სპლაინი(ინგლისური) splines - ბარი, სარკინიგზო) - ფუნქცია, რომლის განსაზღვრის დომენი იყოფა სეგმენტების სასრულ რაოდენობად, რომელთაგან თითოეულზე სლაინი ემთხვევა ზოგიერთ ალგებრულ ფუნქციას. გამოყენებული ფუნქციების მაქსიმალურ ხარისხს (ჩვეულებრივ პოლინომები) ეწოდება სპლინის ხარისხი. სპლინის ხარისხსა და მისი მოხაზულობის სიგლუვეს შორის განსხვავებას (კოორდინატებში უწყვეტობის არარსებობა, პირველ და მეორე წარმოებულებში) სპლინის დეფექტი ეწოდება. მაგალითად, ხაზის სეგმენტების უწყვეტი გატეხილი ხაზი არის 1 ხარისხის და დეფექტი 1 (სლაინის სეგმენტების შეერთების წერტილებში პირველი წარმოებული იშლება - დარღვეულია სიგლუვე).

Splines-ს აქვს მრავალი გამოყენება, როგორც მათემატიკური თეორიაში, ასევე სხვადასხვა გამოთვლით აპლიკაციებში. კერძოდ, ორი ცვლადის შტრიხები ინტენსიურად გამოიყენება სხვადასხვა კომპიუტერული მოდელირების სისტემებში ზედაპირების დასადგენად.

ნახ. 2.8, თავდაპირველი ფუნქცია ჩანაცვლებულია კუბური პარაბოლების სეგმენტებით, რომლებიც გადიან ოთხი მიმდებარე კვანძის წერტილში. პარაბოლების კოეფიციენტები გამოითვლება ისე, რომ კოორდინატები, ისევე როგორც პირველი და მეორე წარმოებულები, ემთხვევა ფრაგმენტების შეერთების წერტილებს (სპლინის დეფექტი ნულის ტოლია).

ხაზი, რომელსაც ასეთი სლაინის ფუნქციები აღწერს, ფორმაში წააგავს კვანძოვან წერტილებზე დამაგრებულ მოქნილ სახაზავს.

სპლინის გამოთვლა ჩვეულებრივ მოდის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.

2.4. დაახლოება

მონაცემთა დამუშავებისა და მოდელირების ფართოდ გავრცელებული ამოცანაა მათი მთლიანობის წარმოდგენა გარკვეული ფუნქციით ვ(x). მიახლოების ამოცანაა ამ ფუნქციის ისეთი პარამეტრების მიღება, რომ ფუნქცია უახლოვდება საწყისი წერტილების „ღრუბელს“ ყველაზე პატარა ფესვის საშუალო კვადრატული შეცდომა . მიახლოება ჩვეულებრივ ეფუძნება მინიმალური კვადრატის მეთოდი.

2.4.1. პოლინომიური მიახლოება

პოლინომი - ფორმის გამოხატულება: ზე=ა 0 +ა 1 ჰ X+ა 2 სთ X 2 +...+ა n H xნ

თითოეულში ნ წერტილები, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია xმედა წმე, ვპოულობთ გამოთვლილი და გაზომილი სიდიდეების კვადრატული გადახრების ჯამს

საუკეთესო მიახლოების საპოვნელად აუცილებელია ამ ფუნქციის მინიმუმის პოვნა ცვლადებისთვის: აშესახებ, ა 1 , ა 2 , ..., ან.

გამოსავალი: ფუნქციის დიფერენცირება ვ თითოეული ამ ცვლადისთვის და წარმოებულის გაუტოლება ნულს. მარტივი გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ წრფივი განტოლებათა სისტემას. ამ სისტემის ამოხსნით შეიძლება ვიპოვოთ მრავალწევრის უცნობი კოეფიციენტები აშესახებ, ა 1 , ა 2 , ..., ან.

კოეფიციენტები უცნობისთვის	უფასო
a n	...	a 2	ა ო	წევრი
	...
	...
...	...	....	.....	....
	...		ნ

პოლინომიური მონაცემების მიახლოების მაგალითი ნაჩვენებია ნახ. 2.10.

ბრინჯი. 2.10 პოლინომული მიახლოება

2.4.2. წრფივი დაახლოება

პოლინომიური მიახლოების კონკრეტული, მაგრამ ასევე ყველაზე პოპულარული შემთხვევაა წრფივი მიახლოება. წრფივი მიახლოებით ფუნქცია წ(x) აღწერს სწორი ხაზის სეგმენტს და აქვს ფორმა წ(x) = ა + bx (ნახ. 2.11).

ბრინჯი. 2.11. წრფივი დაახლოება

2.4.3. უმცირესი კვადრატების მეთოდი თვითნებური ფუნქციისთვის

ფუნქცია წ(x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს თვითნებური დიფერენცირებადი ფუნქციით (ნახ. 2.12). პრაქტიკაში არ არის რეკომენდებული ფუნქციების გამოყენება 4-6-ზე მაღალი სიმძლავრის მქონე - განხორციელების შეცდომები მნიშვნელოვნად იზრდება.

ბრინჯი. 2.12. მიახლოება თვითნებური ფუნქციებით

2.5. მონაცემთა გამარტივება

ექსპერიმენტების უმეტესობის მონაცემებს აქვს შემთხვევითი კომპონენტები (ხმაურიანი), ამიტომ საჭიროა სტატისტიკური მონაცემების გასწორება.

ეს ითვლის კომპლექტს ზ =ზ 1 ,ზ 2 ,...ზნგამარტივებული ფუნქციის მნიშვნელობები ვ(x,წ), მოცემული არგუმენტების მნიშვნელობების სიმრავლით X =x 1 ,x 2 ,...xნდა ი =წ 1 ,წ 2 ,...წნშესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები.

ფუნქციის გამარტივება, მოცემულია მნიშვნელობების ცხრილით არათანაბრად დაშორებულ წერტილებზე, პირველი ხარისხის მრავალწევრის გამოყენებით, აგებული მიხედვით კ (მინიმუმ სამი ქულა) ზედიზედ წერტილამდე უმცირესი კვადრატების მეთოდით (ნახ. 2.13).

ბრინჯი. 2.13. მონაცემთა გამარტივება

ზე კ= 3 - ყოველ სამ ზედიზედ ქულაზე (x j -2, წ j-2), ( x j -1, წ j -1), ( x j, წკ)ამისთვის ჯ=3,...ნ აგებულია პირველი ხარისხის მრავალწევრების მიმდევრობა ვ j ( x)=მჯ x+ბჯ, ამ წერტილებში მოცემულიდან ყველაზე მცირე გადახრის მიცემა უმცირესი კვადრატების მნიშვნელობით.

კოეფიციენტების განსაზღვრა მჯდა ბჯმრავალწევრი ვ j ( x) წარმოებული უმცირესი კვადრატების მეთოდით.

საჭირო გათლილი მნიშვნელობები ზ j = ვ j ( x) = მჯ x + ბჯგამოითვლება ფორმულით:

2.6. მონაცემთა ექსტრაპოლაცია (პროგნოზირება)

მოცემული პუნქტების სერიიდან ექსტრაპოლაციისას გამოითვლება გარკვეული რიცხვი ნ შემდგომი პუნქტები.

ნახ. 2.14 მყარი ხაზი აჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს, რომელიც აღწერს მოცემული წერტილების პოზიციას, წერტილოვანი ხაზი აჩვენებს პროგნოზს (გრაფიკის ექსტრაპოლაცია).

ბრინჯი. 2.14. მონაცემთა ექსტრაპოლაცია

2.7. რიცხვითი დიფერენციაცია

პირველი წარმოებულის გეომეტრიული ინტერპოლაცია - ის უდრის ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს.

ცხრილით მოცემული ფუნქციის წარმოებულის გაანგარიშებისას, თქვენ უნდა განსაზღვროთ ფუნქციის მნიშვნელობები წ მარცხნივ და მარჯვნივ ამ მნიშვნელობიდან თანაბარი დაშორებით x , რომლისთვისაც გვინდა გამოვთვალოთ წარმოებულის მნიშვნელობა და გავყოთ მათი სხვაობა თ (პრაქტიკაში, ეს მოდის ტანგენსის დახრილობის ტანგენტის მიახლოებით განსაზღვრაზე, რაც უფრო მცირეა თ რაც უფრო ზუსტი იქნება შედეგი (ნახ. 2.15):

ბრინჯი. 2.15. რიცხვითი დიფერენციაცია

.

ღირებულებები შეიძლება მოიძებნოს ინტერპოლაციის გზით.

2.8. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა

განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია არის გეომეტრიული ფიგურის ფართობი, რომელიც ჩამოყალიბებულია ინტეგრანის გრაფიკით და x ღერძი ინტერვალზე.

მარტივი და ამავდროულად კარგი გზა ასეთია: ინტეგრაციის განყოფილება დაყოფილია რამდენიმე თანაბარ მცირე ინტერვალებად. ინტეგრალი თითოეულ მცირე ინტერვალზე დაახლოებით განიხილება ინტერვალის სიგრძის ნამრავლისა და ინტეგრანის საშუალო მნიშვნელობის მის დასაწყისში და ბოლოს. ამ მეთოდს ე.წ ტრაპეციული მეთოდი , რადგან შედეგი ისეთია, თითქოს ყოველ მცირე ინტერვალში გრაფის რკალი იცვლება მისი აკორდით, ხოლო ამ რკალის ქვეშ არსებული ფართობი (ინტეგრალის მნიშვნელობა) იცვლება მიღებული ტრაპეციის ფართობით ვერტიკალური ბაზებით ( ნახ. 2.16).

ბრინჯი. 2.16. ტრაპეციული მეთოდი

შესაბამისი ფორმულა ასე გამოიყურება:

სადაც მოკლედ აღინიშნება.

კიდევ უფრო ეფექტური ფორმულა შეიძლება მივიღოთ, თუ მცირე ინტერვალზე მრუდი ჩანაცვლდება პარაბოლით, ე.ი. კვადრატული დამოკიდებულების გრაფიკი.

მოდით გავყოთ ინტეგრაციის სეგმენტი x = ა ადრე x= ბ ლუწი რაოდენობის თანაბარი ინტერვალებით. ინტერვალის საზღვრები: . მიუთითეთ ინტერვალის სიგრძე თ , ისე .

ამ ფორმულას ე.წ სიმპსონის ფორმულა . სიმფსონის ფორმულის უპირატესობები ტრაპეციულ ფორმულასთან შედარებით განსაკუთრებით გამოხატულია რაოდენობის ზრდით. ნ გაყოფის ინტერვალები. შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ამ შემთხვევაში ტრაპეციის ფორმულის შეცდომა უკუპროპორციულად მცირდება ნ 2 და სიმპსონის ფორმულის შეცდომა უკუპროპორციულია ნ 4 .

2.9. დიფერენციალური განტოლებების რიცხვითი ამოხსნა

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება: ,

სადაც წ არის უცნობი ფუნქცია x .

ჩვეულებრივ ვარაუდობენ, რომ ეს განტოლება ამოსახსნელია წარმოებულის მიმართ, ე.ი. როგორც ჩანს: . განტოლების ამოსახსნელად აუცილებელია საწყისი პირობების დაყენება: x = x 0 და წ = წ 0 .

თუ განტოლება ასე გამოიყურება და მოცემულია საწყისი პირობები x=x 0 და წ=წ 0, შემდეგ მნიშვნელობების ჩანაცვლება x 0 და წ 0 ფუნქციაში ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას წერტილში x 0: .

ფუნქციის მნიშვნელობა: , სად დ x - მცირე მატება x .

აქედან გამომდინარეობს ფუნქციის მნიშვნელობა წ 1 = წ(x 1) = ,

სადაც x 1 = x 0+D x .

ახლა აზრს ავიღებთ ( x 1 ,წ 1) ორიგინალისთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ ქულა ზუსტად იმავე გზით წ 2 = წ(x 2) = , სად x 2 = x 1+D x . ამრიგად, ეტაპობრივად, შეგიძლიათ თანმიმდევრულად გამოთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები სხვადასხვასთვის x .

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების მაგალითია ძირითადი მატარებლის განტოლება: , სად - კონკრეტული შედეგიანი ძალა, სიჩქარის მიხედვით.

მატარებლის სიჩქარის მრუდის აგება გავლილი მანძილის ფუნქციით ემყარება მატარებლის მოძრაობის ძირითადი განტოლების გრაფიკულ ან ანალიზურ ინტეგრაციას:

სად არის კონკრეტული შედეგის ძალა. (ერთი)

მატარებლის მოძრაობის ძირითადი განტოლების გრაფიკული ინტეგრაციისთვის შემუშავებულია მრავალი მეთოდი (ლიპესის მეთოდი, უპრეინის მეთოდი), რომლებიც ეფუძნება სიჩქარის მრუდის მიახლოებას ტანგენტების (Lipets) ან რკალების (Uprein) სეგმენტებით. ).

ანალიტიკური ინტეგრაციის მეთოდები ჩვეულებრივ ასოცირდება გამოყენებასთან ეილერის მეთოდი და ამის საფუძველზე, მათემატიკიდან ცნობილი დებულებების სრული დაცვით, კეთდება დასკვნა მრუდის აგების სიზუსტის შესახებ.

ეილერის გატეხილი ხაზის მეთოდი ეფუძნება დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის გრაფიკული აგების იდეას. ეს მეთოდი ერთდროულად იძლევა საშუალებას იპოვოთ სასურველი ფუნქცია რიცხვითი (ტაბულური) სახით.

მეთოდის იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ დამოუკიდებელი ცვლადის ცვლილების მცირე ინტერვალზე დიფერენციალური განტოლების ინტეგრალური მრუდი შეიცვალოს სწორი ხაზის სეგმენტით (ტანგენტი).

აქედან და პროცესი შეიძლება განმეორდეს ინტერვალით და ა.შ. ნომერი თ არის მაგიდის საფეხური.

მნიშვნელობების განსაზღვრის სამუშაო ფორმულა წ ეილერის მეთოდის მიხედვით აქვს ფორმა , სად

გეომეტრიული ინტეგრალური მრუდი ჩანაცვლებულია გატეხილი ხაზით, რომელსაც ეწოდება ეილერის გატეხილი ხაზი (ნახ. 2.17).

ეილერის მეთოდს აქვს დაბალი სიზუსტე, უფრო მეტიც, ყოველი ახალი ნაბიჯის შეცდომა, ზოგადად, სისტემატურად იზრდება. ამ შემთხვევაში სიზუსტის შეფასების ყველაზე მისაღები მეთოდია ორმაგი დათვლის მეთოდი – ნაბიჯით თ და ნაბიჯით სთ/ 2. ორგვარად მიღებულ შედეგებში ათობითი ადგილების დამთხვევა ბუნებრივ საფუძველს იძლევა მათი სწორად მიჩნევისთვის. მეთოდის შეცდომა პროპორციულია h2 . არსებობს ეილერის მეთოდის სხვადასხვა დახვეწა, რომელიც ზრდის მის სიზუსტეს ისე, რომ მეთოდის შეცდომა პროპორციული ხდება. სთ 3 .

ბრინჯი. 2.17. ინტეგრალური მრუდი და მრავალკუთხა ეილერი

ნახ. 2.18 გვიჩვენებს სიჩქარის მრუდს, რომელიც აგებულია ეილერის მეთოდის გამოთვლითი სქემის სრული შესაბამისად.

ბრინჯი. 2.18. სიჩქარის მრუდის აგების შემოთავაზებული სქემა

ამ შემთხვევაში, მატარებლის მოძრაობის ძირითადი განტოლების ანალიტიკური და გრაფიკული ინტეგრაციის ყველა მეთოდი ეფუძნება სხვა გამოთვლითი სქემის განხორციელებას.

ნახ. 2.19 აჩვენებს სიჩქარის მრუდს, რომელიც აგებულია რეალურად განხორციელებული ალგორითმის შესაბამისად.

ბრინჯი. 2.19. სიჩქარის მრუდის შედგენის რეალური სქემა

როგორც ხედავთ, კონსტრუქცია მხოლოდ პირველ საფეხურზე ემთხვევა, ხოლო შემდეგ საფეხურებზე მრუდის აგების პრინციპები განსხვავდება. ფაქტობრივი კონსტრუქციის ცდომილება მეორე შემთხვევაში არამარტო ნაკლებია პირველთან შედარებით, არამედ აშკარაა შემდგომი შემცირების ტენდენციაც.

ამ შეუსაბამობის მიზეზი ალბათ შემდეგია.

სიჩქარის მრუდის აგებისას მატარებლის მოძრაობის ძირითადი განტოლება მცირდება ფორმამდე

ან 2)

ეს განტოლება განსხვავდება 1-ლი განტოლებისგან, რომლისთვისაც, ფაქტობრივად, განკუთვნილია ეილერის მეთოდი. ამავდროულად, წარმოებული (ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი გეომეტრიულ ინტერპრეტაციაში) თავდაპირველად არ შეიძლება განისაზღვროს, მაგრამ გამოითვლება ერთადერთი დამოუკიდებელი ცვლადის ნამატის არჩევით. ვ . წარმოებულის სიდიდის ფუნქციური დამოკიდებულება გზაზე ს არ შედის მე-2 განტოლების მარჯვენა მხარეს. ეს არის მუდმივი, რომელიც დამოკიდებულია მატარებლის შემცირებულ ფერდობზე და იცვლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ის იცვლება, ინარჩუნებს მუდმივის ყველა მახასიათებელს.

იგივე ეხება სიჩქარის მრუდის აგებას დროთა განმავლობაში მატარებლის მოძრაობის ძირითადი განტოლების ინტეგრირებით, როდესაც ლიანდაგის ზრდა ასევე შეირჩევა სიჩქარის ზრდის მიხედვით გარკვეული დროის ინტერვალით.

მატარებლის მოძრაობის ძირითადი განტოლება შეიძლება იყოს ინტეგრირებული მხოლოდ სიჩქარეზე, მასში შეტანილი ერთადერთი ჭეშმარიტად დამოუკიდებელი ცვლადი, ხოლო ეილერის მეთოდი ითვალისწინებს ინტეგრაციას გზაზე.

სიჩქარის მრუდის აგების რეალური სიზუსტის შეფასება სტატისტიკური კვლევის სფეროს განეკუთვნება. წევის გაანგარიშების თითქმის ყველა საწყისი მონაცემი, გრძივი პროფილისა და ტრასის გეგმის მონაცემების გარდა, საშუალოა.

მაშასადამე, წევის გაანგარიშების სიზუსტის გაზრდა უნდა გვესმოდეს, როგორც გამოყენებული გამოთვლითი ტექნოლოგიის გათავისუფლება საკუთარი შეცდომებისგან, ვარაუდებისა და გამარტივებისგან, რათა მიახლოებით, თუ არა ზუსტი, მაშინ მათემატიკურად მოსალოდნელი შედეგისთვის.

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების თანამედროვე დონე ხსნის თითქმის ყველა შეზღუდვას ამ თვალსაზრისით წევის გაანგარიშების სიზუსტის გასაუმჯობესებლად.

სიჩქარის მრუდის აგების სიზუსტე მნიშვნელოვნად არის დამოკიდებული ინტეგრაციის საფეხურზე - ახლა არ არსებობს დაბრკოლებები საფეხურის შემცირებისთვის.

კონსტრუქციის სიზუსტე შეიძლება გაიზარდოს დაბრუნებით ალგორითმების განხორციელებით, როდესაც, ინტერვალის დასაწყისში აშენებული ტანგენტის გასწვრივ სიჩქარის გაზრდის გამოთვლის შემდეგ, მის შუა ნაწილში ტანგენტის გასწვრივ ნამატი ხელახლა გამოითვლება გამეორებებით, სანამ რიცხვითი ამოხსნა არ დასტაბილურდება.

სიზუსტის გაზრდის ზღვარი, ალბათ, არის ალგორითმის განხორციელება უკუგებით სიჩქარის ზრდის ხელახალი გამოთვლისას და არა შედეგის მნიშვნელობის მიხედვით საშუალო სიჩქარეზე. და შედეგის საშუალო ნიშნის მიხედვით, სად არის საწყისი და საბოლოო სიჩქარე ინტერვალზე.

ყველა ეს ალგორითმი ადვილად განხორციელდება თანამედროვე პირობებში.

გამოთვლითი პროცესის ორგანიზების თვალსაზრისით, ყველაზე მიმზიდველი არჩევანია დროის ზრდა, როგორც ინტეგრაციის საფეხური. ამ შემთხვევაში, ალგორითმის სიზუსტისა და სიჩქარის თვალსაზრისით, სიჩქარის მატება და, შესაბამისად, გზა ყოველი გაანგარიშების საფეხურზე ავტომატურად ოპტიმიზირებულია.

დაბალ სიჩქარეზე, ბილიკის მატება ასევე მცირეა, რაც უზრუნველყოფს მშენებლობის მაღალ სიზუსტეს. მატარებლის სიჩქარის მატებასთან ერთად იზრდება ლიანდაგის მატება, რაც ზრდის მშენებლობის სიჩქარეს. ამ შემთხვევაში, სიჩქარის მატება მცირეა და იწყებს კლებას სტაბილურ სიჩქარესთან მიახლოებისას, რითაც მოიხსნება ინტეგრაციის საფეხურზე იძულებითი ცვლილებების პრობლემა მატარებლის სხვადასხვა სიჩქარეზე.

ნახ. 2.20 გვიჩვენებს ბილიკისა და სიჩქარის ნამატების გრაფიკებს, რომლებიც მიიღება მრუდის აგებით მატარებლის მოძრაობის ძირითადი განტოლების ანალიტიკური ინტეგრაციით ადგილზე დროში (წთ) მატარებლის სტაბილურ სიჩქარემდე აჩქარებით.

სწორედ ეს მიდგომაა დანერგილი წევის გამოთვლების ცნობილ პროგრამაში "ERA-TEP" - სს რუსეთის რკინიგზის სტანდარტული პროგრამა (V.A. Anisimov, შორეული აღმოსავლეთის ტრანსპორტის სახელმწიფო უნივერსიტეტი).

ბრინჯი. 2.20. სიჩქარის მრუდი (a) და ბილიკისა და სიჩქარის ნამატების ნახაზები გავლილი მანძილის ფუნქციით (b)

2.10. რელიეფის მოდელირება

საინჟინრო-გეოდეზიური და საინჟინრო-გეოლოგიური კვლევების საბოლოო შედეგი ამჟამად ციფრული რელიეფის მოდელი .

ციფრული რელიეფის მოდელი (DTM) არის ნაკრები, რომლის ელემენტებია ტოპოგრაფიული და გეოდეზიური ინფორმაცია რელიეფის შესახებ. Ეს შეიცავს:

მეტრული ინფორმაცია - რელიეფის და სიტუაციის დამახასიათებელი წერტილების გეოდეზიური სივრცითი კოორდინატები;

სინტაქსური ინფორმაცია წერტილებს შორის კავშირების აღსაწერად - შენობების საზღვრები, ტყეები, სახნავი მიწები, წყალსაცავები, გზები, წყალგამყოფი და წყალსაგდები ხაზები, ფერდობების მიმართულებები ფერდობებზე დამახასიათებელ წერტილებს შორის და ა.შ.;

ობიექტების თვისებების დამახასიათებელი სემანტიკური ინფორმაცია - საინჟინრო ნაგებობების ტექნიკური პარამეტრები, ნიადაგების გეოლოგიური მახასიათებლები, ტყეებში ხეების მონაცემები და სხვ.;

სტრუქტურული ინფორმაცია, რომელიც აღწერს სხვადასხვა ობიექტს შორის ურთიერთობას - ობიექტების ურთიერთობას ნებისმიერ კომპლექტთან: სარკინიგზო ხაზის ცალკეული პუნქტები, დასახლების შენობები და ნაგებობები, შესაბამისი ინდუსტრიების შენობები და ნაგებობები და ა.შ.;

ზოგადი ინფორმაცია - საიტის დასახელება, კოორდინატებისა და სიმაღლეების სისტემა, ნომენკლატურა.

ტოპოგრაფიული DTM ახასიათებს სიტუაციას და რელიეფს. იგი შედგება ციფრული რელიეფის მოდელისგან (DTM) და ციფრული რელიეფის კონტურის (სიტუაციის) მოდელისგან (DTM). გარდა ამისა, DTM შეიძლება დაემატოს სპეციალური საინჟინრო მოდელით (CMI).

საინჟინრო პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება ციფრული მოდელების კომბინაცია, რომელიც ახასიათებს სიტუაციას, რელიეფს, ჰიდროლოგიურ, საინჟინრო-გეოლოგიურ, ტექნიკურ, ეკონომიკურ და სხვა მაჩვენებლებს. რელიეფის ციფრული მოდელი, რომელიც ჩაწერილია მანქანურ გარემოზე, გარკვეულ სტრუქტურებში და კოდებში, არის ელექტრონული რუკა (ნახ. 2.21).

ბრინჯი. 2.21. ელექტრონული რუკა დაფუძნებული DSM-ზე, რომელიც მიღებულია ლაზერული სკანირების მონაცემებით

კომპიუტერზე საინჟინრო და გეოდეზიური ამოცანების გადაჭრისას გამოიყენება ციფრული მოდელების მათემატიკური ინტერპრეტაცია. ისინი მას ეძახიან მათემატიკური რელიეფის მოდელი (MMM).

კომპიუტერის დახმარებით დიზაინი DMM და MMM-ზე დაფუძნებული ათჯერ ამცირებს შრომისა და დროის ხარჯებს ამ მიზნებისათვის ქაღალდის ტოპოგრაფიული რუქებისა და გეგმების გამოყენებასთან შედარებით.

რელიეფის ციფრული მოდელების შექმნის საწყისი მონაცემები არის ტოპოგრაფიული კვლევის შედეგები, მონაცემები ტერიტორიის გეოლოგიისა და ჰიდროგრაფიის შესახებ.

ციფრული სიმაღლის მოდელირელიეფი (DTM) არის საკვლევი წერტილის კოორდინატების მასივი X ,ი ,ჰ .

მათემატიკური რელიეფის მოდელი(DEM) აერთიანებს სიმაღლის ციფრულ მოდელს და მეთოდებს კვლევის წერტილების დაახლოებისა და მათ შორის მიწის ზედაპირის ინტერპოლაციისთვის.

არსებობს დიდი რაოდენობით DTM და MTM ტიპები, რომელთაგან თითოეული განსხვავდება საკვლევი პუნქტების ქსელით მოდელირებული რელიეფის მიახლოებით და საკვლევი პუნქტების მიახლოების წესებით და ინტერპოლაციის - სიმაღლის გამოთვლის თანმიმდევრობით. ჰ კოორდინატებით მოცემული წერტილი X,Y ზოგად შემთხვევაში, ანუ როცა მოცემული პუნქტი არ ემთხვევა არცერთ საკვლევ პუნქტს.

შესაძლებელია სიმაღლეების ხაზოვანი და სლაინური ინტერპოლაცია.

ციფრული სიმაღლის მოდელის გამოყენებით შესაძლებელია დედამიწის გრძივი პროფილის მიღება ნებისმიერი დანიშნულების მიმართულებით (ნახ. 2.22).

ბრინჯი. 2.22. ციფრული სიმაღლის მოდელი და დედამიწის გრძივი პროფილი მოცემული მიმართულებით

ყველაზე გავრცელებულია სამკუთხა რელიეფის მოდელი ( ᲥᲘᲚᲐ ) სიმაღლეების წრფივი ინტერპოლაციით.

მოდელის არსი ᲥᲘᲚᲐ მისი სახელით - "არარეგულარული სამკუთხა ქსელი" (ინგლისურ ორიგინალში - სამკუთხა არარეგულარული ქსელი ). მისი სივრცითი გამოხატულებით, ეს არის სამკუთხედების ქსელი კვანძებში სიმაღლის ნიშნებით, რაც საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ სიმულირებული ზედაპირი მრავალმხრივად (ნახ. 2.23).

ბრინჯი. 2.23. სამკუთხედის მაგალითი

სამკუთხედის მოდელის აგების ამოცანა პირველად დაისვა 1934 წელს საბჭოთა მათემატიკოსის ბ.ნ. დელონეი.

დელონეს სამკუთხედის მეთოდის გასაგებად საჭიროა რამდენიმე განმარტების შემოღება.

განმარტება 1. პლანშეტურ გრაფიკს ეწოდება სამკუთხედი, რომლის ყველა შიდა რეგიონი სამკუთხედია (ნახ. 2.23).

განმარტება 2. ორგანზომილებიანი წერტილების მოცემული სიმრავლიდან სამკუთხედის აგების პრობლემა არის მოცემული წერტილების შეუერთებელი სეგმენტებით ისე, რომ ჩამოყალიბდეს არგამკვეთი სამკუთხედების სისტემა. წერტილების საწყისი სიმრავლის საფუძველზე სამკუთხედის აგების ამოცანა ორაზროვანია, ე.ი. აქვს მრავალი გამოსავალი.

განმარტება 3. სამკუთხედს ეწოდება ოპტიმალური, თუ ყველა კიდეების სიგრძის ჯამი მინიმალურია ერთსა და იმავე საწყის წერტილებზე აგებულ ყველა შესაძლო სამკუთხედს შორის (ამ შემთხვევაში არც ერთი მოცემული სამკუთხედის წერტილი არ ხვდება რომელიმე აგებული სამკუთხედის გარშემო აღწერილ წრეში) ( სურ. 2.24) .

ბრინჯი. 2.24. დელონეს სამკუთხედი

ყველა ამჟამად ცნობილი კომპიუტერული დამხმარე დიზაინის (CAD) სისტემა მხარს უჭერს შექმნის ფუნქციას ᲥᲘᲚᲐ .

2.11. გრძივი პროფილის და გეგმის სიმულაცია რკინიგზის რეკონსტრუქციის დროს

ექსპლუატაციის დროს, მოძრავი მატარებლების და ბუნებრივი მოვლენების გავლენის ქვეშ, სარკინიგზო ლიანდაგის ღერძი კარგავს თავის სწორ გეომეტრიულ ფორმას გეგმისა და გრძივი პროფილის თვალსაზრისით, რაც იწვევს მატარებლის მოძრაობის დინამიკის გაუარესებას, ცვეთა და ცვეთას ზრდას. ტრასის და მოძრავი შემადგენლობის. პერიოდულად გზის შეკეთებისა და რეკონსტრუქციის პროცესში გეგმა და გრძივი პროფილი სწორ გეომეტრიულ ფორმამდე მიყვანილია, რაც საჭიროებს შესაბამისი გამოთვლების წარმოებას და საწყისი მონაცემების მოდელირებას.

რკინიგზის რეკონსტრუქციისას, გამოთვლების საწყისი მონაცემები არის არსებული ლიანდაგის გეგმის და გრძივი პროფილის დათვალიერების შედეგები.

გრძივი პროფილის ციფრული მოდელი (ნახ. 2.25) შესაძლებელს ხდის გამოვიყენოთ ოპტიმიზაციის და ინტერაქტიული დიზაინის მეთოდები, მივიღოთ სარკინიგზო სათავე ნიშნები საკვლევ პუნქტებს შორის. ბილიკის ღერძად ყოველთვის აღებულია აბსციზა.

ბრინჯი. 2.25. რკინიგზის გრძივი პროფილის სიმულაცია

გრძივი პროფილის დიზაინის ნიშნები გამოითვლება დიზაინის ხაზის შესვენებებზე მოწყობილი ვერტიკალური მოსახვევების არსებობის გათვალისწინებით, როდესაც შეჯვარების ელემენტების ფერდობებში განსხვავება აღწევს გარკვეულ მნიშვნელობას, უფრო ზუსტად, თუ ვერტიკალური მრუდის კორექტირება აღემატება 0,01 მ და ალგებრული სხვაობა ფერდობებში , სად რვ- ვერტიკალური მრუდის რადიუსი (ნახ. 2.26).

ბრინჯი. 2.26. ვერტიკალური მრუდი, გაანგარიშების სქემა

ზოგადად, დიზაინის ნიშანი განისაზღვრება შემდეგი ალგორითმით:

პროფილის მოტეხილობის ნიშანი;

- ფერდობზე ჯ - პროფილის ელემენტი;

- ფერდობის განსხვავება, ‰;

თუ , მაშინ შესწორება არ არის შემოტანილი, წინააღმდეგ შემთხვევაში

- მარკირება დიზაინის წერტილში ვერტიკალური მრუდის გათვალისწინების გარეშე;

ვერტიკალური მრუდის ტანგენსი;

თუ შესწორება არ არის შეყვანილი - წერტილი დევს ვერტიკალური მრუდის გარეთ), წინააღმდეგ შემთხვევაში

- კორექტირება ვერტიკალური მრუდიდან;

თუ სხვაგვარად

ასეთი გაანგარიშების შესრულება ავტომატურ რეჟიმში გულისხმობს გრძივი პროფილის ციფრული მოდელის არსებობას. „ხელით“ გაანგარიშებისას ასევე ირიბად იქმნება ასეთი მოდელი (გაანგარიშების სქემა).

გეგმის მოდელირებასაშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მისი ელემენტების პარამეტრები - სწორი, წრიული და გარდამავალი მრუდები.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში არსებული ბილიკის გეგმის მოდელი (ნახ. 2.27) ითვალისწინებს პროექტის ბილიკის გეგმის მსგავსი კოორდინატული მოდელის გამოყენებას (ნახ. 2.28). ასეთ მოდელებთან „ხელით“ მუშაობა იმდენად შრომატევადია, რომ ეს მიდგომა არ გამოიყენებოდა კომპიუტერების მოსვლამდე.

ბრინჯი. 2.27. არსებული ტრასის გეგმის კოორდინატთა მოდელი

ბრინჯი. 2.28. პროექტის ბილიკის გეგმის კოორდინაციის მოდელი

გამოთვლებისთვის (მასიური და შრომატევადი) გეგმის მოდელები (არსებული და საპროექტო ტრასები) გამოიყენებოდა მრუდი კოორდინატულ სისტემაში, სადაც არსებული ლიანდაგის ღერძი აღებული იქნა აბსცისის ღერძად.

გამოყენებული იქნა ორი ტიპის მოდელი - კუთხოვანი დიაგრამა და გამრუდება (ისარი).

ამ მოდელების გამოყენება (გარკვეული ვარაუდებისა და გამარტივების ფასად) შესაძლებელს ხდის გეგმის ელემენტების პარამეტრების „ხელით“ გამოთვლას, სხვა საკითხებთან ერთად მარტივი და მოსახერხებელი გრაფიკულ-ანალიტიკური მეთოდების გამოყენებით.

კუთხოვან დიაგრამაზე (ნახ. 2.29) მრუდის ბრუნვის კუთხეები გამოსახულია y ღერძის გასწვრივ.

სწორ ხაზებზე კუთხე მუდმივია,

წრიულ მოსახვევებზე - იცვლება ხაზოვანი,

გარდამავალ მოსახვევებზე - ბრუნის კუთხის ცვლილება ზოგიერთი ვარაუდით შეიძლება აღწეროს კვადრატული პარაბოლით.

ბრინჯი. 2.29. კუთხის დიაგრამა

ბილიკის ღერძს სწორი გეომეტრიული ფორმის მისაცემად, აუცილებელია მისი ღერძის ძვრები (გასწორება) გაანგარიშებით განსაზღვრული გარკვეული რაოდენობით.

კუთხის დიაგრამების გამოყენებისას, ცვლა არის:

, სად U გ , U v - საპროექტო და არსებული ლიანდაგის ღერძის ბრუნვის კუთხეები კვლევის დასაწყისიდან დაშორების ფუნქციის მიხედვით (კუთხოვანი დიაგრამები), ს - მანძილი გამოკითხვის დასაწყისიდან გამოთვლილ წერტილამდე.

ინტეგრალის გრაფიკული ინტერპრეტაცია არის ფართობი. ამრიგად, არის განსხვავება დიზაინის სფეროებსა და არსებულ კუთხის დიაგრამებს შორის.

მრუდის (ისრებით) მრუდზე (სურ. 2.30) ბილიკის გამრუდება (მოხრილი ისრები) გამოსახულია y ღერძის გასწვრივ. გამრუდება არის რადიუსის ორმხრივი. ისარი (ნახ. 2.31), ვ - მანძილი ბილიკის ღერძიდან გარკვეული სიგრძის აკორდამდე ა , (ჩვეულებრივ 20 მ). მრუდის გრაფიკი განსხვავდება ისრიანი გრაფიკისგან იმით, რომ გამრუდება განსაზღვრულია წერტილში, ხოლო ისარი განისაზღვრება აკორდზე. განსხვავებები ჩნდება მხოლოდ გადასვლის ზონებში სწორი ხაზიდან გარდამავალ მრუდზე და გარდამავალი მრუდიდან წრიულ მრუდზე.

ბრინჯი. 2.30. გამრუდების გრაფიკი (ისრები)

ბრინჯი. 3.31. მოღუნვის ისრების გაზომვა

თუ ისარი იზომება მილიმეტრებში, მაშინ ა = 20 მ: .

დიზაინის გზისთვის, რომელიც ჯდება სწორ გეომეტრიულ პოზიციაში:

სწორ ხაზებზე - გამრუდება (ისარი) ნულის ტოლია,

წრიულ მოსახვევებზე - მრუდი (ისარი) მუდმივია,

გარდამავალ მოსახვევებზე - გამრუდება (ისარი) იცვლება წრფივად.

ცვლა , სადაც: Კგ , კვ არის ბილიკის ღერძის გამრუდება დიზაინსა და არსებულ პოზიციებში, როგორც საკვლევი უბნის დასაწყისიდან დაშორებული მანძილის ფუნქცია, ს ; ს - მანძილი მონაკვეთის დასაწყისიდან გამოთვლილ წერტილამდე.

ორმაგი ინტეგრალი გამოითვლება მრუდის გრაფიკის (ისრების) ფართობების ორჯერ შეჯამებით.

3. მათემატიკური მეთოდები

3.1. რიცხვითი მოდელის დანერგვა კომპიუტერზე

ნებისმიერი, განსაკუთრებით ოპტიმალური, დიზაინის გადაწყვეტის პოვნა გარდაუვლად მოითხოვს ვარიანტულ მიდგომას.

მათემატიკური მეთოდების გამოყენება საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ შედარებული ვარიანტების რაოდენობა აუცილებელ და საკმარის მინიმუმამდე, თუმცა ის ყოველთვის დიდია და მხოლოდ კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენება გვაძლევს პრობლემის გადაჭრის საშუალებას მისაღებ დროში.

კომპიუტერული დროის ღირებულების ფაქტორს გადამწყვეტი მნიშვნელობა აქვს კონკრეტული გამოყენებითი პრობლემის გადაჭრის მეთოდის არჩევისას. „ეფექტურ გადაწყვეტის მეთოდზე საუბარი შეიძლება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის რეალურ კომპიუტერზე რეალურ დროში გადაჭრის ამ ტიპის პრობლემებს“.

ამის შესაბამისად, მეთოდის კონცეფცია გამოთვლით მათემატიკაში განსხვავდება ტრადიციულისგან, ანუ მისი წარმოდგენისგან, როგორც ინსტრუქციების თანმიმდევრობით, რომლის შესრულება აუცილებლად იწვევს სასურველ შედეგს სასრული რაოდენობის ნაბიჯებით.

ჩვეულებრივ, საუბარია არა მეთოდზე, არამედ კონკრეტული პრობლემის გადაჭრის ზოგად მიდგომაზე, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა გამოთვლითი სქემების ფარგლებში (რიცხობრივი გამოყენებითი მეთოდები), რომელთა შორის არის ოპტიმალური და ეს ოპტიმალურია. ყოველთვის გასაგებია გამოთვლაზე დახარჯული კომპიუტერის მინიმალური დროის გაგებით ( ceteris paribus).

„სპეციფიკური დიზაინის პრობლემაზე“ საუბრისას აუცილებელია მისი ფორმალური მახასიათებლების მკაცრად განსაზღვრა, მაგალითად, კონტროლირებადი ცვლადების არჩევასთან, ამოცანის ობიექტურ ფუნქციასთან, კონტროლირებად ცვლადებზე დაწესებული შეზღუდვების სისტემასთან დაკავშირებით.

რიცხვითი მეთოდი ჯერ არ არის პროგრამირებადი ალგორითმი (რომელიც შედგება ცალკეული ოპერაციებისგან, რომლებიც მიმდინარეობს ერთმნიშვნელოვანი თანმიმდევრობით), აქვს განსაზღვრული დასაწყისი, ასევე დასასრული, რომელიც მიიღწევა სასრული რაოდენობის საფეხურების შემდეგ და, შესაბამისად, პრინციპში, შეიძლება განხორციელდეს მანქანით.

მეთოდის შერჩევის კრიტერიუმები. პრობლემის გადასაჭრელად, როგორც წესი, არსებობს მთელი რიგი მეთოდები (მიდგომები). პრობლემის რიცხვითი გადაწყვეტის გარკვეული მეთოდის არჩევა და მისი საბოლოო გარდაქმნა პროგრამირებად ალგორითმად ყოველთვის არის ოპტიმიზაციის მცდელობა, ხოლო საწყისი დებულებები და დამატებითი მოთხოვნები მოქმედებს როგორც დამატებითი პირობები, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანია შემდეგი:

საწყისი პოზიციები:

პრობლემის განცხადება და ვარაუდები მისი გადაწყვეტის რაციონალური მიდგომის შესახებ;

დამატებითი ინფორმაცია წყაროს მონაცემების შესახებ (რიცხობრივი ფართობი, რიცხვითი მასალის ტიპი და ა.შ.);

კომპიუტერული ტექნოლოგიების მახასიათებლები (სიჩქარე, მეხსიერება და სხვ.);

მონაცემთა წარმოდგენა, სიზუსტე, დამრგვალება და ა.შ.

მოთხოვნები:

სპეციალური მოთხოვნები გამომავალი მონაცემებისთვის (მაგალითად, მოთხოვნები სიზუსტეზე, შუალედური შედეგების გამოტანა, გრაფიკის გამომავალი, მათ შორის ინტერაქტიული და ა.შ.);

უნივერსალურობის ხარისხი (უნდა გადაიჭრას თუ არა ერთი ამოცანა, თუ საჭიროა უნივერსალური პროგრამული უზრუნველყოფა მოქმედი მონაცემთა ნაკრების მიმართ);

ხარჯების მინიმიზაცია (გამოთვლის დრო).

ეს პირობები ნაწილობრივ ემთხვევა ერთმანეთს (ეწინააღმდეგება) და ამიტომ, მათი დაკმაყოფილების მცდელობისას ისინი ცდილობენ გარკვეული ოპტიმუმის მიღწევას. ამისათვის გამოიყენეთ საღი აზრისა და წინა გამოთვლითი გამოცდილებით განსაზღვრული რიგი წესები.

მეთოდის არჩევის საფუძველია პირდაპირი გამოყენების პრინციპი : თქვენ უნდა აირჩიოთ, თუ ეს შესაძლებელია, მეთოდი, რომელიც გადაჭრის ზუსტად დავალებას და არ მიგვიყვანს გადაწყვეტამდე ზოგიერთი ქვეამოცანის მეშვეობით. „მათემატიკურად ელეგანტური“ გადაწყვეტილებები ხშირად უხილავია შეცდომების გამრავლებისა და სტაბილურობის თვალსაზრისით, რიცხობრივად არახელსაყრელი.

შეცდომების გადაჭარბებული დაგროვების ყველაზე მნიშვნელოვანი მიზეზებია განსხვავებების ხშირი გამოყენება (მიგვიყვანს მნიშვნელოვანი ფიგურების დაკარგვამდე) და უცნობი რიგის რიცხვებზე დაყოფა (მიგვიყვანს ბიტის ბადის გადატვირთვამდე) - ამას თავიდან უნდა აიცილოს სწორი ორგანიზაცია. პროგრამის.

3.2. სამიზნე ფუნქცია. შეზღუდვები

გადაწყვეტილებები მუდმივად უნდა იქნას მიღებული საქმიანობის ყველა სფეროში. იმ შემთხვევებში, როდესაც სიტუაცია, რომელშიც ისინი მიიღება, შეიძლება იყოს ფორმალიზებული, შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს მათემატიკური აპარატის გამოყენება.

მოსახვევებსა და ზედაპირებს, რომლებიც გვხვდება პრაქტიკულ პრობლემებში, ხშირად აქვთ საკმაოდ რთული ფორმა, რაც არ იძლევა უნივერსალურ ანალიტიკურ სპეციფიკაციას, როგორც მთლიანობაში, ელემენტარული ფუნქციების დახმარებით. ამრიგად, ისინი იკრიბებიან შედარებით მარტივი გლუვი ფრაგმენტებისგან - სეგმენტები (მრუდები) ან ჭრილები (ზედაპირები), რომელთაგან თითოეული შეიძლება საკმაოდ დამაკმაყოფილებლად იყოს აღწერილი ერთი ან ორი ცვლადის ელემენტარული ფუნქციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, სავსებით ბუნებრივია მოვითხოვოთ, რომ გლუვი ფუნქციები, რომლებიც გამოიყენება ნაწილობრივი მოსახვევების ან ზედაპირების ასაგებად, ჰქონდეთ მსგავსი ბუნება, მაგალითად, იყოს იგივე ხარისხის პოლინომები. და იმისათვის, რომ მიღებული მრუდი ან ზედაპირი იყოს საკმარისად გლუვი, აუცილებელია განსაკუთრებული სიფრთხილე გამოიჩინოთ შესაბამისი ფრაგმენტების შეერთებებზე. მრავალწევრების ხარისხი არჩეულია მარტივი გეომეტრიული მოსაზრებებიდან და, როგორც წესი, მცირეა. მთელი რთული მრუდის გასწვრივ ტანგენსის გლუვი ცვლილებისთვის საკმარისია შეერთების მრუდების აღწერა მესამე ხარისხის მრავალწევრების, კუბური მრავალწევრების გამოყენებით. ასეთი მრავალწევრების კოეფიციენტები ყოველთვის შეიძლება ისე შეირჩეს, რომ შესაბამისი კომპოზიტური მრუდის გამრუდება იყოს უწყვეტი. კუბური შტრიხები, რომლებიც წარმოიქმნება ერთგანზომილებიანი პრობლემების გადაჭრისას, შეიძლება ადაპტირებული იყოს კომპოზიციური ზედაპირების ფრაგმენტების ფორმირებაზე. და აქ, სრულიად ბუნებრივია, ჩნდება ორკუბური შტრიხები, რომლებიც აღწერილია მესამე ხარისხის მრავალწევრებით თითოეულ ორ ცვლადში. ასეთ სლაინებთან მუშაობა გაცილებით მეტ გამოთვლებს მოითხოვს. მაგრამ სწორად ორგანიზებული პროცესი საშუალებას მოგცემთ მაქსიმალურად გავითვალისწინოთ კომპიუტერული ტექნოლოგიების მუდმივად მზარდი შესაძლებლობები. Spline ფუნქციები Let on სეგმენტზე, ანუ შენიშვნა. a^ რიცხვების ინდექსი (t) მიუთითებს იმაზე. რომ კოეფიციენტთა სიმრავლე, რომლითაც S(x) ფუნქცია განისაზღვრება D თითოეულ ნაწილობრივ სეგმენტზე, საკუთარია. თითოეულ სეგმენტზე D1, spline 5(x) არის p ხარისხის მრავალწევრი და ამ სეგმენტზე განისაზღვრება p + 1 კოეფიციენტით. მთლიანი ნაწილობრივი სეგმენტები - მაშინ. მაშასადამე, სლაინის სრულად დასადგენად საჭიროა ვიპოვოთ (p + 1), შემდეგ რიცხვები. პირობა) ნიშნავს S(x) ფუნქციის და მისი წარმოებულების უწყვეტობას ქსელის ყველა შიდა კვანძში w. ასეთი კვანძების რაოდენობაა m - 1. ამრიგად, ყველა მრავალწევრის კოეფიციენტების საპოვნელად მიიღება p(m - 1) პირობები (განტოლებები). სპლაინის სრული განმარტებისთვის არ არის საკმარისი (პირობები (განტოლებები). დამატებითი პირობების არჩევანი განისაზღვრება განსახილველი პრობლემის ბუნებით, ზოგჯერ კი უბრალოდ მომხმარებლის სურვილით. სპლაინის თეორია ამონახსნების მაგალითები ყველაზე ხშირად განიხილება ინტერპოლაციისა და გამარტივების ამოცანები, როდესაც საჭიროა სიბრტყის წერტილების მოცემული მასივიდან ამა თუ იმ სლაინის აგება ინტერპოლაციის ამოცანებში საჭიროა, რომ სლაინ გრაფიკმა გაიაროს წერტილები, რომლებიც აწესებს m + 1 დამატებით პირობებს (განტოლებებს) მის კოეფიციენტებზე. დარჩენილი p - 1 პირობები (განტოლებები) სლაინის უნიკალური კონსტრუქციისთვის ყველაზე ხშირად მითითებულია სპლინის ქვედა წარმოებულების მნიშვნელობების სახით განსახილველი სეგმენტის ბოლოებში [a, 6] - საზღვარი ( სასაზღვრო პირობები. სხვადასხვა სასაზღვრო პირობების არჩევის შესაძლებლობა საშუალებას გაძლევთ ააგოთ სლაინები სხვადასხვა თვისებებით. გამარტივების ამოცანებისას, სპლინი აგებულია ისე, რომ მისი გრაფიკი გაივლის წერტილებთან ახლოს (i "" Y "), * = 0, 1, ..., m და არა მათ შორის. ამ სიახლოვის საზომი შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით, რაც იწვევს დამარბილებელი ხაზების მნიშვნელოვან მრავალფეროვნებას. სპლაინის ფუნქციების აგებისას არჩევის აღწერილი ვარიანტები შორს არის მათი მრავალფეროვნებისგან. და თუ თავდაპირველად განიხილებოდა მხოლოდ ცალმხრივი პოლინომური სპლაინის ფუნქციები, მაშინ, როდესაც მათი გამოყენების სფერო გაფართოვდა, სპლაინები დაიწყეს გამოჩენა, "დაწებებული" სხვა ელემენტარული ფუნქციებისგანაც. ინტერპოლაციის კუბური შტრიხები ინტერპოლაციის ამოცანის ფორმულირება მოდით ბადე w იყოს მოცემული ინტერვალზე [a, 6) განვიხილოთ რიცხვების სიმრავლე ამოცანა. შექმენით ფუნქცია, რომელიც გლუვია სეგმენტზე (a, 6) და იღებს მოცემულ მნიშვნელობებს o ქსელის კვანძებში, ანუ "შემშენებელ ფუნქციაზე დამატებითი პირობების დაწესებით, შეიძლება მიაღწიოთ აუცილებელ უნიკალურობას. აპლიკაციებში, ხშირად ხდება საჭირო ანალიტიკურად მოცემული ფუნქციის დაახლოება ფუნქციის საშუალებით, რომელსაც აქვს დადგენილი საკმარისად კარგი თვისებები. მაგალითად, იმ შემთხვევებში, როდესაც მოცემული ფუნქციის f(x) მნიშვნელობების გამოთვლა ხდება წერტილების სეგმენტზე [a, 6] დაკავშირებულია მნიშვნელოვან სირთულეებთან ან/და მოცემულ ფუნქციას /(x) არ აქვს საჭირო სიგლუვეს, მოსახერხებელია გამოიყენოს სხვა ფუნქცია, რომელიც საკმარისად მიახლოვდება მოცემულ ფუნქციას და მოკლებული იქნება მის ნაკლოვანებებს. 6] გლუვი ფუნქცია a(x), რომელიც ემთხვევა ქსელის w კვანძებს მოცემულ ფუნქციას /(X). ინტერპოლირებული კუბური შტრიხების განმარტება ინტერპოლირებული კუბური შტრიხი S(x) ქსელზე w არის ფუნქცია, რომლის მიხედვითაც 1) თითოეულ სეგმენტზე არის მესამე ხარისხის პოლინომი, 2) ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია სეგმენტზე [a, b. ], ანუ მიეკუთვნება C2 კლასს[a, 6] და 3) აკმაყოფილებს პირობებს თითოეულ სეგმენტზე S(x) spline არის სამი ხარისხის პოლინომი და ამ სეგმენტზე განისაზღვრება ოთხი კოეფიციენტით. სეგმენტების ჯამური რაოდენობაა m. ეს ნიშნავს, რომ სლაინის სრულად დასადგენად საჭიროა ვიპოვოთ 4 მ რიცხვი. პირობა ნიშნავს S (x) ფუნქციის და მისი წარმოებულების S "(x) და 5" უწყვეტობას. (x) ქსელის ყველა შიდა კვანძზე w. ასეთი კვანძების რაოდენობაა m - 1. ამრიგად, ყველა მრავალწევრის კოეფიციენტების საპოვნელად მიიღება 3 (მ - 1) მეტი პირობა (განტოლება). პირობებთან ერთად (2) მიიღება პირობები (განტოლებები). სასაზღვრო (სასაზღვრო) პირობები მითითებულია ორი გამოტოვებული პირობა, როგორც შეზღუდვა სლაინის და/ან მისი წარმოებულების მნიშვნელობებზე ინტერვალის ბოლოებში [a, 6]. ინტერპოლაციური კუბური სლაინის აგებისას ყველაზე ხშირად გამოიყენება შემდეგი ოთხი ტიპის სასაზღვრო პირობები. ა. 1-ლი ტიპის სასაზღვრო პირობები. - [a, b] ინტერვალის ბოლოს მოცემულია სასურველი ფუნქციის პირველი წარმოებულის მნიშვნელობები. ბ. მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობები. - ინტერვალის ბოლოს (a, 6) მითითებულია სასურველი ფუნქციის მეორე წარმოებულის მნიშვნელობები. ბ. მე-3 ტიპის სასაზღვრო პირობები. პერიოდულს უწოდებენ. ბუნებრივია ამ პირობების შესრულების მოთხოვნა იმ შემთხვევებში, როდესაც ინტერპოლირებული ფუნქცია პერიოდულია T = b-a პერიოდით. დ. მე-4 ტიპის სასაზღვრო პირობები. მოითხოვს სპეციალურ კომენტარს. კომენტარი. შიდა სეფსის კვანძებში, S(x) ფუნქციის მესამე წარმოებული, ზოგადად რომ ვთქვათ, წყვეტილია. თუმცა, მესამე წარმოებულის უწყვეტობის რაოდენობა შეიძლება შემცირდეს მე-4 ტიპის პირობების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში აგებული სპლინი მუდმივად დიფერენცირებადი იქნება სამჯერ ინტერვალებით ინტერპოლაციური კუბური სპლაინის აგება მოდით აღვწეროთ კუბური სპლინის კოეფიციენტების გამოთვლის მეთოდი, რომელშიც გასარკვევი სიდიდეების რაოდენობა ტოლია. თითოეულ ინტერვალზე ინტერპოლაციის სლაინის ფუნქცია იძებნება შემდეგი ფორმით 1-ლი და მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობებისთვის ამ სისტემას აქვს შემდეგი ფორმა, სადაც კოეფიციენტები დამოკიდებულია სასაზღვრო პირობების არჩევაზე. 1-ლი ტიპის სასაზღვრო პირობები: მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობები: მე-3 ტიპის სასაზღვრო პირობების შემთხვევაში რიცხვების განმსაზღვრელი სისტემა იწერება შემდეგნაირად. მე-4 ტიპის სასაზღვრო პირობებისთვის რიცხვების განსაზღვრის სისტემას აქვს ფორმა სამივე ხაზოვანი ალგებრული სისტემის მატრიცები არის დიაგონალური დომინანტური მატრიცები. ეს მატრიცები არ არის გადაგვარებული და ამიტომ თითოეულ ამ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. თეორემა. ინტერპოლაციის კუბური სლაინი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს (2) და ჩამოთვლილი ოთხი ტიპიდან ერთ-ერთის სასაზღვრო მდგომარეობას, არსებობს და უნიკალურია. ამგვარად, ინტერპოლაციური კუბური სპლინის აწყობა ნიშნავს მისი კოეფიციენტების პოვნას. როდესაც სპლინის კოეფიციენტები იპოვება, S(x) სლაინის მნიშვნელობა სეგმენტის თვითნებურ წერტილში [a, b] შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით ( 3). თუმცა, პრაქტიკული გამოთვლებისთვის, S(x) სიდიდის პოვნის შემდეგი ალგორითმი უფრო შესაფერისია. მოდით x 6 [x", ჯერ A და B მნიშვნელობები გამოითვლება ფორმულების მიხედვით და შემდეგ მოიძებნება მნიშვნელობა 5(x): ამ ალგორითმის გამოყენება მნიშვნელოვნად ამცირებს გამოთვლით ხარჯებს მნიშვნელობის დასადგენად. მომხმარებელი სასაზღვრო (სასაზღვრო) პირობებისა და ინტერპოლაციის კვანძების არჩევანი გარკვეულწილად იძლევა ინტერპოლაციის სლაინების თვისებებს. ა. სასაზღვრო (სასაზღვრო) პირობების არჩევანი. სასაზღვრო პირობების არჩევანი ფუნქციების ინტერპოლაციის ერთ-ერთი მთავარი პრობლემაა. იგი განსაკუთრებულ მნიშვნელობას იძენს იმ შემთხვევაში, როდესაც აუცილებელია სეგმენტის ბოლოებთან 5(g) 5(g) ფუნქციის მიახლოების მაღალი სიზუსტის უზრუნველყოფა [a, 6]. სასაზღვრო მნიშვნელობებს აქვს შესამჩნევი გავლენა 5(g) ზოლის ქცევაზე a და b წერტილების მახლობლად და ეს ეფექტი სწრაფად სუსტდება, როდესაც ჩვენ მათგან ვშორდებით. სასაზღვრო პირობების არჩევანი ხშირად განისაზღვრება დამატებითი ინფორმაციის ხელმისაწვდომობით f(x) ფუნქციის მიახლოებითი ქცევის შესახებ. თუ პირველი წარმოებულის f"(x) მნიშვნელობები ცნობილია სეგმენტის ბოლოებზე (a, 6), მაშინ ბუნებრივია გამოიყენოს 1 ტიპის სასაზღვრო პირობები. თუ მეორეს მნიშვნელობები წარმოებული f"(x) ცნობილია სეგმენტის ბოლოებში [a, 6], მაშინ ეს არის მე-2 ტიპის ბუნებრივი გამოყენების სასაზღვრო პირობები. თუ შესაძლებელია არჩევანის გაკეთება 1-ლი და მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობებს შორის, მაშინ უპირატესობა უნდა მიენიჭოს 1-ლი ტიპის პირობებს. თუ f(x) პერიოდული ფუნქციაა, მაშინ მე-3 ტიპის სასაზღვრო პირობებზე უნდა გავჩერდეთ. თუ არ არის დამატებითი ინფორმაცია მიახლოებული ფუნქციის ქცევის შესახებ, ხშირად გამოიყენება ე.წ. (x) სეგმენტის ბოლოების მახლობლად (a, ft) სლაინ S (x) მკვეთრად მცირდება. ზოგჯერ გამოიყენება 1-ლი ან მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობები, მაგრამ არა შესაბამისი წარმოებულების ზუსტი მნიშვნელობებით, მაგრამ მათი განსხვავება მიახლოებით.ამ მიდგომის სიზუსტე დაბალია.გამოთვლების პრაქტიკული გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ განსახილველ სიტუაციაში ყველაზე შესაფერისი არჩევანია მე-4 ტიპის სასაზღვრო პირობები. B. ინტერპოლაციის კვანძების არჩევანი. თუ ფუნქციის მესამე წარმოებული f""(x) განიცდის უწყვეტობას [a, b] სეგმენტის ზოგიერთ წერტილში, მაშინ დაახლოების ხარისხის გასაუმჯობესებლად, ეს წერტილები უნდა შევიდეს ინტერპოლაციის კვანძების რაოდენობაში. თუ მეორე წარმოებული /"(x) არის წყვეტილი, მაშინ იმისათვის, რომ თავიდან იქნას აცილებული სლაინის რხევა შეწყვეტის წერტილებთან, უნდა იქნას მიღებული სპეციალური ზომები. ჩვეულებრივ, ინტერპოლაციის კვანძებს არჩევენ ისე, რომ მეორე წარმოებულის შეწყვეტის წერტილები მოხვდეს შიგნით. ინტერვალი \xif), ისეთი, რომ. მნიშვნელობა და შეიძლება აირჩეს რიცხვითი ექსპერიმენტით (ხშირად საკმარისია a = 0.01-ის დაყენება). არსებობს რეცეპტების ნაკრები იმ სირთულეების დასაძლევად, რომლებიც წარმოიქმნება პირველი წარმოებული f "(x ) არის წყვეტილი. როგორც ერთ-ერთი უმარტივესი, ჩვენ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ ეს: დაყავით მიახლოების სეგმენტი ინტერვალებად, სადაც წარმოებული არის უწყვეტი და ავაშენოთ სლაინი თითოეულ ამ ინტერვალზე. ინტერპოლაციის ფუნქციის არჩევა (პლუსები და მინუსები) მიდგომა 1. ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომი მოცემული მასივის მიხედვით SPLINE THEORY ამოხსნის მაგალითები (ნახ. 3) ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომი განისაზღვრება ფორმულით. მიზანშეწონილია განიხილოს ლაგრაჟის ინტერპოლაციის მრავალწევრის თვისებები ორი საპირისპირო პოზიციიდან, განიხილოს ძირითადი უპირატესობები ცალ-ცალკე. ნაკლოვანებები. 1-ლი მიდგომის ძირითადი უპირატესობები: 1) ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომის გრაფიკი გადის მასივის თითოეულ წერტილში, 2) აგებული ფუნქცია ადვილად არის აღწერილი (ლაგრანჟის ინტერპოლაციის პოლინომის კოეფიციენტების რაოდენობა u ბადეში უნდა განისაზღვროს. უდრის m + 1), 3) აგებულ ფუნქციას აქვს ნებისმიერი რიგის უწყვეტი წარმოებულები, 4) მასივის მოცემული, ინტერპოლაციის პოლინომი ცალსახად არის განსაზღვრული. პირველი მიდგომის მთავარი უარყოფითი მხარეები: 1) ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომის ხარისხი დამოკიდებულია ქსელის კვანძების რაოდენობაზე და რაც უფრო დიდია ეს რიცხვი, მით უფრო მაღალია ინტერპოლაციის პოლინომის ხარისხი და, შესაბამისად, მეტი გამოთვლაა საჭირო, 2. ) მასივის მინიმუმ ერთი წერტილის შეცვლა მოითხოვს ლაგრანგის ინტერპოლაციის მრავალწევრის კოეფიციენტების სრულ გადაანგარიშებას, 3) მასივში ახალი წერტილის დამატება ზრდის ლაგრაჟის ინტერპოლაციის პოლინომის ხარისხს ერთით და იწვევს მისი კოეფიციენტების სრულ ხელახლა გამოთვლასაც. , 4) ბადის შეუზღუდავი დახვეწით, ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომის ხარისხი განუსაზღვრელი ვადით იზრდება. ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომის ქცევა შეუზღუდავი ბადის დახვეწის პირობებში, ზოგადად განსაკუთრებულ ყურადღებას მოითხოვს. კომენტარები ა. უწყვეტი ფუნქციის მიახლოება მრავალწევრით. ცნობილია (Weierstrass, 1885) რომ ნებისმიერი უწყვეტი (და მით უმეტეს გლუვი) ფუნქცია ინტერვალზე შეიძლება იყოს მიახლოებული და სასურველი ამ ინტერვალზე მრავალწევრით. მოდით აღვწეროთ ეს ფაქტი ფორმულების ენით. ვთქვათ f(x) არის უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე [a, 6]. მაშინ ნებისმიერი e > 0-ისთვის არის Рn(x) მრავალწევრი ისეთი, რომ ნებისმიერი x-ისთვის [a, 6] ინტერვალიდან უტოლობა დაკმაყოფილდება (ნახ. 4) , უსასრულოდ ბევრია. სეგმენტზე [a, 6] ვაშენებთ ბადეს w. ცხადია, რომ მისი კვანძები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ ემთხვევა Pn(x) მრავალწევრის და f(x) ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებს (ნახ. 5). მაშასადამე, აღებული ბადესთვის, პოლინომი Pn(x) არ არის ინტერპოლაციის პოლინომი. როდესაც უწყვეტი ფუნქცია მიახლოებულია Jla-grajj-ის ინტერპოლაციის პოლინომით, მისი გრაფიკი არა მხოლოდ არ უნდა იყოს ახლოს f(x) ფუნქციის გრაფიკთან სეგმენტის ყველა წერტილში, არამედ შეიძლება გადახრილი იყოს ეს ფუნქცია რამდენიც გსურთ. მოვიყვანოთ ორი მაგალითი. მაგალითი 1 (Rung, 1901). [-1, 1] ინტერვალზე ფუნქციისთვის კვანძების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით სრულდება ზღვრული თანასწორობა (ნახ. 6) მაგალითი 2 (Berichtein, 1912). ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომების თანმიმდევრობა, რომელიც აგებულია უწყვეტი ფუნქციის ერთგვაროვან ბადეებზე nm /(x) = |x| კვანძების მზარდი რაოდენობის სეგმენტზე m არ მიდრეკილია f(x) ფუნქციისკენ (ნახ. 7). მიდგომა მე-2. ცალმხრივი წრფივი ინტერპოლაცია თუ ინტერპოლირებული ფუნქციის სიგლუვეს მივატოვებთ, უპირატესობების რაოდენობასა და ნაკლოვანებებს შორის თანაფარდობა შესამჩნევად შეიცვლება პირველის მიმართულებით. მოდით ავაშენოთ ცალმხრივი წრფივი ფუნქცია წერტილების (xit y,) სწორხაზოვანი სეგმენტების თანმიმდევრული შეერთებით (ნახ. 8). მე-2 მიდგომის მთავარი უპირატესობები: 1) ცალმხრივი წრფივი ფუნქციის გრაფიკი გადის მასივის თითოეულ წერტილში, 2) აგებული ფუნქცია ადვილად არის აღწერილი (შესაბამისი წრფივი ფუნქციების კოეფიციენტების რაოდენობა, რომელიც უნდა განისაზღვროს ბადისათვის ( 1) არის 2მ), 3) აგებული ფუნქცია განისაზღვრება მოცემული მასივით ცალსახად, 4) ინტერპოლაციის ფუნქციის აღსაწერად გამოყენებული მრავალწევრების ხარისხი არ არის დამოკიდებული ქსელის კვანძების რაოდენობაზე (1-ის ტოლი), 5) ერთის შეცვლა მასივის წერტილი მოითხოვს ოთხი რიცხვის გამოთვლას (ახალი წერტილიდან გამომავალი ორი მართკუთხა რგოლის კოეფიციენტები), 6) მასივის დამატებითი წერტილის დამატება მოითხოვს ოთხი კოეფიციენტის გამოთვლას. ცალმხრივი ხაზოვანი ფუნქცია საკმაოდ კარგად იქცევა ბადის დახვეწისას. მე-2 მიდგომის მთავარი ნაკლი არის ის, რომ მიახლოებითი ცალმხრივი წრფივი ფუნქცია არ არის გლუვი: პირველი წარმოებულები განიცდიან წყვეტას ბადის კვანძებში (ინტერპოლაციის ყურები). მიდგომა მე-3. Spline ინტერპოლაცია შემოთავაზებული მიდგომები შეიძლება გაერთიანდეს ისე, რომ ორივე მიდგომის ჩამოთვლილი უპირატესობების რაოდენობა შენარჩუნდეს, ხოლო უარყოფითი მხარეების რაოდენობა შემცირდეს. ეს შეიძლება გაკეთდეს p ხარისხის გლუვი ინტერპოლაციური spline ფუნქციის აგებით. მე-3 მიდგომის ძირითადი უპირატესობები: 1) აგებული ფუნქციის გრაფიკი გადის მასივის თითოეულ წერტილში, 2) აგებული ფუნქციის აღწერა შედარებით ადვილია (შესაბამისი პოლინომების კოეფიციენტების რაოდენობა, რომელიც უნდა განისაზღვროს ბადისათვის ( 1) არის 3) აგებული ფუნქცია ცალსახად განისაზღვრება მოცემული მასივით, 4) ხარისხიანი პოლინომები არ არის დამოკიდებული ქსელის კვანძების რაოდენობაზე და, შესაბამისად, არ იცვლება მისი მატებასთან ერთად, 5) აგებულ ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებულები ზემოთ. რიგით p - 1-ის ჩათვლით, 6) აგებულ ფუნქციას აქვს კარგი მიახლოების თვისებები. მოკლე მინიშნება. შემოთავაზებული სახელი - სპლინი - შემთხვევითი არ არის - ჩვენს მიერ შემოღებული გლუვი ცალმხრივი პოლინომიური ფუნქციები და ხაზების დახაზვა მჭიდრო კავშირშია. განვიხილოთ მოქნილი, იდეალურად თხელი სახაზავი, რომელიც გადის (x, y) სიბრტყეზე მდებარე მასივის საცნობარო წერტილებში. ბერნულის-ეილერის კანონის მიხედვით, მრუდი მმართველის წრფივი განტოლებას აქვს ფორმა ფუნქცია S(x), რომელიც აღწერს მმართველებს, არის მესამე ხარისხის პოლინომი მასივის თითოეულ და ორ მეზობელ წერტილს შორის (მხარდაჭერები) და ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია მთელ ინტერვალზე (a, 6). კომენტარი. 06 უწყვეტი ფუნქციის ინტერპოლაცია ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომებისგან განსხვავებით, ერთგვაროვან ბადეზე ინტერპოლაციის კუბური შტრიხების თანმიმდევრობა ყოველთვის გადადის ინტერპოლირებულ უწყვეტ ფუნქციასთან და ამ ფუნქციის დიფერენციალური თვისებების გაუმჯობესებით, კონვერგენციის სიჩქარე იზრდება. მაგალითი. ფუნქციისთვის, m = 6 კვანძების რაოდენობის მქონე ბადეზე კუბური სლაინი იძლევა იმავე რიგის მიახლოების შეცდომას, როგორც ინტერპოლაციის პოლინომი Ls(z), ხოლო ქსელში m = 21 კვანძების რაოდენობით, ეს შეცდომა. იმდენად მცირეა, რომ ჩვეულებრივი წიგნის ნახატის მასშტაბით, უბრალოდ არ ჩანს (ნახ. 10) (ინტერპოლაციის პოლინომი 1>2o(r) ამ შემთხვევაში იძლევა დაახლოებით 10000 ვტ ცდომილებას). ინტერპოლირებული კუბური სლაინის თვისებები A. კუბური სპლინის მიახლოებითი თვისებები. ინტერპოლაციის სპლინის მიახლოების თვისებები დამოკიდებულია f(x) ფუნქციის სიგლუვეზე - რაც უფრო მაღალია ინტერპოლირებული ფუნქციის სიგლუვე, მით უფრო მაღალია მიახლოების რიგი და როდესაც ბადე დახვეწილია, მით უფრო მაღალია კონვერგენციის მაჩვენებელი. თუ ინტერპოლირებული ფუნქცია f(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე, თუ ინტერპოლირებული ფუნქცია f(x) აქვს უწყვეტი პირველი წარმოებული ინტერვალზე [a, 6], ანუ ინტერპოლაციის სლაინი, რომელიც აკმაყოფილებს 1-ის ან საზღვრის პირობებს. მე-3 ტიპი, მაშინ h-სთვის გვაქვს. ამ შემთხვევაში, არა მხოლოდ სპლინი ემთხვევა ინტერპოლირებულ ფუნქციას, არამედ სპლაინის წარმოებულიც ემთხვევა ამ ფუნქციის წარმოებულს. თუ spline S(x) უახლოვდება f(x) ფუნქციას [a, b] სეგმენტზე და მისი პირველი და მეორე წარმოებული უახლოვდება B ფუნქციას, კუბური სპლინის ექსტრემალური თვისება. ინტერპოლაციური კუბური სპლინი აქვს კიდევ ერთი სასარგებლო თვისება. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი. მაგალითი. ააგეთ ფუნქცია /(x) C2 სივრციდან ფუნქციების კლასზე ფუნქციის მინიმიზაცია, რომლის გრაფიკები გადის x მასივის წერტილებში), რომელიც აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს, აწვდის უკიდურესობას (მინიმუმს) ფუნქციონალს. შენიშვნა 2. საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ინტერპოლაციური კუბური სპლინი აქვს ზემოთ აღწერილი ექსტრემალური თვისება ფუნქციების ძალიან ფართო კლასზე, კერძოდ, კლასზე |0,5]. 1.2. კუბური შტრიხების დაგლუვება დაგლუვების ამოცანის ფორმულირებაზე მოყვანილი იყოს ბადე და რიცხვთა სიმრავლე. სინამდვილეში, ეს ნიშნავს, რომ თითოეულისთვის მითითებულია ინტერვალი და ამ ინტერვალიდან ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც y, . მოსახერხებელია y-ის მნიშვნელობების ინტერპრეტაცია, მაგალითად, როგორც y(x) ზოგიერთი ფუნქციის გაზომვის შედეგები x ცვლადის მოცემული მნიშვნელობებისთვის, რომელიც შეიცავს შემთხვევით შეცდომას. ასეთი "ექსპერიმენტული" მნიშვნელობებიდან ფუნქციის აღდგენის პრობლემის გადაჭრისას, ძნელად მიზანშეწონილია ინტერპოლაციის გამოყენება, რადგან ინტერპოლაციის ფუნქცია მორჩილად ამრავლებს უცნაურ რხევებს, რომლებიც გამოწვეულია შემთხვევითი კომპონენტით მასივში (y,). უფრო ბუნებრივი მიდგომა ემყარება დამარბილებელ პროცედურას, რომელიც შექმნილია გაზომვების შედეგად შემთხვევითობის ელემენტის გარკვეულწილად შესამცირებლად. ჩვეულებრივ, ასეთ პრობლემებში საჭიროა იპოვოთ ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობები x = x, * = 0, 1, .... m-ისთვის მოხვდება შესაბამის ინტერვალებში და რომელსაც, გარდა ამისა, ექნებოდა საკმარისად კარგი თვისებები. მაგალითად, მას ექნებოდა უწყვეტი პირველი და მეორე წარმოებული, ან მისი გრაფიკი არ იქნებოდა ძალიან მრუდი, ანუ არ ექნებოდა ძლიერი რხევები. ასეთი პრობლემა ასევე ჩნდება, როდესაც მოცემული (ზუსტად) მასივის მიხედვით, საჭიროა ფუნქციის აგება, რომელიც გაივლის არამოცემულ წერტილებს, მაგრამ მათ მახლობლად და, უფრო მეტიც, საკმაოდ შეუფერხებლად შეიცვლება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სასურველმა ფუნქციამ გაათანაბრა მოცემული მასივი, როგორც ეს იყო, და არ მოახდინა მისი ინტერპოლაცია. მოყვანილი იყოს w ბადე და რიცხვების ორი სიმრავლე.სპლაინის თეორია ამონახსნების მაგალითები ამოცანა. შექმენით გლუვი ფუნქცია სეგმენტზე [a, A], რომლის მნიშვნელობებიც არის ქსელის კვანძებში და განსხვავდება y რიცხვებისგან მოცემული მნიშვნელობებით. ჩამოყალიბებული დამარბილების პრობლემა არისაღდგენა გლუვი ფუნქცია მოცემულია ცხრილში. ცხადია, რომ ასეთ პრობლემას მრავალი განსხვავებული გამოსავალი აქვს. აგებულ ფუნქციაზე დამატებითი პირობების დაწესებით ჩვენ შეგვიძლია მივაღწიოთ აუცილებელ უნიკალურობას. გამარტივებული კუბური შტრიხების განმარტება გამთლიანი კუბური შტრიხი S(x) ქსელზე w არის ფუნქცია, რომლის მიხედვითაც 1) თითოეულ სეგმენტზე არის მესამე ხარისხის პოლინომი, 2) ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია სეგმენტზე [a, 6. ], ანუ მიეკუთვნება C2 კლასს [a, b], 3) აწვდის მინიმუმს იმ ფუნქციებს, სადაც მოცემულია რიცხვები, 4) აკმაყოფილებს ქვემოთ მითითებული სამი ტიპიდან ერთ-ერთის სასაზღვრო პირობებს. სასაზღვრო (სასაზღვრო) პირობები სასაზღვრო პირობები მითითებულია, როგორც შეზღუდვები სპლინის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობებზე w mesh-ის სასაზღვრო კვანძებზე. ა. 1-ლი ტიპის სასაზღვრო პირობები. - ინტერვალის ბოლოს [a, b) მოცემულია სასურველი ფუნქციის პირველი წარმოებულის მნიშვნელობები. მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობები. - სასურველი ფუნქციის მეორე წარმოებულები ინტერვალის ბოლოებში (a, b] ნულის ტოლია. B. მე-3 ტიპის სასაზღვრო პირობებს ეწოდება პერიოდული. თეორემა. კუბური სტრიქონი S (x), მინიმიზაცია ფუნქციონალური (4). ) და სამი მითითებული ტიპის ერთის სასაზღვრო პირობების დაკმაყოფილება ცალსახად არის განსაზღვრული. განმარტება. კუბური სლაინი, რომელიც ამცირებს ფუნქციონალურ J(f)-ს და აკმაყოფილებს i-ის ტიპის სასაზღვრო პირობებს, ეწოდება i-ტიპის დამარბილებელი სპლინი. ამ სეგმენტს ოთხი კოეფიციენტით.მთლიანი სეგმენტები - m.ასე რომ, იმისთვის, რომ მთლიანად განვსაზღვროთ სლაინი, თქვენ უნდა იპოვოთ 4m რიცხვები.პირობა ნიშნავს 5(ar) ფუნქციის და ყველა წარმოებულის უწყვეტობას ქსელის ყველა შიდა კვანძზე o. „ასეთი კვანძების რაოდენობაა m - 1 ამრიგად, ყველა მრავალწევრის კოეფიციენტების საპოვნელად მიიღება 3(m - 1) პირობა (განტოლებები). რომლისთვისაც უნდა განისაზღვროს რაოდენობების რაოდენობა არის 2მ + 2. თითოეულ ინტერვალზე, დაგლუვების სლაინის ფუნქცია იძებნება შემდეგი ფორმით. ჯერ აღვწეროთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი n* სიდიდეები. 1-ლი და მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობებისთვის Hi-ს მნიშვნელობების განსაზღვრის წრფივი განტოლების სისტემა იწერება შემდეგი სახით, სადაც არის ცნობილი რიცხვები). კოეფიციენტები დამოკიდებულია სასაზღვრო პირობების არჩევანზე. 1-ლი ტიპის სასაზღვრო პირობები: მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობები: მე-3 ტიპის სასაზღვრო პირობების შემთხვევაში რიცხვების განსაზღვრის სისტემა იწერება შემდეგნაირად: უფრო მეტიც, ყველა კოეფიციენტი გამოითვლება ფორმულებით (5) (რაოდენობები k და m + k ინდექსები ითვლება ტოლად: მნიშვნელოვანი* შენიშვნა. სისტემების მატრიცები არ არის გადაგვარებული და ამიტომ თითოეულ ამ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. თუ რიცხვები n, - მოიძებნება, მაშინ სიდიდეები ადვილად განისაზღვრება ფორმულებით თუ ყველაფერი და დამარბილებელი სპლინი აღმოჩნდება ინტერპოლაციური. ეს ნიშნავს, კერძოდ, რომ რაც უფრო ზუსტად არის მოცემული მნიშვნელობები, მით უფრო მცირეა შესაბამისი შეწონვის კოეფიციენტების წინასწარი მნიშვნელობა. თუ, მეორეს მხრივ, აუცილებელია, რომ სლაინმა გაიაროს წერტილი (x^, yk), მაშინ მისი შესაბამისი წონის ფაქტორი p\ უნდა იყოს ნულის ტოლი. პრაქტიკულ გამოთვლებში ყველაზე მნიშვნელოვანია მნიშვნელობების არჩევანი pi-Let D, - მნიშვნელობის გაზომვის შეცდომა y,. მაშინ ბუნებრივია მოვითხოვოთ, რომ დამარბილებელი სლაინი აკმაყოფილებდეს მდგომარეობას ან, რაც იგივეა.უმარტივეს შემთხვევაში, წონის კოეფიციენტები pi შეიძლება იყოს მოცემული, მაგალითად, სახით - სადაც c არის საკმარისად მცირე მუდმივი. ამასთან, p წონების ასეთი არჩევანი არ იძლევა "დერეფნის" გამოყენებას y, - მნიშვნელობებში შეცდომის გამო. უფრო რაციონალური, მაგრამ ასევე უფრო შრომატევადი ალგორითმი p-ის მნიშვნელობების დასადგენად - შეიძლება გამოიყურებოდეს შემდეგნაირად. თუ fc-ე გამეორებისას მოიძებნება მნიშვნელობები, მაშინ ვარაუდობენ, რომ e არის მცირე რიცხვი, რომელიც არჩეულია ექსპერიმენტულად კომპიუტერის ბიტის ბადის, D მნიშვნელობების და სიზუსტის გათვალისწინებით. წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა. თუ fc-ე გამეორებისას i წერტილში ირღვევა პირობა (6), მაშინ ბოლო ფორმულა უზრუნველყოფს შესაბამისი წონის კოეფიციენტის შემცირებას p,. თუ შემდეგ გამეორებისას Increase p, იწვევს "დერეფნის" უფრო სრულყოფილ გამოყენებას (6) და, საბოლოო ჯამში, უფრო შეუფერხებლად ცვალებად სლაინს. ცოტა თეორია A. ფორმულების დასაბუთება კუბური ინტერპოლაციის კოეფიციენტების გამოსათვლელად. შემოგვაქვს აღნიშვნა, სადაც m, უცნობი სიდიდეებია. მათი რიცხვი უდრის m + 1. სლაინი, დაწერილი იმ ფორმით, სადაც ის აკმაყოფილებს ინტერპოლაციის პირობებს და არის უწყვეტი მთელ ინტერვალზე [a, b\: ფორმულაში ჩასმა, შესაბამისად, ვიღებთ, გარდა ამისა, აქვს უწყვეტი პირველი წარმოებული ინტერვალზე [a, 6]: დიფერენცირების მიმართება (7) და დაყენება, ვიღებთ შესაბამისს. რეალურად. ვაჩვენოთ, რომ m რიცხვები შეიძლება ისე ავირჩიოთ, რომ spline ფუნქციას (7) ჰქონდეს უწყვეტი მეორე წარმოებული [a, 6] ინტერვალზე. გამოთვალეთ სპლინის მეორე წარმოებული ინტერვალზე: x წერტილში - 0 (t = 1-ზე) გვაქვს გამოთვალეთ სლაინის მეორე წარმოებული ინტერვალზე იმ წერტილში, სადაც გვაქვს მეორე წარმოებულის უწყვეტობის პირობიდან. შიდა ქსელის კვანძებში a; ვიღებთ m - 1 მიმართებას, სადაც ამ m - 1 განტოლებას დავუმატებთ კიდევ ორს, რომლებიც წარმოიქმნება სასაზღვრო პირობებიდან და აქედან გამომდინარე, მივიღებთ m + 1 წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას m + I უცნობია miy i = 0, 1. ... , მ. 1-ლი და მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობების შემთხვევაში gw-ის მნიშვნელობების გამოთვლის განტოლების სისტემას აქვს ფორმა, სადაც (1-ლი ტიპის სასაზღვრო პირობები), (მე-2 ტიპის სასაზღვრო პირობები). პერიოდული სასაზღვრო პირობებისთვის (მე-3 ტიპის სასაზღვრო პირობები) ბადე o; გაახანგრძლივეთ კიდევ ერთი კვანძით და ჩავთვალოთ, შემდეგ r*-ის მნიშვნელობების განსაზღვრის სისტემას ექნება ფორმის უწყვეტობა მეორე და (th - !) ქსელის კვანძებში. ჩვენ გვაქვს ბოლო ორი მიმართულებიდან ვიღებთ გამოტოვებულ ორ განტოლებას, რომლებიც შეესაბამება მე-4 ტიპის სასაზღვრო პირობებს: განტოლებიდან გამოვრიცხავთ უცნობი r0 და განტოლებიდან უცნობი pc, შედეგად ვიღებთ განტოლებათა სისტემას. გაითვალისწინეთ, რომ ამ სისტემაში უცნობთა რაოდენობა უდრის r - I. 6. დამარბილებელი ქვესპლინის ეფექტურობის გამოთვლის ფორმულების დასაბუთება. შემოგვაქვს აღნიშვნა, სადაც Zi და nj ჯერ კიდევ უცნობი სიდიდეებია. მათი რიცხვი უდრის 2m + 2. ფორმაში ჩაწერილი spline ფუნქცია უწყვეტია მთელ ინტერვალზე (a, 6]: ამ ფორმულის ჩასვით მივიღებთ შესაბამისად. ვაჩვენოთ, რომ z და n რიცხვებს შეუძლიათ. არჩეული იყოს ისე, რომ (8) სახით დაწერილ სლაინს ქონდეს უწყვეტი პირველი წარმოებული ინტერვალზე [a, 6] გამოთვალეთ S(x) ხაზის პირველი წარმოებული ინტერვალზე : წერტილში, გვაქვს From ქსელის შიდა კვანძებში სპლაინის პირველი წარმოებულის უწყვეტობის პირობა და --> ვიღებთ m - 1 მიმართებას. მოსახერხებელია ამ ურთიერთობის მატრიცის სახით დაწერა. მიმართება (8) და დაყენება, ვიღებთ, შესაბამისად, Yeshe olyu მატრიცული მიმართება მიღებულია ფუნქციური (4) მინიმუმის მდგომარეობიდან. გვაქვს ბოლო ორი მატრიცული ტოლობები შეიძლება ჩაითვალოს 2მ + 2 წრფივი ალგებრული განტოლების წრფივი სისტემა 2მ + 2 უცნობი. პირველ ტოლობაში r სვეტის ჩანაცვლებით (9) მიმართებით მიღებული გამოსახულებით, მივდივართ მატრიცის განტოლებამდე SPLINE THEORY ამონახსნების მაგალითები სვეტის M-ის დასადგენად. ამ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები იმის გამო, რომ მატრიცა A + 6HRH7 ყოველთვის არადეგენერატია. მისი პოვნისას ადვილად ამოვიცნობთ მისტერ ეამშაინს. A და H სამკუთხედის მატრიცების ელემენტები განსაზღვრავენ n-ს მხოლოდ u ბადის პარამეტრებით (ჰიი ნაბიჯებით) და არ არიან დამოკიდებული yj მნიშვნელობებზე. კუბური სპლაინის ფუნქციების წრფივი სივრცე [a, 6) სეგმენტზე აგებული wcra + l კვანძის კუბური შტრიხების სიმრავლე არის m + 3 განზომილების წრფივი სივრცე: 1) u ბადის მიერ აგებული ორი კუბური შტრიხების ჯამი. > და ბადეზე აგებული კუბური სპლაინის ნამრავლი u>, თვითნებური რიცხვით უფრო ფარულად არის ამ ბადეზე აგებული კუბური შტრიხები, 2) ბადეზე და კვანძიდან აგებული ნებისმიერი კუბური სპლინი მთლიანად განისაზღვრება m + 1-ით. y" მნიშვნელობების მნიშვნელობით ამ კვანძებში და ორი სასაზღვრო პირობით - მხოლოდ + 3 პარამეტრი. ამ სივრცეში ვირჩევთ m + 3 წრფივად დამოუკიდებელი შტრიხებისგან შემდგარ საფუძველს, შეგვიძლია დავწეროთ თვითნებური კუბური სლაინი a(x), როგორც მათი წრფივი კომბინაცია უნიკალური გზით. კომენტარი. ასეთი spline სპეციფიკაცია ფართოდ გამოიყენება გამოთვლით პრაქტიკაში. განსაკუთრებით მოსახერხებელია საფუძველი, რომელიც შედგება ე.წ. D-splines-ის გამოყენებამ შეიძლება მნიშვნელოვნად შეამციროს კომპიუტერის მეხსიერების მოთხოვნები. L-სპლაინები. B - ნულოვანი ხარისხის B სტრიქონი, აგებულია რიცხვით წრფეზე w ბადის გასწვრივ, არის ჩანგალი B - k ^ I ხარისხის სტრიქონი, რომელიც აგებულია რიცხვით წრფეზე u ბადის გასწვრივ, განისაზღვრება რეკურსიული ფორმულით მეორეში. \7\x) გრადუსი ნაჩვენებია ნახ. 11 და 12 შესაბამისად. K თვითნებური ხარისხის B-სპლინი შეიძლება განსხვავდებოდეს ნულიდან მხოლოდ გარკვეულ სეგმენტზე (განსაზღვრული k + 2 კვანძით). უფრო მოსახერხებელია B- კუბური რიცხვი. სლაინი B,-3* (n) განსხვავდებოდა ნულისაგან ir სეგმენტზე,-+2] მოდით მივცეთ ფორმულა მესამე ხარისხის კუბური შტრიხისთვის ერთიანი ბადის შემთხვევისთვის (ა. ნაბიჯი A). გვაქვს სხვა შემთხვევებში. კუბური B-სპლაინის ტიპიური ნახაზი წარმოდგენილია ნახ. 13-ში. ფუნქცია a) ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია სეგმენტზე, ანუ მიეკუთვნება C2 კლასს[ a, "), c) არ არის ნულოვანი მხოლოდ ოთხ თანმიმდევრულ სეგმენტზე გაფართოებულ ბადეზე w * mo აუცილებელია m + 3 კუბური B-სპირანების ოჯახის აგება: ეს ოჯახი ქმნის საფუძველს სეგმენტზე (a, b]) კუბური შტრიხების სივრცეში. ამდენად, თვითნებური კუბური სლაინი S(z) აგებული o ბადის |s, 6] სეგმენტზე; +1 კვანძებიდან ამ სეგმენტზე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წრფივი კომბინაციის სახით.ამ გაფართოების ამოცანის პირობები, კოეფიციენტები ft ცალსახად არის განსაზღვრული. ... იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქციის მნიშვნელობები ქსელის კვანძებში და ფუნქციის პირველი წარმოებულის მნიშვნელობები ქსელის ბოლოებში "(ინტერპოლაციის პრობლემა პირველი სახის სასაზღვრო პირობები), ეს კოეფიციენტები გამოითვლება i და &m+i შემდეგი ფორმის სისტემიდან, ვიღებთ წრფივ სისტემას უცნობიებით 5q, ... , bm და სამდიაგონალური მატრიცით. ​​პირობა უზრუნველყოფს დიაგონალს. დომინირება და, შესაბამისად, მისი გადასაჭრელად სვიპის მეთოდის გამოყენების შესაძლებლობა.ინტერპოლაციის პრობლემები ზმმჭმ* 2. 1.1 ნაწილში აღწერილ ალგორითმებთან შედარებით, R-spline-ის გამოყენება ინტერპოლაციის პრობლემებში * ამცირებს შენახული ინფორმაციის რაოდენობას, ანუ მნიშვნელოვნად ამცირებს კომპიუტერის მეხსიერების მოთხოვნებს, თუმცა ეს იწვევს ოპერაციების რაოდენობის ზრდას. . სპლაინის მრუდების აგება სპლაინის ფუნქციების გამოყენებით ზემოთ განხილული იყო მასივები, რომელთა წერტილები დანომრილი იყო ისე, რომ მათი აბსციები ქმნიდნენ მკაცრად მზარდ მიმდევრობას. მაგალითად, ნახ. 14, როდესაც მასივის სხვადასხვა წერტილს აქვს ერთი და იგივე აბსციზა, დაუშვებელია. ამ გარემოებამ განსაზღვრა როგორც მიახლოებითი მრუდების კლასის არჩევა (ფუნქციების მოძრაობა), ასევე მათი აგების მეთოდი. თუმცა, ზემოთ შემოთავაზებული მეთოდი შესაძლებელს ხდის საკმაოდ წარმატებით ააგოთ ინტერპოლაციის მრუდი უფრო ზოგად შემთხვევაში, როდესაც მასივის წერტილების ნუმერაცია და მათი მდებარეობა სიბრტყეზე, როგორც წესი, არ არის დაკავშირებული (ნახ. 15). უფრო მეტიც, ინტერპოლაციის მრუდის აგების პრობლემის დასმისას, მოცემული მასივი შეგვიძლია მივიჩნიოთ არაგეგმურად, ანუ ცხადია, რომ ამ ზოგადი პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა მნიშვნელოვნად გაფართოვდეს დასაშვები მრუდების კლასი, მათ შორის როგორც დახურული მრუდები, ასევე მრუდები, რომლებსაც აქვთ თვითგადაკვეთის წერტილები და სივრცითი მრუდები. მოსახერხებელია ასეთი მრუდების აღწერა პარამეტრული განტოლებების გამოყენებით მოდით მოვითხოვოთ. დამატებით ისე, რომ ფუნქციებს ჰქონდეთ საკმარისი სიგლუვე, მაგალითად, ისინი მიეკუთვნებიან კლასს C1 [a, /0] ან კლასს. იმისათვის, რომ იპოვოთ მრუდის პარამეტრული განტოლებები, რომლებიც თანმიმდევრულად გადის მასივის ყველა წერტილში, გააგრძელეთ შემდეგნაირად. 1 ნაბიჯი. თვითნებურ სეგმენტზე (\displaystyle), ეწოდება მრავალწევრი სლაინიშეკვეთა m (\displaystyle m)კვანძებით x j ∈ (a ≤ x 0< . . . < x n ≤ b) {\displaystyle x_{j}\in (a\leq x_{0}<..., თუ თითოეულ სეგმენტზე [ x j − 1, x j) (\displaystyle (3) (\displaystyle \left[(\begin(მაივი)(*(20)(c))((P_(j))((t_(j)))= f((t_(j))))\\((P_(j))((t_(j-1)))=f((t_(j-1))))\\((((P") _(j))((t_(j)))=f"((t_(j))))\\(((P")_(j))((t_(j-1)))=f "((t_(j-1))))\\\ბოლო(მასივი))\right]\qquad (3))

საშუალებას გაძლევთ ცალსახად განსაზღვროთ მრავალწევრის ოთხი კოეფიციენტი. მე-5 ხარისხის პოლინომისთვის უნდა დაემატოს მე-2 წარმოებულის ტოლობის პირობა სეგმენტის ბოლოებში და ა.შ. ნათქვამიდან ნათელი უნდა იყოს, რატომ არის აგებული სპლაინები ძირითადად კენტი ხარისხის მრავალწევრებისგან (ერთად. კოეფიციენტების ლუწი რაოდენობა).

ლუწი გრადუსიანი პოლინომებისთვის (3) სისტემის აწყობისას:

• წარმოებული რჩება განუსაზღვრელი სეგმენტის ერთ-ერთ ბოლოში;
• და წარმოებულების თანასწორობის პირობა (მრუდის სიგლუვე) არ დაკმაყოფილდება,

მაშასადამე, მე-2 ხარისხის მრავალწევრებისთვის შეუძლებელია 1-ლი წარმოებულის ტოლობის მიღწევა შეერთების წერტილებში, ხოლო მე-4 ხარისხისთვის - მე-2 წარმოებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემის ჩამოყალიბება, მსგავსი (3). თუ spline მრავალწევრის წარმოებულები განისაზღვრა ისე, როგორც ინტერპოლირებული ფუნქციის შესაბამისი წარმოებულები, სპლინი ე.წ. ჰერმიტიანი.

P j (n) (t j) = f n (t j) , P j (n) (f j − 1) = f n (t j − 1) (4) (\displaystyle P_(j)^(n))((t_ (j)))=(f^(n))((t_(j))),\qquad P_(j)^((n))((f_(j-1)))=(f^(n ))((t_(j-1)))\qquad(4))

არსებობს ბესელის და აკიმის სლაინების აგების ადგილობრივი მეთოდები, B - სპლაინები [ ] . ძირითადად, როდესაც საქმე ეხება სპლაინებს, ისინი გულისხმობენ ალგებრული მრავალწევრებისგან აგებულ სპლაინს. ეს არის ზემოთ მოცემული განმარტებები. სწორედ ეს შტრიხებია ყველაზე შესწავლილი. თუმცა, spline შეიძლება შედგებოდეს ნებისმიერი კლასის ფუნქციების ფრაგმენტებისგან. AT [ ] განიხილება ასეთი შტრიხების აგება და გამოკვლეულია მათი თვისებები. ავტორი [ ჯანმო?] არ იძლევა აგებული სლაინების ზოგად განმარტებას. ცხადია, ფუნქციების ნებისმიერი კლასისთვის, რომლებიც ქმნიან spline-ს, სტატიის დასაწყისში მოცემული განმარტება მთლად შესაფერისი არ არის. მაგალითად, თუ spline შედგება მაჩვენებლის სეგმენტებისგან, მაშინ spline დეფექტის კონცეფცია კარგავს თავის მნიშვნელობას. მიუხედავად იმისა, რომ უწყვეტი წარმოებულების რაოდენობა მნიშვნელოვან მახასიათებელად დარჩება. სპლაინის კონსტრუქცია, რომლის ფრაგმენტები უწყვეტი ფუნქციებია (რაციონალური ფუნქციები, პადე ფუნქციები) გარკვეულწილად სცილდება სპლაინის იდეის ფარგლებს, ვინაიდან სპლაინის ერთ-ერთი მთავარი უპირატესობა მათი სიგლუვეა. თუ ასეთი კონსტრუქციები თვითნებურად გაფართოვდა, მაშინ წაიშლება განსხვავებები სლაინსა და ერთობლიობის ფუნქციებს შორის. splines-ის კიდევ ერთი უპირატესობა არის გამოთვლითი ეფექტურობა. ფრაგმენტების გადაჭარბებული გართულება მნიშვნელოვნად ამცირებს სლაინების უპირატესობას კლასიკურ ფუნქციებთან შედარებით.

სპლინი ხასიათდება შემდეგი მახასიათებლებით: სპლინი შედგება ფრაგმენტებისგან - იმავე კლასის ფუნქციებისგან, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ მათი პარამეტრებით, გარკვეული პირობები დაწესებულია მეზობელ ფრაგმენტებზე შეერთების წერტილებზე, რომლებიც მცირდება მნიშვნელობების უწყვეტობამდე და ზოგიერთი პირველი წარმოებული. Splines არის გამოყენებითი მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ინტენსიურად ვითარდება. ინტერნეტი შეიცავს ვრცელ ბიბლიოგრაფიას splines-ზე (Spline bibliography database (SBD)).

სპლაინის კლასიფიკაცია

როგორც ზემოთ აღინიშნა, არსებობს სტრუქტურების დიდი რაოდენობა, რომლებსაც სპლაინს უწოდებენ. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია ამ ჯიშში გარკვეული კლასიფიკაციის შემოღება, იმ ფუნქციების ხაზგასასმელად, რაც საშუალებას მოგცემთ აირჩიოთ სლაინები, რომლებიც შესაფერისია კონკრეტული გამოყენებული პრობლემისთვის.

სპლაინების მინიჭება. დანიშნულების მიხედვით შეიძლება გამოიყოს სლაინების სამი ძირითადი ჯგუფი: „ინტერპოლაციური შტრიხები“ ან „ფუნქციური შტრიხები“ - ზუსტად მოცემულ წერტილებზე გავლა, „დაგლუვებული შტრიხები“ - მოცემული წერტილების გავლა, მათი განსაზღვრისას შეცდომების გათვალისწინებით; „კორელაციური სლაინები“ - პუნქტების კორელაციური სიმრავლის გავლა და მისი ზოგადი დამოკიდებულების ჩვენება (ტენდენცია, რეგრესია). ინტერპოლაცია და ფუნქციური შტრიხები გამოიყენება გეომეტრიული მოდელირების ამოცანებში, მაგალითად, წყლისა და თვითმფრინავის კორპუსის კონტურების დაყენებაში. დამარბილებელი ხაზები ყველაზე ხშირად გამოიყენება გაზომვის ცნობილი შეცდომით ფიზიკური ექსპერიმენტების დამოკიდებულების აღსაწერად. კორელაციური შტრიხები გამოიყენება როგორც არაწრფივი რეგრესიის გრაფიკები, რომელთაგან უმარტივესად შეიძლება ჩაითვალოს დამოკიდებულების აღწერა საფეხურით და ცალი წრფივი ფუნქციით (ნულოვანი და პირველი ხარისხის ხაზები).

სლაინის ფრაგმენტების ხედი. ის ფაქტი, რომ სპლინი შედგება იმავე ტიპის ფრაგმენტებისგან, არის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელი, რომელიც განასხვავებს მას სხვა ნაწილების ფუნქციებისგან. თუმცა, არსებობს კომბინირებული შტრიხები, რომლებიც შედგება სხვადასხვა ფრაგმენტების ფრაგმენტებისგან.

ყველაზე ცნობილი შტრიხები - ფრაგმენტებისგან შემდგარი - არის ალგებრული პოლინომები, რომლებიც არ აღემატება მოცემულ ხარისხს. როგორც წესი, ეს არის კუბური პოლინომები, ან უცნაური ხარისხის მრავალწევრები: პირველი, მესამე (კუბური), მეხუთე ხარისხი. უფრო მაღალი ხარისხები იშვიათად გამოიყენება გამოთვლების სირთულის და წინა ნაწილში აღწერილი სირთულეების გამო. მათი მთავარი უპირატესობა არის გამოთვლებისა და ანალიზის სიმარტივე. მინუსი არის ის, რომ შედარებით ცოტა რეალური ფიზიკური პროცესი შეესაბამება ამ დამოკიდებულებას.

ექსპონენციალური შტრიხები. თუ კვანძებზე დამაგრებული მოქნილი ლითონის სახაზავი დაჭიმულია, მაშინ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი არ იქნება ალგებრული მრავალწევრი, არამედ ექსპონენციალური. ამიტომ, ასეთ სლაინებსაც უწოდებენ დაძაბული. ექსპონენტი აღწერს ბევრ ფიზიკურ პროცესს დინამიურ სისტემებში. მინუსი არის გაანგარიშების სირთულე.

ლითონის სახაზავთან მექანიკური ანალოგიით, რომელიც არის სხივის დიზაინის მოდელი, მიიღება ცვლადი სიხისტის ხაზები, რომლებიც აღწერილია Snigirev V.F. და Pavlenko A.P. თავდაპირველად, ასეთ ხაზებს ეწოდებოდა დეგენერატი ან ლოგარითმული, რადგან ორიგინალის ამოხსნა. სპლაინის დიფერენციალური განტოლება, რომელიც არის სპლაინის ფრაგმენტი, შეიცავს ბუნებრივ ლოგარითმულ ფუნქციებს. მათში სიმტკიცე შეიძლება იმოქმედოს როგორც წონა, თუ ის წინასწარ არის განსაზღვრული, ან როგორც საკონტროლო ფუნქცია, რომელიც აღმოჩენილია საწყისი სლაინ განტოლების ოპერატორის ენერგიის ფუნქციონირების მინიმალური პირობებიდან, რომელიც მსგავსია მთლიანი პოტენციური ენერგიისა. მმართველის (სხივის) დეფორმაცია. სიხისტის ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ აკონტროლოთ სლაინის ფორმა. იმ შემთხვევაში, როდესაც სიხისტის ფუნქცია არის საკონტროლო ფუნქცია, მაშინ ასეთ ხაზებს უწოდებენ მინიმალური სიხისტის ხაზებს.

ტრიგონომეტრიული არის შტრიხები, რომელთა ფრაგმენტები აღწერილია ტრიგონომეტრიული მრავალწევრებით. მათ აქვთ საკმაოდ რთული საანგარიშო გამონათქვამები. სხვადასხვა ტიპის ორმოცდაათზე მეტი ფრაგმენტი აღწერილია B.A. Popov-ის ნაშრომებში.

ასევე არის რაციონალური შტრიხები და პადე სპლაინები. მათი მახასიათებელია ფრაგმენტებზე წარმოებულების გატეხვის შესაძლებლობა, კვანძებში უწყვეტობით. M. Ansermet აშენებს ფრაქციულ შტრიხებს, სადაც ფრაგმენტები მითითებულია გამა ფუნქციის გამოყენებით.

გარკვეული ტიპის ფრაგმენტების გამოყენების მიზანშეწონილობა ემყარება პრობლემის სპეციფიკურ პირობებს და განხორციელების შეზღუდვებს. როგორც წესი, მთავარი მოთხოვნაა მოცემული ინტერპოლაციის სიზუსტის მიღწევა დროისა და რესურსების მისაღები ღირებულებით განხორციელებისთვის. ფრაგმენტების კარგი არჩევანი, რომელიც შეესაბამება პროცესის ბუნებას, ამცირებს გამოთვლის დროს და მეხსიერების საჭირო რაოდენობას.

ფრაგმენტების რაოდენობა. ცხადია, ფრაგმენტების მინიმალური რაოდენობა ერთია. სპლინის კლასიკური განმარტება ზღუდავს ფრაგმენტების რაოდენობას გარკვეულ რაოდენობამდე სასრულ სეგმენტზე. თუმცა, შესაძლებელია ფრაგმენტების უსასრულო რაოდენობის სლაინების აგება, მაგრამ სინამდვილეში ამ მეთოდებსა და ალგორითმებს არ სჭირდებათ ინფორმაცია გარკვეული რაოდენობის ფრაგმენტების შესახებ. ეს ხაზები წარმოდგენილია კარდინალიშონბერგის მიერ გამოკვლეული შტრიხები. ფრაგმენტების შეუზღუდავი რაოდენობის მქონე სლაინების მშენებლობისთვის, ადგილობრივი სლაინები უკეთესად შეეფერება.

ფრაგმენტის სიგანე. აუცილებელია ფრაგმენტების თანაბარი სიგანის შტრიხების შერჩევა. ეს საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ გამოთვლების გამონათქვამები, დააჩქაროთ ალგორითმების მოქმედება და შეამციროთ განხორციელების ხარჯები. გარკვეული სიმარტივის მიღწევა შესაძლებელია მრავალჯერადი სიგანის მქონე ფრაგმენტების გამოყენებით. არის ხაზები ნულოვანი სიგანის ფრაგმენტებით (De Boer). ეს იწვევს კვანძების სიმრავლეს და წყვეტილი ფუნქციების განუყოფელ ფრაგმენტებთან მიახლოების შესაძლებლობას. საანგარიშო გამონათქვამები მიიღება ლიმიტის გადასვლების შედეგად. Splines ასევე შეიძლება ჰქონდეს ფრაგმენტები უსასრულო სიგანე. ეს ფრაგმენტები უნდა იყოს ექსტრემალური. ზოგჯერ ეს შესაძლებელს ხდის ბუნებრივად დააყენოს სასაზღვრო პირობები. მკაცრად რომ ვთქვათ, ფრაგმენტების სიგანე დამოკიდებულია პარამეტრის არჩევანზე - spline ფუნქციის არგუმენტზე და ეს მოითხოვს ცალკე პარამეტრიზაციის პრობლემის გადაჭრას. იდეალური არჩევანი პარამეტრად არის ინტერპოლირებული ფუნქციის სიგრძე, რომელიც ყოველთვის არ არის ცნობილი, ამიტომ ამ პრობლემის გადაჭრის მრავალი გზა არსებობს. პარამეტრიზაციის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია აკორდები.

ფრაგმენტების შეერთების პირობები. კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება, რომელიც განასხვავებს სლაინს. როდესაც საქმე ეხება სპლაინებს, როგორც წესი, ფრაგმენტები ითვლება შეუფერხებლად შეერთებულად. ანუ უზრუნველყოფილია მნიშვნელობების და პირველი წარმოებულის უწყვეტობა. შინაარსი სლაინის დეფექტიდაკავშირებულია უწყვეტი წარმოებულების რაოდენობასთან, რომელიც აქვს გარკვეული ტიპის ფრაგმენტულ ფუნქციას და წარმოებულების რაოდენობას, რომელთა უწყვეტობა გარანტირებულია კვანძებში. მაჩვენებელს, სინუსოიდს აქვს წარმოებულების უსასრულო რაოდენობა. მათთვის ამ კონცეფციას აზრი არ აქვს. აქედან გამომდინარე, უფრო მოსახერხებელია პირდაპირ ვისაუბროთ წარმოებულების რაოდენობაზე, რომელთა უწყვეტობა გარანტირებულია spline-ის კვანძებში. პრაქტიკაში, ჩვენ ვსაუბრობთ მნიშვნელობების უწყვეტობაზე და პირველ, მაქსიმალურ მეორე წარმოებულზე. მეორე და უფრო მაღალ წარმოებულებს შორის უფსკრული ვიზუალურად არ არის შესამჩნევი, ამიტომ იშვიათად არის გათვალისწინებული. ნათელია, რომ პირველი წარმოებული შეერთების წერტილებში შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით. ყველაზე გავრცელებული არის ორი მიდგომა. პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა შეირჩევა ისე, რომ უზრუნველყოფილი იყოს მეორის უწყვეტობა (მინიმალური დეფექტის გლობალური კუბური შტრიხები). პირველი წარმოებული უდრის ინტერპოლირებული ფუნქციის პირველ წარმოებულს (შესაძლოა დაახლოებით) ჰერმიტულ სპლინებში.

Სასაზღვრო პირობები . არსებობს 4 ტიპის კლასიკური სასაზღვრო პირობები და რიგი არაკლასიკური. თუ სპლაინებს აქვთ ფრაგმენტების შეზღუდული რაოდენობა, მაშინ, ბუნებრივია, მათ არ აქვთ უკიდურესი ფრაგმენტები მარცხნივ და მარჯვნივ, ამიტომ ექსტრემალური კვანძების შეერთება არაფერია. გამონაკლისს წარმოადგენს მხოლოდ პერიოდული შტრიხები, რომლებსაც აქვთ ბუნებრივი გაფართოება (მე-3 ტიპის კლასიკური სასაზღვრო პირობები). ზოგჯერ ნულოვანი წარმოებულის მქონე სასაზღვრო პირობებს უწოდებენ ბუნებრივ, თუმცა არ არსებობს მიზეზი, რომ ისინი უფრო ბუნებრივად მივიჩნიოთ, ვიდრე სხვები, მაგრამ კუბური შტრიხისთვის, ბუნებრივი (ბუნებრივი) სასაზღვრო პირობები არის მე -2 ტიპის კლასიკური სასაზღვრო პირობების განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც განსაზღვრავს მეორე წარმოებულები სპლინის კიდეებზე. ამ შემთხვევაში, მეორე წარმოებულების ნულთან გათანაბრება ათავისუფლებს ლითონის სახაზავის კიდეებს დატვირთვის მომენტით, რაც ბუნებრივად წარმოიქმნება ფიზიკურ სივრცეში ფიქსირებულ (მოცემულ) კვანძებზე გამოყენებისას. I ტიპის კლასიკური სასაზღვრო პირობებში პირველი წარმოებულები (ტანგენციალური) დაყენებულია სპლინის კიდეებზე; მე-2 ტიპში - დააყენეთ მეორე წარმოებულები (მრუდი); მე-3 ტიპი გამოიყენება დახურული ან პერიოდული ხაზების ინტერპოლაციისთვის და შედგება სლაინის უკიდურესი ფრაგმენტების შეერთებაში; მე-4 ტიპი გამოიყენება მაშინ, როდესაც არც პირველი და არც მეორე წარმოებულები არ არის ცნობილი სპლინის კიდეებზე და მოიცავს მიმდებარე წყვილის უკიდურესი ფრაგმენტების შეერთებას (1-ლი მე-2-თან და ბოლო წინა-ბოლოსთან) მესამე წარმოებულებით, რაც პრაქტიკაში რეალიზებულია წყვილების დახატვაში კვანძების მეზობლად მდებარე ფუნქციის უკიდურესი ფრაგმენტების ერთ-ერთი ფრაგმენტის მსგავსი (პოლინომიური ფრაგმენტისთვის - იგივე ხარისხის პოლინომი, როგორც ფრაგმენტი). გამოიყენება სასაზღვრო პირობების სხვადასხვა კომბინაციები, რომლებიც დაყვანილია ამ 4 ტიპის კლასიკურ მდგომარეობამდე. თუ სასაზღვრო პირობები არ შეიძლება შემცირდეს ამ ოთხ ტიპზე, მაგალითად, ცვლილება მისი მესამე წარმოებულის მიმდებარე უკიდურესი ფრაგმენტების წყვილზე, ხაზოვანი (აფინური) კანონის მიხედვით, შემოთავაზებული სნიგირევ ვ.ფ.-ს ნაშრომებში, მაშინ ასეთ პირობებს ეწოდება სასაზღვრო პირობების არაკლასიკური ვერსია. ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე ვარიანტი, რომლებიც მცირდება კლასიკურ სასაზღვრო პირობებამდე. თუ სპლაინს აქვს იგივე სიგანის ფრაგმენტები, დათვლილია იგივე სიგანის დაკარგული ფრაგმენტები. კიდევ ერთი ვარიანტი არის დაკარგული ფრაგმენტების გათვალისწინება უსასრულობამდე. ამ მიდგომის უპირატესობა არის ექსტრაპოლაციის შესაძლებლობა. თქვენ შეგიძლიათ ჩათვალოთ ფრაგმენტების სიგანე ნულოვანი. გამოთვლილი გამონათქვამები მიიღება ლიმიტის გადასვლებით. თუ სასაზღვრო პირობებს შევხედავთ საბაზისო ფუნქციებიდან სლაინის ფორმირების თვალსაზრისით, მაშინ ისინი მცირდება შესაბამისი ლოკალური საბაზისო ფუნქციების გაგრძელებამდე. მეზობელი ფრაგმენტების სიგანე გავლენას ახდენს მათ ფორმაზე. მარტივი ჭრა ხშირად იწვევს რხევას და ცდომილების ზრდას კიდეებზე. სასაზღვრო პირობები მნიშვნელოვანია გამოსახულების დამუშავებისა და ექსტრაპოლაციის პრობლემებში.

დამატებითი შეზღუდვები. ისინი ყველაზე ხშირად ეხება წარმოებულებს კვანძებში. ზოგჯერ ისინი მიჰყვებიან პროცესის ფიზიკას. პირობები: ფასეულობების განუყოფლობა, მომენტების თანასწორობა, ფართობები, ნორმალიზაციის პირობები. დამატებითი პირობები ზოგჯერ ამარტივებს spline თვისებების ანალიზს, მაგრამ შეიძლება სერიოზულად გაართულოს მშენებლობისა და განხორციელების ხარჯები.

ინტერპოლაციის წერტილების ბადე. შეიძლება მნიშვნელოვნად იმოქმედოს გამოთვლების ეფექტურობაზე. მნიშვნელოვანია ერთიანი ბადის და ერთიანი ბადის შემთხვევები, წერტილებს შორის მანძილით, რომლებიც მრავლობითია სლაინის კვანძებს შორის მანძილით. ინტერპოლაციის წერტილების (ინტერპოლაციის კვანძების) ბადის პოვნა პარამეტრიზაციის ამოცანაა, რომელიც უკვე განხილულია ფრაგმენტის სიგანე განყოფილებაში.

საბაზისო ფუნქციების ლოკალური თვისებები. სპლინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეწონილი ბაზის სპლაინების ჯამი. ამ საბაზისო ფუნქციების სიგანე აუცილებელია. ასე რომ, გლობალურ სპლაინებში, ძირითადი შტრიხები არ არის ნულოვანი ინტერპოლაციის სეგმენტზე. მიუხედავად იმისა, რომ აღსანიშნავია, რომ გარკვეული სიზუსტით (საკმარისი მრავალი ტექნიკური გამოთვლებისთვის) ისინი შეიძლება ჩაითვალოს ადგილობრივად. ლოკალური შტრიხებისთვის, საბაზისო ფუნქციების სიგანე მცირეა (ოთხი ფრაგმენტი კუბური ჰერმიტიული შტრიხებისთვის). ეს მნიშვნელოვნად აისახება გამოთვლების ეფექტურობაზე და განხორციელების ხარჯებზე.

პრეზენტაციის ფორმა. ფუნქციები, რომლებიც განსაზღვრავენ სლაინის ფრაგმენტებს, როგორც წესი, დამოკიდებულია ბევრ პარამეტრზე, რის გამოც ისინი ცვლიან ფორმას. პარამეტრის მნიშვნელობები თითოეულ ფრაგმენტზე ინდივიდუალურია. ამ პარამეტრებს შეუძლიათ განსაზღვრონ კონკრეტული სლაინი. პოლინომიური შტრიხებისთვის ეს არის პოლინომიური კოეფიციენტები. ასე რომ, spline შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფუნქციის პარამეტრების ნაკრებით თითოეულ ფრაგმენტზე. მოდით ვუწოდოთ ამ წარმოდგენას თითო ფრაგმენტი. ასეთი გამოსახულება საილუსტრაციოა და ხშირად აქვს მკაფიო ფიზიკური მნიშვნელობა. მაგრამ პარამეტრების რაოდენობა გადაჭარბებულია. ასე რომ, კუბური სლაინისთვის, თქვენ უნდა გქონდეთ 4 * (r-1) პარამეტრი ( რარის spline კვანძების რაოდენობა). ეს წარმოდგენა მიიღება თავდაპირველი სპლაინის დიფერენციალური განტოლების ფრაგმენტის განუსაზღვრელი ინტეგრაციის შედეგად და ეწოდება ანალოგური ცალმხრივი მრავალწევრი ფორმა (pp-ფორმა) პოლინომიური შტრიხების ანალოგიით. კოეფიციენტების მკაფიოდ გამოსახატავად კვანძოვანი წერტილების კოორდინატების უკვე ცნობილი მნიშვნელობების მიხედვით, გამოიყენება მსგავსი ცალმხრივი მრავალწევრი ფორმის დაშლა ძირითად ფუნქციებად, მისი ჩანაცვლებით ჰერმიტის სასაზღვრო პირობებში (სასაზღვრო პირობები ფრაგმენტის ფრაგმენტისთვის. , პირობები ინტერპოლაციისა და წარმოებულებზე დაყრდნობით). შედეგი არის სპლინის ძირითადი ფორმა (B-ფორმა). სპლაინის ეს წარმოდგენა ბევრად უფრო კომპაქტურია და შეიძლება დაიწეროს ძირითადი სპლაინის ფუნქციების მიხედვით:

S (x) = ∑ j = 1 r a j B j (x) (\displaystyle S(x)=\sum \limits _(j=1)^(r)((a_(j))(B_(j)) (x))),

სადაც B j (x) (\ჩვენების სტილი (B_(j))(x))- ძირითადი spline ფუნქციები (ჩვეულებრივ ლოკალური), a j (\displaystyle a_(j))- რიცხვითი კოეფიციენტები, რომლებიც აკონკრეტებენ საფუძვლის წონას, ფუნქციონირებს სლაინის ფორმირებაში, რომლის ფიზიკური მნიშვნელობა არის ლითონის მმართველის განზოგადებული (წრფივი და კუთხოვანი) გადაადგილებები კვანძებში. სპლაინის განმსაზღვრელი პარამეტრების რაოდენობა უდრის სპლაინის კვანძების რაოდენობას. არსებობს კავშირი ფრაგმენტზე ფუნქციის პარამეტრებსა და პოლინომი-სპლინის კოეფიციენტებს შორის, რაც შესაძლებელს ხდის სხვების პოვნას ზოგიერთი კოეფიციენტით, თუმცა ფორმულები შეიძლება საკმაოდ რთული იყოს.

სლაინის წარმოდგენის მსგავსი ცალმხრივი პოლინომიური ფორმის ძირითად ფორმად გარდაქმნა ამცირებს წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის რიგითობას უცნობი სლაინის კოეფიციენტების მოსაძებნად, რადგან ისინი ნაწილობრივ გამოხატულია უკვე ცნობილი პარამეტრების - მოცემული წერტილების კოორდინატებში ( კვანძები), რამაც შეიძლება მნიშვნელოვნად შეამციროს გამოთვლითი ხარჯები ეკონომიური გადაწყვეტის მეთოდების გამოყენების შესაძლებლობის გამო, როგორიცაა ალგებრული წმენდის მეთოდი ან გაუსის მეთოდის ვარიანტები იშვიათი (ლენტი) მატრიცებისთვის, სვეტის წამყვანი ელემენტის არჩევით.

სპლაინის კოეფიციენტის შემცველობა. როგორც წინა აბზაცში აღინიშნა, ფრაგმენტის გამოსახულებაში spline პარამეტრების შინაარსი განისაზღვრება ფუნქციის ტიპის მიხედვით. პოლინომიური წარმოდგენით უნდა გამოვყოთ შემთხვევა, როდესაც კოეფიციენტებს აქვთ იგივე ფიზიკური მნიშვნელობა, რაც შეყვანის მონაცემებს. ანუ, კოეფიციენტები არის კვანძების სლაინის მნიშვნელობები. ამ ფორმას ლაგრანჟი ჰქვია, ლაგრანგის მრავალწევრის ანალოგიით. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ ფორმის ძირითადი შტრიხები ტოლია ერთის ცენტრალურ კვანძში და ნულის ყველა დანარჩენში.

ინტერპოლაციის და ფუნქციური სლაინების კოეფიციენტები ყოველთვის შეიცავს მოცემული წერტილების კოორდინატების მნიშვნელობებს, რომლებიც გამომდინარეობს ინტერპოლაციის პირობებიდან. და ასევე, წარმოებულებზე დაყრდნობის პირობებიდან გამომდინარე, ისინი შეიცავს შესაბამისი წარმოებულების მნიშვნელობებს ფრაგმენტის საზღვრებზე (კვანძოვან წერტილებში). როგორც წესი, ასეთი პირობების დაწერისას, სპლინის ფრაგმენტი მის საზღვრებზე ეფუძნება პირველ ან მეორე წარმოებულებს. პირველ წარმოებულებზე დაყრდნობილი ფრაგმენტი აშკარად ასახავს ფიზიკურ მნიშვნელობას, ვინაიდან პირველი წარმოებულები (ტანგენციალური) არის ლითონის მმართველის კუთხური გადაადგილებები (როტაციები) განივი ღერძის მიმართ. სპლაინის მეორე წარმოებულებზე დაყრდნობა გამოიყენება საანგარიშო გამონათქვამების ფორმის გასამარტივებლად, რათა შემცირდეს შეცდომები მათი ხელით გადაწერისას, თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, ასეთი გამონათქვამების გამოყენება ნებისმიერ დამატებით პირობებში შეიძლება გამოიწვიოს ტრივიალური გადაწყვეტილებები.

სპეციალური შტრიხები. ზოგიერთ შემთხვევაში, განიხილება ფუნქციები, რომლებიც ახლოსაა საზღვრებთან სპლაინებსა და ჩვეულებრივ ფუნქციებს შორის, ასევე სპლაინებსა და ლუმპ ფუნქციებს შორის. მაგალითად, ეს არის სლაინები, რომლებიც შედგება ორი ფრაგმენტისგან. მათ აქვთ კონსტრუქციის გამარტივებული ვერსია, მაგრამ განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს სასაზღვრო პირობებს.

სპეციალური შტრიხები მოიცავს მრავალგანზომილებიან ორთოგონალურ ნორმალიზებულ სლაინს, რომელიც აღწერს ხელოვნური ნეირონის არაწრფივ მოდელს (ხაკიმოვის სპლაინის მოდელი). გამოიყენება ფუნქციის დამოკიდებულების მოდელირებისთვის რამდენიმე არგუმენტის სიმრავლეზე.

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ვერშინინი VV, Zavyalov Yu. S, Pavlov NN. - ნოვოსიბირსკი: Nauka, 1988, UDC 519.651

როჟენკო ალექსანდრე იოსიფოვიჩი. ვარიაციული სლაინის მიახლოების თეორია და ალგორითმები: დის. … დოქტორი ფიზი.-მათემა. მეცნიერებები: 01.01.07: Novosibirsk, 2003 231 გვ. RSL OD, 71:05-1/136

Shikin E. V., Plis L. I. მოსახვევები და ზედაპირები კომპიუტერის ეკრანზე. სლაინების სახელმძღვანელო მომხმარებლებისთვის. - M.: DIALOG-MEPhI, 1996. - 240გვ. ISBN 5-86404-080-0 , UDC 681.3 Sh57

ხაკიმოვი ბ.ვ.კორელაციური დამოკიდებულებების მოდელირება სლაინებით გეოლოგიისა და ეკოლოგიის მაგალითებზე. - პეტერბურგი. : ნევა, 2003. - 144გვ. - ISBN 5-211-04588-2.

პავლენკო ალექსეი პეტროვიჩი. განზოგადებული გადაწყვეტილებების გამოყენება საჰაერო ხომალდის კონსტრუქციების სხივური ელემენტების დაპროექტებისა და ფუნქციონალური შტრიხების ფორმირებისთვის: დის. …კანდია. ტექ. მეცნიერებები: 05.07.02, 05.13.18 Kazan, 2007. 185 RSL OD, 61 07-5/5391

სპლაინები (Spline - ცალმხრივი პოლინომიური ფუნქცია) არის ორგანზომილებიანი გეომეტრიული ობიექტები, რომლებიც სრულიად დამოუკიდებელია და შეიძლება გახდეს უფრო რთული სამგანზომილებიანი სხეულების აგების საფუძველი. გარეგნულად, splines არის სხვადასხვა ხაზები, ხაზის ფორმა განისაზღვრება წვეროების ტიპით, რომლითაც იგი გადის. სპლაინები შეიძლება იყოს როგორც მარტივი გეომეტრიული ფორმები: მართკუთხედები, ვარსკვლავები, ელიფსები და ა.შ., ასევე რთული პოლიხაზები ან მრუდები, ასევე ტექსტის სიმბოლოების კონტურები.

შტრიხების ძირითადი ელემენტებია წვეროები (ვერტექსი) და სეგმენტები (სეგმენტი). წვეროებს უწოდებენ წერტილებს, რომლებიც განლაგებულია სლაინზე, ხოლო პირველი წვერო, რომელიც მიუთითებს სლაინის დასაწყისზე, აღინიშნება თეთრი კვადრატით. სეგმენტი ჩვეულებრივ გაგებულია, როგორც ხაზის მონაკვეთი, რომელიც შემოიფარგლება ორი მიმდებარე წვერით - სეგმენტები შეიძლება იყოს სწორი ან მრუდი სეგმენტები. სლაინის წვეროები განსხვავდება ტიპით, რაც განსაზღვრავს ამ წვეროების მიმდებარე სლაინის სეგმენტების გამრუდების ხარისხს. საერთო ჯამში, წვეროების ოთხი ტიპი გამოირჩევა (ნახ. 1):
კუთხე (კუთხოვანი) - ზედა, რომელშიც სლაინს აქვს შესვენება, ხოლო მის მიმდებარე სეგმენტებს მოკლებულია გამრუდება.
გლუვი (გათლილი) - წვერო, რომლის მეშვეობითაც სლაინის მრუდი დახატულია გლუვი მოსახვევით, ხოლო წვეროს მიმდებარე სეგმენტების გამრუდება ორივე მხრიდან ერთნაირია.
ბეზიერი (ბეზიერი) - წვერო, რომელიც წააგავს გლუვს და მისგან განსხვავდება ორივე სეგმენტის გამრუდების ხარისხის კონტროლის უნარით. ეს უკანასკნელი ხორციელდება წვეროზე ტანგენტური ვექტორების არსებობის გამო, ბოლოებში შემოიფარგლება მარკერებით მწვანე კვადრატების სახით და უწოდებენ ბეზიეს სახელურებს. Bezier-ის სახელურების გადაადგილებით შეგიძლიათ შეცვალოთ ის მიმართულება, რომლითაც სლაინის სეგმენტები შედიან და ტოვებენ წვეროს, ხოლო სახელურებიდან წვერომდე მანძილის შეცვლით შეგიძლიათ აკონტროლოთ სპლინის სეგმენტების გამრუდების ხარისხი. ამ ტიპის ვერტიკებს ერთმანეთთან Bezier სახელურები აქვთ დაკავშირებული და ერთი მათგანის გადაადგილება ავტომატურად იწვევს მეორეს მოძრაობას.
ბეზიეს კუთხე (კუთხოვანი ბეზიე) - წვერო, რომელსაც აქვს ტანგენტური ვექტორები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ აკონტროლოთ სეგმენტების გამრუდების ხარისხი, თუმცა, ბეზიეს კუთხის წვეროებისგან განსხვავებით, ტანგენტის ვექტორები ბეზიეს კუთხის წვეროებზე არ არის დაკავშირებული ერთმანეთთან და ერთის მოძრაობა. მარკერები არ არის დამოკიდებული მეორის მოძრაობაზე.

სეგმენტები ასევე განსხვავდება ტიპის მიხედვით: მრუდი (მრუდი) ან ხაზი (ხაზი). Curve ტიპის არჩევით, შეგიძლიათ მიიღოთ მრუდი სეგმენტები, თუ წვეროები გლუვია ან აქვთ ბეზიეს ტიპი, ხოლო კუთხის წვეროების შემთხვევაში, მრუდის ტიპის დაყენების შემთხვევაშიც კი, სეგმენტი დარჩება წრფივი. ხაზის ტიპის არჩევა იწვევს წვეროს ტიპის იგნორირებას, რის გამოც ამ ტიპის სეგმენტი ყოველთვის წრფივად გამოიყურება.

ინტერპოლაციის ზემოაღნიშნული განხილვა აჩვენებს, რომ გლუვი ფუნქციის მიახლოების სიზუსტის გაზრდა ინტერპოლაციის პოლინომის ხარისხის გაზრდით შესაძლებელია (იხ. თეორემა 11.8), მაგრამ დაკავშირებულია გამოთვლითი სირთულის მნიშვნელოვან ზრდასთან. გარდა ამისა, მაღალი ხარისხის მრავალწევრების გამოყენება მოითხოვს განსაკუთრებულ ზომებს მათი აღნიშვნის ფორმის არჩევისასაც კი, და გამოთვლებს თან ახლავს დამრგვალების შეცდომების დაგროვება.

ამიტომ, პრაქტიკაში სასურველია ცალმხრივი პოლინომიური ინტერპოლაცია დაბალი ხარისხის მრავალწევრების გამოყენებით. თუმცა, მიახლოების ამ მეთოდს აქვს ნაკლი: ორი მეზობელი მრავალწევრის „შეერთების“ წერტილებში წარმოებულს, როგორც წესი, აქვს უწყვეტობა (იხ. მაგალითი 11.12). ხშირად ეს გარემოება მნიშვნელოვან როლს არ თამაშობს. ამავდროულად, ხშირად საჭიროა, რომ მიახლოებითი ფუნქცია იყოს გლუვი, და შემდეგ უმარტივესი ცალმხრივი პოლინომალური ინტერპოლაცია მიუღებელი ხდება.

მიახლოებითი ფუნქციების ბუნებრივმა საჭიროებამ, რომელიც აერთიანებს დაბალი ხარისხის მრავალწევრის ლოკალურ სიმარტივეს და გლობალურ სიგლუვეს მთელ ინტერვალში, განაპირობა 1946 წელს ეგრეთ წოდებული სპლინის ფუნქციების ან სპლინების გამოჩენა - გლუვი ცალმხრივი პოლინომიური ფუნქციები, რომლებიც აგებულია სპეციალურად. . 60-იან წლებში მოიპოვეს პოპულარობა, როგორც რთული მოსახვევების ინტერპოლაციის საშუალება, სპლაინები ახლა გახდა სხვადასხვა გამოთვლითი მეთოდების მნიშვნელოვანი ნაწილი და იპოვეს ყველაზე ფართო გამოყენება სხვადასხვა სამეცნიერო, ტექნიკური და საინჟინრო პრობლემების გადასაჭრელად.

მოდით მივცეთ სპლინის მკაცრი განმარტება. დაე, სეგმენტი დაიყოს წერტილებით ნაწილობრივ სეგმენტებად. გრადუსიანი სლაინი არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები:

1) ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე მის ყველა წარმოებულთან ერთად გარკვეულ მიმდევრობამდე

2) თითოეულ ნაწილობრივ ინტერვალზე ფუნქცია ემთხვევა ხარისხის ზოგიერთ ალგებრულ პოლინომს

განსხვავებას სლაინის ხარისხსა და წარმოებული უწყვეტის უმაღლეს წესრიგს შორის სეგმენტზე ეწოდება სპლინის დეფექტი.

სპლინის უმარტივესი მაგალითი მოცემულია უწყვეტი ცალი წრფივი

ფუნქცია (ნახ. 11.8), რომელიც არის პირველი ხარისხის (წრფივი სლაინი) დეფექტი ერთის ტოლი დეფექტით. მართლაც, თავად ფუნქცია (ნულოვანი წარმოებული) არის უწყვეტი ინტერვალზე. ამავდროულად, თითოეულ ნაწილობრივ სეგმენტზე იგი ემთხვევა პირველი ხარისხის ზოგიერთ მრავალწევრს.

პრაქტიკაში ყველაზე ფართოდ გამოიყენება მესამე ხარისხის შტრიხები (კუბური შტრიხები) დეფექტით 1 ან 2-ის ტოლი. ასეთი შტრიხები თითოეულ ნაწილობრივ სეგმენტზე ემთხვევა კუბურ პოლინომს:

და ჰქონდეს მინიმუმ ერთი უწყვეტი წარმოებული ინტერვალზე

ტერმინი „სპლაინი“ მომდინარეობს ინგლისური სიტყვიდან (მოქნილი სახაზავი, ჯოხი) - მოწყობილობის სახელწოდება, რომელსაც იყენებენ შემქმნელები მოცემულ წერტილებში გლუვი მოსახვევების გამოსახაზავად. თუ კიდეზე დადებთ მოქნილ ფოლადის სახაზავს და მოხრისას დააფიქსირებთ მის პოზიციას კვანძოვან წერტილებთან (ნახ. 11.9), მიიღებთ კუბური სლაინის მექანიკურ ანალოგს. მართლაც, მასალების სიმტკიცის კურსიდან ცნობილია, რომ მმართველის პროფილის თავისუფალი წონასწორობის განტოლება ასეთია: მაშასადამე, ორ მიმდებარე კვანძს შორის ინტერვალში არის მესამე ხარისხის პოლინომი. ამავდროულად, სახაზავში ხრახნების არარსებობა მიუთითებს ფუნქციისა და გამრუდების გრაფიკზე ტანგენტის უწყვეტობაზე, ანუ წარმოებულებზე.

2. ინტერპოლაციის სლაინი.

დაე, ფუნქცია იყოს მოცემული მისი მნიშვნელობების ცხრილით, სლაინს ეწოდება ინტერპოლაცია, თუ ყველასთვის მნიშვნელობა ეწოდება სლაინის დახრილობას წერტილში.

გაითვალისწინეთ, რომ სეგმენტზე ინტერპოლაციური კუბური სპლინი ცალსახად განისაზღვრება მნიშვნელობების დაყენებით, ფაქტობრივად, შემდეგი ფორმულა გამომდინარეობს თანასწორობიდან (11.31):

კუბური შტრიხებით ინტერპოლაციის სხვადასხვა მეთოდი ერთმანეთისგან განსხვავდება ფერდობების არჩევით. განვიხილოთ ზოგიერთი მათგანი.

3. ლოკალური სპლინი.

თუ x წერტილებში ცნობილია წარმოებულის მნიშვნელობები, მაშინ ბუნებრივია ყველასთვის დაყენება შემდეგ, თითოეულ ნაწილობრივ სეგმენტზე, ფორმულის შესაბამისად (11.64), სლაინი ცალსახად განისაზღვრება მნიშვნელობებით ( რის გამოც მას ლოკალური სპლინი ეწოდება). გაითვალისწინეთ, რომ იგი ემთხვევა კუბურ ჰერმიტის ინტერპოლაციის მრავალწევრს (11.31) სეგმენტისთვის.

უტოლობა (11.33) იძლევა ლოკალური კუბური სლაინის ინტერპოლაციის შეცდომის შემდეგ შეფასებას:

სადაც აშახი არის ნაწილობრივი სეგმენტების სიგრძეების მაქსიმუმი.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გზით აგებული სპლაინისთვის მხოლოდ ფუნქცია და მისი პირველი წარმოებული 53 გარანტირებული იქნება უწყვეტი ინტერვალზე, ე.ი. მისი ნაკლი არის 2.

არსებობს კოეფიციენტების არჩევის სხვა გზებიც, რომლებიც მივყავართ ლოკალურ შტრიხებამდე (კუბური ბესელის პოლინომი, აკიმას მეთოდი და ა.შ.).

4. კუბური შტრიხების აგების გლობალური მეთოდები.

იმისთვის, რომ სპლაინს ჰქონდეს უწყვეტი მეორე წარმოებული სეგმენტზე, აუცილებელია აირჩიოს ფერდობები a, რათა x წერტილებში, მრავალწევრების "შეერთება", მათი მეორე წარმოებულების მნიშვნელობები ემთხვეოდეს:

ფორმულის გამოყენებით (11.64), ჩვენ ვიპოვით მნიშვნელობას

მსგავსი ფორმულიდან დაწერილი

ამრიგად, ტოლობები (11.66) იწვევს განტოლებათა შემდეგ სისტემას კოეფიციენტებთან მიმართებაში.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებათა ეს სისტემა განუსაზღვრელია, რადგან სისტემის განტოლებათა რაოდენობა (უდრის უცნობთა რაოდენობაზე ნაკლები (ტოლია) დანარჩენი ორი განტოლების არჩევანი ჩვეულებრივ ასოცირდება დამატებით პირობებთან, რომლებიც დაწესებულია სლაინზე სასაზღვრო წერტილები (სასაზღვრო პირობები) მოდით აღვნიშნოთ რამდენიმე ყველაზე ცნობილი სასაზღვრო პირობები.

1°. თუ პირველი წარმოებულის მნიშვნელობები ცნობილია სასაზღვრო წერტილებში, მაშინ ბუნებრივია დაყენება

სისტემის (11.69) შევსებისას განტოლებებით (11.70), მივდივართ ტრიდიაგონალური მატრიცის მქონე განტოლებათა სისტემამდე, რომელიც ადვილად ამოხსნილია სვიპის მეთოდით (იხ. თავი 5). მიღებულ შტრიხს ფუნდამენტური კუბური სპლინი ეწოდება.

2°. თუ მეორე წარმოებულის მნიშვნელობები ცნობილია სასაზღვრო წერტილებში, მაშინ სასაზღვრო პირობები შეიძლება დაწესდეს სლაინზე, რაც იწვევს შემდეგ განტოლებებს:

(საკმარისია თანასწორობაში (11.68) რომ მივიღოთ a თანასწორობაში

3°. განტოლებებში დაშვებული იქნება თუ არა ეს პირობები ინტერპოლირებული ფუნქციისთვის), მივდივართ განტოლებათა სისტემამდე, რომელიც განსაზღვრავს ე.წ.

4°. ხშირად არ არის დამატებითი ინფორმაცია სეგმენტის ბოლოებში წარმოებულების მნიშვნელობების შესახებ. ერთ-ერთი მიდგომა, რომელიც გამოიყენება ამ სიტუაციაში, არის "node" პირობის გამოყენება. ფერდობების არჩევა ხდება ისე, რომ მიღებული სლაინისთვის დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობები, ამისათვის საკმარისია მოითხოვოთ, რომ შესაბამისი მესამე წარმოებულები ემთხვეოდეს წერტილებს:

ეკვივალენტური ალგებრული განტოლებები ასე გამოიყურება:

იგივე მიახლოებითი ფუნქციის მიღება შესაძლებელია ოდნავ განსხვავებული გზით. მოდით შევამციროთ ნაწილობრივი სეგმენტების რაოდენობა სეგმენტების წყვილებში გაერთიანებით, რაც შეესაბამება სეგმენტის გაყოფას წერტილებით, სადაც და შესაბამისი ინტერპოლაციის სლაინი.

5°. თუ პერიოდული ფუნქცია o-ის ტოლი პერიოდით, სისტემას (11-69) უნდა დაემატოს პირობები