გაკვეთილის მიზნები:

დიდაქტიკური:

• დონე 1 - ასწავლეთ როგორ ამოხსნათ უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობა, ლოგარითმის განმარტების, ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით;
• დონე 2 - ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა, ამოხსნის საკუთარი მეთოდის არჩევა;
• დონე 3 - შეძლოს ცოდნისა და უნარების გამოყენება არასტანდარტულ სიტუაციებში.

განვითარება:განუვითარდეთ მეხსიერება, ყურადღება, ლოგიკური აზროვნება, შედარების უნარები, შეძლოს განზოგადება და დასკვნების გამოტანა

საგანმანათლებლო:სიზუსტის, შესრულებული დავალების პასუხისმგებლობის გამომუშავება, ურთიერთდახმარება.

სწავლების მეთოდები: სიტყვიერი , ვიზუალური , პრაქტიკული , ნაწილობრივი ძებნა , თვითმმართველობა , კონტროლი.

სტუდენტების შემეცნებითი საქმიანობის ორგანიზების ფორმები: ფრონტალური , ინდივიდუალური , მუშაობა წყვილებში.

აღჭურვილობა: სატესტო დავალებების კომპლექტი, საცნობარო ჩანაწერი, ამოხსნის ცარიელი ფურცლები.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი.ცხადდება გაკვეთილის თემა და მიზნები, გაკვეთილის სქემა: თითოეულ მოსწავლეს ეძლევა შეფასების ფურცელი, რომელსაც მოსწავლე ავსებს გაკვეთილზე; მოსწავლეთა თითოეული წყვილისთვის - ამოცანებით დაბეჭდილი მასალები, თქვენ უნდა შეასრულოთ დავალებები წყვილებში; გადაწყვეტილებების ცარიელი ფურცლები; საცნობარო ფურცლები: ლოგარითმის განმარტება; ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი, მისი თვისებები; ლოგარითმების თვისებები; ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი.

ყველა გადაწყვეტილება თვითშეფასების შემდეგ გადაეცემა მასწავლებელს.

მოსწავლეთა ქულათა ფურცელი

2. ცოდნის აქტუალიზაცია.

მასწავლებლის მითითებები. დაიმახსოვრეთ ლოგარითმის განმარტება, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი და მისი თვისებები. ამისათვის წაიკითხეთ ტექსტი შ.ა. ალიმოვის, იუ.მ.

მოსწავლეებს ეძლევათ ფურცლები, რომლებზეც დაწერილია: ლოგარითმის განმარტება; აჩვენებს ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკს, მის თვისებებს; ლოგარითმების თვისებები; ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი, ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნის მაგალითი, რომელიც მცირდება კვადრატამდე.

3. ახალი მასალის შესწავლა.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა ემყარება ლოგარითმული ფუნქციის ერთფეროვნებას.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი:

ა) იპოვეთ უტოლობის განსაზღვრის დომენი (სუბლოგარითმული გამოხატულება ნულზე მეტია).
ბ) წარმოადგინეთ (თუ შესაძლებელია) უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები ლოგარითმებად იმავე ფუძეში.
გ) დაადგინეთ ლოგარითმული ფუნქცია მზარდია თუ კლებადი: თუ t>1, მაშინ იზრდება; თუ 0 1, შემდეგ მცირდება.
დ) გადადით უფრო მარტივ უტოლობაზე (სუბლოგარითმული გამოსახულებები), იმის გათვალისწინებით, რომ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნდება, თუ ფუნქცია იზრდება და შეიცვლება, თუ ის მცირდება.

სასწავლო ელემენტი #1.

მიზანი: უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის დაფიქსირება

მოსწავლეთა შემეცნებითი საქმიანობის ორგანიზების ფორმა: ინდივიდუალური მუშაობა.

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის 10 წუთის განმავლობაში. თითოეულ უთანასწორობაზე რამდენიმე პასუხია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სწორი და შეამოწმოთ გასაღებით.

გასაღები: 13321, მაქსიმალური ქულა - 6 გვ.

სასწავლო ელემენტი #2.

მიზანი: ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის დაფიქსირება ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით.

მასწავლებლის მითითებები. გაიხსენეთ ლოგარითმების ძირითადი თვისებები. ამისათვის წაიკითხეთ სახელმძღვანელოს ტექსტი გვ.92, 103–104.

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის 10 წუთის განმავლობაში.

გასაღები: 2113, ქულების მაქსიმალური რაოდენობაა 8 ბ.

სასწავლო ელემენტი #3.

მიზანი: კვადრატამდე შემცირების მეთოდით ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის შესწავლა.

მასწავლებლის მითითებები: უტოლობის კვადრატამდე შემცირების მეთოდი არის ის, რომ თქვენ უნდა გადაიყვანოთ უტოლობა ისეთ ფორმაში, რომ გარკვეული ლოგარითმული ფუნქცია აღინიშნოს ახალი ცვლადით, ხოლო ამ ცვლადთან მიმართებაში მიიღოთ კვადრატული უტოლობა.

მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდი.

თქვენ გაიარეთ მასალის ათვისების პირველი დონე. ახლა თქვენ მოგიწევთ დამოუკიდებლად აირჩიოთ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი, მთელი თქვენი ცოდნისა და შესაძლებლობების გამოყენებით.

სასწავლო ელემენტი ნომერი 4.

მიზანი: ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის კონსოლიდაცია მისი გადაჭრის რაციონალური ხერხის არჩევით.

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის 10 წუთის განმავლობაში

სასწავლო ელემენტი ნომერი 5.

მასწავლებლის მითითებები. კარგად გააკეთე! თქვენ დაეუფლეთ სირთულის მეორე დონის განტოლებების ამოხსნას. თქვენი შემდგომი მუშაობის მიზანია გამოიყენოს თქვენი ცოდნა და უნარები უფრო რთულ და არასტანდარტულ სიტუაციებში.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მასწავლებლის მითითებები. მშვენიერია, თუ ყველა საქმეს აკეთებ. კარგად გააკეთე!

მთელი გაკვეთილის შეფასება დამოკიდებულია ყველა საგანმანათლებლო ელემენტისთვის დაგროვებული ქულების რაოდენობაზე:

• თუ N ≥ 20, მაშინ მიიღებთ ქულას "5",
• 16 ≤ N ≤ 19 - ქულა "4",
• 8 ≤ N ≤ 15 - ქულა "3",
• ნ< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

სავარაუდო მელიები გადასცეს მასწავლებელს.

5. საშინაო დავალება: თუ თქვენ დააგროვეთ არაუმეტეს 15 ბ - შეცდომებზე მუშაობა (გადაწყვეტილებები შეიძლება აიღოთ მასწავლებლისგან), თუ 15 ბ-ზე მეტი დააგროვეთ - შეასრულეთ შემოქმედებითი დავალება თემაზე „ლოგარითმული უტოლობები“.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ლოგარითმული უტოლობები

წინა გაკვეთილებზე გავეცანით ლოგარითმულ განტოლებებს და ახლა ვიცით რა არის და როგორ ამოხსნათ ისინი. დღევანდელი გაკვეთილი კი ლოგარითმული უტოლობების შესწავლას დაეთმობა. რა არის ეს უტოლობა და რა განსხვავებაა ლოგარითმული განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნას შორის?

ლოგარითმული უტოლობები არის უტოლობები, რომლებსაც აქვთ ცვლადი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ან მის ფუძეში.

ან, ასევე შეიძლება ითქვას, რომ ლოგარითმული უტოლობა არის უტოლობა, რომელშიც მისი უცნობი მნიშვნელობა, როგორც ლოგარითმული განტოლებაში, იქნება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ.

უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობა ასე გამოიყურება:

სადაც f(x) და g(x) არის ზოგიერთი გამონათქვამი, რომელიც დამოკიდებულია x-ზე.

მოდით შევხედოთ ამას შემდეგი მაგალითის გამოყენებით: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნამდე უნდა აღინიშნოს, რომ მათი ამოხსნისას ისინი მსგავსია ექსპონენციური უტოლობების, კერძოდ:

უპირველეს ყოვლისა, ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამებზე გადასვლისას ასევე უნდა შევადაროთ ლოგარითმის ფუძე ერთს;

მეორეც, ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნისას ცვლადების ცვლილების გამოყენებით, ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები ცვლილებასთან მიმართებაში, სანამ არ მივიღებთ უმარტივეს უტოლობას.

მაგრამ სწორედ ჩვენ განვიხილეთ ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მსგავსი მომენტები. ახლა მოდით შევხედოთ საკმაოდ მნიშვნელოვან განსხვავებას. თქვენ და მე ვიცით, რომ ლოგარითმულ ფუნქციას აქვს განსაზღვრების შეზღუდული დომენი, ამიტომ ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამებზე გადასვლისას, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი (ODV).

ანუ, გასათვალისწინებელია, რომ ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას, ჯერ შეგვიძლია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები, შემდეგ კი შევამოწმოთ ეს ამონახსნები. მაგრამ ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნა ამ გზით არ იმუშავებს, ვინაიდან ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამებზე გადასვლა, საჭირო იქნება უტოლობის ODZ-ის ჩაწერა.

გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ უტოლობების თეორია შედგება რეალური რიცხვებისგან, რომლებიც არის დადებითი და უარყოფითი რიცხვები, ასევე რიცხვი 0.

მაგალითად, როდესაც რიცხვი "a" დადებითია, მაშინ უნდა იქნას გამოყენებული შემდეგი აღნიშვნა: a > 0. ამ შემთხვევაში, ამ რიცხვების ჯამიც და ნამრავლიც დადებითი იქნება.

უტოლობის ამოხსნის ძირითადი პრინციპია მისი ჩანაცვლება უფრო მარტივი უტოლობით, მაგრამ მთავარია ის იყოს მოცემულის ეკვივალენტური. გარდა ამისა, ჩვენ ასევე მივიღეთ უტოლობა და კვლავ შევცვალეთ ის, რომელსაც აქვს უფრო მარტივი ფორმა და ა.შ.

უტოლობების ამოხსნა ცვლადით, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ყველა ამონახსნები. თუ ორ უტოლობას აქვს ერთი და იგივე x ცვლადი, მაშინ ასეთი უტოლობა ექვივალენტურია, იმ პირობით, რომ მათი ამონახსნები იგივეა.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ამოცანების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ როდესაც a > 1, მაშინ იზრდება ლოგარითმული ფუნქცია და როცა 0.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის გზები

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მეთოდს, რომლებიც გამოიყენება ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას. უკეთესი გაგებისა და ასიმილაციისთვის შევეცდებით მათი გაგება კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

ჩვენ ვიცით, რომ უმარტივეს ლოგარითმულ უტოლობას აქვს შემდეგი ფორმა:

ამ უთანასწორობაში, V - არის ერთ-ერთი ასეთი უთანასწორობის ნიშანი, როგორიცაა:<,>, ≤ ან ≥.

როდესაც ამ ლოგარითმის საფუძველი ერთზე მეტია (a>1), გადადის ლოგარითმებიდან გამონათქვამებზე ლოგარითმის ნიშნით, მაშინ ამ ვერსიაში უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია და უტოლობა ასე გამოიყურება:

რომელიც უდრის შემდეგ სისტემას:

იმ შემთხვევაში, როდესაც ლოგარითმის საფუძველი არის ნულზე მეტი და ერთზე ნაკლები (0

ეს ამ სისტემის ტოლფასია:

მოდით შევხედოთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის სხვა მაგალითებს:

მაგალითების გადაწყვეტა

ვარჯიში.შევეცადოთ გადავჭრათ ეს უტოლობა:

დასაშვები ღირებულებების ფართობის გადაწყვეტილება.

ახლა ვცადოთ მისი მარჯვენა მხარის გამრავლება:

ვნახოთ, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ:

ახლა გადავიდეთ სუბლოგარითმული გამონათქვამების ტრანსფორმაციაზე. ვინაიდან ლოგარითმის საფუძველი არის 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

და აქედან გამომდინარეობს, რომ ინტერვალი, რომელიც ჩვენ მივიღეთ, მთლიანად ეკუთვნის ODZ-ს და არის ასეთი უტოლობის ამოხსნა.

აი პასუხი მივიღეთ:

რა არის საჭირო ლოგარითმული უტოლობების ამოსახსნელად?

ახლა ვცადოთ გავაანალიზოთ რა გვჭირდება ლოგარითმული უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად?

პირველ რიგში, მთელი ყურადღება გაამახვილეთ და შეეცადეთ არ დაუშვათ შეცდომები იმ გარდაქმნების შესრულებისას, რომლებიც მოცემულია ამ უთანასწორობაში. ასევე, უნდა გვახსოვდეს, რომ ასეთი უტოლობების ამოხსნისას აუცილებელია ODZ-ის უთანასწორობის გაფართოებისა და შევიწროვების თავიდან აცილება, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს ზედმეტი ამონახსნების დაკარგვა ან შეძენა.

მეორეც, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას, თქვენ უნდა ისწავლოთ ლოგიკურად აზროვნება და გაიგოთ განსხვავება ისეთ ცნებებს შორის, როგორიცაა უტოლობების სისტემა და უტოლობების ნაკრები, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ მარტივად აირჩიოთ უტოლობის ამონახსნები მისი DHS-ით ხელმძღვანელობით.

მესამე, ასეთი უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად, თითოეულმა თქვენგანმა მშვენივრად უნდა იცოდეს ელემენტარული ფუნქციების ყველა თვისება და ნათლად გაიგოს მათი მნიშვნელობა. ასეთ ფუნქციებში შედის არა მხოლოდ ლოგარითმული, არამედ რაციონალური, სიმძლავრე, ტრიგონომეტრიული და ა.შ., ერთი სიტყვით, ყველა ის, რაც თქვენ სწავლობდით სკოლის ალგებრის დროს.

როგორც ხედავთ, ლოგარითმული უტოლობების თემის შესწავლისას, არაფერია რთული ამ უტოლობების ამოხსნაში, იმ პირობით, რომ ყურადღებიანი და დაჟინებული ხართ თქვენი მიზნების მიღწევაში. ისე, რომ უთანასწორობების ამოხსნისას პრობლემები არ შეგექმნათ, საჭიროა მაქსიმალურად ივარჯიშოთ, გადაჭრათ სხვადასხვა ამოცანები და ამავდროულად დაიმახსოვროთ ასეთი უტოლობების გადაჭრის ძირითადი გზები და მათი სისტემები. ლოგარითმული უტოლობების წარუმატებელი ამონახსნებით, თქვენ უნდა ყურადღებით გაანალიზოთ თქვენი შეცდომები, რათა მათ აღარ დაუბრუნდეთ მომავალში.

Საშინაო დავალება

თემის უკეთ ათვისებისა და განხილული მასალის კონსოლიდაციისთვის ამოხსენით შემდეგი უტოლობა:

ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

ჯაკავის "∨"-ის ნაცვლად შეგიძლიათ დაუდოთ ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია.

ასე რომ, ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათი გათიშვის მიზნით, საკმარისია იპოვოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გაიმეოროთ იგი - იხილეთ „რა არის ლოგარითმი“.

ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან, ცალკე უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა შესრულდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იპოვება, რჩება მისი გადაკვეთა რაციონალური უთანასწორობის გადაწყვეტით - და პასუხი მზად არის.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჯერ დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:

პირველი ორი უტოლობა შესრულებულია ავტომატურად, ხოლო ბოლო უნდა ჩაიწეროს. ვინაიდან რიცხვის კვადრატი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი არის ნული, გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას:

ჩვენ ვასრულებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, ამიტომ მიღებული უტოლობა ასევე უნდა იყოს "ნაკლები" ნიშნით. Ჩვენ გვაქვს:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

ამ გამოხატვის ნულები: x = 3; x = -3; x = 0. უფრო მეტიც, x = 0 არის მეორე სიმრავლის ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. Ჩვენ გვაქვს:

ვიღებთ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უტოლობების ტრანსფორმაცია

ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ მოყვანილისგან. ამის გამოსწორება ადვილია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების მიხედვით - იხილეთ „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“. კერძოდ:

1. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით;
2. ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.

ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის DPV-ის პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა ასეთია:

1. იპოვეთ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმის ODZ;
2. უტოლობის შემცირება სტანდარტულამდე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით;
3. ამოიღეთ მიღებული უტოლობა ზემოთ მოცემული სქემის მიხედვით.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

იპოვეთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (ODZ):

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მრიცხველის ნულების პოვნა:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

შემდეგ - მნიშვნელის ნულები:

x − 1 = 0;
x = 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს კოორდინატულ ისარზე:

ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ-ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. თუ არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნით მეორე ლოგარითმს ისე, რომ საფუძველი იყოს ორი:

როგორც ხედავთ, სამეულები ფუძესთან და ლოგარითმამდე შემცირდა. მიიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით. მოდით გავაერთიანოთ ისინი:

ჟურნალი 2 (x − 1) 2< 2;
ჟურნალი 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ჩვენ მივიღეთ სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს ფორმულით ვაშორებთ. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში არის ნაკლები ნიშანი, შედეგად მიღებული რაციონალური გამოხატულება ასევე უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. Ჩვენ გვაქვს:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

მივიღეთ ორი კომპლექტი:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. უპასუხეთ კანდიდატს: x ∈ (−1; 3).

რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთა - ვიღებთ ნამდვილ პასუხს:

ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების გადაკვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ორივე ისრზე დაჩრდილულ ინტერვალებს. ვიღებთ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა.