ის ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის ორივე გაფართოებაში (არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ფაქტორი - ეს არის ნომერი 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ასე რომ, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით LCM-ის პოვნის წესი შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს. თუ b რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებს a რიცხვის გაფართოების ფაქტორებს დავუმატებთ, მაშინ მიღებული ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის a და b რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს.

მაგალითად, ავიღოთ ყველა იგივე რიცხვი 75 და 210, მათი გაფართოებები მარტივ ფაქტორებად არის შემდეგი: 75=3 5 5 და 210=2 3 5 7 . 75 რიცხვის გაფართოებიდან 3, 5 და 5 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ 2 და 7 ფაქტორებს 210 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2 3 5 5 7, რომლის ღირებულებაა LCM(75. , 210).

იპოვეთ 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

ჩვენ ჯერ ვიღებთ 84 და 648 რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას. ისინი ჰგავს 84=2 2 3 7 და 648=2 2 2 3 3 3 3 . 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორებს 84 რიცხვის დაშლისას ვუმატებთ 648 რიცხვის დაშლის გამოტოვებულ 2 , 3 , 3 და 3 ფაქტორებს , მივიღებთ ნამრავლს 2 2 2 3 3 3 3 7 . რომელიც უდრის 4 536-ს. ამრიგად, 84 და 648 რიცხვების სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი არის 4536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით. გავიხსენოთ შესაბამისი თეორემა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM.

დადებითი მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , …, a k იყოს მოცემული, ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი m k გვხვდება მიმდევრობით გამოთვლაში m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .

განვიხილოთ ამ თეორემის გამოყენება ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითზე.

იპოვეთ ოთხი რიცხვის LCM 140 , 9 , 54 და 250 .

ჯერ ვპოულობთ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . ამისათვის ევკლიდური ალგორითმის გამოყენებით განვსაზღვრავთ gcd(140, 9) , გვაქვს 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , შესაბამისად, gcd( 140, 9)=1, საიდანაც LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260. ანუ m 2 =1 260 .

ახლა ჩვენ ვპოულობთ m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . გამოვთვალოთ gcd(1 260, 54) მეშვეობით, რომელიც ასევე განისაზღვრება ევკლიდეს ალგორითმით: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . შემდეგ gcd(1 260, 54)=18, საიდანაც LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . ანუ m 3 \u003d 3 780.

რჩება m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) პოვნა. ამისათვის ვპოულობთ GCD(3 780, 250) ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . ამიტომ, gcd(3 780, 250)=10, აქედან გამომდინარე LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. ანუ, m 4 \u003d 94 500.

ასე რომ, თავდაპირველი ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 94500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500.

ხშირ შემთხვევაში, სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მოხერხებულად გვხვდება მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, შემდეგი წესი უნდა დაიცვან. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ნამრავლს, რომელიც შედგება შემდეგნაირად: მეორე რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებული ფაქტორები ემატება პირველი რიცხვის გაფართოების ყველა ფაქტორს, გამოტოვებული ფაქტორები გაფართოებიდან. მიღებულ ფაქტორებს ემატება მესამე რიცხვი და ა.შ.

განვიხილოთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითი რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით.

იპოვეთ ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

ჯერ ვიღებთ ამ რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 არის მარტივი რიცხვი, ემთხვევა მის დაშლას მარტივ ფაქტორებად) და 143=11 13 .

ამ რიცხვების LCM-ის საპოვნელად, პირველი რიცხვის 84-ის ფაქტორებს (ისინი არის 2, 2, 3 და 7) თქვენ უნდა დაამატოთ დაკარგული ფაქტორები მეორე რიცხვ 6-ის გაფართოებიდან. რიცხვი 6-ის გაფართოება არ შეიცავს გამოტოვებულ ფაქტორებს, ვინაიდან 2 და 3 უკვე წარმოდგენილია პირველი რიცხვის 84-ის გაფართოებაში. 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორების შემდეგ ვამატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მესამე ნომრის გაფართოებიდან 48 , ვიღებთ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორების ერთობლიობას . არ არის საჭირო ამ კომპლექტში ფაქტორების დამატება შემდეგ ეტაპზე, რადგან მასში უკვე არის 7. და ბოლოს, 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ 11 და 13 ფაქტორებს 143 რიცხვის გაფართოებიდან. ვიღებთ ნამრავლს 2 2 2 2 3 7 11 13, რომელიც უდრის 48 048-ს.

ამიტომ, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.

უარყოფითი რიცხვების უმცირესი მრავლობითის პოვნა

ზოგჯერ არის დავალებები, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, რომელთა შორის ერთი, რამდენიმე ან ყველა რიცხვი უარყოფითია. ამ შემთხვევაში, ყველა უარყოფითი რიცხვი უნდა შეიცვალოს მათი საპირისპირო რიცხვებით, რის შემდეგაც უნდა მოიძებნოს დადებითი რიცხვების LCM. ეს არის გზა, რომ იპოვოთ უარყოფითი რიცხვების LCM. მაგალითად, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) და LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება, რადგან a-ს ჯერადთა სიმრავლე იგივეა, რაც −a-ს ჯერადების სიმრავლე (a და −a საპირისპირო რიცხვებია). მართლაც, დავუშვათ b იყოს a-ს რამდენიმე ჯერადი, მაშინ b იყოფა a-ზე და გაყოფის ცნება ამტკიცებს ისეთი რიცხვის q არსებობას, რომ b=a q . მაგრამ მართალი იქნება b=(−a)·(−q) ტოლობა, რაც გაყოფის იგივე ცნების მიხედვით ნიშნავს, რომ b იყოფა −a-ზე, ანუ b არის −a-ს ნამრავლი. საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თუ b არის −a-ს რამდენიმე ჯერადი, მაშინ b ასევე არის a-ს ჯერადი.

იპოვეთ −145 და −45 უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

−145 და −45 უარყოფითი რიცხვები ჩავანაცვლოთ მათი საპირისპირო რიცხვებით 145 და 45. გვაქვს LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . განვსაზღვრავთ gcd(145, 45)=5 (მაგალითად, ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით), გამოვთვალეთ LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . ამრიგად, უარყოფითი მთელი რიცხვების −145 და −45 უმცირესი საერთო ჯერადი არის 1,305.

www.cleverstudents.ru

ჩვენ ვაგრძელებთ განყოფილების შესწავლას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ ცნებებს, როგორიცაა GCDდა NOC.

GCDარის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი.

NOCარის უმცირესი საერთო ჯერადი.

თემა საკმაოდ მოსაწყენია, მაგრამ მისი გაგება აუცილებელია. ამ თემის გააზრების გარეშე, თქვენ ვერ შეძლებთ ეფექტურად იმუშაოთ წილადებთან, რომლებიც რეალურ დაბრკოლებას წარმოადგენენ მათემატიკაში.

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება. რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბ ადა ბგაყოფილი ნარჩენების გარეშე.

ამ განმარტების კარგად გასაგებად, ჩვენ ვცვლით ცვლადების ნაცვლად ადა ბნებისმიერი ორი რიცხვი, მაგალითად, ცვლადის ნაცვლად აჩაანაცვლეთ რიცხვი 12 და ცვლადის ნაცვლად ბნომერი 9. ახლა შევეცადოთ წავიკითხოთ ეს განმარტება:

რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი 12 და 9 არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომლითაც 12 და 9 გაყოფილი ნარჩენების გარეშე.

განმარტებიდან ირკვევა, რომ საუბარია 12 და 9 რიცხვების საერთო გამყოფზე და ეს გამყოფი ყველაზე დიდია ყველა არსებულ გამყოფთა შორის. ეს უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd) უნდა მოიძებნოს.

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად გამოიყენება სამი მეთოდი. პირველი მეთოდი საკმაოდ შრომატევადია, მაგრამ საშუალებას გაძლევთ კარგად გაიგოთ თემის არსი და იგრძნოთ მისი მთელი მნიშვნელობა.

მეორე და მესამე მეთოდები საკმაოდ მარტივია და შესაძლებელს ხდის სწრაფად იპოვოთ GCD. ჩვენ განვიხილავთ სამივე მეთოდს. და რა უნდა გამოიყენოთ პრაქტიკაში - თქვენ ირჩევთ.

პირველი გზა არის ორი რიცხვის ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და მათგან ყველაზე დიდის არჩევა. განვიხილოთ ეს მეთოდი შემდეგ მაგალითში: იპოვეთ 12 და 9 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

ჯერ ვპოულობთ 12 რიცხვის ყველა შესაძლო გამყოფს. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ 12-ს ყველა გამყოფად 1-დან 12-მდე დიაპაზონში. თუ გამყოფი საშუალებას გვაძლევს გავყოთ 12 ნაშთის გარეშე, მაშინ გამოვყოფთ მას ლურჯად და გააკეთეთ შესაბამისი განმარტება ფრჩხილებში.

12: 1 = 12
(12 გაყოფილი 1-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 1 არის 12-ის გამყოფი)

12: 2 = 6
(12 გაყოფილი 2-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 2 არის 12-ის გამყოფი)

12: 3 = 4
(12 გაყოფილი სამზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 3 არის 12-ის გამყოფი)

12: 4 = 3
(12 გაყოფილი 4-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 4 არის 12-ის გამყოფი)

12:5 = 2 (დარჩენილია 2)
(12 არ იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 5 არ არის 12-ის გამყოფი)

12: 6 = 2
(12 გაყოფილი 6-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 6 არის 12-ის გამყოფი)

12: 7 = 1 (დარჩენილია 5)
(12 არ იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 7 არ არის 12-ის გამყოფი)

12: 8 = 1 (დარჩენილია 4)
(12 არ იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 8 არ არის 12-ის გამყოფი)

12:9 = 1 (დარჩენილია 3)
(12 არ იყოფა 9-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 9 არ არის 12-ის გამყოფი)

12: 10 = 1 (დარჩენილია 2)
(12 არ იყოფა 10-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 10 არ არის 12-ის გამყოფი)

12:11 = 1 (დარჩენილია 1)
(12 არ იყოფა 11-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 11 არ არის 12-ის გამყოფი)

12: 12 = 1
(12 გაყოფილი 12-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 12 არის 12-ის გამყოფი)

ახლა ვიპოვოთ რიცხვი 9-ის გამყოფები. ამისათვის შეამოწმეთ ყველა გამყოფი 1-დან 9-მდე.

9: 1 = 9
(9 გაყოფილი 1-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 1 არის 9-ის გამყოფი)

9: 2 = 4 (1 დარჩა)
(9 არ იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 2 არ არის 9-ის გამყოფი)

9: 3 = 3
(9 გაყოფილი სამზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 3 არის 9-ის გამყოფი)

9: 4 = 2 (1 დარჩა)
(9 არ იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 4 არ არის 9-ის გამყოფი)

9:5 = 1 (დარჩენილია 4)
(9 არ იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 5 არ არის 9-ის გამყოფი)

9: 6 = 1 (დარჩენილია 3)
(9 არ იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 6 არ არის 9-ის გამყოფი)

9:7 = 1 (დარჩენილია 2)
(9 არ იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 7 არ არის 9-ის გამყოფი)

9:8 = 1 (1 დარჩა)
(9 არ იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 8 არ არის 9-ის გამყოფი)

9: 9 = 1
(9 გაყოფილი 9-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 9 არის 9-ის გამყოფი)

ახლა ჩაწერეთ ორივე რიცხვის გამყოფები. ცისფრად მონიშნული რიცხვები არის გამყოფები. მოდით დავწეროთ ისინი:

გამყოფების ჩამოწერის შემდეგ, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ რომელია ყველაზე დიდი და ყველაზე გავრცელებული.

განმარტებით, 12-ისა და 9-ის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც 12 და 9 თანაბრად იყოფა. 12 და 9 რიცხვების უდიდესი და საერთო გამყოფი არის რიცხვი 3

ორივე რიცხვი 12 და რიცხვი 9 იყოფა 3-ზე ნაშთის გარეშე:

ასე რომ, gcd (12 და 9) = 3

GCD-ის პოვნის მეორე გზა

ახლა განიხილეთ მეორე გზა უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად. ამ მეთოდის არსი არის ორივე რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად და გამრავლება საერთო.

მაგალითი 1. იპოვეთ 24 და 18 ნომრების GCD

პირველ რიგში, მოდით გავამრავლოთ ორივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად:

ახლა ჩვენ გავამრავლებთ მათ საერთო ფაქტორებს. იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, შეიძლება ხაზი გავუსვა საერთო ფაქტორებს.

ჩვენ ვუყურებთ რიცხვი 24-ის დაშლას. მისი პირველი ფაქტორი არის 2. ჩვენ ვეძებთ იმავე კოეფიციენტს 18 რიცხვის დაშლაში და ვხედავთ, რომ ის ასევე არსებობს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ ორივე ორს:

კვლავ ვუყურებთ რიცხვის 24-ის დაშლას. მისი მეორე ფაქტორიც არის 2. ჩვენ ვეძებთ იმავე ფაქტორს 18 რიცხვის დაშლაში და ვხედავთ, რომ ის მეორედ არ არის. მაშინ ჩვენ არაფერს გამოვყოფთ.

შემდეგი ორი 24 რიცხვის გაფართოებაში ასევე აკლია 18 რიცხვის გაფართოებას.

ჩვენ გადავდივართ ბოლო ფაქტორზე 24 რიცხვის დაშლისას. ეს არის კოეფიციენტი 3. ჩვენ ვეძებთ იმავე ფაქტორს 18 რიცხვის დაშლისას და ვხედავთ, რომ ის ასევე არსებობს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ ორივე სამს:

ასე რომ, 24 და 18 რიცხვების საერთო ფაქტორები არის 2 და 3 ფაქტორები. GCD-ის მისაღებად, ეს ფაქტორები უნდა გამრავლდეს:

ასე რომ, gcd (24 და 18) = 6

მესამე გზა GCD-ის მოსაძებნად

ახლა განიხილეთ მესამე გზა უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად. ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ რიცხვები, რომლებიც უნდა მოძებნოთ უდიდესი საერთო გამყოფისთვის, იყოფა მარტივ ფაქტორებად. შემდეგ, პირველი რიცხვის დაშლიდან წაიშლება ფაქტორები, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის დაშლაში. პირველ გაფართოებაში დარჩენილი რიცხვები მრავლდება და მიიღება GCD.

მაგალითად, ვიპოვოთ GCD 28 და 16 ნომრებისთვის ამ გზით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვანაწილებთ ამ რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად:

მივიღეთ ორი გაფართოება: და

ახლა, პირველი ნომრის გაფართოებიდან, ჩვენ ვშლით ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს შვიდს. ჩვენ წავშლით მას პირველი გაფართოებიდან:

ახლა ვამრავლებთ დარჩენილ ფაქტორებს და ვიღებთ GCD-ს:

რიცხვი 4 არის 28 და 16 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ორივე ეს რიცხვი იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე:

მაგალითი 2იპოვეთ 100 და 40 რიცხვების GCD

100 რიცხვის ფაქტორირება

40 რიცხვის გათვალისწინება

ჩვენ მივიღეთ ორი გაფართოება:

ახლა, პირველი ნომრის გაფართოებიდან, ჩვენ ვშლით ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს ერთ ხუთს (არსებობს მხოლოდ ერთი ხუთი). ჩვენ ვშლით მას პირველი დაშლისგან

გაამრავლეთ დარჩენილი რიცხვები:

მივიღეთ პასუხი 20. ასე რომ, რიცხვი 20 არის 100 და 40 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს ორი რიცხვი იყოფა 20-ზე ნაშთის გარეშე:

GCD (100 და 40) = 20.

მაგალითი 3იპოვეთ 72 და 128 რიცხვების gcd

72 ნომრის გათვალისწინება

128 რიცხვის ფაქტორირება

2×2×2×2×2×2×2

ახლა, პირველი ნომრის გაფართოებიდან, ჩვენ ვშლით ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს ორ სამეულს (საერთოდ არ არსებობს). ჩვენ ვშლით მათ პირველი დაშლისგან:

მივიღეთ პასუხი 8. ასე რომ, რიცხვი 8 არის 72 და 128 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს ორი რიცხვი იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე:

GCD (72 და 128) = 8

GCD-ის პოვნა მრავალი რიცხვისთვის

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფისთვის მოსაძებნი რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ იპოვება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი.

მაგალითად, ვიპოვოთ GCD 18, 24 და 36 ნომრებისთვის

18 რიცხვის ფაქტორინგი

24 რიცხვის ფაქტორინგი

36 რიცხვის ფაქტორინგი

ჩვენ მივიღეთ სამი გაფართოება:

ახლა ჩვენ ვირჩევთ და ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს ამ რიცხვებში. საერთო ფაქტორები უნდა იყოს შეტანილი სამივე რიცხვში:

ჩვენ ვხედავთ, რომ საერთო ფაქტორები 18, 24 და 36 რიცხვებისთვის არის 2 და 3 ფაქტორები. ამ ფაქტორების გამრავლებით მივიღებთ GCD-ს, რომელსაც ვეძებთ:

მივიღეთ პასუხი 6. ასე რომ, რიცხვი 6 არის 18, 24 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს სამი რიცხვი იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე:

GCD (18, 24 და 36) = 6

მაგალითი 2იპოვეთ gcd 12, 24, 36 და 42 ნომრებისთვის

მოდით გავამრავლოთ თითოეული რიცხვი. შემდეგ ვიპოვით ამ რიცხვების საერთო ფაქტორების ნამრავლს.

12 რიცხვის ფაქტორინგი

42 რიცხვის ფაქტორინგი

ჩვენ მივიღეთ ოთხი გაფართოება:

ახლა ჩვენ ვირჩევთ და ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს ამ რიცხვებში. საერთო ფაქტორები უნდა იყოს შეტანილი ოთხივე რიცხვში:

ჩვენ ვხედავთ, რომ საერთო ფაქტორები 12, 24, 36 და 42 რიცხვებისთვის არის 2 და 3 ფაქტორები. ამ ფაქტორების გამრავლებით მივიღებთ GCD, რომელსაც ვეძებთ:

მივიღეთ პასუხი 6. ასე რომ, რიცხვი 6 არის 12, 24, 36 და 42 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს რიცხვები იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე:

gcd(12, 24, 36 და 42) = 6

წინა გაკვეთილიდან ვიცით, რომ თუ რომელიმე რიცხვი იყოფა მეორეზე ნაშთის გარეშე, მას ამ რიცხვის ჯერადი ეწოდება.

გამოდის, რომ ჯერადი შეიძლება იყოს საერთო რამდენიმე რიცხვისთვის. ახლა კი ჩვენ დავინტერესდებით ორი რიცხვის ნამრავლით, მაშინ როცა ის რაც შეიძლება მცირე უნდა იყოს.

განმარტება. რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). ადა ბ- ადა ბ ადა ნომერი ბ.

განმარტება შეიცავს ორ ცვლადს ადა ბ. მოდით ჩავანაცვლოთ ამ ცვლადებს ნებისმიერი ორი რიცხვი. მაგალითად, ცვლადის ნაცვლად აჩაანაცვლეთ რიცხვი 9 და ცვლადის ნაცვლად ბშევცვალოთ რიცხვი 12. ახლა ვცადოთ განმარტების წაკითხვა:

რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). 9 და 12 - არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც არის ჯერადი 9 და 12 . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ისეთი მცირე რიცხვი, რომელიც ნაშთის გარეშე იყოფა რიცხვზე 9 და ნომერზე 12 .

განმარტებიდან ირკვევა, რომ LCM არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ნაშთის გარეშე 9-ზე და 12-ზე. ეს LCM უნდა მოიძებნოს.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნის ორი გზა არსებობს. პირველი გზა არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადი, შემდეგ კი ამ ჯერადებს შორის აირჩიოთ ისეთი რიცხვი, რომელიც იქნება როგორც საერთო, ასევე მცირე. გამოვიყენოთ ეს მეთოდი.

უპირველეს ყოვლისა, მოდით ვიპოვოთ 9-ის პირველი ჯერადები. 9-ის ჯერადების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს ცხრა რიცხვებზე რიგრიგობით 1-დან 9-მდე. თქვენ მიერ მიღებული პასუხები იქნება 9-ის ჯერადი. , დავიწყოთ. მრავლობითი მონიშნული იქნება წითლად:

ახლა ჩვენ ვპოულობთ 12-ს ჯერადებს. ამისათვის ვამრავლებთ 12-ს ყველა რიცხვზე 1-დან 12-მდე.