წინა განყოფილებაში, რომელიც მიეძღვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის ანალიზს, მივიღეთ რამდენიმე ფორმულა მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტზე [a; ბ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არადადებითი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტზე [a; ბ] .

ეს ფორმულები გამოიყენება შედარებით მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად. სინამდვილეში, ხშირად გვიწევს მუშაობა უფრო რთულ ფორმებთან. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ ამ განყოფილებას მივუძღვნით ალგორითმების ანალიზს ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად, რომლებიც შეზღუდულია ფუნქციებით აშკარა ფორმით, ე.ი. როგორიცაა y = f(x) ან x = g(y) .

თეორემა

მოდით y = f 1 (x) და y = f 2 (x) ფუნქციები განსაზღვრული და უწყვეტი იყოს [a; b ] , და f 1 (x) ≤ f 2 (x) ნებისმიერი x მნიშვნელობისთვის [a-დან; ბ] . შემდეგ ფიგურის G ფართობის გამოთვლის ფორმულა, რომელიც შემოსაზღვრულია x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) და y \u003d f 2 (x) ხაზებით გამოიყურება S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

მსგავსი ფორმულა გამოყენებული იქნება ფიგურის ფართობისთვის, რომელიც შემოიფარგლება y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) და x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

მტკიცებულება

ჩვენ გავაანალიზებთ სამ შემთხვევას, რომლებისთვისაც ფორმულა მოქმედი იქნება.

პირველ შემთხვევაში, ფართობის დანამატის თვისების გათვალისწინებით, თავდაპირველი ფიგურის G და მრუდი ტრაპეციის G 1 ფართობების ჯამი უდრის ფიგურის G 2 ფართობს. Ეს ნიშნავს, რომ

ამიტომ, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მესამე თვისების გამოყენებით.

მეორე შემთხვევაში, ტოლობა მართალია: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

თუ ორივე ფუნქცია არაპოზიტიურია, მივიღებთ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

გადავიდეთ ზოგადი შემთხვევის განხილვაზე, როდესაც y = f 1 (x) და y = f 2 (x) კვეთენ O x ღერძს.

გადაკვეთის წერტილებს აღვნიშნავთ x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . ეს წერტილები არღვევენ სეგმენტს [a; b ] n ნაწილად x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n , სადაც α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

აქედან გამომდინარე,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

ბოლო გადასვლის გაკეთება შეგვიძლია განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისების გამოყენებით.

მოდით გამოვხატოთ ზოგადი შემთხვევა გრაფიკზე.

ფორმულა S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x შეიძლება ჩაითვალოს დადასტურებულად.

ახლა კი მოდით გადავიდეთ ფიგურების ფართობის გამოთვლის მაგალითების ანალიზზე, რომლებიც შემოიფარგლება y \u003d f (x) და x \u003d g (y) ხაზებით.

რომელიმე მაგალითის გათვალისწინებით, ჩვენ დავიწყებთ გრაფიკის აგებით. გამოსახულება საშუალებას მოგვცემს წარმოვადგინოთ რთული ფორმები, როგორც მარტივი ფორმების კომბინაციები. თუ უჭირთ მათზე გრაფიკების და ფიგურების დახატვა, შეგიძლიათ შეისწავლოთ განყოფილება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების, ფუნქციების გრაფიკების გეომეტრიული ტრანსფორმაციის შესახებ, ასევე ფუნქციის შემოწმებისას დახატვა.

მაგალითი 1

აუცილებელია განისაზღვროს ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება პარაბოლით y \u003d - x 2 + 6 x - 5 და სწორი ხაზებით y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d. 1, x \u003d 4.

გადაწყვეტილება

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში.

ინტერვალზე [1; 4] პარაბოლის გრაფიკი y = - x 2 + 6 x - 5 მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ y = - 1 3 x - 1 2 . ამასთან დაკავშირებით, პასუხის მისაღებად ვიყენებთ ადრე მიღებულ ფორმულას, ასევე განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

პასუხი: S (G) = 13

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითს.

მაგალითი 2

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = x + 2, y = x, x = 7 ხაზებით.

გადაწყვეტილება

ამ შემთხვევაში x-ღერძის პარალელურად მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი გვაქვს. ეს არის x = 7. ეს მოითხოვს, რომ ჩვენ თვითონ ვიპოვოთ ინტეგრაციის მეორე ლიმიტი.

ავაშენოთ გრაფიკი და დავდოთ მასზე ამოცანის პირობით მოცემული ხაზები.

ჩვენს თვალწინ გრაფა გვქონდეს, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად განვსაზღვროთ, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი იქნება გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა სწორი ხაზით y \u003d x და ნახევრად პარაბოლა y \u003d x + 2. აბსცისის საპოვნელად ვიყენებთ ტოლობებს:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

გამოდის, რომ გადაკვეთის წერტილის აბსციზა არის x = 2.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ნახაზის ზოგად მაგალითში წრფეები y = x + 2 , y = x იკვეთება (2 ; 2) წერტილში, ამიტომ ასეთი დეტალური გამოთვლები შეიძლება ზედმეტი ჩანდეს. ჩვენ მივაწოდეთ ასეთი დეტალური გადაწყვეტა აქ მხოლოდ იმიტომ, რომ უფრო რთულ შემთხვევებში გამოსავალი შეიძლება არც ისე აშკარა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ უმჯობესია ხაზების გადაკვეთის კოორდინატები ყოველთვის ანალიზურად გამოვთვალოთ.

ინტერვალზე [2; 7] y = x ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = x + 2 ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

პასუხი: S (G) = 59 6

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y \u003d 1 x და y \u003d - x 2 + 4 x - 2 ფუნქციების გრაფიკებით.

გადაწყვეტილება

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე.

მოდით განვსაზღვროთ ინტეგრაციის საზღვრები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ წრფეთა გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს 1 x და - x 2 + 4 x - 2 გამონათქვამების ტოლობით. იმ პირობით, რომ x არ არის ნულის ტოლი, ტოლობა 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 ხდება მესამე ხარისხის განტოლების ექვივალენტი - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით . თქვენ შეგიძლიათ განაახლოთ მეხსიერების ალგორითმი ასეთი განტოლებების გადასაჭრელად განყოფილებაში „კუბური განტოლებების ამოხსნა“.

ამ განტოლების ფესვი არის x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

გამონათქვამის - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 x - 1 ორობითი გაყოფით მივიღებთ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დარჩენილი ფესვები განტოლებიდან x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

ჩვენ ვიპოვეთ x ∈ 1 ინტერვალი; 3 + 13 2, სადაც G მოთავსებულია ლურჯი ხაზის ზემოთ და წითელი ხაზის ქვემოთ. ეს გვეხმარება ფორმის ფართობის დადგენაში:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

პასუხი: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

მაგალითი 4

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 და x ღერძი.

გადაწყვეტილება

მოდით დავდოთ ყველა ხაზი გრაფიკზე. ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ y = - log 2 x + 1 ფუნქციის გრაფიკი y = log 2 x გრაფიკიდან, თუ მას სიმეტრიულად მოვათავსებთ x ღერძზე და ავწევთ ერთი ერთეულით ზემოთ. x-ღერძის განტოლება y \u003d 0.

აღვნიშნოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილები.

როგორც ნახატიდან ჩანს, y \u003d x 3 და y \u003d 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (0; 0) წერტილში. ეს იმიტომ ხდება, რომ x \u003d 0 არის განტოლების ერთადერთი რეალური ფესვი x 3 \u003d 0.

x = 2 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი - log 2 x + 1 = 0 , ამიტომ y = - log 2 x + 1 და y = 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (2 ; 0) წერტილში.

x = 1 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი x 3 = - log 2 x + 1. ამასთან დაკავშირებით, y \u003d x 3 და y \u003d - log 2 x + 1 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (1; 1) წერტილში. ბოლო განცხადება შეიძლება არ იყოს აშკარა, მაგრამ განტოლებას x 3 \u003d - log 2 x + 1 არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი, რადგან ფუნქცია y \u003d x 3 მკაცრად იზრდება, ხოლო ფუნქცია y \u003d - log 2 x +1 მკაცრად კლებულობს.

შემდეგი ნაბიჯი მოიცავს რამდენიმე ვარიანტს.

ვარიანტი ნომერი 1

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ფიგურა G, როგორც ორი მრუდი ტრაპეციის ჯამი, რომლებიც მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ, რომელთაგან პირველი მდებარეობს შუა ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 1, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელი ხაზის ქვემოთ; 2. ეს ნიშნავს, რომ ფართობი ტოლი იქნება S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

ვარიანტი ნომერი 2

ფიგურა G შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფიგურის სხვაობით, რომელთაგან პირველი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ და ლურჯი ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 2, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელ და ლურჯ ხაზებს შორის; 2. ეს საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ასეთი ტერიტორია:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- ჟურნალი 2 x + 1) d x

ამ შემთხვევაში, ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. სინამდვილეში, ხაზები, რომლებიც აკავშირებენ ფორმას, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს y არგუმენტის ფუნქციებად.

მოდით ამოხსნათ განტოლებები y = x 3 და - log 2 x + 1 x მიმართ:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - ჟურნალი 2 x + 1 ⇒ ჟურნალი 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

ჩვენ ვიღებთ საჭირო ფართობს:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

პასუხი: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

მაგალითი 5

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 ხაზებით.

გადაწყვეტილება

დახაზეთ ხაზი სქემაზე წითელი ხაზით, რომელიც მოცემულია y = x ფუნქციით. დახაზეთ ხაზი y = - 1 2 x + 4 ლურჯად და მონიშნეთ ხაზი y = 2 3 x - 3 შავით.

ყურადღება მიაქციეთ გადაკვეთის წერტილებს.

იპოვეთ y = x და y = - 1 2 x + 4 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i არის განტოლების ამონახსნი x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 არის განტოლების ამონახსნი ⇒ (4 ; 2) გადაკვეთის წერტილი i y = x და y = - 1 2 x + 4

იპოვეთ y = x და y = 2 3 x - 3 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილი:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 შემოწმება: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 არის ⇒ (9; 3) განტოლების ამონახსნი y = x და y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 არ არის განტოლების ამონახსნი

იპოვეთ y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3 წრფეების გადაკვეთის წერტილი:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) გადაკვეთის წერტილი y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3

მეთოდი ნომერი 1

ჩვენ წარმოვადგენთ სასურველი ფიგურის ფართობს, როგორც ცალკეული ფიგურების ფართობების ჯამს.

მაშინ ფიგურის ფართობია:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

მეთოდი ნომერი 2

ორიგინალური ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დანარჩენი ორი ფიგურის ჯამი.

შემდეგ ჩვენ ვხსნით ხაზოვან განტოლებას x-სთვის და მხოლოდ ამის შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად.

y = x ⇒ x = y 2 წითელი ხაზი y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 შავი ხაზი y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

ასე რომ, ტერიტორია არის:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

როგორც ხედავთ, მნიშვნელობები ემთხვევა.

პასუხი: S (G) = 11 3

შედეგები

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მოცემული ხაზებით, უნდა დავხატოთ ხაზები სიბრტყეზე, ვიპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილები და გამოვიყენოთ ფორმულა ფართობის საპოვნელად. ამ განყოფილებაში ჩვენ განვიხილეთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ვარიანტები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განსაზღვრული ინტეგრალი. როგორ გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი

ახლა ჩვენ მივმართავთ ინტეგრალური გაანგარიშების აპლიკაციების განხილვას. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას. როგორ გამოვიყენოთ განსაზღვრული ინტეგრალი სიბრტყის ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად. და ბოლოს, ვინც აზრს ეძებს უმაღლეს მათემატიკაში - შეიძლება იპოვონ იგი. Არასოდეს იცი. რეალურ ცხოვრებაში, თქვენ მოგიწევთ საზაფხულო კოტეჯის მიახლოება ელემენტარული ფუნქციებით და იპოვოთ მისი ფართობი გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით.

მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:

1) განუსაზღვრელი ინტეგრალის გაგება საშუალო დონეზე მაინც. ამგვარად, დუიმებმა ჯერ გაკვეთილი უნდა წაიკითხონ არა.

2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. თქვენ შეგიძლიათ დაამყაროთ თბილი მეგობრული ურთიერთობა ცალკეულ ინტეგრალებთან გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები.

სინამდვილეში, იმისათვის, რომ იპოვოთ ფიგურის ფართობი, თქვენ არ გჭირდებათ ამდენი ცოდნა განუსაზღვრელი და განსაზღვრული ინტეგრალის შესახებ. ამოცანა "გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით" ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებასასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარები ბევრად უფრო აქტუალური საკითხი იქნება. ამ მხრივ, სასარგებლოა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების მეხსიერების განახლება და, მინიმუმ, სწორი ხაზის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის აგება. ეს შეიძლება გაკეთდეს (ბევრს სჭირდება) მეთოდოლოგიური მასალისა და გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნების შესახებ სტატიის დახმარებით.

ფაქტობრივად, სკოლიდანვე ყველა იცნობს ტერიტორიის განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ტერიტორიის პოვნის პრობლემას და სასკოლო კურიკულუმს ცოტა წინ წავალთ. შეიძლება ეს სტატია საერთოდ არ არსებობდეს, მაგრამ ფაქტია, რომ პრობლემა 100-დან 99 შემთხვევაში ჩნდება, როცა სტუდენტს საძულველი კოშკი აწამებს უმაღლესი მათემატიკის კურსს ენთუზიაზმით.

ამ სემინარის მასალები წარმოდგენილია მარტივად, დეტალურად და მინიმალური თეორიით.

დავიწყოთ მრუდი ტრაპეცია.

მრუდი ტრაპეციაეწოდება ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება ღერძით, სწორი ხაზებით და უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკით სეგმენტზე, რომელიც არ ცვლის ნიშანს ამ ინტერვალზე. მოდით ეს ფიგურა განთავსდეს არანაკლებაბსციზა:

მერე მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს. ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. გაკვეთილზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითებიმე ვთქვი, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA.

ე.ი. განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება რომელიმე ფიგურის ფართობს. მაგალითად, განიხილეთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ინტეგრანი განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ (მსურველებს შეუძლიათ დაასრულონ ნახაზი), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება. უფრო მეტიც, ნახატი უნდა აშენდეს უფლება.

გეგმის შექმნისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა ხაზი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) და მხოლოდ შემდეგ- პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. ფუნქციების გრაფიკების აგება უფრო მომგებიანია წერტილი-პუნქტი, წერტილოვანი კონსტრუქციის ტექნიკით შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. იქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მასალა, რომელიც ძალიან სასარგებლოა ჩვენს გაკვეთილთან დაკავშირებით - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს):

მრუდე ტრაპეციას არ გამოვჩეჩე, გასაგებია რომელ არეალზეა აქ საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

სეგმენტზე განთავსებულია ფუნქციის გრაფიკი ღერძზე მეტი, Ამიტომაც:

პასუხი:

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება , იხილეთ ლექცია განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები.

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, და ღერძი

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გადაწყვეტილება: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მრუდი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ(ან თუნდაც არა უფრო მაღალიმოცემული ღერძი), მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:
Ამ შემთხვევაში:

ყურადღება! არ აურიოთ ორი ტიპის დავალება:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ გარკვეული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, .

გადაწყვეტილება: ჯერ უნდა დაასრულოთ ნახაზი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილები. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

აქედან გამომდინარე, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი.
თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია არ გამოიყენოთ ეს მეთოდი..

გაცილებით მომგებიანი და სწრაფია ხაზების პუნქტად აგება, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა თითქოს „თვითონ“. დახმარებაში დეტალურად არის განხილული სხვადასხვა სქემების წერტილი-პუნქტის აგების ტექნიკა ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური). და ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ მაგალითს.

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ვიმეორებ, რომ წერტილოვანი კონსტრუქციით, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად „ავტომატურად“ ირკვევა.

ახლა კი სამუშაო ფორმულა: თუ არის რაიმე უწყვეტი ფუნქცია ინტერვალზე მეტი ან ტოლიზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია, შემდეგ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ამ ფუნქციების გრაფიკებითა და სწორი ხაზებით, შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

აქ აღარ არის საჭირო იმაზე ფიქრი, თუ სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ და, უხეშად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა აქვს რომელი დიაგრამაა ზემოთ(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

გადაწყვეტის დასრულება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოდან და სწორი ხაზით ქვემოდან.
სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მარტივი მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა. . ვინაიდან ღერძი მოცემულია განტოლებით, ხოლო ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს არა უფრო მაღალიცულები, მაშინ

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი, .

გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით ტერიტორიის გამოსათვლელად ამოცანების გადაჭრის პროცესში ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები იყო სწორი, მაგრამ უყურადღებობის გამო ... იპოვა არასწორი ფიგურის ფართობი, ასე ატეხა რამდენჯერმე შენმა მორჩილმა მსახურმა. აქ არის რეალური შემთხვევა:

მაგალითი 7

გამოთვალეთ , , , ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გადაწყვეტილება: ჯერ დავხატოთ ნახატი:

...ეჰ, ნახატი სისულელე გამოვიდა, მაგრამ ყველაფერი იკითხება.

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული.(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ხშირად ჩნდება "გაუმართაობა", რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ მასში ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის სწორი ხაზის გრაფიკი;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის ჰიპერბოლის გრაფიკი.

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მოდით გადავიდეთ კიდევ ერთ მნიშვნელოვან ამოცანაზე.

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,
წარმოვადგინოთ განტოლებები „სასკოლო“ სახით და შევასრულოთ პუნქტი-პუნქტი:

ნახატიდან ჩანს, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი არის „კარგი“: .
მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი? გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა? Შესაძლოა ? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, ეს შეიძლება აღმოჩნდეს. ან ფესვი. რა მოხდება, თუ ჩვენ საერთოდ არ მივიღეთ გრაფიკი სწორად?

ასეთ შემთხვევებში საჭიროა დამატებითი დროის დახარჯვა და ინტეგრაციის საზღვრების ანალიტიკური დახვეწა.

ვიპოვოთ წრფისა და პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები.
ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:


,

ნამდვილად,.

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია, მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ აირიოთ, აქ გამოთვლები არც ისე მარტივია.

სეგმენტზე შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

კარგად, გაკვეთილის დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ ორ ამოცანას უფრო რთულად.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,

გადაწყვეტილება: დახატე ეს ფიგურა ნახატზე.

ჯანდაბა, დამავიწყდა განრიგის ხელმოწერა და სურათის გადაკეთება, უკაცრავად, არა hotz. ნახატი არაა, მოკლედ დღეს დღეა =)

წერტილი-წერტილი კონსტრუქციისთვის საჭიროა იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა (და ზოგადად სასარგებლოა იცოდეთ ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკები), ისევე როგორც ზოგიერთი სინუსური მნიშვნელობები, ისინი შეიძლება მოიძებნოს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. ზოგიერთ შემთხვევაში (როგორც ამ შემთხვევაში) დასაშვებია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც პრინციპულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის ლიმიტები.

აქ ინტეგრაციის ლიმიტებთან არანაირი პრობლემა არ არის, ისინი პირდაპირ მოყვება მდგომარეობიდან: - "x" იცვლება ნულიდან "pi". ჩვენ ვიღებთ შემდგომ გადაწყვეტილებას:

სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ამიტომ:

ფიგურის ფართობის გამოთვლაეს ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე რთული პრობლემაა არეალის თეორიაში. სასკოლო გეომეტრიაში მათ ასწავლიან ისეთი ძირითადი გეომეტრიული ფორმების არეების პოვნას, როგორიცაა, მაგალითად, სამკუთხედი, რომბი, მართკუთხედი, ტრაპეცია, წრე და ა.შ. თუმცა, ხშირად უხდება საქმე უფრო რთული ფიგურების ფართობების გამოთვლას. სწორედ ასეთი პრობლემების გადაჭრაშია ძალიან მოსახერხებელი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება.

განმარტება.

მრუდი ტრაპეციაზოგიერთ ფიგურას G ეწოდება, რომელიც შემოსაზღვრულია y = f(x), y = 0, x = a და x = b წრფეებით, ხოლო ფუნქცია f(x) უწყვეტია სეგმენტზე [a; ბ] და არ ცვლის მასზე ნიშანს (ნახ. 1).მრუდი ტრაპეციის ფართობი შეიძლება აღინიშნოს S(G)-ით.

განსაზღვრული ინტეგრალი ʃ a b f(x)dx f(x) ფუნქციისთვის, რომელიც არის უწყვეტი და არაუარყოფითი სეგმენტზე [a; b] და არის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობი.

ანუ, ფიგურის G ფართობის საპოვნელად, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a და x \u003d b ხაზებით, აუცილებელია გამოთვალოთ განსაზღვრული ინტეგრალი ʃ a b f (x) dx.

ამრიგად, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

თუ ფუნქცია y = f(x) არ არის დადებითი [a; b], მაშინ მრუდი ტრაპეციის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ y \u003d x 3 ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი; y = 1; x = 2.

გადაწყვეტილება.

მოცემული ხაზები ქმნიან ფიგურას ABC, რომელიც ნაჩვენებია გამოჩეკით ბრინჯი. 2.

სასურველი ფართობი უდრის სხვაობას მრუდი ტრაპეციის DACE და კვადრატის DABE უბნებს შორის.

ფორმულის გამოყენებით S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), ვპოულობთ ინტეგრაციის საზღვრებს. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ორი განტოლების სისტემას:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს x 1 \u003d 1 - ქვედა ზღვარი და x \u003d 2 - ზედა ზღვარი.

ასე რომ, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (კვადრატული ერთეული).

პასუხი: 11/4 კვ. ერთეულები

მაგალითი 2

გამოთვალეთ y \u003d √x ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი; y = 2; x = 9.

გადაწყვეტილება.

მოცემული ხაზები ქმნიან ფიგურას ABC, რომელიც ზემოდან შემოსაზღვრულია ფუნქციის გრაფიკით

y \u003d √x და ქვემოდან ფუნქციის გრაფიკი y \u003d 2. შედეგად მიღებული ფიგურა ნაჩვენებია გამოჩეკვით ბრინჯი. 3.

სასურველი ფართობი უდრის S = ʃ a b (√x - 2). ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები: b = 9, a-ს საპოვნელად, ჩვენ ვხსნით ორი განტოლების სისტემას:

(y = √x,
(y = 2.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს, რომ x = 4 = a არის ქვედა ზღვარი.

ასე რომ, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (კვადრატული ერთეული).

პასუხი: S = 2 2/3 კვ. ერთეულები

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d x 3 - 4x ხაზებით; y = 0; x ≥ 0.

გადაწყვეტილება.

მოდით გამოვსახოთ ფუნქცია y \u003d x 3 - 4x x ≥ 0-ზე. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს y ':

y' = 3x 2 - 4, y' = 0 at х = ±2/√3 ≈ 1.1 არის კრიტიკული წერტილები.

თუ რეალურ ღერძზე გამოვსახავთ კრიტიკულ წერტილებს და მოვათავსებთ წარმოებულის ნიშნებს, მივიღებთ, რომ ფუნქცია მცირდება ნულიდან 2/√3-მდე და იზრდება 2/√3-დან პლუს უსასრულობამდე. მაშინ x = 2/√3 არის მინიმალური წერტილი, y ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა არის min = -16/(3√3) ≈ -3.

განვსაზღვროთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:

თუ x \u003d 0, მაშინ y \u003d 0, რაც ნიშნავს, რომ A (0; 0) არის Oy ღერძთან გადაკვეთის წერტილი;

თუ y \u003d 0, მაშინ x 3 - 4x \u003d 0 ან x (x 2 - 4) \u003d 0, ან x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, საიდანაც x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (არ არის შესაფერისი, რადგან x ≥ 0).

წერტილები A(0; 0) და B(2; 0) არის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები Ox ღერძთან.

მოცემული ხაზები ქმნის OAB ფიგურას, რომელიც ნაჩვენებია გამოჩეკვით ბრინჯი. 4.

ვინაიდან ფუნქცია y \u003d x 3 - 4x იღებს (0; 2) უარყოფით მნიშვნელობას, მაშინ

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

გვაქვს: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, საიდანაც S \u003d 4 კვადრატული მეტრი. ერთეულები

პასუხი: S = 4 კვ. ერთეულები

მაგალითი 4

იპოვეთ პარაბოლით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y \u003d 2x 2 - 2x + 1, სწორი ხაზები x \u003d 0, y \u003d 0 და ამ პარაბოლის ტანგენსი აბსცისის x 0 \u003d წერტილში. 2.

გადაწყვეტილება.

პირველი, ჩვენ ვადგენთ პარაბოლის ტანგენტის განტოლებას y \u003d 2x 2 - 2x + 1 აბსცისის x₀ \u003d 2 წერტილში.

ვინაიდან წარმოებული y' = 4x - 2, მაშინ x 0 = 2-ისთვის მივიღებთ k = y'(2) = 6.

იპოვეთ შეხების წერტილის ორდინატი: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

ამრიგად, ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა: y - 5 \u003d 6 (x - 2) ან y \u003d 6x - 7.

მოდით ავაშენოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურა:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - პარაბოლა. კოორდინატთა ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები: A(0; 1) - Oy ღერძთან; Ox ღერძით - არ არის გადაკვეთის წერტილები, რადგან განტოლებას 2x 2 - 2x + 1 = 0 არ აქვს ამონახსნები (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, ანუ B პარაბოლის წერტილის წვეროს აქვს B კოორდინატები (1/2; 1/2).

ასე რომ, ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა განისაზღვროს, ნაჩვენებია გამოჩეკვით ბრინჯი. 5.

ჩვენ გვაქვს: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

იპოვეთ D წერტილის კოორდინატები პირობიდან:

6x - 7 = 0, ე.ი. x \u003d 7/6, შემდეგ DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

ჩვენ ვპოულობთ სამკუთხედის ფართობს DBC ფორმულის გამოყენებით S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. ამრიგად,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 კვ. ერთეულები

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (კვადრატული ერთეული).

საბოლოოდ ვიღებთ: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (კვ. ერთეული).

პასუხი: S = 1 1/4 კვ. ერთეულები

ჩვენ განვიხილეთ მაგალითები მოცემული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობის პოვნა. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეძლოთ სიბრტყეზე ფუნქციების ხაზების და გრაფიკების აგება, ხაზების გადაკვეთის წერტილების პოვნა, ფართობის მოსაძებნად ფორმულის გამოყენება, რაც გულისხმობს გარკვეული ინტეგრალის გამოთვლის უნარს და უნარს.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

განმარტება.განსხვავება F (b) - F (a) ეწოდება f (x) ფუნქციის ინტეგრალი [a ; b ] და აღინიშნება შემდეგნაირად: = F (b) - F (a) - ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.

ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია უწყვეტი დადებითი გრაფიკით ინტერვალზე [a; b ] ფუნქციის f (x), Ox ღერძი და სწორი წრფეები x=a და x=b:

ფართობის გამოთვლა ინტეგრალის გამოყენებით.

1. ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია უწყვეტი ნეგატივის გრაფიკით, ინტერვალზე [a; b ] ფუნქციის f (x), Ox ღერძი და სწორი წრფეები x=a და x=b:

2. ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია f (x) უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკებით და სწორი ხაზებით x \u003d a, x \u003d b:

3. ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია f (x) უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკებით და:

4. ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია f (x) უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკებით და Ox ღერძით:

ამოცანები და ტესტები თემაზე "ინტეგრალი. ფართობების გამოთვლა ინტეგრალის გამოყენებით"

• ინტეგრალური

  გაკვეთილი: 4 დავალება: 13 ტესტი: 1

• ფართობის გამოთვლა ინტეგრალის გამოყენებით - ანტიდერივატიული და ინტეგრალური კლასი 11

  გაკვეთილი: 1 დავალება: 10 ვიქტორინა: 1

• ანტიდერივატი - ანტიდერივატიული და ინტეგრალური კლასი 11

  გაკვეთილი: 1 დავალება: 11 ტესტი: 1

• პლანიმეტრია: სიგრძის და ფართობის გამოთვლა

  დავალებები: 7

• გამოთვლები და გარდაქმნები - მომზადება მათემატიკაში გამოცდისთვის

  დავალებები: 10

სანამ დაიწყებთ მოცემული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლას, შეეცადეთ დახაზოთ ეს ფიგურა კოორდინატულ სისტემაში. ეს მნიშვნელოვნად შეუწყობს ხელს პრობლემის გადაჭრას.

ამ თემაზე თეორიული მასალების შესწავლა საშუალებას გაძლევთ დაეუფლოთ ანტიწარმოებულისა და ინტეგრალის ცნებებს, გაეცნოთ მათ შორის ურთიერთობას, დაეუფლოთ ინტეგრალური გამოთვლების უმარტივეს ტექნიკას, ისწავლოთ როგორ გამოიყენოთ ინტეგრალი ფუნქციით შეზღუდული ფიგურების არეების გამოსათვლელად. გრაფიკები.

მაგალითები.

1. გამოთვალეთ ინტეგრალი

გადაწყვეტილება:

პასუხი: 0.

2. იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

ა) ვ(x) = 2 X – X 2 და x-ღერძი

გადაწყვეტილება:ფუნქციის გრაფიკი f (x) \u003d 2x - x 2 პარაბოლა. Vertex: (1; 1).

პასუხი:(კვ. ერთეულები).