ხარისხი რაციონალური ინდიკატორით,

დენის ფუნქცია IV

§ 79. ნაწარმოებიდან ფესვების ამოღება და კოეფიციენტი

თეორემა 1.ფესვი პ დადებითი რიცხვების ნამრავლის ტოლია ფესვების ნამრავლის პ - ფაქტორების ხარისხი, ანუ როდის ა > 0, ბ > 0 და ბუნებრივი პ

ნ √აბ = ნ √ა ნ √ბ . (1)

მტკიცებულება.შეგახსენებთ, რომ ფესვი პ დადებითი რიცხვის ხარისხში აბ არის დადებითი რიცხვი პ -რომლის ხარისხი უდრის აბ . მაშასადამე, თანასწორობის (1) დადასტურება იგივეა, რაც თანასწორობის დამტკიცება

(ნ √ა ნ √ბ ) ნ = აბ .

პროდუქტის ხარისხის თვისებით

(ნ √ა ნ √ბ ) ნ = (ნ √ა ) ნ (ნ √ბ ) ნ =.

მაგრამ ფესვის განმარტებით პ ხარისხი ( ნ √ა ) ნ = ა , (ნ √ბ ) ნ = ბ .

Ისე ( ნ √ა ნ √ბ ) ნ = აბ . თეორემა დადასტურდა.

მოთხოვნა ა > 0, ბ > 0 აუცილებელია მხოლოდ ლუწისთვის პ , რადგან უარყოფითი ა და ბ და კიდევ პ ფესვები ნ √ა და ნ √ბ არ არის განსაზღვრული. თუ პ კენტი, მაშინ ფორმულა (1) მოქმედებს ნებისმიერისთვის ა და ბ (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი).

მაგალითები: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

ფორმულა (1) სასარგებლოა ფესვების გამოთვლისას, როდესაც ძირეული გამოხატულება წარმოდგენილია ზუსტი კვადრატების ნამრავლის სახით. Მაგალითად,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა 1 იმ შემთხვევისთვის, როდესაც (1) ფორმულის მარცხენა მხარეს რადიკალური ნიშანი არის ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი. სინამდვილეში, ეს თეორემა მართალია ნებისმიერი რაოდენობის დადებითი ფაქტორებისთვის, ანუ ნებისმიერი ბუნებრივისთვის კ > 2:

შედეგი.ამ იდენტობის წაკითხვისას მარჯვნიდან მარცხნივ, მივიღებთ შემდეგ წესს ფესვების გამრავლებისთვის იმავე მაჩვენებლებით;

ფესვების ერთიდაიგივე მაჩვენებლებით გასამრავლებლად საკმარისია ძირეული გამონათქვამები გავამრავლოთ და ფესვის მაჩვენებელი იგივე დარჩეს.

მაგალითად, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

თეორემა 2. ფესვი პწილადის მე-თე ხარისხი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი დადებითი რიცხვებია, ტოლია იმავე ხარისხის ფესვის მრიცხველიდან იმავე ხარისხის ფესვზე მნიშვნელის ფესვზე გაყოფის კოეფიციენტის., ანუ როდის ა > 0 და ბ > 0

(2)

თანასწორობის დამტკიცება (2) ნიშნავს იმის ჩვენებას

წილადის ხარისხზე აყვანისა და ფესვის განსაზღვრის წესის მიხედვით ნ ხარისხი გვაქვს:

ამრიგად, თეორემა დადასტურებულია.

მოთხოვნა ა > 0 და ბ > 0 აუცილებელია მხოლოდ ლუწისთვის პ . თუ პ კენტი, მაშინ ფორმულა (2) ასევე მართალია უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის ა და ბ .

შედეგი.იდენტურობის კითხვა მარჯვნიდან მარცხნივ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წესს ფესვების გაყოფისთვის იმავე მაჩვენებლებით:

ფესვების ერთნაირი მაჩვენებლებით გასაყოფად საკმარისია ძირეული გამონათქვამები გავყოთ და ფესვის მაჩვენებლები იგივე დარჩეს.

Მაგალითად,

Სავარჯიშოები

554. სად 1 თეორემას დამტკიცებაში გამოვიყენეთ ის ფაქტი, რომ ა და ბ დადებითი?

რატომ უცნაურად პ ფორმულა (1) ასევე მართალია უარყოფითი რიცხვებისთვის ა და ბ ?

რა ღირებულებებზე X თანასწორობის მონაცემები სწორია (No. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. გამოთვალეთ:

ა) √ 173 2 - 52 2; in) √ 200 2 - 56 2 ;

ბ) √ 3732 - 2522; გ) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა არის 205 სმ, ხოლო ერთი ფეხი 84 სმ, იპოვეთ მეორე ფეხი.

563. რამდენჯერ:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - ნებისმიერი ნომერი. 558. X > 0. 559. X > ა . 560. X - ნებისმიერი ნომერი. 563. ა) სამჯერ.

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ არითმეტიკულ კვადრატულ ფესვებს.

პირდაპირი რადიკალური გამოხატვის შემთხვევაში ვივარაუდებთ, რომ ძირის ნიშნის ქვეშ მოცემული ასოები აღნიშნავენ არაუარყოფით რიცხვებს.

1. ნაწარმოების ძირი.

განვიხილოთ ასეთი მაგალითი.

მეორეს მხრივ, გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი 2601 არის ორი ფაქტორის პროდუქტი, საიდანაც ფესვი ადვილად ამოღებულია:

აიღეთ თითოეული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გაამრავლეთ ეს ფესვები:

იგივე შედეგი მივიღეთ, როცა ძირის ქვეშ მყოფი პროდუქტიდან ავიღეთ ფესვი და როცა თითოეული ფაქტორიდან ცალ-ცალკე ავიღეთ ფესვი და გავამრავლეთ შედეგები.

ხშირ შემთხვევაში, შედეგის პოვნის მეორე გზა უფრო ადვილია, რადგან თქვენ უნდა აიღოთ უფრო მცირე რიცხვების ფესვი.

თეორემა 1. ნამრავლის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, შეგიძლიათ ამოიღოთ იგი თითოეული ფაქტორიდან ცალ-ცალკე და გაამრავლოთ შედეგები.

ჩვენ დავამტკიცებთ თეორემას სამი ფაქტორისთვის, ანუ დავამტკიცებთ ტოლობის მართებულობას:

ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას პირდაპირი გადამოწმებით, არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრის საფუძველზე. ვთქვათ, უნდა დავამტკიცოთ თანასწორობა:

(A და B არაუარყოფითი რიცხვებია). კვადრატული ფესვის განმარტებით, ეს ნიშნავს იმას

მაშასადამე, საკმარისია დამტკიცებული ტოლობის მარჯვენა მხარის კვადრატი და დარწმუნდით, რომ მარცხენა მხარის ძირეული გამოხატულება მიღებულია.

გამოვიყენოთ ეს მსჯელობა თანასწორობის მტკიცებულებაზე (1). მოდი, მარჯვენა მხარე გავასწოროთ; მაგრამ ნამრავლი არის მარჯვენა მხარეს და იმისთვის, რომ ნამრავლის კვადრატში გამოვყოთ, საკმარისია თითოეული ფაქტორის კვადრატი და შედეგების გამრავლება (იხ. § 40);

რადიკალური გამომეტყველება გამოვიდა, მარცხენა მხარეს იდგა. აქედან გამომდინარე, თანასწორობა (1) მართალია.

ჩვენ დავამტკიცეთ სამი ფაქტორის თეორემა. მაგრამ მსჯელობა იგივე დარჩება, თუ ფესვის ქვეშ არის 4 და ასე შემდეგ ფაქტორი. თეორემა მართალია ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებისთვის.

შედეგი ადვილად ხვდება პერორალურად.

2. წილადის ფესვი.

გამოთვლა

ექსპერტიზა.

Მეორეს მხრივ,

დავამტკიცოთ თეორემა.

თეორემა 2. წილადის ფესვის ამოსაღებად შეგიძლიათ ამოიღოთ ფესვი მრიცხველისა და მნიშვნელისგან განცალკევებით და პირველი შედეგი გაყოთ მეორეზე.

თანასწორობის მართებულობის დასადასტურებლად საჭიროა:

დასამტკიცებლად ვიყენებთ მეთოდს, რომლითაც დადასტურდა წინა თეორემა.

მოდით კვადრატში მარჯვენა მხარე. Მექნება:

ჩვენ მივიღეთ რადიკალური გამოხატულება მარცხენა მხარეს. აქედან გამომდინარე, თანასწორობა (2) მართალია.

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი ვინაობა:

და ჩამოაყალიბა ნაწარმოებიდან და კოეფიციენტიდან კვადრატული ფესვის ამოღების შესაბამისი წესები. ზოგჯერ ტრანსფორმაციების შესრულებისას აუცილებელია ამ იდენტობების გამოყენება, მათი წაკითხვა "მარჯვნიდან მარცხნივ".

მარცხენა და მარჯვენა მხარეების გადალაგებით, ჩვენ ხელახლა ვწერთ დადასტურებულ იდენტობებს შემდეგნაირად:

ფესვების გასამრავლებლად შეგიძლიათ გაამრავლოთ რადიკალური გამონათქვამები და ამოიღოთ ფესვი პროდუქტიდან.

ფესვების გამოსაყოფად, შეგიძლიათ გაყოთ რადიკალური გამონათქვამები და ამოიღოთ ფესვი კოეფიციენტიდან.

3. ხარისხის ფესვი.

გამოთვლა

ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ მთავარს ფესვის თვისებები. დავიწყოთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებებით, მივცეთ მათი ფორმულირებები და მოვიყვანოთ მტკიცებულებები. ამის შემდეგ შევეხებით n ხარისხის არითმეტიკული ფესვის თვისებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

კვადრატული ფესვის თვისებები

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ შემდეგ ძირითადს არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებები:

თითოეულ წერილობით თანასწორობაში, მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები შეიძლება შეიცვალოს, მაგალითად, თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც . ამ "უკუ" ფორმაში არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებები გამოიყენება, როდესაც გამოთქმების გამარტივებაისევე ხშირად, როგორც „პირდაპირი“ ფორმით.

პირველი ორი თვისების დადასტურება ეფუძნება არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განსაზღვრას და . და არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ბოლო თვისების დასასაბუთებლად, უნდა გახსოვდეთ.

ასე რომ დავიწყოთ ორი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისების დადასტურება: . ამისათვის, არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განსაზღვრის მიხედვით, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის a-ს. Მოდი გავაკეთოთ ეს. გამოხატვის მნიშვნელობა არის არაუარყოფითი, როგორც არაუარყოფითი რიცხვების ნამრავლი. ორი რიცხვის ნამრავლის ხარისხის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა , და ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტებით და , მაშინ .

ანალოგიურად, დადასტურდა, რომ k არაუარყოფითი ფაქტორების ნამრავლის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი a 1, a 2, …, a k უდრის ამ ფაქტორების არითმეტიკული კვადრატული ფესვების ნამრავლს. ნამდვილად,. ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ .

აი რამდენიმე მაგალითი: და .

ახლა დავამტკიცოთ კოეფიციენტის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისება: . ბუნებრივი სიმძლავრის კოეფიციენტის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა , ა , მაშინ როცა არის არაუარყოფითი რიცხვი. ეს არის მტკიცებულება.

მაგალითად და .

დაშლის დროა რიცხვის კვადრატის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისება, თანასწორობის სახით იწერება როგორც . ამის დასამტკიცებლად განიხილეთ ორი შემთხვევა: a≥0-სთვის და a-სთვის<0 .

აშკარაა, რომ a≥0-სთვის ტოლობა მართალია. ასევე ადვილი დასანახია, რომ ა<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 და (−a) 2 =a 2 . ამრიგად, , რაც დასამტკიცებელი იყო.

Აი ზოგიერთი მაგალითი: და .

ახლახან დადასტურებული კვადრატული ფესვის თვისება საშუალებას გვაძლევს გავამართლოთ შემდეგი შედეგი, სადაც a არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, ხოლო m არის ნებისმიერი. მართლაც, სიძლიერის თვისება გვაძლევს საშუალებას შევცვალოთ a 2 m ხარისხი გამოსახულებით (a m) 2, შემდეგ .

Მაგალითად, და .

n-ე ფესვის თვისებები

ჯერ ჩამოვთვალოთ მთავარი n-ე ფესვების თვისებები:

ყველა წერილობითი თანასწორობა ძალაში რჩება, თუ მათში შეცვლილია მარცხენა და მარჯვენა მხარეები. ამ ფორმით, ისინი ასევე ხშირად გამოიყენება, ძირითადად გამონათქვამების გამარტივებისა და გარდაქმნისას.

ფესვის ყველა გახმოვანებული თვისების დადასტურება ეფუძნება n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრას, ხარისხის თვისებებსა და რიცხვის მოდულის განსაზღვრას. მოდით დავამტკიცოთ ისინი პრიორიტეტის მიხედვით.

დავიწყოთ მტკიცებულებით პროდუქტის n-ე ფესვის თვისებები . არაუარყოფითი a და b-სთვის, გამოხატვის მნიშვნელობა ასევე არის არაუარყოფითი, ისევე როგორც არაუარყოფითი რიცხვების ნამრავლი. ბუნებრივი ძალების პროდუქტის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ თანასწორობა . n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის განმარტებით და, შესაბამისად, . ეს ადასტურებს ფესვის განხილულ თვისებას.

ეს თვისება ანალოგიურად დადასტურებულია k ფაქტორების ნამრავლისთვის: არაუარყოფითი რიცხვებისთვის a 1 , a 2 , ..., a n და .

აქ მოცემულია პროდუქტის n-ე ხარისხის ფესვის თვისების გამოყენების მაგალითები: და .

დავამტკიცოთ კოეფიციენტის ძირეული თვისება. a≥0 და b>0-ისთვის პირობა დაკმაყოფილებულია და .

მოდით ვაჩვენოთ მაგალითები: და .

ჩვენ გადავდივართ. დავამტკიცოთ რიცხვის n-ე ფესვის თვისება n-ის ხარისხზე. ანუ ჩვენ ამას დავამტკიცებთ ნებისმიერი რეალური და ბუნებრივი მ. a≥0-სთვის გვაქვს და, რომელიც ადასტურებს თანასწორობას და თანასწორობას აშკარად. Თვის<0 имеем и (ბოლო გარდამავალი ძალაშია ძალაუფლების თვისების გამო ლუწი მაჩვენებლით), რაც ადასტურებს თანასწორობას და მართალია იმის გამო, რომ კენტი ხარისხის ფესვზე საუბრისას ავიღეთ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვისთვის c .

აქ მოცემულია გაანალიზებული root თვისების გამოყენების მაგალითები: და .

ჩვენ ვაგრძელებთ ფესვის თვისების დადასტურებას ძირიდან. მოდით გავცვალოთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები, ანუ დავამტკიცოთ ტოლობის მართებულობა, რაც ნიშნავს ორიგინალური ტოლობის მართებულობას. არაუარყოფითი რიცხვისთვის a, ფორმის კვადრატული ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი. ძალაუფლების ძლიერებამდე აყვანის თვისების დამახსოვრებისა და ფესვის განმარტების გამოყენებით, შეგვიძლია დავწეროთ ფორმის თანასწორობის ჯაჭვი. . ეს ადასტურებს ფესვის განხილულ თვისებას ფესვიდან.

ანალოგიურად მტკიცდება ფესვიდან ფესვიდან ფესვის თვისება და ა.შ. მართლაც, .

Მაგალითად, და .

მოდით დავამტკიცოთ შემდეგი ფესვის მაჩვენებლის შემცირების თვისება. ამისათვის, ფესვის განსაზღვრის ძალით, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ არსებობს არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც n m-ის ხარისხზე აყვანისას უდრის m-ს. Მოდი გავაკეთოთ ეს. გასაგებია, რომ თუ რიცხვი a არაუარყოფითია, მაშინ a რიცხვის n-ე ფესვი არაუარყოფითი რიცხვია. სადაც , რომელიც ასრულებს მტკიცებულებას.

აქ არის გაანალიზებული root თვისების გამოყენების მაგალითი: .

დავამტკიცოთ შემდეგი თვისება, ფორმის ხარისხის ფესვის თვისება . აშკარაა, რომ a≥0-სთვის ხარისხი არის არაუარყოფითი რიცხვი. უფრო მეტიც, მისი n-ე ხარისხი უდრის a m-ს, მართლაც, . ეს ადასტურებს ხარისხის განხილულ თვისებას.

Მაგალითად, .

მოდით გადავიდეთ. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b, რომლებისთვისაც არის პირობა a , ანუ a≥b . და ეს ეწინააღმდეგება პირობას ა

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ სწორ უტოლობას .

დაბოლოს, რჩება n-ე ფესვის ბოლო თვისების დამტკიცება. ჯერ დავამტკიცოთ ამ თვისების პირველი ნაწილი, ანუ დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0-ისთვის . შემდეგ, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გამო, უტოლობა , ანუ a n ≤ a m . და შედეგად მიღებული უტოლობა m>n და 0-ისთვის

ანალოგიურად, წინააღმდეგობით, მტკიცდება, რომ m>n და a>1-ისთვის პირობა დაკმაყოფილებულია.

მოვიყვანოთ ფესვის დადასტურებული თვისების გამოყენების მაგალითები კონკრეტულ რიცხვებში. მაგალითად, უტოლობები და მართალია.

ბიბლიოგრაფია.

• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

ინფორმაცია თემაზე:შემოიტანეთ კვადრატული ფესვის თეორემა წილადებისთვის. მოსწავლეთა მიერ მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია თემებზე: ,,კვადრატული ფესვი არითმეტიკული”, ,,ხარისხის კვადრატული ფესვი”, ,,პროდუქტის კვადრატული ფესვი”. სწრაფი დათვლის უნარის გაძლიერება.

აქტივობა-კომუნიკაცია:მოსწავლეებში ლოგიკური აზროვნების, სწორი და კომპეტენტური მეტყველების, სწრაფი რეაგირების უნარების განვითარება და ჩამოყალიბება.

ღირებულებაზე ორიენტირებული:აღძრავს მოსწავლეებში ამ თემისა და ამ საგნის შესწავლის ინტერესს. მიღებული ცოდნის პრაქტიკულ საქმიანობაში და სხვა საგნებში გამოყენების უნარი.

1. გაიმეორეთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტება.

2. გაიმეორეთ კვადრატული ფესვის თეორემა გრადუსიდან.

3. გაიმეორეთ კვადრატული ფესვის თეორემა ნაწარმოებიდან.

4. ზეპირი დათვლის უნარის განვითარება.

5. მოამზადეთ მოსწავლეები თემის „წილადის კვადრატული ფესვი“ შესასწავლად და გეომეტრიის მასალის დასაუფლებლად.

6. მოუყევით არითმეტიკული ძირის წარმოშობის ისტორიის შესახებ.

დიდაქტიკური მასალა და აღჭურვილობა: დიდაქტიკური გაკვეთილის რუკა (დანართი 1), დაფა, ცარცი, ბარათები ინდივიდუალური დავალებისთვის (მოსწავლეთა ინდივიდუალური შესაძლებლობების გათვალისწინებით), ბარათები ზეპირი დათვლისთვის, ბარათები დამოუკიდებელი სამუშაოსთვის.

გაკვეთილების დროს:

1. საორგანიზაციო მომენტი: ჩამოწერეთ გაკვეთილის თემა, გაკვეთილის მიზნისა და ამოცანების დასახვა (მოსწავლეებისთვის).

გაკვეთილის თემა: წილადის კვადრატული ფესვი.

გაკვეთილის მიზანი: დღეს გაკვეთილზე გავიმეორებთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტებას, თეორემას ხარისხის კვადრატულ ფესვზე და ნამრავლის კვადრატულ ფესვზე. და მოდით გავეცნოთ თეორემას წილადის კვადრატულ ფესვზე.

გაკვეთილის მიზნები:

1) გონებრივი დათვლის დახმარებით გაიმეორეთ კვადრატული ფესვისა და თეორემების განმარტებები ხარისხისა და პროდუქტის კვადრატულ ფესვზე;

2) ზეპირი დათვლის დროს ზოგიერთი ბიჭი ასრულებს დავალებებს ბარათებზე;

3) ახალი მასალის ახსნა;

4) ისტორიული ცნობა;

5) დამოუკიდებელი სამუშაოს ამოცანების შესრულება (ტესტის სახით).

2. ფრონტალური გამოკვლევა:

1) სიტყვიერი დათვლა:აიღეთ შემდეგი გამონათქვამების კვადრატული ფესვი:

ა) კვადრატული ფესვის განმარტების გამოყენებით გამოთვალეთ:;;; ;

ბ) ცხრილის მნიშვნელობები: ; ;;;;; ;

გ) პროდუქტის კვადრატული ფესვი ;;;;

დ) გრადუსის კვადრატული ფესვი;;;;; ;

ე) ფრჩხილებიდან ამოიღეთ საერთო ფაქტორი:;; ;.

2) ინდივიდუალური სამუშაო ბარათებზე:დანართი 2.

3. შეამოწმეთ D/Z:

4. ახალი მასალის ახსნა:

მოსწავლეებისთვის დაფაზე დაწერეთ დავალება ოფციების მიხედვით „გამოთვალეთ წილადის კვადრატული ფესვი“:

ვარიანტი 1: =

ვარიანტი 2: =

თუ ბიჭებმა დაასრულეს პირველი დავალება: ჰკითხეთ, როგორ გააკეთეს ეს?

ვარიანტი 1: წარმოდგენილია კვადრატის სახით და მიღებული. გააკეთე დასკვნა.

ვარიანტი 2: წარმოადგინა მრიცხველი და მნიშვნელი ხარისხის განმარტების გამოყენებით ფორმაში და მიიღო.

მოიყვანეთ მეტი მაგალითი, მაგალითად, გამოთვალეთ წილადის კვადრატული ფესვი; ; .

დახატეთ ანალოგია პირდაპირი ფორმით:

შეიყვანეთ თეორემა.

თეორემა. თუ a მეტია ან ტოლია 0-ზე, c მეტია 0-ზე, მაშინ a/b წილადის ფესვი ტოლია იმ წილადისა, რომლის მრიცხველში არის a-ს ფესვი და მნიშვნელი არის b-ის ფესვი, ე.ი. წილადის ფესვი უდრის მრიცხველის ფესვს გაყოფილი მნიშვნელის ფესვზე.

დავამტკიცოთ, რომ 1) a-ს ფესვი გაყოფილი c-ის ფესვზე მეტია ან ტოლია 0-ის

მტკიცებულება. 1) იმიტომ a-ს ფესვი მეტია ან ტოლია 0-ზე და c-ის ფესვი მეტია 0-ზე, მაშინ a-ის ფესვი გაყოფილი c-ის ფესვზე მეტია ან ტოლია 0-ზე.

2)

5. ახალი მასალის კონსოლიდაცია: შ.ა.ალიმოვის სახელმძღვანელოდან: No362 (1.3); No363 (2.3); No364 (2.4); №365 (2.3)

6. ისტორიული ცნობა.

არითმეტიკული ფესვი მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან radix - ფესვი, radicalis - ფესვი

მე-13 საუკუნიდან მოყოლებული, იტალიელი და სხვა ევროპელი მათემატიკოსები აღნიშნავდნენ ფესვს ლათინური სიტყვით radix (შემოკლებით r). 1525 წელს ჰ. რუდოლფის წიგნში „სწრაფი და ლამაზი დათვლა ალგებრის ოსტატური წესების დახმარებით, ჩვეულებრივ სახელწოდებით Koss“, გამოჩნდა კვადრატული ფესვის აღნიშვნა V; კუბის ფესვი აღინიშნა VVV. 1626 წელს ჰოლანდიელმა მათემატიკოსმა ა.ჟირარმა შემოიღო აღნიშვნები V, VV, VVV და ა.შ., რომლებიც მალევე ჩაანაცვლა r ნიშნით, ხოლო რადიკალური გამოხატვის ზემოთ ჰორიზონტალური ხაზი დაიდო. ფესვის თანამედროვე აღნიშვნა პირველად გამოჩნდა რენე დეკარტის წიგნში გეომეტრია, რომელიც გამოქვეყნდა 1637 წელს.

8. საშინაო დავალება: No362 (2.4); No363 (1.4); No364 (1.3); №365 (1.4)

a-ს კვადრატული ფესვი არის რიცხვი, რომლის კვადრატი არის a. მაგალითად, რიცხვები -5 და 5 არის 25 რიცხვის კვადრატული ფესვები. ანუ x^2=25 განტოლების ფესვები არის 25 რიცხვის კვადრატული ფესვები. ახლა თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ კვადრატული ფესვის მოქმედება: შეისწავლეთ მისი ძირითადი თვისებები.

პროდუქტის კვადრატული ფესვი

√(a*b)=√a*√b

ორი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლის კვადრატული ფესვი უდრის ამ რიცხვების კვადრატული ფესვების ნამრავლს. მაგალითად, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ეს თვისება ასევე ეხება იმ შემთხვევებს, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არის სამი, ოთხი და ა.შ. არაუარყოფითი მულტიპლიკატორები.

ზოგჯერ არსებობს ამ ქონების სხვა ფორმულირება. თუ a და b არაუარყოფითი რიცხვებია, მაშინ მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: √(a*b) =√a*√b. მათ შორის აბსოლუტურად არანაირი განსხვავება არ არის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი ან მეორე ფორმულირება (რომლის დასამახსოვრებლად უფრო მოსახერხებელია).

წილადის კვადრატული ფესვი

თუ a>=0 და b>0, მაშინ შემდეგი ტოლობა მართალია:

√(a/b)=√a/√b.

მაგალითად, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

ამ თვისებას ასევე აქვს განსხვავებული ფორმულირება, ჩემი აზრით, უფრო მოსახერხებელი დასამახსოვრებლად.
კოეფიციენტის კვადრატული ფესვი ფესვების კოეფიციენტის ტოლია.

აღსანიშნავია, რომ ეს ფორმულები მუშაობს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ. ანუ, საჭიროების შემთხვევაში, შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ფესვების პროდუქტი პროდუქტის ფესვად. იგივე ეხება მეორე ქონებას.

როგორც ხედავთ, ეს თვისებები ძალიან მოსახერხებელია და მსურს იგივე თვისებები მქონდეს შეკრებისა და გამოკლებისთვის:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

მაგრამ, სამწუხაროდ, ასეთი თვისებები კვადრატულია ფესვები არ აქვს, ამიტომაც არ შეიძლება გაკეთდეს გამოთვლებში..