ბესკროვნი ი.მ. ერთი

1 OAO Angstrem-M

ნაშრომის მიზანია შემუშავდეს a2+b2=c2 ფორმის პითაგორას სამეულების გამოსათვლელი მეთოდები და ალგორითმები. ანალიზის პროცესი განხორციელდა სისტემატური მიდგომის პრინციპების დაცვით. მათემატიკურ მოდელებთან ერთად გამოიყენება გრაფიკული მოდელები, რომლებიც აჩვენებს პითაგორას სამეულის თითოეულ წევრს კომპოზიტური კვადრატების სახით, რომელთაგან თითოეული შედგება ერთეული კვადრატებისგან. დადგინდა, რომ პითაგორას სამეულების უსასრულო ნაკრები შეიცავს უსასრულო რაოდენობის ქვესიმრავლეს, რომლებიც განასხვავებენ b–c მნიშვნელობებს შორის სხვაობით. შემოთავაზებულია პითაგორას სამეულების ფორმირების ალგორითმი ამ სხვაობის ნებისმიერი წინასწარ განსაზღვრული მნიშვნელობით. ნაჩვენებია, რომ პითაგორას სამეულები არსებობს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის 3≤a

პითაგორას სამეული

სისტემის ანალიზი

მათემატიკური მოდელი

გრაფიკული მოდელი

1. ანოსოვი დ.ნ. შევხედოთ მათემატიკას და რაღაც მისგან. - მ.: MTSNMO, 2003. - 24გვ.: ილ.

2. Ayerland K., Rosen M. კლასიკური შესავალი რიცხვების თეორიაში. – მ.: მირი, 1987 წ.

3. ბესკროვნი ი.მ. სისტემის ანალიზი და საინფორმაციო ტექნოლოგიები ორგანიზაციებში: სახელმძღვანელო. - M.: RUDN, 2012. - 392გვ.

4. საიმონ სინგ. ფერმას ბოლო თეორემა.

5. Ferma P. კვლევები რიცხვების თეორიასა და დიოფანტინის ანალიზში. – მ.: ნაუკა, 1992 წ.

6. იაპტრო. Ucoz, ხელმისაწვდომია: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

პითაგორას სამეულები არის სამი მთელი რიცხვის კოჰორტა, რომელიც აკმაყოფილებს პითაგორას x2 + y2 = z2. ზოგადად, ეს არის დიოფანტინის განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევა, კერძოდ, განტოლებათა სისტემები, რომლებშიც უცნობის რაოდენობა აღემატება განტოლებათა რაოდენობას. ისინი ცნობილია დიდი ხნის განმავლობაში, ბაბილონის დროიდან, ანუ პითაგორამდე დიდი ხნით ადრე. და მათ სახელი მას შემდეგ მიიღეს, რაც პითაგორამ დაამტკიცა თავისი ცნობილი თეორემა მათ საფუძველზე. თუმცა, როგორც მრავალი წყაროს ანალიზიდან ჩანს, რომლებშიც პითაგორას სამეულების საკითხი ასე თუ ისე არის შეხებული, ამ სამეულების არსებული კლასების და მათი ფორმირების შესაძლო გზების საკითხი ჯერ კიდევ არ არის ბოლომდე გამჟღავნებული.

ასე რომ, სიმონ სინგჰის წიგნში ნათქვამია: - "პითაგორას მოწაფეებმა და მიმდევრებმა... უთხრეს მსოფლიოს ეგრეთ წოდებული პითაგორას სამი კ-ის პოვნის საიდუმლო". თუმცა ამის შემდეგ ვკითხულობთ: - „პითაგორელები ოცნებობდნენ სხვა პითაგორას სამეულების, სხვა კვადრატების მოძებნაზე, საიდანაც შესაძლებელი იქნებოდა მესამე დიდი კვადრატის დამატება. ... რიცხვების მატებასთან ერთად, პითაგორას სამეულები სულ უფრო იშვიათი და რთული და ძნელი საპოვნელი ხდება. პითაგორელებმა გამოიგონეს ასეთი სამეულის პოვნის მეთოდი და მისი გამოყენებით დაამტკიცეს, რომ უსასრულოდ ბევრია პითაგორას სამეული.

სიტყვები, რომლებიც იწვევს დაბნეულობას, მონიშნულია ციტატაში. რატომ ოცნებობდნენ პითაგორაელები იპოვონ ..., თუ ​​მათ "გამოიგონეს მეთოდი ასეთი სამეულების მოსაძებნად ..." და რატომ დიდი რაოდენობით "უფრო და უფრო რთული ხდება მათი პოვნა ...".

ცნობილი მათემატიკოსის დ.ვ. ანოსოვი, როგორც ჩანს, სასურველი პასუხი გაცემულია. - ”არსებობს ბუნებრივი (ანუ დადებითი მთელი რიცხვი) x, y, z რიცხვების ისეთი სამეული, რომ

x2 + y2 = z2. (ერთი)

შესაძლებელია თუ არა x2+y2=z2 განტოლების ყველა ამონახსნის პოვნა ნატურალურ რიცხვებში? …დიახ. პასუხი არის ის, რომ თითოეული ასეთი გამოსავალი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

სადაც l, m, n არის ნატურალური რიცხვები და m>n, ან ანალოგიური ფორმით, რომელშიც x და y ერთმანეთს ცვლის. ჩვენ შეგვიძლია ვთქვათ ცოტა მოკლედ, რომ x, y, z (2)-დან ყველა შესაძლო ნატურალური l და m > n არის ყველა შესაძლო ამონახსნები (1) x და y-ის პერმუტაციამდე. მაგალითად, სამმაგი (3, 4, 5) მიიღება l=1, m=2, n=1-ით. ... როგორც ჩანს, ბაბილონელებმა იცოდნენ ეს პასუხი, მაგრამ როგორ მივიდნენ, უცნობია“.

ჩვეულებრივ, მათემატიკოსები ცნობილია მათი ფორმულირების სიმკაცრით. მაგრამ, ამ ციტატაში, ასეთი სიმკაცრე არ შეინიშნება. რა კონკრეტულად: იპოვე ან წარმოიდგინე? ცხადია, ეს არის სრულიად განსხვავებული რამ. აქ არის "ახლად გამომცხვარი" სამეულის ხაზი (მოპოვებული ქვემოთ აღწერილი მეთოდით):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

ეჭვგარეშეა, რომ ამ სამეულებიდან თითოეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მიმართებაში (2) და შემდეგ შეიძლება გამოითვალოს l, m, n მნიშვნელობები. მაგრამ, ეს მას შემდეგ, რაც სამეულების ყველა მნიშვნელობა იქნა ნაპოვნი. მაგრამ მანამდე რა?

არ არის გამორიცხული, რომ ამ კითხვებზე პასუხები დიდი ხანია ცნობილია. მაგრამ რატომღაც ისინი ჯერ არ არის ნაპოვნი. ამრიგად, ამ ნაშრომის მიზანია პითაგორას სამეულების ცნობილი მაგალითების მთლიანობის სისტემატური ანალიზი, სამეულების სხვადასხვა ჯგუფში სისტემური ურთიერთობების ძიება და ამ ჯგუფებისთვის დამახასიათებელი სისტემური მახასიათებლების იდენტიფიცირება და შემდეგ მარტივის განვითარება. ეფექტური ალგორითმები სამეულების გამოსათვლელად წინასწარ განსაზღვრული კონფიგურაციით. კონფიგურაციაში ვგულისხმობთ ურთიერთობას სიდიდეებს შორის, რომლებიც ქმნიან სამეულს.

როგორც ინსტრუმენტთა ნაკრები, მათემატიკური აპარატი იმ დონეზე, რომელიც არ სცილდება უმაღლეს სკოლაში ასწავლილი მათემატიკის ჩარჩოებს და სისტემურ ანალიზს აღწერილ მეთოდებზე დაყრდნობით.

მოდელის შენობა

სისტემური ანალიზის თვალსაზრისით, პითაგორას ნებისმიერი სამეული არის ობიექტების მიერ ჩამოყალიბებული სისტემა, რომლებიც სამი რიცხვია და მათი თვისებები. მათი მთლიანობა, რომელშიც ობიექტები მოთავსებულია გარკვეულ ურთიერთობებში და ქმნიან სისტემას, რომელსაც აქვს ახალი თვისებები, რომლებიც არ არის თანდაყოლილი არც ცალკეულ ობიექტებში და არც მათ მთლიანობაში, სადაც ობიექტები მოთავსებულია სხვა ურთიერთობებში.

განტოლებაში (1) სისტემის ობიექტები არის ბუნებრივი რიცხვები, რომლებიც დაკავშირებულია მარტივი ალგებრული ურთიერთობებით: ტოლობის ნიშნის მარცხნივ არის ორი რიცხვის ჯამი, რომელიც ამაღლებულია 2-ის ხარისხზე, მარჯვნივ არის მესამე რიცხვი, ასევე ამაღლებული. 2-ის ხარისხზე. ინდივიდუალური რიცხვები, ტოლობის მარცხნივ, 2-ის ხარისხზე აყვანილი, არ აწესებს რაიმე შეზღუდვას მათი შეკრების მოქმედებაზე - შედეგად მიღებული ჯამი შეიძლება იყოს ნებისმიერი. მაგრამ, შეჯამების ოპერაციის შემდეგ განთავსებული ტოლობის ნიშანი აწესებს სისტემურ შეზღუდვას ამ ჯამის მნიშვნელობაზე: ჯამი ისეთი რიცხვი უნდა იყოს, რომ კვადრატული ფესვის ამოღების მოქმედების შედეგი იყოს ნატურალური რიცხვი. და ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული ტოლობის მარცხენა მხარეს ჩანაცვლებული ნებისმიერი რიცხვისთვის. ამრიგად, ტოლობის ნიშანი განტოლების ორ წევრსა და მესამეს შორის აქცევს წევრთა სამეულს სისტემად. ამ სისტემის ახალი მახასიათებელია ორიგინალური ნომრების მნიშვნელობებზე შეზღუდვების შემოღება.

დამწერლობის ფორმაზე დაყრდნობით, პითაგორას სამეული შეიძლება ჩაითვალოს გეომეტრიული სისტემის მათემატიკური მოდელი, რომელიც შედგება სამი კვადრატისაგან, რომლებიც ერთმანეთთან არის დაკავშირებული შეჯამებისა და თანასწორობის მიმართებებით, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 1. ნახ. 1 არის განსახილველი სისტემის გრაფიკული მოდელი და მისი ვერბალური მოდელი არის განცხადება:

c გვერდის სიგრძის კვადრატის ფართობი ნარჩენების გარეშე შეიძლება დაიყოს ორ კვადრატად a და b სიგრძით, ისე რომ მათი ფართობების ჯამი უდრის თავდაპირველი კვადრატის ფართობს, ანუ სამივეს. a, b და c სიდიდეები დაკავშირებულია მიმართებით

კვადრატის დაშლის გრაფიკული მოდელი

სისტემის ანალიზის კანონების ფარგლებში ცნობილია, რომ თუ მათემატიკური მოდელი ადეკვატურად ასახავს გარკვეული გეომეტრიული სისტემის თვისებებს, მაშინ თავად ამ სისტემის თვისებების ანალიზი საშუალებას გვაძლევს განვმარტოთ მისი მათემატიკური მოდელის თვისებები. მათ უფრო ღრმად გაცნობა, გარკვევა და საჭიროების შემთხვევაში გაუმჯობესება. ეს არის გზა, რომელსაც ჩვენ მივყვებით.

მოდით განვმარტოთ, რომ სისტემური ანალიზის პრინციპების მიხედვით, შეკრება და გამოკლების ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ შედგენილ ობიექტებზე, ანუ ელემენტარული ობიექტების სიმრავლისგან შედგენილ ობიექტებზე. მაშასადამე, ჩვენ აღვიქვამთ ნებისმიერ კვადრატს, როგორც ელემენტარული ან ერთეული კვადრატების სიმრავლისგან შემდგარ ფიგურას. მაშინ ნატურალურ რიცხვებში ამონახსნის მიღების პირობა უდრის იმ პირობის მიღებას, რომ ერთეული კვადრატი განუყოფელია.

ერთეული კვადრატი არის კვადრატი, რომლის თითოეული მხარის სიგრძე ერთის ტოლია. ანუ, როდესაც ერთეული კვადრატის ფართობი განსაზღვრავს შემდეგ გამონათქვამს.

კვადრატის რაოდენობრივი პარამეტრი არის მისი ფართობი, რომელიც განისაზღვრება ერთეული კვადრატების რაოდენობით, რომლებიც შეიძლება განთავსდეს მოცემულ ფართობზე. x თვითნებური მნიშვნელობის მქონე კვადრატისთვის, გამოხატულება x2 განსაზღვრავს კვადრატის ფართობს, რომელიც ჩამოყალიბებულია x ერთეული სეგმენტების სიგრძის სეგმენტებით. x2 ერთეული კვადრატები შეიძლება განთავსდეს ამ კვადრატის ფართობზე.

ზემოაღნიშნული განმარტებები შეიძლება აღიქმებოდეს როგორც ტრივიალური და აშკარა, მაგრამ ეს ასე არ არის. დ.ნ. ანოსოვი ფართობის ცნებას განსხვავებულად განსაზღვრავს: - „... ფიგურის ფართობი უდრის მისი ნაწილების ფართობების ჯამს. რატომ ვართ დარწმუნებული, რომ ეს ასეა? ... წარმოვიდგენთ რაიმე სახის ერთგვაროვანი მასალისგან დამზადებულ ფიგურას, მაშინ მისი ფართობი პროპორციულია მასში შემავალი მატერიის - მისი მასის. შემდგომში გასაგებია, რომ როდესაც სხეულს ვყოფთ რამდენიმე ნაწილად, მათი მასების ჯამი უდრის საწყისი სხეულის მასას. ეს გასაგებია, რადგან ყველაფერი ატომებისა და მოლეკულებისგან შედგება და რაკი მათი რიცხვი არ შეცვლილა, მათი საერთო მასაც არ შეცვლილა... ფაქტობრივად, ერთგვაროვანი მასალის მასა მისი მოცულობის პროპორციულია; ამიტომ, თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ „ფურცლის“ მოცულობა, რომელსაც აქვს მოცემული ფიგურის ფორმა, მისი ფართობის პროპორციულია. ერთი სიტყვით, რომ ფიგურის ფართობი უდრის მისი ნაწილების ფართობების ჯამს, გეომეტრიაში ამის დამტკიცება აუცილებელია. ... კისელევის სახელმძღვანელოში პატიოსნად იყო პოსტულირებული, როგორც ერთგვარი ვარაუდი, ტერიტორიის არსებობა, რომელსაც აქვს ის ქონება, რასაც ახლა განვიხილავთ, და ითქვა, რომ ეს მართლაც ასე იყო, მაგრამ ამას არ დავამტკიცებთ. ასე რომ, პითაგორას თეორემა, თუ ის დადასტურდება ფართობებით, წმინდა ლოგიკური გაგებით, დარჩება ბოლომდე დადასტურებული.

გვეჩვენება, რომ ზემოთ მოყვანილი ერთეული კვადრატის განმარტებები ხსნის მითითებულ დ.ნ. ანოსოვის გაურკვევლობა. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობი განისაზღვრება ერთეული კვადრატების ჯამით, რომლებიც ავსებენ მათ, მაშინ როდესაც მართკუთხედი იყოფა თვითნებურ მიმდებარე ნაწილებად, მართკუთხედის ფართობი ბუნებრივად უდრის. მისი ყველა ნაწილის ჯამი.

უფრო მეტიც, შემოღებული განმარტებები ხსნის აბსტრაქტულ გეომეტრიულ ფიგურებთან მიმართებაში ცნებების „გაყოფა“ და „დამატება“ გამოყენების გაურკვევლობას. მართლაც, რას ნიშნავს მართკუთხედის ან ნებისმიერი სხვა ბრტყელი ფიგურის ნაწილებად დაყოფა? თუ ქაღალდის ფურცელია, მაშინ მისი მოჭრა შესაძლებელია მაკრატლით. თუ მიწა - დააყენე ღობე. ოთახი - განათავსეთ დანაყოფი. რა მოხდება, თუ ეს დახატული კვადრატია? დახაზეთ გამყოფი ხაზი და განაცხადეთ, რომ კვადრატი იყოფა? მაგრამ, ბოლოს და ბოლოს, დ.ი. მენდელეევი: "... ყველაფრის გამოცხადება შეგიძლია, მაგრამ შენ - წადი, დემონსტრირება!"

და შემოთავაზებული განმარტებების გამოყენებით, „ფიგურის გაყოფა“ ნიშნავს ამ ფიგურის შემავსებელი კვადრატების რაოდენობის გაყოფას ორ (ან მეტ) ნაწილად. თითოეულ ამ ნაწილში ერთეული კვადრატების რაოდენობა განსაზღვრავს მის ფართობს. ამ ნაწილების კონფიგურაცია შეიძლება მიენიჭოს თვითნებურად, მაგრამ მათი ფართობების ჯამი ყოველთვის იქნება ორიგინალური ფიგურის ფართობის ტოლი. შესაძლოა, მათემატიკოსებმა ეს არგუმენტები არასწორად ჩათვალონ, შემდეგ კი მათ ვარაუდად ავიღოთ. თუ ასეთი ვარაუდები მისაღებია კისელიოვის სახელმძღვანელოში, მაშინ ჩვენთვის ცოდვა იქნება ასეთი ტექნიკა არ გამოვიყენოთ.

სისტემის ანალიზის პირველი ნაბიჯი არის პრობლემის სიტუაციის იდენტიფიცირება. ამ ეტაპის დასაწყისში გამოიკვლიეს რამდენიმე ასეული პითაგორას სამეული, რომელიც ნაპოვნია სხვადასხვა წყაროებში. ამავდროულად, ყურადღება მიიპყრო იმ ფაქტმა, რომ პუბლიკაციებში ნახსენები პითაგორას სამეულების მთელი ნაკრები შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ჯგუფად, რომლებიც განსხვავდება კონფიგურაციით. ჩვენ განვიხილავთ საწყისი და გამოკლებული კვადრატების გვერდების სიგრძეების განსხვავებას, ანუ c-b მნიშვნელობას, როგორც კონკრეტული კონფიგურაციის ნიშანს. მაგალითად, პუბლიკაციებში ხშირად ნაჩვენებია სამეული, რომელიც აკმაყოფილებს c-b=1 პირობას. დავუშვათ, რომ ასეთი პითაგორას სამეულების მთელი ნაკრები ქმნის სიმრავლეს, რომელსაც დავარქმევთ "კლასს c-1" და გავაანალიზებთ ამ კლასის თვისებებს.

განვიხილოთ ნახატზე ნაჩვენები სამი კვადრატი, სადაც c არის შესამცირებელი კვადრატის გვერდის სიგრძე, b არის გამოკლებული კვადრატის გვერდის სიგრძე და a არის ჩამოყალიბებული კვადრატის გვერდის სიგრძე. მათი განსხვავებიდან. ნახ. 1 ჩანს, რომ გამოკლებული კვადრატის ფართობის გამოკლებისას შემცირებული კვადრატის ფართობიდან, დანარჩენში რჩება ერთეული კვადრატების ორი ზოლი:

იმისათვის, რომ ამ ნაშთიდან კვადრატი ჩამოყალიბდეს, პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს

ეს ურთიერთობები საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ სამეულის ყველა წევრის მნიშვნელობები ერთი მოცემული რიცხვით c. ყველაზე პატარა c რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს მიმართებას (6) არის c = 5. ამრიგად, განისაზღვრა კვადრატის სამივე მხარის სიგრძე, რომელიც აკმაყოფილებს (1) მიმართებას. შეგახსენებთ, რომ საშუალო კვადრატის გვერდის მნიშვნელობა b

არჩეული იყო, როდესაც გადავწყვიტეთ შუა კვადრატის ჩამოყალიბება საწყისი კვადრატის გვერდის ერთით შემცირებით. შემდეგ ურთიერთობებიდან (5), (6). (7) ვიღებთ შემდეგ კავშირს:

საიდანაც გამომდინარეობს, რომ არჩეული მნიშვნელობა c = 5 ცალსახად განსაზღვრავს მნიშვნელობებს b = 4, a = 3.

შედეგად, მიიღება ურთიერთობები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ წარმოადგინოთ ნებისმიერი პითაგორას სამეული კლასის "c - 1" ისეთი ფორმით, სადაც სამივე წევრის მნიშვნელობები განისაზღვრება ერთი მითითებული პარამეტრით - მნიშვნელობით c:

ჩვენ დავამატებთ, რომ რიცხვი 5 ზემოხსენებულ მაგალითში გამოჩნდა, როგორც c-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის მინიმუმი, რომლის განტოლებას (6) აქვს ამონახსნი ნატურალურ რიცხვებში. შემდეგი რიცხვი, რომელსაც აქვს იგივე თვისება, არის 13, შემდეგ 25, შემდეგ 41, 61, 85 და ა.შ. როგორც ხედავთ, რიცხვების ამ სერიაში მეზობელ რიცხვებს შორის ინტერვალები სწრაფად იზრდება. ასე რომ, მაგალითად, სწორი მნიშვნელობის შემდეგ, შემდეგი მოქმედი მნიშვნელობა არის , ხოლო შემდეგ, შემდეგი მოქმედი მნიშვნელობა არის , ანუ მოქმედი მნიშვნელობა ორმოცდაათ მილიონზე მეტია წინაზე!

ახლა გასაგებია, საიდან გაჩნდა ეს ფრაზა წიგნში: - ”რაც იზრდება რიცხვები, პითაგორას სამეულები სულ უფრო და უფრო ნაკლებად არის გავრცელებული და უფრო და უფრო რთული ხდება მათი პოვნა…”. თუმცა, ეს განცხადება სიმართლეს არ შეესაბამება. უბრალოდ უნდა შევხედოთ პითაგორას სამეულებს, რომლებიც შეესაბამება c-ის მეზობელი მნიშვნელობების ზემოთ წყვილებს, რადგან ერთ-ერთ მახასიათებელს მაშინვე იპყრობს თვალი - ორივე წყვილში, რომლებშიც c-ის მნიშვნელობები გამოყოფილია ასეთი დიდი ინტერვალებით, აღმოჩნდება, რომ მეზობელი კენტი რიცხვებია. მართლაც, პირველი წყვილისთვის გვაქვს

ხოლო მეორე წყვილისთვის

ასე რომ, ეს არ არის თვით სამეულები "ნაკლებად და ნაკლებად გავრცელებული", არამედ ინტერვალები c-ის მეზობელ მნიშვნელობებს შორის იზრდება. თავად პითაგორას სამეულები, როგორც ქვემოთ იქნება ნაჩვენები, არსებობს ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვისთვის.

ახლა განვიხილოთ შემდეგი კლასის სამეულები - "კლასი c-2". როგორც ჩანს ნახ. 1, როდესაც კვადრატს ვაკლებთ c გვერდით კვადრატს გვერდით (c - 2), დარჩენილი არის ორი ერთეული ზოლის ჯამი. ამ ჯამის მნიშვნელობა განისაზღვრება განტოლებით:

განტოლებიდან (10) ვიღებთ ურთიერთობას, რომელიც განსაზღვრავს სამეულთა უსასრულო სიმრავლეს რომელიმე კლასის "c-2":

ნატურალურ რიცხვებში (11) განტოლების ამოხსნის არსებობის პირობა არის ნებისმიერი ისეთი მნიშვნელობა c, რომლისთვისაც a არის ნატურალური რიცხვი. c-ის მინიმალური მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არსებობს ამონახსნი არის c = 5. შემდეგ სამეულების ამ კლასის „საწყისი“ სამეული განისაზღვრება სიმრავლით a = 4, b = 3, c = 5. ეს არის ისევ კლასიკური. იქმნება სამმაგი 3, 4, 5, მხოლოდ ახლა გამოკლებული კვადრატის ფართობი ნაკლებია დარჩენილი ფართობზე.

და ბოლოს გავაანალიზოთ „ს-8“ კლასის სამეულები. სამეულების ამ კლასისთვის, კვადრატის ფართობის გამოკლებით საწყისი კვადრატის c2 ფართობიდან, მივიღებთ:

შემდეგ, განტოლებიდან (12) შემდეგია:

c-ის მინიმალური მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არსებობს ამონახსნი არის c = 13. პითაგორას სამეული ამ მნიშვნელობაზე მიიღებს ფორმას 12, 5, 13. ამ შემთხვევაში, გამოკლებული კვადრატის ფართობი ისევ ნაკლებია. დარჩენილი ფართობი. და აღნიშვნების ადგილებზე გადალაგებით, ჩვენ ვიღებთ სამმაგი 5, 12, 13, რომელიც თავისი კონფიგურაციით ეკუთვნის კლასს "c - 1". როგორც ჩანს, სხვა შესაძლო კონფიგურაციების შემდგომი ანალიზი ფუნდამენტურად ახალს ვერაფერს გამოავლენს.

გამოთვლილი კოეფიციენტების წარმოშობა

წინა ნაწილში ანალიზის ლოგიკა განვითარდა სისტემური ანალიზის მოთხოვნების შესაბამისად მისი ხუთი ძირითადი ეტაპიდან ოთხში: პრობლემური სიტუაციის ანალიზი, მიზნების ჩამოყალიბება, ფუნქციების ფორმირება და სტრუქტურის ფორმირება. ახლა დროა გადავიდეთ ფინალურ, მეხუთე ეტაპზე – მიზანშეწონილობის ტესტზე, ანუ გამოცდაზე, თუ რამდენად მიიღწევა მიზნები. .

ცხრილი 1 ნაჩვენებია ქვემოთ. 1, რომელიც აჩვენებს პითაგორას სამეულების მნიშვნელობებს, რომლებიც მიეკუთვნება "c - 1" კლასს. სამეულების უმეტესობა გვხვდება სხვადასხვა პუბლიკაციებში, მაგრამ სამმაგი მნიშვნელობების ტოლი 999, 1001 არ არის ნაპოვნი ცნობილ პუბლიკაციებში.

ცხრილი 1

პითაგორას სამეულები კლასის "c-1"

შეიძლება შევამოწმოთ, რომ ყველა სამეული აკმაყოფილებს ურთიერთობას (3). ამრიგად, ერთ-ერთი დასახული მიზანი მიღწეულია. წინა განყოფილებაში მიღებული მიმართებები (9), (11), (13) შესაძლებელს ხდის სამების უსასრულო სიმრავლის ჩამოყალიბებას ერთადერთი პარამეტრის c, შემცირებული კვადრატის მხარის დაყენებით. ეს, რა თქმა უნდა, უფრო კონსტრუქციული ვარიანტია, ვიდრე მიმართება (2), რომლის გამოყენებისთვის თვითნებურად უნდა დააყენოთ სამი რიცხვი l, m, n, რომლებსაც აქვთ რაიმე მნიშვნელობა, შემდეგ მოძებნოთ გამოსავალი, მხოლოდ იმის ცოდნა, რომ საბოლოოდ, პითაგორას სამეული აუცილებლად მიიღება და რომელი უცნობია. ჩვენს შემთხვევაში, ფორმირებული სამეულის კონფიგურაცია წინასწარ არის ცნობილი და მხოლოდ ერთი პარამეტრის დაყენებაა საჭირო. მაგრამ, სამწუხაროდ, ამ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობას არ აქვს გამოსავალი. და წინასწარ უნდა იცოდეთ მისი დასაშვები მნიშვნელობები. ასე რომ, შედეგი კარგია, მაგრამ შორს არის იდეალურისგან. სასურველია მივიღოთ ისეთი ამონახსნი, რომ პითაგორას სამეულები გამოითვალოს ნებისმიერი თვითნებურად მოცემული ნატურალური რიცხვისთვის. ამ მიზნით დავუბრუნდეთ მეოთხე ეტაპს - მიღებული მათემატიკური მიმართებების სტრუქტურის ფორმირებას.

იმის გამო, რომ c მნიშვნელობის არჩევა, როგორც ძირითადი პარამეტრი სამეულის დარჩენილი წევრების დასადგენად, მოუხერხებელი აღმოჩნდა, სხვა ვარიანტი უნდა სცადოთ. როგორც ცხრილიდან ჩანს. 1, პარამეტრის არჩევა a, როგორც საბაზისო, სასურველია, რადგან ამ პარამეტრის მნიშვნელობები რიგზეა კენტი ნატურალური რიცხვების სერიაში. მარტივი გარდაქმნების შემდეგ, ჩვენ მივყავართ ურთიერთობებს (9) უფრო კონსტრუქციულ ფორმაში:

მიმართებები (14) საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ პითაგორას სამეული ნებისმიერი წინასწარ მინიჭებული უცნაური მნიშვნელობისთვის a. ამავდროულად, b-სთვის გამოთქმის სიმარტივე საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ გამოთვლები კალკულატორის გარეშეც. მართლაც, ვირჩევთ, მაგალითად, რიცხვს 13, მივიღებთ:

და 99 რიცხვისთვის, შესაბამისად, ვიღებთ:

კავშირები (15) საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ პითაგორას სტრიქონის სამივე ტერმინის მნიშვნელობები ნებისმიერი მოცემული n-სთვის, დაწყებული n=1-დან.

ახლა განვიხილოთ პითაგორას სამეულები კლასის "c - 2". მაგიდაზე. 2 გვიჩვენებს ათი ასეთი სამეული, როგორც მაგალითი. უფრო მეტიც, ცნობილ პუბლიკაციებში მხოლოდ სამი წყვილი სამეული აღმოჩნდა - 8, 15, 23; 12, 35, 36; და 16, 63, 65. ეს საკმარისი აღმოჩნდა იმ შაბლონების დასადგენად, რომლითაც ისინი ყალიბდებიან. დანარჩენი შვიდი ნაპოვნი იქნა ადრე მიღებული ურთიერთობებიდან (11). გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის, ეს კოეფიციენტები გარდაიქმნა ისე, რომ ყველა პარამეტრი გამოისახოს a-ში. (11)-დან აშკარად გამომდინარეობს, რომ ყველა სამეული კლასისთვის "c - 2" აკმაყოფილებს შემდეგ მიმართებებს:

ცხრილი 2

პითაგორას სამეულები კლასის "c-2"

როგორც ცხრილიდან ჩანს. 2, "c - 2" კლასის სამეულების მთელი უსასრულო ნაკრები შეიძლება დაიყოს ორ ქვეკლასად. სამეულებისთვის, სადაც a-ს მნიშვნელობა იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე, b და c-ის მნიშვნელობები უცნაურია. ასეთ სამეულებს, რომელთათვისაც GCD = 1, პრიმიტიულს უწოდებენ. სამეულებისთვის, რომელთა a მნიშვნელობები არ იყოფა 4-ზე მთელ რიცხვებში, a, b, c სამეულის სამივე წევრი ლუწია.

ახლა გადავიდეთ შერჩეული კლასის მესამე - კლასის „c - 8“ ანალიზის შედეგების განხილვაზე. ამ კლასის გამოთვლილ ურთიერთობებს, მიღებული (13) აქვს ფორმა:

ურთიერთობები (20), (21) არსებითად იდენტურია. განსხვავება მხოლოდ მოქმედებების თანმიმდევრობის არჩევაშია. ან, (20) შესაბამისად, არჩეულია a-ს სასურველი მნიშვნელობა (ამ შემთხვევაში, ეს მნიშვნელობა უნდა გაიყოს 4-ზე), შემდეგ განისაზღვრება b და c მნიშვნელობები. ან, არჩეულია თვითნებური რიცხვი და შემდეგ, ურთიერთობებიდან (21) განისაზღვრება პითაგორას სამეულის სამივე წევრი. მაგიდაზე. 3 გვიჩვენებს ამ გზით გამოთვლილ პითაგორას სამეულების რაოდენობას. ამასთან, პითაგორას სამეულების მნიშვნელობების გამოთვლა კიდევ უფრო ადვილია. თუ მინიმუმ ერთი მნიშვნელობა ცნობილია, მაშინ ყველა შემდგომი მნიშვნელობა განისაზღვრება ძალიან მარტივად შემდეგი ურთიერთობებით:

ცხრილი 3

(22) მიმართების მართებულობა ყველასთვის შეიძლება დადასტურდეს ცხრილიდან ორივე სამეულით. 2, ისევე როგორც სხვა წყაროებიდან. მაგალითად, ცხრილში. 4 დახრილი სამეული პითაგორას სამეულების ვრცელი ცხრილიდან (10000 სამეული), გამოთვლილი კომპიუტერული პროგრამის საფუძველზე მიმართებით (2) და სქელი ტიპი - სამეულები გამოთვლილი მიმართებით (20). ეს მნიშვნელობები არ იყო მითითებულ ცხრილში.

ცხრილი 4

პითაგორას სამეულები კლასის "s-8"

შესაბამისად, ფორმის სამეულებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას შემდეგი ურთიერთობები:

და ფორმის სამეულებისთვის<> გვაქვს თანაფარდობა:

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ ზემოაღნიშნული სამეულების კლასები "c - 1", "c - 2", "c - 8" შეადგენენ მოცემული ცხრილიდან პირველი ათასი სამეულის 90% -ზე მეტს. ეს იძლევა იმის საფუძველს, რომ ეს კლასები საფუძვლად მივიჩნიოთ. დავამატოთ, რომ მიმართებების წარმოშობისას (22), (23), (24) რიცხვთა თეორიაში შესწავლილი რიცხვების განსაკუთრებული თვისებები (პირველი, თანაპირველი და ა.შ.) არ ყოფილა გამოყენებული. პითაგორას სამეულების ფორმირებისას გამოვლენილი კანონზომიერებები განპირობებულია მხოლოდ ამ სამეულებით აღწერილი გეომეტრიული ფიგურების სისტემური თვისებებით - კვადრატებით, რომლებიც შედგება ერთეული კვადრატებისგან.

დასკვნა

ახლა, როგორც ენდრიუ უილსმა თქვა 1993 წელს, "ვფიქრობ, აქ უნდა გავჩერდე". დასახული მიზანი სრულად მიღწეულია. ნაჩვენებია, რომ მათემატიკური მოდელების თვისებების ანალიზი, რომელთა სტრუქტურა ასოცირდება გეომეტრიულ ფიგურებთან, მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, თუ ანალიზის პროცესში წმინდა მათემატიკურ გამოთვლებთან ერთად მიიღება შესასწავლი მოდელების გეომეტრიული თვისებები. მხედველობაში. გამარტივება მიიღწევა, კერძოდ, იმის გამო, რომ მკვლევარი სასურველ შედეგებს მათემატიკური გარდაქმნების გარეშე „ხედავს“.

მაგალითად, თანასწორობა

აშკარა ხდება მისი მარცხენა მხარეს გარდაქმნების გარეშე, მხოლოდ ნახ. 1 ამ თანასწორობის გრაფიკული მოდელისთვის.

შედეგად, ჩატარებული ანალიზის საფუძველზე ნაჩვენებია, რომ ნებისმიერი გვერდითი კვადრატისთვის შეიძლება მოიძებნოს კვადრატები b და c გვერდებით, რომ დაკმაყოფილდეს მათთვის თანასწორობა და მიიღება ურთიერთობები, რომლებიც იძლევა შედეგებს მინიმალური რაოდენობით. გამოთვლების:

უცნაური მნიშვნელობებისთვის a,

და - თანაბარი ღირებულებებისთვის.

ბიბლიოგრაფიული ბმული

ბესკროვნი ი.მ. პითაგორას სამეულების თვისებების სისტემური ანალიზი // თანამედროვე მეცნიერების ინტენსიური ტექნოლოგიები. - 2013. - No 11. - გვ 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (წვდომის თარიღი: 03/20/2020). თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ გამომცემლობა "ბუნების ისტორიის აკადემიის" მიერ გამოცემულ ჟურნალებს.

ბელოტელოვი V.A. პითაგორას სამეულები და მათი რიცხვი // ნესტეროვების ენციკლოპედია

ეს სტატია არის პასუხი ერთ პროფესორზე - პინჩერზე. ნახეთ, პროფესორო, როგორ აკეთებენ ამას ჩვენს სოფელში.

ნიჟნი ნოვგოროდის რეგიონი, ზავოლჟიე.

საჭიროა დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის (ADDE) და მრავალწევრი პროგრესიების ცოდნა.

IF არის მარტივი რიცხვი.

MF არის კომპოზიტური რიცხვი.

იყოს კენტი რიცხვი N. ნებისმიერი კენტი რიცხვისთვის, ერთის გარდა, შეგიძლიათ დაწეროთ განტოლება.

p 2 + N \u003d q 2,

სადაც р + q = N, q – р = 1.

მაგალითად, 21 და 23 ნომრებისთვის, განტოლებები იქნება, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

თუ N არის მარტივი, ეს განტოლება უნიკალურია. თუ რიცხვი N არის შედგენილი, მაშინ შესაძლებელია მსგავსი განტოლებების შედგენა ამ რიცხვის გამომსახველ ფაქტორთა წყვილის რაოდენობაზე, მათ შორის 1 x N.

ავიღოთ რიცხვი N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

ვოცნებობდი, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა, IF-სა და MF-ს შორის ამ განსხვავებაზე მიჯაჭვულობა, მათი იდენტიფიკაციის მეთოდის პოვნა.

შემოვიღოთ აღნიშვნა;

მოდით შევცვალოთ ქვედა განტოლება, -

N \u003d 2-ში - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

დავაჯგუფოთ N-ის მნიშვნელობები კრიტერიუმის მიხედვით - a, ე.ი. მოვაწყოთ მაგიდა.

N რიცხვები შეჯამდა მატრიცაში, -

სწორედ ამ ამოცანისთვის მომიწია გამკლავება მრავალწევრების პროგრესირებასთან და მათ მატრიცებთან. ყველაფერი უშედეგო აღმოჩნდა - PCh თავდაცვა მძლავრად იმართება. მოდით შევიტანოთ სვეტი 1 ცხრილში, სადაც - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Კიდევ ერთხელ. ცხრილი 2 მიღებული იქნა IF და MF-ის იდენტიფიცირების პრობლემის გადაჭრის მცდელობის შედეგად. ცხრილიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი N რიცხვისთვის არის იმდენივე განტოლება 2 + N \u003d ფორმის 2-ში, რამდენ წყვილ ფაქტორად შეიძლება დაიყოს რიცხვი N, მათ შორის ფაქტორი 1 x N. გარდა ამისა. N \u003d ℓ 2 ნომრებზე, სადაც

ℓ - FC. N = ℓ 2-სთვის, სადაც ℓ არის IF, არის უნიკალური განტოლება p 2 + N = q 2. რა დამატებით მტკიცებულებაზე შეიძლება ვისაუბროთ, თუ ცხრილში ჩამოთვლილია მცირე ფაქტორები N ფაქტორების წყვილებიდან, ერთიდან ∞-მდე. ჩვენ დავდებთ ცხრილს 2 ზარდახშაში, ხოლო მკერდს დავმალავთ კარადაში.

დავუბრუნდეთ სტატიის სათაურში მითითებულ თემას.

ეს სტატია არის პასუხი ერთ პროფესორზე - პინჩერზე.

დახმარება ვთხოვე - მჭირდებოდა ნომრების სერია, რომელიც ინტერნეტში ვერ ვიპოვე. მე წავაწყდი კითხვებს, როგორიცაა, - "რისთვის?", "მაგრამ მაჩვენე მეთოდი". კერძოდ, გაჩნდა კითხვა, არის თუ არა პითაგორას სამეულების სერია უსასრულო, "როგორ დავამტკიცოთ?". ის არ დამეხმარა. ნახეთ, პროფესორო, როგორ აკეთებენ ამას ჩვენს სოფელში.

ავიღოთ პითაგორას სამეულების ფორმულა, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (ერთი)

მოდით გავიაროთ ARDU.

შესაძლებელია სამი სიტუაცია:

I. x არის კენტი რიცხვი,

y არის ლუწი რიცხვი

z არის ლუწი რიცხვი.

და არის პირობა x > y > z.

II. x არის კენტი რიცხვი

y არის ლუწი რიცხვი

z არის კენტი რიცხვი.

x > z > y.

III.x - ლუწი რიცხვი,

y კენტი რიცხვია

z არის კენტი რიცხვი.

x > y > z.

დავიწყოთ მე.

შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები

ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (1).

მოდით გავაუქმოთ პატარა ცვლადი 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

მოდით შევამციროთ ცვლადი 2β – 2γ უფრო პატარათ ƒ ახალი პარამეტრის ერთდროულად შემოღებით, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

შემდეგ, 2α - 2β = x - y - 1.

განტოლება (2) მიიღებს ფორმას, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

მოდით კვადრატში -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU პარამეტრების მეშვეობით იძლევა ურთიერთობას განტოლების მთავარ წევრებს შორის, ამიტომ მივიღეთ განტოლება (3).

არ არის მყარი გადაწყვეტილებების შერჩევასთან გამკლავება. მაგრამ, ჯერ ერთი, წასასვლელი არსად არის და მეორეც, ამ გადაწყვეტილებიდან რამდენიმეა საჭირო და ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები.

ƒ = 1, k = 1, გვაქვს x – y = 1.

ƒ = 12, k = 16, გვაქვს x - y = 9.

ƒ = 4, k = 32, გვაქვს x - y = 25.

თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ იგი დიდი ხნის განმავლობაში, მაგრამ საბოლოოდ სერია მიიღებს ფორმას -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

განვიხილოთ ვარიანტი II.

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები განტოლებაში (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

ჩვენ ვამცირებთ პატარა ცვლადით 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

მოდით შევამციროთ პატარა ცვლადით 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z და ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4, გვაქვს x - z = 2.

ƒ = 8, k = 14, გვაქვს x - z = 8.

ƒ = 3, k = 24, გვაქვს x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

მოდით დავხატოთ ტრაპეცია -

დავწეროთ ფორმულა.

სადაც n=1, 2,...∞.

III შემთხვევა არ იქნება აღწერილი - გამოსავალი არ არის.

II პირობისთვის, სამეულების ნაკრები იქნება შემდეგი:

განტოლება (1) წარმოდგენილია x 2 = z 2 + y 2 სიცხადისთვის.

I პირობისთვის, სამეულების ნაკრები იქნება შემდეგი:

ჯამში მოხატულია სამეულის 9 სვეტი, თითოეულში ხუთი სამეული. და თითოეული წარმოდგენილი სვეტი შეიძლება ჩაიწეროს ∞-მდე.

მაგალითად, განვიხილოთ ბოლო სვეტის სამეული, სადაც x - y \u003d 81.

x-ის მნიშვნელობებისთვის ვწერთ ტრაპეციას, -

დავწეროთ ფორმულა

მნიშვნელობებისთვის ჩვენ ვწერთ ტრაპეციას, -

დავწეროთ ფორმულა

z-ის მნიშვნელობებისთვის ჩვენ ვწერთ ტრაპეციას, -

დავწეროთ ფორმულა

სადაც n = 1 ÷ ∞.

როგორც დაგპირდით, სამეულების სერია x - y = 81 დაფრინავს ∞-მდე.

იყო მცდელობა I და II შემთხვევებისთვის აეგოთ მატრიცები x, y, z.

ჩაწერეთ x-ის ბოლო ხუთი სვეტი ზედა რიგებიდან და ააგეთ ტრაპეცია.

ეს არ მუშაობდა და ნიმუში უნდა იყოს კვადრატული. იმისათვის, რომ ყველაფერი ღია სამუშაოში ყოფილიყო, აღმოჩნდა, რომ საჭირო იყო I და II სვეტების გაერთიანება.

II შემთხვევაში, y, z სიდიდეები კვლავ ერთმანეთს ენაცვლება.

ჩვენ შევძელით შერწყმა ერთი მიზეზის გამო - კარტები კარგად ერგება ამ ამოცანას - გაგვიმართლა.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ მატრიცები x, y, z.

ავიღოთ x მნიშვნელობის ბოლო ხუთი სვეტიდან ზედა რიგებიდან და ავაშენოთ ტრაპეცია.

ყველაფერი კარგადაა, შეგიძლიათ ააგოთ მატრიცები და დავიწყოთ z-ის მატრიცით.

კარადისკენ მივრბივარ მკერდისთვის.

ჯამი: ერთის გარდა, რიცხვითი ღერძის ყოველი უცნაური რიცხვი მონაწილეობს პითაგორას სამეულების ფორმირებაში ფაქტორების თანაბარი რაოდენობის წყვილით, რომლებიც ქმნიან ამ რიცხვს N, მათ შორის 1 x N ფაქტორით.

ნომერი N \u003d ℓ 2, სადაც ℓ - IF, ქმნის ერთ პითაგორას სამეულს, თუ ℓ არის MF, მაშინ არ არის სამმაგი ℓхℓ ფაქტორებზე.

ავაშენოთ მატრიცები x, y.

დავიწყოთ x-ის მატრიცით. ამისათვის ჩვენ ავიღებთ მასზე კოორდინატთა ბადეს IF და MF იდენტიფიკაციის პრობლემისგან.

ვერტიკალური რიგების ნუმერაცია ნორმალიზდება გამოსახულებით

მოვიშოროთ პირველი სვეტი, რადგან

მატრიცა მიიღებს ფორმას -

მოდით აღვწეროთ ვერტიკალური რიგები, -

მოდით აღვწეროთ კოეფიციენტები "a", -

მოდით აღვწეროთ თავისუფალი წევრები, -

მოდით გავაკეთოთ ზოგადი ფორმულა "x", -

თუ ჩვენ გავაკეთებთ მსგავს სამუშაოს "y", მივიღებთ -

შეგიძლიათ ამ შედეგს მეორე მხრიდან მიუახლოვდეთ.

ავიღოთ განტოლება,

და 2 + N = 2-ში.

ცოტა შევცვალოთ...

N \u003d 2 - a 2-ში.

მოდით კვადრატში -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს დაამატეთ სიდიდე 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4-ში.

Და ბოლოს -

(2 + a 2-ში) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

პითაგორას სამეულები შედგება შემდეგნაირად:

განვიხილოთ მაგალითი N = 117 რიცხვით.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

ცხრილის 2-ის ვერტიკალური სვეტები დანომრილია მნიშვნელობებით - a, ხოლო მე-3 ცხრილის ვერტიკალური სვეტები დანომრილია x - y მნიშვნელობებით.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

მოდით გავაკეთოთ სამი განტოლება.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

3 და 39 ფაქტორები არ არის შედარებით მარტივი რიცხვები, ამიტომ ერთი სამეული აღმოჩნდა 9-ის კოეფიციენტით.

მოდით გამოვსახოთ ზემოთ დაწერილი ზოგადი სიმბოლოებით, -

ამ ნაშრომში ყველაფერია, მათ შორის მაგალითი რიცხვით პითაგორას სამეულების გამოსათვლელად

N = 117, მიბმული უფრო მცირე ფაქტორზე - a. აშკარა დისკრიმინაცია + ა ფაქტორთან მიმართებაში. გამოვასწოროთ ეს უსამართლობა - შევადგენთ სამ განტოლებას + a-ის კოეფიციენტით.

დავუბრუნდეთ IF და MF-ის იდენტიფიკაციის საკითხს.

ამ მიმართულებით ბევრი რამ გაკეთდა და დღეს ასეთი აზრი გაისმა - არ არსებობს საიდენტიფიკაციო განტოლება და არ არსებობს ისეთი რამ, რაც ფაქტორების განსაზღვრას გულისხმობს.

დავუშვათ, ვიპოვეთ F = a, b (N) მიმართება.

არსებობს ფორმულა

F ფორმულაში შეგიძლიათ მოშორდეთ შიგნიდან და მიიღებთ n-ე ხარისხის ერთგვაროვან განტოლებას a-ს მიმართ, ე.ი. F = a(N).

ამ განტოლების ნებისმიერი n ხარისხისთვის არის N რიცხვი m წყვილი ფაქტორებით, m > n-სთვის.

და შედეგად, n ხარისხის ერთგვაროვან განტოლებას უნდა ჰქონდეს m ფესვები.

დიახ, ეს არ შეიძლება.

ამ ნაშრომში N რიცხვები განიხილებოდა x 2 = y 2 + z 2 განტოლებისთვის, როდესაც ისინი არიან განტოლებაში z ადგილზე. როდესაც N არის x-ის ადგილზე, ეს სხვა ამოცანაა.

პატივისცემით, ბელოტელოვი V.A.

მოსახერხებელი და ძალიან ზუსტი მეთოდი, რომელსაც მიწის ამზომველები იყენებენ მიწაზე პერპენდიკულარული ხაზების დასახაზად, შემდეგია. დაე, საჭირო გახდეს MN წრფის პერპენდიკულარული დახაზვა A წერტილის გავლით (სურ. 13). ჩამოშორდით A-დან AM-ის მიმართულებით სამჯერ გარკვეულ მანძილზე a. შემდეგ თოკზე იკვრება სამი კვანძი, რომელთა შორის მანძილი არის 4a და 5a. უკიდურესი კვანძების მიმაგრებით A და B წერტილებზე, გადაიტანეთ კაბელი შუა კვანძზე. კაბელი განლაგდება სამკუთხედში, რომელშიც A კუთხე მართია.

ეს უძველესი მეთოდი, რომელიც, როგორც ჩანს, ათასობით წლის წინ გამოიყენეს ეგვიპტის პირამიდების მშენებლებმა, ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ თითოეული სამკუთხედი, რომლის გვერდები დაკავშირებულია როგორც 3:4:5, ცნობილი პითაგორას თეორემის მიხედვით, არის მართკუთხა, ვინაიდან

3 2 + 4 2 = 5 2 .

გარდა 3, 4, 5 რიცხვებისა, არსებობს, როგორც ცნობილია, დადებითი მთელი რიცხვების უთვალავი სიმრავლე a, b, c, რომელიც აკმაყოფილებს კავშირს.

A 2 + b 2 \u003d c 2.

მათ პითაგორას რიცხვებს უწოდებენ. პითაგორას თეორემის მიხედვით, ასეთი რიცხვები შეიძლება იყოს რომელიმე მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძე; ამიტომ, a-ს და b-ს უწოდებენ "ფეხებს", ხოლო c-ს - "ჰიპოტენუზას".

ნათელია, რომ თუ a, b, c არის პითაგორას რიცხვების სამმაგი, მაშინ pa, pb, pc, სადაც p არის მთელი რიცხვი, არის პითაგორას რიცხვები. პირიქით, თუ პითაგორას რიცხვებს აქვთ საერთო კოეფიციენტი, მაშინ ამ საერთო ფაქტორით შეგიძლიათ ყველა შეამციროთ და ისევ მიიღებთ პითაგორას რიცხვების სამმაგს. მაშასადამე, ჩვენ პირველ რიგში შევისწავლით თანაპირისპირ პითაგორას რიცხვების მხოლოდ სამეულს (დანარჩენი მათგან მიიღება მთელი რიცხვით p ფაქტორზე გამრავლებით).

ვაჩვენოთ, რომ თითოეულ ასეთ სამეულში a, b, c ერთი "ფეხი" უნდა იყოს ლუწი, მეორე კი კენტი. მოდი ვიკამათოთ „პირიქით“. თუ ორივე "ფეხი" a და b ლუწია, მაშინ რიცხვი a 2 + b 2 იქნება ლუწი და, შესაბამისად, "ჰიპოტენუზა". თუმცა ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ a, b, c რიცხვებს არ აქვთ საერთო კოეფიციენტები, რადგან სამ ლუწი რიცხვს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2. ამრიგად, a, b „ფეხებიდან“ ერთი მაინც უცნაურია.

რჩება კიდევ ერთი შესაძლებლობა: ორივე „ფეხი“ კენტია, ხოლო „ჰიპოტენუზა“ ლუწი. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ ეს არ შეიძლება იყოს. მართლაც, თუ "ფეხებს" ფორმა აქვს

2x + 1 და 2y + 1,

მაშინ მათი კვადრატების ჯამი არის

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

ანუ ეს არის რიცხვი, რომელიც 4-ზე გაყოფისას იძლევა ნაშთს 2-ს. იმავდროულად, ნებისმიერი ლუწი რიცხვის კვადრატი ნაშთის გარეშე უნდა გაიყოს 4-ზე. ასე რომ, ორი უცნაური რიცხვის კვადრატების ჯამი არ შეიძლება იყოს ლუწი რიცხვის კვადრატი; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენი სამი რიცხვი არ არის პითაგორა.

ასე რომ, a, b "ფეხებიდან" ერთი ლუწია, მეორე კი კენტი. მაშასადამე, რიცხვი a 2 + b 2 კენტია, რაც იმას ნიშნავს, რომ „ჰიპოტენუზა“ c ასევე კენტია.

დავუშვათ, განსაზღვრულობისთვის, რომ კენტი არის "ფეხი" a და ლუწი b. თანასწორობიდან

a 2 + b 2 = c 2

ჩვენ ადვილად ვიღებთ:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

ფაქტორები c + b და c - b მარჯვენა მხარეს არის coprime. მართლაც, თუ ამ რიცხვებს ჰქონოდათ საერთო მარტივი კოეფიციენტი ერთის გარდა, მაშინ ჯამი ასევე იყოფა ამ კოეფიციენტზე.

(c + b) + (c - b) = 2c,

და განსხვავება

(c + b) - (c - b) = 2b,

და სამსახური

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

ანუ რიცხვებს 2c, 2b და a ექნებოდათ საერთო ფაქტორი. ვინაიდან a კენტია, ეს კოეფიციენტი განსხვავდება ორისგან და, შესაბამისად, a, b, c რიცხვებს აქვთ იგივე საერთო კოეფიციენტი, რომელიც, თუმცა, არ შეიძლება იყოს. შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა გვიჩვენებს, რომ რიცხვები c + b და c - b არის თანაპირველი.

მაგრამ თუ თანაპირდაპირი რიცხვების ნამრავლი არის ზუსტი კვადრატი, მაშინ თითოეული მათგანი არის კვადრატი, ე.ი.

ამ სისტემის გადაჭრისას ჩვენ ვხვდებით:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, და 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d წთ.

ასე რომ, განხილულ პითაგორას რიცხვებს აქვთ ფორმა

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

სადაც m და n არის რამდენიმე თანმხლები კენტი რიცხვი. მკითხველს შეუძლია მარტივად გადაამოწმოს საპირისპირო: ნებისმიერი უცნაური ტიპისთვის, დაწერილი ფორმულები იძლევა სამ პითაგორას რიცხვს a, b, c.

აქ მოცემულია პითაგორას რიცხვების რამდენიმე სამეული, რომლებიც მიღებულია სხვადასხვა ტიპებით:

m = 3-ისთვის, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 m = 5-ისთვის, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 მ = 7-ისთვის, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 მ = 7-ისთვის = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 m = 11-ზე, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 m = 13-ზე, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 m = 5-ზე , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 m = 7-ისთვის, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 m = 11-ისთვის, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 m = 13, n-ისთვის = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 m = 7-ზე, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 m = 9-ზე, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 m = 13-ზე, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 m = 9-ზე, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 m = 11-ზე, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(პითაგორას რიცხვების ყველა სხვა სამეულს აქვს საერთო ფაქტორები ან შეიცავს ასზე მეტ რიცხვს.)

ჩერვიაკ ვიტალი

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

სკოლის მოსწავლეთა სამეცნიერო პროექტების კონკურსი

რეგიონული სამეცნიერო და პრაქტიკული კონფერენციის „ევრიკა“ ფარგლებში

კუბანის სტუდენტების მეცნიერებათა მცირე აკადემია

პითაგორას რიცხვების შესწავლა

მათემატიკის განყოფილება.

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი, მე-9 კლასი

MOBU SOSH №14

კორენოვსკის რაიონი

Ხელოვნება. ჟურავსკაია

ხელმძღვანელი:

მანკო გალინა ვასილიევნა

მათემატიკის მასწავლებელი

MOBU SOSH №14

კორენოვსკი 2011 წ

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

პითაგორას რიცხვები

Ანოტაცია.

კვლევის თემა:პითაგორას რიცხვები

კვლევის მიზნები:

კვლევის მიზნები:

• მათემატიკური უნარების გამოვლენა და განვითარება;
• მათემატიკური წარმოდგენის გაფართოება თემაზე;
• საგნისადმი მდგრადი ინტერესის ჩამოყალიბება;
• დამოუკიდებელი მუშაობის კომუნიკაციური და ზოგადსაგანმანათლებლო უნარების განვითარება, დისკუსიის წარმართვის, კამათის და ა.შ.
• ანალიტიკური და ლოგიკური აზროვნების ჩამოყალიბება და განვითარება;

Კვლევის მეთოდები:

• ინტერნეტ რესურსების გამოყენება;
• საცნობარო ლიტერატურაზე წვდომა;
• ექსპერიმენტის ჩატარება;

დასკვნა:

• ეს ნამუშევარი შეიძლება გამოვიყენოთ გეომეტრიის გაკვეთილზე, როგორც დამატებითი მასალა, მათემატიკაში არჩევითი ან არჩევითი კურსების ჩასატარებლად, ასევე მათემატიკაში კლასგარეშე სამუშაოებში;

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

1. შესავალი …………………………………………………………………………… 3
2. Მთავარი ნაწილი

2.1 ისტორიული გვერდი………………………………………………………………4

2.2 ლუწი და კენტი ფეხების მტკიცებულება ................................................... .........5-6

2.3 ნიმუშის მოპოვება საპოვნელად

პითაგორას რიცხვები……………………………………………………………………… 7

2.4 პითაგორას რიცხვების თვისებები ……………………………………………… 8

3. დასკვნა…………………………………………………………………………9

4. გამოყენებული წყაროებისა და ლიტერატურის სია…………………… 10

აპლიკაციები ..................................................... ..................................................... .....თერთმეტი

დანართი I………………………………………………………………………… 11

დანართი II………………………………………………………………..13

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

შესავალი

პითაგორას და მისი ცხოვრების შესახებ მეხუთე კლასში მათემატიკის გაკვეთილზე გავიგე და მაინტერესებდა განცხადება „პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია“. პითაგორას თეორემის შესწავლისას დავინტერესდი პითაგორას რიცხვებით.დავაყენეკვლევის მიზანი: შეიტყვეთ მეტი პითაგორას თეორემისა და "პითაგორას რიცხვების" შესახებ.

თემის აქტუალობა. პითაგორას თეორემისა და პითაგორას სამეულების ღირებულება მრავალი საუკუნის განმავლობაში დადასტურდა მრავალი მეცნიერის მიერ მთელს მსოფლიოში. პრობლემა, რომელიც ჩემს ნაშრომში იქნება განხილული, საკმაოდ მარტივია, რადგან ის ეფუძნება მათემატიკურ დებულებას, რომელიც ყველამ იცის - პითაგორას თეორემა: ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის კვადრატებზე აგებული კვადრატების ჯამს. ფეხები. ახლა ნატურალური რიცხვების სამმაგი x, y, z, რისთვისაც x 2 + y 2 = z 2 , ჩვეულებრივ ე.წპითაგორას სამეული. თურმე ბაბილონში უკვე ცნობილი იყო პითაგორას სამეულები. თანდათან ბერძენმა მათემატიკოსებმაც იპოვეს ისინი.

ამ სამუშაოს მიზანი

1. გამოიკვლიეთ პითაგორას რიცხვები;
2. გაიგეთ როგორ მიიღება პითაგორას რიცხვები;
3. გაარკვიეთ რა თვისებები აქვთ პითაგორას რიცხვებს;
4. ექსპერიმენტულად ააგეთ პერპენდიკულარული ხაზები მიწაზე პითაგორას რიცხვების გამოყენებით;

სამუშაოს მიზნის შესაბამისად, მთელი რიგი შემდეგიდავალებები :

1. პითაგორას თეორემის ისტორიის უფრო ღრმა შესწავლა;

2. პითაგორას სამეულების უნივერსალური თვისებების ანალიზი.

3. პითაგორას სამეულების პრაქტიკული გამოყენების ანალიზი.

კვლევის ობიექტი: პითაგორას სამეულები.

შესწავლის საგანი: მათემატიკა.

Კვლევის მეთოდები: - ინტერნეტ რესურსების გამოყენება; - მიმართვა საცნობარო ლიტერატურაზე; - ექსპერიმენტის ჩატარება;

თეორიული მნიშვნელობა:პითაგორას სამეულების აღმოჩენის როლი მეცნიერებაში; პითაგორას აღმოჩენის პრაქტიკული გამოყენება ადამიანის ცხოვრებაში.

გამოყენებული ღირებულებაკვლევა შედგება ლიტერატურული წყაროების ანალიზსა და ფაქტების სისტემატიზაციაში.

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

პითაგორას რიცხვების ისტორიიდან.

• Ანტიკური ჩინეთი:

ჩუ-პეის მათემატიკის წიგნი:[ 2]

„თუ მართი კუთხე დაიშლება მის შემადგენელ ნაწილებად, მაშინ მისი გვერდების ბოლოების დამაკავშირებელი ხაზი იქნება 5, როცა ფუძე არის 3, ხოლო სიმაღლე 4.

• ძველი ეგვიპტე: [2]

კანტორი (მათემატიკის უდიდესი გერმანელი ისტორიკოსი) თვლის, რომ თანასწორობა 3² + 4² = 5² ეგვიპტელებისთვის უკვე ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე დაახლოებით 2300 წელს. ე., მეფის დროსამენემჰეთ (ბერლინის მუზეუმის 6619 პაპირუსის მიხედვით). კანტორის მიხედვითჰარპედონაპტები, ან "თოკის დაჭიმვები", აშენებული მართკუთხა სამკუთხედების გამოყენებით 3-იანი გვერდებით; 4 და 5.

• ბაბილონია: [3]

„პირველი ბერძენი მათემატიკოსების დამსახურება, როგორიცაა თალესი, პითაგორა და პითაგორაელები, არის არა მათემატიკის აღმოჩენა, არამედ მისი სისტემატიზაცია და დასაბუთება. მათ ხელში ბუნდოვან იდეებზე დაფუძნებული გამოთვლითი რეცეპტები ზუსტ მეცნიერებად იქცა.

• პითაგორას თეორემის ისტორია:

მიუხედავად იმისა, რომ ეს თეორემა ასოცირდება პითაგორას სახელთან, იგი ცნობილი იყო მასზე დიდი ხნით ადრე.

ბაბილონურ ტექსტებში ის გვხვდება პითაგორამდე 1200 წლით ადრე.

როგორც ჩანს, მან პირველმა იპოვა მისი მტკიცებულება. ამასთან დაკავშირებით გაკეთდა შემდეგი ჩანაწერი: „... როცა მან აღმოაჩინა, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა ფეხებს შეესაბამება, მან შესწირა ხორბლის ცომისაგან დამზადებული ხარი“.

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

პითაგორას რიცხვების შესწავლა.

• ყოველი სამკუთხედი, გვერდები დაკავშირებულია 3:4:5-ად, ცნობილი პითაგორას თეორემის მიხედვით, მართკუთხაა, რადგან

3 2 + 4 2 = 5 2.

• 3,4 და 5 რიცხვების გარდა, როგორც ცნობილია, არსებობს დადებითი მთელი რიცხვების a, b და c უსასრულო სიმრავლე, რომლებიც აკმაყოფილებენ მიმართებას.
• A 2 + 2-ში = c 2.
• ამ ნომრებს ეძახიანპითაგორას რიცხვები

პითაგორას სამეულები დიდი ხანია ცნობილია. უძველესი ტყის პოტამის საფლავის ქვების არქიტექტურაში არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რომელიც შედგება ორი მართკუთხა სამკუთხედისგან 9, 12 და 15 წყრთა გვერდებით. ფარაონ სნეფრუს (ძვ. წ. XXVII ს.) პირამიდები აშენდა სამკუთხედების გამოყენებით 20, 21 და 29 გვერდებით, ასევე 18, 24 და 30 ათეული ეგვიპტური წყრთა.[ 1 ]

მართკუთხა სამკუთხედს, რომელსაც აქვს 3, 4 და ჰიპოტენუზა 5, ეგვიპტური სამკუთხედი ეწოდება. ამ სამკუთხედის ფართობი უდრის სრულყოფილ რიცხვს 6. პერიმეტრი უდრის 12-ს - რიცხვი, რომელიც ითვლებოდა ბედნიერებისა და კეთილდღეობის სიმბოლოდ.

კვანძებით 12 თანაბარ ნაწილად გაყოფილი თოკის დახმარებით ძველი ეგვიპტელები აშენებდნენ მართკუთხა სამკუთხედს და სწორ კუთხეს. მოსახერხებელი და ძალიან ზუსტი მეთოდი, რომელსაც მიწის ამზომველები იყენებენ მიწაზე პერპენდიკულარული ხაზების დასახაზად. აუცილებელია აიღოთ კაბელი და სამი სამაგრი, თოკი განლაგებულია სამკუთხედად ისე, რომ ერთი მხარე შედგება 3 ნაწილისაგან, მეორე 4 წილისგან და ბოლო ხუთი ასეთი წილისგან. კაბელი განთავსდება სამკუთხედში, რომელშიც არის სწორი კუთხე.

ეს უძველესი მეთოდი, რომელიც, როგორც ჩანს, ათასობით წლის წინ გამოიყენეს ეგვიპტის პირამიდების მშენებლებმა, ემყარება იმ ფაქტს, რომ ყველა სამკუთხედი, რომლის გვერდებიც დაკავშირებულია 3:4:5, პითაგორას თეორემის მიხედვით, არის მართკუთხა სამკუთხედი.

ევკლიდე, პითაგორა, დიოფანტი და მრავალი სხვა მონაწილეობდნენ პითაგორას სამეულების პოვნაში.[ 1]

ნათელია, რომ თუ (x, y, z ) არის პითაგორას სამეული, შემდეგ ნებისმიერი ბუნებრივი k სამმაგი (kx, ky, kz) ასევე იქნება პითაგორას სამეული. კერძოდ, (6, 8, 10), (9, 12, 15) და ა.შ. არის პითაგორას სამეულები.

რიცხვების მატებასთან ერთად, პითაგორას სამეულები უფრო იშვიათი და ძნელად მოსაპოვებელი ხდება. პითაგორელებმა გამოიგონეს პოვნის მეთოდი

ასეთი სამეული და მისი გამოყენებით დაამტკიცა, რომ უსასრულოდ ბევრია პითაგორას სამეული.

სამეულებს, რომლებსაც არ აქვთ 1-ზე მეტი საერთო გამყოფები, უბრალო სამეულებს უწოდებენ.

განვიხილოთ პითაგორას სამეულების ზოგიერთი თვისება.[ 1]

პითაგორას თეორემის მიხედვით, ეს რიცხვები შეიძლება იყოს რომელიმე მართკუთხა სამკუთხედის სიგრძე; ამიტომ, a და b-ს ეწოდება "ფეხები", ხოლო c-ს ეწოდება "ჰიპოტენუზა".
ნათელია, რომ თუ a, b, c არის პითაგორას რიცხვების სამმაგი, მაშინ pa, p, pc, სადაც p არის მთელი რიცხვი, არის პითაგორას რიცხვები.
პირიქითაც მართალია!
მაშასადამე, ჩვენ პირველ რიგში შევისწავლით თანაპირისპირ პითაგორას რიცხვების მხოლოდ სამეულს (დანარჩენი მათგან მიიღება მთელი რიცხვით p ფაქტორზე გამრავლებით).

ვაჩვენოთ, რომ თითოეულ ასეთ სამეულში a, b, c, ერთი "ფეხი" უნდა იყოს ლუწი, ხოლო მეორე კენტი. მოდი ვიკამათოთ „პირიქით“. თუ ორივე "ფეხი" a და b ლუწია, მაშინ რიცხვი a იქნება ლუწი 2 + 2-ში და, შესაბამისად, ჰიპოტენუზა. მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ a, b და c რიცხვებს არ აქვთ საერთო კოეფიციენტები, რადგან სამ ლუწი რიცხვს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2. ამრიგად, a და b "ფეხებიდან" მაინც კენტია.

რჩება კიდევ ერთი შესაძლებლობა: ორივე „ფეხი“ კენტია, ხოლო „ჰიპოტენუზა“ ლუწი. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან თუ "ფეხებს" აქვთ ფორმა 2 x + 1 და 2y + 1, მაშინ მათი კვადრატების ჯამი უდრის

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, ე.ი. არის რიცხვი, რომელიც 4-ზე გაყოფისას იძლევა ნაშთს 2-ის. იმავდროულად, ნებისმიერი ლუწი რიცხვის კვადრატი ნაშთის გარეშე უნდა გაიყოს 4-ზე.

ასე რომ, ორი უცნაური რიცხვის კვადრატების ჯამი არ შეიძლება იყოს ლუწი რიცხვის კვადრატი; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენი სამი რიცხვი არ არის პითაგორა.

დასკვნა:

ასე რომ, "ფეხებიდან" a, ერთ ლუწი და მეორე კენტი. ასე რომ, ნომერი ა 2 + 2-ში კენტი, რაც ნიშნავს, რომ „ჰიპოტენუზა“ გ.

პითაგორამ იპოვა ფორმულები, რომლებიც თანამედროვე სიმბოლიკაში შეიძლება ასე დაიწეროს: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, სადაც n არის მთელი რიცხვი.

ეს რიცხვები პითაგორას სამეულებია.

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

პითაგორას რიცხვების პოვნის ნიმუშის წარმოშობა.

აქ არის შემდეგი პითაგორას სამეული:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

ადვილი მისახვედრია, რომ პითაგორას სამეულის თითოეული რიცხვის 2, 3, 4, 5 და ა.შ. გამრავლებისას მივიღებთ შემდეგ სამეულებს.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 და ა.შ.

ისინი ასევე პითაგორას რიცხვებია/

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

პითაგორას რიცხვების თვისებები.

• პითაგორას რიცხვების განხილვისას მე დავინახე მრავალი თვისება:
• 1) პითაგორას რიცხვებიდან ერთი უნდა იყოს სამის ნამრავლი;
• 2) კიდევ ერთი მათგანი უნდა იყოს ოთხის ნამრავლი;
• 3) და პითაგორას რიცხვებიდან მესამე უნდა იყოს ხუთის ნამრავლი;

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

დასკვნა.

გეომეტრია, ისევე როგორც სხვა მეცნიერებები, წარმოიშვა პრაქტიკის საჭიროებიდან. თავად სიტყვა "გეომეტრია" - ბერძნული, თარგმანში ნიშნავს "გამოკითხვას".

ხალხს ძალიან ადრე შეექმნა მიწის გაზომვის აუცილებლობა. უკვე 3-4 ათასი წლის განმავლობაში ძვ.წ. ჩინეთის მდინარეების ნილოსის, ევფრატის და ტიგროსის ხეობებში ნაყოფიერი მიწის ყოველი ნაწილი მნიშვნელოვანი იყო ხალხის სიცოცხლისთვის. ეს მოითხოვდა გეომეტრიული და არითმეტიკული ცოდნის გარკვეულ მარაგს.

თანდათან ადამიანებმა დაიწყეს უფრო რთული გეომეტრიული ფორმების თვისებების გაზომვა და შესწავლა.

ეგვიპტეშიც და ბაბილონშიც აშენდა კოლოსალური ტაძრები, რომელთა მშენებლობა მხოლოდ წინასწარი გათვლების საფუძველზე შეიძლებოდა. აშენდა აკვედუკებიც. ამ ყველაფერს ნახატები და გამოთვლები სჭირდებოდა. ამ დროისთვის კარგად იყო ცნობილი პითაგორას თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევები, მათ უკვე იცოდნენ, რომ თუ ავიღებთ სამკუთხედებს x, y, z გვერდებით, სადაც x, y, z ისეთი მთელი რიცხვებია, რომ x 2 + y 2 = z 2 , მაშინ ეს სამკუთხედები მართკუთხა იქნება.

მთელი ეს ცოდნა უშუალოდ გამოიყენებოდა ადამიანის ცხოვრების მრავალ სფეროში.

ასე რომ, აქამდე ანტიკურობის მეცნიერისა და ფილოსოფოსის პითაგორას დიდი აღმოჩენა პირდაპირ გამოყენებას პოულობს ჩვენს ცხოვრებაში.

სახლების, გზების, კოსმოსური ხომალდების, მანქანების, ჩარხების, ნავთობსადენების, თვითმფრინავების, გვირაბების, მეტროების და მრავალი სხვა, მშენებლობა. პითაგორას სამეულები პირდაპირ გამოყენებას პოულობენ მრავალი ნივთის დიზაინში, რაც ჩვენს გარშემოა ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

და მეცნიერთა გონება აგრძელებს პითაგორას თეორემის მტკიცებულებების ახალი ვერსიების ძიებას.

• AT ჩემი მუშაობის შედეგად მოვახერხე:
• 1. შეიტყვეთ მეტი პითაგორას, მისი ცხოვრების, პითაგორას საძმოს შესახებ.
• 2. გაეცანით პითაგორას თეორემის ისტორიას.
• 3. გაეცანით პითაგორას რიცხვებს, მათ თვისებებს, ისწავლეთ მათი პოვნა და პრაქტიკაში გამოყენება.

ჩერვიაკ ვიტალი გენადიევიჩი

კრასნოდარის ტერიტორია, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU მე-14 საშუალო სკოლა, მე-9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ხელმძღვანელი: მანკო გალინა ვასილიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი, MOBU №14 საშუალო სკოლა.

ლიტერატურა.

1. გასართობი ალგებრა. ᲛᲔ ᲓᲐ. პერელმანი (გვ. 117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. ანოსოვი დ.ვ. შევხედოთ მათემატიკას და რაღაც მისგან. - M.: MTsNMO, 2003 წ.

5. საბავშვო ენციკლოპედია. - მ .: რსფსრ პედაგოგიურ მეცნიერებათა აკადემიის გამომცემლობა, 1959 წ.

6. სტეპანოვა ლ.ლ. რიცხვების ელემენტარული თეორიის რჩეული თავები. – მ.: პრომეთე, 2001 წ.

7. V. Sierpinsky პითაგორას სამკუთხედები. - მ.: უჭპედგიზი, 1959. ს.111

კვლევის მიმდინარეობა ისტორიული გვერდი; Პითაგორას თეორემა; დაამტკიცეთ, რომ ერთი „ფეხი“ ლუწი უნდა იყოს, მეორე კი კენტი; პითაგორას რიცხვების პოვნის ნიმუშის გამოყვანა; პითაგორას რიცხვების თვისებების გამოვლენა;

შესავალი პითაგორას და მისი ცხოვრების შესახებ მეხუთე კლასში მათემატიკის გაკვეთილზე გავიგე და დამაინტერესა განცხადება „პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია“. პითაგორას თეორემის შესწავლისას დავინტერესდი პითაგორას რიცხვებით. კვლევის მიზანი დავსახე: მეტი გავიგოთ პითაგორას თეორემისა და „პითაგორას რიცხვების“ შესახებ.

ჭეშმარიტება მარადიული იქნება, რამდენად მალე გაიგებს მას სუსტი ადამიანი! ახლა კი პითაგორა ვერნის თეორემა, როგორც მის შორეულ ეპოქაში

პითაგორას რიცხვების ისტორიიდან. ძველი ჩინეთის მათემატიკური წიგნი ჩუ-პეი: „თუ მართი კუთხე დაიშლება მის შემადგენელ ნაწილებად, მაშინ მისი გვერდების ბოლოების დამაკავშირებელი ხაზი იქნება 5, როცა ფუძე არის 3, ხოლო სიმაღლე 4“.

პითაგორას რიცხვები ძველ ეგვიპტელებს შორის კანტორი (მათემატიკის უდიდესი გერმანელი ისტორიკოსი) თვლის, რომ თანასწორობა 3 ² + 4 ² = 5² ეგვიპტელებისთვის უკვე ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2300 წელს. ე., მეფე ამენემჰათის დროს (ბერლინის მუზეუმის 6619 პაპირუსის მიხედვით). კანტორის მიხედვით, ჰარპედონაპტები ანუ „სტრინგები“ მართკუთხედებს აშენებდნენ მართკუთხა სამკუთხედების გამოყენებით 3-ის გვერდით; 4 და 5.

პითაგორას თეორემა ბაბილონში „პირველი ბერძენი მათემატიკოსების დამსახურება, როგორიცაა თალესი, პითაგორა და პითაგორაელები, არის არა მათემატიკის აღმოჩენა, არამედ მისი სისტემატიზაცია და დასაბუთება. მათ ხელში ბუნდოვან იდეებზე დაფუძნებული გამოთვლითი რეცეპტები ზუსტ მეცნიერებად იქცა.

თითოეული სამკუთხედი, გვერდები დაკავშირებულია როგორც 3:4:5, პითაგორას ცნობილი თეორემის მიხედვით, მართკუთხაა, რადგან 3 2 + 4 2 \u003d 5 2. გარდა 3,4 და 5 რიცხვებისა, არსებობს , როგორც მოგეხსენებათ, დადებითი მთელი რიცხვების უსასრულო ნაკრები a , in და c, რომელიც აკმაყოფილებს A 2 + მიმართებას 2 \u003d c 2-ში. ამ რიცხვებს უწოდებენ პითაგორას რიცხვებს.

პითაგორას თეორემის მიხედვით, ეს რიცხვები შეიძლება იყოს რომელიმე მართკუთხა სამკუთხედის სიგრძე; ამიტომ, a და b-ს ეწოდება "ფეხები", ხოლო c-ს ეწოდება "ჰიპოტენუზა". ნათელია, რომ თუ a, b, c არის პითაგორას რიცხვების სამმაგი, მაშინ pa, p, pc, სადაც p არის მთელი რიცხვი, არის პითაგორას რიცხვები. პირიქითაც მართალია! მაშასადამე, ჩვენ ჯერ შევისწავლით პითაგორას თანმხლები რიცხვების მხოლოდ სამეულებს (დანარჩენი მათგან მიიღება მთელი რიცხვით p ფაქტორზე გამრავლებით)

დასკვნა! ასე რომ, a და b რიცხვებიდან ერთი ლუწია, მეორე კი კენტი, რაც ნიშნავს, რომ მესამე რიცხვიც კენტია.

აქ არის შემდეგი პითაგორას სამეული: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681წ. 12, 35, 37; 144+1225=1369წ. 20, 21, 29; 400+441=841

ადვილი მისახვედრია, რომ პითაგორას სამეულის თითოეული რიცხვის 2, 3, 4, 5 და ა.შ. გამრავლებისას მივიღებთ შემდეგ სამეულებს. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 და ა.შ. ისინი ასევე პითაგორას რიცხვებია

პითაგორას რიცხვების თვისებები პითაგორას რიცხვების განხილვისას დავინახე რამდენიმე თვისება: 1) პითაგორას რიცხვებიდან ერთი უნდა იყოს სამის ნამრავლი; 2) ერთი მათგანი უნდა იყოს ოთხის ნამრავლი; 3) ხოლო პითაგორას რიცხვებიდან მეორე უნდა იყოს ხუთის ნამრავლი;

პითაგორას რიცხვების პრაქტიკული გამოყენება

დასკვნა: ჩემი მუშაობის შედეგად მოვახერხე 1. გავიგო მეტი პითაგორას, მისი ცხოვრების, პითაგორას საძმოს შესახებ. 2. გაეცანით პითაგორას თეორემის ისტორიას. 3. გაეცანით პითაგორას რიცხვებს, მათ თვისებებს, ისწავლეთ მათი პოვნა. ექსპერიმენტულად-ექსპერიმენტულად გამოვყოთ მართი კუთხე პითაგორას რიცხვების გამოყენებით.

რიცხვების პითაგორას სამეულები

შემოქმედებითი მუშაობა

სტუდენტი 8 "A"კლასი

MAOU "გიმნაზია No1"

სარატოვის ოქტაბრსკის ოლქი

პანფილოვა ვლადიმერ

ხელმძღვანელი - უმაღლესი კატეგორიის მათემატიკის მასწავლებელი

გრიშინა ირინა ვლადიმეროვნა

შინაარსი

შესავალი ………………………………………………………………………………………… 3

ნაშრომის თეორიული ნაწილი

ძირითადი პითაგორას სამკუთხედის პოვნა

(ძველი ინდუსების ფორმულები)…………………………………………………………………………4

სამუშაოს პრაქტიკული ნაწილი

პითაგორას სამეულების შედგენა სხვადასხვა გზით…………………………………………………………………

პითაგორას სამკუთხედების მნიშვნელოვანი თვისება………………………………………………………….

დასკვნა……………………………………………………………………………………………….

ლიტერატურა……………………………………………………………………………………….10

შესავალი

მიმდინარე სასწავლო წელს მათემატიკის გაკვეთილებზე შევისწავლეთ გეომეტრიის ერთ-ერთი ყველაზე პოპულარული თეორემა – პითაგორას თეორემა. პითაგორას თეორემა გამოიყენება გეომეტრიაში ყოველ ნაბიჯზე, მას ფართო გამოყენება ჰპოვა პრაქტიკაში და ყოველდღიურ ცხოვრებაში. მაგრამ, გარდა თავად თეორემისა, ჩვენ ასევე შევისწავლეთ პითაგორას თეორემის შებრუნებული თეორემა. ამ თეორემის შესწავლასთან დაკავშირებით გავეცანით რიცხვთა პითაგორას სამეულებს, ე.ი. 3 ნატურალური რიცხვის ნაკრებითა , ბ დაგ , რომლის მიმართაც მოქმედებს: = + . ასეთი ნაკრები მოიცავს, მაგალითად, შემდეგ სამეულებს:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

მაშინვე გამიჩნდა კითხვები: რამდენი პითაგორას სამეული შეგიძლია მოიფიქრო? და როგორ შევადგინოთ ისინი?

ჩვენს გეომეტრიის სახელმძღვანელოში, თეორემის, პითაგორას თეორემის საპირისპირო გამოთქმის შემდეგ, მნიშვნელოვანი შენიშვნა გაკეთდა: შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფეხებია დაბ და ჰიპოტენუზათან მართკუთხა სამკუთხედები, რომელთა გვერდების სიგრძე გამოიხატება ნატურალური რიცხვებით, შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულებით:

ა = 2კმ b = k( - )c = k( + , (1)

სადაცკ , მ , ნ არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი დამ > ნ .

ბუნებრივია, ჩნდება კითხვა – როგორ დავამტკიცოთ ეს ფორმულები? და მხოლოდ ამ ფორმულებით არის შესაძლებელი პითაგორას სამეულების ჩამოყალიბება?

ჩემს ნამუშევრებში მე ვცდილობდი პასუხის გაცემას ჩემს გონებაში გაჩენილ კითხვებზე.

ნაშრომის თეორიული ნაწილი

მთავარი პითაგორას სამკუთხედის პოვნა (ძველი ინდუსების ფორმულები)

ჯერ დავამტკიცოთ ფორმულები (1):

მოდით აღვნიშნოთ ფეხების სიგრძეX დაზე და ჰიპოტენუზის სიგრძეზ . პითაგორას თეორემით, ჩვენ გვაქვს თანასწორობა:+ = .(2)

ამ განტოლებას პითაგორას განტოლება ეწოდება. პითაგორას სამკუთხედების შესწავლა მცირდება (2) განტოლების ამოხსნით ნატურალურ რიცხვებში.

თუ რომელიმე პითაგორას სამკუთხედის თითოეული გვერდი გაზრდილია იმავე რაოდენობით, მაშინ მივიღებთ მოცემულის მსგავს ახალ მართკუთხა სამკუთხედს, გვერდებით გამოხატული ბუნებრივი რიცხვებით, ე.ი. ისევ პითაგორას სამკუთხედი.

ყველა მსგავს სამკუთხედს შორის არის ყველაზე პატარა, ადვილი მისახვედრია, რომ ეს იქნება სამკუთხედი, რომლის გვერდებიცX დაზე გამოიხატება თანმხლები რიცხვებით

(gcd (x, y )=1).

ასეთ პითაგორას სამკუთხედს ვუწოდებთმთავარი .

იპოვნეთ პითაგორას მთავარი სამკუთხედები.

მოდით სამკუთხედი (x , წ , ზ ) არის პითაგორას მთავარი სამკუთხედი. ნომრებიX დაზე არის თანაპირველი და ამიტომ ორივე არ შეიძლება იყოს ლუწი. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ორივე არ შეიძლება იყოს უცნაური. ამისათვის ჩვენ აღვნიშნავთ, რომკენტი რიცხვის კვადრატი 8-ზე გაყოფისას იძლევა ნაშთს 1-ს. მართლაც, ნებისმიერი კენტი ნატურალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც2 კ -1 , სადკ ეკუთვნისნ .

აქედან: = -4 კ +1 = 4 კ ( კ -1)+1.

ნომრები( კ -1) დაკ თანმიმდევრულია, ერთი მათგანი უნდა იყოს ლუწი. მერე გამოთქმაკ ( კ -1) იყოფა2 , 4 კ ( კ -1) იყოფა 8-ზე, რაც ნიშნავს როდესაც 8-ზე იყოფა, დარჩენილია 1.

ორი უცნაური რიცხვის კვადრატების ჯამი 8-ზე გაყოფისას იძლევა 2-ის ნაშთს, შესაბამისად, ორი უცნაური რიცხვის კვადრატების ჯამი არის ლუწი რიცხვი, მაგრამ არა 4-ის ნამრავლი და, შესაბამისად, ეს რიცხვიარ შეიძლება იყოს ნატურალური რიცხვის კვადრატი.

ასე რომ, ტოლობა (2) არ შეიძლება იყოს თუx დაზე ორივე უცნაურია.

ამრიგად, თუ პითაგორას სამკუთხედი (x, y, ზ ) - მთავარი, შემდეგ რიცხვებს შორისX დაზე ერთი უნდა იყოს ლუწი და მეორე კენტი. რიცხვი y იყოს ლუწი. ნომრებიX დაზ კენტი (კენტიზ გამომდინარეობს თანასწორობიდან (2)).

განტოლებიდან+ = ჩვენ ამას ვიღებთ= ( ზ + x )( ზ - x ) (3).

ნომრებიზ + x დაზ - x რადგან ორი კენტი რიცხვის ჯამი და სხვაობა ლუწი რიცხვებია და შესაბამისად (4):

ზ + x = 2 ა , ზ - x = 2 ბ , სადა დაბ ეკუთვნისნ .

ზ + x =2 ა , ზ - x = 2 ბ ,

ზ = a+b , x = ა - ბ. (5)

ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომა დაბ შედარებით მარტივი რიცხვებია.

ამას საპირისპირო მტკიცებით ვამტკიცებთ.

მიეცით GCD (ა , ბ )= დ , სადდ >1 .

მერედ ზ დაx და, შესაბამისად, რიცხვებიზ + x დაზ - x . შემდეგ, თანასწორობის საფუძველზე (3) იქნებოდა გამყოფი . Ამ შემთხვევაშიდ იქნება რიცხვების საერთო გამყოფიზე დაX , მაგრამ რიცხვებიზე დაX უნდა იყოს coprime.

ნომერიზე ცნობილია თანაბარი, ისეy = 2 წმ , სადთან - ნატურალური რიცხვი. თანასწორობა (3) ტოლობის (4) საფუძველზე იღებს შემდეგ ფორმას: =2a*2 ბ , ან =აბ.

არითმეტიკიდან ცნობილია რომთუ ორი თანმხლები რიცხვის ნამრავლი არის ნატურალური რიცხვის კვადრატი, მაშინ თითოეული ეს რიცხვი ასევე ნატურალური რიცხვის კვადრატია.

ნიშნავს,a = დაბ = , სადმ დან არის ერთობლივი რიცხვები, რადგან ისინი გამყოფები არიან ერთობლივი რიცხვებისა დაბ .

ტოლობის (5) საფუძველზე გვაქვს:

ზ = + , x = - , = აბ = * = ; c = წთ

მერეy = 2 წთ .

ნომრებიმ დან , იმიტომ არიან კოპრაიმები, არ შეიძლება იყოს კიდეც ერთდროულად. მაგრამ ისინი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს უცნაური, რადგან ამ შემთხვევაშიx = - თანაბარი იქნებოდა, რაც შეუძლებელია. ასე რომ, ერთ-ერთი ნომერიმ ანნ არის ლუწი და მეორე კენტი. ცხადია,y = 2 წთ იყოფა 4-ზე. მაშასადამე, ყველა მთავარ პითაგორას სამკუთხედში, მინიმუმ ერთი ფეხი იყოფა 4-ზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ არ არსებობს პითაგორას სამკუთხედები, რომელთა ყველა გვერდი არის მარტივი რიცხვები.

მიღებული შედეგები შეიძლება გამოიხატოს შემდეგი თეორემით:

ყველა ძირითადი სამკუთხედი, რომელშიცზე არის ლუწი რიცხვი, მიღებულია ფორმულიდან

x = - , წ =2 წთ , ზ = + ( მ > ნ ), სადაცმ დან - ყველა წყვილი ერთობლივი რიცხვი, რომელთაგან ერთი ლუწია, მეორე კი კენტი (არ აქვს მნიშვნელობა რომელი). ყველა ძირითადი პითაგორას სამეული (x, y, ზ ), სადაცზე – კი, ცალსახად განისაზღვრება ამ გზით.

ნომრებიმ დან არ შეიძლება იყოს ორივე ლუწი ან ორივე კენტი, რადგან ამ შემთხვევებში

x = თანაბარი იქნებოდა, რაც შეუძლებელია. ასე რომ, ერთ-ერთი ნომერიმ ანნ ლუწი და მეორე კენტიწ = 2 წთ იყოფა 4-ზე).

სამუშაოს პრაქტიკული ნაწილი

პითაგორას სამეულების შედგენა სხვადასხვა გზით

ინდუისტურ ფორმულებშიმ დან - coprime, მაგრამ შეიძლება იყოს თვითნებური პარიტეტის რიცხვები და მათი გამოყენებით პითაგორას სამეულების გაკეთება საკმაოდ რთულია. ამიტომ, შევეცადოთ ვიპოვოთ განსხვავებული მიდგომა პითაგორას სამეულების შედგენისას.

= - = ( ზ - წ )( ზ + წ ), სადაცX - უცნაური,წ - თუნდაც,ზ - უცნაური

ვ = ზ - წ , u = ზ + წ

= UV , სადu - უცნაური,ვ - კენტი (კოპრიმი)

იმიტომ რომ ორი უცნაური თანმხლები რიცხვის ნამრავლი არის ნატურალური რიცხვის კვადრატი, მაშინu = , ვ = , სადაცკ დალ არის ერთობლივი, კენტი რიცხვები.

ზ - წ = ზ + წ = კ 2 , საიდანაც ტოლობების მიმატებით და ერთმანეთის გამოკლებით მივიღებთ:

2 ზ = + 2 წ = - ე.ი

z= y= x = cl

კ

ლ

x

წ

ზ

37

9

1

9

40

41 (სნულები)*(100…0 (სნულები) +1)+1 =200…0 (s-1ნულები) 200…0 (s-1ნულები) 1

პითაგორას სამკუთხედების მნიშვნელოვანი თვისება

თეორემა

მთავარ პითაგორას სამკუთხედში, ერთი ფეხი აუცილებლად იყოფა 4-ზე, ერთი ფეხი აუცილებლად იყოფა 3-ზე და პითაგორას სამკუთხედის ფართობი აუცილებლად არის 6-ის ჯერადი.

მტკიცებულება

როგორც ვიცით, პითაგორას ნებისმიერ სამკუთხედში ერთი ფეხი მაინც იყოფა 4-ზე.

დავამტკიცოთ, რომ ერთ-ერთი ფეხი ასევე იყოფა 3-ზე.

ამის დასამტკიცებლად, დავუშვათ, რომ პითაგორას სამკუთხედში (x , წ , ზ x ანწ 3-ის ჯერადი.

ახლა ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ პითაგორას სამკუთხედის ფართობი იყოფა 6-ზე.

ნებისმიერ პითაგორას სამკუთხედს აქვს ფართობი, რომელიც გამოხატულია როგორც 6-ის ბუნებრივი ჯერადი. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ მინიმუმ ერთი ფეხი იყოფა 3-ზე და ერთი ფეხი მაინც იყოფა 4-ზე. სამკუთხედის ფართობი, განისაზღვრება ფეხების ნახევრად ნამრავლით, უნდა იყოს გამოხატული 6-ის ნამრავლით.

დასკვნა

Სამუშაოზე

- ძველი ინდუსების დადასტურებული ფორმულები

- ჩაატარა კვლევა პითაგორას სამეულების რაოდენობაზე (მათი უსასრულოდ ბევრია)

- მითითებულია პითაგორას სამეულების პოვნის მეთოდები

- შეისწავლა პითაგორას სამკუთხედების ზოგიერთი თვისება

ჩემთვის ეს იყო ძალიან საინტერესო თემა და ჩემს კითხვებზე პასუხების მოძიება ძალიან საინტერესო საქმიანობად იქცა. სამომავლოდ ვგეგმავ განვიხილო პითაგორას სამკუთხედების კავშირი ფიბონაჩის მიმდევრობასთან და ფერმას თეორემასთან და ვისწავლო პითაგორას სამკუთხედების კიდევ ბევრი თვისება.

ლიტერატურა

ლ.ს. ატანასიანი "გეომეტრია. 7-9 კლასები" მ .: განათლება, 2012 წ.

ვ.სერპინსკი „პითაგორას სამკუთხედები“ მ.: უჩპედგიზი, 1959 წ.

სარატოვი

2014