როგორ ამოხსნათ გეომეტრიული პროგრესია: აუცილებელი ფორმულები, მაგალითები ამონახსნებით. რას გამოიწვევს აშშ-ს სანქციები რუსული ენერგეტიკული კომპანიების წინააღმდეგ?

შეერთებული შტატების მიერ რუსეთის ენერგოსექტორის წინააღმდეგ დაწესებულმა სანქციებმა შეიძლება გამოიწვიოს კრიტიკული შედეგები - ევროპის ენერგეტიკული სისტემის დაშლამდე. ასე ამბობს რობერტი, ბრიტანული ნავთობისა და გაზის კომპანიის BP-ის ხელმძღვანელი.

„არა მგონია, რომ ეს მოხდეს. თუ თქვენ დააწესებთ სანქციებს როსნეფტზე, ან დააწესებთ სანქციებს, როგორიც არის Rusal-ის მიმართ, მაშინ თქვენ რეალურად გამორთავთ ევროპის ენერგეტიკულ სისტემებს და ეს უკვე ცოტა ზედმეტია. ”

- თქვა დადლიმ, ლონდონში Oil & Money 2018 კონფერენციაზე გამოსვლისას (ციტირებულია).

შეზღუდული იყო სასესხო და სააქციო კაპიტალის მიწოდება რუსეთიდან საწარმოებისთვის, აგრეთვე აღჭურვილობის მიწოდება თაროზე 150 მეტრზე მეტი სიღრმეზე ნავთობის მოპოვებისა და წარმოებისთვის და ფიქლის ქანების განვითარებისთვის.

2017 წლის აგვისტოში შეერთებულმა შტატებმა გამკაცრდა ფინანსური სანქციები, შემოიღო დამატებითი აკრძალვები საქონლისა და ტექნოლოგიების წარმოებისთვის მიწოდებაზე და ასევე დაკანონდა საექსპორტო მილსადენებზე შეზღუდვების დაწესების შესაძლებლობა. სანქციების გამო ასევე შეჩერდა თითქმის ყველა ერთობლივი პროექტი უცხოელებთან ოფშორული და ფიქლის ნავთობის განვითარების მიზნით.

ექსპერტებმა არაერთხელ აღნიშნეს, რომ მომავალში ამ შეზღუდვებმა შეიძლება გამოიწვიოს წარმოების დონის შემცირება რუსეთის ფედერაციაში, თუ ქვეყანა მეტ ყურადღებას არ მიაქცევს გეოლოგიურ კვლევას და საკუთარი ტექნოლოგიების განვითარებას.

ცხადია, თუ ნოემბერში მიიღება შეზღუდვების ყველაზე მკაცრი პაკეტი, ურთიერთქმედება შეიძლება გართულდეს, მაგრამ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ის გადავიდეს სრული გაჩერების კატეგორიაში.

ჟარსკი ფიქრობს.

მოლოდინები რომ განსხვავებული ყოფილიყო, მაშინ იგივე შემაშფოთებელი ამბების გამოსვლას დაიწყებდა მეორე დაინტერესებული მხარეც, მაგრამ ნავთობმწარმოებლები ასეთ პროგნოზებზე არ დრტვიან, ყურადღებას ამახვილებს ექსპერტი.

მკაცრი სანქციების დაწესება არა მხოლოდ რუსეთის პრობლემაა, არამედ თავის ტკივილია ჩვენი უცხოელი კოლეგებისთვის, რომელთა შორის არიან აშშ-ს უახლოესი მოკავშირეები, ეთანხმება BCS Premier-ის საინვესტიციო სტრატეგი.

ანალიტიკოსის აზრით, სანქციების გაძლიერების შემთხვევაში, შემაკავებელი ზომები შესაძლოა შერჩევითი ხასიათის იყოს და ნაკლებად სავარაუდოა, რომ მიმართული იყოს მთელ ინდუსტრიაზე.

რუსეთი იკავებს მსოფლიო ნავთობის ბაზრის 10%-ზე მეტს, ასეთი მთავარი მოთამაშის უეცარი წასვლა ნიშნავს ნავთობის სწრაფ ზრდას. ციტატებიპოტენციურად ეს არის დარტყმა არა მხოლოდ ევროპული, არამედ ნავთობის ყველა სხვა მომხმარებლისთვის.

ამრიგად, სექტემბერში რუსეთში ნავთობის მოპოვებამ შეადგინა 11,35 მილიონი ბარელი დღეში (b/d). ენერგეტიკის სამინისტროს საწვავი-ენერგეტიკული კომპლექსის CDU-ის მონაცემებით, 2018 წლის იანვარ-სექტემბერში რუსეთმა დსთ-ს არაწევრ ქვეყნებს 190,212 მლნ ტონა ნავთობი მიაწოდა.

რაც შეეხება გაზის ბაზარს, ევროკავშირის მდგომარეობა კიდევ უფრო სერიოზულია: რუსეთს უკავია ევროპაში გაზის მიწოდების დაახლოებით 34%. ამავე დროს, გასულ წელს გაზპრომმა დაახლოებით 195 მილიარდი კუბური მეტრი გაზი მიაწოდა დსთ-ს არაწევრ ქვეყნებს (ევროკავშირი პლუს თურქეთი). წელს, ექსპერტების და თავად მონოპოლისტის პროგნოზით, ეს მაჩვენებელი 200 მილიარდ კუბურ მეტრს გადააჭარბებს.

ძალიან რთულია ასეთი ტომების სწრაფად ჩანაცვლება. რომ აღარაფერი ვთქვათ იმაზე, რომ ეკონომიკურად რუსეთის ფედერაციის გაზი უფრო მომგებიანია ევროპის ქვეყნებისთვის, ვიდრე იგივე თხევადი ბუნებრივი აირი (LNG).

მანამდე მე ვატყობდი, რომ რუსეთის წინააღმდეგ სანქციების დაწესება შეუძლებელია ირანის ან ჩრდილოეთ კორეის მკაცრი სცენარის მიხედვით, ქვეყანა ძალიან ღრმად არის ინტეგრირებული მსოფლიო ეკონომიკაში. ნოემბერში ირანიდან ნავთობის მიწოდებაზე ემბარგო დაწესდება და ბაზარი დაახლოებით 1-2 მილიონ ბარელს დაკარგავს. მხოლოდ ამის მოლოდინმა მიიყვანა კვოტები 80-85 დოლარამდე ბარელ Brent-ზე.

თუმცა, ადმინისტრაცია არ განიხილავს რისკებს, რაც იწვევს სავაჭრო ომებს ევროკავშირთან და ჩინეთთან. აშშ-ის შინაგან საქმეთა მდივანმა რაიან ზინკემ ცოტა ხნის წინ განაცხადა, რომ აშშ-ს შეუძლია რუსეთის საზღვაო ბლოკადის დაწესება. ასე რომ, არც ერთი, თუნდაც ყველაზე წარმოუდგენელი სცენარის გამორიცხვა არ შეიძლება.

რიცხვთა ყველა თანმიმდევრობას შორის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილია გეომეტრიული პროგრესია, რომელიც განიხილება მე-9 კლასის ალგებრის კურსში. რა არის ეს და როგორ უნდა ამოხსნას გეომეტრიული პროგრესია - ამ კითხვებზე პასუხი გაცემულია ამ სტატიაში.

რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც ემორჩილება მათემატიკურ კანონს

ამ აბზაცის სათაური არის გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი განმარტება. კანონი, რომლითაც იგი აღწერილია, საკმაოდ მარტივია: ყოველი შემდეგი რიცხვი წინა რიცხვისგან განსხვავდება ერთი ფაქტორით, რომელსაც ეწოდება "მნიშვნელი". თქვენ შეგიძლიათ დანიშნოთ იგი ასო r-ით. შემდეგ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ტოლობა:

აქ an არის პროგრესიის წევრი n ნომრით.

თუ r 1-ზე მეტია, მაშინ პროგრესია გაიზრდება აბსოლუტური მნიშვნელობით (ის შეიძლება შემცირდეს, თუ მის პირველ წევრს აქვს უარყოფითი ნიშანი). თუ r ერთზე ნაკლებია, მაშინ მთელი პროგრესია მიისწრაფვის ნულისკენ ან ქვემოდან (a1<0), либо сверху (a1>0). უარყოფითი მნიშვნელის შემთხვევაში (რ<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

განხილული პროგრესირების ტიპის მაგალითი მოცემულია ქვემოთ:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

აქ პირველი წევრი არის 2 და მნიშვნელი არის 1.5.

მნიშვნელოვანი ფორმულები

როგორ ამოხსნათ გეომეტრიული პროგრესია მე-9 კლასში? ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ მისი განმარტება და გესმოდეთ რაზეა საუბარი, არამედ გახსოვდეთ ორი მნიშვნელოვანი ფორმულა. მათგან პირველი ნაჩვენებია ქვემოთ:

გამოთქმა საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ მიმდევრობის თვითნებური ელემენტი, მაგრამ ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ორი რიცხვი: მნიშვნელი და პირველი ელემენტი. ამ ფორმულის დამტკიცება მარტივია, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება: მეორე ელემენტი მიიღება პირველის მნიშვნელზე პირველ ხარისხზე გამრავლებით, მესამე ელემენტის პირველის მნიშვნელზე მეორეზე გამრავლებით. ხარისხი და ა.შ. ამ გამოთქმის სარგებლობა აშკარაა: არ არის საჭირო მთელი რიცხვების სერიის თანმიმდევრული აღდგენა, რათა გაიგოთ, რა მნიშვნელობას მიიღებს მისი n-ე ელემენტი.

შემდეგი ფორმულა ასევე სასარგებლოა პასუხის გასაცემად კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ გეომეტრიული პროგრესია. საუბარია მისი ელემენტების ჯამზე, პირველიდან დაწყებული n-ით დამთავრებული. შესაბამისი გამოთქმა მოცემულია ქვემოთ:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

ღირს ყურადღება მიაქციოთ მის თავისებურებას: როგორც n-ე ელემენტის პოვნის ფორმულაში, აქაც საკმარისია ერთი და იგივე ორი რიცხვის ცოდნა (a1 და r). ეს შედეგი გასაკვირი არ არის, რადგან პროგრესის თითოეული ტერმინი ასოცირდება მონიშნულ რიცხვებთან.

პროგრესირების აღდგენა

პირველ მაგალითს, თუ როგორ უნდა ამოხსნას გეომეტრიული პროგრესია, აქვს შემდეგი პირობა: ცნობილია, რომ ორი რიცხვი 10 და 20 ქმნიან განსახილველ პროგრესიას. ამ შემთხვევაში, რიცხვები სერიის მერვე და მეთხუთმეტე ელემენტია. აუცილებელია მთელი სერიის აღდგენა, იმის ცოდნა, რომ ის მცირდება.

პრობლემის ეს გარკვეულწილად დამაბნეველი მდგომარეობა გულდასმით უნდა გაანალიზდეს: ვინაიდან ვსაუბრობთ კლებად სერიაზე, რიცხვი 10 უნდა იყოს 15-ში, ხოლო 20 8-ში. ამოხსნის დაწყებისას დაწერეთ თითოეული რიცხვისთვის შესაბამისი ტოლობები:

a8 = a1*r7 და a15 = a1*r14.

თქვენ გაქვთ ორი ტოლობა ორი უცნობით. ამოხსენით ისინი პირველი a1-დან გამოხატვით და მეორეში ჩანაცვლებით. მიიღეთ:

a1 = a8*r-7 და a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

ახლა რჩება მდგომარეობიდან შესაბამისი მნიშვნელობების ჩანაცვლება და მეშვიდე ფესვის გამოთვლა. მიიღეთ:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) ≈ 0.9057.

მიღებული მნიშვნელის ჩანაცვლებით რომელიმე გამოსახულებით ცნობილი n-ე ელემენტისთვის, მიიღება a1:

a1 = a8*r-7 = 20*(0.9057)-7 ≈ 40.0073.

ამ გზით თქვენ იპოვით პირველ წევრს და მნიშვნელს, რაც ნიშნავს, რომ აღადგენთ მთელ პროგრესს. პირველი რამდენიმე წევრი:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

აღსანიშნავია, რომ გამოთვლების შესრულებისას გამოყენებული იყო დამრგვალება 4 ათწილადამდე.

სერიალის უცნობი წევრის პოვნა

ახლა ღირს კიდევ ერთი მაგალითის გათვალისწინება: ცნობილია, რომ სერიის მეშვიდე ელემენტია 27, რაც არის მეცამეტე წევრი, თუ მნიშვნელი r \u003d -2. როგორ ამოხსნათ გეომეტრიული პროგრესია ამ მონაცემების გამოყენებით? ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა დაწეროთ ფორმულა მე-7 ელემენტისთვის:

ვინაიდან მხოლოდ რიცხვი a1 არის უცნობი ამ ტოლობაში, გამოთქვით იგი:

გამოიყენეთ ბოლო განტოლება, შეცვალეთ იგი მე-13 წევრის ფორმულაში, რომლის პოვნაც გსურთ. მიიღეთ:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

რჩება რიცხვების ჩანაცვლება და პასუხის ჩაწერა:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

მიღებული რიცხვი გვიჩვენებს, თუ რამდენად სწრაფად იზრდება გეომეტრიული პროგრესია.

დავალება ჯამისთვის

ბოლო ამოცანა, რომელიც ავლენს კითხვას, თუ როგორ უნდა ამოხსნას გეომეტრიული პროგრესია, დაკავშირებულია რამდენიმე ელემენტის ჯამის პოვნასთან. მოდით a1 = 1.5, r = 2. თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამ სერიის წევრთა ჯამი, დაწყებული მე-5-დან და დამთავრებული მე-10-ით.

დასმულ კითხვაზე პასუხის მისაღებად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა:

S510 = S10 - S4.

ანუ, ჯერ უნდა იპოვოთ 10 ელემენტის ჯამი, შემდეგ პირველი 4-ის ჯამი და გამოაკლოთ ისინი ერთმანეთს. მითითებული ალგორითმის დაცვით, გამოვა:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1.5*(210-1)/(2-1) = 1534.5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1.5*(24-1)/(2-1) = 22.5;

S510 = 1534.5 - 22.5 = 1512.

აღსანიშნავია, რომ საბოლოო ფორმულაში ზუსტად 4 წევრის ჯამი გამოკლდა, ვინაიდან მეხუთე, პრობლემის პირობის მიხედვით, ჯამში უნდა მონაწილეობდეს.

2018 წლის 9 ოქტომბერი

გეომეტრიული პროგრესია არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო რიცხვითი სერია, რომელიც განიხილება სკოლის ალგებრის კურსში. ეს სტატია ეძღვნება აღნიშნული სერიის განსაკუთრებულ შემთხვევას: კლებადი უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიისა და მისი ტერმინების ჯამს.

რა რიცხვების სერიაზეა საუბარი?

გეომეტრიული პროგრესია არის რეალური რიცხვების ერთგანზომილებიანი თანმიმდევრობა, რომლებიც დაკავშირებულია ერთმანეთთან შემდეგი ურთიერთობით:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

ზემოთ მოყვანილი გამონათქვამების განზოგადებით, შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი თანასწორობა:

a n = a 1 *r n-1

როგორც ზემოთ მოყვანილი ჩანაწერებიდან ირკვევა, a n არის პროგრესიის ელემენტი n რიცხვით. პარამეტრს r, რომლითაც უნდა გამრავლდეს n-1 ელემენტი, რომ მივიღოთ n-ე ელემენტი, ეწოდება მნიშვნელი.

რა თვისებები აქვს აღწერილი თანმიმდევრობას? კითხვაზე პასუხი დამოკიდებულია r-ის მნიშვნელობასა და ნიშანზე. შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები:

მნიშვნელი r დადებითია და 1-ზე მეტი. ამ შემთხვევაში, პროგრესია ყოველთვის გაიზრდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, ხოლო მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობა ასევე შეიძლება შემცირდეს, თუ a 1 უარყოფითია.
მნიშვნელი r არის უარყოფითი და 1-ზე მეტი. ამ შემთხვევაში პროგრესიის ტერმინები გამოჩნდება ალტერნატიული ნიშნით (+ და -). ასეთი სერიები ნაკლებად პრაქტიკულ ინტერესს იწვევს.
r მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია. ამ სერიას კლებადი ეწოდება, r-ის ნიშნის მიუხედავად. სწორედ ეს პროგრესია დიდ პრაქტიკულ ინტერესს იწვევს და მასზე ამ სტატიაში იქნება საუბარი.

ჯამის ფორმულა

ჯერ მივიღოთ გამონათქვამი, რომელიც საშუალებას მოგვცემს გამოვთვალოთ მოცემული პროგრესიის ელემენტების თვითნებური რაოდენობის ჯამი. დავიწყოთ ამ პრობლემის უშუალოდ მოგვარება. Ჩვენ გვაქვს:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +...+a n

მოცემული ტოლობა შეიძლება გამოვიყენოთ, თუ საჭიროა შედეგის გამოთვლა მცირე რაოდენობის ტერმინებისთვის (3-4 წევრი), რომელთაგან თითოეული განისაზღვრება n-ე წევრის ფორმულით (იხ. წინა აბზაცი). თუმცა, თუ ტერმინები ბევრია, მაშინ შუბლზე დათვლა მოუხერხებელია და შეიძლება შეცდომა დაუშვათ, ამიტომ იყენებენ სპეციალურ ფორმულას.

ჩვენ გავამრავლებთ ზემოთ მოცემული ტოლობის ორივე ნაწილს r-ზე, მივიღებთ:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

ახლა ამ ორი გამონათქვამის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს წყვილებში გამოვაკლებთ, გვაქვს:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

S n ჯამის გამოსახატავად და a n+1 ტერმინის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ზოგადი ფორმულა რიცხვების სერიის განხილული ტიპის პირველი n პუნქტების ჯამისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულა მოქმედებს, თუ r≠1. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში არსებობს იდენტური რიცხვების მარტივი სერია, რომელთა ჯამი გამოითვლება ერთი რიცხვისა და მათი რიცხვის ნამრავლად.

Მსგავსი ვიდეოები

როგორ ვიპოვოთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად უნდა გავიხსენოთ, რომ სერია მცირდება, როდესაც |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი, რომლის მოდულიც 1-ზე ნაკლებია, მიდრეკილია ნულისკენ, როდესაც ამაღლებულია დიდ სიმძლავრემდე, ანუ r ∞ -> 0. თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს ფაქტი ნებისმიერ მაგალითზე:

r = -1/2, შემდეგ (-1/2)**10 ≈ 9.7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9.5*10 -7 და ასე შემდეგ.

ამ ფაქტის დადგენის შემდეგ, მივაქციოთ ყურადღება ჯამის გამოთქმას: n->∞-ისთვის გადაიწერება შემდეგნაირად:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

მიიღეს საინტერესო შედეგი: კლებადი გეომეტრიის უსასრულო პროგრესიის ჯამი მიისწრაფვის სასრულ რიცხვზე, რომელიც არ არის დამოკიდებული ტერმინების რაოდენობაზე. იგი განისაზღვრება მხოლოდ პირველი წევრით და მნიშვნელით. გაითვალისწინეთ, რომ ჯამის ნიშანი ცალსახად განისაზღვრება a 1-ის ნიშნით, ვინაიდან მნიშვნელი ყოველთვის დადებითი რიცხვია (1-r>0).

უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის კვადრატების ჯამი

პუნქტის სათაური განსაზღვრავს გადასაჭრელ პრობლემას. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ტექნიკას, რომელიც სრულიად მსგავსია S n-ის ზოგადი ფორმულის გამოსატანად. გვაქვს პირველი გამოთქმა:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე r 2-ზე, დაწერეთ მეორე გამონათქვამი:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

ახლა ჩვენ ვიპოვით განსხვავებას ამ ორ თანასწორობას შორის:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

გამოვხატავთ M n-ს და ვიყენებთ n-ე ელემენტის ფორმულას, ვიღებთ ტოლობას:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

წინა აბზაცში ნაჩვენები იყო, რომ r ∞ -> 0, შემდეგ საბოლოო ფორმულა მიიღებს ფორმას:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

ორი მიღებული თანხის შედარება

შევადაროთ ორი ფორმულა: უსასრულო ჯამისთვის და კვადრატების უსასრულო ჯამისთვის შემდეგი ამოცანის მაგალითის გამოყენებით: უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 2, ცნობილია, რომ საუბარია კლებად მიმდევრობაზე, რომლის მნიშვნელი არის 1. /3. აუცილებელია ამ რიცხვების სერიის კვადრატების უსასრულო ჯამის პოვნა.

გამოვიყენოთ ჯამის ფორმულა. გამოხატეთ 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

ჩვენ ამ გამოთქმას ვცვლით კვადრატების ჯამის ფორმულაში, გვაქვს:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

ჩვენ მივიღეთ სასურველი ფორმულა, ახლა შეგვიძლია შევცვალოთ მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემები:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ იგივე მნიშვნელობა კვადრატების უსასრულო ჯამისთვის, რაც მარტივი ჯამისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ ეს შედეგი მოქმედებს მხოლოდ ამ პრობლემისთვის. ზოგადად, M ∞ ≠ S ∞ .

მართკუთხედის ფართობის გამოთვლის ამოცანა

ყველა სტუდენტმა იცის ფორმულა S = a * b, რომელიც განსაზღვრავს მართკუთხედის ფართობს მისი გვერდების მიხედვით. ცოტამ თუ იცის, რომ ამ ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემა მარტივად შეიძლება გადაწყდეს უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის გამოყენებით. მოდით ვაჩვენოთ, როგორ კეთდება ეს.

მოდით გონებრივად გავყოთ ოთხკუთხედი შუაზე. ერთი ნახევრის ფართობი აღებულია როგორც ერთიანობა. ახლა მეორე ნახევარს ისევ შუაზე ვყოფთ. ვიღებთ ორ ნახევარს, რომელთაგან ერთს გავყოფთ შუაზე. ჩვენ გავაგრძელებთ ამ პროცედურას განუსაზღვრელი ვადით (იხ. სურათი ქვემოთ).

შედეგად, ჩვენ მიერ არჩეულ ერთეულებში მართკუთხედის ფართობი ტოლი იქნება:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

ჩანს, რომ ეს ტერმინები არის კლებადი სერიის ელემენტები, რომელშიც a 1 = 1 და r = 1/2. უსასრულო ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

ჩვენ მიერ არჩეულ შკალაში მართკუთხედის ნახევარი (ერთი ერთეული) შეესაბამება a*b/2 ფართობს. ეს ნიშნავს, რომ მთელი მართკუთხედის ფართობია:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

მიღებული შედეგი აშკარაა, მიუხედავად ამისა, მან აჩვენა, თუ როგორ შეიძლება გამოვიყენოთ კლებადი პროგრესია გეომეტრიის ამოცანების გადასაჭრელად.

გეომეტრიული პროგრესია არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო რიცხვითი სერია, რომელიც განიხილება სკოლის ალგებრის კურსში. ეს სტატია ეძღვნება აღნიშნული სერიის კონკრეტულ შემთხვევას: და მისი ტერმინების ჯამს.

რა რიცხვების სერიაზეა საუბარი?

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

a n = a 1 *r n-1

მნიშვნელი r დადებითია და 1-ზე მეტი. ამ შემთხვევაში, პროგრესია ყოველთვის გაიზრდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, ხოლო მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობა ასევე შეიძლება შემცირდეს, თუ a 1 უარყოფითია.
მნიშვნელი r არის უარყოფითი და 1-ზე მეტი. ამ შემთხვევაში პროგრესიის ტერმინები გამოჩნდება ალტერნატიული ნიშნით (+ და -). ასეთი სერიები ნაკლებად პრაქტიკულ ინტერესს იწვევს.
r მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია. ამ სერიას კლებადი ეწოდება, r-ის ნიშნის მიუხედავად. სწორედ ეს პროგრესია დიდ პრაქტიკულ ინტერესს იწვევს და მასზე ამ სტატიაში იქნება საუბარი.

ჯამის ფორმულა

S n = a 1 +a 2 +a 3 +...+a n

ჩვენ გავამრავლებთ ზემოთ მოცემული ტოლობის ორივე ნაწილს r-ზე, მივიღებთ:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

S n ჯამის გამოსახატავად და a n+1 ტერმინის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

როგორ ვიპოვოთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი?

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

r = -1/2, შემდეგ (-1/2)**10 ≈ 9.7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9.5*10 -7 და ასე შემდეგ.

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის კვადრატების ჯამი

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე r 2-ზე, დაწერეთ მეორე გამონათქვამი:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

ახლა ჩვენ ვიპოვით განსხვავებას ამ ორ თანასწორობას შორის:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

გამოვხატავთ M n-ს და ვიყენებთ n-ე ელემენტის ფორმულას, ვიღებთ ტოლობას:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

წინა აბზაცში ნაჩვენები იყო, რომ r ∞ -> 0, შემდეგ საბოლოო ფორმულა მიიღებს ფორმას:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

ორი მიღებული თანხის შედარება

გამოვიყენოთ ჯამის ფორმულა. გამოხატეთ 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

ჩვენ ამ გამოთქმას ვცვლით კვადრატების ჯამის ფორმულაში, გვაქვს:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

მართკუთხედის ფართობის გამოთვლის ამოცანა

შედეგად, ჩვენ მიერ არჩეულ ერთეულებში მართკუთხედის ფართობი ტოლი იქნება:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც ემორჩილება მათემატიკურ კანონს

ამ აბზაცის სათაური არის გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი განმარტება. კანონი, რომლითაც იგი აღწერილია, საკმაოდ მარტივია: ყოველი შემდეგი რიცხვი წინადან განსხვავდება ფაქტორით, რომელსაც „მნიშვნელი“ ეწოდება. თქვენ შეგიძლიათ დანიშნოთ იგი ასო r-ით. შემდეგ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ტოლობა:

აქ a n არის პროგრესიის წევრი n ნომრით.

თუ r 1-ზე მეტია, მაშინ პროგრესია გაიზრდება აბსოლუტური მნიშვნელობით (ის შეიძლება შემცირდეს, თუ მის პირველ წევრს აქვს უარყოფითი ნიშანი). თუ r ერთზე ნაკლებია, მაშინ მთელი პროგრესია მიისწრაფვის ნულისკენ ან ქვემოდან (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). უარყოფითი მნიშვნელის შემთხვევაში (რ<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

განხილული პროგრესირების ტიპის მაგალითი მოცემულია ქვემოთ:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

აქ პირველი წევრი არის 2 და მნიშვნელი არის 1.5.

მნიშვნელოვანი ფორმულები

გამოთქმა საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ მიმდევრობის თვითნებური ელემენტი, მაგრამ ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ორი რიცხვი: მნიშვნელი და პირველი ელემენტი. ამ ფორმულის დამტკიცება მარტივია, თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება: მეორე ელემენტი მიიღება პირველის მნიშვნელზე პირველ ხარისხზე გამრავლებით, მესამე ელემენტის პირველის მნიშვნელზე მეორეზე გამრავლებით. ხარისხი და ა.შ. ამ გამოთქმის სარგებლობა აშკარაა: არ არის საჭირო მთელი რიცხვების სერიის თანმიმდევრული აღდგენა, რათა გაიგოთ, რა მნიშვნელობას მიიღებს მისი n-ე ელემენტი.

S n \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1).

ღირს ყურადღება მიაქციოთ მის თავისებურებას: როგორც n-ე ელემენტის პოვნის ფორმულაში, აქაც საკმარისია იცოდეთ იგივე ორი რიცხვი (a 1 და r). ეს შედეგი გასაკვირი არ არის, რადგან პროგრესის თითოეული ტერმინი ასოცირდება მონიშნულ რიცხვებთან.

პროგრესირების აღდგენა

a 8 = a 1 *r 7 და a 15 = a 1 *r 14.

თქვენ გაქვთ ორი ტოლობა ორი უცნობით. ამოხსენით ისინი პირველიდან a 1-ის გამოხატვით და მეორეში ჩანაცვლებით. მიიღეთ:

a 1 = a 8 *r -7 და a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r= 7 √ (a 15 / a 8).

r \u003d 7 √ (a 15 / a 8) \u003d 7 √ (10 / 20) ≈ 0.9057.

მიღებული მნიშვნელის ჩანაცვლებით რომელიმე გამონათქვამში ცნობილი n-ე ელემენტისთვის, მივიღებთ 1-ს:

a 1 \u003d a 8 * r -7 \u003d 20 * (0.9057) -7 ≈ 40.0073.

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

სერიალის უცნობი წევრის პოვნა

ვინაიდან ამ ტოლობაში უცნობია მხოლოდ რიცხვი a 1, გამოთქვით იგი:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6.

რჩება რიცხვების ჩანაცვლება და პასუხის ჩაწერა:

a 13 \u003d a 7 * r 6 \u003d 27 * (-2) 6 \u003d 1728.

დავალება ჯამისთვის

ბოლო ამოცანა, რომელიც ავლენს კითხვას, თუ როგორ უნდა ამოხსნას გეომეტრიული პროგრესია, დაკავშირებულია რამდენიმე ელემენტის ჯამის პოვნასთან. მოდით 1 \u003d 1.5, r \u003d 2. ამ სერიის ტერმინების ჯამი უნდა გამოითვალოს, დაწყებული მე-5-დან და დამთავრებული მე-10-ით.

დასმულ კითხვაზე პასუხის მისაღებად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა:

S 10 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1.5 * (2 10 -1) / (2-1) \u003d 1534.5;
S 4 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1.5 * (2 4 -1) / (2-1) \u003d 22.5;
S 5 10 \u003d 1534.5 - 22.5 \u003d 1512.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც ემორჩილება მათემატიკურ კანონს

მნიშვნელოვანი ფორმულები

პროგრესირების აღდგენა

სერიალის უცნობი წევრის პოვნა

დავალება ჯამისთვის

რა რიცხვების სერიაზეა საუბარი?

ჯამის ფორმულა

Მსგავსი ვიდეოები

როგორ ვიპოვოთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი?

უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის კვადრატების ჯამი

ორი მიღებული თანხის შედარება

მართკუთხედის ფართობის გამოთვლის ამოცანა

რა რიცხვების სერიაზეა საუბარი?

ჯამის ფორმულა

როგორ ვიპოვოთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი?

უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის კვადრატების ჯამი

ორი მიღებული თანხის შედარება

მართკუთხედის ფართობის გამოთვლის ამოცანა

რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც ემორჩილება მათემატიკურ კანონს

მნიშვნელოვანი ფორმულები

პროგრესირების აღდგენა

სერიალის უცნობი წევრის პოვნა

დავალება ჯამისთვის

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ