დაე, ფუნქცია $z=f(x,y)$ იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი ზოგიერთ შეზღუდულ დახურულ დომენში $D$. მოდით მოცემულ ფუნქციას ჰქონდეს პირველი რიგის სასრული ნაწილობრივი წარმოებულები ამ რეგიონში (შესაძლოა გამონაკლისი პუნქტების რაოდენობა). მოცემულ დახურულ რეგიონში ორი ცვლადის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად საჭიროა მარტივი ალგორითმის სამი ნაბიჯი.
$z=f(x,y)$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი დახურულ დომენში $D$.
- იპოვეთ $z=f(x,y)$ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის $D$ რეგიონს. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში.
- გამოიკვლიეთ $z=f(x,y)$ ფუნქციის ქცევა $D$ რეგიონის საზღვარზე შესაძლო მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობების წერტილების მოძიებით. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მიღებულ წერტილებზე.
- წინა ორ აბზაცში მიღებული ფუნქციის მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.
რა არის კრიტიკული წერტილები? ჩვენება დამალვა
ქვეშ კრიტიკული წერტილებიგულისხმობს წერტილებს, სადაც ორივე პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებული ტოლია ნულის (ანუ $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ and $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ან მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს.
ხშირად უწოდებენ წერტილებს, რომლებშიც პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია სტაციონარული წერტილები. ამრიგად, სტაციონარული წერტილები არის კრიტიკული წერტილების ქვეჯგუფი.
მაგალითი #1
იპოვეთ $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები დახურულ რეგიონში, რომელიც შემოიფარგლება $x=3$, $y=0$ და $y=x ხაზებით. +1$.
ჩვენ მივყვებით ზემოხსენებულს, მაგრამ ჯერ შევეხებით მოცემული ფართობის ნახატს, რომელსაც აღვნიშნავთ ასო $D$-ით. ჩვენ მოცემულია სამი სწორი წრფის განტოლებები, რომლებიც ზღუდავს ამ ფართობს. $x=3$ სწორი ხაზი გადის $(3;0)$ y ღერძის (ღერძი Oy) პარალელურად. სწორი ხაზი $y=0$ არის აბსცისის ღერძის განტოლება (Ox ღერძი). კარგი, $y=x+1$ სწორი წრფის ასაგებად ვიპოვოთ ორი წერტილი, რომლითაც ვხაზავთ ამ სწორ ხაზს. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ რამდენიმე თვითნებური მნიშვნელობა $x$-ის ნაცვლად. მაგალითად, $x=10$-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ: $y=x+1=10+1=11$. ჩვენ ვიპოვეთ $(10;11)$ წერტილი, რომელიც მდებარეობს $y=x+1$ წრფეზე. თუმცა, უმჯობესია ვიპოვოთ ის წერტილები, სადაც $y=x+1$ წრფე იკვეთება $x=3$ და $y=0$ წრფეებთან. რატომ ჯობია? იმის გამო, რომ ერთი ქვით დავყრით რამდენიმე ჩიტს: მივიღებთ ორ ქულას $y=x+1$ სწორი ხაზის ასაგებად და ამავდროულად გავარკვევთ, რომელ წერტილში კვეთს ეს სწორი ხაზი სხვა ხაზებს, რომლებიც ზღუდავს მოცემულს. ფართობი. წრფე $y=x+1$ კვეთს $x=3$ წრფეს $(3;4)$ წერტილში, ხოლო $y=0$ წრფე - $(-1;0)$ წერტილში. იმისთვის, რომ ამოხსნის მსვლელობა დამხმარე ახსნა-განმარტებით არ გავაფუჭოთ, ამ ორი პუნქტის მოპოვების საკითხს ჩანაწერში დავდებ.
როგორ იქნა მიღებული $(3;4)$ და $(-1;0)$ ქულები? ჩვენება დამალვა
დავიწყოთ $y=x+1$ და $x=3$ წრფეების გადაკვეთის წერტილიდან. სასურველი წერტილის კოორდინატები ეკუთვნის როგორც პირველ, ასევე მეორე ხაზებს, ამიტომ უცნობი კოორდინატების მოსაძებნად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა:
$$ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & y=x+1;\\ & x=3. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$
ასეთი სისტემის ამონახსნი ტრივიალურია: $x=3$-ის ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში გვექნება: $y=3+1=4$. წერტილი $(3;4)$ არის $y=x+1$ და $x=3$ წრფეების სასურველი გადაკვეთის წერტილი.
ახლა ვიპოვოთ $y=x+1$ და $y=0$ წრფეების გადაკვეთის წერტილი. ჩვენ კვლავ ვადგენთ და ვხსნით განტოლებათა სისტემას:
$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & y=x+1;\\ & y=0. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$
$y=0$-ის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: $0=x+1$, $x=-1$. წერტილი $(-1;0)$ არის $y=x+1$ და $y=0$ (აბსცისის ღერძი) წრფეების სასურველი გადაკვეთის წერტილი.
ყველაფერი მზად არის ნახატის შესაქმნელად, რომელიც ასე გამოიყურება:
შენიშვნის საკითხი აშკარად ჩანს, რადგან ფიგურიდან ყველაფერი ჩანს. თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ ნახატი არ შეიძლება გახდეს მტკიცებულება. ფიგურა მხოლოდ ილუსტრაციაა სიცხადისთვის.
ჩვენი ფართობი შეიქმნა ხაზების განტოლებების გამოყენებით, რომლებიც ზღუდავენ მას. აშკარაა, რომ ეს ხაზები განსაზღვრავს სამკუთხედს, არა? თუ არც ისე აშკარაა? ან იქნებ გვეძლევა განსხვავებული არე, იგივე ხაზებით შემოსაზღვრული:
რა თქმა უნდა, პირობა ამბობს, რომ ტერიტორია დაკეტილია, ამიტომ ნაჩვენები სურათი არასწორია. მაგრამ ასეთი ბუნდოვანების თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია რეგიონები განვსაზღვროთ უთანასწორობებით. ჩვენ გვაინტერესებს თვითმფრინავის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს $y=x+1$ ხაზის ქვეშ? კარგი, ასე რომ, $y ≤ x+1$. ჩვენი ტერიტორია უნდა იყოს $y=0$ ხაზის ზემოთ? შესანიშნავია, ამიტომ $y ≥ 0$. სხვათა შორის, ბოლო ორი უტოლობა ადვილად გაერთიანდება ერთში: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. $$
ეს უტოლობები განსაზღვრავს დომენს $D$ და განსაზღვრავს მას ცალსახად, ყოველგვარი გაურკვევლობის გარეშე. მაგრამ როგორ გვეხმარება ეს სქოლიოს დასაწყისში დასმულ კითხვაში? ასევე დაგვეხმარება :) უნდა შევამოწმოთ, $M_1(1;1)$ წერტილი ეკუთვნის თუ არა რეგიონს $D$. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=1$ და $y=1$ უტოლობების სისტემაში, რომელიც განსაზღვრავს ამ რეგიონს. თუ ორივე უტოლობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ წერტილი რეგიონის შიგნითაა. თუ უთანასწორობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ წერტილი არ ეკუთვნის რეგიონს. Ისე:
$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$
ორივე უტოლობა მართალია. წერტილი $M_1(1;1)$ ეკუთვნის $D$ რეგიონს.
ახლა ჯერია გამოვიკვლიოთ ფუნქციის ქცევა დომენის საზღვარზე, ე.ი. წადი. დავიწყოთ $y=0$ სწორი ხაზით.
სწორი ხაზი $y=0$ (აბსცისის ღერძი) ზღუდავს $D$ რეგიონს $-1 ≤ x ≤ 3$ პირობით. ჩაანაცვლეთ $y=0$ მოცემულ ფუნქციაში $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. ერთი $x$ ცვლადის შედეგად მიღებული ჩანაცვლების ფუნქცია აღინიშნა როგორც $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
ახლა $f_1(x)$ ფუნქციისთვის ჩვენ უნდა ვიპოვოთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $-1 ≤ x ≤ 3$ ინტერვალზე. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
ღირებულება $x=2$ ეკუთვნის სეგმენტს $-1 ≤ x ≤ 3$, ამიტომ ჩვენ ასევე ვამატებთ $M_2(2;0)$ ქულების სიას. გარდა ამისა, ჩვენ ვიანგარიშებთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში $-1 ≤ x ≤ 3$, ე.ი. $M_3(-1;0)$ და $M_4(3;0)$ წერტილებზე. სხვათა შორის, თუ წერტილი $M_2$ არ ეკუთვნოდა განსახილველ სეგმენტს, მაშინ, რა თქმა უნდა, არ იქნებოდა საჭირო მასში $z$ ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა.
მოდით გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობები $M_2$, $M_3$, $M_4$ წერტილებში. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ ამ წერტილების კოორდინატები თავდაპირველ გამონათქვამში $z=x^2+2xy-y^2-4x$. მაგალითად, $M_2$ წერტილისთვის მივიღებთ:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
თუმცა, გამოთვლები შეიძლება ცოტათი გამარტივდეს. ამისათვის უნდა გვახსოვდეს, რომ $M_3M_4$ სეგმენტზე გვაქვს $z(x,y)=f_1(x)$. დეტალურად განვმარტავ:
\ დასაწყისი (გასწორებული) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \ ბოლოს (გასწორებული)
რა თქმა უნდა, როგორც წესი, არ არის საჭირო ასეთი დეტალური ჩანაწერები და მომავალში ჩვენ დავიწყებთ ყველა გაანგარიშების დაწერას მოკლე გზით:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
ახლა მივმართოთ სწორ ხაზს $x=3$. ეს ხაზი ზღუდავს დომენს $D$ პირობით $0 ≤ y ≤ 4$. ჩაანაცვლეთ $x=3$ მოცემულ ფუნქციაში $z$. ასეთი ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ ფუნქციას $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
$f_2(y)$ ფუნქციისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $0 ≤ y ≤ 4$ ინტერვალზე. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
მნიშვნელობა $y=3$ ეკუთვნის სეგმენტს $0 ≤ y ≤ 4$, ამიტომ ადრე ნაპოვნი წერტილებს ვამატებთ $M_5(3;3)$. გარდა ამისა, საჭიროა გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში $0 ≤ y ≤ 4$, ე.ი. $M_4(3;0)$ და $M_6(3;4)$ წერტილებზე. $M_4(3;0)$ წერტილში ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ $z$-ის მნიშვნელობა. მოდით გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა $M_5$ და $M_6$ წერტილებში. შეგახსენებთ, რომ $M_4M_6$ სეგმენტზე გვაქვს $z(x,y)=f_2(y)$, შესაბამისად:
\begin(გასწორებული) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \ ბოლოს (გასწორებული)
და ბოლოს, განვიხილოთ $D$-ის ბოლო ზღვარი, ე.ი. ხაზი $y=x+1$. ეს ხაზი ზღუდავს $D$ რეგიონს $-1 ≤ x ≤ 3$ პირობით. $y=x+1$ ფუნქციით $z$ ჩანაცვლებით, გვექნება:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
კიდევ ერთხელ გვაქვს $x$ ერთი ცვლადის ფუნქცია. და ისევ, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე $-1 ≤ x ≤ 3$. იპოვეთ $f_(3)(x)$ ფუნქციის წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
ღირებულება $x=1$ ეკუთვნის $-1 ≤ x ≤ 3$ ინტერვალს. თუ $x=1$, მაშინ $y=x+1=2$. მოდით დავუმატოთ $M_7(1;2)$ პუნქტების სიას და გავარკვიოთ, რა არის ამ ეტაპზე $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა. წერტილები სეგმენტის ბოლოებზე $-1 ≤ x ≤ 3$, ე.ი. ადრე განიხილებოდა ქულა $M_3(-1;0)$ და $M_6(3;4)$, მათში უკვე ვიპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
გადაწყვეტის მეორე ეტაპი დასრულებულია. ჩვენ მივიღეთ შვიდი მნიშვნელობა:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
მივმართოთ. მესამე აბზაცში მიღებული რიცხვებიდან ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების არჩევისას გვექნება:
$$z_(წთ)=-4; \; z_(max)=6.$$
პრობლემა მოგვარებულია, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.
უპასუხე: $z_(წთ)=-4; \; z_(max)=6$.
მაგალითი #2
იპოვეთ $z=x^2+y^2-12x+16y$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $x^2+y^2 ≤ 25$.
ჯერ ავაშენოთ ნახატი. განტოლება $x^2+y^2=25$ (ეს არის მოცემული ფართობის სასაზღვრო ხაზი) განსაზღვრავს წრეს, რომლის ცენტრი სათავეშია (ანუ $(0;0)$ წერტილში) და რადიუსი 5. $x^2 +y^2 ≤ 25$ უტოლობა აკმაყოფილებს ყველა წერტილს აღნიშნულ წრეში და მის შიგნით.
ჩვენ ვიმოქმედებთ. ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები და გავარკვიოთ კრიტიკული წერტილები.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
არ არსებობს წერტილები, სადაც ნაპოვნი ნაწილობრივი წარმოებულები არ არსებობს. გავარკვიოთ, რომელ წერტილებშია ორივე ნაწილობრივი წარმოებული ერთდროულად ნულის ტოლი, ე.ი. იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები.
$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & x =6;\\ & y=-8.\end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$
მივიღეთ სტაციონარული წერტილი $(6;-8)$. თუმცა, ნაპოვნი წერტილი არ ეკუთვნის $D$ რეგიონს. ამის ჩვენება ადვილია ნახატის გამოყენების გარეშეც კი. მოდით შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა $x^2+y^2 ≤ 25$, რომელიც განსაზღვრავს ჩვენს დომენს $D$. თუ $x=6$, $y=-8$, მაშინ $x^2+y^2=36+64=100$, ე.ი. უტოლობა $x^2+y^2 ≤ 25$ არ არის დაკმაყოფილებული. დასკვნა: წერტილი $(6;-8)$ არ ეკუთვნის $D$ რეგიონს.
ამრიგად, $D$-ში არ არის კრიტიკული წერტილები. მოდით გადავიდეთ, რომ. უნდა გამოვიკვლიოთ ფუნქციის ქცევა მოცემული ფართობის საზღვარზე, ე.ი. წრეზე $x^2+y^2=25$. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გამოხატოთ $y$ $x$-ით და შემდეგ შეცვალოთ მიღებული გამონათქვამი ჩვენს ფუნქციაში $z$. წრის განტოლებიდან ვიღებთ: $y=\sqrt(25-x^2)$ ან $y=-\sqrt(25-x^2)$. მაგალითად, $y=\sqrt(25-x^2)$ მოცემულ ფუნქციაში ჩანაცვლებით, გვექნება:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
შემდგომი გადაწყვეტა სრულიად იდენტური იქნება წინა No1 მაგალითში რეგიონის საზღვარზე ფუნქციის ქცევის შესწავლისა. თუმცა, ამ სიტუაციაში უფრო გონივრული მეჩვენება ლაგრანგის მეთოდის გამოყენება. ჩვენ გვაინტერესებს ამ მეთოდის მხოლოდ პირველი ნაწილი. ლაგრანგის მეთოდის პირველი ნაწილის გამოყენების შემდეგ ვიღებთ წერტილებს, რომლებზეც ჩვენ ვიკვლევთ $z$ ფუნქციას მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობებისთვის.
ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
ჩვენ ვპოულობთ ლაგრანგის ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვადგენთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\ლამბდა x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\ლამბდა y.\\ \მარცხნივ \( \დაწყება (გასწორებული) & 2x-12+2\ლამბდა x=0;\\ & 2y+16+2\ლამბდა y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\ბოლო(გასწორებული) \ მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & x+\ლამბდა x=6;\\ & y+\ლამბდა y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \ბოლო( გასწორებული)\მარჯვნივ.$$
ამ სისტემის გადასაჭრელად დაუყოვნებლივ მივუთითოთ, რომ $\lambda\neq -1$. რატომ $\lambda\neq -1$? შევეცადოთ $\lambda=-1$ ჩავანაცვლოთ პირველ განტოლებაში:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა $0=6$ ამბობს, რომ მნიშვნელობა $\lambda=-1$ არასწორია. გამომავალი: $\lambda\neq -1$. მოდით გამოვხატოთ $x$ და $y$ $\lambda$-ით:
\ დასაწყისი (გასწორებული) & x+\ლამბდა x=6;\; x(1+\ლამბდა)=6;\; x=\frac(6)(1+\ლამბდა). \\ & y+\ლამბდა y=-8;\; y(1+\ლამბდა)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ლამბდა). \ ბოლოს (გასწორებული)
მე მჯერა, რომ აქ ცხადი ხდება, თუ რატომ დავაწესეთ $\lambda\neq -1$ პირობა. ეს გაკეთდა იმისთვის, რომ გამონათქვამი $1+\lambda$ მნიშვნელებში ჩარევის გარეშე მოერგოს. ანუ დარწმუნდეთ, რომ მნიშვნელი არის $1+\lambda\neq 0$.
მიღებული გამონათქვამები შევცვალოთ $x$ და $y$ სისტემის მესამე განტოლებაში, ე.ი. $x^2+y^2=25$-ში:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \მარჯვნივ)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ლამბდა)^2)+\frac(64)((1+\ლამბდა)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ლამბდა)^2)=25 ; \; (1+\ლამბდა)^2=4. $$
მიღებული თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ $1+\lambda=2$ ან $1+\lambda=-2$. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს $\lambda$ პარამეტრის ორი მნიშვნელობა, კერძოდ: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. შესაბამისად, ჩვენ ვიღებთ მნიშვნელობების ორ წყვილს $x$ და $y$:
\begin(გასწორებული) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \ ბოლოს (გასწორებული)
ასე რომ, მივიღეთ შესაძლო პირობითი ექსტრემის ორი ქულა, ე.ი. $M_1(3;-4)$ და $M_2(-3;4)$. იპოვეთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობები $M_1$ და $M_2$ წერტილებში:
\begin(გასწორებული) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \ ბოლოს (გასწორებული)
ჩვენ უნდა ავირჩიოთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები მათგან, რაც მივიღეთ პირველ და მეორე საფეხურზე. მაგრამ ამ შემთხვევაში არჩევანი მცირეა :) გვაქვს:
$$z_(წთ)=-75; \; z_(max)=125. $$
უპასუხე: $z_(წთ)=-75; \; z_(max)=125$.
ასეთი ამოცანების გადაჭრის სტანდარტული ალგორითმი გულისხმობს, ფუნქციის ნულების პოვნის შემდეგ, წარმოებულის ნიშნების განსაზღვრას ინტერვალებზე. შემდეგ მნიშვნელობების გამოთვლა მაქსიმალური (ან მინიმალური) აღმოჩენილ წერტილებზე და ინტერვალის საზღვარზე, იმისდა მიხედვით, თუ რა კითხვაა მდგომარეობაში.
გირჩევ ცოტა სხვანაირად მოიქცე. რატომ? დაწერა ამის შესახებ.
მე ვთავაზობ ასეთი ამოცანების გადაჭრას შემდეგნაირად:
1. იპოვეთ წარმოებული.
2. იპოვეთ წარმოებულის ნულები.
3. დაადგინეთ რომელი მათგანი ეკუთვნის მოცემულ ინტერვალს.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მე-3 პუნქტის ინტერვალისა და წერტილების საზღვრებზე.
5. ვაკეთებთ დასკვნას (ვპასუხობთ დასმულ კითხვას).
წარმოდგენილი მაგალითების ამოხსნისას კვადრატული განტოლებების ამოხსნა არ განიხილება დეტალურად, თქვენ უნდა შეძლოთ ამის გაკეთება. მათაც უნდა იცოდნენ.
განვიხილოთ მაგალითები:
77422. იპოვეთ y=x ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა 3 –3x+4 სეგმენტზე [–2;0].
მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:
წერტილი x = –1 განეკუთვნება პირობით მითითებულ ინტერვალს.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს –2, –1 და 0 წერტილებში:
ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არის 6.
პასუხი: 6
77425. იპოვეთ y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.
იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:
მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:
წერტილი x = 2 განეკუთვნება პირობით მითითებულ ინტერვალს.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს 1, 2 და 4 წერტილებში:
ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის -2.
პასუხი: -2
77426. იპოვეთ y \u003d x 3 - 6x 2 ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [-3; 3] სეგმენტზე.
იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:
მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:
წერტილი x = 0 განეკუთვნება პირობით მითითებულ ინტერვალს.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს –3, 0 და 3 წერტილებში:
ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა არის 0.
პასუხი: 0
77429. იპოვეთ y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.
იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:
3x 2 - 4x + 1 = 0
ჩვენ ვიღებთ ფესვებს: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
მხოლოდ x = 1 ეკუთვნის პირობით მითითებულ ინტერვალს.
იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები 1 და 4 წერტილებში:
ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის 3.
პასუხი: 3
77430. იპოვეთ y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [- 4; -ერთი].
იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:
იპოვეთ წარმოებულის ნულები, ამოხსენით კვადრატული განტოლება:
3x 2 + 4x + 1 = 0
მოდით მივიღოთ ფესვები:
ფესვი х = –1 განეკუთვნება პირობით მითითებულ ინტერვალს.
იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები –4, –1, –1/3 და 1 წერტილებში:
ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არის 3.
პასუხი: 3
77433. იპოვეთ y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.
იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:
იპოვეთ წარმოებულის ნულები, ამოხსენით კვადრატული განტოლება:
3x 2 - 2x - 40 = 0
მოდით მივიღოთ ფესვები:
ფესვი x = 4 ეკუთვნის პირობით მითითებულ ინტერვალს.
ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობებს 0 და 4 წერტილებში:
ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის -109.
პასუხი: -109
განვიხილოთ ფუნქციების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების განსაზღვრის მეთოდი წარმოებულის გარეშე. ეს მიდგომა შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ თქვენ გაქვთ დიდი პრობლემები წარმოებულის განმარტებასთან დაკავშირებით. პრინციპი მარტივია - ჩვენ ვცვლით ყველა მთელ რიცხვს ინტერვალიდან ფუნქციაში (ფაქტია, რომ ყველა ასეთ პროტოტიპში პასუხი არის მთელი რიცხვი).
77437. იპოვეთ y \u003d 7 + 12x - x 3 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა [-2; 2] სეგმენტზე.
ჩვენ ვცვლით ქულებს -2-დან 2-მდე: გადაწყვეტის ნახვა
77434. იპოვეთ y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [-2; 0] სეგმენტზე.
Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!
პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.
P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.
და მის გადასაჭრელად საჭიროა თემის მინიმალური ცოდნა. შემდეგი სასწავლო წელი იწურება, ყველას უნდა შვებულებაში წასვლა და ამ მომენტის დასაახლოებლად, მაშინვე საქმეს ვუშვებ:
დავიწყოთ ტერიტორიით. მდგომარეობაში მითითებული ტერიტორია არის შეზღუდული დახურული წერტილების ნაკრები თვითმფრინავში. მაგალითად, სამკუთხედით შემოსაზღვრული წერტილების ნაკრები, მთელი სამკუთხედის ჩათვლით (თუ დან საზღვრები"ამოიღეთ" მინიმუმ ერთი წერტილი, მაშინ ტერიტორია აღარ დაიხურება). პრაქტიკაში ასევე არის მართკუთხა, მრგვალი და ოდნავ უფრო რთული ფორმების ადგილები. უნდა აღინიშნოს, რომ მათემატიკური ანალიზის თეორიაში მოცემულია მკაცრი განმარტებები შეზღუდვები, იზოლაცია, საზღვრები და ა.შ., მაგრამ ვფიქრობ, ყველამ იცის ეს ცნებები ინტუიციურ დონეზე და ახლა მეტი არ არის საჭირო.
ბრტყელი ფართობი სტანდარტულად აღინიშნება ასოთი და, როგორც წესი, მოცემულია ანალიტიკურად - რამდენიმე განტოლებით. (არ არის აუცილებელი წრფივი); ნაკლებად ხშირად უთანასწორობა. ტიპიური სიტყვიერი ბრუნვა: "დახურული ზონა შემოიფარგლება ხაზებით".
განსახილველი ამოცანის განუყოფელი ნაწილია ნახაზზე ტერიტორიის აგება. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია ყველა ჩამოთვლილი ხაზის დახაზვა (ამ შემთხვევაში 3 სწორი) და გააანალიზეთ რა მოხდა. სასურველი უბანი ჩვეულებრივ მსუბუქად არის გამოჩეკილი და მისი საზღვარი ხაზგასმულია თამამი ხაზით: 
იგივე ფართობის დაყენება შეიძლება წრფივი უტოლობები: , რომლებიც რატომღაც უფრო ხშირად იწერება როგორც აღრიცხვის სია და არა სისტემა.
ვინაიდან საზღვარი ეკუთვნის რეგიონს, მაშინ ყველა უთანასწორობა, რა თქმა უნდა, არა მკაცრი.
ახლა კი საქმის არსი. წარმოიდგინეთ, რომ ღერძი პირდაპირ თქვენკენ მიდის კოორდინატების საწყისიდან. განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტი თითოეულშიფართობის წერტილი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ზედაპირი, და პატარა ბედნიერება ისაა, რომ დღევანდელი პრობლემის გადასაჭრელად, საერთოდ არ გვჭირდება ვიცოდეთ, როგორ გამოიყურება ეს ზედაპირი. ის შეიძლება განთავსდეს ზემოთ, ქვემოთ, გადაკვეთა თვითმფრინავი - ეს ყველაფერი არ არის მნიშვნელოვანი. და მნიშვნელოვანია შემდეგი: მიხედვით ვაიერშტრასის თეორემები, უწყვეტი in შეზღუდული დახურულიფართობი, ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ("უმაღლესი")და ყველაზე ნაკლებად ("ყველაზე დაბალი")მოსაძებნი ღირებულებები. ეს ღირებულებები მიღწეულია ან in სტაციონარული წერტილები, რეგიონს ეკუთვნისდ , ანწერტილებში, რომლებიც დევს ამ რეგიონის საზღვარზე. საიდანაც მოყვება მარტივი და გამჭვირვალე ამოხსნის ალგორითმი:
მაგალითი 1
შეზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე
გამოსავალი: უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოსახოთ ნახაზზე ფართობი. სამწუხაროდ, ტექნიკურად მიჭირს პრობლემის ინტერაქტიული მოდელის გაკეთება და ამიტომაც მაშინვე მივცემ საბოლოო ილუსტრაციას, სადაც ნაჩვენებია კვლევის დროს აღმოჩენილი ყველა „საეჭვო“ პუნქტი. როგორც წესი, ისინი იშლება ერთმანეთის მიყოლებით, როგორც ისინი იპოვიან: 
პრეამბულიდან გამომდინარე, გადაწყვეტილება მოხერხებულად შეიძლება დაიყოს ორ პუნქტად:
ი) ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. ეს არის სტანდარტული მოქმედება, რომელიც არაერთხელ განვახორციელეთ გაკვეთილზე. რამდენიმე ცვლადის უკიდურესობის შესახებ:
ნაპოვნია სტაციონარული წერტილი ეკუთვნისსფეროები: (მონიშნეთ ნახატზე), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში:
- როგორც სტატიაში სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, მე გამოვყოფ მნიშვნელოვან შედეგებს თამამად. რვეულში მოსახერხებელია მათი ფანქრით შემოხაზვა.
ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს მეორე ბედნიერებას - შემოწმებას აზრი არ აქვს საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის. რატომ? მაშინაც კი, თუ ფუნქცია აღწევს წერტილში, მაგალითად, ადგილობრივი მინიმალური, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ მიღებული მნიშვნელობა იქნება მინიმალურიმთელ რეგიონში (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი უპირობო უკიდურესობების შესახებ) .
რა მოხდება, თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას? Თითქმის არაფერი! უნდა აღინიშნოს, რომ და გადადით შემდეგ აბზაცზე.
II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს.
ვინაიდან საზღვარი შედგება სამკუთხედის გვერდებისგან, მოსახერხებელია კვლევის 3 ქვეპუნქტად დაყოფა. მაგრამ უმჯობესია ამის გაკეთება არანაირად. ჩემი გადმოსახედიდან, თავიდან უფრო ხელსაყრელია კოორდინატთა ღერძების პარალელურად სეგმენტების გათვალისწინება და, პირველ რიგში, თავად ღერძებზე დევს. იმისათვის, რომ დაიჭიროთ მოქმედებების მთელი თანმიმდევრობა და ლოგიკა, შეეცადეთ შეისწავლოთ დასასრული "ერთი ამოსუნთქვით":
1) მოდით გაუმკლავდეთ სამკუთხედის ქვედა მხარეს. ამისათვის ჩვენ პირდაპირ ჩავცვლით ფუნქციას:
ალტერნატიულად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს ასე: 
გეომეტრიულად ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატთა სიბრტყე (რაც ასევე მოცემულია განტოლებით)"ამოჭრა" საწყისი ზედაპირები"სივრცითი" პარაბოლა, რომლის ზედა მყისვე ვარდება ეჭვის ქვეშ. მოდით გავარკვიოთ სად არის ის:
- მიღებულმა მნიშვნელობამ "დაარტყა" მიდამოში და ეს შეიძლება იყოს ზუსტად იმ წერტილში (მონიშვნა ნახატზე)ფუნქცია აღწევს უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობას მთელ ტერიტორიაზე. ყოველ შემთხვევაში, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები:
სხვა „კანდიდატები“, რა თქმა უნდა, სეგმენტის ბოლოები არიან. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები წერტილებში 
(მონიშვნა ნახატზე):
აქ, სხვათა შორის, შეგიძლიათ შეასრულოთ ზეპირი მინი შემოწმება "გაშიშვლებულ" ვერსიაზე: 
2) სამკუთხედის მარჯვენა გვერდის შესასწავლად მას ვცვლით ფუნქციაში და „მოვაწესრიგებთ იქ ნივთებს“:
აქ ჩვენ დაუყოვნებლივ ვასრულებთ უხეშ შემოწმებას, "ვრეკავთ" სეგმენტის უკვე დამუშავებულ ბოლოს:
, სრულყოფილი.
გეომეტრიული სიტუაცია დაკავშირებულია წინა პუნქტთან:
- შედეგად მიღებული მნიშვნელობა ასევე "შევიდა ჩვენი ინტერესების ფარგლებში", რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ რის ტოლია ფუნქცია იმ წერტილში, რომელიც გამოჩნდა:
განვიხილოთ სეგმენტის მეორე ბოლო:
ფუნქციის გამოყენებით 
, მოდით შევამოწმოთ: 
3) ყველამ ალბათ იცის, როგორ გამოიკვლიოს დარჩენილი მხარე. ჩვენ ვცვლით ფუნქციას და ვახორციელებთ გამარტივებებს:
ხაზი მთავრდება 
უკვე გამოკვლეულია, მაგრამ პროექტზე მაინც ვამოწმებთ, სწორად ვიპოვეთ თუ არა ფუნქცია 
:
– დაემთხვა 1-ლი ქვეპუნქტის შედეგს;
– დაემთხვა მე-2 ქვეპუნქტის შედეგს.
რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა რაიმე საინტერესო სეგმენტის შიგნით:
- იქ არის! სწორი ხაზის განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ამ "საინტერესოობის" ორდინატს:
ნახაზზე ვნიშნავთ წერტილს და ვპოულობთ ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობას:
გავაკონტროლოთ გათვლები „ბიუჯეტის“ ვერსიით 
:
, შეკვეთა.
და ბოლო ნაბიჯი: ყურადღებით დაათვალიერეთ ყველა "მსუქანი" ნომერი, დამწყებთათვისაც კი ვურჩევ შეადგინონ ერთი სია: 
საიდანაც ვირჩევთ უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს. უპასუხედაწერე პოვნის პრობლემის სტილში ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ინტერვალზე:
ყოველ შემთხვევაში, კიდევ ერთხელ კომენტარს გავაკეთებ შედეგის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე:
– აქ არის რეგიონის ზედაპირის უმაღლესი წერტილი;
- აქ არის ზედაპირის ყველაზე დაბალი წერტილი ამ მხარეში.
გაანალიზებულ პრობლემაში აღმოვაჩინეთ 7 „საეჭვო“ წერტილი, მაგრამ მათი რიცხვი განსხვავდება დავალების მიხედვით. სამკუთხა რეგიონისთვის მინიმალური „საძიებო ნაკრები“ შედგება სამი წერტილისგან. ეს ხდება, როდესაც ფუნქცია, მაგალითად, დაყენებულია თვითმფრინავი- სავსებით ნათელია, რომ არ არის სტაციონარული წერტილები და ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ / მინიმალურ მნიშვნელობებს მხოლოდ სამკუთხედის წვეროებზე. მაგრამ არ არსებობს ასეთი მაგალითები ერთხელ, ორჯერ - ჩვეულებრივ, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ რაიმე სახის მე-2 რიგის ზედაპირი.
თუ ასეთ ამოცანებს ცოტა ამოხსნით, მაშინ სამკუთხედებს შეუძლიათ თავი დაგიტრიალონ და ამიტომ მე მოვამზადე არაჩვეულებრივი მაგალითები, რომ ის კვადრატში გახადო :))
მაგალითი 2
იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები 
ხაზებით შემოზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე
მაგალითი 3
იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები შეზღუდულ დახურულ ზონაში.
განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ტერიტორიის საზღვრის შესწავლის რაციონალურ წესრიგს და ტექნიკას, ასევე შუალედური შემოწმებების ჯაჭვს, რომელიც თითქმის მთლიანად თავიდან აიცილებს გამოთვლით შეცდომებს. ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ მოაგვაროთ ის, როგორც გსურთ, მაგრამ ზოგიერთ პრობლემაში, მაგალითად, იგივე მაგალითში 2, არის ყველა შანსი, რომ მნიშვნელოვნად გაართულოთ თქვენი ცხოვრება. გაკვეთილის ბოლოს დავალებების დასრულების სავარაუდო მაგალითი.
ჩვენ ვაწყობთ გადაწყვეტის ალგორითმს, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ობობის ჩემი მონდომებით, ის რატომღაც დაიკარგა პირველი მაგალითის კომენტარების გრძელ ძაფში:
- პირველ საფეხურზე ვაშენებთ უბანს, სასურველია დავჩრდილოთ, საზღვარი კი სქელი ხაზით გამოვყოთ. ამოხსნის დროს გამოჩნდება წერტილები, რომლებიც ნახატზე უნდა დაიტანოთ.
- იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ მათში, რომლებიც ეკუთვნის ტერიტორიას . მიღებული მნიშვნელობები მონიშნულია ტექსტში (მაგალითად, შემოხაზულია ფანქრით). თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას, მაშინ აღვნიშნავთ ამ ფაქტს ხატით ან სიტყვიერად. თუ საერთოდ არ არის სტაციონარული წერტილები, მაშინ ვაკეთებთ წერილობით დასკვნას, რომ ისინი არ არიან. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ ნივთის გამოტოვება შეუძლებელია!
- სასაზღვრო ტერიტორიის შესწავლა. პირველ რიგში, მომგებიანია სწორ ხაზებთან გამკლავება, რომლებიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან (თუ არსებობს). ასევე მონიშნულია "საეჭვო" წერტილებში გამოთვლილი ფუნქციის მნიშვნელობები. ბევრი ითქვა ზემოაღნიშნული გადაწყვეტის ტექნიკის შესახებ და ქვემოთ კიდევ სხვა რამ იქნება ნათქვამი - წაიკითხეთ, ხელახლა წაიკითხეთ, ჩაღრმავდით!
- არჩეული რიცხვებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები და გაეცით პასუხი. ზოგჯერ ხდება, რომ ფუნქცია აღწევს ასეთ მნიშვნელობებს ერთდროულად რამდენიმე წერტილში - ამ შემთხვევაში, ყველა ეს წერტილი უნდა აისახოს პასუხში. მოდით, მაგალითად, 
და აღმოჩნდა, რომ ეს არის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. მერე ამას ვწერთ
საბოლოო მაგალითები ეძღვნება სხვა სასარგებლო იდეებს, რომლებიც გამოგადგებათ პრაქტიკაში:
მაგალითი 4
იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ ზონაში 
.
შეგახსენებთ, რომ ერთად არაწრფივიჩვენ შევხვდით უთანასწორობას და თუ თქვენ არ გესმით ჩანაწერის გეომეტრიული მნიშვნელობა, გთხოვთ, არ გადადოთ და ახლავე განმარტოთ სიტუაცია ;-)
გამოსავალი, როგორც ყოველთვის, იწყება ტერიტორიის მშენებლობით, რომელიც ერთგვარი "ერთადერთია": 
ჰმ, ხანდახან გიწევს არა მხოლოდ მეცნიერების გრანიტის გახეხვა...
ი) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები: 
იდიოტის ოცნების სისტემა :) 
სტაციონარული წერტილი ეკუთვნის რეგიონს, კერძოდ, მდებარეობს მის საზღვარზე.
ასე რომ, ეს არაფერია ... მხიარული გაკვეთილი წავიდა - აი რას ნიშნავს სწორი ჩაის დალევა =)
II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს. ზედმეტის გარეშე, დავიწყოთ x-ღერძით:
1) თუ, მაშინ
იპოვნეთ სად არის პარაბოლის ზედა ნაწილი:
– დააფასეთ ასეთი მომენტები – „დაარტყით“ ზუსტად იმ წერტილში, საიდანაც უკვე ყველაფერი ნათელია. მაგრამ არ დაგავიწყდეთ შეამოწმოთ: 
მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში: 
2) „ერთ სხდომაზე“ „ძირის“ ქვედა ნაწილს შევეხებით - ყოველგვარი კომპლექსების გარეშე ვანაცვლებთ მას ფუნქციაში, უფრო მეტიც, ჩვენ დავინტერესდებით მხოლოდ სეგმენტით:
კონტროლი:
ახლა ეს უკვე მოაქვს გარკვეული აღორძინება მონოტონურ მგზავრობას დახრილ ტრასაზე. მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:
Ჩვენ ვწყვეტთ კვადრატული განტოლებაეს გახსოვს? ... თუმცა დაიმახსოვრეთ, რა თქმა უნდა, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ არ წაიკითხავდით ამ სტრიქონებს =) თუ წინა ორ მაგალითში ათწილადი წილადების გამოთვლები მოსახერხებელი იყო (რაც, სხვათა შორის, იშვიათია), მაშინ აქ ველოდებით ჩვეულებრივი ჩვეულებრივი წილადები. ჩვენ ვპოულობთ "x" ფესვებს და განტოლების გამოყენებით განვსაზღვრავთ "კანდიდატი" პუნქტების შესაბამის "თამაშის" კოორდინატებს: 
გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი წერტილებში: 
თავად შეამოწმეთ ფუნქცია.
ახლა ჩვენ ყურადღებით ვსწავლობთ მოგებულ თასებს და ვწერთ პასუხი:
აი, "კანდიდატები", მაშ "კანდიდატები"!
დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
მაგალითი 5
იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები 
დახურულ ტერიტორიაზე 
ჩანაწერი ხვეული ბრეკეტებით ასე იკითხება: "პუნქტების ნაკრები ისეთი, რომ".
ზოგჯერ ასეთ მაგალითებში იყენებენ ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი, მაგრამ მისი გამოყენების რეალური საჭიროება ნაკლებად სავარაუდოა. ასე, მაგალითად, თუ მოცემულია ფუნქცია იგივე ფართობის მქონე "de", მაშინ მასში ჩანაცვლების შემდეგ - წარმოებული არ არის სირთულეები; უფრო მეტიც, ყველაფერი შედგენილია "ერთი ხაზით" (ნიშანებით) ზედა და ქვედა ნახევარწრეების ცალკე განხილვის გარეშე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, არის უფრო რთული შემთხვევებიც, სადაც ლაგრანგის ფუნქციის გარეშე (სადაც, მაგალითად, იგივე წრის განტოლებაა)ძნელია გაძლება - რა ძნელია კარგი დასვენების გარეშე!
ყველაფერი საუკეთესო, რომ გაიაროთ სესია და შევხვდეთ მალე მომავალ სეზონში!
გადაწყვეტილებები და პასუხები:
მაგალითი 2: გამოსავალი: დახაზეთ ფართობი ნახაზზე:
პრობლემის განცხადება 2:
მოცემულია ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია და უწყვეტია გარკვეული ინტერვალით. საჭიროა ამ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის პოვნა.
თეორიული საფუძველი.
თეორემა (ვაიერშტრასის მეორე თეორემა):
თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია დახურულ ინტერვალში, მაშინ ის აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ ინტერვალში.
ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის შიდა წერტილებში ან მის საზღვრებში. მოდით ილუსტრაციით ყველა შესაძლო ვარიანტი. 
ახსნა:
1) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე, ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
2) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
3) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
4) ფუნქცია მუდმივია ინტერვალზე, ე.ი. იგი აღწევს თავის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში, ხოლო მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობები ერთმანეთის ტოლია.
5) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქციას აქვს როგორც მაქსიმუმი, ასევე მინიმალური ამ ინტერვალზე).
6) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
კომენტარი:
"მაქსიმალური" და "მაქსიმალური ღირებულება" სხვადასხვა რამეა. ეს გამომდინარეობს მაქსიმუმის განმარტებიდან და ფრაზის "მაქსიმალური მნიშვნელობის" ინტუიციური გაგებით.
2 პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი.
4) მიღებული მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) და ჩაწერეთ პასუხი.
მაგალითი 4:
განსაზღვრეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა 
სეგმენტზე.
გამოსავალი:
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული. 
2) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები (და წერტილები, რომლებიც საეჭვოა ექსტრემის მიმართ) განტოლების ამოხსნით. ყურადღება მიაქციეთ წერტილებს, სადაც არ არის ორმხრივი სასრულ წარმოებული. 
3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სტაციონარულ წერტილებზე და ინტერვალის საზღვრებზე.
4) მიღებული მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) და ჩაწერეთ პასუხი.
ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.
ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.
თქვენ შეგიძლიათ გადაამოწმოთ გამოთვლების სისწორე შესასწავლი ფუნქციის გრაფიკის დათვალიერებით. 
კომენტარი:ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას მაქსიმალურ წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას სეგმენტის საზღვარზე.
Განსაკუთრებული შემთხვევა.
დავუშვათ, რომ გსურთ იპოვოთ რაიმე ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზე. ალგორითმის პირველი აბზაცის შესრულების შემდეგ ე.ი. წარმოებულის გაანგარიშებით, ირკვევა, რომ, მაგალითად, იგი იღებს მხოლოდ უარყოფით მნიშვნელობებს მთელ განხილულ სეგმენტზე. გახსოვდეთ, რომ თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება. ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქცია მცირდება მთელი ინტერვალით. ეს სიტუაცია ნაჩვენებია სტატიის დასაწყისში No1 დიაგრამაში.
ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე, ე.ი. მას არ აქვს ექსტრემალური წერტილები. სურათიდან ჩანს, რომ ფუნქცია მიიღებს უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტის მარჯვენა საზღვარზე, ხოლო ყველაზე დიდ მნიშვნელობას მარცხნივ. თუ წარმოებული ინტერვალზე ყველგან დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება. ყველაზე პატარა მნიშვნელობა არის სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ყველაზე დიდი არის მარჯვნივ.
