ექსპონენტი აღინიშნება როგორც , ან .
e ნომერი
მაჩვენებლის ხარისხის საფუძველია e ნომერი. ეს ირაციონალური რიცხვია. დაახლოებით ტოლია
ე ≈ 2,718281828459045...
რიცხვი e განისაზღვრება მიმდევრობის ზღვრით. ეს ე.წ მეორე მშვენიერი ლიმიტი:
.
ასევე, რიცხვი e შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიგით:
.
გამოფენის სქემა
მაჩვენებლის დიაგრამა, y = e x.გრაფიკი აჩვენებს მაჩვენებელს, ერამდენადაც X.
წ (x) = e x
გრაფიკი აჩვენებს, რომ მაჩვენებლის მაჩვენებელი მონოტონურად იზრდება.
ფორმულები
ძირითადი ფორმულები იგივეა, რაც ექსპონენციალური ფუნქციისთვის, რომელსაც აქვს ხარისხი e.
;
;
;
ექსპონენციალური ფუნქციის გამოხატვა a ხარისხის თვითნებური ფუძით ექსპონენტის მეშვეობით:
.
პირადი ღირებულებები
მოდით y (x) = e x. მერე
.
ექსპონენტის თვისებები
მაჩვენებელს აქვს ხარისხის ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები ე > 1 .
განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები
მაჩვენებელი y (x) = e xგანსაზღვრულია x ყველასთვის.
მისი ფარგლებია:
- ∞ < x + ∞
.
მისი მნიშვნელობების ნაკრები:
0
< y < + ∞
.
უკიდურესობა, გაზრდა, შემცირება
ექსპონენტი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. მისი ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში.
ინვერსიული ფუნქცია
მაჩვენებლის ორმხრივი არის ბუნებრივი ლოგარითმი.
;
.
მაჩვენებლის წარმოებული
წარმოებული ერამდენადაც Xუდრის ერამდენადაც X
:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >
ინტეგრალური
რთული რიცხვები
კომპლექსური რიცხვებით ოპერაციები ხორციელდება გამოყენებით ეილერის ფორმულები:
,
სად არის წარმოსახვითი ერთეული:
.
გამონათქვამები ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით
;
;
.
გამონათქვამები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით
;
;
;
.
დენის სერიის გაფართოება
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
Რა "კვადრატული უთანასწორობა"?კითხვა არაა!) თუ აიღებთ ნებისმიერიკვადრატული განტოლება და შეცვალეთ მასში ნიშანი "=" (ტოლი) ნებისმიერი უთანასწორობის ხატულაზე ( > ≥ < ≤ ≠ ), ვიღებთ კვადრატულ უტოლობას. Მაგალითად:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
აბა, გესმით იდეა...)
აქ შეგნებულად დავაკავშირე განტოლებები და უტოლობა. ფაქტია, რომ პირველი ნაბიჯი გადაჭრის ნებისმიერიკვადრატული უტოლობა - ამოხსენით განტოლება, საიდანაც ეს უტოლობა დგება.ამ მიზეზით - კვადრატული განტოლებების ამოხსნის შეუძლებლობა ავტომატურად იწვევს უტოლობაში სრულ მარცხს. მინიშნება გასაგებია?) თუ რამეა, შეხედეთ როგორ ამოხსნათ ნებისმიერი კვადრატული განტოლება. იქ ყველაფერი დეტალურადაა აღწერილი. და ამ გაკვეთილში ჩვენ განვიხილავთ უთანასწორობებს.
ამოხსნისთვის მზა უტოლობას აქვს ფორმა: მარცხნივ - კვადრატული ტრინომიალი ცული 2 +bx+c, მარჯვნივ - ნული.უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი. პირველი ორი მაგალითი აქ არის მზად არიან გადაწყვეტილების მისაღებად.მესამე მაგალითი ჯერ კიდევ მოსამზადებელია.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
უძველესი დროიდან პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას საჭირო იყო ღირებულებებისა და რაოდენობების შედარება. ამავდროულად გაჩნდა ისეთი სიტყვები, როგორიცაა მეტი და ნაკლები, უფრო მაღალი და ქვედა, მსუბუქი და მძიმე, უფრო მშვიდი და ხმამაღალი, იაფი და ძვირი და ა.შ., რაც ერთგვაროვანი რაოდენობების შედარების შედეგებს აღნიშნავს.
ცნებები მეტი და ნაკლები წარმოიშვა საგნების დათვლასთან, სიდიდეების გაზომვასთან და შედარებასთან დაკავშირებით. მაგალითად, ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა იცოდნენ, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე და რომ სამკუთხედის დიდი გვერდი უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროდ მდებარეობს. არქიმედესმა წრის გარშემოწერილობის გამოთვლისას აღმოაჩინა, რომ ნებისმიერი წრის პერიმეტრი უდრის სამჯერ დიამეტრს, ჭარბი, რომელიც დიამეტრის მეშვიდეზე ნაკლებია, მაგრამ დიამეტრის ათ სამოცდათერთმეტზე მეტი.
სიმბოლურად დაწერეთ ურთიერთობები რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის > და b ნიშნების გამოყენებით. ჩანაწერები, რომლებშიც ორი რიცხვი დაკავშირებულია ერთ-ერთი ნიშნით: > (უფრო მეტი), დაწყებით კლასებშიც შეგხვდათ რიცხვითი უტოლობები. თქვენ იცით, რომ უთანასწორობა შეიძლება იყოს ან არ იყოს ჭეშმარიტი. მაგალითად, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) არის სწორი რიცხვითი უტოლობა, 0.23 > 0.235 არის არასწორი რიცხვითი უტოლობა.
უტოლობები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს, შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი უცნობის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და მცდარი სხვებისთვის. მაგალითად, უტოლობა 2x+1>5 მართალია x = 3-ისთვის, მაგრამ მცდარია x = -3-ისთვის. უტოლობისთვის ერთ უცნობისთან, შეგიძლიათ დააყენოთ დავალება: ამოხსნათ უტოლობა. პრაქტიკაში უტოლობების ამოხსნის ამოცანები დასმული და გადაწყვეტილია არანაკლებ ხშირად, ვიდრე განტოლებების ამოხსნის ამოცანები. მაგალითად, მრავალი ეკონომიკური პრობლემა მცირდება წრფივი უტოლობების სისტემების შესწავლასა და გადაწყვეტაზე. მათემატიკის ბევრ დარგში უტოლობები უფრო ხშირია, ვიდრე განტოლებები.
ზოგიერთი უტოლობა ერთადერთი დამხმარე საშუალებაა გარკვეული ობიექტის არსებობის დასამტკიცებლად ან უარყოფისთვის, მაგალითად, განტოლების ფესვი.
რიცხვითი უტოლობები
შეგიძლიათ შეადაროთ მთელი და ათწილადები. იცოდეთ ერთი და იგივე მნიშვნელის, მაგრამ განსხვავებული მრიცხველის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შედარების წესები; ერთი და იგივე მრიცხველებით, მაგრამ განსხვავებული მნიშვნელებით. აქ თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეადაროთ ნებისმიერი ორი რიცხვი მათი განსხვავების ნიშნის აღმოჩენით.
რიცხვების შედარება ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში. მაგალითად, ეკონომისტი ადარებს დაგეგმილ მაჩვენებლებს რეალურს, ექიმი ადარებს პაციენტის ტემპერატურას ნორმალურთან, ტურნერი ადარებს დამუშავებული ნაწილის ზომებს სტანდარტს. ყველა ასეთ შემთხვევაში ზოგიერთი რიცხვი შედარებულია. რიცხვების შედარების შედეგად წარმოიქმნება რიცხვითი უტოლობები.
განმარტება.რიცხვი a მეტია b რიცხვზე, თუ განსხვავება a-b დადებითია. რიცხვი a ნაკლებია b რიცხვზე, თუ სხვაობა a-b უარყოფითია.
თუ a მეტია b-ზე, მაშინ წერენ: a > b; თუ a ნაკლებია b-ზე, მაშინ წერენ: a ამრიგად, უტოლობა a > b ნიშნავს, რომ სხვაობა a - b დადებითია, ე.ი. a - b > 0. უტოლობა a ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის a და b შემდეგი სამი მიმართებიდან a > b, a = b, a თეორემა.თუ a > b და b > c, მაშინ a > c.
თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
შედეგი.ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით.
თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია ერთნაირი დადებითი რიცხვით, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლდა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
შედეგი.თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა ერთნაირი დადებითი რიცხვით, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
თქვენ იცით, რომ რიცხვითი ტოლობები შეიძლება დაემატოს და გამრავლდეს ტერმინით. შემდეგი, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეასრულოთ მსგავსი მოქმედებები უტოლობებით. პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება უტოლობების ტერმინით ტერმინით დამატებისა და გამრავლების უნარი. ეს მოქმედებები დაგეხმარებათ გადაჭრათ გამოხატვის მნიშვნელობების შეფასებისა და შედარების პრობლემები.
სხვადასხვა ამოცანის ამოხსნისას ხშირად საჭიროა უტოლობათა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ტერმინით დამატება ან გამრავლება. ზოგჯერ ამბობენ, რომ უტოლობები ემატება ან მრავლდება. მაგალითად, თუ ტურისტმა პირველ დღეს გაიარა 20 კმ-ზე მეტი, ხოლო მეორე დღეს 25 კმ-ზე მეტი, მაშინ შეიძლება იმის მტკიცება, რომ ორ დღეში მან 45 კმ-ზე მეტი გაიარა. ანალოგიურად, თუ მართკუთხედის სიგრძე 13 სმ-ზე ნაკლებია, ხოლო სიგანე 5 სმ-ზე ნაკლები, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ამ მართკუთხედის ფართობი 65 სმ2-ზე ნაკლებია.
ამ მაგალითების განხილვისას შემდეგი თეორემები უტოლობების შეკრებისა და გამრავლების შესახებ:
თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების მიმატებისას ვიღებთ იმავე ნიშნის უტოლობას: თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d.
თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების გამრავლებისას, რომლებისთვისაც მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები დადებითია, მიიღება ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობა: თუ a > b, c > d და a, b, c, d დადებითი რიცხვებია, მაშინ ac >. ბდ.
უტოლობები ნიშნით > (უფრო მეტი) და 1/2, 3/4 b, c მკაცრი უტოლობის ნიშნებთან ერთად > და ანალოგიურად, უტოლობა \(a \geq b \) ნიშნავს, რომ რიცხვი a მეტია. b-ზე ან ტოლია, ანუ და არანაკლებ b.
\(\geq \) ნიშნის ან \(\leq \) ნიშნის შემცველ უტოლობას უწოდებენ არამკაცრს. მაგალითად, \(18 \geq 12, \; 11 \leq 12 \) არ არის მკაცრი უტოლობები.
მკაცრი უტოლობების ყველა თვისება ასევე მოქმედებს არამკაცრ უტოლობაზე. უფრო მეტიც, თუ მკაცრი უტოლობებისთვის ნიშნები > საპირისპიროდ ჩაითვალა და თქვენ იცით, რომ რიგი გამოყენებითი ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეადგინოთ მათემატიკური მოდელი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის სახით. გარდა ამისა, თქვენ შეიტყობთ, რომ მრავალი პრობლემის გადაჭრის მათემატიკური მოდელები არის უტოლობები უცნობებთან. ჩვენ გავაცნობთ უტოლობის ამოხსნის ცნებას და ვაჩვენებთ, როგორ შევამოწმოთ არის თუ არა მოცემული რიცხვი კონკრეტული უტოლობის ამოხსნა.
ფორმის უტოლობები
\(ax > b, \quad ax სადაც a და b მოცემულია რიცხვები და x უცნობია, ეწოდება წრფივი უტოლობა ერთი უცნობით.
განმარტება.უტოლობის ამოხსნა ერთ უცნობთან არის უცნობის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ეს უტოლობა იქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. უთანასწორობის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამოხსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.
თქვენ ამოხსნით განტოლებებს უმარტივეს განტოლებამდე მათი შემცირებით. ანალოგიურად, უტოლობების ამოხსნისას, მიდრეკილია მათი შემცირება თვისებების დახმარებით უმარტივესი უტოლობების სახით.
მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნა ერთი ცვლადით
ფორმის უტოლობები
\(ax^2+bx+c >0 \) და \(ax^2+bx+c სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \) ეწოდება მეორე ხარისხის უტოლობები ერთი ცვლადით.
უტოლობის ამოხსნა
\(ax^2+bx+c >0 \) ან \(ax^2+bx+c \) შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ხარვეზების პოვნა, სადაც ფუნქცია \(y= ax^2+bx+c \) დადებითია. ან უარყოფითი მნიშვნელობები ამისათვის საკმარისია გავაანალიზოთ, თუ როგორ მდებარეობს \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეში: სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები - ზემოთ ან ქვემოთ. , კვეთს თუ არა პარაბოლა x ღერძს და თუ კვეთს, მაშინ რომელ წერტილებზე.
მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ერთი ცვლადით:
1) იპოვეთ \(ax^2+bx+c\) კვადრატული ტრინომინალის დისკრიმინანტი და გაარკვიეთ აქვს თუ არა ტრინომს ფესვები;
2) თუ ტრინომს აქვს ფესვები, მაშინ მონიშნეთ ისინი x ღერძზე და სქემატურად დახაზეთ პარაბოლა მონიშნულ წერტილებში, რომელთა ტოტები მიმართულია ზევით > 0-ზე ან ქვევით 0-ზე ან ბოლოში 3) იპოვეთ ხარვეზები x ღერძზე, რომლისთვისაც წერტილების პარაბოლები განლაგებულია x ღერძის ზემოთ (თუ ისინი ამოხსნიან უტოლობას \(ax^2+bx+c >0 \)) ან x ღერძის ქვემოთ (თუ ისინი ხსნიან უტოლობას
\(ax^2+bx+c უტოლობების ამოხსნა ინტერვალების მეთოდით
განიხილეთ ფუნქცია
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა რიცხვის ნაკრები. ფუნქციის ნულები არის რიცხვები -2, 3, 5. ისინი ყოფენ ფუნქციის დომენს \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) ინტერვალებად. ) \) და \( (5; +\infty) \)
მოდით გავარკვიოთ, რა არის ამ ფუნქციის ნიშნები თითოეულ მითითებულ ინტერვალში.
გამოხატულება (x + 2) (x - 3) (x - 5) არის სამი ფაქტორის ნამრავლი. თითოეული ამ ფაქტორის ნიშანი განხილულ ინტერვალებში მითითებულია ცხრილში:
ზოგადად, ფუნქცია მოცემულია ფორმულით
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
სადაც x არის ცვლადი და x 1, x 2, ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები. რიცხვები x 1 , x 2 , ..., x n არის ფუნქციის ნულები. თითოეულ ინტერვალში, რომლებშიც განსაზღვრების დომენი იყოფა ფუნქციის ნულებით, ფუნქციის ნიშანი შენარჩუნებულია და ნულზე გავლისას იცვლება მისი ნიშანი.
ეს თვისება გამოიყენება ფორმის უტოლობების გადასაჭრელად
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) სადაც x 1 , x 2 , ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები
განხილული მეთოდი უტოლობების ამოხსნას ინტერვალების მეთოდს უწოდებენ.
მოვიყვანოთ უტოლობების ინტერვალის მეთოდით ამოხსნის მაგალითები.
ამოხსენით უტოლობა:
\(x(0.5-x)(x+4) ცხადია, f(x) = x(0.5-x)(x+4) ფუნქციის ნულები არის წერტილები \frac(1)(2) , \; x=-4 \)ჩვენ გამოვსახავთ ფუნქციის ნულებს რეალურ ღერძზე და გამოვთვლით ნიშანს თითოეულ ინტერვალზე:
ვირჩევთ იმ ინტერვალებს, რომლებზედაც ფუნქცია არის ნულის ტოლი ან ნაკლები და ვწერთ პასუხს.
პასუხი:
\(x \in \ მარცხნივ (-\infty; \; 1 \მარჯვნივ) \თასი \მარცხნივ[ 4; \; +\infty \მარჯვნივ) \)
მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის წყალში მოხარშული ბოსტნეული სპეციალური რეცეპტის მიხედვით. განვიხილავ ორ საწყის კომპონენტს (ბოსტნეულის სალათს და წყალს) და დასრულებულ შედეგს - ბორშს. გეომეტრიულად, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მართკუთხედის სახით, რომელშიც ერთი მხარე აღნიშნავს სალათის ფოთოლს, მეორე მხარე აღნიშნავს წყალს. ამ ორი მხარის ჯამი აღნიშნავს ბორშს. ასეთი "ბორშის" მართკუთხედის დიაგონალი და ფართობი არის წმინდა მათემატიკური ცნებები და არასოდეს გამოიყენება ბორშის რეცეპტებში.
როგორ იქცევა სალათის ფოთოლი და წყალი მათემატიკურად ბორშად? როგორ შეიძლება ორი სეგმენტის ჯამი გადაიქცეს ტრიგონომეტრიად? ამის გასაგებად, ჩვენ გვჭირდება წრფივი კუთხის ფუნქციები.
მათემატიკის სახელმძღვანელოებში წრფივი კუთხის ფუნქციების შესახებ ვერაფერს იპოვით. მაგრამ მათ გარეშე არ შეიძლება მათემატიკა. მათემატიკის კანონები, ისევე როგორც ბუნების კანონები, მუშაობს იმისდა მიუხედავად, ვიცით თუ არა მათი არსებობა.
წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები არის მიმატების კანონები.ნახეთ, როგორ იქცევა ალგებრა გეომეტრიად და გეომეტრია ტრიგონომეტრიად.
შესაძლებელია თუ არა ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების გარეშე? შეგიძლია, რადგან მათემატიკოსები მაინც ახერხებენ მათ გარეშე. მათემატიკოსების ხრიკი მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი ყოველთვის გვეუბნებიან მხოლოდ იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც თავად შეუძლიათ და არასოდეს გვეუბნებიან იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც მათ არ შეუძლიათ. იხ. თუ ვიცით შეკრების შედეგი და ერთი წევრი, გამოკლებას ვიყენებთ მეორე წევრის საპოვნელად. ყველაფერი. სხვა პრობლემები არ ვიცით და ვერც გადავჭრით. რა უნდა გავაკეთოთ, თუ ვიცით მხოლოდ მიმატების შედეგი და არ ვიცით ორივე ტერმინი? ამ შემთხვევაში, მიმატების შედეგი უნდა დაიშალოს ორ ტერმინად წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. გარდა ამისა, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რა შეიძლება იყოს ერთი ტერმინი და წრფივი კუთხური ფუნქციები გვიჩვენებს რა უნდა იყოს მეორე წევრი, რათა მიმატების შედეგი იყოს ზუსტად ის, რაც გვჭირდება. ასეთი წყვილი ტერმინების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ ძალიან კარგად ვაკეთებთ ჯამის დაშლის გარეშე, გამოკლება საკმარისია ჩვენთვის. მაგრამ ბუნების კანონების მეცნიერულ კვლევებში ჯამის ტერმინებად გაფართოება შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს.
დამატების კიდევ ერთი კანონი, რომელზედაც მათემატიკოსებს არ უყვართ ლაპარაკი (კიდევ ერთი მათი ხრიკი) მოითხოვს, რომ ტერმინებს ჰქონდეს იგივე საზომი ერთეული. სალათის ფურცლისთვის, წყლისა და ბორშისთვის ეს შეიძლება იყოს წონის, მოცულობის, ღირებულების ან გაზომვის ერთეული.
ნახაზი გვიჩვენებს მათემატიკის განსხვავების ორ დონეს. პირველი დონე არის განსხვავებები რიცხვების ველში, რომლებიც მითითებულია ა, ბ, გ. ამას აკეთებენ მათემატიკოსები. მეორე დონე არის განსხვავებები საზომი ერთეულების ფართობში, რომლებიც ნაჩვენებია კვადრატულ ფრჩხილებში და მითითებულია ასოებით. უ. ეს არის ის, რასაც ფიზიკოსები აკეთებენ. ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მესამე დონე - განსხვავებები აღწერილი ობიექტების ფარგლებს შორის. სხვადასხვა ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე ზომის ერთეულების ერთი და იგივე რაოდენობა. რამდენად მნიშვნელოვანია ეს, შეგვიძლია დავინახოთ ბორშის ტრიგონომეტრიის მაგალითზე. თუ ერთსა და იმავე აღნიშვნას დავამატებთ სხვადასხვა ობიექტის გაზომვის ერთეულებს, შეგვიძლია ზუსტად ვთქვათ, რა მათემატიკური სიდიდე აღწერს კონკრეტულ ობიექტს და როგორ იცვლება ის დროთა განმავლობაში ან ჩვენს მოქმედებებთან დაკავშირებით. წერილი ვწყალს ასოთი მოვნიშნავ სსალათს ასოთი მოვნიშნავ ბ- ბორში. აი, როგორი იქნება ბორშჩის წრფივი კუთხის ფუნქციები.
თუ ავიღებთ წყლის ნაწილს და სალათის ნაწილს, ისინი ერთად გადაიქცევიან ბორშის ერთ პორციაში. აქვე გირჩევთ, ცოტათი დაისვენოთ ბორშჩისგან და გაიხსენოთ თქვენი შორეული ბავშვობა. გახსოვთ, როგორ გვასწავლეს კურდღლებისა და იხვების შეკრება? საჭირო იყო იმის დადგენა, რამდენი ცხოველი გამოვა. მერე რა გვასწავლეს? გვასწავლეს რიცხვებისგან ერთეულების გამოყოფა და რიცხვების შეკრება. დიახ, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ნებისმიერ სხვა ნომერს. ეს არის პირდაპირი გზა თანამედროვე მათემატიკის აუტიზმისკენ - ჩვენ არ გვესმის რა, გაუგებარია რატომ და ძალიან ცუდად გვესმის, როგორ უკავშირდება ეს რეალობას, რადგან სამი დონის განსხვავების გამო, მათემატიკოსები მუშაობენ მხოლოდ ერთზე. უფრო სწორი იქნება ვისწავლოთ როგორ გადავიდეთ ერთი საზომი ერთეულიდან მეორეზე.
და კურდღლები, იხვები და პატარა ცხოველები შეიძლება დაითვალოს ნაჭრებად. ერთი საერთო საზომი ერთეული სხვადასხვა ობიექტებისთვის საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ ისინი. ეს არის პრობლემის საბავშვო ვერსია. მოდით შევხედოთ მსგავს პრობლემას მოზრდილებში. რას იღებთ, როდესაც კურდღლებს და ფულს დაამატებთ? აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.
პირველი ვარიანტი. ჩვენ განვსაზღვრავთ კურდღლების საბაზრო ღირებულებას და ვამატებთ მას ხელმისაწვდომ ნაღდ ფულს. ჩვენ მივიღეთ ჩვენი სიმდიდრის მთლიანი ღირებულება ფულის თვალსაზრისით.
მეორე ვარიანტი. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ კურდღლების რაოდენობა ბანკნოტების რაოდენობას, რაც გვაქვს. მოძრავი ქონების რაოდენობას ნაწილებად მივიღებთ.
როგორც ხედავთ, იგივე დამატების კანონი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განსხვავებული შედეგები. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გვინდა ვიცოდეთ.
მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ბორშს. ახლა ჩვენ ვხედავთ რა მოხდება წრფივი კუთხის ფუნქციების კუთხის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.
კუთხე არის ნული. სალათი გვაქვს, მაგრამ წყალი არა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობაც ნულის ტოლია. ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ნულოვანი ბორში უდრის ნულ წყალს. ნულოვანი ბორში ასევე შეიძლება იყოს ნულოვანი სალათი (მარჯვენა კუთხე).
პირადად ჩემთვის ეს არის მთავარი მათემატიკური დასტური იმისა, რომ . ნული არ ცვლის რიცხვს დამატებისას. ეს იმიტომ ხდება, რომ თავად დამატება შეუძლებელია, თუ არის მხოლოდ ერთი ტერმინი და აკლია მეორე წევრი. თქვენ შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ ამას, როგორც გინდათ, მაგრამ გახსოვდეთ - ყველა მათემატიკური ოპერაცია ნულთან ერთად მათემატიკოსებმა გამოიგონეს, ასე რომ, გააუქმეთ თქვენი ლოგიკა და სულელურად შეავსეთ მათემატიკოსების მიერ გამოგონილი განმარტებები: "ნულზე გაყოფა შეუძლებელია", "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე". უდრის ნულს", "ნულ წერტილს მიღმა" და სხვა სისულელეებს. საკმარისია ერთხელ დაიმახსოვროთ, რომ ნული რიცხვი არ არის და არასოდეს გაგიჩნდებათ კითხვა, ნული ნატურალური რიცხვია თუ არა, რადგან ასეთი კითხვა საერთოდ კარგავს ყოველგვარ მნიშვნელობას: როგორ შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვი, რომელიც არ არის რიცხვი. . ეს ჰგავს კითხვას, რა ფერს მივაკუთვნოთ უხილავი ფერი. რიცხვისთვის ნულის დამატება არარსებული საღებავით ხატვას ჰგავს. მშრალ ფუნჯს აფრიალებენ და ყველას ეუბნებიან, რომ „მოვხატეთ“. მაგრამ ცოტას ვშორდები.
კუთხე არის ნულზე მეტი, მაგრამ ორმოცდახუთი გრადუსზე ნაკლები. სალათის ფოთოლი ბევრი გვაქვს, წყალი კი ცოტა. შედეგად ვიღებთ სქელ ბორშს.
კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსია. თანაბარი რაოდენობით გვაქვს წყალი და სალათის ფოთოლი. ეს შესანიშნავი ბორშია (მაპატიონ მზარეულებმა, ეს უბრალოდ მათემატიკაა).
კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსზე მეტია, მაგრამ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები. ბევრი წყალი გვაქვს და ცოტა სალათი. მიიღეთ თხევადი ბორში.
მართი კუთხე. წყალი გვაქვს. სალათის ფოთოლზე მხოლოდ მოგონებები რჩება, რადგან ჩვენ ვაგრძელებთ კუთხის გაზომვას იმ ხაზიდან, რომელიც ოდესღაც სალათის ფოთლებს აღნიშნავდა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობა ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში დაიჭირეთ და დალიეთ წყალი სანამ ის ხელმისაწვდომია)))
Აქ. Რაღაც მსგავსი. აქ შემიძლია სხვა ისტორიების მოყოლა, რაც აქ უფრო შესაფერისი იქნება.
ორ მეგობარს საერთო საქმეში წილი ჰქონდათ. ერთი მათგანის მკვლელობის შემდეგ ყველაფერი მეორეზე გადავიდა.
მათემატიკის გაჩენა ჩვენს პლანეტაზე.
ყველა ეს ამბავი მოთხრობილია მათემატიკის ენაზე წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. სხვა დროს მე გაჩვენებთ ამ ფუნქციების რეალურ ადგილს მათემატიკის სტრუქტურაში. ამასობაში, დავუბრუნდეთ ბორშის ტრიგონომეტრიას და განვიხილოთ პროგნოზები.
შაბათი, 2019 წლის 26 ოქტომბერი
მე ვუყურე საინტერესო ვიდეოს შესახებ გრანდის რიგი ერთს მინუს ერთი პლუს ერთი მინუს ერთი - Numberphile. მათემატიკოსები იტყუებიან. მათ არ ჩაატარეს თანასწორობის ტესტი მსჯელობაში.
ეს ეხმიანება ჩემს მსჯელობას.
მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ნიშნები, რომ მათემატიკოსები გვატყუებენ. მსჯელობის დასაწყისში მათემატიკოსები ამბობენ, რომ თანმიმდევრობის ჯამი დამოკიდებულია მასში ელემენტების რაოდენობა ლუწი თუ არა. ეს არის ობიექტურად დადასტურებული ფაქტი. Შემდეგ რა მოხდება?
შემდეგ მათემატიკოსები აკლებენ თანმიმდევრობას ერთიანობას. რას იწვევს ეს? ეს იწვევს თანმიმდევრობის ელემენტების რაოდენობის ცვლილებას - ლუწი რიცხვი იცვლება კენტ რიცხვში, კენტი რიცხვი იცვლება ლუწ რიცხვში. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ დავამატეთ ერთი ელემენტის ტოლი თანმიმდევრობით. მიუხედავად ყველა გარეგანი მსგავსებისა, ტრანსფორმაციის წინ თანმიმდევრობა არ არის გარდაქმნის შემდგომ მიმდევრობის ტოლი. მაშინაც კი, თუ ჩვენ ვსაუბრობთ უსასრულო მიმდევრობაზე, უნდა გვახსოვდეს, რომ უსასრულო მიმდევრობა კენტი რაოდენობის ელემენტებით არ არის უსასრულო მიმდევრობის ტოლი ელემენტების ლუწი რაოდენობით.
ელემენტების რაოდენობის მიხედვით განსხვავებულ ორ მიმდევრობას შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით, მათემატიკოსები ამტკიცებენ, რომ თანმიმდევრობის ჯამი არ არის დამოკიდებული მიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე, რაც ეწინააღმდეგება ობიექტურად დადგენილ ფაქტს. შემდგომი მსჯელობა უსასრულო მიმდევრობის ჯამის შესახებ მცდარია, რადგან ის დაფუძნებულია ცრუ თანასწორობაზე.
თუ ხედავთ, რომ მათემატიკოსები მტკიცებულებების მსვლელობისას ათავსებენ ფრჩხილებს, გადააწყობენ მათემატიკური გამოთქმის ელემენტებს, დაამატებენ ან ამოიღებენ რაღაცას, იყავით ძალიან ფრთხილად, დიდი ალბათობით ისინი თქვენს მოტყუებას ცდილობენ. ბარათების შემთხვევის მსგავსად, მათემატიკოსები თქვენს ყურადღებას აქცევენ გამოხატვის სხვადასხვა მანიპულაციებით, რათა საბოლოოდ მოგცეთ ცრუ შედეგი. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ გაიმეოროთ ბარათის ხრიკი თაღლითობის საიდუმლოების ცოდნის გარეშე, მაშინ მათემატიკაში ყველაფერი ბევრად უფრო მარტივია: თქვენ არც კი გეპარებათ ეჭვი მოტყუებაზე, მაგრამ ყველა მანიპულაციის გამეორება მათემატიკური გამოთქმით საშუალებას გაძლევთ დაარწმუნოთ სხვები. შედეგის სისწორე, ისევე როგორც მაშინ, როცა დაგარწმუნეთ.
კითხვა აუდიტორიისგან: და უსასრულობა (როგორც ელემენტების რაოდენობა S მიმდევრობაში), არის ის ლუწი თუ კენტი? როგორ შეგიძლიათ შეცვალოთ პარიტეტი იმის, რასაც არ აქვს პარიტეტი?
მათემატიკოსებისთვის უსასრულობა მღვდლებისთვის ზეცის სამეფოს ჰგავს - იქ არავინ ყოფილა, მაგრამ ყველამ ზუსტად იცის, როგორ მუშაობს იქ ყველაფერი))) გეთანხმები, სიკვდილის შემდეგ აბსოლუტურად გულგრილი იქნები, იცხოვრე დღეების ლუწი თუ კენტი რაოდენობით. , მაგრამ ... თქვენი ცხოვრების დასაწყისში მხოლოდ ერთ დღეს დავამატებთ, მივიღებთ სრულიად განსხვავებულ ადამიანს: მისი გვარი, სახელი და პატრონიმი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ დაბადების თარიღი არის სრულიად განსხვავებული - ის დაიბადა ერთი. შენს წინ დღით.
ახლა კი საქმეზე))) დავუშვათ, სასრული მიმდევრობა, რომელსაც აქვს პარიტეტი, კარგავს ამ პარიტეტს უსასრულობამდე გადასვლისას. მაშინ უსასრულო მიმდევრობის ნებისმიერმა სასრულმა სეგმენტმა ასევე უნდა დაკარგოს პარიტეტი. ჩვენ ამას არ ვაკვირდებით. ის ფაქტი, რომ დანამდვილებით ვერ ვიტყვით, ელემენტების რაოდენობა უსასრულო მიმდევრობაში ლუწია თუ კენტი, საერთოდ არ ნიშნავს, რომ პარიტეტი გაქრა. პარიტეტი, თუ ის არსებობს, უკვალოდ ვერ გაქრება უსასრულობაში, როგორც კარტის ბასრი ყდის. ამ საქმის ძალიან კარგი ანალოგია.
ოდესმე გკითხავთ საათში მჯდომ გუგულს, რომელი მიმართულებით ბრუნავს საათის ისარი? მისთვის ისარი ბრუნავს საპირისპირო მიმართულებით, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ "საათის ისრის". შეიძლება პარადოქსულად ჟღერდეს, მაგრამ ბრუნის მიმართულება დამოკიდებულია მხოლოდ იმაზე, თუ რომელი მხრიდან ვაკვირდებით ბრუნვას. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ერთი ბორბალი, რომელიც ბრუნავს. ვერ ვიტყვით, რომელი მიმართულებით ხდება ბრუნვა, რადგან შეგვიძლია დავაკვირდეთ ბრუნვის სიბრტყის ერთი მხრიდან და მეორე მხრიდან. ჩვენ მხოლოდ იმის მოწმობა შეგვიძლია, რომ არსებობს როტაცია. სრული ანალოგია უსასრულო მიმდევრობის პარიტეტთან ს.
ახლა დავამატოთ მეორე მბრუნავი ბორბალი, რომლის ბრუნვის სიბრტყე პარალელურია პირველი მბრუნავი ბორბლის ბრუნვის სიბრტყის. ჩვენ ჯერ კიდევ არ შეგვიძლია ზუსტად გეტყვით, რომელი მიმართულებით ტრიალებს ეს ბორბლები, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია აბსოლუტური დარწმუნებით ვთქვათ, ორივე ბორბალი ტრიალებს იმავე მიმართულებით თუ საპირისპირო მიმართულებით. ორი უსასრულო მიმდევრობის შედარება სდა 1-ს, მათემატიკის დახმარებით ვაჩვენე, რომ ამ მიმდევრობებს განსხვავებული პარიტეტი აქვთ და მათ შორის ტოლობის ნიშნის დადება შეცდომაა. პირადად მე მჯერა მათემატიკის, არ ვენდობი მათემატიკოსებს))) სხვათა შორის, იმისთვის, რომ სრულად გავიგოთ უსასრულო მიმდევრობების გარდაქმნების გეომეტრია, აუცილებელია კონცეფციის შემოღება. "ერთდროულობა". ამის დახატვა დასჭირდება.
ოთხშაბათი, 7 აგვისტო, 2019 წ
საუბრის დასრულებისას ჩვენ უნდა განვიხილოთ უსასრულო ნაკრები. იმის გათვალისწინებით, რომ "უსასრულობის" კონცეფცია მოქმედებს მათემატიკოსებზე, როგორც ბოა კონსტრიქტორი კურდღელზე. უსასრულობის მომაჯადოებელი საშინელება მათემატიკოსებს ართმევს საღ აზრს. აი მაგალითი:
ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა აღნიშნავს ნამდვილ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითისთვის ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოვიდგინოთ შემდეგნაირად:
მათი საქმის ვიზუალურად დასამტკიცებლად მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. მე პირადად ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც შამანების ცეკვას ტამბურთან. არსებითად, ისინი ყველა ჩამოდიან იმ ფაქტზე, რომ ან ზოგიერთი ოთახი დაკავებული არ არის და მათში ახალი სტუმრები სახლდებიან, ან ზოგიერთ სტუმარს დერეფანში აგდებენ სტუმრებისთვის ადგილის გასათავისუფლებლად (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადაადგილებას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ სასტუმრო ოთახს, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ თავისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორის უგულებელყოფა შეიძლება სულელურად, მაგრამ ეს უკვე კატეგორიიდან იქნება „კანონი სულელებისთვის არ წერია“. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.
რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? Infinity Inn არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ვაკანსია, რამდენი ოთახიც არ უნდა იყოს დაკავებული. თუ გაუთავებელ დერეფანში „ვიზიტორებისთვის“ ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სტუმრებისთვის“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. ამავდროულად, „უსასრულო სასტუმროს“ აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის ღმერთების მიერ შექმნილ სამყაროებში. მათემატიკოსები კი ბანალურ ყოველდღიურ პრობლემებს ვერ შორდებიან: ღმერთი-ალაჰ-ბუდა ყოველთვის ერთია, სასტუმრო ერთია, დერეფანი მხოლოდ ერთი. ასე რომ, მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას, დაგვარწმუნონ იმაში, რომ შესაძლებელია „გაუძარცველის გადაყრა“.
მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი სიმრავლე არსებობს - ერთი თუ ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები, ბუნებაში რიცხვები არ არსებობს. დიახ, ბუნებამ მშვენივრად იცის დათვლა, მაგრამ ამისთვის იყენებს სხვა მათემატიკურ საშუალებებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. როგორც ბუნება ფიქრობს, სხვა დროს გეტყვით. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განიხილეთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერს.
ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და წასაღებიც არსად არის. ჩვენ ვერ დავამატებთ ამ კომპლექტს, რადგან უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ერთეული უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთეული და დავამატოთ ის რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:
მოქმედებები დავწერე ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეთა თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტები დეტალურად ჩამოვთვალე. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე დაემატება.
ვარიანტი ორი. თაროზე გვაქვს ბუნებრივი რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ ამ კომპლექტს. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. აი რას მივიღებთ:
ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს იმაზე, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ ერთი უსასრულო სიმრავლე დაემატება მეორე უსასრულო სიმრავლეს, შედეგი არის ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.
ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი სახაზავი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს უკვე განსხვავებული ხაზი იქნება, ორიგინალის ტოლი არ არის.
შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე მათემატიკურ პრობლემებს წააწყდებით, იფიქრეთ იმაზე, დგახართ თუ არა ცრუ მსჯელობის გზაზე, რომელსაც მათემატიკოსთა თაობა არღვევს. მათემატიკის გაკვეთილები ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ გვმატებენ გონებრივ შესაძლებლობებს (ან პირიქით, გვართმევენ თავისუფალ აზროვნებას).
pozg.ru
კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ
მე ვწერდი პოსტსკრიპტს სტატიის შესახებ და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაში:
ჩვენ ვკითხულობთ: „...ბაბილონის მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილი იყო განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას“.
Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. ჩვენთვის სუსტია თანამედროვე მათემატიკის იმავე კონტექსტში შეხედვა? ზემოაღნიშნული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, პირადად მე მივიღე შემდეგი:
თანამედროვე მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ აქვს ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილია განსხვავებული სექციების ერთობლიობამდე, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.
შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად – მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი ციკლი მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.
შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ
როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც წარმოდგენილია შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. განვიხილოთ მაგალითი.
შეიძლება ბევრი გვქონდეს მაგრამშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით, ამ ნაკრების ელემენტები ასოს მეშვეობით გამოვყოთ ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის რიგით ნომერს. შემოვიტანოთ ახალი საზომი ერთეული „სექსუალური მახასიათებელი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს მაგრამსქესზე ბ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი "ხალხის" ნაკრები ახლა გახდა "ხალხი სქესის" ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები მამრობითად დავყოთ ბმდა ქალთა bwგენდერული მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ამ სექსუალური მახასიათებლებიდან ერთ-ერთს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია მამაკაცი თუ ქალი. თუ ის ადამიანშია, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას. ნახეთ რა მოხდა.
გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ მივიღეთ ორი ქვესიმრავლე: მამრობითი ქვესიმრავლე ბმდა ქალების ქვეჯგუფი bw. დაახლოებით ისევე მსჯელობენ მათემატიკოსები, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვიშვებენ დეტალებში, არამედ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს – „ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების ქვეჯგუფისაგან და ქალების ქვეჯგუფისაგან“. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა, რამდენად სწორად გამოიყენება მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ რეალურად გარდაქმნები ხდება სწორად, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა მონაკვეთების მათემატიკური დასაბუთება. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.
რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შესაძლებელია ორი კომპლექტის გაერთიანება ერთ სუპერსიმრავლეში საზომი ერთეულის არჩევით, რომელიც იმყოფება ამ ორი ნაკრების ელემენტებში.
როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და საერთო მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულს აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსებმა გააკეთეს ის, რაც ერთხელ გააკეთეს შამანებმა. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ამ "ცოდნას" ისინი გვასწავლიან.
დასასრულს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები
ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.
ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.
მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი დაეწევა კუს. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.
თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.
როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:
იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.
ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.
ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:
მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.
ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან მოძრაობის ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის მაინც გჭირდებათ დამატებითი მონაცემები, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ). კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.
მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სოლიდს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები არის მშვილდით და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ ვირჩევთ „მთლიანის“ ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს „მშვილდით“. ასე იკვებებიან შამანები თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.
ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკში მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთლიანები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა რთული კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" ერთი და იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული კომპლექტი? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო ზუსტად, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასეც იყოს.
ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი pimply ერთად მშვილდი". ფორმირება მოხდა ოთხი განსხვავებული საზომი ერთეულის მიხედვით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (მუწუკში), დეკორაციები (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები იძლევა რეალური ობიექტების ადეკვატურად აღწერას მათემატიკის ენაზე.. აი, როგორ გამოიყურება.
ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში ხაზგასმულია საზომი ერთეულები, რომლის მიხედვითაც წინასწარ ეტაპზე ნაწილდება „მთელი“. საზომი ერთეული, რომლის მიხედვითაც ყალიბდება ნაკრები, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ გაზომვის ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვები ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ „ინტუიტიურად“ მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ მას „აშკარად“, რადგან საზომი ერთეულები არ შედის მათ „მეცნიერულ“ არსენალში.
საზომი ერთეულების დახმარებით ძალიან ადვილია ერთის დაშლა ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.
