მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე მოცემულია ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ხაზით. სწორ ხაზებს კოორდინატულ ღერძებს (ან კოორდინატულ ღერძებს) უწოდებენ. ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილს ეწოდება საწყისი და აღინიშნება ასო O-ით.

ჩვეულებრივ, ერთი ხაზი ჰორიზონტალურია, მეორე კი ვერტიკალური. ჰორიზონტალური ხაზი აღინიშნება როგორც x (ან Ox) ღერძი და ეწოდება აბსცისის ღერძი, ვერტიკალურს არის y (Oy) ღერძი, ეწოდება y-ღერძი. მთელი კოორდინატთა სისტემა აღინიშნება xOy-ით.

წერტილი O ყოფს თითოეულ ღერძს ორ ნახევრად ღერძად, რომელთაგან ერთი დადებითად ითვლება (ისრით აღინიშნება), მეორე უარყოფითად.

სიბრტყის თითოეულ F წერტილს ენიჭება რიცხვების წყვილი (x;y) - მისი კოორდინატები.

x-კოორდინატს აბსცისა ეწოდება. შესაბამისი ნიშნით აღებულ ოქსს უდრის.

y კოორდინატი ეწოდება ორდინატს და უდრის F წერტილიდან Oy ღერძამდე მანძილს (შესაბამისი ნიშნით).

ღერძების მანძილი ჩვეულებრივ (მაგრამ არა ყოველთვის) იზომება სიგრძის იმავე ერთეულში.

y ღერძის მარჯვნივ წერტილებს აქვთ დადებითი აბსციები. წერტილებისთვის, რომლებიც მდებარეობს y-ღერძის მარცხნივ, აბსციები უარყოფითია. ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს Oy-ღერძზე, მისი x-კოორდინატი ნულის ტოლია.

წერტილები დადებითი ორდინატით დევს x-ღერძზე ზემოთ, ხოლო უარყოფითი ორდინატის მქონე წერტილები დევს ქვემოთ. თუ წერტილი x ღერძზე დევს, მისი y კოორდინატი არის ნული.

კოორდინატთა ღერძები სიბრტყეს ოთხ ნაწილად ყოფს, რომლებსაც კოორდინატთა მეოთხედები (ან კოორდინატთა კუთხეები ან კვადრატები) უწოდებენ.

1 კოორდინატთა მეოთხედიმდებარეობს xOy კოორდინატთა სიბრტყის ზედა მარჯვენა კუთხეში. I კვარტალში მდებარე წერტილების ორივე კოორდინატი დადებითია.

ერთი მეოთხედიდან მეორეზე გადასვლა ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

მე-2 მეოთხედიმდებარეობს ზედა მარცხენა კუთხეში. მეორე კვარტალში მდებარე ქულებს აქვთ უარყოფითი აბსცისა და დადებითი ორდინატი.

მე-3 მეოთხედიმდებარეობს xOy სიბრტყის ქვედა მარცხენა კვადრატში. III კოორდინატთა კუთხის კუთვნილი წერტილების ორივე კოორდინატი უარყოფითია.

მე-4 კოორდინატთა კვარტალიარის კოორდინატთა სიბრტყის ქვედა მარჯვენა კუთხე. IV კვარტლის ნებისმიერ წერტილს აქვს დადებითი პირველი კოორდინატი და უარყოფითი მეორე.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წერტილების ადგილმდებარეობის მაგალითი:

მათემატიკა საკმაოდ რთული მეცნიერებაა. მისი შესწავლისას საჭიროა არა მხოლოდ მაგალითებისა და პრობლემების გადაჭრა, არამედ სხვადასხვა ფიგურებთან და თვით თვითმფრინავებთან მუშაობაც. მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე გამოყენებული არის კოორდინატთა სისტემა თვითმფრინავზე. ბავშვებს ერთ წელზე მეტია ასწავლიდნენ, თუ როგორ უნდა იმუშაონ სწორად. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია იცოდეთ რა არის და როგორ ვიმუშაოთ მასთან სწორად.

მოდით გაერკვნენ, რა არის ეს სისტემა, რა მოქმედებები შეგიძლიათ შეასრულოთ მასთან და ასევე გავარკვიოთ მისი ძირითადი მახასიათებლები და მახასიათებლები.

კონცეფციის განმარტება

კოორდინატთა სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელზედაც განსაზღვრულია კონკრეტული კოორდინატთა სისტემა. ასეთი სიბრტყე განისაზღვრება ორი სწორი ხაზით, რომლებიც იკვეთება მართი კუთხით. ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის კოორდინატების საწყისი. კოორდინატთა სიბრტყის თითოეული წერტილი მოცემულია რიცხვების წყვილით, რომლებსაც კოორდინატები ეწოდება.

სასკოლო მათემატიკის კურსზე მოსწავლეებს საკმაოდ მჭიდროდ უწევთ კოორდინატთა სისტემასთან მუშაობა - მასზე ააგებენ ფიგურებს და წერტილებს, დაადგინონ რომელ სიბრტყეს ეკუთვნის ესა თუ ის კოორდინატი, ასევე დაადგინონ წერტილის კოორდინატები და დაწერონ ან დაასახელონ. ამიტომ, მოდით ვისაუბროთ უფრო დეტალურად კოორდინატების ყველა მახასიათებლის შესახებ. მაგრამ ჯერ შევეხოთ შექმნის ისტორიას, შემდეგ კი ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ ვიმუშაოთ კოორდინატულ სიბრტყეზე.

ისტორიის მინიშნება

იდეები კოორდინატთა სისტემის შექმნის შესახებ იყო პტოლემეოსის დროს. მაშინაც კი, ასტრონომები და მათემატიკოსები ფიქრობდნენ იმაზე, თუ როგორ უნდა ისწავლონ სიბრტყეზე წერტილის პოზიციის დადგენა. სამწუხაროდ, იმ დროს ჩვენთვის ცნობილი კოორდინატთა სისტემა არ იყო და მეცნიერებს სხვა სისტემების გამოყენება უწევდათ.

თავდაპირველად, ისინი ადგენენ წერტილებს გრძედისა და გრძედის მითითებით. დიდი ხნის განმავლობაში ეს იყო ამა თუ იმ ინფორმაციის რუკის შედგენის ერთ-ერთი ყველაზე გამოყენებული გზა. მაგრამ 1637 წელს რენე დეკარტმა შექმნა საკუთარი კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც მოგვიანებით ეწოდა "კარტეზიული".

უკვე XVII საუკუნის ბოლოს. ცნება „კოორდინატთა სიბრტყე“ ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სამყაროში. მიუხედავად იმისა, რომ ამ სისტემის შექმნიდან რამდენიმე საუკუნე გავიდა, ის კვლავ ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში და ცხოვრებაშიც კი.

სიბრტყის კოორდინაციის მაგალითები

სანამ თეორიაზე ვისაუბრებთ, კოორდინატთა სიბრტყის რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითს მოვიყვანთ, რომ წარმოიდგინოთ იგი. კოორდინატთა სისტემა ძირითადად გამოიყენება ჭადრაკში. დაფაზე თითოეულ კვადრატს აქვს თავისი კოორდინატები - ერთი ასო კოორდინატი, მეორე - ციფრული. მისი დახმარებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ კონკრეტული ნაწილის პოზიცია დაფაზე.

მეორე ყველაზე ნათელი მაგალითია საყვარელი თამაში "Battleship". დაიმახსოვრეთ, თამაშის დროს როგორ ასახელებთ კოორდინატს, მაგალითად, B3, რითაც ზუსტად მიუთითებთ სად უმიზნებთ. ამავდროულად, გემების განლაგებისას, თქვენ ადგენთ წერტილებს კოორდინატულ სიბრტყეზე.

ეს კოორდინატთა სისტემა ფართოდ გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, ლოგიკურ თამაშებში, არამედ სამხედრო საქმეებში, ასტრონომიაში, ფიზიკასა და ბევრ სხვა მეცნიერებაში.

საკოორდინაციო ღერძები

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, კოორდინატთა სისტემაში გამოიყოფა ორი ღერძი. მოდით ვისაუბროთ მათზე, რადგან მათ დიდი მნიშვნელობა აქვთ.

პირველი ღერძი – აბსციზა – ჰორიზონტალურია. იგი აღინიშნება როგორც ( ოქსი). მეორე ღერძი არის ორდინატი, რომელიც ვერტიკალურად გადის საცნობარო წერტილში და აღინიშნება როგორც ( ოი). სწორედ ეს ორი ღერძი ქმნის კოორდინატთა სისტემას, რომელიც ყოფს თვითმფრინავს ოთხ მეოთხედად. საწყისი მდებარეობს ამ ორი ღერძის გადაკვეთის წერტილში და იღებს მნიშვნელობას 0 . მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სიბრტყე იქმნება ორი ღერძით, რომლებიც იკვეთება პერპენდიკულარულად და აქვს საცნობარო წერტილი, არის ეს კოორდინატული სიბრტყე.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თითოეულ ღერძს აქვს თავისი მიმართულება. ჩვეულებრივ, კოორდინატთა სისტემის აგებისას, ჩვეულებრივია ღერძის მიმართულების მითითება ისრის სახით. გარდა ამისა, კოორდინატთა სიბრტყის აგებისას, თითოეული ღერძი გაფორმებულია.

მეოთხედი

ახლა მოდით ვთქვათ რამდენიმე სიტყვა ისეთი კონცეფციის შესახებ, როგორიცაა კოორდინატთა სიბრტყის მეოთხედი. თვითმფრინავი დაყოფილია ორი ღერძით ოთხ ნაწილად. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი ნომერი, ხოლო თვითმფრინავების ნუმერაცია არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

თითოეულ კვარტალს აქვს საკუთარი მახასიათებლები. ასე რომ, პირველ მეოთხედში აბსციზა და ორდინატი დადებითია, მეორე მეოთხედში აბსციზა უარყოფითია, ორდინატი დადებითია, მესამეში აბსციზაც და ორდინატიც უარყოფითია, მეოთხეში აბსციზა არის უარყოფითი. დადებითი, ხოლო ორდინატი უარყოფითია.

ამ მახასიათებლების დამახსოვრების საშუალებით, შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ, რომელ კვარტალს ეკუთვნის კონკრეტული წერტილი. გარდა ამისა, ეს ინფორმაცია შეიძლება გამოგადგეთ, თუ გამოთვლების გაკეთება მოგიწევთ კარტეზიული სისტემის გამოყენებით.

მუშაობა კოორდინატულ სიბრტყეზე

როდესაც ჩვენ გავარკვიეთ თვითმფრინავის კონცეფცია და ვისაუბრეთ მის კვარტალებზე, შეგვიძლია გადავიდეთ ისეთ პრობლემაზე, როგორიცაა ამ სისტემასთან მუშაობა და ასევე ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ უნდა დავაყენოთ მასზე წერტილები, ფიგურების კოორდინატები. კოორდინატულ სიბრტყეში ეს არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს.

უპირველეს ყოვლისა, თავად სისტემაა აგებული, მასზე გამოიყენება ყველა მნიშვნელოვანი აღნიშვნა. შემდეგ არის უშუალოდ ქულებით ან ფიგურებით მუშაობა. ამ შემთხვევაში, ფიგურების აგების დროსაც კი, წერტილები ჯერ სიბრტყეზე გამოიყენება, შემდეგ კი ფიგურები უკვე დახატულია.

თვითმფრინავის მშენებლობის წესები

თუ გადაწყვეტთ დაიწყოთ ფორმებისა და წერტილების მონიშვნა ქაღალდზე, დაგჭირდებათ კოორდინატთა სიბრტყე. მასზე გამოსახულია წერტილების კოორდინატები. კოორდინატთა სიბრტყის ასაგებად საჭიროა მხოლოდ სახაზავი და კალამი ან ფანქარი. ჯერ იხატება ჰორიზონტალური აბსციზა, შემდეგ ვერტიკალური - ორდინატი. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ღერძები იკვეთება სწორი კუთხით.

შემდეგი სავალდებულო პუნქტი არის მარკირება. ერთეულები-სეგმენტები მონიშნულია და გაფორმებულია თითოეულ ღერძზე ორივე მიმართულებით. ეს კეთდება იმისთვის, რომ თქვენ შეძლოთ თვითმფრინავთან მუშაობა მაქსიმალური კომფორტით.

წერტილის აღნიშვნა

ახლა მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ გამოვსახოთ წერტილების კოორდინატები კოორდინატულ სიბრტყეზე. ეს არის ის საფუძვლები, რომლებიც უნდა იცოდეთ, რათა წარმატებით მოათავსოთ სხვადასხვა ფორმები თვითმფრინავზე და კიდევ აღნიშნოთ განტოლებები.

წერტილების აგებისას უნდა გვახსოვდეს, როგორ არის სწორად ჩაწერილი მათი კოორდინატები. ასე რომ, როგორც წესი, წერტილის დაყენება, ორი რიცხვი იწერება ფრჩხილებში. პირველი ციფრი მიუთითებს წერტილის კოორდინატს აბსცისის ღერძის გასწვრივ, მეორე - ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.

წერტილი ასე უნდა აშენდეს. ჯერ მონიშნეთ ღერძზე ოქსიმოცემული წერტილი, შემდეგ მონიშნეთ წერტილი ღერძზე ოი. შემდეგი, დახაზეთ წარმოსახვითი ხაზები ამ აღნიშვნებიდან და იპოვეთ მათი გადაკვეთის ადგილი - ეს იქნება მოცემული წერტილი.

საკმარისია მონიშნოთ და მოაწეროთ ხელი. როგორც ხედავთ, ყველაფერი საკმაოდ მარტივია და არ საჭიროებს განსაკუთრებულ უნარებს.

ფორმის განთავსება

ახლა გადავიდეთ ისეთ კითხვაზე, როგორიცაა ფიგურების აგება კოორდინატულ სიბრტყეზე. კოორდინატულ სიბრტყეზე ნებისმიერი ფიგურის ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ მოათავსოთ მასზე წერტილები. თუ იცით როგორ გააკეთოთ ეს, მაშინ ფიგურის განთავსება თვითმფრინავზე არც ისე რთულია.

უპირველეს ყოვლისა, დაგჭირდებათ ფიგურის წერტილების კოორდინატები. სწორედ მათზე გამოვიყენებთ თქვენს მიერ არჩეულს ჩვენს კოორდინატულ სისტემაზე.მოდით განვიხილოთ მართკუთხედის, სამკუთხედის და წრის დახატვა.

დავიწყოთ მართკუთხედით. მისი გამოყენება საკმაოდ მარტივია. პირველი, ოთხი წერტილი გამოიყენება თვითმფრინავზე, რაც მიუთითებს მართკუთხედის კუთხეებზე. შემდეგ ყველა წერტილი თანმიმდევრულად უკავშირდება ერთმანეთს.

სამკუთხედის დახატვა არაფრით განსხვავდება. ერთადერთი ის არის, რომ მას აქვს სამი კუთხე, რაც ნიშნავს, რომ სამი წერტილი გამოიყენება სიბრტყეზე, რაც აღნიშნავს მის წვეროებს.

რაც შეეხება წრეს, აქ თქვენ უნდა იცოდეთ ორი წერტილის კოორდინატები. პირველი წერტილი არის წრის ცენტრი, მეორე არის წერტილი, რომელიც აღნიშნავს მის რადიუსს. ეს ორი წერტილი გამოსახულია სიბრტყეზე. შემდეგ იღებენ კომპასს, იზომება მანძილი ორ წერტილს შორის. კომპასის წერტილი მოთავსებულია ცენტრის აღმნიშვნელ წერტილში და აღწერილია წრე.

როგორც ხედავთ, აქაც არაფერია რთული, მთავარია ხელთ ყოველთვის იყოს სახაზავი და კომპასი.

ახლა თქვენ იცით, როგორ გამოსახოთ ფორმის კოორდინატები. კოორდინატულ სიბრტყეში ამის გაკეთება არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს.

დასკვნები

ასე რომ, თქვენთან ერთად განვიხილეთ მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო და ძირითადი ცნება, რომელთანაც ყველა სტუდენტი უნდა გაუმკლავდეს.

ჩვენ გავარკვიეთ, რომ საკოორდინატო სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელიც წარმოიქმნება ორი ღერძის გადაკვეთით. მისი დახმარებით შეგიძლიათ დააყენოთ წერტილების კოორდინატები, დაადოთ მასზე ფორმები. თვითმფრინავი დაყოფილია მეოთხედებად, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი მახასიათებლები.

მთავარი უნარი, რომელიც უნდა განვითარდეს კოორდინატულ სიბრტყეზე მუშაობისას, არის მასზე მოცემული ქულების სწორად გამოსახვის უნარი. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ღერძების სწორი მდებარეობა, კვარტლების მახასიათებლები, ასევე წესები, რომლითაც დგინდება წერტილების კოორდინატები.

ვიმედოვნებთ, რომ ჩვენს მიერ მოწოდებული ინფორმაცია იყო ხელმისაწვდომი და გასაგები, ასევე სასარგებლო იყო თქვენთვის და დაეხმარა ამ თემის უკეთ გაგებაში.

"ფუნქციების კლასი 9" - Y \u003d x3. ფუნქციის დაზუსტება შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. ელემენტარული ფუნქციები მოიცავს თითქმის ყველა ფუნქციას, რომელიც გვხვდება სასკოლო სახელმძღვანელოში. ხელმძღვანელი კრიუჩკოვა ტატიანა ბორისოვნა მასწავლებელი, მათემატიკის. სარჩევი: დანართი 3. Y=x2 Y=3x2. Y=x2. აპლიკაცია 4. Y \u003d 0.3x2. დანართი 1.

„ფუნქციის თვისებები“ – 0. 1. ფუნქციის განმარტება. 3.ღირებულებების ფარგლები. y=0, x=0 6. მუდმივი ნიშნის y > 0 ინტერვალები (0; +). 5.ნულოვანი ფუნქცია. ფუნქციის თვისებები. 7. მატებისა და კლების ინტერვალები. y= x, n=2 2. ფარგლები D(y)=. ასეთ სიდიდეებს შესაბამისად მუდმივები და ცვლადები ეწოდება. -გვ. T. y = f(x). -ერთი. Უფრო.

„ფუნქციის კვლევა“ - ფუნქციის კვლევის სქემის გამოყენებით შეასრულეთ დავალება: გვ.24; No296 (a; b), No299 (a; b). დამადასტურებელი სამუშაო: პასუხი: D (f) = R, კენტი, მზარდი. შეასრულეთ სიტყვიერად: f(x)=х3 ფუნქციისთვის განსაზღვრეთ D(f), პარიტეტი, გაზრდა, შემცირება. დაამტკიცეთ, რომ ფუნქცია f(x)=x5+4x იზრდება R სიმრავლეზე. 2) ფუნქციის შესწავლის მაგალითი.

"კოორდინატული სიბრტყე" - სწორი ხაზის განტოლება. კოორდინატულ სიბრტყეზე ამოცანების გადაჭრის უნარის ჩამოყალიბება. საკოორდინატო ხაზი, კოორდინატთა კუთხე. დავალება ნომერი 1. კოორდინატების წაკითხვის წესი. საკოორდინაციო კვარტლები. როგორ აღინიშნება წერტილები თვითმფრინავზე. (2 გზა). წრფის განტოლება ა. Გაკვეთილის გეგმა. ღერძებზე მდებარე წერტილების კოორდინატები.

"ფუნქციის გაზრდა" - ფუნქციის ექსტრემის პოვნის ალგორითმი. უტოლობის ამოხსნა ხორციელდება ანალიტიკურად ან ინტერვალის მეთოდით. ვპოულობთ f / (x) ვადგენთ f(x) ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებს, ე.ი. წერტილები, სადაც f / (x)=0 ან f / (x) არ არსებობს. წარმოებული. შინაარსი. Tg(a)=k, k-შეხების ფაქტორი. წარმოებული ცხრილი.

თემაში სულ 19 პრეზენტაციაა

თუ კოორდინატულ სიბრტყეზე ერთეული რიცხვის წრეს მოათავსებთ, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ მისი წერტილების კოორდინატები. რიცხვითი წრე განლაგებულია ისე, რომ მისი ცენტრი ემთხვევა სიბრტყის საწყისს, ანუ წერტილი O (0; 0).

ჩვეულებრივ, ერთეული რიცხვების წრეზე, წრეზე წარმოშობის შესაბამისი წერტილები აღინიშნება

• მეოთხედი - 0 ან 2π, π/2, π, (2π)/3,
• შუა მეოთხედი - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• მესამე მეოთხედი - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

კოორდინატულ სიბრტყეზე, მასზე ერთეული წრის ზემოაღნიშნული განლაგებით, შეგიძლიათ იპოვოთ წრის ამ წერტილების შესაბამისი კოორდინატები.

კვარტლების ბოლოების კოორდინატების პოვნა ძალიან ადვილია. წრის 0 წერტილში x-კოორდინატი არის 1, ხოლო y არის 0. შეგვიძლია დავწეროთ A (0) = A (1; 0).

პირველი კვარტალის დასასრული განთავსდება დადებით y-ღერძზე. ამიტომ, B (π/2) = B (0; 1).

მეორე მეოთხედის დასასრული უარყოფით აბსციზაზეა: C (π) = C (-1; 0).

მესამე მეოთხედის დასასრული: D ((2π)/3) = D (0; -1).

მაგრამ როგორ მოვძებნოთ მეოთხედების შუა წერტილების კოორდინატები? ამისათვის ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი. მისი ჰიპოტენუზა არის სეგმენტი წრის ცენტრიდან (ან საწყისიდან) მეოთხედის წრის შუა წერტილამდე. ეს არის წრის რადიუსი. ვინაიდან წრე ერთეულია, ჰიპოტენუზა უდრის 1-ს. შემდეგ, წრის წერტილიდან რომელიმე ღერძამდე პერპენდიკულარულია დახატული. დაე იყოს x-ღერძამდე. გამოდის მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ფეხების სიგრძეებია წრის წერტილის x და y კოორდინატები.

მეოთხედი წრე არის 90º. და ნახევარი მეოთხედი არის 45º. ვინაიდან ჰიპოტენუზა დახატულია მეოთხედის შუა წერტილამდე, კუთხე ჰიპოტენუზასა და საწყისიდან გამოსულ ფეხს შორის არის 45º. მაგრამ ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180º. ამრიგად, კუთხე ჰიპოტენუზასა და მეორე ფეხს შორის ასევე რჩება 45º. გამოდის ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედი.

პითაგორას თეორემიდან ვიღებთ განტოლებას x 2 + y 2 = 1 2 . ვინაიდან x = y და 1 2 = 1, განტოლება გამარტივდება x 2 + x 2 = 1. მისი ამოხსნით მივიღებთ x = √1 = 1/√2 = √2/2.

ამრიგად, M 1 (π/4) წერტილის კოორდინატები = M 1 (√2/2; √2/2).

სხვა კვარტლების შუა წერტილების წერტილების კოორდინატებში შეიცვლება მხოლოდ ნიშნები, ხოლო მნიშვნელობების მოდულები იგივე დარჩება, რადგან მართკუთხა სამკუთხედი მხოლოდ გადაბრუნდება. ჩვენ ვიღებთ:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

წრის მეოთხედის მესამე ნაწილების კოორდინატების განსაზღვრისას აგებულია მართკუთხა სამკუთხედიც. თუ ავიღებთ π / 6 წერტილს და დავხატავთ x ღერძზე პერპენდიკულარულს, მაშინ კუთხე ჰიპოტენუზასა და x ღერძზე მდებარე ფეხს შორის იქნება 30º. ცნობილია, რომ 30º კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ y კოორდინატი, ის უდრის ½-ს.

ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ფეხის სიგრძის ცოდნით, პითაგორას თეორემით ვპოულობთ მეორე ფეხს:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2

ამრიგად, T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

პირველი კვარტალის მეორე მესამედის წერტილისთვის (π / 3), უმჯობესია დავხატოთ ღერძის პერპენდიკულარული y ღერძის მიმართ. მაშინ საწყისთან კუთხე ასევე იქნება 30º. აქ x კოორდინატი უკვე ტოლი იქნება ½ და y, შესაბამისად, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

სხვა მესამე კვარტლის პუნქტებისთვის შეიცვლება ნიშნები და კოორდინატთა მნიშვნელობების თანმიმდევრობა. ყველა წერტილს, რომელიც უფრო ახლოს არის x ღერძთან, ექნება x-კოორდინატის მოდულის მნიშვნელობა √3/2. იმ წერტილებს, რომლებიც უფრო ახლოს არიან y-ღერძთან, ექნებათ მოდულის y მნიშვნელობა √3/2-ის ტოლი.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)