განვიხილოთ კვადრატული განტოლება.

მოდით განვსაზღვროთ მისი ფესვები.

არ არსებობს რეალური რიცხვი, რომლის კვადრატი არის -1. მაგრამ თუ ფორმულა განსაზღვრავს ოპერატორს მეროგორც წარმოსახვითი ერთეული, მაშინ ამ განტოლების ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს ფორმით . სადაც და - რთული რიცხვები, რომლებშიც -1 არის რეალური ნაწილი, 2 ან მეორე შემთხვევაში -2 არის წარმოსახვითი ნაწილი. წარმოსახვითი ნაწილიც რეალური (რეალური) რიცხვია. წარმოსახვითი ნაწილი გამრავლებული წარმოსახვით ერთეულზე ნიშნავს უკვე წარმოსახვითი რიცხვი.

ზოგადად, კომპლექსურ რიცხვს აქვს ფორმა

ზ = x + iy ,

სადაც x, yარის რეალური რიცხვები, არის წარმოსახვითი ერთეული. მთელ რიგ გამოყენებით მეცნიერებებში, მაგალითად, ელექტროინჟინერიაში, ელექტრონიკაში, სიგნალის თეორიაში, წარმოსახვითი ერთეული აღინიშნება ჯ. რეალური რიცხვები x = Re(z)და y=მე (ზ)დაურეკა რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებინომრები ზ.გამოთქმა ე.წ ალგებრული ფორმართული რიცხვის აღნიშვნა.

ნებისმიერი რეალური რიცხვი არის რთული რიცხვის განსაკუთრებული შემთხვევა ფორმაში . წარმოსახვითი რიცხვი ასევე რთული რიცხვის განსაკუთრებული შემთხვევაა. .

C კომპლექსური რიცხვების სიმრავლის განმარტება

ეს გამოთქმა იკითხება შემდეგნაირად: კომპლექტი FROM, რომელიც შედგება ისეთი ელემენტებისაგან, რომ xდა წეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს რდა არის წარმოსახვითი ერთეული. გაითვალისწინეთ, რომ და ა.შ.

ორი რთული რიცხვი და ტოლები არიან თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია, ე.ი. და .

რთული რიცხვები და ფუნქციები ფართოდ გამოიყენება მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში, კერძოდ, მექანიკაში, AC სქემების ანალიზსა და გამოთვლაში, ანალოგური ელექტრონიკა, სიგნალის თეორია და დამუშავება, ავტომატური მართვის თეორია და სხვა გამოყენებითი მეცნიერებები.

1. რთული რიცხვების არითმეტიკა

ორი რთული რიცხვის შეკრება შედგება მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების მიმატებაში, ე.ი.

შესაბამისად, ორი რთული რიცხვის სხვაობა

კომპლექსური ნომერი დაურეკა კომპლექსი კონიუგატინომერი z=x +ი.ი.

რთული კონიუგატური რიცხვები z და z * განსხვავდება წარმოსახვითი ნაწილის ნიშნებით. აშკარაა რომ

.

რთულ გამონათქვამებს შორის ნებისმიერი თანასწორობა ძალაში რჩება, თუ ამ თანასწორობას ყველგან მეშეცვალა - მე, ე.ი. გადადით კონიუგირებული რიცხვების ტოლობაზე. ნომრები მედა – მეალგებრულად განსხვავდებიან იმიტომ .

ორი რთული რიცხვის ნამრავლი (გამრავლება) შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

ორი რთული რიცხვის დაყოფა:

მაგალითი:

1. რთული თვითმფრინავი

რთული რიცხვი შეიძლება გრაფიკულად იყოს წარმოდგენილი მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. მოდით დავაყენოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეში (x, y).

ღერძზე ოქსიმოვაწყობთ რეალურ ნაწილებს x, ჰქვია რეალური (რეალური) ღერძი, ღერძზე ოი- წარმოსახვითი ნაწილები წრთული რიცხვები. ის ატარებს სახელს წარმოსახვითი ღერძი. უფრო მეტიც, თითოეული რთული რიცხვი შეესაბამება სიბრტყის გარკვეულ წერტილს და ასეთი სიბრტყე ე.წ რთული თვითმფრინავი. წერტილი მაგრამრთული სიბრტყე შეესაბამება ვექტორს OA.

ნომერი xდაურეკა აბსცისირთული რიცხვი, რიცხვი წ – ორდინატი.

რთული კონიუგატური რიცხვების წყვილი ნაჩვენებია წერტილების სახით, რომლებიც მდებარეობს სიმეტრიულად რეალური ღერძის გარშემო.

თუ თვითმფრინავის კომპლექტში პოლარული კოორდინატთა სისტემა, შემდეგ ყოველი რთული რიცხვი ზგანისაზღვრება პოლარული კოორდინატებით. სადაც მოდულინომრები არის წერტილის პოლარული რადიუსი და კუთხე - მისი პოლარული კუთხე ან რთული რიცხვის არგუმენტი ზ.

კომპლექსური რიცხვების მოდული ყოველთვის არაუარყოფითი. რთული რიცხვის არგუმენტი ცალსახად არ არის განსაზღვრული. არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას . რთული სიბრტყის თითოეული წერტილი ასევე შეესაბამება არგუმენტის მთლიან მნიშვნელობას. არგუმენტები, რომლებიც განსხვავდებიან 2π-ის ჯერადით, ტოლად ითვლება. რიცხვითი არგუმენტი ნული არ არის განსაზღვრული.

არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა განისაზღვრება გამონათქვამებით:

აშკარაა რომ

სადაც
, .

კომპლექსური რიცხვების წარმოდგენა ზროგორც

დაურეკა ტრიგონომეტრიული ფორმართული რიცხვი.

მაგალითი.

1. რთული რიცხვების ექსპონენციალური ფორმა

დაშლა in მაკლარინის სერიარეალური არგუმენტის ფუნქციებისთვის როგორც ჩანს:

რთული არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქციისთვის ზდაშლა მსგავსია

.

მაკლარინის სერიის გაფართოება წარმოსახვითი არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქციისთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

მიღებულ იდენტურობას ე.წ ეილერის ფორმულა.

უარყოფითი არგუმენტისთვის, როგორც ჩანს

ამ გამონათქვამების გაერთიანებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ შემდეგი გამონათქვამები სინუსისა და კოსინუსისთვის

.

ეილერის ფორმულის გამოყენებით, რთული რიცხვების გამოსახვის ტრიგონომეტრიული ფორმიდან

ხელმისაწვდომი დემონსტრაციული(ექსპონენციალური, პოლარული) რთული რიცხვის ფორმა, ე.ი. მისი წარმოდგენა ფორმაში

,

სადაც - წერტილის პოლარული კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატებით ( x,წ).

რთული რიცხვის კონიუგატი ექსპონენციალური სახით იწერება შემდეგნაირად.

ექსპონენციალური ფორმისთვის მარტივია რთული რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის შემდეგი ფორმულების განსაზღვრა

ანუ ექსპონენციალური ფორმით რთული რიცხვების ნამრავლი და დაყოფა უფრო ადვილია, ვიდრე ალგებრული ფორმით. გამრავლებისას მრავლდება ფაქტორების მოდულები და ემატება არგუმენტები. ეს წესი ვრცელდება ნებისმიერ ფაქტორზე. კერძოდ, რთული რიცხვის გამრავლებისას ზზე მევექტორი ზბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90-ით

გაყოფისას მრიცხველის მოდული იყოფა მნიშვნელის მოდულზე და მნიშვნელის არგუმენტი გამოკლებულია მრიცხველის არგუმენტს.

რთული რიცხვების ექსპონენციალური ფორმის გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ გამონათქვამები ცნობილი ტრიგონომეტრიული იდენტობებისთვის. მაგალითად, იდენტობიდან

ეილერის ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ

ამ გამოსახულებაში რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გათანაბრებით, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამებს კუთხეების ჯამის კოსინუსისა და სინუსისთვის.

1. რთული რიცხვების სიმძლავრეები, ფესვები და ლოგარითმები

რთული რიცხვის ამაღლება ბუნებრივ ხარისხზე ნწარმოებული ფორმულის მიხედვით

მაგალითი. გამოთვლა .

წარმოიდგინეთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით

’

სიმძლავრის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

მნიშვნელობის დაყენება გამოხატვაში რ= 1, ვიღებთ ე.წ დე მოივრის ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ განსაზღვროთ მრავალი კუთხის სინუსებისა და კოსინუსების გამონათქვამები.

ფესვი ნრთული რიცხვის ე ხარისხი ზᲛას აქვს ნგამოხატულებით განსაზღვრული სხვადასხვა მნიშვნელობები

მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ.

ამისათვის გამოვხატავთ კომპლექსურ რიცხვს () ტრიგონომეტრიულ ფორმაში

.

რთული რიცხვის ფესვის გამოთვლის ფორმულის მიხედვით ვიღებთ

რთული რიცხვის ლოგარითმი ზარის რიცხვი ვ, რისთვისაც . რთული რიცხვის ბუნებრივ ლოგარითმს აქვს მნიშვნელობების უსასრულო რაოდენობა და გამოითვლება ფორმულით

შედგება რეალური (კოსინუსი) და წარმოსახვითი (სინუსური) ნაწილებისგან. ასეთი სტრესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიგრძის ვექტორის სახით U მ, საწყისი ფაზა (კუთხე), მბრუნავი კუთხური სიჩქარით ω .

უფრო მეტიც, თუ რთული ფუნქციები დაემატება, მაშინ ემატება მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. თუ რთული ფუნქცია მრავლდება მუდმივზე ან რეალურ ფუნქციაზე, მაშინ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები მრავლდება ერთი და იგივე კოეფიციენტზე. ასეთი რთული ფუნქციის დიფერენციაცია/ინტეგრაცია მცირდება რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების დიფერენციაცია/ინტეგრაციამდე.

მაგალითად, რთული სტრესის გამოხატვის დიფერენციაცია

არის მისი გამრავლება iω არის f(z) ფუნქციის რეალური ნაწილი და არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. მაგალითები: .

მნიშვნელობა ზწარმოდგენილია წერტილით კომპლექსურ z სიბრტყეში და შესაბამისი მნიშვნელობით ვ- წერტილი კომპლექსურ სიბრტყეში ვ. როდესაც ნაჩვენებია w = f(z)თვითმფრინავის ხაზები ზგადის თვითმფრინავის ხაზებში ვ, ერთი სიბრტყის ფიგურები მეორის ფიგურებად გადაიქცევა, მაგრამ ხაზების ან ფიგურების ფორმები შეიძლება მნიშვნელოვნად შეიცვალოს.