წრის განტოლება კოორდინატულ სიბრტყეზე

განმარტება 1 . რიცხვითი ღერძი ( რიცხვითი ხაზი, კოორდინატთა ხაზი) Ox ეწოდება სწორ ხაზს, რომელზედაც არჩეულია წერტილი O საცნობარო წერტილი (კოორდინატების წარმოშობა)(ნახ.1), მიმართულება

ო → x

ჩამოთვლილი როგორც დადებითი მიმართულებადა მონიშნულია სეგმენტი, რომლის სიგრძე აღებულია როგორც სიგრძის ერთეული.

განმარტება 2 . სეგმენტს, რომლის სიგრძე აღებულია სიგრძის ერთეულად, ეწოდება მასშტაბი.

რიცხვითი ღერძის თითოეულ წერტილს აქვს კოორდინატი, რომელიც არის რეალური რიცხვი. O წერტილის კოორდინატი ნულის ტოლია. Ox სხივზე მდებარე თვითნებური A წერტილის კოორდინატი უდრის OA სეგმენტის სიგრძეს. რიცხვითი ღერძის თვითნებური A წერტილის კოორდინატი, რომელიც არ დევს Ox სხივზე, უარყოფითია და აბსოლუტური სიდიდით ის უდრის OA სეგმენტის სიგრძეს.

განმარტება 3 . მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა Oxy თვითმფრინავზედაურეკეთ ორს ერთმანეთს პერპენდიკულარულირიცხვითი ცულები Ox და Oy ერთად იგივე მასშტაბიდა საერთო წარმოშობა O წერტილში, უფრო მეტიც, ისე, რომ ბრუნვა Ox სხივიდან 90 ° კუთხით Oy სხივამდე ხორციელდება მიმართულებით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ(ნახ. 2).

შენიშვნა . მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა Oxy, რომელიც ნაჩვენებია ნახაზ 2-ზე, ეწოდება სწორი კოორდინატთა სისტემა, განსხვავებით მარცხენა კოორდინატთა სისტემები, რომელშიც Ox სხივის ბრუნვა 90°-იანი კუთხით Oy-ს მიმართ ხორციელდება საათის ისრის მიმართულებით. ამ სახელმძღვანელოში ჩვენ განიხილეთ მხოლოდ სწორი კოორდინატთა სისტემებიკონკრეტულად ხსენების გარეშე.

თუ სიბრტყეში შემოვიყვანთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების Oxy სისტემას, მაშინ სიბრტყის თითოეული წერტილი შეიძენს. ორი კოორდინატი – აბსცისადა ორდინატი, რომლებიც გამოითვლება შემდეგნაირად. მოდით A იყოს სიბრტყის თვითნებური წერტილი. პერპენდიკულარები ჩამოვაგდოთ A წერტილიდან აა 1 და აა 2 ხაზებს Ox და Oy, შესაბამისად (ნახ. 3).

განმარტება 4 . A წერტილის აბსცისა არის წერტილის კოორდინატი ა 1 რიცხვით ღერძზე Ox, A წერტილის ორდინატი არის წერტილის კოორდინატი ა 2 რიცხვით ღერძზე Oy .

Დანიშნულება . წერტილის კოორდინატები (აბსციზა და ორდინატი). A მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy (ნახ. 4) ჩვეულებრივ აღინიშნება ა(x;წ) ან ა = (x; წ).

შენიშვნა . წერტილი O, ე.წ წარმოშობა, აქვს კოორდინატები ო(0 ; 0) .

განმარტება 5 . მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში Oxy, Ox რიცხვითი ღერძი ეწოდება აბსცისის ღერძს, ხოლო Oy ციფრულ ღერძს ეწოდება ორდინატთა ღერძი (ნახ. 5).

განმარტება 6 . თითოეული მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეს ყოფს 4 მეოთხედად (კვადრანტები), რომელთა ნუმერაცია ნაჩვენებია სურათზე 5.

განმარტება 7 . სიბრტყეს, რომელზეც მოცემულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, ეწოდება საკოორდინაციო თვითმფრინავი.

შენიშვნა . აბსცისის ღერძი კოორდინატულ სიბრტყეზე მოცემულია განტოლებით წ= 0, y-ღერძი მოცემულია კოორდინატულ სიბრტყეზე განტოლებით x = 0.

განცხადება 1 . მანძილი ორ წერტილს შორისსაკოორდინაციო თვითმფრინავი

ა 1 (x 1 ;წ 1) და ა 2 (x 2 ;წ 2)

გათვლილი ფორმულის მიხედვით

მტკიცებულება . განვიხილოთ სურათი 6.

|ა 1 ა 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (წ 2 -წ 1) 2 .

(1)

აქედან გამომდინარე,

ქ.ე.დ.

წრის განტოლება კოორდინატულ სიბრტყეზე

განვიხილოთ კოორდინატულ სიბრტყეზე Oxy (ნახ. 7) R რადიუსის წრე, რომელიც ცენტრშია წერტილში. ა 0 (x 0 ;წ 0) .

ორი ან სამი გადამკვეთი ღერძის მოწესრიგებული სისტემა, რომლებიც ერთმანეთის მიმართ პერპენდიკულარულია, საერთო საწყისით (წარმოშობის) და სიგრძის საერთო ერთეულით. მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა .

გენერალური დეკარტის კოორდინატთა სისტემა (აფინური კოორდინატთა სისტემა) ასევე შეიძლება მოიცავდეს არა აუცილებლად პერპენდიკულარულ ღერძებს. ფრანგი მათემატიკოსის რენე დეკარტის (1596-1662) პატივსაცემად დასახელებულია ისეთი კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც სიგრძის საერთო ერთეული დათვლილია ყველა ღერძზე და ღერძი სწორია.

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე აქვს ორი ცული მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში - სამი ცული. სიბრტყეზე ან სივრცეში თითოეული წერტილი განისაზღვრება კოორდინატების მოწესრიგებული სიმრავლით - რიცხვებით კოორდინატთა სისტემის ერთეული სიგრძის შესაბამისად.

გაითვალისწინეთ, რომ, როგორც განმარტებიდან ჩანს, არსებობს დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სწორ ხაზზე, ანუ ერთ განზომილებაში. სწორ ხაზზე დეკარტის კოორდინატების შეყვანა არის ერთ-ერთი გზა, რომლითაც სწორი ხაზის ნებისმიერ წერტილს ენიჭება კარგად განსაზღვრული რეალური რიცხვი, ანუ კოორდინატი.

კოორდინატების მეთოდი, რომელიც წარმოიშვა რენე დეკარტის ნაშრომებში, აღნიშნა ყველა მათემატიკის რევოლუციურ რესტრუქტურიზაციას. შესაძლებელი გახდა ალგებრული განტოლებების (ან უტოლობების) ინტერპრეტაცია გეომეტრიული გამოსახულებების (გრაფების) სახით და, პირიქით, გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნის ძიება ანალიტიკური ფორმულების, განტოლებათა სისტემების გამოყენებით. დიახ, უთანასწორობა ზ < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyდა მდებარეობს ამ თვითმფრინავის ზემოთ 3 ერთეულით.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დახმარებით წერტილის მიკუთვნება მოცემულ მრუდზე შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ რიცხვები xდა წდააკმაყოფილეთ გარკვეული განტოლება. ასე რომ, წრის წერტილის კოორდინატები მოცემულ წერტილზე ( ა; ბ) დააკმაყოფილეთ განტოლება (x - ა)² + ( წ - ბ)² = რ² .

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე

ორი პერპენდიკულური ღერძი სიბრტყეზე, რომელსაც აქვს საერთო საწყისი და იგივე მასშტაბის ერთეული დეკარტის კოორდინატთა სისტემა თვითმფრინავზე . ერთ-ერთ ამ ღერძს ღერძი ეწოდება ოქსი, ან x-ღერძი , მეორე - ღერძი ოი, ან y-ღერძი . ამ ღერძებს კოორდინატულ ღერძებსაც უწოდებენ. აღნიშნეთ მიერ მxდა მწშესაბამისად თვითნებური წერტილის პროექცია მღერძზე ოქსიდა ოი. როგორ მივიღოთ პროგნოზები? გაიარეთ წერტილი მ ოქსი. ეს ხაზი კვეთს ღერძს ოქსიწერტილში მx. გაიარეთ წერტილი მსწორი ხაზი ღერძის პერპენდიკულარული ოი. ეს ხაზი კვეთს ღერძს ოიწერტილში მწ. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

xდა წქულები მჩვენ დავარქმევთ შესაბამისად მიმართული სეგმენტების სიდიდეებს OMxდა OMწ. ამ მიმართულების სეგმენტების მნიშვნელობები გამოითვლება შესაბამისად x = x0 - 0 და წ = წ0 - 0 . დეკარტის კოორდინატები xდა წქულები მ აბსცისა და ორდინატი . ის ფაქტი, რომ წერტილი მაქვს კოორდინატები xდა წ, აღინიშნება შემდეგნაირად: მ(x, წ) .

კოორდინატთა ღერძები თვითმფრინავს ოთხად ყოფს კვადრატი , რომლის ნუმერაცია ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. იგი ასევე მიუთითებს წერტილების კოორდინატებისთვის ნიშნების მოწყობაზე, მათი მდებარეობიდან გამომდინარე ამა თუ იმ კვადრატში.

სიბრტყეში დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების გარდა, ხშირად განიხილება პოლარული კოორდინატთა სისტემაც. ერთი კოორდინატთა სისტემიდან მეორეზე გადასვლის მეთოდის შესახებ - გაკვეთილზე პოლარული კოორდინატთა სისტემა .

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში

სივრცეში დეკარტის კოორდინატები შეყვანილია სიბრტყეზე დეკარტის კოორდინატებთან სრული ანალოგიით.

სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი სივრცეში (კოორდინატული ღერძი) საერთო საწყისით ოდა იგივე მასშტაბის ერთეული ფორმა დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეში .

ერთ-ერთ ამ ღერძს ღერძი ეწოდება ოქსი, ან x-ღერძი , მეორე - ღერძი ოი, ან y-ღერძი , მესამე - ღერძი ოზი, ან აპლიკაციის ღერძი . დაე იყოს მx, მწ მზ- თვითნებური წერტილის პროგნოზები მსივრცეები ღერძზე ოქსი , ოიდა ოზიშესაბამისად.

გაიარეთ წერტილი მ ოქსიოქსიწერტილში მx. გაიარეთ წერტილი მღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე ოი. ეს სიბრტყე კვეთს ღერძს ოიწერტილში მწ. გაიარეთ წერტილი მღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე ოზი. ეს სიბრტყე კვეთს ღერძს ოზიწერტილში მზ.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები x , წდა ზქულები მჩვენ დავარქმევთ შესაბამისად მიმართული სეგმენტების სიდიდეებს OMx, OMწდა OMზ. ამ მიმართულების სეგმენტების მნიშვნელობები გამოითვლება შესაბამისად x = x0 - 0 , წ = წ0 - 0 და ზ = ზ0 - 0 .

დეკარტის კოორდინატები x , წდა ზქულები მდასახელებულია შესაბამისად აბსცისა , ორდინატი და აპლიკაცია .

წყვილებში აღებული კოორდინატთა ღერძები განლაგებულია კოორდინატულ სიბრტყეებში xOy , yOzდა zOx .

პრობლემები დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში წერტილების შესახებ

მაგალითი 1

ა(2; -3) ;

ბ(3; -1) ;

C(-5; 1) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები x ღერძზე.

გადაწყვეტილება. როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია x-ღერძზე მდებარეობს თავად x-ღერძზე, ანუ ღერძზე ოქსი, და შესაბამისად აქვს აბსცისა, რომელიც ტოლია თვით წერტილის აბსცისა და ორდინატი (კოორდინატი ღერძზე ოი, რომელსაც x ღერძი კვეთს 0 წერტილში), ნულის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს x-ღერძზე:

აx(2;0);

ბx(3;0);

Cx(-5;0).

მაგალითი 2ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(-3; 2) ;

ბ(-5; 1) ;

C(3; -2) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები y-ღერძზე.

გადაწყვეტილება. როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია y-ღერძზე მდებარეობს თავად y-ღერძზე, ანუ ღერძზე. ოი, და ამიტომ აქვს ორდინატი, რომელიც ტოლია თვით წერტილის ორდინატთან და აბსცისა (კოორდინატი ღერძზე ოქსი, რომელსაც y ღერძი კვეთს 0 წერტილში), ნულის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს y-ღერძზე:

აy(0; 2);

ბy (0; 1);

Cy(0;-2).

მაგალითი 3ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(2; 3) ;

ბ(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

ოქსი .

ოქსი ოქსი ოქსი, ექნება იგივე აბსციზა, რაც მოცემულ პუნქტს, ხოლო ორდინატი აბსოლუტური მნიშვნელობით ტოლია მოცემული წერტილის ორდინატთან და საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ღერძის გარშემო ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

თავად მოაგვარეთ პრობლემები დეკარტის კოორდინატთა სისტემაზე და შემდეგ გადახედეთ ამონახსნებს

მაგალითი 4დაადგინეთ, რომელ ოთხკუთხედებში (კვარტლები, ფიგურა კვადრატებით - პუნქტის ბოლოს „მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე“) შეიძლება მდებარეობდეს წერტილი მ(x; წ) , თუ

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − წ = 0 ;

4) x + წ = 0 ;

5) x + წ > 0 ;

6) x + წ < 0 ;

7) x − წ > 0 ;

8) x − წ < 0 .

მაგალითი 5ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(-2; 5) ;

ბ(3; -5) ;

C(ა; ბ) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები ღერძის გარშემო ოი .

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ პრობლემების მოგვარებას

მაგალითი 6ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(-1; 2) ;

ბ(3; -1) ;

C(-2; -2) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები ღერძის გარშემო ოი .

გადაწყვეტილება. 180 გრადუსით როტაცია ღერძის გარშემო ოიმიმართული ხაზის სეგმენტი ღერძიდან ოიამ მომენტამდე. ნახატზე, სადაც მითითებულია სიბრტყის კვადრატები, ვხედავთ, რომ მოცემულის სიმეტრიული წერტილი ღერძის მიმართ ოი, ექნება იგივე ორდინატი, როგორც მოცემული წერტილი და აბსციზა აბსოლუტური მნიშვნელობით ტოლია მოცემული წერტილის აბსცისა და საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ღერძის გარშემო ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოი :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

მაგალითი 7ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(3; 3) ;

ბ(2; -4) ;

C(-2; 1) .

იპოვნეთ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც სიმეტრიულია ამ წერტილების მიმართ საწყისის მიმართ.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვატრიალებთ 180 გრადუსით მიმართული სეგმენტის საწყისის გარშემო, რომელიც მიდის საწყისიდან მოცემულ წერტილამდე. ნახატზე, სადაც მითითებულია სიბრტყის ოთხკუთხედები, ვხედავთ, რომ მოცემული წერტილის სიმეტრიულ წერტილს კოორდინატების წარმოშობის მიმართ ექნება აბსცისა და ორდინატი, რომელიც აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატს. , მაგრამ საპირისპირო ნიშნით მათ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს საწყისის მიმართ:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

მაგალითი 8

ა(4; 3; 5) ;

ბ(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები:

1) თვითმფრინავში ოქსი ;

2) თვითმფრინავამდე Oxz ;

3) თვითმფრინავამდე ოიზ ;

4) აბსცისის ღერძზე;

5) y-ღერძზე;

6) აპლიკაციის ღერძზე.

1) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე ოქსიმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა და ორდინატი, რომელიც ტოლია მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატს, და აპლიკატი ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

აxy(4;3;0);

ბxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე Oxzმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა და აპლიკაციის ტოლი მოცემული წერტილის აბსცისა და აპლიკატი, და ორდინატი ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს Oxz :

აxz (4; 0; 5);

ბxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე ოიზმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს ორდინატი და აპლიკატი, რომელიც ტოლია მოცემული წერტილის ორდინატსა და აპლიკაციის, და აბსცისა ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს ოიზ :

აyz (0; 3; 5);

ბyz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია x-ღერძზე მდებარეობს თავად x-ღერძზე, ანუ ღერძზე ოქსი, და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა, რომელიც ტოლია თვით წერტილის აბსცისა და პროექციის ორდინატი და აპლიკაცია ნულის ტოლია (რადგან ორდინატი და აპლიკაციური ღერძი კვეთს აბსცისს 0 წერტილში). ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს x-ღერძზე:

აx(4;0;0);

ბx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) y ღერძზე წერტილის პროექცია მდებარეობს თავად y ღერძზე, ანუ ღერძზე ოი, და, შესაბამისად, აქვს ორდინატი, რომელიც ტოლია თვით წერტილის ორდინატთან, ხოლო პროექციის აბსცისა და აპლიკატი ნულის ტოლია (რადგან აბსცისა და აპლიკაციური ღერძები კვეთენ ორდინატთა ღერძს 0 წერტილში). ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს y ღერძზე:

აy(0;3;0);

ბy(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) წერტილის პროექცია აპლიკაციურ ღერძზე მდებარეობს თავად აპლიკაციურ ღერძზე, ანუ ღერძზე ოზი, და, შესაბამისად, აქვს აპლიკატი, რომელიც ტოლია თავად წერტილის აპლიკაციის, ხოლო პროექციის აბსცისა და ორდინატი ნულის ტოლია (რადგან აბსცისა და ორდინატთა ღერძები კვეთს აპლიკაციურ ღერძს 0 წერტილში). ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს აპლიკაციურ ღერძზე:

აz(0; 0; 5);

ბz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

მაგალითი 9ქულები მოცემულია სივრცეში დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში

ა(2; 3; 1) ;

ბ(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

იპოვეთ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც სიმეტრიულია ამ წერტილებთან მიმართებაში:

1) თვითმფრინავი ოქსი ;

2) თვითმფრინავი Oxz ;

3) თვითმფრინავი ოიზ ;

4) აბსცისის ღერძი;

5) y-ღერძი;

6) აპლიკაციური ღერძი;

7) კოორდინატების წარმოშობა.

1) ღერძის მეორე მხარეს მდებარე წერტილის „წინასვლა“. ოქსი ოქსი, ექნება მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატის ტოლი აბსცისა და ორდინატი, და აპლიკატი ტოლი სიდიდით მოცემული წერტილის აპლიკაციის, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის მიმართ მონაცემების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) ღერძის მეორე მხარეს მდებარე წერტილის „წინასვლა“. Oxzიმავე მანძილზე. კოორდინატთა სივრცის გამოსახული ფიგურის მიხედვით ვხედავთ, რომ მოცემულის სიმეტრიული წერტილი ღერძის მიმართ Oxz, ექნება აბსცისა და აპლიკაციის ტოლი აბსცისა და მოცემული წერტილის აპლიკატი, და ორდინატი ტოლი სიდიდით მოცემული წერტილის ორდინატს, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის მიმართ მონაცემების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) ღერძის მეორე მხარეს მდებარე წერტილის „წინასვლა“. ოიზიმავე მანძილზე. კოორდინატთა სივრცის გამოსახული ფიგურის მიხედვით ვხედავთ, რომ მოცემულის სიმეტრიული წერტილი ღერძის მიმართ ოიზ, ექნება მოცემული წერტილის ორდინატისა და აპლიკაციის ტოლი ორდინატი და აპლიკატი და მოცემული წერტილის აბსცისის სიდიდით ტოლი, მაგრამ მისი ნიშნით საპირისპირო. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის მიმართ მონაცემების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოიზ :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

სიბრტყის სიმეტრიულ წერტილებთან და სიმეტრიულ წერტილებთან სივრცეში სიმეტრიულ სიბრტყეებთან მიმართებაში, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ სივრცეში დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ზოგიერთი ღერძის მიმართ სიმეტრიის შემთხვევაში, კოორდინატი იმ ღერძზე, რომლის მიმართაც სიმეტრია არის დაყენებული. შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო დანარჩენ ორ ღერძზე კოორდინატები აბსოლუტური მნიშვნელობით იგივე იქნება, რაც მოცემული წერტილის კოორდინატები, მაგრამ ნიშნით საპირისპირო.

4) აბსციზა ინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო ორდინატი და აპლიკატი ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია x-ღერძის შესახებ მონაცემების მიმართ:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) ორდინატი ინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო აბსციზა და აპლიკაცია ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია y ღერძის შესახებ მონაცემების მიმართ:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) განაცხადი შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო აბსციზა და ორდინატი ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების მიმართ აპლიკაციური ღერძის შესახებ:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) სიმეტრიის ანალოგიით სიბრტყეზე წერტილების შემთხვევაში, კოორდინატების წარმოშობის სიმეტრიის შემთხვევაში, მოცემული წერტილის სიმეტრიული წერტილის ყველა კოორდინატი აბსოლუტური მნიშვნელობით იქნება მოცემული წერტილის კოორდინატების ტოლი, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით მათ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების წარმოშობის მიმართ.

ინსტრუქცია

ჩაწერეთ მათემატიკური ოპერაციები ტექსტის სახით და შეიყვანეთ ისინი საძიებო მოთხოვნის ველში Google-ის საიტის მთავარ გვერდზე, თუ ვერ იყენებთ კალკულატორს, მაგრამ გაქვთ ინტერნეტი. ამ საძიებო სისტემას აქვს ჩაშენებული მრავალფუნქციური კალკულატორი, რომლის გამოყენება ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა. ღილაკებთან ინტერფეისი არ არის - ყველა მონაცემი ტექსტის სახით უნდა შეიყვანოთ ერთ ველში. მაგალითად, თუ ცნობილია კოორდინატებიუკიდურესი წერტილები სეგმენტისამგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში A(51.34 17.2 13.02) და A(-11.82 7.46 33.5), შემდეგ კოორდინატებიშუა წერტილი სეგმენტი C((51.34-11.82)/2 (17.2+7.46)/2 (13.02+33.5)/2). საძიებო მოთხოვნის ველში შეიყვანეთ (51.34-11.82) / 2, შემდეგ (17.2 + 7.46) / 2 და (13.02 + 33.5) / 2, შეგიძლიათ გამოიყენოთ Google, რომ მიიღოთ კოორდინატები C (19.76 12.33 23.26).

წრის სტანდარტული განტოლება საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ინფორმაცია ამ ფიგურის შესახებ, მაგალითად, მისი ცენტრის კოორდინატები, რადიუსის სიგრძე. ზოგიერთ პრობლემაში, პირიქით, საჭიროა მოცემული პარამეტრების განტოლების გაკეთება.

ინსტრუქცია

დაადგინეთ, გაქვთ თუ არა ინფორმაცია წრის შესახებ, თქვენთვის მოცემული დავალების საფუძველზე. გახსოვდეთ, რომ საბოლოო მიზანია ცენტრის კოორდინატების და ასევე დიამეტრის განსაზღვრა. ყველა თქვენი ქმედება უნდა იყოს მიმართული ამ კონკრეტული შედეგის მისაღწევად.

გამოიყენეთ მონაცემები კოორდინატებთან ან სხვა ხაზებთან გადაკვეთის წერტილების არსებობის შესახებ. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თუ წრე გადის აბსცისის ღერძზე, მეორეს ექნება კოორდინატი 0, ხოლო თუ ორდინატთა ღერძზე, მაშინ პირველს. ეს კოორდინატები საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ წრის ცენტრის კოორდინატები და ასევე გამოთვალოთ რადიუსი.

არ დაივიწყოთ სეკანტებისა და ტანგენტების ძირითადი თვისებები. კერძოდ, ყველაზე სასარგებლო თეორემა არის ის, რომ შეხების წერტილში რადიუსი და ტანგენსი ქმნიან მართ კუთხეს. მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ შეიძლება მოგეთხოვოთ კურსში გამოყენებული ყველა თეორემის დამტკიცება.

ამოხსენით ყველაზე გავრცელებული ტიპები, რათა გაიგოთ, თუ როგორ დაუყოვნებლივ ნახოთ, როგორ გამოიყენოთ გარკვეული მონაცემები წრის განტოლებისთვის. ასე რომ, უშუალოდ მოცემულ კოორდინატებთან უკვე მითითებული ამოცანების გარდა და იმ ამოცანებისა, რომლებშიც მოცემულია ინფორმაცია გადაკვეთის წერტილების არსებობის შესახებ, წრის განტოლების შესადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცოდნა წრის ცენტრის, სიგრძის შესახებ. აკორდი და რომელზედაც დევს ეს აკორდი.

ამოსახსნელად ააგეთ ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის ფუძე იქნება მოცემული აკორდი, ტოლი გვერდები კი რადიუსი. მაკიაჟი, საიდანაც მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ საჭირო მონაცემები. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ ფორმულა სიბრტყეში სეგმენტის სიგრძის საპოვნელად.

Მსგავსი ვიდეოები

წრე გაგებულია, როგორც ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილების სიმრავლისგან მისი ცენტრიდან თანაბარ მანძილზე სიბრტყეში. მანძილი ცენტრიდან წერტილებამდე წრეებირადიუსი ეწოდება.

პოლარული კოორდინატები

ნომერზე იწოდება პოლარული რადიუსიწერტილები ან პირველი პოლარული კოორდინატი. მანძილი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ამიტომ ნებისმიერი წერტილის პოლარული რადიუსი არის . პირველი პოლარული კოორდინატი ასევე აღინიშნება ბერძნული ასოთი ("rho"), მაგრამ ლათინურ ვერსიას მიჩვეული ვარ და მომავალში გამოვიყენებ.

ნომერზე იწოდება პოლარული კუთხემოცემული წერტილი ან მეორე პოლარული კოორდინატი. პოლარული კუთხე სტანდარტულად იცვლება შიგნით (ე.წ კუთხის ძირითადი მნიშვნელობები). თუმცა, სავსებით მისაღებია დიაპაზონის გამოყენება და ზოგიერთ შემთხვევაში არის პირდაპირი აუცილებლობა, განიხილოს ყველა კუთხის მნიშვნელობა ნულიდან "პლუს უსასრულობამდე". სხვათა შორის, გირჩევთ, შევეჩვიოთ კუთხის რადიანულ ზომას, რადგან არ ითვლება comme il faut ხარისხებით მუშაობა უმაღლეს მათემატიკაში.

წყვილს ეძახიან პოლარული კოორდინატებიქულები. ადვილად მოსაძებნი და მათი კონკრეტული მნიშვნელობები. მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე კუთხთან: შესაბამისად, თავად კუთხე: . პითაგორას თეორემის მიხედვით, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს: მაშასადამე, პოლარული რადიუსი:

ამრიგად, .

ერთი პინგვინი კარგია, მაგრამ ფარა უკეთესია:


უარყოფითად ორიენტირებული კუთხეები ყოველი შემთხვევისთვის, ისრებით მოვნიშნე, უცებ ერთ-ერთმა მკითხველმა ჯერ არ იცოდა ამ ორიენტაციის შესახებ. თუ სასურველია, შეგიძლიათ თითოეულ მათგანს 1 შემობრუნება (რად. ან 360 გრადუსი) „დააბრუნოთ“ და, სხვათა შორის, კომფორტული იყოთ. ცხრილის მნიშვნელობები:

მაგრამ ამ "ტრადიციულად" ორიენტირებული კუთხეების მინუსი არის ის, რომ ისინი ძალიან შორს (180 გრადუსზე მეტი) "მოგრეხილია" საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. მე ვგეგმავ კითხვას: "რატომ არის ნაკლებობა და რატომ გვჭირდება საერთოდ რაიმე უარყოფითი კუთხე?" მათემატიკაში ფასდება უმოკლესი და რაციონალური გზები. ისე, ფიზიკის თვალსაზრისით, ბრუნვის მიმართულებას ხშირად ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს - თითოეული ჩვენგანი ცდილობდა კარის გაღებას სახელურის არასწორი მიმართულებით გაყვანით =)

პოლარულ კოორდინატებში წერტილების აგების წესი და ტექნიკა

ლამაზი სურათები მშვენიერია, მაგრამ პოლარული კოორდინატთა სისტემაში აშენება საკმაოდ შრომატევადი ამოცანაა. სირთულეები არ წარმოიქმნება წერტილებთან, რომელთა პოლარული კუთხეებია ჩვენს მაგალითში ეს არის პუნქტები ; 45 გრადუსის მრავლობითი მნიშვნელობები ასევე არ იწვევს დიდ პრობლემას: . მაგრამ როგორ სწორად და კომპეტენტურად ავაშენოთ, ვთქვათ, წერტილი?

დაგჭირდებათ ფურცელი, ფანქარი და ხატვის შემდეგი ხელსაწყოები: სახაზავი, კომპასი, პროტრაქტორი. ექსტრემალურ შემთხვევებში, თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ ერთი მმართველით, ან თუნდაც ... საერთოდ მის გარეშე! წაიკითხეთ და მიიღებთ კიდევ ერთ მტკიცებულებას, რომ ეს ქვეყანა უძლეველია =)

მაგალითი 1

ააგეთ წერტილი პოლარული კოორდინატთა სისტემაში.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ კუთხის ხარისხის ზომა. თუ კუთხე უცნობია ან ეჭვი გაქვთ, მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ იგი მაგიდაან რადიანების გრადუსამდე გადაყვანის ზოგადი ფორმულა. ასე რომ, ჩვენი კუთხე არის (ან).

დავხატოთ პოლარული კოორდინატთა სისტემა (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი) და ავიღოთ პროტრაქტორი. მრგვალი ინსტრუმენტის მფლობელებს არ გაუჭირდებათ 240 გრადუსით მონიშვნა, მაგრამ დიდი ალბათობით ხელზე გექნებათ მოწყობილობის ნახევრად მრგვალი ვერსია. პროტრატორის სრული არარსებობის პრობლემა პრინტერისა და მაკრატლის თანდასწრებით მოგვარებულია ხელსაქმით.

არსებობს ორი გზა: გადააბრუნეთ ფურცელი და მონიშნეთ 120 გრადუსით, ან „გაახეხეთ“ ნახევარი შემობრუნება და განიხილეთ საპირისპირო კუთხე. მოდით ავირჩიოთ ზრდასრულთა მეთოდი და დავხატოთ 60 გრადუსიანი ნიშანი:


ან საშუალო ზომის პროტრაქტორი, ან გიგანტური გალია =) თუმცა კუთხის გასაზომად მასშტაბი არ არის მნიშვნელოვანი.

ფანქრით ვხატავთ თხელ სწორ ხაზს, რომელიც გადის ბოძზე და გაკეთებულ ნიშანს:


ჩვენ გავარკვიეთ კუთხე, შემდეგი ნაბიჯი არის პოლარული რადიუსი. ვიღებთ კომპასს და მმართველის მიერჩვენ ვაყენებთ მის გამოსავალს 3 ერთეულზე, ყველაზე ხშირად, ეს არის, რა თქმა უნდა, სანტიმეტრი:

ახლა ჩვენ ფრთხილად ვათავსებთ ნემსს ბოძზე და ბრუნვითი მოძრაობით ვაკეთებთ პატარა ჭრილს (წითელ). სასურველი წერტილი აშენებულია:


კომპასის გარეშე შეგიძლიათ გააკეთოთ სახაზავი პირდაპირ აგებულ ხაზზე და 3 სანტიმეტრის გაზომვით. მაგრამ, როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, პოლარული კოორდინატთა სისტემაში მშენებლობის ამოცანებიტიპიური სიტუაციაა, როდესაც საჭიროა ორი ან მეტი წერტილის მონიშვნა იმავე პოლარული რადიუსით, ამიტომ უფრო ეფექტურია ლითონის გამკვრივება. კერძოდ, ჩვენს ნახატზე, კომპასის ფეხის 180 გრადუსით შემობრუნებით, ადვილია მეორე ჭრილის გაკეთება და ძელთან მიმართებაში სიმეტრიული წერტილის აგება. მასზე, მოდით, შევიმუშაოთ შემდეგი აბზაცის მასალა:

მართკუთხა და პოლარული კოორდინატთა სისტემების ურთიერთობა

ცხადია შეუერთდი"ნორმალური" კოორდინატთა ბადის პოლარულ კოორდინატულ სისტემას და დახაზეთ წერტილი ნახაზზე:

ეს კავშირი ყოველთვის სასარგებლოა გასათვალისწინებელი პოლარული კოორდინატების შედგენისას. თუმცა, ნებით თუ უნებლიეთ, ის თავს გვთავაზობს ზედმეტი მინიშნების გარეშე.

დავადგინოთ კავშირი პოლარულ და დეკარტის კოორდინატებს შორის კონკრეტული წერტილის მაგალითის გამოყენებით. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელშიც ჰიპოტენუზა ტოლია პოლარული რადიუსის: , და ფეხები არის წერტილის "x" და "თამაშის" კოორდინატები დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში: .

მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

მწვავე კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

ამავდროულად გაიმეორეს სინუსის, კოსინუსის (და ცოტა ადრე ტანგენტის) განმარტებები ყოვლისმომცველი სკოლის მე-9 კლასის პროგრამიდან.

გთხოვთ, დაამატოთ სამუშაო ფორმულები თქვენს საცნობარო წიგნში, რომლებიც გამოხატავენ წერტილის დეკარტიის კოორდინატებს მისი პოლარული კოორდინატების მიხედვით - მათთან საქმე არაერთხელ მოგვიწევს და შემდეგ ჯერზე ახლავე =)

ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში:

ამრიგად:

შედეგად მიღებული ფორმულები ხსნის კიდევ ერთ ხარვეზს კონსტრუქციულ პრობლემაში, როდესაც თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ პროტრატორის გარეშე: ჯერ ვპოულობთ წერტილის დეკარტის კოორდინატებს (რა თქმა უნდა, მონახაზზე), შემდეგ გონებრივად ვპოულობთ სწორ ადგილს ნახაზზე. და მონიშნეთ ეს წერტილი. დასკვნით ეტაპზე ვხატავთ თხელ სწორ ხაზს, რომელიც გადის აგებულ წერტილსა და ბოძზე. შედეგად, ირკვევა, რომ კუთხე, სავარაუდოდ, პროტრაქტორით იყო გაზომილი.

სასაცილოა, რომ აბსოლუტურად სასოწარკვეთილ მოსწავლეებს სახაზავის გარეშეც კი შეუძლიათ, გამოიყენონ სახელმძღვანელოს, რვეულის ან კლასის წიგნის გლუვი კიდე - ბოლოს და ბოლოს, ნოუთბუქების მწარმოებლებმა იზრუნეს მეტრიკაზე, 1 უჯრედი = 5 მილიმეტრი.

ამ ყველაფერმა გამახსენა ცნობილი ანეკდოტი, რომელშიც ჭკვიანმა პილოტებმა ბელომორის შეკვრის გასწვრივ აიღეს კურსი \u003d) თუმცა, ხუმრობები ხუმრობებია და ანეკდოტი არც ისე შორს არის რეალობისგან, მახსოვს, რომ ერთ-ერთ შიდა რეისზე. რუსეთის ფედერაციაში, ყველა სანავიგაციო მოწყობილობა ჩაიშალა ლაინერში და ეკიპაჟმა წარმატებით დაეშვა დაფა ჩვეულებრივი წყლის ჭიქის გამოყენებით, რომელიც აჩვენებდა თვითმფრინავის დახრილობის კუთხეს მიწასთან მიმართებაში. აეროდრომი კი - აი, საქარე მინიდან ჩანს.

გაკვეთილის დასაწყისში მოყვანილი პითაგორას თეორემის გამოყენებით, მარტივია შებრუნებული ფორმულების მიღება: , შესაბამისად:

თავად კუთხე „ფი“ სტანდარტულად გამოიხატება რკალის ტანგენტის მეშვეობით - ზუსტად ისევე, როგორც რთული რიცხვის არგუმენტიმთელი თავისი უცნაურობებით.

ასევე სასურველია ფორმულების მეორე ჯგუფის განთავსება თქვენს საცნობარო ბარგში.

ინდივიდუალური ქულებით ფრენების დეტალური ანალიზის შემდეგ გადავიდეთ თემის ბუნებრივ გაგრძელებაზე:

ხაზოვანი განტოლება პოლარულ კოორდინატებში

არსებითად, პოლარული კოორდინატთა სისტემაში წრფის განტოლება არის პოლარული კუთხის პოლარული რადიუსის ფუნქცია (არგუმენტი). ამ შემთხვევაში მხედველობაში მიიღება პოლარული კუთხე რადიანებში(!) და გამუდმებითიღებს მნიშვნელობებს დან (ზოგჯერ ეს უნდა ჩაითვალოს უსასრულოდ, ან რიგ პრობლემებში მოხერხებულობისთვის დან ). კუთხის "phi" თითოეული მნიშვნელობა, რომელიც შედის დომენიფუნქცია, შეესაბამება პოლარული რადიუსის ერთ მნიშვნელობას.

პოლარული ფუნქცია შეიძლება შევადაროთ ერთგვარ რადარს – როცა პოლუსიდან გამომავალი სინათლის სხივი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და ხაზს „იცნობს“ (გახაზავს).

პოლარული მრუდის ჩვეულებრივი მაგალითია არქიმედეს სპირალი. შემდეგი სურათი გვიჩვენებს მას პირველი შემობრუნება- როდესაც პოლარული რადიუსი პოლარული კუთხის შემდეგ იღებს მნიშვნელობებს 0-დან:

გარდა ამისა, პოლარული ღერძის გადაკვეთისას სპირალი გააგრძელებს განტვირთვას, პოლუსისგან უსასრულოდ შორს. მაგრამ ასეთი შემთხვევები პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია; უფრო ტიპიური სიტუაცია, როდესაც ყველა მომდევნო რევოლუციაზე ჩვენ "მივდივართ იმავე ხაზის გასწვრივ", რომელიც მიღებულია დიაპაზონში.

პირველ მაგალითში ასევე ვხვდებით კონცეფციას დომენებიპოლარული ფუნქცია: ვინაიდან პოლარული რადიუსი არაუარყოფითია, აქ უარყოფითი კუთხეები არ შეიძლება განიხილებოდეს.

! შენიშვნა : ზოგიერთ შემთხვევაში მისი გამოყენება ჩვეულებრივია განზოგადებული პოლარული კოორდინატები, სადაც რადიუსი შეიძლება იყოს უარყოფითი და ამ მიდგომას მოკლედ შევისწავლით ცოტა მოგვიანებით

არქიმედეს სპირალის გარდა, ბევრი სხვა ცნობილი მრუდია, მაგრამ, როგორც ამბობენ, ხელოვნებით სავსე არ იქნებით, ამიტომ ავარჩიე მაგალითები, რომლებიც ძალიან გავრცელებულია რეალურ პრაქტიკულ ამოცანებში.

პირველი, უმარტივესი განტოლებები და უმარტივესი ხაზები:

ფორმის განტოლება განსაზღვრავს პოლუსიდან გამოსვლას რეი. მართლაც, დაფიქრდით თუ კუთხის მნიშვნელობა ყოველთვის(რაც არ უნდა იყოს "er") მუდმივად, მაშინ რა არის ხაზი?

შენიშვნა : განზოგადებულ პოლარული კოორდინატთა სისტემაში ეს განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც გადის პოლუსზე

ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ... გამოიცანით პირველად - თუ ვინმესთვისკუთხის "phi" რადიუსი მუდმივი რჩება? სინამდვილეში, ეს განმარტება წრეებიორიენტირებული რადიუსის პოლუსზე.

Მაგალითად, . სიცხადისთვის, ვიპოვოთ ამ წრფის განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. წინა აბზაცში მიღებული ფორმულის გამოყენებით ჩვენ განვახორციელებთ ჩანაცვლებას:

ორივე გვერდი გავაფორმოთ კვადრატში:

– წრის განტოლებაორიენტირებულია 2 რადიუსის კოორდინატების საწყისზე, რომელიც უნდა გადამოწმებულიყო.

სტატიის შექმნისა და გამოშვების დღიდან ვექტორების წრფივ დამოკიდებულებასა და წრფივ დამოუკიდებლობაზემე მივიღე რამდენიმე წერილი საიტის ვიზიტორებისგან, რომლებმაც დაუსვეს კითხვა სულისკვეთებით: ”აქ არის მარტივი და მოსახერხებელი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რატომ გვჭირდება სხვა ირიბი აფინური საქმე?”. პასუხი მარტივია: მათემატიკა ცდილობს მოიცვას ყველაფერი და ყველას! გარდა ამისა, ამა თუ იმ სიტუაციაში მნიშვნელოვანია მოხერხებულობა – როგორც ხედავთ, განტოლების უკიდურესი სიმარტივის გამო გაცილებით მომგებიანია პოლარულ კოორდინატებში წრეზე მუშაობა.

და ზოგჯერ მათემატიკური მოდელი ელოდება მეცნიერულ აღმოჩენებს. ასე რომ, ერთ დროს, ყაზანის უნივერსიტეტის რექტორმა ნ.ი. ლობაჩევსკი მკაცრად დაამტკიცა, სიბრტყის თვითნებური წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია დახატვა ხაზების უსასრულო რაოდენობამოცემულის პარალელურად. შედეგად იგი მთელმა სამეცნიერო სამყარომ შეურაცხყოფა მიაყენა, მაგრამ... ამ ფაქტს ვერავინ უარყო. მხოლოდ კარგი საუკუნის შემდეგ, ასტრონომებმა გაარკვიეს, რომ სინათლე სივრცეში ვრცელდება მრუდი ტრაექტორიების გასწვრივ, სადაც ლობაჩევსკის არაევკლიდური გეომეტრია, რომელიც მის მიერ ამ აღმოჩენამდე დიდი ხნით ადრე შეიქმნა, იწყებს მუშაობას. ვარაუდობენ, რომ ეს არის თავად სივრცის თვისება, რომლის გამრუდება ჩვენთვის უხილავია მცირე (ასტრონომიული სტანდარტებით) მანძილების გამო.

განვიხილოთ უფრო მნიშვნელოვანი სამშენებლო ამოცანები:

მაგალითი 2

ხაზის აშენება

გადაწყვეტილება: ჯერ იპოვე დომენი. ვინაიდან პოლარული რადიუსი არაუარყოფითია, უტოლობა უნდა შენარჩუნდეს. თქვენ შეგიძლიათ გახსოვდეთ ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის სკოლის წესები, მაგრამ ასეთ მარტივ შემთხვევებში მე გირჩევთ ამოხსნის უფრო სწრაფ და ვიზუალურ მეთოდს:

წარმოიდგინეთ კოსინუსური ნაკვეთი. თუ მან ჯერ ვერ მოახერხა მეხსიერებაში დეპონირება, მაშინ იპოვეთ იგი გვერდზე ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები. რას გვეუბნება უთანასწორობა? ის გვეუბნება, რომ კოსინუს გრაფიკი უნდა განთავსდეს არანაკლებაბსცისის ღერძი. და ეს ხდება სეგმენტზე. და, შესაბამისად, ინტერვალი არ ჯდება.

ამრიგად, ჩვენი ფუნქციის დომენი არის: , ანუ გრაფიკი მდებარეობს პოლუსის მარჯვნივ (დეკარტის სისტემის ტერმინოლოგიის მიხედვით, მარჯვენა ნახევარსიბრტყეში).

პოლარულ კოორდინატებში ხშირად არის ბუნდოვანი წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რომელი ხაზი განსაზღვრავს ამა თუ იმ განტოლებას, ამიტომ მის ასაგებად, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი კუთვნილი წერტილები - და რაც მეტი, მით უკეთესი. ჩვეულებრივ შემოიფარგლება ათეული ან ორი (ან თუნდაც ნაკლები). უმარტივესი გზა, რა თქმა უნდა, მიღებაა კუთხის ცხრილის მნიშვნელობები. უფრო მეტი სიცხადისთვის, მე "დავამაგრებ" ერთ შემობრუნებას უარყოფით მნიშვნელობებზე:

კოსინუსის პარიტეტის გამო შესაბამისი დადებითი მნიშვნელობები შეიძლება კვლავ გამოტოვოთ:

მოდით გამოვსახოთ პოლარული კოორდინატთა სისტემა და გამოვყოთ ნაპოვნი წერტილები, მაშინ როდესაც მოსახერხებელია გამოვყოთ "er"-ის იგივე მნიშვნელობები ერთდროულად, დაწყვილებული სერიფების გაკეთება კომპასით ზემოთ განხილული ტექნოლოგიის მიხედვით:

პრინციპში, ხაზი ნათლად არის დახატული, მაგრამ ვარაუდის აბსოლუტურად დასადასტურებლად, ვიპოვოთ მისი განტოლება დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ახლად მიღებული ფორმულები , მაგრამ მე გეტყვით უფრო რთულ ხრიკზე. ჩვენ ხელოვნურად ვამრავლებთ განტოლების ორივე ნაწილს "er"-ზე: და ვიყენებთ უფრო კომპაქტურ გადასვლის ფორმულებს:

სრული კვადრატის არჩევით, წრფის განტოლებას მივყავართ ცნობად ფორმამდე:

– წრის განტოლებაორიენტირებული წერტილზე, რადიუსი 2.

ვინაიდან, პირობის მიხედვით, უბრალოდ საჭირო იყო კონსტრუქციის დასრულება და ეს არის ის, ჩვენ შეუფერხებლად ვაკავშირებთ ნაპოვნი წერტილებს ხაზით:

მზადაა. არა უშავს, თუ ცოტა არათანაბარი გამოდის, არ უნდა იცოდე, რომ წრე იყო ;-)

რატომ არ განვიხილეთ კუთხის მნიშვნელობები ინტერვალის გარეთ? პასუხი მარტივია: აზრი არ აქვს. ფუნქციის პერიოდულობის გათვალისწინებით, ჩვენ ველოდებით უსასრულო სირბილს აგებული წრის გასწვრივ.

მარტივია მარტივი ანალიზის ჩატარება და დასკვნამდე მისვლა, რომ ფორმის განტოლება განსაზღვრავს დიამეტრის წრეს ცენტრით წერტილში. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ყველა ასეთი წრე „ზის“ პოლარულ ღერძზე და აუცილებლად გადის ბოძზე. თუ , მაშინ მხიარული კომპანია გადავა მარცხნივ - პოლარული ღერძის გაგრძელებაზე (იფიქრეთ რატომ).

მსგავსი პრობლემა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 3

დახაზეთ ხაზი და იპოვეთ მისი განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ჩვენ სისტემატიზაციას ვუწევთ პრობლემის გადაჭრის პროცედურას:

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენს, ამისათვის მოსახერხებელია დათვალიერება სინუსოიდიდაუყოვნებლივ გაიგოს სად არის სინუსი არაუარყოფითი.

მეორე საფეხურზე ჩვენ ვიანგარიშებთ წერტილების პოლარულ კოორდინატებს გამოყენებით კუთხეების ტაბულური მნიშვნელობები; გაანალიზეთ შესაძლებელია თუ არა გამოთვლების რაოდენობის შემცირება?

მესამე საფეხურზე პოლარული კოორდინატთა სისტემაში ვდებთ წერტილებს და ფრთხილად ვაკავშირებთ ხაზს.

და ბოლოს, ჩვენ ვპოულობთ წრფის განტოლებას დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

ამოხსნის ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ პოლარულ კოორდინატებში აგების ზოგად ალგორითმს და ტექნიკას
და მნიშვნელოვნად აჩქარებსლექციის მეორე ნაწილში, მანამდე კი გავეცნოთ კიდევ ერთ საერთო ხაზს:

პოლარული ვარდი

მართალია, ჩვენ ვსაუბრობთ ყვავილზე ფურცლებით:

მაგალითი 4

დახაზეთ ხაზები, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით პოლარულ კოორდინატებში

პოლარული ვარდის აგების ორი მიდგომა არსებობს. პირველ რიგში, მოდით წავიდეთ დახრილი ბილიკის გასწვრივ, ვივარაუდოთ, რომ პოლარული რადიუსი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი:

გადაწყვეტილება:

ა) იპოვეთ ფუნქციის დომენი:

ასეთი ტრიგონომეტრიული უტოლობა ასევე ადვილად ამოსახსნელია გრაფიკულად: სტატიის მასალებიდან გეომეტრიული ნაკვეთის გარდაქმნებიცნობილია, რომ თუ ფუნქციის არგუმენტი გაორმაგდება, მაშინ მისი გრაფიკი y-ღერძამდე 2-ჯერ შემცირდება. გთხოვთ, იპოვოთ ფუნქციის გრაფიკი მითითებული გაკვეთილის პირველ მაგალითში. სად მდებარეობს ეს სინუსოიდი x-ღერძის ზემოთ? ინტერვალებით . შესაბამისად, შესაბამისი სეგმენტები აკმაყოფილებს უთანასწორობას და დომენიჩვენი ფუნქცია: .

ზოგადად, განხილული უტოლობების ამოხსნა არის უსასრულო რაოდენობის სეგმენტების გაერთიანება, მაგრამ, ისევ და ისევ, ჩვენ მხოლოდ ერთი პერიოდი გვაინტერესებს.

შესაძლოა, ზოგიერთ მკითხველს გაუადვილდეს განმარტების დომენის პოვნის ანალიტიკური მეთოდი, მე პირობითად დავარქმევ "მრგვალი ღვეზელის დაჭრა". დავჭრით თანაბარ ნაწილადდა, პირველ რიგში, იპოვნეთ პირველი ნაწილის საზღვრები. ჩვენ ვკამათობთ შემდეგნაირად: სინუსი არ არის უარყოფითი, როდესაც მისი არგუმენტი მერყეობს 0-დან რადამდე. ინკლუზიური. ჩვენს მაგალითში: . ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილის 2-ზე გაყოფით, მივიღებთ საჭირო ინტერვალს:

ახლა ჩვენ ვიწყებთ თანმიმდევრულად "დაჭრას თანაბარი ნაწილები 90 გრადუსით" საათის ისრის საწინააღმდეგოდ:

- ნაპოვნი სეგმენტი, რა თქმა უნდა, შედის განსაზღვრების არეალში;

– შემდეგი ინტერვალი – არ შედის;

- შემდეგი სეგმენტი - შემოდის;

- და ბოლოს, ინტერვალი - არ შედის.

ისევე როგორც გვირილა - "უყვარს, არ უყვარს, უყვარს, არ უყვარს" =) იმ განსხვავებით, რომ ეს არ არის მკითხაობა. დიახ, ჩინურში უბრალოდ სიყვარული გამოდის….

Ისე, და ხაზი წარმოადგენს ვარდს ორი იდენტური ფურცლით. ნახატის სქემატურად დახატვა სავსებით შესაძლებელია, მაგრამ ძალიან სასურველია სწორად მოძებნა და მონიშვნა ფურცლების მწვერვალები. წვეროები შეესაბამება განმარტების დომენის სეგმენტების შუა წერტილები, რომლებსაც ამ მაგალითში აქვთ აშკარა კუთხოვანი კოორდინატები . სადაც ფურცლის სიგრძეარიან:

აქ არის მზრუნველი მებაღის ბუნებრივი შედეგი:

უნდა აღინიშნოს, რომ ფურცლის სიგრძე ადვილად შესამჩნევია განტოლებიდან - ვინაიდან სინუსი შეზღუდულია: , მაშინ "er"-ის მაქსიმალური მნიშვნელობა რა თქმა უნდა არ აღემატება ორს.

ბ) ავაშენოთ განტოლებით მოცემული წრფე. ცხადია, ამ ვარდის ფურცლის სიგრძეც ორია, მაგრამ, პირველ რიგში, ჩვენ გვაინტერესებს განმარტების სფერო. ჩვენ ვიყენებთ "დაჭრის" ანალიტიკურ მეთოდს: sine არის არაუარყოფითი, როდესაც მისი არგუმენტიარის ნულიდან „pi“-ს ჩათვლით, ამ შემთხვევაში: . უტოლობის ყველა ნაწილს ვყოფთ 3-ზე და ვიღებთ პირველ ინტერვალს:

შემდეგი, ჩვენ ვიწყებთ "ტორტის ნაწილებად დაჭრას" რადის მიხედვით. (60 გრადუსი):
– სეგმენტი შევა განსაზღვრების ზონაში;
– ინტერვალი – არ შევა;
- სეგმენტი - შევა;
– ინტერვალი – არ შევა;
- სეგმენტი - შევა;
- ინტერვალი - არ შევა.

პროცესი წარმატებით დასრულდა 360 გრადუსიან ნიშნულზე.

ასე რომ, სფერო არის: .

მთლიანად ან ნაწილობრივ განხორციელებული მოქმედებები გონებრივად ადვილი შესასრულებელია.

მშენებლობა. თუ წინა აბზაცში ყველაფერი კარგად იყო მართი კუთხით და 45 გრადუსიანი კუთხით, მაშინ აქ ცოტათი უნდა დაჭყლიტოთ. მოდი ვიპოვოთ ფურცლების მწვერვალები. მათი სიგრძე ხილული იყო ამოცანის თავიდანვე, რჩება კუთხური კოორდინატების გამოთვლა, რომლებიც უდრის განმარტების დომენის სეგმენტების შუა წერტილებს:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფურცლების მწვერვალებს შორის აუცილებლად უნდა მიიღოთ თანაბარი ხარვეზები, ამ შემთხვევაში 120 გრადუსი.

სასურველია ნახატი მონიშნოთ 60 გრადუსიან სექტორებად (გამოიყოფა მწვანე ხაზებით) და დახაზოთ ფურცლების ზევით მიმართულებები (ნაცრისფერი ხაზები). მოსახერხებელია თავად წვეროების მონიშვნა კომპასის დახმარებით - ერთხელ გაზომეთ მანძილი 2 ერთეულით და დახაზეთ სამი ღერი დახატული მიმართულებით 30, 150 და 270 გრადუსზე:

მზადაა. მესმის, რომ დავალება პრობლემურია, მაგრამ თუ გინდა ყველაფერი ჭკვიანურად მოაწყო, დრო მოგიწევს.

ჩვენ ვაყალიბებთ ზოგად ფორმულას: ფორმის განტოლება არის ნატურალური რიცხვი), განსაზღვრავს პოლარული ფურცლის ვარდს, რომლის ფურცლის სიგრძეა .

მაგალითად, განტოლებაში მითითებულია ოთხფოთლიანი ფურცლის სიგრძე 5 ერთეული, განტოლება - 5 ფურცლიანი ვარდი, რომლის ფურცლის სიგრძე 3 ერთეულია. და ა.შ.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე იქმნება ორი ერთმანეთის პერპენდიკულური კოორდინატთა ღერძებით X'X და Y'Y. კოორდინატთა ღერძები იკვეთება O წერტილში, რომელსაც კოორდინატების საწყისს უწოდებენ, თითოეულ ღერძზე არჩეულია დადებითი მიმართულება, ღერძების დადებითი მიმართულება (მარჯვენა კოორდინატულ სისტემაში) არჩეულია ისე, რომ როდესაც X'X ღერძი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90 °-ით, მისი დადებითი მიმართულება ემთხვევა Y'Y ღერძის დადებით მიმართულებას. X'X და Y'Y კოორდინატთა ღერძებით წარმოქმნილ ოთხ კუთხეს (I, II, III, IV) კოორდინატთა კუთხეები ეწოდება (იხ. სურ. 1).

A წერტილის პოზიცია სიბრტყეზე განისაზღვრება ორი კოორდინატით x და y. x-კოორდინატი უდრის OB სეგმენტის სიგრძეს, y-კოორდინატი არის OC სეგმენტის სიგრძე შერჩეულ ერთეულებში. სეგმენტები OB და OC განისაზღვრება A წერტილიდან Y'Y და X'X ღერძების პარალელურად გამოყვანილი ხაზებით. x კოორდინატს A წერტილის აბსცისა ეწოდება, y კოორდინატს A წერტილის ორდინატს, ასე წერენ: A (x, y).

თუ წერტილი A დევს I კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ A წერტილს აქვს დადებითი აბსცისა და ორდინატი. თუ წერტილი A მდებარეობს II კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ A წერტილს აქვს უარყოფითი აბსცისა და დადებითი ორდინატი. თუ წერტილი A დევს კოორდინატთა კუთხეში III, მაშინ A წერტილს აქვს უარყოფითი აბსცისა და ორდინატი. თუ წერტილი A მდებარეობს IV კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ A წერტილს აქვს დადებითი აბსცისა და უარყოფითი ორდინატი.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეშიიქმნება სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული კოორდინატთა ღერძებით OX, OY და OZ. კოორდინატთა ღერძები იკვეთება O წერტილში, რომელსაც კოორდინატების საწყისი ეწოდება, თითოეულ ღერძზე არჩეულია ისრებით მითითებული დადებითი მიმართულება და ღერძებზე სეგმენტების საზომი ერთეული. საზომი ერთეულები ყველა ღერძისთვის ერთნაირია. OX - აბსცისის ღერძი, OY - ორდინატთა ღერძი, OZ - აპლიკაციური ღერძი. ღერძების დადებითი მიმართულება არჩეულია ისე, რომ როდესაც OX ღერძი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90°-ით, მისი დადებითი მიმართულება ემთხვევა OY ღერძის დადებით მიმართულებას, თუ ეს ბრუნი შეინიშნება OZ ღერძის დადებითი მიმართულებიდან. ასეთ კოორდინატთა სისტემას მართალი ეწოდება. თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითი მიიღება როგორც X მიმართულება, საჩვენებელი თითი როგორც Y მიმართულება და შუა თითი როგორც Z მიმართულება, მაშინ იქმნება მარჯვენა კოორდინატთა სისტემა. მარცხენა ხელის მსგავსი თითები ქმნიან მარცხენა კოორდინატთა სისტემას. მარჯვენა და მარცხენა კოორდინატთა სისტემები არ შეიძლება გაერთიანდეს ისე, რომ შესაბამისი ღერძები დაემთხვეს (იხ. სურ. 2).

A წერტილის მდებარეობა სივრცეში განისაზღვრება სამი კოორდინატით x, y და z. x კოორდინატი უდრის OB სეგმენტის სიგრძეს, y კოორდინატი უდრის OC სეგმენტის სიგრძეს, z კოორდინატი არის OD სეგმენტის სიგრძე შერჩეულ ერთეულებში. OB, OC და OD სეგმენტები განისაზღვრება A წერტილიდან YOZ, XOZ და XOY სიბრტყეების პარალელურად გაყვანილი სიბრტყეებით. x კოორდინატს ეწოდება A წერტილის აბსცისა, y კოორდინატს A წერტილის ორდინატს, z კოორდინატს A წერტილის აპლიკაციას წერენ ასე: A (a, b, c).

ჰორტსი

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (ნებისმიერი განზომილების) ასევე აღწერილია ორტების კომპლექტით, რომლებიც მიმართულია კოორდინატთა ღერძებთან ერთად. ორტების რაოდენობა უდრის კოორდინატთა სისტემის განზომილებას და ისინი ყველა ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

სამგანზომილებიან შემთხვევაში, ასეთი ვექტორები ჩვეულებრივ აღინიშნება მე ჯ კან ე x ეწ ეზ . ამ შემთხვევაში, სწორი კოორდინატთა სისტემის შემთხვევაში, მოქმედებს შემდეგი ფორმულები ვექტორების ვექტორული ნამრავლით:

• [მე ჯ]=კ ;
• [ჯ კ]=მე ;
• [კ მე]=ჯ .

ამბავი

რენე დეკარტმა პირველმა შემოიტანა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა თავის დისკურსში მეთოდის შესახებ 1637 წელს. ამრიგად, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას ასევე უწოდებენ - დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. გეომეტრიული ობიექტების აღწერის კოორდინატულმა მეთოდმა საფუძველი ჩაუყარა ანალიტიკურ გეომეტრიას. კოორდინატთა მეთოდის შემუშავებაში წვლილი შეიტანა პიერ ფერმამაც, მაგრამ მისი ნაშრომი პირველად მისი გარდაცვალების შემდეგ გამოქვეყნდა. დეკარტი და ფერმა კოორდინატთა მეთოდს მხოლოდ თვითმფრინავზე იყენებდნენ.

სამგანზომილებიანი სივრცის კოორდინატთა მეთოდი პირველად გამოიყენა ლეონჰარდ ეილერმა უკვე მე-18 საუკუნეში.

იხილეთ ასევე

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

• დეკარტის კოორდინატთა სისტემა
• დეკარტის ხარისხი

ნახეთ, რა არის „დეკარტის კოორდინატები“ სხვა ლექსიკონებში:

კარსტიანი კოორდინატები- (დეკარტის კოორდინატთა სისტემა) კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, როგორც წესი, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და იგივე მასშტაბით ღერძების გასწვრივ, მართკუთხა დეკარტის კოორდინატებით. რ. დეკარტის სახელობის... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დეკარტის კოორდინატები- კოორდინატთა სისტემა, რომელიც შედგება ორი პერპენდიკულარული ღერძისგან. ასეთ სისტემაში წერტილის პოზიცია იქმნება ორი რიცხვის გამოყენებით, რომლებიც განსაზღვრავენ მანძილს კოორდინატების ცენტრიდან თითოეული ღერძის გასწვრივ. საინფორმაციო თემები...... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

დეკარტის კოორდინატები- (დეკარტის კოორდინატთა სისტემა), კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, როგორც წესი, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და იგივე მასშტაბით ღერძების გასწვრივ, მართკუთხა დეკარტის კოორდინატებით. რ. დეკარტის სახელობის... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დეკარტის კოორდინატები- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. ატიტიკმენის: ინგლ. დეკარტის კოორდინატები vok. Kartesische Koordinaten, f… Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

დეკარტის კოორდინატები- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. დეკარტის კოორდინატები; ბადის კოორდინატები vok. კარტესიშე კოორდინატენი, ფ რუს. დეკარტის კოორდინატები, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos Terminų Jodynas

კარსტიანი კოორდინატები- სიბრტყეზე წერტილების პოზიციის განსაზღვრის მეთოდი მათი მანძილით ორ ფიქსირებულ პერპენდიკულარ სწორ ღერძამდე. ეს კონცეფცია უკვე ჩანს არქიმედესსა და პერგას აპოლოგიაში ორი ათასზე მეტი წლის წინ და ძველ ეგვიპტეშიც კი. პირველად ეს...... მათემატიკური ენციკლოპედია

კარსტიანი კოორდინატები- დეკარტის კოორდინატთა სისტემა [ფრანგების სახელობის. ფილოსოფოსი და მათემატიკოსი რ. დეკარტი (R. Descartes; 1596 1650)], კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, ჩვეულებრივ, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და იგივე მასშტაბით ღერძების გასწვრივ, მართკუთხა D ... დიდი ენციკლოპედიური პოლიტექნიკური ლექსიკონი

კარსტიანი კოორდინატები- (დეკარტის კოორდინატთა სისტემა), კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, ჩვეულებრივ, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და იგივე მასშტაბით ღერძების გასწვრივ, მართკუთხა D.-მდე. სახელწოდებით R. Descartes ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

კარსტიანი კოორდინატები- ნაპოვნი ნებისმიერი წერტილის მდებარეობის სისტემა ორ ღერძთან შედარებით, რომლებიც იკვეთება სწორი კუთხით. რენე დეკარტის მიერ შემუშავებული ეს სისტემა გახდა მონაცემთა გრაფიკული წარმოდგენის სტანდარტული მეთოდების საფუძველი. Ჰორიზონტალური ხაზი… … ფსიქოლოგიის განმარტებითი ლექსიკონი

კოორდინატები- კოორდინატები. თვითმფრინავზე (მარცხნივ) და სივრცეში (მარჯვნივ). კოორდინატები (ლათინურიდან co together და ordinatus ordered), რიცხვები, რომლებიც განსაზღვრავენ წერტილის პოზიციას სწორ ხაზზე, სიბრტყეზე, ზედაპირზე, სივრცეში. კოორდინატები არის მანძილი... ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი