საშუალო სკოლაში (მე-9 კლასი) ალგებრის შესწავლისას ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემაა რიცხვითი მიმდევრობების შესწავლა, რომელიც მოიცავს პროგრესირებას - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

ამის გასაგებად აუცილებელია განსახილველი პროგრესიის განმარტება, ასევე ძირითადი ფორმულების მიცემა, რომლებიც შემდგომში იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრაში.

არითმეტიკა ანუ არის მოწესრიგებული რაციონალური რიცხვების ისეთი ნაკრები, რომლის თითოეული წევრი წინასგან განსხვავდება გარკვეული მუდმივი მნიშვნელობით. ამ მნიშვნელობას სხვაობა ეწოდება. ანუ, რიცხვების მოწესრიგებული სერიის ნებისმიერი წევრის და სხვაობის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მთელი არითმეტიკული პროგრესია.

ავიღოთ მაგალითი. რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა იქნება არითმეტიკული პროგრესია: 4, 8, 12, 16, ..., ვინაიდან განსხვავება ამ შემთხვევაში არის 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). მაგრამ 3, 5, 8, 12, 17 რიცხვების სიმრავლე აღარ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს პროგრესიის განხილულ ტიპს, რადგან სხვაობა მისთვის არ არის მუდმივი მნიშვნელობა (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

მნიშვნელოვანი ფორმულები

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც საჭირო იქნება არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოცანების გადასაჭრელად. მოდით a n აღვნიშნოთ მიმდევრობის n-ე წევრი, სადაც n არის მთელი რიცხვი. განსხვავება აღინიშნება ლათინური ასოებით d. მაშინ შემდეგი გამონათქვამები მართალია:

1. n-ე ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად, შესაფერისია ფორმულა: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. პირველი n წევრის ჯამის დასადგენად: S n = (a n + a 1)*n/2.

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი მაგალითის გასაგებად მე-9 კლასში ამონახსნით, საკმარისია გახსოვდეთ ეს ორი ფორმულა, რადგან მოცემული ტიპის ნებისმიერი პრობლემა აგებულია მათ გამოყენებაზე. ასევე, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ პროგრესირების განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით: d = a n - a n-1 .

მაგალითი #1: უცნობი წევრის პოვნა

ჩვენ ვაძლევთ არითმეტიკული პროგრესიის მარტივ მაგალითს და ფორმულებს, რომლებიც უნდა იქნას გამოყენებული ამოსახსნელად.

მიეცით 10, 8, 6, 4, ... თანმიმდევრობა, აუცილებელია მასში ხუთი წევრის პოვნა.

პრობლემის პირობებიდან უკვე გამომდინარეობს, რომ ცნობილია პირველი 4 ტერმინი. მეხუთე შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:

1. ჯერ სხვაობა გამოვთვალოთ. გვაქვს: d = 8 - 10 = -2. ანალოგიურად, შეიძლება ერთმანეთის გვერდით მდგომი ნებისმიერი ორი სხვა ტერმინი. მაგალითად, d = 4 - 6 = -2. ვინაიდან ცნობილია, რომ d \u003d a n - a n-1, შემდეგ d \u003d a 5 - a 4, საიდანაც ვიღებთ: a 5 \u003d a 4 + d. ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. მეორე მეთოდი ასევე მოითხოვს ცოდნას მოცემული პროგრესიის განსხვავების შესახებ, ასე რომ თქვენ ჯერ უნდა დაადგინოთ ის, როგორც ეს ნაჩვენებია ზემოთ (d = -2). იმის ცოდნა, რომ პირველი წევრი a 1 = 10, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მიმდევრობის n რიცხვისთვის. გვაქვს: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. ბოლო გამოსახულებაში n = 5 ჩანაცვლებით, მივიღებთ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

როგორც ხედავთ, ორივე გამოსავალი იწვევს ერთსა და იმავე შედეგს. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში პროგრესიის d სხვაობა უარყოფითია. ასეთ თანმიმდევრობას კლებადი ეწოდება, რადგან ყოველი თანმიმდევრული წევრი წინაზე ნაკლებია.

მაგალითი #2: პროგრესირების განსხვავება

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება, მოვიყვანოთ მაგალითი, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ცნობილია, რომ ზოგიერთ ალგებრულ პროგრესიაში 1 წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.

გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . ჩვენ ვცვლით ცნობილ მონაცემებს მდგომარეობიდან მასში, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 \u003d 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ სხვაობა: d = (18 - 6) / 6 = 2. ამრიგად, ამოცანის პირველ ნაწილს გაეცა პასუხი.

მე-7 წევრზე მიმდევრობის აღსადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ალგებრული პროგრესიის განმარტება, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ა.შ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 და 7 = 18.

მაგალითი #3: პროგრესირება

მოდით კიდევ უფრო გავართულოთ პრობლემის მდგომარეობა. ახლა თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა იპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეგვიძლია მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად, 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესია ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.

ამ პრობლემის გადაჭრის დაწყებამდე აუცილებელია იმის გაგება, თუ რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, შემდეგ 1 \u003d -4 და 5 \u003d 5. ამის დადგენის შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ დავალებას, რომელიც მსგავსია წინა. ისევ მე-n ტერმინისთვის ვიყენებთ ფორმულას, ვიღებთ: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. აქ განსხვავება არ არის მთელი რიცხვი, არამედ რაციონალური რიცხვია, ამიტომ ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.

ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის დაკარგული წევრები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u რაც პრობლემის მდგომარეობას დაემთხვა.

მაგალითი #4: პროგრესიის პირველი წევრი

ჩვენ ვაგრძელებთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანას ამონახსნით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განიხილეთ სხვა ტიპის პრობლემა: მოდით, ორი რიცხვი იყოს მოცემული, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია გაიგოთ, რომელი რიცხვიდან იწყება ეს თანმიმდევრობა.

ფორმულები, რომლებიც აქამდე იქნა გამოყენებული, გულისხმობს 1 და დ-ის ცოდნას. ამ ციფრების შესახებ პრობლემის პირობებში არაფერია ცნობილი. მიუხედავად ამისა, მოდით დავწეროთ გამონათქვამები თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც გვაქვს ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც არის 2 უცნობი სიდიდე (a 1 და d). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.

მითითებული სისტემა ყველაზე ადვილად ამოსახსნელია, თუ თითოეულ განტოლებაში გამოხატავთ 1-ს და შემდეგ შეადარებთ მიღებულ გამონათქვამებს. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების ტოლფასი მივიღებთ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (მოცემულია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).

იცის d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ზემოთ მოცემული 2 გამოთქმა 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

თუ შედეგზე ეჭვი გეპარებათ, შეგიძლიათ გადაამოწმოთ, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესიის 43-ე წევრი, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.

მაგალითი #5: ჯამი

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.

მივცეთ შემდეგი ფორმის რიცხვითი პროგრესია: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების წყალობით ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია, ანუ თანმიმდევრულად შევკრიბოთ ყველა რიცხვი, რასაც კომპიუტერი გააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია გონებრივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია და მისი სხვაობა არის 1. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას „გაუსური“ ჰქვია, რადგან მე-18 საუკუნის დასაწყისში ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლის ასაკში, რამდენიმე წამში შეძლო მისი გონებაში გადაჭრა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ დაამატებთ რიცხვების წყვილებს, რომლებიც მდებარეობს მიმდევრობის კიდეებზე, ყოველთვის მიიღებთ ერთსა და იმავე შედეგს, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.

მაგალითი #6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითია შემდეგი: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ რა იქნება მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე.

პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების პოვნას 8-დან 14-მდე, შემდეგ კი მათი თანმიმდევრობით შეჯამებას. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმარისად შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.

იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ 2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ განსხვავებას ამ ჯამებს შორის და დავუმატებთ ტერმინს a m (განსხვავების აღების შემთხვევაში მას აკლდება S n ჯამს), მაშინ მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

შედეგად მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.

როგორც ზემოთ მოყვანილი ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, მკაფიოდ გაიგოთ რისი პოვნა გსურთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გამოსავალი.

კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გამოყენების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შევჩერდეთ ფორმულაზე S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და დაყავით ზოგადი დავალება ცალკეულ ქვეამოცნებებად (ამ შემთხვევაში ჯერ იპოვეთ ტერმინები a n და a).

თუ არსებობს ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მოყვანილ მაგალითში. როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული პროგრესია, გაირკვა. როგორც კი გაარკვიე, არც ისე რთულია.

IV იაკოვლევი | მასალები მათემატიკაზე | MathUs.ru

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის სპეციალური სახის მიმდევრობა. ამიტომ, სანამ არითმეტიკული (და შემდეგ გეომეტრიული) პროგრესია განვსაზღვროთ, მოკლედ უნდა განვიხილოთ რიცხვების მიმდევრობის მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

ქვემიმდევრობა

წარმოიდგინეთ მოწყობილობა, რომლის ეკრანზე რამდენიმე რიცხვი გამოსახულია ერთმანეთის მიყოლებით. ვთქვათ 2; 7; 13; ერთი; 6; 0; 3; : : : რიცხვთა ასეთი ნაკრები მხოლოდ მიმდევრობის მაგალითია.

განმარტება. რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელშიც თითოეულ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური რიცხვი (ანუ შეესაბამებოდეს ერთ ნატურალურ რიცხვს)1. რიცხვს n რიცხვით ეწოდება მიმდევრობის n-ე წევრი.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში პირველ რიცხვს აქვს რიცხვი 2, რომელიც არის მიმდევრობის პირველი წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a1-ით; ნომერ ხუთს აქვს რიცხვი 6, რომელიც არის რიგითობის მეხუთე წევრი, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ a5. ზოგადად, მიმდევრობის n-ე წევრი აღინიშნება ან-ით (ან bn , cn და ა.შ.).

ძალიან მოსახერხებელი სიტუაციაა, როდესაც მიმდევრობის n-ე წევრი შეიძლება დაზუსტდეს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა an = 2n 3 განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; 3; 5; 7; : : : ფორმულა an = (1)n განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; ერთი; ერთი; : ::

რიცხვების ყველა ნაკრები არ არის თანმიმდევრობა. ასე რომ, სეგმენტი არ არის თანმიმდევრობა; ის შეიცავს ¾ ძალიან ბევრ¿ რიცხვს, რომ გადანომრილიყო. ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე ასევე არ არის მიმდევრობა. ეს ფაქტები დასტურდება მათემატიკური ანალიზის დროს.

არითმეტიკული პროგრესია: ძირითადი განმარტებები

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია.

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) უდრის წინა წევრისა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს (ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას).

მაგალითად, თანმიმდევრობა 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 2 და სხვაობით 3. თანმიმდევრობა 7; 2; 3; რვა; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 7 და სხვაობით 5. თანმიმდევრობა 3; 3; 3; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია ნულოვანი სხვაობით.

ეკვივალენტური განმარტება: an მიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ განსხვავება an+1 an არის მუდმივი მნიშვნელობა (არ არის დამოკიდებული n-ზე).

არითმეტიკული პროგრესია ითვლება მზარდად, თუ მისი სხვაობა დადებითია და მცირდება, თუ განსხვავება უარყოფითია.

1 და აქ არის უფრო ლაკონური განმარტება: მიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე. მაგალითად, რეალური რიცხვების მიმდევრობა არის f ფუნქცია: N! რ.

ნაგულისხმევად, მიმდევრობები განიხილება უსასრულოდ, ანუ შეიცავს რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მაგრამ არავის აწუხებს სასრული მიმდევრობების განხილვა; სინამდვილეში, რიცხვების ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს შეიძლება ეწოდოს სასრული მიმდევრობა. მაგალითად, საბოლოო თანმიმდევრობა 1; 2; 3; ოთხი; 5 შედგება ხუთი რიცხვისგან.

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა

ადვილი გასაგებია, რომ არითმეტიკული პროგრესია მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვით: პირველი წევრი და სხვაობა. მაშასადამე, ჩნდება კითხვა: როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური ვადა, პირველი წევრისა და სხვაობის ცოდნით?

არ არის რთული არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის სასურველი ფორმულის მიღება. დაე ა

არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით დ. Ჩვენ გვაქვს:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
კერძოდ, ჩვენ ვწერთ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
და ახლა ცხადი ხდება, რომ ფორმულა არის:
an = a1 + (n 1)d:

ამოცანა 1. არითმეტიკული პროგრესია 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და გამოთვალეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება. არითმეტიკული პროგრესიით ან ნებისმიერისთვის

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) არის მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული.

	მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს:
	a n 1+ a n+1		(d) + (an + d)

რაც საჭირო იყო.

უფრო ზოგადად, არითმეტიკული პროგრესია a აკმაყოფილებს თანასწორობას

a n = a n k+ a n+k

ნებისმიერი n > 2-ისთვის და ნებისმიერი ბუნებრივი k-სთვის< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

გამოდის, რომ ფორმულა (2) არა მხოლოდ აუცილებელი, არამედ საკმარისი პირობაა იმისთვის, რომ მიმდევრობა იყოს არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ნიშანი. თუ ტოლობა (2) მოქმედებს ყველა n > 2-ისთვის, მაშინ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2) შემდეგნაირად:

a na n 1= a n+1a n:

ეს აჩვენებს, რომ განსხვავება an+1 an არ არის დამოკიდებული n-ზე და ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც ერთი დებულება; მოხერხებულობისთვის ჩვენ ამას გავაკეთებთ სამი ნომრისთვის (ეს არის სიტუაცია, რომელიც ხშირად ხდება პრობლემებში).

არითმეტიკული პროგრესიის დახასიათება. სამი რიცხვი a, b, c ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2b = a + c.

ამოცანა 2. (მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, ეკონომიკის ფაკულტეტი, 2007 წ.) სამი რიცხვი 8x, 3 x2 და 4 მითითებული თანმიმდევრობით ქმნის კლებად არითმეტიკულ პროგრესიას. იპოვეთ x და დაწერეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

გამოსავალი. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით გვაქვს:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

თუ x = 1, მაშინ მიიღება კლებადი პროგრესია 8, 2, 4 6-ის სხვაობით. თუ x = 5, მაშინ მიიღება მზარდი პროგრესია 40, 22, 4; ეს საქმე არ მუშაობს.

პასუხი: x = 1, სხვაობა არის 6.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

ლეგენდა ამბობს, რომ ერთხელ მასწავლებელმა ბავშვებს უთხრა, რომ იპოვონ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე და ჩუმად დაჯდა გაზეთის წასაკითხად. თუმცა, რამდენიმე წუთში ერთმა ბიჭმა თქვა, რომ პრობლემა მოაგვარა. ეს იყო 9 წლის კარლ ფრიდრიხ გაუსი, მოგვიანებით ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი.

პატარა გაუსის იდეა ასეთი იყო. დაე

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

მოდით ჩავწეროთ ეს ჯამი საპირისპირო თანმიმდევრობით:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

და დაამატეთ ეს ორი ფორმულა:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ფრჩხილებში თითოეული წევრი უდრის 101-ს და სულ არის 100 ასეთი წევრი.მაშასადამე

2S = 101 100 = 10100;

ამ იდეას ვიყენებთ ჯამის ფორმულის გამოსატანად

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

ფორმულის (3) სასარგებლო მოდიფიკაცია მიიღება n-ე ტერმინის an = a1 + (n 1)d ფორმულის ჩანაცვლებით მასში:

		2a1 + (n 1)d

ამოცანა 3. იპოვეთ 13-ზე გაყოფილი ყველა დადებითი სამნიშნა რიცხვის ჯამი.

გამოსავალი. სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც 13-ის ჯერადი არიან, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით 104 და სხვაობით 13; ამ პროგრესის მე-n ტერმინი არის:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

მოდით გავარკვიოთ რამდენ წევრს შეიცავს ჩვენი პროგრესი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

ან 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ასე რომ, ჩვენს პროგრესში 69 წევრია. ფორმულის მიხედვით (4) ვპოულობთ საჭირო რაოდენობას:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი მიმდევრობა, რადგან არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის რიცხვითი ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის რიგითი ნომერი მითითებულია ინდექსით:

მიმდევრობის პირველი ელემენტი;

მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;

- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "მდგომი რიგში" ნომერზე n.

არსებობს დამოკიდებულება მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის რიგით რიცხვს შორის. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტიც არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება ითქვას თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სამი გზით:

1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.

მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა აეღო პირადი დროის მენეჯმენტი და, დასაწყისისთვის, დაითვალა კვირის განმავლობაში რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე. დროის ცხრილში ჩაწერით, ის მიიღებს შვიდი ელემენტისგან შემდგარ თანმიმდევრობას:

ცხრილის პირველი სტრიქონი შეიცავს კვირის დღის რაოდენობას, მეორე - დროს წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს, მხოლოდ 15.

2 . თანმიმდევრობა შეიძლება დაზუსტდეს n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით.

ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.

მაგალითად, თუ, მაშინ

მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად მოცემული რიცხვით, ელემენტის ნომერი ჩავანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულაში.

ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:

თუ, მაგალითად, , მაშინ

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, მხოლოდ ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს არგუმენტი.

3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს n რიცხვით მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა, რათა ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა. ჩვენ უნდა დავაკონკრეტოთ პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი მიმდევრობის.

მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა ,

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები თანმიმდევრობითმესამედან დაწყებული:

ანუ, ყოველ ჯერზე, რათა ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. თანმიმდევრობის ამ ხერხს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი- დაბრუნდი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.

არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა, დამატებული იმავე რიცხვით.

ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნული.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.

მაგალითად, 2; 5; რვა; თერთმეტი;...

თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.

მაგალითად, 2; - ერთი; - ოთხი; -7;...

თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა წევრი ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.

მაგალითად, 2;2;2;2;...

არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:

მოდით შევხედოთ სურათს.

ჩვენ ამას ვხედავთ

, და ამავე დროს

ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:

.

გაყავით განტოლების ორივე მხარე 2-ზე:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:

უფრო მეტიც, მას შემდეგ

, და ამავე დროს

, მაშინ

, და აქედან გამომდინარე

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, რომელიც იწყება title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

წევრის ფორმულა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

და ბოლოს

Მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. იცოდეთ პირველი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე წევრი.

არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი.

თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბრად დაშორებული ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრის ჯამი ტოლი იყოს.

დაალაგეთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:

მოდით დავაწყვილოთ:

თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.

ჩვენ ვიღებთ:

Ისე, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.

1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის ერთი და იგივე რიცხვის ტოლია.

მივიღეთ, რომ მიმდევრობის ორი მიმდებარე წევრის სხვაობა არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...

ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.

ბ) დაადგინეთ, შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.

ა)ჩვენ ამას ვხედავთ;

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.

Ზოგადად

ჩვენს შემთხვევაში , ამიტომაც

არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები

თეორიული ინფორმაცია

თეორიული ინფორმაცია

	არითმეტიკული პროგრესია	გეომეტრიული პროგრესია
განმარტება	არითმეტიკული პროგრესია a nეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, დაწყებული მეორიდან, უდრის წინა წევრს, დამატებული იგივე რიცხვით. დ (დ- პროგრესის განსხვავება)	გეომეტრიული პროგრესია b nეწოდება არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ქ (ქ- პროგრესირების მნიშვნელი)
განმეორებითი ფორმულა	ნებისმიერი ბუნებრივი ნ a n + 1 = a n + d	ნებისმიერი ბუნებრივი ნ b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-ე ტერმინის ფორმულა	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
დამახასიათებელი თვისება
პირველი n პუნქტების ჯამი

დავალებების მაგალითები კომენტარებით

სავარჯიშო 1

არითმეტიკული პროგრესიით ( a n) a 1 = -6, a 2

n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 დღე

პირობით:

a 1= -6, ასე რომ a 22= -6 + 21d.

აუცილებელია პროგრესის განსხვავების პოვნა:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

პასუხი: a 22 = -48.

დავალება 2

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი: -3; 6;....

1 გზა (n-ტერმინის ფორმულის გამოყენებით)

გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

იმიტომ რომ ბ 1 = -3,

მე-2 გზა (რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით)

ვინაიდან პროგრესიის მნიშვნელი არის -2 (q = -2), მაშინ:

ბ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ბ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ბ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

პასუხი: ბ 5 = -48.

დავალება 3

არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ) 74 = 34; 76= 156. იპოვეთ ამ პროგრესიის სამოცდამეხუთე წევრი.

არითმეტიკული პროგრესიისთვის დამახასიათებელ თვისებას აქვს ფორმა .

ამიტომ:

.

ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:

პასუხი: 95.

დავალება 4

არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ ) ა ნ= 3n - 4. იპოვეთ პირველი ჩვიდმეტი წევრის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის საპოვნელად გამოიყენება ორი ფორმულა:

.

რომელი მათგანი უფრო მოსახერხებელია ამ შემთხვევაში გამოსაყენებლად?

პირობით, ცნობილია საწყისი პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა ( a n) a n= 3n - 4. შეიძლება მოიძებნოს დაუყოვნებლივ და a 1, და a 16პოვნის გარეშე დ. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ პირველ ფორმულას.

პასუხი: 368.

დავალება 5

არითმეტიკული პროგრესიით a n) a 1 = -6; a 2= -8. იპოვეთ პროგრესიის ოცდამეორე წევრი.

n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 დღე.

პირობით, თუ a 1= -6, მაშინ a 22= -6 + 21d. აუცილებელია პროგრესის განსხვავების პოვნა:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

პასუხი: a 22 = -48.

დავალება 6

გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრია ჩაწერილი:

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x .

ამოხსნისას ვიყენებთ n-ე ტერმინის ფორმულას b n \u003d b 1 ∙ q n - 1გეომეტრიული პროგრესიებისთვის. პროგრესის პირველი წევრი. პროგრესიის q მნიშვნელის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ პროგრესიის რომელიმე ტერმინი და გაყოთ წინაზე. ჩვენს მაგალითში შეგიძლიათ აიღოთ და გაყოთ. ვიღებთ, რომ q \u003d 3. n-ის ნაცვლად, ფორმულაში ვცვლით 3-ს, რადგან აუცილებელია მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მესამე წევრის პოვნა.

ნაპოვნი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

.

პასუხი:.

დავალება 7

n-ე წევრის ფორმულით მოცემული არითმეტიკული პროგრესიებიდან აირჩიეთ ის, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია a 27 > 9:

ვინაიდან მითითებული პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს პროგრესის 27-ე ტერმინისთვის, ჩვენ ვანაცვლებთ 27-ს n-ის ნაცვლად ოთხივე პროგრესიაში. მე-4 პროგრესში ვიღებთ:

.

პასუხი: 4.

დავალება 8

არითმეტიკული პროგრესიით a 1= 3, d = -1.5. მიუთითეთ n-ის უდიდესი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მოქმედებს უტოლობა a n > -6.

არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის წევრები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინასგან განსხვავდება ფოლადის ტერმინით, რომელსაც ასევე ე.წ ნაბიჯის ან პროგრესირების განსხვავება.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის დაყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრის არითმეტიკული საშუალო.

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მეზობელი კენტი (ლუწი) წევრების საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ წევრს, რომელიც დგას მათ შორის, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ მტკიცებით ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ ტერმინებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ დავწერთ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, ის შეუცვლელია გამოთვლებში და საკმაოდ გავრცელებულია მარტივ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთლიანი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი k-ე წევრიდან, მაშინ შემდეგი ჯამის ფორმულა გამოგადგებათ.

4) პრაქტიკული ინტერესია არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამის პოვნა k-ე რიცხვიდან დაწყებული. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

აქ მთავრდება თეორიული მასალა და გადავდივართ პრაქტიკაში გავრცელებული პრობლემების გადაჭრაზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეორმოცე წევრი 4;7;...

გამოსავალი:

პირობის მიხედვით გვაქვს

განსაზღვრეთ პროგრესის ნაბიჯი

ცნობილი ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე ტერმინს

მაგალითი 2. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრების მიერ. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათეულის ჯამი.

გამოსავალი:

პროგრესიის მოცემულ ელემენტებს ვწერთ ფორმულების მიხედვით

პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

ნაპოვნი მნიშვნელობა ჩანაცვლებულია ნებისმიერ განტოლებაში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის საპოვნელად

გამოთვალეთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამი

რთული გამოთვლების გამოყენების გარეშე, ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო მნიშვნელობა.

მაგალითი 3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელისა და მისი ერთ-ერთი წევრის მიერ. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გამოსავალი:

მოდით დავწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვე პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესირების ჯამია 250.

მაგალითი 4

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გამოსავალი:

განტოლებებს ვწერთ პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვრავთ მათ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში წევრების რაოდენობა.

გამარტივებების გაკეთება

და ამოხსენით კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 არის შესაფერისი პრობლემის მდგომარეობისთვის. ამრიგად, პროგრესიის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

მაგალითი 5

განტოლების ამოხსნა

1+3+5+...+x=307.

ამოხსნა: ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. ჩვენ ვწერთ მის პირველ ტერმინს და ვპოულობთ პროგრესირების განსხვავებას