ცილინდრი არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი პარალელური სიბრტყით და ცილინდრული ზედაპირით. სტატიაში ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ცილინდრის ფართობი და, ფორმულის გამოყენებით, გადავჭრით რამდენიმე პრობლემას, მაგალითად.

ცილინდრს აქვს სამი ზედაპირი: ზედა, ქვედა და გვერდითი ზედაპირი.

ცილინდრის ზედა და ქვედა ნაწილი არის წრეები და ადვილად იდენტიფიცირება.

ცნობილია, რომ წრის ფართობი უდრის πr 2-ს. ამრიგად, ორი წრის ფართობის ფორმულა (ცილინდრის ზედა და ქვედა) გამოიყურება πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

ცილინდრის მესამე, გვერდითი ზედაპირი, არის ცილინდრის მრუდი კედელი. იმისათვის, რომ ეს ზედაპირი უკეთ წარმოვაჩინოთ, შევეცადოთ მისი გარდაქმნა, რათა მივიღოთ ცნობადი ფორმა. წარმოიდგინეთ, რომ ცილინდრი არის ჩვეულებრივი თუნუქის ქილა, რომელსაც არ აქვს ზედა სახურავი და ქვედა. გვერდის კედელზე გავაკეთოთ ვერტიკალური ჭრილი ქილის ზემოდან ქვევით (ნაბიჯი 1 ფიგურაში) და ვეცადოთ მიღებული ფიგურა მაქსიმალურად გავხსნათ (გავასწოროთ) (ნაბიჯი 2).

შედეგად მიღებული ქილის სრული გამჟღავნების შემდეგ, ჩვენ დავინახავთ ნაცნობ ფიგურას (ნაბიჯი 3), ეს არის მართკუთხედი. მართკუთხედის ფართობის გამოთვლა მარტივია. მანამდე კი ცოტა ხნით დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ცილინდრს. საწყისი ცილინდრის წვერო არის წრე და ვიცით, რომ წრის გარშემოწერილობა გამოითვლება ფორმულით: L = 2πr. ნახატზე წითლად არის აღნიშნული.

როდესაც ცილინდრის გვერდითი კედელი სრულად გაფართოვდება, ჩვენ ვხედავთ, რომ გარშემოწერილობა ხდება მიღებული მართკუთხედის სიგრძე. ამ მართკუთხედის გვერდები იქნება წრეწირი (L = 2πr) და ცილინდრის სიმაღლე (თ). მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი გვერდების ნამრავლს - S = სიგრძე x სიგანე = L x h = 2πr x h = 2πrh. შედეგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის გამოსათვლელად.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა
S მხარე = 2 სთ

ცილინდრის სრული ზედაპირი

და ბოლოს, თუ სამივე ზედაპირის ფართობს დავუმატებთ, მივიღებთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის ფორმულას. ცილინდრის ზედაპირის ფართობი ტოლია ცილინდრის ზედა ფართობის + ცილინდრის ფუძის ფართობის + ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ან S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. ზოგჯერ ეს გამოთქმა იწერება იდენტური ფორმულით 2πr (r + h).

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის ფორმულა
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r არის ცილინდრის რადიუსი, h არის ცილინდრის სიმაღლე

ცილინდრის ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების მაგალითები

ზემოაღნიშნული ფორმულების გასაგებად, შევეცადოთ გამოვთვალოთ ცილინდრის ზედაპირის ფართობი მაგალითების გამოყენებით.

1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 2, სიმაღლე 3. განსაზღვრეთ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S მხარე. = 2 სთ

S მხარე = 2 * 3.14 * 2 * 3

S მხარე = 6.28 * 6

S მხარე = 37,68

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობია 37,68.

2. როგორ მოვძებნოთ ცილინდრის ზედაპირის ფართობი, თუ სიმაღლე არის 4 და რადიუსი 6?

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

ცილინდრი (მომდინარეობს ბერძნული ენიდან, სიტყვებიდან "მოციგურავე მოედანი", "გორგოლაკი") არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც გარედან შემოსაზღვრულია ზედაპირით, რომელსაც ეწოდება ცილინდრული ზედაპირი და ორი სიბრტყე. ეს სიბრტყეები კვეთენ ფიგურის ზედაპირს და ერთმანეთის პარალელურია.

ცილინდრული ზედაპირი არის ზედაპირი, რომელიც მიიღება სივრცეში სწორი ხაზით. ეს მოძრაობები ისეთია, რომ ამ სწორი ხაზის არჩეული წერტილი მოძრაობს ბრტყელი ტიპის მრუდის გასწვრივ. ასეთ სწორ ხაზს გენერატრიქსი ეწოდება, ხოლო მრუდე ხაზს - სახელმძღვანელო.

ცილინდრი შედგება წყვილი ფუძისა და გვერდითი ცილინდრული ზედაპირისგან. ცილინდრები რამდენიმე ტიპისაა:

1. წრიული, სწორი ცილინდრი. ასეთი ცილინდრისთვის ფუძე და სახელმძღვანელო გენერატრიქსის პერპენდიკულარულია და არსებობს

2. დახრილი ცილინდრი. მას აქვს კუთხე გენერირების ხაზს შორის და ფუძე არ არის სწორი.

3. განსხვავებული ფორმის ცილინდრი. ჰიპერბოლური, ელიფსური, პარაბოლური და სხვა.

ცილინდრის ფართობი, ისევე როგორც ნებისმიერი ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი, ნაპოვნია ამ ფიგურის ფუძეების ფართობისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის დამატებით.

წრიული, სწორი ცილინდრისთვის ცილინდრის მთლიანი ფართობის გამოთვლის ფორმულა არის:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

გვერდითი ზედაპირის ფართობის პოვნა ცოტა უფრო რთულია, ვიდრე მთელი ცილინდრის ფართობი; ის გამოითვლება გენერატრიქსის სიგრძის გამრავლებით იმ სიბრტყის მიერ წარმოქმნილი მონაკვეთის პერიმეტრზე, რომელიც პერპენდიკულარულია. გენერატრიქსი.

ცილინდრის მონაცემები წრიული, სწორი ცილინდრისთვის აღიარებულია ამ ობიექტის განვითარებით.

განვითარება არის მართკუთხედი, რომელსაც აქვს სიმაღლე h და სიგრძე P, რომელიც უდრის ფუძის პერიმეტრს.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ცილინდრის გვერდითი ფართობი უდრის გაწმენდის ფართობს და შეიძლება გამოითვალოს ამ ფორმულის გამოყენებით:

თუ ავიღებთ წრიულ, სწორ ცილინდრს, მაშინ მისთვის:

P = 2p R და Sb = 2p Rh.

თუ ცილინდრი დახრილია, მაშინ გვერდითი ზედაპირის ფართობი უნდა იყოს ტოლი მისი გენერატრიქსის სიგრძისა და მონაკვეთის პერიმეტრის, რომელიც პერპენდიკულარულია ამ გენერატრიქსზე.

სამწუხაროდ, არ არსებობს მარტივი ფორმულა დახრილი ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსახატავად მისი სიმაღლისა და საბაზისო პარამეტრების მიხედვით.

ცილინდრის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფაქტი. თუ მონაკვეთი თავისი სიბრტყით კვეთს ფუძეებს, მაშინ ასეთი მონაკვეთი ყოველთვის მართკუთხედია. მაგრამ ეს ოთხკუთხედები განსხვავებული იქნება, განყოფილების პოზიციიდან გამომდინარე. ფიგურის ღერძული მონაკვეთის ერთ-ერთი გვერდი, რომელიც ფუძეების პერპენდიკულარულია, სიმაღლის ტოლია, მეორე კი ცილინდრის ფუძის დიამეტრის ტოლია. და ასეთი მონაკვეთის ფართობი, შესაბამისად, უდრის მართკუთხედის ერთი მხარის ნამრავლს მეორეზე, პირველზე პერპენდიკულარული, ან ამ ფიგურის სიმაღლის ნამრავლს მისი ბაზის დიამეტრით.

თუ მონაკვეთი პერპენდიკულარულია ფიგურის ფუძეებზე, მაგრამ არ გადის ბრუნვის ღერძზე, მაშინ ამ მონაკვეთის ფართობი ტოლი იქნება ამ ცილინდრის სიმაღლისა და გარკვეული აკორდის ნამრავლის. აკორდის მისაღებად, თქვენ უნდა ააგოთ წრე ცილინდრის ძირში, დახაზოთ რადიუსი და გამოყოთ მასზე მანძილი, რომელზეც მდებარეობს მონაკვეთი. და ამ წერტილიდან თქვენ უნდა დახაზოთ პერპენდიკულარები რადიუსზე წრესთან კვეთიდან. გადაკვეთის წერტილები დაკავშირებულია ცენტრთან. სამკუთხედის ფუძე კი სასურველია, რომელშიც ეძებენ ხმებს: „ორი ფეხის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს“:

C2 = A2 + B2.

თუ განყოფილება არ მოქმედებს ცილინდრის ფუძეზე და თავად ცილინდრი არის წრიული და სწორი, მაშინ ამ მონაკვეთის ფართობი გვხვდება წრის ფართობად.

წრის ფართობი არის:

S env. = 2p R2.

R-ის საპოვნელად, მისი სიგრძე C უნდა გაყოთ 2p-ზე:

R = C \ 2n, სადაც n არის pi, მათემატიკური მუდმივი, რომელიც გამოითვლება წრის მონაცემებთან მუშაობისთვის და უდრის 3.14-ს.

ცილინდრთან დაკავშირებული პრობლემების დიდი რაოდენობაა. მათში თქვენ უნდა იპოვოთ სხეულის რადიუსი და სიმაღლე ან მისი მონაკვეთის ტიპი. გარდა ამისა, ზოგჯერ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ცილინდრის ფართობი და მისი მოცულობა.

რა სხეულია ცილინდრი?

სასკოლო სასწავლო გეგმის მსვლელობისას ისწავლება წრიული, ანუ ცილინდრი, რომელიც ასეთია ძირში. მაგრამ ისინი ასევე განასხვავებენ ამ ფიგურის ელიფსურ გარეგნობას. სახელიდან ირკვევა, რომ მისი საფუძველი იქნება ელიფსი ან ოვალური.

ცილინდრს აქვს ორი ძირი. ისინი ერთმანეთის ტოლია და დაკავშირებულია სეგმენტებით, რომლებიც აერთიანებს ფუძის შესაბამის წერტილებს. მათ ცილინდრის გენერატორებს უწოდებენ. ყველა გენერატორი ერთმანეთის პარალელურია და თანაბარია. ისინი ქმნიან სხეულის გვერდითი ზედაპირს.

ზოგადად, ცილინდრი არის დახრილი სხეული. თუ გენერატორები სწორ კუთხეს აკეთებენ ფუძეებთან, მაშინ ისინი უკვე საუბრობენ სწორ ფიგურაზე.

საინტერესოა, რომ წრიული ცილინდრი არის რევოლუციის სხეული. იგი მიიღება მართკუთხედის ერთ-ერთი მხარის გარშემო ბრუნვით.

ცილინდრის ძირითადი ელემენტები

ცილინდრის ძირითადი ელემენტები შემდეგია.

1. სიმაღლე. ეს არის ყველაზე მოკლე მანძილი ცილინდრის ფუძეებს შორის. თუ ის სწორია, მაშინ სიმაღლე ემთხვევა გენერატრიქსს.
2. რადიუსი. ემთხვევა იმას, რაც შეიძლება განხორციელდეს ბაზაში.
3. ღერძი. ეს არის სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს ორივე ფუძის ცენტრებს. ღერძი ყოველთვის პარალელურია ყველა გენერატორის. მარჯვენა ცილინდრში ის ფუძეების პერპენდიკულარულია.
4. ღერძული განყოფილება. იგი იქმნება, როდესაც ცილინდრი კვეთს ღერძის შემცველ სიბრტყეს.
5. ტანგენტის თვითმფრინავი. ის გადის ერთ-ერთ გენერატორში და პერპენდიკულარულია ღერძულ მონაკვეთზე, რომელიც შედგენილია ამ გენერატრიქსის მეშვეობით.

როგორ უკავშირდება ცილინდრი მასში ჩაწერილ ან მის მახლობლად შემოხაზულ პრიზმასთან?

ზოგჯერ არის პრობლემები, რომლებშიც აუცილებელია ცილინდრის ფართობის გამოთვლა, მაშინ როდესაც ცნობილია მასთან დაკავშირებული პრიზმის ზოგიერთი ელემენტი. როგორ უკავშირდება ეს ციფრები?

თუ პრიზმა ჩაწერილია ცილინდრში, მაშინ მისი ფუძეები თანაბარი მრავალკუთხედებია. უფრო მეტიც, ისინი ჩაწერილია ცილინდრის შესაბამის ძირებში. პრიზმის გვერდითი კიდეები ემთხვევა გენერატორებს.

აღწერილ პრიზმას აქვს რეგულარული მრავალკუთხედები მის ფუძეებში. ისინი აღწერილია ცილინდრის წრეების მახლობლად, რომლებიც მისი ფუძეებია. თვითმფრინავები, რომლებიც შეიცავს პრიზმის სახეებს, ეხებიან ცილინდრს გენერატორების გასწვრივ.

გვერდითი ზედაპირის ფართობზე და საყრდენი მარჯვენა წრიული ცილინდრისთვის

თუ გვერდითა ზედაპირს გაშლით, მიიღებთ მართკუთხედს. მისი გვერდები დაემთხვევა გენერატრიქსს და ფუძის გარშემოწერილობას. ამრიგად, ცილინდრის გვერდითი ფართობი ტოლი იქნება ამ ორი რაოდენობის პროდუქტის. თუ დაწერთ ფორმულას, მიიღებთ შემდეგს:

S მხარე \u003d l * n,

სადაც n არის გენერატრიქსი, l არის წრეწირი.

უფრო მეტიც, ბოლო პარამეტრი გამოითვლება ფორმულით:

ლ = 2 π*r,

აქ r არის წრის რადიუსი, π არის რიცხვი "pi", უდრის 3.14.

ვინაიდან ბაზა არის წრე, მისი ფართობი გამოითვლება შემდეგი გამოსახულებით:

S მთავარი \u003d π * r 2.

მარჯვენა წრიული ცილინდრის მთელი ზედაპირის ფართობზე

ვინაიდან ის ორი ფუძითა და გვერდითი ზედაპირით იქმნება, ეს სამი რაოდენობა უნდა დაემატოს. ანუ, ცილინდრის მთლიანი ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

S სართული = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

ხშირად სხვაგვარად იწერება:

S სართული = 2 π * r (n + r).

დახრილი წრიული ცილინდრის უბნებზე

რაც შეეხება ფუძეებს, ყველა ფორმულა ერთნაირია, რადგან ისინი მაინც წრეებია. მაგრამ გვერდითი ზედაპირი აღარ იძლევა ოთხკუთხედს.

დახრილი ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ გენერატრიქსის მნიშვნელობები და მონაკვეთის პერიმეტრი, რომელიც იქნება შერჩეული გენერატრიქსის პერპენდიკულარული.

ფორმულა ასე გამოიყურება:

S მხარე \u003d x * P,

სადაც x არის ცილინდრის გენერატრიქსის სიგრძე, P არის მონაკვეთის პერიმეტრი.

ჯვარი მონაკვეთი, სხვათა შორის, უმჯობესია აირჩიოს ისეთი, რომ იგი ქმნის ელიფსს. შემდეგ გამარტივდება მისი პერიმეტრის გამოთვლები. ელიფსის სიგრძე გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით, რომელიც იძლევა სავარაუდო პასუხს. მაგრამ ხშირად საკმარისია სასკოლო კურსის ამოცანები:

l \u003d π * (a + b),

სადაც "a" და "b" არის ელიფსის ნახევარღერძი, ანუ მანძილი ცენტრიდან მის უახლოეს და შორეულ წერტილებამდე.

მთელი ზედაპირის ფართობი უნდა გამოითვალოს შემდეგი გამოხატვის გამოყენებით:

S სართული = 2 π * r 2 + x * R.

რა არის მარჯვენა წრიული ცილინდრის რამდენიმე მონაკვეთი?

როდესაც მონაკვეთი გადის ღერძზე, მაშინ მისი ფართობი განისაზღვრება როგორც გენერატრიქსის პროდუქტი და ფუძის დიამეტრი. ეს იმიტომ ხდება, რომ მას აქვს მართკუთხედის ფორმა, რომლის გვერდები ემთხვევა დანიშნულ ელემენტებს.

ცილინდრის განივი კვეთის ფართობის საპოვნელად, რომელიც ღერძულის პარალელურია, ასევე დაგჭირდებათ მართკუთხედის ფორმულა. ამ სიტუაციაში მისი ერთი მხარე მაინც ემთხვევა სიმაღლეს, მეორე კი ფუძის აკორდის ტოლი იქნება. ეს უკანასკნელი ემთხვევა ფუძის გასწვრივ მონაკვეთის ხაზს.

როდესაც მონაკვეთი ღერძის პერპენდიკულარულია, მაშინ ის წრეს ჰგავს. უფრო მეტიც, მისი ფართობი იგივეა, რაც ფიგურის ბაზაზე.

ასევე შესაძლებელია ღერძის გარკვეული კუთხით გადაკვეთა. შემდეგ განყოფილებაში მიიღება ოვალური ან მისი ნაწილი.

დავალების მაგალითები

დავალება ნომერი 1.მოცემულია სწორი ცილინდრი, რომლის ფუძის ფართობია 12,56 სმ 2. აუცილებელია გამოვთვალოთ ცილინდრის მთლიანი ფართობი, თუ მისი სიმაღლეა 3 სმ.

გადაწყვეტილება. აუცილებელია გამოიყენოთ ფორმულა წრიული მარჯვენა ცილინდრის მთლიანი ფართობისთვის. მაგრამ მას აკლია მონაცემები, კერძოდ, ბაზის რადიუსი. მაგრამ წრის ფართობი ცნობილია. მისგან ადვილია რადიუსის გამოთვლა.

გამოდის, რომ ტოლია კვადრატული ფესვის კოეფიციენტის, რომელიც მიიღება ფუძის ფართობის პი-ზე გაყოფით. 12.56-ის 3.14-ზე გაყოფა არის 4. 4-ის კვადრატული ფესვი არის 2. ამიტომ რადიუსს ექნება ეს მნიშვნელობა.

პასუხი: S სართული \u003d 50,24 სმ 2.

დავალება ნომერი 2. 5 სმ რადიუსის ცილინდრი მოწყვეტილია ღერძის პარალელურად სიბრტყით. მანძილი მონაკვეთიდან ღერძამდე არის 3 სმ, ცილინდრის სიმაღლე 4 სმ, საჭიროა მონაკვეთის ფართობის პოვნა.

გადაწყვეტილება. მონაკვეთის ფორმა მართკუთხაა. მისი ერთი მხარე ცილინდრის სიმაღლეს ემთხვევა, მეორე კი აკორდის ტოლია. თუ პირველი მნიშვნელობა ცნობილია, მაშინ მეორე უნდა მოიძებნოს.

ამისათვის თქვენ უნდა გააკეთოთ დამატებითი კონსტრუქცია. ბაზაზე ვხატავთ ორ სეგმენტს. ორივე დაიწყება წრის ცენტრში. პირველი დასრულდება აკორდის ცენტრში და ტოლი იქნება ცნობილი მანძილის ღერძამდე. მეორე არის აკორდის ბოლოს.

თქვენ მიიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს. მასში ცნობილია ჰიპოტენუზა და ერთ-ერთი ფეხი. ჰიპოტენუზა იგივეა, რაც რადიუსი. მეორე ფეხი ტოლია აკორდის ნახევარს. უცნობი ფეხი, გამრავლებული 2-ზე, მისცემს საჭირო აკორდის სიგრძეს. მოდით გამოვთვალოთ მისი ღირებულება.

უცნობი ფეხის საპოვნელად საჭიროა ჰიპოტენუზისა და ცნობილი ფეხის კვადრატი, გამოკლოთ მეორე პირველს და აიღოთ კვადრატული ფესვი. კვადრატები არის 25 და 9. მათი განსხვავება 16. კვადრატული ფესვის ამოღების შემდეგ რჩება 4. ეს არის სასურველი ფეხი.

აკორდი ტოლი იქნება 4 * 2 = 8 (სმ). ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვეთის ფართობი: 8 * 4 \u003d 32 (სმ 2).

პასუხი: S წამია 32 სმ 2.

დავალება ნომერი 3.აუცილებელია ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობის გამოთვლა. ცნობილია, რომ მასში ჩაწერილია კუბი, რომლის კიდეც 10 სმ-ია.

გადაწყვეტილება. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი ემთხვევა მართკუთხედს, რომელიც გადის კუბის ოთხ წვეროზე და შეიცავს მისი ფუძის დიაგონალებს. კუბის მხარე არის ცილინდრის გენერატორი, ხოლო ფუძის დიაგონალი ემთხვევა დიამეტრს. ამ ორი რაოდენობის პროდუქტი მისცემს იმ არეალს, რომელიც უნდა გაარკვიოთ პრობლემაში.

დიამეტრის საპოვნელად დაგჭირდებათ იმის ცოდნა, რომ კუბის საფუძველი არის კვადრატი და მისი დიაგონალი ტოლგვერდა მართკუთხა სამკუთხედს ქმნის. მისი ჰიპოტენუზა არის ფიგურის საჭირო დიაგონალი.

მის გამოსათვლელად საჭიროა პითაგორას თეორემის ფორმულა. კუბის გვერდი უნდა გაასწოროთ, გაამრავლოთ 2-ზე და აიღოთ კვადრატული ფესვი. ათი მეორე ხარისხამდე არის ასი. 2-ზე გამრავლებული არის ორასი. 200-ის კვადრატული ფესვი არის 10√2.

მონაკვეთი ისევ არის მართკუთხედი გვერდებით 10 და 10√2. მისი ფართობის გამოთვლა ადვილია ამ მნიშვნელობების გამრავლებით.

უპასუხე. წმ \u003d 100√2 სმ 2.

სტერეომეტრია არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ფორმებს სივრცეში. სივრცეში მთავარი ფიგურებია წერტილი, წრფე და სიბრტყე. სტერეომეტრიაში ჩნდება ხაზების ურთიერთგანლაგების ახალი სახეობა: დახრილი ხაზები. ეს არის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი განსხვავება მყარ გეომეტრიასა და პლანიმეტრიას შორის, რადგან ხშირ შემთხვევაში სტერეომეტრიის პრობლემები წყდება სხვადასხვა სიბრტყის გათვალისწინებით, რომლებშიც დაკმაყოფილებულია პლანიმეტრიული კანონები.

ჩვენს ირგვლივ ბუნებაში ბევრი ობიექტია, რომლებიც ამ ფიგურის ფიზიკურ მოდელებს წარმოადგენენ. მაგალითად, მანქანების მრავალი ნაწილი არის ცილინდრის ან მათი კომბინაციის სახით, ხოლო ტაძრებისა და ტაძრების დიდებული სვეტები, რომლებიც დამზადებულია ცილინდრების სახით, ხაზს უსვამს მათ ჰარმონიასა და სილამაზეს.

ბერძენი − კიულინდროსი. უძველესი ტერმინი. ყოველდღიურ ცხოვრებაში - პაპირუსის გრაგნილი, ლილვაკი, სასრიალო მოედანი (ზმნა - ირონია, გადახვევა).

ევკლიდესში ცილინდრი მიიღება მართკუთხედის ბრუნვით. კავალიერისთვის - გენერატრიქსის მოძრაობით (თვითნებური სახელმძღვანელო - "ცილინდრით").

ამ ნარკვევის მიზანია განიხილოს გეომეტრიული სხეული - ცილინდრი.

ამ მიზნის მისაღწევად, გასათვალისწინებელია შემდეგი ამოცანები:

− მიეცით ცილინდრის განმარტებები;

- განიხილეთ ცილინდრის ელემენტები;

− ცილინდრის თვისებების შესწავლა;

- განიხილეთ ცილინდრის მონაკვეთის ტიპები;

- გამოიტანეთ ფორმულა ცილინდრის ფართობისთვის;

− გამოიტანეთ ცილინდრის მოცულობის ფორმულა;

− ამოცანების ამოხსნა ცილინდრის გამოყენებით.

1.1. ცილინდრის განმარტება

განვიხილოთ ზოგიერთი ხაზი (მრუდი, გატეხილი ხაზი ან შერეული ხაზი) ​​l, რომელიც მდებარეობს α სიბრტყეში და სწორი ხაზი S, რომელიც კვეთს ამ სიბრტყეს. მოცემული l წრფის ყველა წერტილის გავლით ვხაზავთ S წრფის პარალელურ ხაზებს; ამ სწორი ხაზებით წარმოქმნილ α ზედაპირს ცილინდრული ზედაპირი ეწოდება. l წრფეს ამ ზედაპირის მეგზური ეწოდება, წრფეები s 1 , s 2 , s 3 ,... მისი გენერატორებია.

თუ გზამკვლევი არის გატეხილი ხაზი, მაშინ ასეთი ცილინდრული ზედაპირი შედგება ბრტყელი ზოლების სერიისგან, რომლებიც ჩასმულია პარალელურ ხაზებს შორის და ეწოდება პრიზმული ზედაპირი. სახელმძღვანელო პოლიხაზის წვეროებზე გასულ გენერატრიებს პრიზმული ზედაპირის კიდეები ეწოდება, მათ შორის ბრტყელ ზოლებს მისი სახეები.

თუ რომელიმე ცილინდრულ ზედაპირს დავჭრით თვითნებური სიბრტყით, რომელიც არ არის მისი გენერატორების პარალელურად, მაშინ მივიღებთ ხაზს, რომელიც ასევე შეიძლება მივიღოთ ამ ზედაპირის სახელმძღვანელოდ. გიდებს შორის გამოირჩევა ერთი, რომელიც მიიღება ზედაპირის მონაკვეთიდან ზედაპირის გენერატორების პერპენდიკულარული სიბრტყით. ასეთ განყოფილებას ეწოდება ნორმალური განყოფილება, ხოლო შესაბამის გზამკვლევს - ნორმალური გზამკვლევი.

თუ სახელმძღვანელო არის დახურული (ამოზნექილი) ხაზი (გატეხილი ხაზი ან მრუდი), მაშინ შესაბამის ზედაპირს ეწოდება დახურული (ამოზნექილი) პრიზმული ან ცილინდრული ზედაპირი. ცილინდრული ზედაპირებიდან უმარტივესს აქვს თავისი ნორმალური სახელმძღვანელო წრე. მოდით გავკვეთოთ დახურული ამოზნექილი პრიზმული ზედაპირი ერთმანეთის პარალელურად, მაგრამ არა გენერატორების პარალელურად, ორი სიბრტყით.

სექციებში ვიღებთ ამოზნექილ მრავალკუთხედებს. ახლა პრიზმული ზედაპირის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია სიბრტყეებს შორის α და α“, და ამ სიბრტყეში წარმოქმნილი ორი მრავალკუთხა ფირფიტა, ზღუდავს სხეულს, რომელსაც პრიზმულ სხეულს - პრიზმას უწოდებენ.

ცილინდრული სხეული - ცილინდრი განისაზღვრება პრიზმის მსგავსად:
ცილინდრი არის სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია გვერდით დახურული (ამოზნექილი) ცილინდრული ზედაპირით, ბოლოებიდან კი ორი ბრტყელი პარალელური ფუძით. ცილინდრის ორივე ფუძე ტოლია და ცილინდრის ყველა გენერატორიც ტოლია ერთმანეთის, ე.ი. სეგმენტები, რომლებიც ქმნიან ცილინდრულ ზედაპირს ფუძის სიბრტყეებს შორის.

ცილინდრი (უფრო ზუსტად, წრიული ცილინდრი) არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შედგება ორი წრისგან, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში და გაერთიანებულია პარალელური გადაცემით, და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წრეების შესაბამის წერტილებს (ნახ. 1). .

წრეებს ცილინდრის ფუძეები ეწოდება, ხოლო წრეების წრეების შესაბამისი წერტილების დამაკავშირებელ სეგმენტებს ცილინდრის გენერატორები.

ვინაიდან პარალელური ტრანსლაცია მოძრაობაა, ცილინდრის ფუძეები ტოლია.

ვინაიდან პარალელური გადაყვანისას სიბრტყე გადადის პარალელურ სიბრტყეში (ან საკუთარ თავში), მაშინ ცილინდრის ფუძეები პარალელურ სიბრტყეებში დევს.

ვინაიდან, პარალელური გადაყვანის დროს, წერტილები გადაადგილებულია პარალელური (ან დამთხვევა) ხაზების გასწვრივ იმავე მანძილით, მაშინ ცილინდრის გენერატორები პარალელური და თანაბარია.

ცილინდრის ზედაპირი შედგება ფუძისა და გვერდითი ზედაპირისგან. გვერდითი ზედაპირი შედგება გენერატორებისგან.

ცილინდრის ეწოდება სწორი, თუ მისი გენერატორები პერპენდიკულარულია ფუძეების სიბრტყეზე.

სწორი ცილინდრი შეიძლება ვიზუალურად წარმოვიდგინოთ, როგორც გეომეტრიული სხეული, რომელიც აღწერს მართკუთხედს, როდესაც ის ბრუნავს გვერდის გარშემო, როგორც ღერძი (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2 − სწორი ცილინდრი

შემდგომში განვიხილავთ მხოლოდ სწორ ცილინდრს და მოკლედ მას უბრალოდ ცილინდრს ვუწოდებთ.

ცილინდრის რადიუსი არის მისი ფუძის რადიუსი. ცილინდრის სიმაღლე არის მანძილი მისი ფუძის სიბრტყეებს შორის. ცილინდრის ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფუძეების ცენტრებში. ეს არის გენერატორების პარალელურად.

ცილინდრს ტოლგვერდა ეწოდება, თუ მისი სიმაღლე უდრის მისი ფუძის დიამეტრს.

თუ ცილინდრის ფუძეები ბრტყელია (მაშასადამე, მათი შემცველი სიბრტყეები პარალელურია), მაშინ ცილინდრის სიბრტყეზე დგომა ეწოდება. თუ სიბრტყეზე მდგარი ცილინდრის ფუძეები გენერატრიქსის პერპენდიკულარულია, მაშინ ცილინდრს სწორი ეწოდება.

კერძოდ, თუ სიბრტყეზე მდგარი ცილინდრის საფუძველი არის წრე, მაშინ საუბარია წრიულ (მრგვალ) ცილინდრზე; თუ ელიფსი, მაშინ ელიფსური.

1. 3. ცილინდრის სექციები

ცილინდრის მონაკვეთი სიბრტყით მისი ღერძის პარალელურად არის მართკუთხედი (ნახ. 3, ა). მისი ორი მხარე ცილინდრის გენერატრიულია, დანარჩენი ორი კი ფუძის პარალელური აკორდებია.

ა) ბ)

in) გ)

ბრინჯი. 3 - ცილინდრის სექციები

კერძოდ, მართკუთხედი არის ღერძული მონაკვეთი. ეს არის ცილინდრის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის მის ღერძზე (ნახ. 3, ბ).

ბაზის პარალელურად სიბრტყით ცილინდრის მონაკვეთი არის წრე (ნახ. 3, გ).

ცილინდრის ჯვარი მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც არ არის ფუძის პარალელურად და მისი ღერძი არის ოვალური (ნახ. 3დ).

თეორემა 1. ცილინდრის ფუძის სიბრტყის პარალელურად სიბრტყე კვეთს მის გვერდით ზედაპირს ფუძის გარშემოწერილობის ტოლი წრის გასწვრივ.

მტკიცებულება. ვთქვათ β იყოს ცილინდრის ფუძის სიბრტყის პარალელურად. პარალელური გადატანა ცილინდრის ღერძის მიმართულებით, რომელიც აერთიანებს β სიბრტყეს ცილინდრის ფუძის სიბრტყესთან, აერთიანებს გვერდითი ზედაპირის მონაკვეთს β სიბრტყით ფუძის გარშემოწერილობასთან. თეორემა დადასტურდა.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მიიღება როგორც ზღვარი, რომლითაც ცილინდრში ჩაწერილი რეგულარული პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მიდრეკილია, როდესაც ამ პრიზმის ფუძის გვერდების რაოდენობა განუსაზღვრელი ვადით იზრდება.

თეორემა 2. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის გარშემოწერილობის ნამრავლს (S მხარე.c = 2πRH, სადაც R არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი, H არის ცილინდრის სიმაღლე).

მაგრამ) ბ)
ბრინჯი. 4 - ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

მტკიცებულება.

ვთქვათ P n და H, შესაბამისად, იყოს ფუძის პერიმეტრი და ცილინდრში ჩაწერილი რეგულარული n-გონალური პრიზმის სიმაღლე (ნახ. 4, ა). მაშინ ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის S მხარე.c − P n H. დავუშვათ, რომ ფუძეში ჩაწერილი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა განუსაზღვრელი ვადით იზრდება (ნახ. 4, ბ). მაშინ P n პერიმეტრი მიდრეკილია წრეწირის C = 2πR, სადაც R არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი და სიმაღლე H არ იცვლება. ამრიგად, პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მიდრეკილია 2πRH ზღვრამდე, ანუ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის S მხარეს.c = 2πRH. თეორემა დადასტურდა.

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის გვერდითი ზედაპირისა და ორი ფუძის ფართობის ჯამი. ცილინდრის თითოეული ფუძის ფართობი უდრის πR 2, ამიტომ ცილინდრის სრული ზედაპირის ფართობი S სრული გამოითვლება ფორმულით S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.

რ

T1

თ

ფ

F1

ფ

თ

ა)

ფ

ბ)

ბრინჯი. 5 - ცილინდრის სრული ზედაპირის ფართობი

თუ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი მოჭრილი იქნება გენერატრიქსის FT-ის გასწვრივ (ნახ. 5, ა) და იხსნება ისე, რომ ყველა გენერატრიქსი ერთ სიბრტყეში იყოს, მაშინ შედეგად მივიღებთ მართკუთხედს FTT1F1, რომელსაც ეწოდება განვითარება. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი. მართკუთხედის FF1 გვერდი ცილინდრის ფუძის გარშემოწერილობის განვითარებაა, შესაბამისად, FF1=2πR, ხოლო მისი გვერდი FT ტოლია ცილინდრის გენერატრიქსის, ანუ FT = H (ნახ. 5, ბ). ამრიგად, ცილინდრის განვითარების ფართობი FT∙FF1=2πRH უდრის მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობს.

1.5. ცილინდრის მოცულობა

თუ გეომეტრიული სხეული მარტივია, ანუ ის შეიძლება დაიყოს სამკუთხა პირამიდების სასრულ რაოდენობად, მაშინ მისი მოცულობა უდრის ამ პირამიდების მოცულობების ჯამს. თვითნებური სხეულისთვის მოცულობა განისაზღვრება შემდეგნაირად.

მოცემულ სხეულს აქვს V მოცულობა, თუ არსებობს მისი შემცველი მარტივი სხეულები და მასში შემავალი მარტივი სხეულები V-სგან ნაკლებად განსხვავებული მოცულობებით, როგორც სასურველია.

მოდით გამოვიყენოთ ეს განმარტება ცილინდრის მოცულობის საპოვნელად ბაზის რადიუსით R და სიმაღლით H.

წრის ფართობის ფორმულის გამოყვანისას, ორი n-გონი (ერთი შეიცავს წრეს, მეორე შეიცავს წრეში) აშენდა ისე, რომ მათი უბნები შეუზღუდავი ზრდით n-ში მიუახლოვდა წრის ფართობს. განუსაზღვრელი ვადით. მოდით ავაშენოთ ასეთი მრავალკუთხედები ცილინდრის ფუძეზე არსებული წრისთვის. მოდით P იყოს მრავალკუთხედი, რომელიც შეიცავს წრეს, ხოლო P" არის მრავალკუთხედი, რომელიც შეიცავს წრეს (სურ. 6).

ბრინჯი. 7 - ცილინდრი პრიზმით აღწერილი და მასში ჩაწერილი

ავაშენოთ ორი სწორი პრიზმა ფუძეებით P და P "და სიმაღლე H, თანაბარი სიმაღლეცილინდრი. პირველი პრიზმა შეიცავს ცილინდრს, ხოლო მეორე პრიზმას შეიცავს ცილინდრში. ვინაიდან n-ის შეუზღუდავი ზრდით, პრიზმების ფუძეების არეები განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება S ცილინდრის ფუძის ფართობს, მათი მოცულობა განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება SH. განმარტების მიხედვით, ცილინდრის მოცულობა

V = SH = πR 2 H.

ასე რომ, ცილინდრის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს.

დავალება 1.

ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი არის კვადრატი, რომლის ფართობია Q.

იპოვნეთ ცილინდრის ფუძის ფართობი.

მოცემულია: ცილინდრი, კვადრატი - ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი, S კვადრატი = Q.

იპოვეთ: S მთავარი ცილი.

კვადრატის მხარე არის . იგი უდრის ბაზის დიამეტრს. ასე რომ, ბაზის ფართობი არის .

პასუხი: S მთავარი ცილი. =

დავალება 2.

რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა ჩაწერილია ცილინდრში. იპოვეთ კუთხე მისი გვერდითი სახის დიაგონალსა და ცილინდრის ღერძს შორის, თუ ფუძის რადიუსი ტოლია ცილინდრის სიმაღლეზე.

მოცემულია: ცილინდრი, ცილინდრში ჩაწერილი რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა, ფუძის რადიუსი = ცილინდრის სიმაღლე.

იპოვეთ: კუთხე მისი გვერდითი სახის დიაგონალსა და ცილინდრის ღერძს შორის.

ამოხსნა: პრიზმის გვერდითი მხარეები არის კვადრატები, რადგან წრეში ჩაწერილი რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი რადიუსის ტოლია.

პრიზმის კიდეები ცილინდრის ღერძის პარალელურია, ამიტომ კეფის დიაგონალსა და ცილინდრის ღერძს შორის კუთხე ტოლია დიაგონალსა და გვერდითა კიდეს შორის. და ეს კუთხე არის 45 °, რადგან სახეები კვადრატებია.

პასუხი: კუთხე მისი გვერდითი სახის დიაგონალსა და ცილინდრის ღერძს შორის = 45°.

დავალება 3.

ცილინდრის სიმაღლეა 6 სმ, ფუძის რადიუსი 5 სმ.

იპოვეთ ცილინდრის ღერძის პარალელურად გაყვანილი მონაკვეთის ფართობი მისგან 4 სმ მანძილზე.

მოცემულია: H = 6 სმ, R = 5 სმ, OE = 4 სმ.

იპოვეთ: S წმ.

წმ. = KM×KS,

OE = 4 სმ, KS = 6 სმ.

სამკუთხედი OKM - ტოლფერდა (OK = OM = R = 5 სმ),

სამკუთხედი OEK არის მართკუთხა სამკუთხედი.

OEK სამკუთხედიდან, პითაგორას თეორემის მიხედვით:

KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,

წმ. \u003d 6 × 6 \u003d 36 სმ 2.

ამ ნარკვევის მიზანი შესრულებულია, განიხილება ისეთი გეომეტრიული სხეული, როგორიცაა ცილინდრი.

განიხილებოდა შემდეგი ამოცანები:

− მოცემულია ცილინდრის განმარტება;

− განიხილება ცილინდრის ელემენტები;

− შეისწავლა ცილინდრის თვისებები;

− განიხილება ცილინდრის განყოფილების ტიპები;

- მიღებულია ცილინდრის ფართობის ფორმულა;

− მიღებულია ცილინდრის მოცულობის ფორმულა;

− ამოცანები წყდება ცილინდრის გამოყენებით.

1. პოგორელოვი A.V. გეომეტრია: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 10 - 11 კლასებისთვის, 1995 წ.

2. ბესკინი ლ.ნ. სტერეომეტრია. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მასწავლებლებისთვის, 1999 წ.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. გეომეტრია: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის, 2000 წ.

4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. გეომეტრია: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის, 1998 წ.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. გეომეტრია: სტერეომეტრია: კლასები 10 - 11: სახელმძღვანელო და პრობლემატური წიგნი, 2000 წ.

ეს არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი პარალელური სიბრტყით და ცილინდრული ზედაპირით.

ცილინდრი შედგება გვერდითი ზედაპირისა და ორი ფუძისგან. ცილინდრის ზედაპირის ფართობის ფორმულა მოიცავს ბაზისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის ცალკე გამოთვლას. ვინაიდან ცილინდრში ფუძეები ტოლია, მაშინ მისი მთლიანი ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

ჩვენ განვიხილავთ ცილინდრის ფართობის გამოთვლის მაგალითს მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიცით ყველა საჭირო ფორმულა. ჯერ ჩვენ გვჭირდება ფორმულა ცილინდრის ფუძის ფართობისთვის. ვინაიდან ცილინდრის საფუძველი არის წრე, უნდა გამოვიყენოთ:
ჩვენ გვახსოვს, რომ ამ გამოთვლებში გამოიყენება მუდმივი რიცხვი Π = 3.1415926, რომელიც გამოითვლება როგორც წრის გარშემოწერილობის თანაფარდობა მის დიამეტრთან. ეს რიცხვი მათემატიკური მუდმივია. ჩვენ ასევე განვიხილავთ ცილინდრის ფუძის ფართობის გამოთვლის მაგალითს ცოტა მოგვიანებით.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა არის ფუძის სიგრძისა და მისი სიმაღლის პროდუქტი:

ახლა განვიხილოთ პრობლემა, რომელშიც უნდა გამოვთვალოთ ცილინდრის მთლიანი ფართობი. მოცემულ ფიგურაში სიმაღლეა h = 4 სმ, r = 2 სმ. ვიპოვოთ ცილინდრის მთლიანი ფართობი.
პირველ რიგში, მოდით გამოვთვალოთ ბაზების ფართობი:
ახლა განვიხილოთ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების მაგალითი. როდესაც გაფართოებულია, ეს არის მართკუთხედი. მისი ფართობი გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულით. ჩაანაცვლეთ ყველა მონაცემი მასში:
წრის მთლიანი ფართობი არის ფუძისა და გვერდის ფართობის ორჯერ ჯამი:

ამრიგად, ბაზისა და ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ შევძელით ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის პოვნა.
ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი არის მართკუთხედი, რომელშიც გვერდები ტოლია ცილინდრის სიმაღლისა და დიამეტრის.

ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობის ფორმულა მიღებულია გაანგარიშების ფორმულიდან: