უწყვეტი არხი

არხები, როდესაც მიიღება უწყვეტი სიგნალი, რომლის შემოსვლაზეც სიგნალი იქნება უწყვეტი, ე.წ. უწყვეტი. ისინი ყოველთვის დისკრეტული არხის ნაწილია. უწყვეტი არხებია, მაგალითად, სტანდარტული სატელეფონო საკომუნიკაციო არხები (ტონური სიხშირის არხები - FC) გამტარუნარიანობით 0.3 ... 3.4 kHz, სტანდარტული ფართოზოლოვანი არხები 60 ... 108 kHz სიჩქარით, ფიზიკური სქემები და ა.შ. მოდელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წრფივი კვადრიპოლუსის სახით (სურათი 3.4)

სურათი 3.4 - ხაზოვანი უწყვეტი არხის მოდელი

დისკრეტული არხი

არხის ენკოდერისა და დეკოდერის უწყვეტი საკომუნიკაციო არხთან შესატყვისად გამოიყენება სიგნალის კონვერტაციის მოწყობილობები (SCD), რომლებიც ჩართულია გადაცემის და მიღების დროს. კონკრეტულ შემთხვევაში, ეს არის მოდულატორი და დემოდულატორი. საკომუნიკაციო არხის UPS ფორმასთან ერთად დისკრეტული არხი (DC), ე.ი. არხი, რომელიც შექმნილია მხოლოდ დისკრეტული სიგნალების გადასაცემად.

დისკრეტული არხი ხასიათდება ინფორმაციის გადაცემის სიჩქარით, რომელიც იზომება ბიტებში წამში (bps). დისკრეტული არხის კიდევ ერთი მახასიათებელია მოდულაციის სიჩქარე, რომელიც იზომება ბაუდში. იგი განისაზღვრება წამში გადატანილი ელემენტების რაოდენობით.

ორობითი დაბალანსებული არხი . ორობითი დაბალანსებული არხი(ორობითი სიმეტრიული არხი - BSC) არის დისკრეტული მეხსიერების გარეშე არხის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომლის შემავალი და გამომავალი ანბანი შედგება ბინარული ელემენტებისაგან (0 და I). პირობითი ალბათობები სიმეტრიულია.

განტოლება (3.6) გამოხატავს ე.წ გადასვლის ალბათობა.

მარკოვის მოდელები DC. არხის მდგომარეობები შეიძლება გამოირჩეოდეს შეცდომის ალბათობით თითოეულ სახელმწიფოში. შეცდომის ალბათობის ცვლილებები, თავის მხრივ, შეიძლება დაკავშირებული იყოს ფიზიკურ მიზეზებთან - შეფერხებების გამოჩენა, იმპულსური ხმაური, გაქრობა და ა.შ. სახელმწიფო თანმიმდევრობა არის მარტივი მარკოვის ჯაჭვი. მარკოვის მარტივი ჯაჭვი არის მდგომარეობების შემთხვევითი თანმიმდევრობა, როდესაც არსებობს კონკრეტული მდგომარეობის ალბათობა მე-დროის ის მომენტი მთლიანად განისაზღვრება სახელმწიფოს მიერ გ i-1 წელს ( მე- 1) მომენტი. ასეთი არხის ეკვივალენტური წრე ნაჩვენებია ნახაზზე 3.5.

სურათი 3.5 - დისკრეტული სიმეტრიული არხის ეკვივალენტური წრე, როდესაც აღწერილია მარკოვის ჯაჭვებზე დაფუძნებული მოდელით

ჰილბერტის მოდელი. მარკოვის ჯაჭვების მათემატიკური აპარატის გამოყენებაზე დაფუძნებული უმარტივესი მოდელი არის ჰილბერტის მიერ შემოთავაზებული შეცდომის წყაროს მოდელი. ამ მოდელის მიხედვით, არხი შეიძლება იყოს ორ მდგომარეობაში - კარგი (მდგომარეობა 1) და ცუდი (მდგომარეობა 2). პირველი მდგომარეობა ხასიათდება შეცდომების არარსებობით. მეორე მდგომარეობაში, შეცდომები გამოჩნდება ალბათობით p osh (2) .

ჩარევა საკომუნიკაციო არხებში

რეალურ არხში გადაცემის დროს სიგნალი დამახინჯებულია და შეტყობინება რეპროდუცირებულია გარკვეული შეცდომით. ასეთი შეცდომების მიზეზი არის თავად არხის მიერ შემოტანილი დამახინჯება და სიგნალზე მოქმედი ხმაური. დამახინჯებები მკაფიოდ უნდა გამოიყოს შემთხვევითი ხასიათის ჩარევებისგან. ჩარევა წინასწარ არ არის ცნობილი და, შესაბამისად, შეუძლებელია მთლიანად აღმოიფხვრას.

ქვეშ დაბრკოლებაეხება ნებისმიერ ეფექტს, რომელიც ზედმეტად ედება სასარგებლო სიგნალს და ართულებს მის მიღებას. ჩარევები მათი წარმოშობით მრავალფეროვანია: ჭექა-ქუხილი, ელექტრო მანქანების ჩარევა, ელექტროძრავები, ძრავის ანთების სისტემები და ა.შ.

თითქმის ნებისმიერ სიხშირის დიაპაზონში არის აღჭურვილობის შიდა ხმები გამაძლიერებელ მოწყობილობებში მუხტის მატარებლების ქაოტური მოძრაობის გამო, ე.წ. თერმული ხმაური.

ჩარევის კლასიფიკაცია. ჰარმონიული ჩარევა- არის ვიწროზოლიანი მოდულირებული სიგნალი. ასეთი ჩარევის წარმოშობის მიზეზებია საკაბელო სქემებს შორის ჯვარედინი შესუსტების შემცირება, რადიოსადგურების გავლენა. იმპულსური ჩარევაარის დროში კონცენტრირებული ჩარევები. ისინი წარმოადგენენ იმპულსების შემთხვევით თანმიმდევრობას, რომლებსაც აქვთ შემთხვევითი დროის ინტერვალები და მათ მიერ გამოწვეული გარდამავალი დროში არ ემთხვევა ერთმანეთს.

მოცემულია ზღვრებით რიცხვითი მიმდევრობების ძირითადი თეორემებისა და თვისებების დებულებები. შეიცავს თანმიმდევრობის განმარტებას და მის ზღვარს. განიხილება არითმეტიკული მოქმედებები მიმდევრობით, უტოლობასთან დაკავშირებული თვისებები, კონვერგენციის კრიტერიუმები, უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდი მიმდევრობების თვისებები.

შინაარსი

მიმდევრობების სასრული ზღვრების თვისებები

ძირითადი თვისებები

წერტილი a არის მიმდევრობის ზღვარი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოშია ელემენტების სასრული რაოდენობათანმიმდევრობები ან ცარიელი ნაკრები.

თუ რიცხვი a არ არის მიმდევრობის ზღვარი, მაშინ არის a წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომლის გარეთ არის მიმდევრობის ელემენტების უსასრულო რაოდენობა.

უნიკალურობის თეორემა რიცხვთა მიმდევრობის ზღვრისთვის. თუ თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი, მაშინ ის უნიკალურია.

თუ მიმდევრობას აქვს სასრული ზღვარი, მაშინ ის შეზღუდული.

თუ მიმდევრობის თითოეული ელემენტი იგივე რიცხვის ტოლია C:, მაშინ ამ მიმდევრობას აქვს C რიცხვის ტოლი ზღვარი.

თუ თანმიმდევრობა დაამატეთ, ჩამოაგდეთ ან შეცვალეთ პირველი m ელემენტები, მაშინ ეს არ იმოქმედებს მის კონვერგენციაზე.

ძირითადი თვისებების მტკიცებულებაგვერდზე მოცემული
მიმდევრობათა სასრული ზღვრების ძირითადი თვისებები >>>.

არითმეტიკა ლიმიტებით

იყოს სასრული საზღვრები და მიმდევრობები და . და მოდით C იყოს მუდმივი, ანუ მოცემული რიცხვი. მერე
;
;
;
, თუ .
კოეფიციენტის შემთხვევაში, ვარაუდობენ, რომ ყველა n.

თუ , მაშინ .

არითმეტიკული თვისების მტკიცებულებებიგვერდზე მოცემული
მიმდევრობათა სასრული ზღვრების არითმეტიკული თვისებები >>>.

უტოლობასთან დაკავშირებული თვისებები

თუ მიმდევრობის ელემენტები, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან, აკმაყოფილებს უტოლობას, მაშინ ამ მიმდევრობის ზღვარიც აკმაყოფილებს უტოლობას.

თუ მიმდევრობის ელემენტები, დაწყებული გარკვეული რიცხვიდან, მიეკუთვნება დახურულ ინტერვალს (სეგმენტს), მაშინ ზღვარი a ასევე ეკუთვნის ამ ინტერვალს: .

თუ რომელიმე რიცხვიდან დაწყებული მიმდევრობის ელემენტები და და აკმაყოფილებენ უტოლობას, მაშინ .

თუ და, რაღაც რიცხვიდან დაწყებული, , მაშინ .
კერძოდ, თუ რომელიმე რიცხვიდან დაწყებული, მაშინ
თუ , მაშინ ;
თუ , მაშინ .

თუ და, მაშინ.

დაე და . Თუ < b , მაშინ არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა n-სთვის > ნუთანასწორობა დაკმაყოფილებულია.

უტოლობასთან დაკავშირებული თვისებების მტკიცებულებებიგვერდზე მოცემული
უტოლობასთან დაკავშირებული მიმდევრობის ზღვრების თვისებები >>>.

უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ მცირე მიმდევრობები

უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა

უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა არის მიმდევრობა, რომლის ზღვარი ნულის ტოლია:
.

ჯამი და განსხვავებაუსასრულო რაოდენობის უსასრულო მიმდევრობა არის უსასრულო მცირე მიმდევრობა.

შემოსაზღვრული მიმდევრობის პროდუქტიუსასრულოდ მცირე არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

სასრული რიცხვის ნამრავლიუსასრულოდ მცირე მიმდევრობა არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

იმისთვის, რომ მიმდევრობას ჰქონდეს ზღვარი a, აუცილებელია და საკმარისია, სადაც არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის თვისებების მტკიცებულებაგვერდზე მოცემული
უსასრულოდ მცირე მიმდევრობები - განმარტება და თვისებები >>>.

უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა

უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა არის მიმდევრობა, რომელსაც აქვს უსასრულოდ დიდი ზღვარი. ანუ, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის არის ისეთი ნატურალური რიცხვი N, დამოკიდებულია იმაზე, რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის არის უტოლობა.
.
ამ შემთხვევაში დაწერეთ
.
ან ზე.
ისინი ამბობენ, რომ ის მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

თუ N-დან დაწყებული, მაშინ
.
თუ, მაშინ
.

თუ მიმდევრობები უსასრულოდ დიდია, მაშინ N რიცხვიდან დაწყებული, განისაზღვრება უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა. თუ არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა არანულოვანი ელემენტებით, მაშინ მიმდევრობა უსასრულოდ დიდია.

თუ თანმიმდევრობა უსასრულოდ დიდია და თანმიმდევრობა შეზღუდულია, მაშინ
.

თუ მიმდევრობის ელემენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები ქვემოდან შემოსაზღვრულია დადებითი რიცხვით () და უსასრულოდ მცირეა არანულოვანი ელემენტებით, მაშინ
.

Დეტალებში უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის განსაზღვრა მაგალითებითგვერდზე მოცემული
უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განმარტება >>>.
უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის თვისებების მტკიცებულებებიგვერდზე მოცემული
უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის თვისებები >>>.

თანმიმდევრობის კონვერგენციის კრიტერიუმები

მონოტონური მიმდევრობები

მკაცრად მზარდი მიმდევრობა არის მიმდევრობა ყველა ელემენტისთვის, რომლის შემდეგი უტოლობებია:
.

მსგავსი უტოლობები განსაზღვრავს სხვა მონოტონურ მიმდევრობებს.

მკაცრად კლებადი თანმიმდევრობა:
.
შეუმცირებელი თანმიმდევრობა:
.
არამზარდი თანმიმდევრობა:
.

აქედან გამომდინარეობს, რომ მკაცრად მზარდი თანმიმდევრობა ასევე არ არის კლებადი. მკაცრად კლებადი თანმიმდევრობა ასევე არ არის მზარდი.

მონოტონური თანმიმდევრობა არის შეუმცირებელი ან არმზარდი თანმიმდევრობა.

მონოტონური მიმდევრობა ერთ მხარეს მაინც შემოსაზღვრულია . ქვემოდან შემოსაზღვრულია შეუმცირებელი მიმდევრობა: . ზემოდან შემოსაზღვრულია არამზარდი მიმდევრობა: .

ვაიერშტრასის თეორემა. იმისათვის, რომ არკლებად (არამზარდი) მიმდევრობას ჰქონდეს სასრული ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ იგი შემოიფარგლოს ზემოდან (ქვემოდან). აქ M არის რაღაც რიცხვი.

ვინაიდან ნებისმიერი კლებადი (არამზარდი) მიმდევრობა შემოსაზღვრულია ქვემოდან (ზემოდან), ვეიერშტრასის თეორემა შეიძლება შემდეგნაირად ჩამოყალიბდეს:

იმისთვის, რომ მონოტონურ მიმდევრობას ჰქონდეს სასრული ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია მისი შემოსაზღვრული: .

მონოტონური შეუზღუდავი მიმდევრობააქვს უსასრულო ზღვარი, ტოლია შეუმცირებელი და არმზარდი მიმდევრებისთვის.

ვაიერშტრასის თეორემის დადასტურებაგვერდზე მოცემული
ვაიერშტრასის თეორემა მონოტონური მიმდევრობის ზღვარზე >>>.

კუშის კრიტერიუმი მიმდევრობის კონვერგენციისთვის

კოშის მდგომარეობა
თანმიმდევრულობა აკმაყოფილებს კოშის მდგომარეობა, თუ რომელიმესთვის არსებობს ისეთი ნატურალური რიცხვი, რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის n და m, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობას, უტოლობა
.

ფუნდამენტური თანმიმდევრობა არის თანმიმდევრობა, რომელიც აკმაყოფილებს კოშის მდგომარეობა.

კუშის კრიტერიუმი მიმდევრობის კონვერგენციისთვის. იმისთვის, რომ მიმდევრობას ჰქონდეს სასრული ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ იგი აკმაყოფილებდეს კოშის პირობას.

კოშის კონვერგენციის კრიტერიუმის დადასტურებაგვერდზე მოცემული
მიმდევრობის კონვერგენციის კუშის კრიტერიუმი >>>.

ქვემიმდევრობები

ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემა. ნებისმიერი შემოსაზღვრული მიმდევრობისგან შეიძლება გამოირჩეოდეს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა. და ნებისმიერი შეუზღუდავი მიმდევრობიდან - უსასრულოდ დიდი ქვემიმდევრობა, რომელიც ემთხვევა ან .

ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემის დადასტურებაგვერდზე მოცემული
ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემა >>>.

გვერდზე განხილულია ქვემიმდევრობების და ნაწილობრივი ზღვრების განმარტებები, თეორემები და თვისებები
მიმდევრობების ქვემიმდევრობა და ნაწილობრივი საზღვრები >>>.

ცნობები:
ᲡᲛ. ნიკოლსკი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 1983 წ.
ლ.დ. კუდრიავცევი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 2003 წ.
ვ.ა. ზორიხი. მათემატიკური ანალიზი. ნაწილი 1. მოსკოვი, 1997 წ.
ვ.ა. ილინი, ე.გ. პოზნიაკი. მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები. ნაწილი 1. მოსკოვი, 2005 წ.

Იხილეთ ასევე:

მიმდევრობისა და ფუნქციის საზღვრების განსაზღვრა, ლიმიტების თვისებები, პირველი და მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტები, მაგალითები.

მუდმივი რიცხვი ადაურეკა ზღვარი თანმიმდევრობები(x n) თუ რაიმე თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის ε > 0 არსებობს რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა მნიშვნელობა x n, რომლისთვისაც n>N აკმაყოფილებს უტოლობას

ჩაწერეთ შემდეგნაირად: ან x n → a.

უტოლობა (6.1) უდრის ორმაგ უტოლობას

ა - ე< x n < a + ε которое означает, что точки x n, დაწყებული რაღაც n>N რიცხვიდან, დევს ინტერვალის შიგნით (a-ε , a+ε), ე.ი. მოხვდება წერტილის ნებისმიერ პატარა ε-მეზობლად ა.

თანმიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება თანხვედრა, წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული.

ფუნქციის ლიმიტის ცნება არის მიმდევრობის ზღვრის კონცეფციის განზოგადება, ვინაიდან მიმდევრობის ლიმიტი შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც მთელი რიცხვის არგუმენტის x n = f(n) ფუნქციის ზღვარი. ნ.

მიეცით ფუნქცია f(x) და მოდით ა - ლიმიტის წერტილიამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი D(f), ე.ი. ისეთი წერტილი, რომლის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს D(f) სიმრავლის წერტილებს, რომლებიც განსხვავდებიან ა. Წერტილი აშეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ იყოს D(f) სიმრავლეს.

განმარტება 1.მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→ a თუ რომელიმე მიმდევრობისთვის (x n) არგუმენტების მნიშვნელობებისკენ მიმართული ა, შესაბამის მიმდევრობებს (f(x n)) აქვთ იგივე ზღვარი A.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა ჰაინეს მიხედვით,ან " თანმიმდევრობის ენაზე”.

განმარტება 2. მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→a თუ თვითნებურად, თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვის ε-ს მიცემის შემთხვევაში, შეიძლება ვიპოვოთ δ >0 (დამოკიდებულია ε) ისე, რომ ყველასთვის xრიცხვის ε-მეზობლად წევს ა, ე.ი. ამისთვის xუთანასწორობის დაკმაყოფილება
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა კოშის მიხედვით,ან „ენაში ε - δ"

1 და 2 განმარტებები ექვივალენტურია. თუ ფუნქცია f(x) როგორც x → a აქვს ზღვარიტოლია A-ს, ეს იწერება როგორც

იმ შემთხვევაში, თუ მიმდევრობა (f(x n)) იზრდება (ან მცირდება) განუსაზღვრელი ვადით მიახლოების ნებისმიერი მეთოდისთვის xთქვენს ლიმიტამდე ა, მაშინ ვიტყვით, რომ f(x) ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი,და დაწერე როგორც:

ცვლადს (ანუ თანმიმდევრობას ან ფუნქციას), რომლის ზღვარი არის ნული, ეწოდება უსასრულოდ პატარა.

ცვლადი, რომლის ზღვარი უდრის უსასრულობას, ეწოდება უსასრულოდ დიდი.

პრაქტიკაში ლიმიტის მოსაძებნად გამოიყენეთ შემდეგი თეორემები.

თეორემა 1 . თუ ყველა ზღვარი არსებობს

(6.4)

(6.5)

(6.6)

კომენტარი. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ ფორმის გამონათქვამები განუსაზღვრელია, მაგალითად, ორი უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი სიდიდის თანაფარდობა და ამ სახის ლიმიტის პოვნას ეწოდება "გაურკვევლობის გამჟღავნება".

თეორემა 2.

იმათ. შესაძლებელია მუდმივ მაჩვენებელზე ხარისხის ფუძის ზღვარზე გადასვლა, კერძოდ,

თეორემა 3.

(6.11)

სადაც ე» 2.7 არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი. ფორმულებს (6.10) და (6.11) უწოდებენ პირველ საყურადღებო ზღვარს და მეორე საყურადღებო ზღვარს.

ფორმულის (6.11) შედეგები ასევე გამოიყენება პრაქტიკაში:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

კერძოდ ლიმიტი

თუ x → a და ამავე დროს x > a, მაშინ ჩაწერეთ x →a + 0. თუ, კერძოდ, a = 0, მაშინ დაწერეთ +0 სიმბოლოს ნაცვლად 0+0. ანალოგიურად, თუ x→a და ამავე დროს x და დასახელებულია შესაბამისად. მარჯვენა ზღვარიდა მარცხენა ლიმიტი ფუნქციები f(x) წერტილში ა. f(x) ფუნქციის ლიმიტი რომ არსებობდეს x→ a, აუცილებელია და საკმარისია . ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი წერტილში x 0 თუ ლიმიტი

(6.15)

პირობა (6.15) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ანუ ლიმიტზე გადასვლა ფუნქციის ნიშნით შესაძლებელია, თუ იგი მოცემულ წერტილში უწყვეტია.

თუ თანასწორობა (6.15) ირღვევა, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ ზე x = xo ფუნქცია f(x) Მას აქვს უფსკრული.განვიხილოთ ფუნქცია y = 1/x. ამ ფუნქციის დომენი არის ნაკრები რ, გარდა x = 0. წერტილი x = 0 არის D(f) სიმრავლის ზღვრული წერტილი, ვინაიდან მის რომელიმე უბანში, ე.ი. ნებისმიერი ღია ინტერვალი, რომელიც შეიცავს 0 წერტილს, შეიცავს წერტილებს D(f)-დან, მაგრამ ის თავად არ მიეკუთვნება ამ სიმრავლეს. მნიშვნელობა f(x o)= f(0) არ არის განსაზღვრული, ამიტომ ფუნქციას აქვს უწყვეტობა x o = 0 წერტილში.

ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი მარჯვნივ ერთ წერტილში x o თუ ლიმიტი

და უწყვეტი მარცხნივ ერთ წერტილში x o თუ ლიმიტი

ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში x oუდრის მის უწყვეტობას ამ წერტილში, როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ.

იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში x oმაგალითად, მარჯვნივ, აუცილებელია, ჯერ ერთი, რომ იყოს სასრული ზღვარი და მეორეც, ეს ზღვარი ტოლი იყოს f(x o). ამიტომ, თუ ამ ორი პირობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ფუნქციას ექნება ხარვეზი.

1. თუ ლიმიტი არსებობს და არ უდრის f(x o), მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია f(x) წერტილში xo აქვს პირველი სახის შესვენება,ან ხტომა.

2. თუ ლიმიტი არის +∞ ან -∞ ან არ არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ in წერტილი x o ფუნქციას აქვს შესვენება მეორე სახის.

მაგალითად, ფუნქციას y = ctg x როგორც x → +0 აქვს +∞ ტოლი ლიმიტი, რაც ნიშნავს, რომ x=0 წერტილში მას აქვს მეორე სახის წყვეტა. ფუნქცია y = E(x) (მთლიანი ნაწილი x) მთელი რიცხვის აბსცისის მქონე წერტილებში აქვს პირველი სახის წყვეტები, ანუ ნახტომები.

ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალის ყველა წერტილში, ეწოდება უწყვეტი in . უწყვეტი ფუნქცია წარმოდგენილია მყარი მრუდით.

ბევრი პრობლემა, რომელიც დაკავშირებულია გარკვეული რაოდენობის უწყვეტ ზრდასთან, იწვევს მეორე საყურადღებო ზღვარს. ასეთი ამოცანები, მაგალითად, მოიცავს: შენატანის ზრდა ნაერთის კანონის მიხედვით, ქვეყნის მოსახლეობის ზრდა, რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა, ბაქტერიების გამრავლება და ა.შ.

განიხილეთ Ya. I. Perelman-ის მაგალითი, რომელიც იძლევა რიცხვის ინტერპრეტაციას ერთული პროცენტის პრობლემაში. ნომერი ეარის ლიმიტი . შემნახველ ბანკებში საპროცენტო ფული ყოველწლიურად ემატება ძირითად კაპიტალს. თუ კავშირი უფრო ხშირად კეთდება, მაშინ კაპიტალი უფრო სწრაფად იზრდება, რადგან ინტერესის ფორმირებაში დიდი თანხაა ჩართული. ავიღოთ წმინდა თეორიული, უაღრესად გამარტივებული მაგალითი. ბანკმა დადოს 100 დენ. ერთეულები წელიწადში 100%-ით. თუ პროცენტიანი ფული ძირითად კაპიტალს მხოლოდ ერთი წლის შემდეგ დაემატება, მაშინ ამ დროისთვის 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 200 დენად. ახლა ვნახოთ 100 დენში რა გადაიქცევა. ერთეულები, თუ საპროცენტო თანხა ემატება ძირითად კაპიტალს ყოველ ექვს თვეში ერთხელ. ნახევარი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გაიზრდება 100 × 1,5 = 150-ით, ხოლო კიდევ ექვს თვეში - 150 × 1,5 = 225-ით (ფულის ერთეული). თუ შეერთება ხდება ყოველ 1/3 წელიწადში, მაშინ ერთი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (დენ. ერთეული). ჩვენ გავზრდით საპროცენტო თანხის დამატების ვადებს 0.1 წელზე, 0.01 წელს, 0.001 წელს და ა.შ. მერე 100 დენიდან. ერთეულები ერთი წლის შემდეგ:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (დენ. ერთეული),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (დენ. ერთეული),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (დენ. ერთეული).

გაერთიანების პროცენტის შეუზღუდავი შემცირებით, დაგროვილი კაპიტალი განუსაზღვრელი ვადით არ იზრდება, მაგრამ უახლოვდება გარკვეულ ზღვარს, რომელიც უდრის დაახლოებით 271-ს. წლიური 100%-ზე განთავსებული კაპიტალი არ შეიძლება გაიზარდოს 2,71-ჯერ მეტი, თუნდაც დარიცხული პროცენტი იყოს. კაპიტალს ყოველ წამს ემატება ლიმიტის გამო

მაგალითი 3.1. რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის გამოყენებით დაამტკიცეთ, რომ x n =(n-1)/n მიმდევრობას აქვს 1-ის ტოლი ზღვარი.

გადაწყვეტილება.უნდა დავამტკიცოთ, რომ რაც არ უნდა ავიღოთ ε > 0, მისთვის არის ნატურალური რიცხვი N, ისეთი, რომ ყველა n > N-ისთვის უტოლობა |x n -1|< ε

აიღეთ ნებისმიერი ε > 0. ვინაიდან x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, მაშინ N-ის საპოვნელად საკმარისია 1/n უტოლობის ამოხსნა.<ε. Отсюда n>1/ε და, შესაბამისად, N შეიძლება მივიღოთ, როგორც 1/ε N = E(1/ε) მთლიანი ნაწილი. ჩვენ ამით დავამტკიცეთ, რომ ლიმიტი.

მაგალითი 3.2.იპოვეთ საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი .

გადაწყვეტილება. გამოიყენეთ ზღვრული ჯამის თეორემა და იპოვეთ თითოეული წევრის ზღვარი. როგორც n → ∞, თითოეული წევრის მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია უსასრულობისკენ და ჩვენ არ შეგვიძლია პირდაპირ გამოვიყენოთ კოეფიციენტის ზღვრული თეორემა. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით x n, პირველი წევრის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა n 2და მეორე ნ. შემდეგ, კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემისა და ჯამის ლიმიტის თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ:

მაგალითი 3.3. . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ხარისხის ლიმიტის თეორემა: ხარისხის ზღვარი უდრის ფუძის ლიმიტის ხარისხს.

მაგალითი 3.4. Პოვნა ( ).

გადაწყვეტილება. შეუძლებელია სხვაობის ზღვრული თეორემის გამოყენება, რადგან გვაქვს ∞-∞ ფორმის განუსაზღვრელობა. მოდით გადავცვალოთ ზოგადი ტერმინის ფორმულა:

მაგალითი 3.5. მოცემულია ფუნქცია f(x)=2 1/x. დაამტკიცეთ, რომ ზღვარი არ არსებობს.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ ფუნქციის ლიმიტის 1 განმარტებას მიმდევრობით. აიღეთ თანმიმდევრობა ( x n ) 0-მდე, ე.ი. ვაჩვენოთ, რომ მნიშვნელობა f(x n)= განსხვავებულად იქცევა სხვადასხვა მიმდევრობისთვის. მოდით x n = 1/n. ცხადია, მაშინ ზღვარი ავირჩიოთ ახლა როგორც x nმიმდევრობა საერთო ტერმინით x n = -1/n, ასევე ნულისკენ მიდრეკილი. ამიტომ, შეზღუდვა არ არსებობს.

მაგალითი 3.6. დაამტკიცეთ, რომ ზღვარი არ არსებობს.

გადაწყვეტილება.მოდით x 1 , x 2 ,..., x n ,... იყოს მიმდევრობა რომლისთვისაც
. როგორ იქცევა მიმდევრობა (f(x n)) = (sin x n ) სხვადასხვა x n-სთვის → ∞

თუ x n \u003d p n, მაშინ sin x n \u003d sin (p n) = 0 ყველასთვის ნდა ლიმიტი თუ
xn=2 p n+ p /2, შემდეგ sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 ყველასთვის ნდა აქედან გამომდინარე ლიმიტი. ამრიგად, არ არსებობს.

მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელიც აშენებს სამყაროს. მეცნიერიც და უბრალო ადამიანიც - ამის გარეშე არავის შეუძლია. ჯერ მცირეწლოვან ბავშვებს ასწავლიან დათვლას, შემდეგ შეკრებას, გამოკლებას, გამრავლებას და გაყოფას, საშუალო სკოლაში ასოების აღნიშვნები თამაშში შედის, ხოლო უფროსში მათ აღარ შეუძლიათ უარი თქვან.

მაგრამ დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ იმაზე, თუ რას ეფუძნება ყველა ცნობილი მათემატიკა. რიცხვთა საზოგადოების შესახებ, რომელსაც ეწოდება "მიმდევრობის საზღვრები".

რა არის თანმიმდევრობა და სად არის მათი ზღვარი?

სიტყვა „მიმდევრობის“ მნიშვნელობის ინტერპრეტაცია რთული არ არის. ეს არის ნივთების ისეთი კონსტრუქცია, სადაც ვიღაც ან რაღაც მდებარეობს გარკვეული თანმიმდევრობით ან რიგში. მაგალითად, ზოოპარკში ბილეთების რიგი არის თანმიმდევრობა. და შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი! თუ, მაგალითად, უყურებთ მაღაზიის რიგს, ეს არის ერთი თანმიმდევრობა. და თუ ერთი ადამიანი მოულოდნელად ტოვებს ამ რიგს, მაშინ ეს სხვა რიგია, სხვა რიგი.

სიტყვა „ლიმიტი“ ასევე მარტივად არის განმარტებული - ეს არის რაღაცის დასასრული. თუმცა, მათემატიკაში, მიმდევრობის საზღვრები არის ის მნიშვნელობები რიცხვითი წრფეზე, რომლისკენაც მიისწრაფვის რიცხვების თანმიმდევრობა. რატომ იბრძვის და არ მთავრდება? ეს მარტივია, რიცხვთა წრფეს დასასრული არ აქვს და მიმდევრობების უმეტესობას, სხივების მსგავსად, მხოლოდ დასაწყისი აქვს და ასე გამოიყურება:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

აქედან გამომდინარე, მიმდევრობის განმარტება ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციაა. უფრო მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის გარკვეული ნაკრების წევრების სერია.

როგორ იქმნება რიცხვითი თანმიმდევრობა?

რიცხვების მიმდევრობის უმარტივესი მაგალითი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს: 1, 2, 3, 4, …n…

უმეტეს შემთხვევაში, პრაქტიკული მიზნებისთვის, მიმდევრობები აგებულია რიცხვებიდან და სერიის ყოველ მომდევნო წევრს, X-ით აღვნიშნოთ, თავისი სახელი აქვს. Მაგალითად:

x 1 - რიგის პირველი წევრი;

x 2 - რიგითობის მეორე წევრი;

x 3 - მესამე წევრი;

x n არის n-ე წევრი.

პრაქტიკულ მეთოდებში, თანმიმდევრობა მოცემულია ზოგადი ფორმულით, რომელშიც არის გარკვეული ცვლადი. Მაგალითად:

X n \u003d 3n, მაშინ თავად რიცხვების სერია ასე გამოიყურება:

უნდა გვახსოვდეს, რომ მიმდევრობების ზოგად აღნიშვნაში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ლათინური ასო და არა მხოლოდ X. მაგალითად: y, z, k და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესია, როგორც მიმდევრობის ნაწილი

სანამ მიმდევრობების საზღვრებს ვეძებთ, მიზანშეწონილია ჩაუღრმავდეთ ასეთი რიცხვების სერიის კონცეფციას, რომელსაც ყველას შეხვდა, როდესაც ისინი საშუალო კლასში იყვნენ. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე ტერმინებს შორის მუდმივია.

დავალება: ”დავუშვათ 1 \u003d 15 და რიცხვების სერიის პროგრესირების ნაბიჯი d \u003d 4. შექმენით ამ რიგის პირველი 4 წევრი"

ამოხსნა: a 1 = 15 (პირობით) არის პროგრესიის პირველი წევრი (რიცხვების სერია).

და 2 = 15+4=19 არის პროგრესიის მეორე წევრი.

და 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 არის მესამე წევრი.

და 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 არის მეოთხე წევრი.

თუმცა, ამ მეთოდით ძნელია დიდი მნიშვნელობების მიღწევა, მაგალითად, 125-მდე. განსაკუთრებით ასეთი შემთხვევებისთვის, მიღებული იქნა პრაქტიკისთვის მოსახერხებელი ფორმულა: a n \u003d a 1 + d (n-1). ამ შემთხვევაში, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

თანმიმდევრობის ტიპები

თანმიმდევრობების უმეტესობა დაუსრულებელია, ღირს მისი გახსენება მთელი სიცოცხლის განმავლობაში. რიცხვების სერიების ორი საინტერესო ტიპი არსებობს. პირველი მოცემულია ფორმულით a n =(-1) n . მათემატიკოსები ხშირად მიმართავენ ამ ფლეშის თანმიმდევრობას. რატომ? მოდით შევამოწმოთ მისი ნომრები.

1, 1, -1, 1, -1, 1 და ა.შ. ამ მაგალითით ირკვევა, რომ რიცხვები მიმდევრობით ადვილად შეიძლება განმეორდეს.

ფაქტორული თანმიმდევრობა. ადვილი მისახვედრია, რომ ფორმულაში არის ფაქტორიალი, რომელიც განსაზღვრავს თანმიმდევრობას. მაგალითად: და n = (n+1)!

შემდეგ თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება:

და 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

და 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიით მოცემულ მიმდევრობას უსასრულოდ კლებადი ეწოდება, თუ უტოლობა -1 დაფიქსირდა მის ყველა წევრზე.

და 3 \u003d - 1/8 და ა.შ.

არის ერთი და იგივე რიცხვისგან შემდგარი თანმიმდევრობაც კი. ასე რომ, და n \u003d 6 შედგება ექვსის უსასრულო რაოდენობისგან.

მიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა

მიმდევრობის საზღვრები მათემატიკაში დიდი ხანია არსებობს. რა თქმა უნდა, ისინი იმსახურებენ საკუთარ კომპეტენტურ დიზაინს. ასე რომ, დროა ვისწავლოთ მიმდევრობის საზღვრების განსაზღვრა. პირველ რიგში, დეტალურად განიხილეთ წრფივი ფუნქციის ლიმიტი:

1. ყველა ლიმიტი შემოკლებულია, როგორც lim.
2. ლიმიტის ჩანაწერი შედგება აბრევიატურა lim, ზოგიერთი ცვლადი, რომელიც მიდრეკილია გარკვეული რიცხვის, ნულის ან უსასრულობისკენ, ისევე როგორც თავად ფუნქციისგან.

ადვილი გასაგებია, რომ მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრა შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს: ეს არის გარკვეული რიცხვი, რომელსაც უსასრულოდ უახლოვდება მიმდევრობის ყველა წევრი. მარტივი მაგალითი: და x = 4x+1. შემდეგ თავად თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება.

5, 9, 13, 17, 21…x…

ამრიგად, ეს თანმიმდევრობა გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით, რაც ნიშნავს, რომ მისი ზღვარი უდრის უსასრულობას, როგორც x→∞ და ეს უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

თუ ავიღებთ მსგავს მიმდევრობას, მაგრამ x მიდრეკილია 1-ისკენ, მივიღებთ:

და რიცხვების სერია იქნება ასეთი: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 და ა.შ. ყოველ ჯერზე თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ რიცხვი უფრო და უფრო ახლოს ერთთან (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). ამ სერიიდან ჩანს, რომ ფუნქციის ზღვარი არის ხუთი.

ამ ნაწილიდან უნდა გვახსოვდეს რა არის რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, მარტივი ამოცანების გადაჭრის განმარტება და მეთოდი.

ზოგადი აღნიშვნა მიმდევრობის ზღვრისთვის

რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის გაანალიზების შემდეგ, მისი განმარტება და მაგალითები, შეგვიძლია გადავიდეთ უფრო რთულ თემაზე. თანმიმდევრობების აბსოლუტურად ყველა ზღვარი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი ფორმულით, რომელიც ჩვეულებრივ ანალიზდება პირველ სემესტრში.

მაშ, რას ნიშნავს ასოების, მოდულების და უთანასწორობის ნიშნების ეს ნაკრები?

∀ არის უნივერსალური კვანტიფიკატორი, რომელიც ცვლის ფრაზებს "ყველასთვის", "ყველაფრისთვის" და ა.შ.

∃ არის არსებობის კვანტიფიკატორი, ამ შემთხვევაში ეს ნიშნავს, რომ არსებობს გარკვეული მნიშვნელობა N, რომელიც მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.

გრძელი ვერტიკალური ჯოხი N-ის შემდეგ ნიშნავს, რომ მოცემული ნაკრები N არის "ასეთი". პრაქტიკაში შეიძლება ნიშნავდეს „ასეთს“, „ისეთს“ და ა.შ.

მასალის კონსოლიდაციისთვის წაიკითხეთ ფორმულა ხმამაღლა.

ლიმიტის გაურკვევლობა და სიზუსტე

მიმდევრობების ზღვრის პოვნის მეთოდი, რომელიც ზემოთ იყო განხილული, თუმცა მარტივი გამოსაყენებელია, მაგრამ პრაქტიკაში არც ისე რაციონალურია. შეეცადეთ იპოვოთ ლიმიტი ამ ფუნქციისთვის:

თუ ჩავანაცვლებთ სხვადასხვა x მნიშვნელობებს (ყოველ ჯერზე იზრდება: 10, 100, 1000 და ა.შ.), მაშინ მივიღებთ ∞ მრიცხველში, მაგრამ ასევე ∞ მნიშვნელში. გამოდის საკმაოდ უცნაური წილადი:

მაგრამ მართლა ასეა? რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის გამოთვლა ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივი ჩანს. შეიძლებოდა ყველაფერი ისე დაეტოვებინა, როგორც არის, რადგან პასუხი მზადაა და გონივრულ პირობებშიც მიიღეს, მაგრამ არის სხვა გზა კონკრეტულად ასეთი შემთხვევებისთვის.

ჯერ ვიპოვოთ წილადის მრიცხველში უმაღლესი ხარისხი - ეს არის 1, ვინაიდან x შეიძლება წარმოდგენილი იყოს x 1-ად.

ახლა ვიპოვოთ უმაღლესი ხარისხი მნიშვნელში. ასევე 1.

გაყავით მრიცხველიც და მნიშვნელიც ცვლადზე უმაღლესი ხარისხით. ამ შემთხვევაში წილადს ვყოფთ x 1-ზე.

შემდეგი, მოდით ვიპოვოთ რა მნიშვნელობისკენ არის მიდრეკილი ცვლადის შემცველი თითოეული ტერმინი. ამ შემთხვევაში განიხილება წილადები. როგორც x→∞, თითოეული წილადის მნიშვნელობა ნულისკენ მიისწრაფვის. ნაშრომის წერილობით გაკეთებისას ღირს შემდეგი სქოლიოების გაკეთება:

მიიღება შემდეგი გამოხატულება:

რა თქმა უნდა, x-ის შემცველი წილადები არ გახდნენ ნულები! მაგრამ მათი ღირებულება იმდენად მცირეა, რომ სავსებით დასაშვებია მისი არ გათვალისწინება გამოთვლებში. ფაქტობრივად, x ამ შემთხვევაში არასოდეს იქნება 0-ის ტოლი, რადგან არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

რა არის სამეზობლო?

დავუშვათ, რომ პროფესორს აქვს რთული თანმიმდევრობა, რომელიც, ცხადია, არანაკლებ რთული ფორმულით არის მოცემული. პროფესორმა იპოვა პასუხი, მაგრამ ჯდება? ყოველივე ამის შემდეგ, ყველა ადამიანი უშვებს შეცდომებს.

ოგიუსტ კოშიმ მოიფიქრა შესანიშნავი გზა მიმდევრობის საზღვრების დასამტკიცებლად. მის მეთოდს სამეზობლო ოპერაცია ეწოდა.

დავუშვათ, რომ არის რაღაც a წერტილი, მისი მეზობლობა ორივე მიმართულებით რეალურ ხაზზე უდრის ε („ეპსილონი“). ვინაიდან ბოლო ცვლადი არის მანძილი, მისი მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითია.

ახლა დავაყენოთ გარკვეული თანმიმდევრობა x n და დავუშვათ, რომ მიმდევრობის მეათე წევრი (x 10) შედის a-ს სამეზობლოში. როგორ დავწეროთ ეს ფაქტი მათემატიკური ენაზე?

დავუშვათ, x 10 არის a წერტილის მარჯვნივ, შემდეგ მანძილი x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

ახლა დროა პრაქტიკაში ავხსნათ ზემოთ ნახსენები ფორმულა. სამართლიანია, რომ რომელიმე რიცხვს a ვუწოდოთ მიმდევრობის ბოლო წერტილი, თუ უტოლობა ε>0 მოქმედებს მის რომელიმე ზღვარზე და მთელ მეზობელს აქვს თავისი ბუნებრივი რიცხვი N, ისეთი, რომ მიმდევრობის ყველა წევრი უფრო მაღალი რიცხვებით იქნება. მიმდევრობის შიგნით |x n - a|< ε.

ასეთი ცოდნით ადვილია მიმდევრობის საზღვრების ამოხსნა, მზა პასუხის დამტკიცება ან უარყოფა.

თეორემები

თეორემები მიმდევრობის საზღვრებზე თეორიის მნიშვნელოვანი კომპონენტია, რომლის გარეშე პრაქტიკა შეუძლებელია. არსებობს მხოლოდ ოთხი ძირითადი თეორემა, რომელთა დამახსოვრებაც შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ ამოხსნის ან დამტკიცების პროცესი:

1. მიმდევრობის ზღვრის უნიკალურობა. ნებისმიერ თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ლიმიტი ან საერთოდ არ ჰქონდეს. იგივე მაგალითი რიგით, რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ბოლო.
2. თუ რიცხვთა სერიას აქვს ლიმიტი, მაშინ ამ რიცხვების თანმიმდევრობა შეზღუდულია.
3. მიმდევრობათა ჯამის (განსხვავების, ნამრავლის) ზღვარი მათი ზღვრების ჯამის (განსხვავების, ნამრავლის) ტოლია.
4. ორი მიმდევრობის კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ზღვრების კოეფიციენტის, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელი არ ქრება.

თანმიმდევრობის მტკიცებულება

ზოგჯერ საჭიროა შებრუნებული ამოცანის ამოხსნა, რიცხვითი მიმდევრობის მოცემული ზღვრის დამტკიცება. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

დაამტკიცეთ, რომ ფორმულით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი ნულის ტოლია.

ზემოაღნიშნული წესის მიხედვით, ნებისმიერი მიმდევრობისთვის უტოლდება |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

გამოვხატოთ n „ეპსილონის“ მიხედვით, რათა დავანახოთ გარკვეული რიცხვის არსებობა და დავამტკიცოთ მიმდევრობის ზღვრის არსებობა.

ამ ეტაპზე მნიშვნელოვანია გავიხსენოთ, რომ „ეპსილონი“ და „ენ“ დადებითი რიცხვებია და არ უდრის ნულს. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააგრძელოთ შემდგომი ტრანსფორმაციები საშუალო სკოლაში მიღებული უთანასწორობის შესახებ ცოდნის გამოყენებით.

საიდანაც გამოდის, რომ n > -3 + 1/ε. ვინაიდან უნდა გვახსოვდეს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე, შედეგის დამრგვალება შესაძლებელია კვადრატულ ფრჩხილებში ჩასმით. ამრიგად, დადასტურდა, რომ a = 0 წერტილის „ეპსილონის“ მეზობლობის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, აღმოჩნდა ისეთი მნიშვნელობა, რომ დაკმაყოფილებულია საწყისი უტოლობა. აქედან შეგვიძლია უსაფრთხოდ ვამტკიცებთ, რომ რიცხვი a არის მოცემული მიმდევრობის ზღვარი. ქ.ე.დ.

ასეთი მოსახერხებელი მეთოდით შეგიძლიათ დაამტკიცოთ რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, რაც არ უნდა რთული ჩანდეს ერთი შეხედვით. მთავარია, ამოცანის დანახვაზე პანიკაში არ ჩავარდეთ.

ან იქნებ ის არ არსებობს?

თანმიმდევრობის ლიმიტის არსებობა პრაქტიკაში აუცილებელი არ არის. ადვილია ისეთი რიცხვების სერიის პოვნა, რომელსაც დასასრული ნამდვილად არ აქვს. მაგალითად, იგივე flasher x n = (-1) n . აშკარაა, რომ ციკლურად განმეორებადი მხოლოდ ორი ციფრისგან შემდგარ მიმდევრობას არ შეიძლება ჰქონდეს ლიმიტი.

იგივე ამბავი მეორდება ერთი რიცხვისაგან შემდგარი მიმდევრობით, წილადი, რომელსაც გამოთვლების დროს აქვს რაიმე რიგის გაურკვევლობა (0/0, ∞/∞, ∞/0 და ა.შ.). თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ არასწორი გაანგარიშებაც ხდება. ზოგჯერ საკუთარი გადაწყვეტის ხელახლა შემოწმება დაგეხმარებათ მემკვიდრეობის ლიმიტის პოვნაში.

მონოტონური თანმიმდევრობა

ზემოთ განვიხილეთ მიმდევრობების რამდენიმე მაგალითი, მათი ამოხსნის მეთოდები და ახლა შევეცადოთ ავიღოთ უფრო კონკრეტული შემთხვევა და ვუწოდოთ მას „მონოტონური თანმიმდევრობა“.

განმარტება: სამართლიანია ვუწოდოთ ნებისმიერ მიმდევრობას მონოტონურად მზარდი, თუ ის აკმაყოფილებს მკაცრ უტოლობას x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

ამ ორ პირობასთან ერთად არის მსგავსი არამკაცრი უტოლობაც. შესაბამისად, x n ≤ x n +1 (არაკლებადი თანმიმდევრობა) და x n ≥ x n +1 (არამზარდი თანმიმდევრობა).

მაგრამ ამის გაგება უფრო ადვილია მაგალითებით.

x n \u003d 2 + n ფორმულით მოცემული თანმიმდევრობა ქმნის რიცხვთა შემდეგ სერიას: 4, 5, 6 და ა.შ. ეს არის მონოტონურად მზარდი თანმიმდევრობა.

და თუ ავიღებთ x n \u003d 1 / n, მაშინ მივიღებთ სერიას: 1/3, ¼, 1/5 და ა.შ. ეს არის მონოტონურად კლებადი თანმიმდევრობა.

კონვერგენტული და შემოსაზღვრული მიმდევრობის ლიმიტი

შემოსაზღვრული მიმდევრობა არის მიმდევრობა, რომელსაც აქვს ზღვარი. კონვერგენტული მიმდევრობა არის რიცხვების სერია, რომელსაც აქვს უსასრულოდ მცირე ზღვარი.

ამრიგად, შემოსაზღვრული მიმდევრობის ზღვარი არის ნებისმიერი რეალური ან რთული რიცხვი. გახსოვდეთ, რომ შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი ლიმიტი.

კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვარი არის უსასრულო მცირე რაოდენობა (რეალური ან რთული). თუ დახატავთ თანმიმდევრობის დიაგრამას, მაშინ გარკვეულ მომენტში ის, თითქოსდა, გადაიქცევა, გარკვეულ მნიშვნელობად გადაიქცევა. აქედან მოდის სახელწოდება - კონვერგენტული მიმდევრობა.

მონოტონური მიმდევრობის ლიმიტი

ასეთ თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს ლიმიტი. პირველ რიგში, სასარგებლოა იმის გაგება, თუ როდის არის ეს, აქედან შეგიძლიათ დაიწყოთ ლიმიტის არარსებობის დადასტურებისას.

მონოტონურ მიმდევრობებს შორის განასხვავებენ კონვერგენტსა და დივერგენტს. კონვერგენტული - ეს არის თანმიმდევრობა, რომელიც იქმნება x სიმრავლით და აქვს რეალური ან რთული ზღვარი ამ სიმრავლეში. დივერგენტი - თანმიმდევრობა, რომელსაც არ აქვს ლიმიტი თავის სიმრავლეში (არც რეალური და არც რთული).

უფრო მეტიც, თანმიმდევრობა იყრის თავს, თუ მისი ზედა და ქვედა ზღვრები ერთმანეთს ემთხვევა გეომეტრიულ წარმოდგენაში.

კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვარი ხშირ შემთხვევაში შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ვინაიდან ნებისმიერ უსასრულოდ მცირე მიმდევრობას აქვს ცნობილი ზღვარი (ნული).

რომელი კონვერგენტული მიმდევრობაც არ უნდა აიღოთ, ისინი ყველა შემოსაზღვრულია, მაგრამ ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობისგან შორს იყრის თავს.

ორი კონვერგენტული მიმდევრობის ჯამი, განსხვავება, ნამრავლი ასევე კონვერგენტული მიმდევრობაა. თუმცა, კოეფიციენტიც შეიძლება გადაიზარდოს, თუ ის განსაზღვრულია!

სხვადასხვა მოქმედებები ლიმიტებით

მიმდევრობის ლიმიტები ისეთივე მნიშვნელოვანია (უმეტეს შემთხვევაში), როგორც რიცხვები და რიცხვები: 1, 2, 15, 24, 362 და ა.შ. გამოდის, რომ ზოგიერთი ოპერაციების შესრულება შესაძლებელია ლიმიტებით.

პირველი, ისევე როგორც ციფრები და რიცხვები, ნებისმიერი მიმდევრობის საზღვრები შეიძლება დაემატოს და გამოკლდეს. მიმდევრობათა ზღვრების შესახებ მესამე თეორემის საფუძველზე მართებულია შემდეგი ტოლობა: მიმდევრობათა ჯამის ზღვარი მათი ზღვრების ჯამის ტოლია.

მეორეც, მიმდევრობათა ზღვრების შესახებ მეოთხე თეორემიდან გამომდინარე, ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობა: რიგით n-ე რაოდენობის ნამრავლის ზღვარი ტოლია მათი ზღვრების ნამრავლის. იგივე ეხება გაყოფას: ორი მიმდევრობის კოეფიციენტის ზღვარი უდრის მათი ზღვრების კოეფიციენტს, იმ პირობით, რომ ზღვარი არ იყოს ნულის ტოლი. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ მიმდევრობების ზღვარი ნულის ტოლია, მაშინ გამოვა ნულზე გაყოფა, რაც შეუძლებელია.

თანმიმდევრობის მნიშვნელობის თვისებები

როგორც ჩანს, რიცხვითი თანმიმდევრობის ზღვარი უკვე დეტალურად არის გაანალიზებული, მაგრამ ისეთი ფრაზები, როგორიცაა "უსასრულოდ მცირე" და "უსასრულოდ დიდი" რიცხვები არაერთხელ არის ნახსენები. ცხადია, თუ არის 1/x მიმდევრობა, სადაც x→∞, მაშინ ასეთი წილადი უსასრულოდ მცირეა, ხოლო თუ იგივე მიმდევრობა, მაგრამ ზღვარი ნულისკენ მიისწრაფვის (x→0), მაშინ წილადი ხდება უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა. . და ასეთ ღირებულებებს აქვთ საკუთარი მახასიათებლები. თვითნებური მცირე ან დიდი მნიშვნელობების მქონე თანმიმდევრობის ლიმიტის თვისებები შემდეგია:

1. ნებისმიერი რაოდენობის თვითნებურად მცირე რაოდენობით ჯამი ასევე იქნება მცირე რაოდენობა.
2. ნებისმიერი რაოდენობის დიდი მნიშვნელობების ჯამი იქნება უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა.
3. თვითნებურად მცირე რაოდენობით პროდუქტი უსასრულოდ მცირეა.
4. თვითნებურად დიდი რიცხვების ნამრავლი არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა.
5. თუ თავდაპირველი მიმდევრობა მიდრეკილია უსასრულო რიცხვისკენ, მაშინ მისი ორმხრივი იქნება უსასრულოდ მცირე და მიდრეკილია ნულისკენ.

სინამდვილეში, მიმდევრობის ლიმიტის გამოთვლა არც ისე რთული ამოცანაა, თუ იცით მარტივი ალგორითმი. მაგრამ თანმიმდევრობის საზღვრები არის თემა, რომელიც მოითხოვს მაქსიმალურ ყურადღებას და გამძლეობას. რა თქმა უნდა, საკმარისია უბრალოდ ჩავწვდეთ ასეთი გამონათქვამების ამოხსნის არსს. მცირედან დაწყებული, დროთა განმავლობაში, შეგიძლიათ მიაღწიოთ დიდ სიმაღლეებს.