ᲛᲔ. გამოსახულებებს, რომლებშიც რიცხვები, არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნები და ფრჩხილები შეიძლება ასოებთან ერთად იყოს გამოყენებული, ალგებრული გამონათქვამები ეწოდება.

ალგებრული გამონათქვამების მაგალითები:

2მ-ნ; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

ვინაიდან ალგებრულ გამოსახულებაში ასო შეიძლება შეიცვალოს რამდენიმე განსხვავებული რიცხვით, ასოს ეწოდება ცვლადი, ხოლო თავად ალგებრულ გამონათქვამს ეწოდება გამოხატულება ცვლადით.

II. თუ ალგებრულ გამოსახულებაში ასოები (ცვლადები) შეიცვალა მათი მნიშვნელობებით და შესრულებულია მითითებული მოქმედებები, მაშინ მიღებულ რიცხვს ეწოდება ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა.

მაგალითები. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1) a + 2b -c a = -2-სთვის; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8-ზე; y=-5; z = 6.

გადაწყვეტილება.

1) a + 2b -c a = -2-სთვის; b = 10; c = -3,5. ცვლადების ნაცვლად, ჩვენ ვცვლით მათ მნიშვნელობებს. ჩვენ ვიღებთ:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8-ზე; y=-5; z = 6. ჩვენ ვცვლით მითითებულ მნიშვნელობებს. გახსოვდეთ, რომ უარყოფითი რიცხვის მოდული უდრის მის საპირისპირო რიცხვს, ხოლო დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად ამ რიცხვს. ჩვენ ვიღებთ:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც ალგებრული გამოთქმა აზრი აქვს, ასოს (ცვლადი) მოქმედი მნიშვნელობები ეწოდება.

მაგალითები. ცვლადის რომელ მნიშვნელობებზე გამოთქმას აზრი არ აქვს?

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიცით, რომ შეუძლებელია ნულზე გაყოფა, ამიტომ თითოეულ ამ გამოთქმას აზრი არ ექნება იმ ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობით, რომელიც წილადის მნიშვნელს ნულს აქცევს!

მაგალითში 1) ეს არის მნიშვნელობა a = 0. მართლაც, თუ a-ის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ 0-ს, მაშინ რიცხვი 6 უნდა გაიყოს 0-ზე, მაგრამ ეს შეუძლებელია. პასუხი: გამოთქმა 1) არ აქვს აზრი, როდესაც a = 0.

მაგალითში 2) მნიშვნელი x - 4 = 0 x = 4-ზე, შესაბამისად, ეს მნიშვნელობა x = 4 და არ შეიძლება იქნას მიღებული. პასუხი: გამოთქმა 2) არ აქვს აზრი x = 4-ს.

მაგალითში 3) მნიშვნელი არის x + 2 = 0 x = -2-ისთვის. პასუხი: გამოხატულებას 3) აზრი არ აქვს x = -2-ზე.

მაგალითში 4) მნიშვნელი არის 5 -|x| = 0 |x|-ისთვის = 5. და ვინაიდან |5| = 5 და |-5| \u003d 5, მაშინ ვერ აიღებთ x \u003d 5 და x \u003d -5. პასუხი: გამოთქმა 4) არ აქვს აზრი x = -5 და x = 5.
IV. ორ გამონათქვამს უწოდებენ იდენტურად ტოლს, თუ ცვლადების ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობებისთვის, ამ გამონათქვამების შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია.

მაგალითი: 5 (a - b) და 5a - 5b იდენტურია, რადგან ტოლობა 5 (a - b) = 5a - 5b იქნება ჭეშმარიტი a და b-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ტოლობა 5 (a - b) = 5a - 5b არის იდენტობა.

იდენტობა არის თანასწორობა, რომელიც მოქმედებს მასში შემავალი ცვლადების ყველა დასაშვებ მნიშვნელობებზე. თქვენთვის უკვე ცნობილი იდენტობების მაგალითებია, მაგალითად, შეკრების და გამრავლების თვისებები, განაწილების თვისება.

ერთი გამონათქვამის შეცვლას მეორით, მისი იდენტურად ტოლი, ეწოდება იდენტური ტრანსფორმაცია ან უბრალოდ გამოხატვის ტრანსფორმაცია. ცვლადებთან გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები შესრულებულია რიცხვებზე მოქმედებების თვისებებზე დაყრდნობით.

მაგალითები.

ა)გადაიყვანეთ გამოხატულება იდენტურ ტოლად გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

გადაწყვეტილება. გავიხსენოთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება (კანონი):

(a+b) c=a c+b გ(გამრავლების კანონი შეკრების მიმართ: ორი რიცხვის ჯამის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და დაამატოთ შედეგები).
(a-b) c=a c-b გ(გამრავლების გამანაწილებელი კანონი გამოკლებასთან მიმართებაში: იმისათვის, რომ გავამრავლოთ ორი რიცხვის სხვაობა მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ამ შემცირებულ და გამოკლებულ რიცხვზე ცალ-ცალკე და გამოაკლოთ მეორე პირველ შედეგს).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

ბ)გარდაქმენით გამოხატვის იდენტურად თანაბარი მიმატების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებების (კანონების) გამოყენებით:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ დამატების კანონებს (თვისებებს):

a+b=b+a(გადაადგილება: ჯამი არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან).
(a+b)+c=a+(b+c)(ასოციაციური: ორი წევრის ჯამს მესამე რიცხვის დასამატებლად შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამე რიცხვი).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

in)გადააქციეთ გამოხატულება იდენტურ ტოლად გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებების (კანონების) გამოყენებით:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 წ · (-ერთი); 9) 3ა · (-3) · 2 წმ.

გადაწყვეტილება.გამოვიყენოთ გამრავლების კანონები (თვისებები):

a b=b a(გადაადგილება: ფაქტორების პერმუტაცია არ ცვლის პროდუქტს).
(ა ბ) c=a (ბ გ)(კომბინატიული: ორი რიცხვის ნამრავლის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამეს ნამრავლზე).

მოვაგვაროთ პრობლემა.

სტუდენტმა იყიდა რვეულები 2 კაპიკად. რვეულისთვის და სახელმძღვანელოსთვის 8 კაპიკი. რამდენი გადაიხადა მან მთლიანი შესყიდვისთვის?

ყველა რვეულის ღირებულების გასარკვევად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი ბლოკნოტის ფასი რვეულების რაოდენობაზე. ეს ნიშნავს, რომ ბლოკნოტების ღირებულება კაპიკის ტოლი იქნება.

მთლიანი შესყიდვის ღირებულება იქნება

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვეულებრივია ასოთი გამოხატული მამრავლის წინ გამრავლების ნიშნის გამოტოვება, ეს უბრალოდ იგულისხმება. ამრიგად, წინა ჩანაწერი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

ჩვენ მივიღეთ პრობლემის გადაჭრის ფორმულა. ის გვიჩვენებს, რომ პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა რვეულის ფასი ნაყიდი რვეულების რაოდენობაზე გავამრავლოთ და პროდუქტს დავამატოთ სახელმძღვანელოს ღირებულება.

ასეთი ჩანაწერების სიტყვა „ფორმულის“ ნაცვლად გამოიყენება აგრეთვე სახელწოდება „ალგებრული გამოხატულება“.

ალგებრული გამოხატულება არის ჩანაწერი, რომელიც შედგება რიცხვებისგან ან ასოებით და დაკავშირებული მოქმედების ნიშნებით.

მოკლედ, „ალგებრული გამოთქმის“ ნაცვლად ზოგჯერ უბრალოდ „გამოხატვას“ ამბობენ.

აქ არის ალგებრული გამონათქვამების კიდევ რამდენიმე მაგალითი:

ამ მაგალითებიდან ვხედავთ, რომ ალგებრული გამოთქმა შეიძლება შედგებოდეს მხოლოდ ერთი ასოსგან, ან საერთოდ არ შეიცავდეს ასოებით მითითებულ რიცხვებს (ბოლო ორი მაგალითი). ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, გამოხატულებას ასევე უწოდებენ არითმეტიკულ გამოსახულებას.

მიღებულ ალგებრულ გამოსახულებაში ასოს მივცეთ მნიშვნელობა 5 (ეს ნიშნავს, რომ მოსწავლემ იყიდა 5 რვეული). 5 რიცხვის ნაცვლად, ვიღებთ:

რაც უდრის 18-ს (ანუ 18 კაპიკს).

რიცხვი 18 არის ამ ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა, როდესაც

ალგებრული გამოსახულების მნიშვნელობა არის რიცხვი, რომელიც მიიღება, თუ ამ გამოსახულებაში ჩავცვლით მათი მნიშვნელობების მონაცემებს ასოების ნაცვლად და შევასრულებთ მითითებულ მოქმედებებს ციფრებზე.

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ: გამოთქმის მნიშვნელობა at არის 12 (12 კაპიკი).

იგივე გამოხატვის მნიშვნელობა არის 14 (14 კაპიკი) და ა.შ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მნიშვნელობებს ვაძლევთ მასში შემავალ ასოებს. მართალია, ზოგჯერ ისეც ხდება, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული მასში შემავალი ასოების მნიშვნელობებზე. მაგალითად, გამოხატულება უდრის 6-ს ​​a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

მოდით ვიპოვოთ, როგორც მაგალითი, გამოხატვის რიცხვითი მნიშვნელობები a და b ასოების სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

ამ გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ რიცხვი 4-ის ნაცვლად, ხოლო 6-ის ნაცვლად ნომერი 2 და გამოთვალეთ მიღებული გამოხატულება:

ასე რომ, როდესაც For გამოთქმის მნიშვნელობა უდრის 16-ს.

ანალოგიურად, ჩვენ ვხვდებით, რომ როდესაც გამოხატვის მნიშვნელობა არის 29, როდესაც და ის უდრის 2-ს და ა.შ.

გამოთვლების შედეგები შეიძლება დაიწეროს ცხრილის სახით, რომელიც ნათლად აჩვენებს, თუ როგორ იცვლება გამოხატვის მნიშვნელობა მასში შემავალი ასოების მნიშვნელობების ცვლილების მიხედვით.

შევქმნათ ცხრილი სამი მწკრივით. პირველ სტრიქონში დავწერთ მნიშვნელობებს a, მეორეში - მნიშვნელობებს 6 და

მესამეში - გამოხატვის მნიშვნელობები. ვიღებთ ასეთ ცხრილს.

ალგებრას გაკვეთილები გვაცნობს სხვადასხვა სახის გამონათქვამებს. ახალი მასალის მოსვლასთან ერთად, გამონათქვამები უფრო რთული ხდება. ძალაუფლებებს რომ ეცნობი, ისინი თანდათან ემატება გამოთქმას, ართულებს მას. ეს ასევე ხდება წილადებთან და სხვა გამონათქვამებთან.

მასალის შესწავლა მაქსიმალურად მოსახერხებელი რომ იყოს, ეს კეთდება გარკვეული სახელებით, რათა შესაძლებელი იყოს მათი ხაზგასმა. ეს სტატია მოგაწვდით სრულ მიმოხილვას ყველა ძირითადი სკოლის ალგებრული გამონათქვამის შესახებ.

მონომილები და მრავალწევრები

გამოთქმები მონომებისა და მრავალწევრების შესწავლა ხდება სასკოლო სასწავლო გეგმაში, მე-7 კლასიდან. სახელმძღვანელოებში მოცემულია ამ ტიპის განმარტებები.

განმარტება 1

მონომები- ეს არის რიცხვები, ცვლადები, მათი ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით, მათი დახმარებით შესრულებული ნებისმიერი ნამუშევარი.

განმარტება 2

მრავალწევრებიმონომების ჯამი ეწოდება.

თუ ავიღოთ, მაგალითად, რიცხვი 5, ცვლადი x, ხარისხი z 7, მაშინ ფორმის ნამრავლები 5 xდა 7 x 2 7 z 7ითვლებიან მარტოხელა წევრებად. როცა ფორმის მონომების ჯამი იღება 5+xან z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, მაშინ მივიღებთ მრავალწევრს.

მონომის მრავალწევრისაგან გასარჩევად, ყურადღება მიაქციეთ ხარისხებს და მათ განმარტებებს. მნიშვნელოვანია კოეფიციენტის კონცეფცია. მსგავსი ტერმინების შემცირებისას ისინი იყოფა მრავალწევრის თავისუფალ წევრად ან წამყვან კოეფიციენტად.

ყველაზე ხშირად, ზოგიერთი მოქმედება სრულდება მონომებსა და მრავალწევრებზე, რის შემდეგაც გამოხატვა მცირდება მონომის სანახავად. შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა ხორციელდება მრავალწევრებზე მოქმედებების შესრულების ალგორითმის საფუძველზე.

როდესაც არის ერთი ცვლადი, შესაძლებელია მრავალწევრის დაყოფა მრავალწევრად, რომლებიც წარმოდგენილია ნამრავლის სახით. ამ მოქმედებას მრავალწევრის ფაქტორიზაცია ეწოდება.

რაციონალური (ალგებრული) წილადები

რაციონალური წილადების ცნებას სწავლობენ საშუალო სკოლის მე-8 კლასში. ზოგიერთი ავტორი მათ ალგებრულ წილადებს უწოდებს.

განმარტება 3

რაციონალური ალგებრული წილადიისინი უწოდებენ წილადს, რომელშიც მრიცხველისა და მნიშვნელის ადგილს მრიცხველის და მნიშვნელის ადგილს იკავებს მრავალწევრები ან მონომები, რიცხვები.

განვიხილოთ რაციონალური წილადების ჩაწერის მაგალითი 3 x + 2, 2 a + 3 b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 და 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4. განმარტებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ყოველი წილადი განიხილება რაციონალურ წილადად.

ალგებრული წილადების დამატება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, მნიშვნელობის გაზრდა შესაძლებელია. ეს უფრო დეტალურად განიხილება ალგებრულ წილადებთან მოქმედებების განყოფილებაში. თუ საჭიროა წილადის გადაყვანა, ისინი ხშირად იყენებენ საერთო მნიშვნელზე შემცირებისა და შემცირების თვისებას.

რაციონალური გამონათქვამები

სკოლის კურსში შესწავლილია ირაციონალური წილადების ცნება, ვინაიდან აუცილებელია რაციონალურ გამონათქვამებთან მუშაობა.

განმარტება 4

რაციონალური გამონათქვამებიგანიხილება რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამები, სადაც რაციონალური რიცხვები და ასოები გამოიყენება მიმატებით, გამოკლებით, გამრავლებით, გაყოფით, ზრდით მთელ რიცხვამდე.

რაციონალურ გამონათქვამებს შეიძლება არ ჰქონდეს ირაციონალურობისკენ მიმავალი ფუნქციის კუთვნილი ნიშნები. რაციონალური გამონათქვამები არ შეიცავს ფესვებს, მაჩვენებლებს წილადი ირაციონალური მაჩვენებლებით, მაჩვენებლები ცვლადებით მაჩვენებლებში, ლოგარითმული გამოსახულებები, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და ა.შ.

ზემოთ მოყვანილი წესიდან გამომდინარე მოვიყვანთ რაციონალური გამონათქვამების მაგალითებს. ზემოაღნიშნული განმარტებიდან ჩვენ გვაქვს, რომ ორივე ფორმის რიცხვითი გამოხატულებაა 1 2 + 3 4, და 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 ითვლება რაციონალურად. ასოების შემცველი გამონათქვამები ასევე მოიხსენიება როგორც რაციონალური a 2 + b 2 3 a - 0, 5 b , x 2 + b x + c ფორმის ცვლადებით. და x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

ყველა რაციონალური გამონათქვამი იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად.

მთელი რაციონალური გამონათქვამები

განმარტება 5

მთელი რაციონალური გამონათქვამებიარის ისეთი გამონათქვამები, რომლებიც არ შეიცავს უარყოფითი ხარისხის ცვლადების მქონე გამონათქვამებად დაყოფას.

განმარტებიდან გვაქვს, რომ მთლიანი რაციონალური გამოხატულება არის ასევე ასოების შემცველი გამოხატულება, მაგალითად, a + 1 , რამდენიმე ცვლადის შემცველი გამოხატულება, მაგალითად, x 2 · y 3 − z + 3 2 და a + b 3 .

გამონათქვამები, როგორიცაა x: (y − 1)და 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 არ შეიძლება იყოს რაციონალური მთელი რიცხვები, რადგან მათ აქვთ დაყოფა გამოსახულებით ცვლადებით.

წილადი რაციონალური გამონათქვამები

განმარტება 6

წილადი რაციონალური გამოხატულებაარის გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს გამონათქვამზე დაყოფას უარყოფითი ხარისხის ცვლადებით.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ წილადი რაციონალური გამონათქვამები შეიძლება იყოს 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 და 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

თუ განვიხილავთ ამ ტიპის გამონათქვამებს (2 x - x 2): 4 და a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, მაშინ ისინი არ განიხილება წილადი რაციონალურად, რადგან მათ არ აქვთ გამოსახულებები ცვლადებით მნიშვნელი.

გამონათქვამები ძალებით

განმარტება 7

გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას აღნიშვნის ნებისმიერ ნაწილში, ეწოდება ძალაუფლების გამონათქვამებიან ძალაუფლების გამონათქვამები.

კონცეფციისთვის, ჩვენ ვაძლევთ ასეთი გამოხატვის მაგალითს. ისინი შეიძლება არ შეიცავდეს ცვლადებს, მაგალითად, 2 3, 32 - 1 5 + 1. 5 3. 5 · 5 - 2 5 - 1. 5. დამახასიათებელია 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 ფორმის ძალოვანი გამონათქვამები. მათი გადასაჭრელად საჭიროა გარკვეული ტრანსფორმაციების განხორციელება.

ირაციონალური გამონათქვამები, გამონათქვამები ფესვებით

ძირი, რომელსაც ადგილი აქვს გამოთქმაში, მას სხვა სახელს ანიჭებს. მათ ირაციონალურს უწოდებენ.

განმარტება 8

ირაციონალური გამონათქვამებისახელების გამონათქვამები, რომლებსაც აქვთ ფესვების ნიშნები ჩანაწერში.

განმარტებიდან ჩანს, რომ ეს არის 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x ფორმის გამონათქვამები. + 1 + 6 x 2 + 5 x და x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . თითოეულ მათგანს აქვს მინიმუმ ერთი root ხატულა. ფესვები და გრადუსები დაკავშირებულია, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები

განმარტება 9

ტრიგონომეტრიული გამოხატულებაარის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს sin , cos , tg და ctg და მათ შებრუნებულებს - arcsin , arccos , arctg და arcctg .

აშკარაა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მაგალითები: sin π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 და 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 .

ასეთ ფუნქციებთან მუშაობისთვის აუცილებელია გამოვიყენოთ თვისებები, პირდაპირი და ინვერსიული ფუნქციების ძირითადი ფორმულები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სტატიური ტრანსფორმაცია ამ საკითხს უფრო დეტალურად გამოავლენს.

ლოგარითმული გამონათქვამები

ლოგარითმების გაცნობის შემდეგ შეგვიძლია ვისაუბროთ რთულ ლოგარითმულ გამოსახულებებზე.

განმარტება 10

გამონათქვამები, რომლებსაც აქვთ ლოგარითმები, ეწოდება ლოგარითმული.

ასეთი ფუნქციების მაგალითი იქნება log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

შეგიძლიათ იპოვოთ ასეთი გამონათქვამები, სადაც არის გრადუსები და ლოგარითმები. ეს გასაგებია, რადგან ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ეს არის ექსპონენტი. შემდეგ მივიღებთ გამონათქვამებს, როგორიცაა x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

მასალის შესწავლის გასაღრმავებლად უნდა მიმართოთ მასალას ლოგარითმული გამოსახულებების ტრანსფორმაციის შესახებ.

წილადები

არსებობს განსაკუთრებული სახის გამონათქვამები, რომლებსაც წილადებს უწოდებენ. ვინაიდან მათ აქვთ მრიცხველი და მნიშვნელი, ისინი შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ ციფრულ მნიშვნელობებს, არამედ ნებისმიერი ტიპის გამონათქვამებს. განვიხილოთ წილადის განმარტება.

განმარტება 11

გასროლაისინი უწოდებენ ისეთ გამონათქვამს, რომელსაც აქვს მრიცხველი და მნიშვნელი, რომელშიც არის როგორც რიცხვითი, ასევე ანბანური აღნიშვნები ან გამონათქვამები.

წილადების მაგალითები, რომლებსაც აქვთ რიცხვები მრიცხველში და მნიშვნელში, ასე გამოიყურება 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შეიცავდეს (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1, როგორც რიცხვითი, ისე ანბანური გამონათქვამების სახით. + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

მიუხედავად იმისა, რომ ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5, არ არის წილადები, მაგრამ მათ აქვთ წილადი თავიანთ აღნიშვნებში.

ზოგადი გამოხატულება

უფროსი კლასები განიხილავენ გაზრდილი სირთულის ამოცანებს, რომლებიც შეიცავს C ჯგუფის ყველა კომბინირებულ დავალებას USE-ში. ეს გამონათქვამები განსაკუთრებით რთულია და აქვთ ფესვების, ლოგარითმების, ძალების და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სხვადასხვა კომბინაცია. ეს არის სამუშაოები, როგორიცაა x 2 - 1 sin x + π 3 ან sin a r c t g x - a x 1 + x 2 .

მათი გარეგნობა მიუთითებს იმაზე, რომ ის შეიძლება მიეკუთვნებოდეს რომელიმე ზემოთ ჩამოთვლილ სახეობას. ყველაზე ხშირად ისინი არ არის კლასიფიცირებული, როგორც რომელიმე, რადგან მათ აქვთ კონკრეტული კომბინირებული გადაწყვეტა. ისინი განიხილება როგორც ზოგადი ფორმის გამონათქვამები და არ გამოიყენება დამატებითი განმარტებები ან გამოთქმები აღწერისთვის.

ასეთი ალგებრული გამონათქვამის ამოხსნისას ყოველთვის საჭიროა ყურადღება მიაქციოთ მის აღნიშვნას, წილადების, ძალების ან დამატებითი გამონათქვამების არსებობას. ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ ზუსტად განვსაზღვროთ მისი გადაჭრის გზა. თუ მის სახელში დარწმუნება არ არის, მაშინ რეკომენდებულია მას უწოდოს ზოგადი ტიპის გამოხატულება და გადაჭრას ზემოთ დაწერილი ალგორითმის მიხედვით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ხარისხის თვისებები:

(1) a m ⋅ a n = a m + n

მაგალითი:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

მაგალითი:

$$\frac(((a^4)))((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

მაგალითი:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

მაგალითი:

$$(\left((\frac(a)(b)) \მარჯვნივ)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n

მაგალითი:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

მაგალითები:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

კვადრატული ფესვის თვისებები:

(1) a b = a ⋅ b, a ≥ 0-სთვის, b ≥ 0

მაგალითი:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b, a ≥ 0-სთვის, b > 0

მაგალითი:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a, ≥ 0-ისთვის

მაგალითი:

(4) a 2 = | a | ნებისმიერი ა

მაგალითები:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები

Რაციონალური რიცხვი – რიცხვები, რომლებიც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი m n სადაც m არის მთელი რიცხვი (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n არის ნატურალური რიცხვი (ℕ = 1,   2,   3,   4 …).

რაციონალური რიცხვების მაგალითები:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

ირაციონალური რიცხვები - რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი m n, ეს არის უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები.

ირაციონალური რიცხვების მაგალითები:

e = 2.71828182845…

π = 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

მარტივად რომ ვთქვათ, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც შეიცავს კვადრატული ფესვის ნიშანს მათ აღნიშვნაში. მაგრამ ყველაფერი ასე მარტივი არ არის. ზოგიერთი რაციონალური რიცხვი თავს იფარავს ირაციონალურ რიცხვებში, მაგალითად, რიცხვი 4 შეიცავს კვადრატული ფესვის ნიშანს მის აღნიშვნაში, მაგრამ ჩვენ კარგად ვიცით, რომ შეგვიძლია გავამარტივოთ აღნიშვნა 4 = 2. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 4 არის რაციონალური რიცხვი.

ანალოგიურად, რიცხვი 4 81 = 4 81 = 2 9 რაციონალური რიცხვია.

ზოგიერთი პრობლემა მოითხოვს თქვენგან განსაზღვროთ რომელი რიცხვებია რაციონალური და რომელი ირაციონალური. ამოცანაა გავიგოთ რომელი რიცხვებია ირაციონალური და რომელია შენიღბული მათში. ამისათვის თქვენ უნდა შეასრულოთ ფაქტორის ამოღების ოპერაციები კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ და ფაქტორის შეყვანა ძირის ნიშნის ქვეშ.

კვადრატული ფესვის ნიშნისთვის ფაქტორის ჩასმა და მოხსნა

კვადრატული ფესვის ნიშნიდან ფაქტორის ამოღებით, შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ ზოგიერთი მათემატიკური გამოთქმა.

მაგალითი:

2 8 2 გამოხატვის გამარტივება.

1 გზა (მამრავლის ამოღება ძირის ნიშნის ქვეშ): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

მეთოდი 2 (მამრავლის შემოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები (FSU)

ჯამის კვადრატი

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

მაგალითი:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

განსხვავების კვადრატი

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

მაგალითი:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

კვადრატების ჯამი არ მოქმედებს

a 2 + b 2 ≠

კვადრატების განსხვავება

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

მაგალითი:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

ჯამის კუბი

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

მაგალითი:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

განსხვავება კუბი

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

მაგალითი:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

კუბურების ჯამი

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

მაგალითი:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

კუბურების განსხვავება

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

მაგალითი:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

ნომრის სტანდარტული ფორმა

იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა მიიყვანოთ თვითნებური რაციონალური რიცხვი სტანდარტულ ფორმაში, თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის რიცხვის პირველი მნიშვნელოვანი ციფრი.

რიცხვის პირველი მნიშვნელოვანი ციფრი უწოდეთ მას მარცხნივ პირველი არა-ნულოვანი ციფრი.

მაგალითები:
2 5 ; 3, 05; 0, 143; 0 , 00 1 2 . პირველი მნიშვნელოვანი ციფრი მონიშნულია წითლად.

რიცხვის სტანდარტულ ფორმაში გადასაყვანად:

1. გადაიტანეთ მძიმით ისე, რომ ის იყოს პირველი მნიშვნელოვანი ციფრის შემდეგ.
2. მიღებული რიცხვი გავამრავლოთ 10 ნ-ზე, სადაც n არის რიცხვი, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:
3. n > 0, თუ მძიმით იყო გადატანილი მარცხნივ (10 n-ზე გამრავლება მიუთითებს, რომ მძიმით რეალურად უნდა იყოს მარჯვნივ);
4. ნ< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. n რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის იმ ციფრების რაოდენობას, რომლითაც მძიმით გადავიდა.

მაგალითები:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

მძიმე გადავიდა მარცხნივ 1 ციფრით. ვინაიდან ათობითი წერტილი გადატანილია მარცხნივ, მაჩვენებელი დადებითია.

უკვე მიყვანილია სტანდარტულ ფორმაში, თქვენ არაფრის გაკეთება არ გჭირდებათ. ის შეიძლება დაიწეროს როგორც 3,05 ⋅ 10 0 , მაგრამ რადგან 10 0 = 1, რიცხვს თავდაპირველ ფორმაში ვტოვებთ.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

მძიმე გადავიდა მარჯვნივ 1 ციფრით. ვინაიდან ათობითი წერტილი მარჯვნივ არის გადატანილი, მაჩვენებელი უარყოფითია.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

მძიმით გადავიდა სამი ადგილი მარჯვნივ. ვინაიდან ათობითი წერტილი მარჯვნივ არის გადატანილი, მაჩვენებელი უარყოფითია.

ალგებრული გამონათქვამების შესწავლა მე-7 კლასში იწყება. მათ აქვთ მთელი რიგი თვისებები და გამოიყენება პრობლემის გადაჭრაში. მოდით უფრო დეტალურად შევისწავლოთ ეს თემა და განვიხილოთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითი.

კონცეფციის განმარტება

რა გამონათქვამებს უწოდებენ ალგებრულს? ეს არის მათემატიკური აღნიშვნა, რომელიც შედგება რიცხვების, ასოებისა და არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებისგან. ასოების არსებობა არის მთავარი განსხვავება რიცხვით და ალგებრულ გამონათქვამებს შორის. მაგალითები:

• 4a+5;
• 6ბ-8;
• 5s:6*(8+5).

ალგებრული გამონათქვამების ასო წარმოადგენს რიცხვს. ამიტომ მას ცვლადი ეწოდება - პირველ მაგალითში არის ასო a, მეორეში - b, ხოლო მესამეში - c. თავად ალგებრული გამოთქმაც ე.წ ცვლადი გამოხატულება.

გამოხატვის მნიშვნელობა

ალგებრული გამონათქვამის მნიშვნელობაარის რიცხვი, რომელიც მიიღება ამ გამოსახულებაში მითითებული ყველა არითმეტიკული მოქმედების შესრულების შედეგად. მაგრამ მის მისაღებად, ასოები უნდა შეიცვალოს რიცხვებით. ამიტომ, მაგალითები ყოველთვის მიუთითებს, თუ რომელი რიცხვი შეესაბამება ასოს. განვიხილოთ, როგორ ვიპოვოთ 8a-14*(5-a) გამოხატვის მნიშვნელობა, თუ a=3.

ა ასოს ნაცვლად შევცვალოთ რიცხვი 3. მივიღებთ შემდეგ ჩანაწერს: 8*3-14*(5-3).

როგორც რიცხვით გამოსახულებებში, ალგებრული გამოსახულების ამოხსნა ხორციელდება არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების წესების მიხედვით. მოვაგვაროთ ყველაფერი თანმიმდევრობით.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

ამრიგად, 8a-14*(5-a) გამოხატვის მნიშვნელობა a=3-ისთვის არის -4.

ცვლადის მნიშვნელობას უწოდებენ ვალიდურს, თუ გამოთქმას აქვს აზრი, ანუ შესაძლებელია მისი ამოხსნის პოვნა.

მოქმედი ცვლადის მაგალითი გამოსახულებისთვის 5:2a არის რიცხვი 1. მისი ჩანაცვლებით გამოსახულებაში მივიღებთ 5:2*1=2.5.

ამ გამოხატვის არასწორი ცვლადი არის 0. თუ გამოსახულებაში ნულს ჩავცვლით, მივიღებთ 5:2*0, ანუ 5:0. ნულზე ვერ გაყოფ, ამიტომ გამოთქმას აზრი არ აქვს.

პირადობის გამონათქვამები

თუ ორი გამონათქვამი ტოლია მათი შემადგენელი ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მათ უწოდებენ იდენტური.
იდენტური გამონათქვამების მაგალითი :
4(a+c) და 4a+4c.
რა მნიშვნელობაც არ უნდა იყოს ასოები a და c, გამონათქვამები ყოველთვის თანაბარი იქნება. ნებისმიერი გამოთქმა შეიძლება შეიცვალოს სხვა, მისი იდენტური გამოთქმით. ამ პროცესს იდენტობის ტრანსფორმაცია ეწოდება.

იდენტური ტრანსფორმაციის მაგალითი .
4 * (5a + 14c) - ეს გამონათქვამი შეიძლება შეიცვალოს იდენტურით გამრავლების მათემატიკური კანონის გამოყენებით. რიცხვის ორი რიცხვის ჯამზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს რიცხვი თითოეულ წევრზე და დაამატოთ შედეგები.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a + 64წ.

ამრიგად, გამოხატულება 4*(5a+14c) იდენტურია 20a+64c.

რიცხვს, რომელიც წინ უსწრებს ლიტერალურ ცვლადს ალგებრულ გამოსახულებაში კოეფიციენტი ეწოდება. კოეფიციენტი და ცვლადი არის მამრავლები.

Პრობლემის გადაჭრა

ალგებრული გამონათქვამები გამოიყენება ამოცანებისა და განტოლებების გადასაჭრელად.
განვიხილოთ პრობლემა. პეტიამ მოიფიქრა ნომერი. იმისათვის, რომ თანაკლასელმა საშამ გამოიცნო, პეტიამ უთხრა: რიცხვს ჯერ 7 დავამატე, შემდეგ 5 გამოვამკელე და გავამრავლე 2-ზე. შედეგად მივიღე რიცხვი 28. რა რიცხვი გამოვიცანი?

პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა მიუთითოთ ფარული ნომერი ასო a და შემდეგ შეასრულოთ ყველა მითითებული მოქმედება.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

ახლა მოვაგვაროთ მიღებული განტოლება.

პეტიამ გამოიცნო ნომერი 12.

რა ვისწავლეთ?

ალგებრული გამოხატულება არის ჩანაწერი, რომელიც შედგება ასოების, რიცხვებისა და არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებისგან. თითოეულ გამონათქვამს აქვს მნიშვნელობა, რომელიც გამოიხატება გამოსახულებაში ყველა არითმეტიკის შესრულებით. ალგებრულ გამოსახულებაში ასოს ცვლადი ეწოდება, მის წინ რიცხვს კი კოეფიციენტი. ალგებრული გამონათქვამები გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად.