IV იაკოვლევი | მასალები მათემატიკაზე | MathUs.ru

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის სპეციალური სახის მიმდევრობა. ამიტომ, სანამ არითმეტიკული (და შემდეგ გეომეტრიული) პროგრესია განვსაზღვროთ, მოკლედ უნდა განვიხილოთ რიცხვების მიმდევრობის მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

ქვემიმდევრობა

წარმოიდგინეთ მოწყობილობა, რომლის ეკრანზე რამდენიმე რიცხვი გამოსახულია ერთმანეთის მიყოლებით. ვთქვათ 2; 7; 13; ერთი; 6; 0; 3; : : : რიცხვთა ასეთი ნაკრები მხოლოდ მიმდევრობის მაგალითია.

განმარტება. რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელშიც თითოეულ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური რიცხვი (ანუ შეესაბამებოდეს ერთ ნატურალურ რიცხვს)1. რიცხვს n რიცხვით ეწოდება მიმდევრობის n-ე წევრი.

ასე რომ, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში პირველ რიცხვს აქვს რიცხვი 2, რომელიც არის მიმდევრობის პირველი წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a1-ით; რიცხვ ხუთს აქვს რიცხვი 6, რომელიც არის რიგითობის მეხუთე წევრი, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ a5. ზოგადად, მიმდევრობის n-ე წევრი აღინიშნება ან-ით (ან bn , cn და ა.შ.).

ძალიან მოსახერხებელი სიტუაციაა, როდესაც რიგითობის n-ე წევრი შეიძლება იყოს მითითებული რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა an = 2n 3 განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; 3; 5; 7; : : : ფორმულა an = (1)n განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; ერთი; ერთი; : ::

რიცხვების ყველა ნაკრები არ არის თანმიმდევრობა. ასე რომ, სეგმენტი არ არის თანმიმდევრობა; ის შეიცავს ¾ძალიან ბევრ¿ რიცხვს ხელახლა დანომრვისთვის. ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე ასევე არ არის მიმდევრობა. ეს ფაქტები დასტურდება მათემატიკური ანალიზის დროს.

არითმეტიკული პროგრესია: ძირითადი განმარტებები

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია.

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) უდრის წინა წევრისა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს (ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას).

მაგალითად, თანმიმდევრობა 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 2 და სხვაობით 3. თანმიმდევრობა 7; 2; 3; რვა; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 7 და სხვაობით 5. თანმიმდევრობა 3; 3; 3; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია ნულოვანი სხვაობით.

ეკვივალენტური განმარტება: an მიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ განსხვავება an+1 an არის მუდმივი მნიშვნელობა (არ არის დამოკიდებული n-ზე).

არითმეტიკული პროგრესია ითვლება მზარდად, თუ მისი სხვაობა დადებითია და მცირდება, თუ განსხვავება უარყოფითია.

1 და აქ არის უფრო მოკლე განმარტება: მიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე. მაგალითად, რეალური რიცხვების მიმდევრობა არის ფუნქცია f: N! რ.

ნაგულისხმევად, მიმდევრობები განიხილება უსასრულოდ, ანუ შეიცავს რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მაგრამ არავინ იწუხებს სასრულ მიმდევრობების განხილვას; სინამდვილეში, რიცხვების ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს შეიძლება ეწოდოს სასრული მიმდევრობა. მაგალითად, საბოლოო თანმიმდევრობა 1; 2; 3; ოთხი; 5 შედგება ხუთი ნომრისგან.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

ადვილი გასაგებია, რომ არითმეტიკული პროგრესია მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვით: პირველი წევრი და სხვაობა. მაშასადამე, ჩნდება კითხვა: როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური ვადა პირველი წევრისა და სხვაობის ცოდნით?

არ არის რთული არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის სასურველი ფორმულის მიღება. დაე ა

არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით დ. Ჩვენ გვაქვს:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
კერძოდ, ჩვენ ვწერთ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
და ახლა ცხადი ხდება, რომ ფორმულა არის:
an = a1 + (n 1)d:

ამოცანა 1. არითმეტიკული პროგრესია 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და გამოთვალეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება. არითმეტიკული პროგრესიით ან ნებისმიერისთვის

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) არის მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული.

	მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს:
	a n 1+ a n+1		(ან დ) + (ან + დ)

რაც საჭირო იყო.

უფრო ზოგადად, არითმეტიკული პროგრესია a აკმაყოფილებს თანასწორობას

a n = a n k+ a n+k

ნებისმიერი n > 2-ისთვის და ნებისმიერი ბუნებრივი k-სთვის< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

გამოდის, რომ ფორმულა (2) არა მხოლოდ აუცილებელი, არამედ საკმარისი პირობაა იმისთვის, რომ მიმდევრობა იყოს არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ნიშანი. თუ თანასწორობა (2) მოქმედებს ყველა n > 2-ისთვის, მაშინ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2) შემდეგნაირად:

a na n 1= a n+1a n:

ეს აჩვენებს, რომ განსხვავება an+1 an არ არის დამოკიდებული n-ზე და ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც ერთი დებულება; მოხერხებულობისთვის ჩვენ ამას გავაკეთებთ სამი ნომრისთვის (ეს არის სიტუაცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრობლემებში).

არითმეტიკული პროგრესიის დახასიათება. სამი რიცხვი a, b, c ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2b = a + c.

ამოცანა 2. (მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, ეკონომიკის ფაკულტეტი, 2007 წ.) სამი რიცხვი 8x, 3 x2 და 4 მითითებული თანმიმდევრობით ქმნის კლებად არითმეტიკულ პროგრესიას. იპოვეთ x და დაწერეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

გამოსავალი. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით გვაქვს:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

თუ x = 1, მაშინ მიიღება კლებადი პროგრესია 8, 2, 4 6-ის სხვაობით. თუ x = 5, მაშინ მიიღება მზარდი პროგრესია 40, 22, 4; ეს საქმე არ მუშაობს.

პასუხი: x = 1, სხვაობა არის 6.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

ლეგენდა ამბობს, რომ ერთხელ მასწავლებელმა ბავშვებს უთხრა, რომ იპოვონ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე და ჩუმად დაჯდა გაზეთის წასაკითხად. თუმცა, რამდენიმე წუთში ერთმა ბიჭმა თქვა, რომ პრობლემა მოაგვარა. ეს იყო 9 წლის კარლ ფრიდრიხ გაუსი, მოგვიანებით ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი.

პატარა გაუსის იდეა ასეთი იყო. დაე

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

მოდით ჩავწეროთ ეს ჯამი საპირისპირო თანმიმდევრობით:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

და დაამატეთ ეს ორი ფორმულა:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ფრჩხილებში თითოეული წევრი უდრის 101-ს და სულ არის 100 ასეთი წევრი.მაშასადამე

2S = 101 100 = 10100;

ამ იდეას ვიყენებთ ჯამის ფორმულის გამოსატანად

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) ფორმულის სასარგებლო მოდიფიკაცია მიიღება n-ე ტერმინის an = a1 + (n 1)d ფორმულის ჩანაცვლებით მასში:

		2a1 + (n 1)d

დავალება 3. იპოვეთ 13-ზე გაყოფილი ყველა დადებითი სამნიშნა რიცხვის ჯამი.

გამოსავალი. სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც 13-ის ჯერადი არიან, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით 104 და სხვაობით 13; ამ პროგრესის მე-n ტერმინი არის:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

მოდით გავარკვიოთ რამდენ წევრს შეიცავს ჩვენი პროგრესი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

ან 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ასე რომ, ჩვენს პროგრესში 69 წევრია. ფორმულის მიხედვით (4) ვპოულობთ საჭირო რაოდენობას:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

მაგალითად, თანმიმდევრობა \(2\); \(5\); \(რვა\); \(თერთმეტი\); \(14\)… არის არითმეტიკული პროგრესია, რადგან ყოველი შემდეგი ელემენტი განსხვავდება წინადან სამით (შეიძლება მიიღოთ წინადან სამის მიმატებით):

ამ პროგრესიაში სხვაობა \(d\) დადებითია (ტოლია \(3\)) და ამიტომ ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე მეტია. ასეთ პროგრესებს ე.წ იზრდება.

თუმცა, \(d\) ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. Მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიაში \(16\); \(ათი\); \(ოთხი\); \(-2\); \(-8\)… პროგრესიის სხვაობა \(d\) უდრის მინუს ექვსი.

და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი წინაზე ნაკლები იქნება. ამ პროგრესირებას ე.წ მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესიის აღნიშვნა

პროგრესირება აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით.

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, მას უწოდებენ წევრები(ან ელემენტები).

ისინი აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც ტოლია ელემენტის რიცხვის თანმიმდევრობით.

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) შედგება ელემენტებისაგან \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) და ასე შემდეგ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიისთვის \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული პროგრესიით

პრინციპში, ზემოთ მოყვანილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის თითქმის ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის OGE-ში შემოთავაზებული).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=7; d=4\). იპოვეთ \(b_5\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_5=23\)

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი მოცემულია: \(62; 49; 36…\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი უარყოფითი წევრის მნიშვნელობა..
გამოსავალი:

	ჩვენ მოცემულია მიმდევრობის პირველი ელემენტები და ვიცით, რომ ეს არის არითმეტიკული პროგრესია. ანუ, თითოეული ელემენტი განსხვავდება მეზობელისაგან ერთი და იგივე რაოდენობით. გაარკვიეთ რომელი გამოკლებით წინა ელემენტს: \(d=49-62=-13\).
	ახლა ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ ჩვენი პროგრესი სასურველ (პირველ უარყოფით) ელემენტამდე.
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(-3\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული ელემენტი: \(...5; x; 10; 12.5...\) იპოვეთ ელემენტის მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასო \(x\).
გამოსავალი:

	\(x\) საპოვნელად უნდა ვიცოდეთ, რამდენად განსხვავდება შემდეგი ელემენტი წინა ელემენტისგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესირების განსხვავება. ვიპოვოთ ის ორი ცნობილი მეზობელი ელემენტიდან: \(d=12.5-10=2.5\).
	ახლა კი უპრობლემოდ ვპოულობთ იმას, რასაც ვეძებთ: \(x=5+2.5=7.5\).
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(7,5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია შემდეგი პირობებით: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი.
გამოსავალი:

	ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი. მაგრამ ჩვენ არ ვიცით მათი მნიშვნელობები, ჩვენ მხოლოდ პირველი ელემენტია მოცემული. ამიტომ, ჩვენ ჯერ რიგრიგობით ვიანგარიშებთ მნიშვნელობებს ჩვენთვის მოცემულის გამოყენებით: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) და ჩვენ გვჭირდება ექვსი ელემენტის გამოთვლის შემდეგ, ვპოულობთ მათ ჯამს.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	მოთხოვნილი თანხა ნაპოვნია.

პასუხი: \(S_6=9\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესიით \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). იპოვნეთ ამ პროგრესის განსხვავება.
გამოსავალი:

პასუხი: \(d=7\).

მნიშვნელოვანი არითმეტიკული პროგრესის ფორმულები

როგორც ხედავთ, ბევრი არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანის ამოხსნა შეიძლება უბრალოდ მთავარის გაგებით - რომ არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების ჯაჭვი და ამ ჯაჭვის ყოველი შემდეგი ელემენტი მიიღება იმავე რიცხვის წინას მიმატებით (განსხვავება პროგრესირება).

თუმცა, ზოგჯერ არის სიტუაციები, როდესაც ძალიან მოუხერხებელია გადაჭრა "შუბლზე". მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ პირველ მაგალითში უნდა ვიპოვოთ არა მეხუთე ელემენტი \(b_5\), არამედ სამას ოთხმოცდამეექვსე \(b_(386)\). რა არის, ჩვენ \ (385 \) ჯერ დავამატოთ ოთხი? ან წარმოიდგინეთ, რომ ბოლო მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი სამოცდასამი ელემენტის ჯამი. დათვლა დამაბნეველია...

ამიტომ, ასეთ შემთხვევებში, ისინი არ ხსნიან "შუბლზე", არამედ იყენებენ სპეციალურ ფორმულებს, რომლებიც მიღებულია არითმეტიკული პროგრესიისთვის. და მთავარია პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა და პირველი წევრის \(n\) ჯამის ფორმულა.

\(n\)-ე წევრის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\), სადაც \(a_1\) არის პროგრესიის პირველი წევრი;
\(n\) – საჭირო ელემენტის ნომერი;
\(a_n\) არის პროგრესიის წევრი ნომრით \(n\).

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს სწრაფად ვიპოვოთ მინიმუმ სამასი, თუნდაც მემილიონე ელემენტი, მხოლოდ პირველისა და პროგრესირების განსხვავების ცოდნით.

მაგალითი. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). იპოვეთ \(b_(246)\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_(246)=1850\).

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა არის: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), სადაც

\(a_n\) არის ბოლო შეჯამებული ტერმინი;

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(a_n=3.4n-0.6\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \(25\) წევრთა ჯამი.
გამოსავალი:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		პირველი ოცდახუთი ელემენტის ჯამის გამოსათვლელად, უნდა ვიცოდეთ პირველი და ოცდამეხუთე წევრის მნიშვნელობა. ჩვენი პროგრესირება მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით მისი რიცხვიდან გამომდინარე (იხილეთ დეტალები). მოდით გამოვთვალოთ პირველი ელემენტი \(n\) ერთით ჩანაცვლებით.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		ახლა ვიპოვოთ ოცდამეხუთე წევრი \(n\)-ის ნაცვლად ოცდახუთის ჩანაცვლებით.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		აბა, ახლა უპრობლემოდ ვიანგარიშებთ საჭირო თანხას.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(25)=1090\).

პირველი ტერმინების ჯამისთვის \(n\) შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა: თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ნაცვლად \(a_n\) შეცვალეთ მისი ფორმულა \(a_n=a_1+(n-1)d\). ჩვენ ვიღებთ:

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა არის: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), სადაც

\(S_n\) – პირველი ელემენტების საჭირო ჯამი \(n\);
\(a_1\) არის პირველი წევრი, რომელიც შეჯამდება;
\(d\) – პროგრესირების განსხვავება;
\(n\) - ელემენტების რაოდენობა ჯამში.

მაგალითი. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \(33\)-ექს წევრთა ჯამი: \(17\); \(15,5\); \(თოთხმეტი\)…
გამოსავალი:

პასუხი: \(S_(33)=-231\).

უფრო რთული არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები

ახლა თქვენ გაქვთ ყველა ინფორმაცია, რომელიც გჭირდებათ თითქმის ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პრობლემის გადასაჭრელად. მოდით დავასრულოთ თემა იმ პრობლემების გათვალისწინებით, რომლებშიც საჭიროა არა მხოლოდ ფორმულების გამოყენება, არამედ ცოტათი ფიქრიც (მათემატიკაში ეს შეიძლება იყოს სასარგებლო ☺)

მაგალითი (OGE). იპოვეთ პროგრესიის ყველა უარყოფითი წევრის ჯამი: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
გამოსავალი:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		დავალება ძალიან ჰგავს წინას. ჩვენ ვიწყებთ ამოხსნას იგივე გზით: ჯერ ვპოულობთ \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ახლა ჩვენ შევცვლით \(d\) ჯამის ფორმულაში ... და აქ ჩნდება პატარა ნიუანსი - ჩვენ არ ვიცით \(n\). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტერმინის დამატება იქნება საჭირო. როგორ გავარკვიოთ? მოდი ვიფიქროთ. ჩვენ შევწყვეტთ ელემენტების დამატებას, როდესაც მივიღებთ პირველ დადებით ელემენტს. ანუ, თქვენ უნდა გაარკვიოთ ამ ელემენტის რაოდენობა. Როგორ? მოდით ჩამოვწეროთ არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი ელემენტის გამოთვლის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\) ჩვენი შემთხვევისთვის.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		ჩვენ გვჭირდება \(a_n\) იყოს ნულზე მეტი. მოდით გავარკვიოთ რისთვის \(n\) მოხდება ეს.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|: 0.3\)		უტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ \(0,3\)-ზე.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		ჩვენ გადავცემთ მინუს ერთს, არ გვავიწყდება ნიშნების შეცვლა
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		გამოთვლა...
\(n>65,333…\)		...და გამოდის, რომ პირველ დადებით ელემენტს ექნება რიცხვი \(66\). შესაბამისად, ბოლო უარყოფითს აქვს \(n=65\). ყოველი შემთხვევისთვის, მოდით შევამოწმოთ.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		ამრიგად, ჩვენ უნდა დავამატოთ პირველი \(65\) ელემენტები.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(65)=-630.5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). იპოვეთ ჯამი \(26\)-დან \(42\) ელემენტის ჩათვლით.
გამოსავალი:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ამ პრობლემაში თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ ელემენტების ჯამი, მაგრამ დაწყებული არა პირველიდან, არამედ \(26\)-დან. ჩვენ არ გვაქვს ამის ფორმულა. როგორ გადავწყვიტოთ? მარტივი - რომ მიიღოთ ჯამი \(26\)-დან \(42\)-მდე, ჯერ უნდა იპოვოთ ჯამი \(1\)-დან \(42\)-მდე და შემდეგ გამოაკლოთ ჯამი. პირველი \ (25 \)-მდე (იხ. სურათი).
	ჩვენი პროგრესიისთვის \(a_1=-33\) და სხვაობისთვის \(d=4\) (ბოლოს და ბოლოს, წინა ელემენტს ვამატებთ ოთხს, რომ ვიპოვოთ შემდეგი). ამის ცოდნა ჩვენ ვპოულობთ პირველი \(42\)-uh ელემენტების ჯამს.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ახლა პირველი \(25\)-ე ელემენტების ჯამი.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ პასუხს.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

პასუხი: \(S=1683\).

არითმეტიკული პროგრესიისთვის, არის კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომლებიც ჩვენ არ განვიხილეთ ამ სტატიაში მათი დაბალი პრაქტიკული სარგებლობის გამო. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ისინი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ელემენტარულიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ შევეხოთ ჯამის მნიშვნელობას და ფორმულას. და მერე გადავწყვეტთ. საკუთარი სიამოვნებისთვის.) ჯამის მნიშვნელობა დაბლავით მარტივია. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა წევრი. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა ზოგავს.

ჯამის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველაწევრებთან ერთად პირველი on ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. დაამატე ზუსტად ყველაწევრები ზედიზედ, ხარვეზებისა და ნახტომების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან ხუთიდან მეოცემდე ტერმინების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებული იქნება.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. რიგის ბოლო ნომერი. არ არის ძალიან ნაცნობი სახელი, მაგრამ, როდესაც გამოიყენება თანხა, ეს ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ არის ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. შევსების კითხვა: როგორი წევრი იქნება ბოლო,თუ მიცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?

დარწმუნებული პასუხისთვის, თქვენ უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და ... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, სასრული, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის პროგრესიაა მოცემული: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების რიგით თუ n-ე წევრის ფორმულით.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რიცხვი, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არაფერი, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს გამოვავლენთ.)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების მაგალითები.

პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის ამოცანების მთავარი სირთულე არის ფორმულის ელემენტების სწორი განსაზღვრა.

დავალებების ავტორები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მხოლოდ მათი გაშიფვრა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ პირველი 10 წევრის ჯამი.

Ყოჩაღ. მარტივია.) ფორმულის მიხედვით ოდენობის დასადგენად რა უნდა ვიცოდეთ? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო პერიოდის ნომერი ნ.

სად მივიღოთ ბოლო წევრის ნომერი ნ? დიახ, იქ, მდგომარეობაში! ნათქვამია იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა რიცხვი იქნება ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10, მაგრამ სამაგიეროდ ნ-ათი. ისევ და ისევ, ბოლო წევრის რაოდენობა იგივეა, რაც წევრების რაოდენობა.

რჩება გასარკვევი a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე წევრის ფორმულით, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? ეწვიეთ წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე - არაფერი.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ა 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

სულ ეს არის. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 \u003d 2.3. იპოვეთ პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

რჩება ფორმულის ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nუბრალოდ ჩაანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულა, მივიღებთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, ვიღებთ ახალ ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო. a n. ზოგიერთ დავალებაში ეს ფორმულა ძალიან გვეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. და თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა ყველანაირად უნდა ახსოვდეს.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვნეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.

Როგორ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ ვიცხოვროთ!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. რა არის ორნიშნა რიცხვები - ვიცით. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ბოლო რამორნიშნა ნომერი? 99, რა თქმა უნდა! მას სამნიშნა რიცხვები მოჰყვება...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც თანაბრად იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინასგან მკაცრად განსხვავდება სამით. თუ ტერმინს ემატება 2, ან 4, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ გაიყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა გროვამდე: d = 3.სასარგებლო!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... ნომრები - ისინი ყოველთვის მიდიან ზედიზედ და ჩვენი წევრები ხტებიან სამეულს. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ დახატოთ პროგრესია, რიცხვების მთელი რიგი და თითით დათვალოთ ტერმინების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ფორმულა გამოიყენება ჩვენს პრობლემაზე, მივიღებთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

ჩვენ ვუყურებთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის მდგომარეობიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება ელემენტარული არითმეტიკა. ჩაანაცვლეთ რიცხვები ფორმულაში და გამოთვალეთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხები:

4. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ წევრთა ჯამი მეოცედან ოცდამეოთხემდე.

ვუყურებთ ჯამის ფორმულას და ... ვნერვიულობთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის ჯამს. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დახატოთ მთელი პროგრესი ზედიზედ და დააყენოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ ... რატომღაც სულელურად და დიდი ხნის განმავლობაში გამოდის, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით დავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის წევრთა ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესიის ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

ეს გვიჩვენებს, რომ იპოვონ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე ჯამი მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. ვიწყებთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს დავალების მდგომარეობიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34 წევრი. ჩვენ მათ ვითვლით n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

აღარაფერი დარჩა. გამოვაკლოთ 19 წევრის ჯამი 34 წევრის ჯამს:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადაჭრაში არის ძალიან სასარგებლო ფუნქცია. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი "ყურებით გამონათქვამი" ხშირად ზოგავს ბოროტ თავსატეხებში.)

ამ გაკვეთილზე განვიხილეთ პრობლემები, რომლებისთვისაც საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობის გაგება. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის რაიმე ამოცანის გადაჭრისას, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

მე-n ტერმინის ფორმულა:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ, რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება დამალულია 4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი თავსატეხები ხშირად გვხვდება GIA-ში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! მე კი გადავწყვიტე, რომ ყველაზე საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მივცე). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს და დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი ყოველი მომდევნო დღეს, ვიდრე წინა დღეს! სანამ ფული არ ამოიწურება. რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას ბედნიერებას?

რთულია?) მე-2 დავალების დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.

ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარია. ასოების ინდექსები, პროგრესიის მე-n წევრი, პროგრესიის სხვაობა - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოვა.)

არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და გასაგები ცნებაა. ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.

მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

1, 2, 3, 4, 5, ...

შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს ხაზი? რა რიცხვები წავა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ. უფრო შორს წავა.

დავალება გავართულოთ. მე ვაძლევ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

2, 5, 8, 11, 14, ...

შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერია და სახელი მეშვიდერიგის ნომერი?

თუ გაარკვიეთ, რომ ეს რიცხვი არის 20 - გილოცავთ! თქვენ არა მარტო გრძნობდით არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი პუნქტები,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ არ გესმით, წაიკითხეთ.

ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)

პირველი საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ მიჩვეულები ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების აგებას და ამ ყველაფერს... და შემდეგ გავაფართოვოთ სერიები, ვიპოვოთ სერიების რიცხვი...

Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებით. მიეჩვიე.)

მეორე საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამჯერ მეტია წინაზე. სინამდვილეში, სწორედ ეს მომენტი გვაძლევს შესაძლებლობას დავიჭიროთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.

მესამე საკვანძო წერტილი.

ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Ის აქაა: თითოეული პროგრესირების ნომერი თავის ადგილზეა.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესიაც გაქრება. ეს მხოლოდ რიცხვების სერიაა.

ამაშია მთელი აზრი.

რა თქმა უნდა, ახალ თემაში ჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნები. მათ უნდა იცოდნენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2,5.

შთააგონებს?) წერილები, რაღაც ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, ადვილი არ იქნებოდა. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინების მნიშვნელობა და აღნიშვნა. ახლა ამ საკითხს დავეუფლებით და დავალებას დავუბრუნდებით.

პირობები და აღნიშვნები.

არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

ეს მნიშვნელობა ე.წ . მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ ეს კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესირების რიცხვი მეტიწინა.

ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი მიიღება დასძინაარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორერიგის ნომრები, აუცილებელია პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხეკარგად და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაშესაძლოა დადებითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესს ე.წ იზრდება.Მაგალითად:

8; 13; 18; 23; 28; .....

აქ არის თითოეული ნომერი დასძინადადებითი რიცხვი, +5 წინას.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.

Მაგალითად:

8; 3; -2; -7; -12; .....

აქაც ყველა რიცხვი მიიღება დასძინაწინა, მაგრამ უკვე უარყოფით რიცხვს -5.

სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყონებლივ დადგენა – იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან გვეხმარება გადაწყვეტილების მიღებისას, გამოავლინოს თქვენი შეცდომები და გამოასწოროს ისინი, სანამ გვიან არ არის.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.

როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)

განვსაზღვროთ, მაგალითად, დმზარდი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ვიღებთ მწკრივის ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. გამოვაკლოთ მას წინა ნომერიიმათ. რვა:

ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის განსხვავება სამია.

შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რაოდენობის პროგრესირება,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.მაინც სადღაც რიგის დასაწყისში, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მხოლოდ პირველივე ნომრის აღება. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არა წინა.)

სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს ვამატებთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსეს ვუმატებთ სამს, ვიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.

განვსაზღვროთ დკლებადი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

8; 3; -2; -7; -12; .....

შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, უნდა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.ჩვენ ვირჩევთ პროგრესირების ნებისმიერ რაოდენობას, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი.

სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.

სერიის თითოეულ რიცხვს ეძახიან არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.

პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით ...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!

როგორ დავწეროთ პროგრესი ზოგადი ფორმით? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად, როგორც წესი, გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსით. წევრები იწერება გამოყოფილი მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1არის პირველი ნომერი a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი სახიფათო. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს სერია მოკლედ ასე: (n).

არის პროგრესები სასრული და უსასრულო.

საბოლოოპროგრესს ჰყავს წევრების შეზღუდული რაოდენობა. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.

დაუსრულებელიპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიის მეშვეობით, ყველა წევრი და ბოლო წერტილი:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

ან ასე, თუ ბევრი წევრია:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

მოკლე ჩანაწერში დამატებით მოგიწევთ მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:

(a n), n = 20

უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.

ახლა უკვე შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.

არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების მაგალითები.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ზემოთ მოცემულ დავალებას:

1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

ჩვენ ვთარგმნით დავალებას გასაგებ ენაზე. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.ცნობილი პროგრესირების განსხვავება: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე წევრები.

სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირველი ექვსი წევრი, სადაც მეორე წევრი ხუთია:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + დ

გამონათქვამში ვცვლით a 2 = 5და d=-2.5. ნუ დაგავიწყდებათ მინუსი!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

მესამე ტერმინი მეორეზე ნაკლებია. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, ამიტომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) განვიხილავთ ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:

a 4 = a 3 + დ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + დ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + დ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ასე რომ, მესამედან მეექვსემდე ვადები დათვლილია. ამან გამოიწვია სერია:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) აქედან გამომდინარე, არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:

a 1 = a 2 - დ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

სულ ეს არის. დავალების პასუხი:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

გარდა ამისა, მე აღვნიშნავ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვა ნიშნავს მხოლოდ პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრით.პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზები მოგვიანებით იქნება განხილული.

ამ მარტივი ამოცანიდან ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება.

გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.

გახსოვს? ეს მარტივი დასკვნა საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ სასკოლო კურსის პრობლემების უმეტესობა ამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს სამი ძირითადი პარამეტრის გარშემო: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველაფერი.

რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) პროგრესიას თან ერთვის უტოლობა, განტოლებები და სხვა. მაგრამ პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.

მაგალითად, განიხილეთ რამდენიმე პოპულარული დავალება ამ თემაზე.

2. საბოლოო არითმეტიკული პროგრესია ჩაწერეთ რიგით თუ n=5, d=0.4 და a 1=3.6.

აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მოცემულია. თქვენ უნდა გახსოვდეთ, როგორ გამოითვლება არითმეტიკული პროგრესიის წევრები, ითვლიან და ჩაწერენ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები ამოცანის პირობაში: "ფინალური" და " n=5იმისათვის, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

რჩება პასუხის ჩაწერა:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

კიდევ ერთი დავალება:

3. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 7 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?

როგორ-როგ... კი, ჩაწერეთ პროგრესი სერიების სახით და ნახეთ, იქნება თუ არა შვიდი! Ჩვენ გვჯერა:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ახლა აშკარად ჩანს, რომ ჩვენ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.

პასუხი: არა.

და აქ არის დავალება, რომელიც დაფუძნებულია GIA-ს რეალურ ვერსიაზე:

4. არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი იწერება:

...; თხუთმეტი; X; 9; 6; ...

აქ არის სერია დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. ვნახოთ და ვნახოთ რა შეგვიძლია ცოდნაამ ხაზიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?

წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.

მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელიცნობილი ნომრები? Დიახ აქ არის! ეს არის 9 და 6. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! ექვსს ვაკლებთ წინანომერი, ე.ი. ცხრა:

დარჩენილია ცარიელი ადგილები. რომელი რიცხვი იქნება x-ის წინა? თხუთმეტი. ასე რომ x ადვილად იპოვება მარტივი მიმატებით. 15-ს დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა:

Სულ ეს არის. პასუხი: x=12

ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს თავსატეხები არ არის ფორმულებისთვის. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.) ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვ-ასოების სერიას, ვუყურებთ და ვფიქრობთ.

5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.

6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ ტერმინის ნომერი n.

7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. იპოვეთ 3.

8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15.6; X; 3.4; ...

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.

9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანდათან გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.

პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; ოთხი.

ყველაფერი გამოვიდა? მშვენიერია! თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლოთ არითმეტიკული პროგრესიას უფრო მაღალ დონეზე შემდეგ გაკვეთილებზე.

ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. 555-ე სპეციალურ განყოფილებაში ყველა ეს პრობლემა დაყოფილია ნაწილებად.) და, რა თქმა უნდა, აღწერილია მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც დაუყოვნებლივ ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, როგორც ხელის გულზე!

სხვათა შორის, მატარებლის შესახებ თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომლებზეც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი - წმინდა პროგრესიით, და მეორე - საერთო ნებისმიერი ამოცანისთვის მათემატიკაში და ფიზიკაშიც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დნომრებზე დაწერეთ სერია, ყველაფერი გადაწყდება.

თითის ხსნარი კარგად მუშაობს სერიის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ შეკითხვაში მე-9 პრობლემაშია, შეცვალეთ "ხუთი წუთი"ზე "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა კიდევ უფრო გაუარესდება.)

და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ სრულიად აბსურდული გამოთვლების თვალსაზრისით, მაგალითად:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

და რა, 1/6-ს ბევრ, ბევრჯერ დავამატებთ?! შესაძლებელია თუ არა თავის მოკვლა!?

შეგიძლიათ.) თუ არ იცით მარტივი ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ინსტრუქცია

არითმეტიკული პროგრესია არის a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ფორმის მიმდევრობა. ნომერი d ნაბიჯი პროგრესიები.ცხადია, არითმეტიკის თვითნებური n-ე წევრის ჯამი პროგრესიებიაქვს ფორმა: An = A1+(n-1)d. მაშინ ერთ-ერთი წევრის გაცნობა პროგრესიები, წევრი პროგრესიებიდა ნაბიჯი პროგრესიები, შეიძლება იყოს , ანუ პროგრესირების ტერმინის რიცხვი. ცხადია, ის განისაზღვრება ფორმულით n = (An-A1+d)/d.

დაე, მთვარის ტერმინი ახლა იყოს ცნობილი პროგრესიებიდა კიდევ რამდენიმე წევრი პროგრესიები- n-th, მაგრამ n , როგორც წინა შემთხვევაში, მაგრამ ცნობილია, რომ n და m არ ემთხვევა. ნაბიჯი პროგრესიებიშეიძლება გამოითვალოს ფორმულით: d = (An-Am)/(n-m). შემდეგ n = (An-Am+md)/d.

თუ არითმეტიკის რამდენიმე ელემენტის ჯამი პროგრესიები, ისევე როგორც მისი პირველი და უკანასკნელი , შემდეგ ამ ელემენტების რაოდენობაც შეიძლება განისაზღვროს არითმეტიკის ჯამი პროგრესიებიტოლი იქნება: S = ((A1+An)/2)n. მაშინ n = 2S/(A1+An) არის chdenov პროგრესიები. იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ An = A1+(n-1)d, ეს ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: n = 2S/(2A1+(n-1)d). აქედან შეიძლება n-ის გამოხატვა კვადრატული განტოლების ამოხსნით.

არითმეტიკული თანმიმდევრობა არის რიცხვების ისეთი დალაგებული ნაკრები, რომლის თითოეული წევრი, გარდა პირველისა, იგივე რაოდენობით განსხვავდება წინადან. ამ მუდმივას ეწოდება პროგრესიის სხვაობა ან მისი საფეხური და შეიძლება გამოითვალოს არითმეტიკული პროგრესიის ცნობილი წევრებიდან.

ინსტრუქცია

თუ პირველი და მეორე ან მეზობელი ტერმინების სხვა წყვილის მნიშვნელობები ცნობილია ამოცანის პირობებიდან, სხვაობის გამოსათვლელად (დ), უბრალოდ გამოვაკლოთ წინა წევრი მომდევნო წევრს. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი - ეს დამოკიდებულია იმაზე, იზრდება თუ არა პროგრესი. ზოგადი ფორმით, ჩაწერეთ გადაწყვეტა პროგრესიის მეზობელი წევრების თვითნებური წყვილის (aᵢ და aᵢ₊1) შემდეგნაირად: d = aᵢ₊1 - aᵢ.

ასეთი პროგრესიის წევრების წყვილისთვის, რომელთაგან ერთი არის პირველი (a1), ხოლო მეორე არის ნებისმიერი სხვა თვითნებურად არჩეული, შეიძლება ასევე შექმნას ფორმულა სხვაობის საპოვნელად (d). თუმცა, ამ შემთხვევაში, უნდა იყოს ცნობილი მიმდევრობის თვითნებურად არჩეული წევრის სერიული ნომერი (i). სხვაობის გამოსათვლელად, დაამატეთ ორივე რიცხვი და გაყავით შედეგი თვითნებური წევრის რიგით რიცხვზე, რომელიც შემცირებულია ერთით. ზოგადად, ჩაწერეთ ეს ფორმულა შემდეგნაირად: d = (a1+ aᵢ)/(i-1).

თუ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური წევრის გარდა რიგითი რიცხვით i, ცნობილია სხვა წევრი რიგითი ნომრით, შეცვალეთ წინა საფეხურის ფორმულა შესაბამისად. ამ შემთხვევაში პროგრესიის სხვაობა (დ) იქნება ამ ორი წევრის ჯამი გაყოფილი მათი რიგითი რიცხვების სხვაობაზე: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

სხვაობის (d) გამოთვლის ფორმულა გარკვეულწილად უფრო რთული ხდება, თუ პრობლემის პირობებში მისი პირველი წევრის (a1) მნიშვნელობა და მოცემული რიცხვის (i) პირველი წევრების ჯამი (Sᵢ). მოცემულია არითმეტიკული თანმიმდევრობა. სასურველი მნიშვნელობის მისაღებად ჯამი გაყავით მის შედგენილ ტერმინთა რაოდენობაზე, გამოაკელით პირველი რიცხვის მნიშვნელობა მიმდევრობით და გააორმაგეთ შედეგი. მიღებული მნიშვნელობა გაყავით ტერმინების რაოდენობაზე, რომლებიც შეადგენდნენ ჯამს შემცირებული ერთით. ზოგადად, ჩამოწერეთ დისკრიმინანტის გამოთვლის ფორმულა შემდეგნაირად: d = 2*(Sᵢ/i-a1)/(i-1).