ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება ეწოდება განტოლება, რომელიც აკავშირებს დამოუკიდებელ ცვლადს, ამ ცვლადის უცნობ ფუნქციას და სხვადასხვა რიგის მის წარმოებულებს (ან დიფერენციალებს).

დიფერენციალური განტოლების რიგი არის მასში შემავალი უმაღლესი წარმოებულის რიგი.

ჩვეულებრივის გარდა, შესწავლილია ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებებიც. ეს არის დამოუკიდებელ ცვლადებთან დაკავშირებული განტოლებები, ამ ცვლადების უცნობი ფუნქცია და მისი ნაწილობრივი წარმოებულები იმავე ცვლადების მიმართ. მაგრამ ჩვენ მხოლოდ განვიხილავთ ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები და ამიტომ მოკლედ გამოვტოვებთ სიტყვას „ჩვეულებრივი“.

დიფერენციალური განტოლებების მაგალითები:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

განტოლება (1) არის მეოთხე რიგის, განტოლება (2) არის მესამე რიგის, განტოლებები (3) და (4) არის მეორე რიგის, განტოლება (5) არის პირველი რიგის.

დიფერენციალური განტოლება ნწესრიგი არ უნდა შეიცავდეს ცალსახად ფუნქციას, მის ყველა წარმოებულს პირველიდან ნრიგითი და დამოუკიდებელი ცვლადი. ის შეიძლება აშკარად არ შეიცავდეს ზოგიერთი ბრძანების წარმოებულებს, ფუნქციას, დამოუკიდებელ ცვლადს.

მაგალითად, განტოლებაში (1) აშკარად არ არის მესამე და მეორე რიგის წარმოებულები, ასევე ფუნქციები; განტოლებაში (2) - მეორე რიგის წარმოებული და ფუნქცია; განტოლებაში (4) - დამოუკიდებელი ცვლადი; განტოლებაში (5) - ფუნქციები. მხოლოდ განტოლება (3) შეიცავს ყველა წარმოებულს, ფუნქციას და დამოუკიდებელ ცვლადს.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნით ნებისმიერ ფუნქციას ეძახიან y = f(x), რომლის ჩანაცვლება განტოლებაში, იქცევა იდენტურობაში.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პროცესს მისი ეწოდება ინტეგრაცია.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოსავალი დიფერენციალური განტოლებისთვის.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ ამ განტოლებას ფორმით. გამოსავალი არის ფუნქციის პოვნა მისი წარმოებულის მიხედვით. ორიგინალური ფუნქცია, როგორც ცნობილია ინტეგრალური გამოთვლებიდან, არის ანტიწარმოებული, ე.ი.

სწორედ ეს არის მოცემული დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა . იცვლება მასში C, ჩვენ მივიღებთ სხვადასხვა გადაწყვეტილებებს. ჩვენ გავარკვიეთ, რომ არსებობს პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა ნრიგი არის მისი ამოხსნა, რომელიც გამოხატულია უცნობი ფუნქციის მიმართ და შეიცავს ნდამოუკიდებელი თვითნებური მუდმივები, ე.ი.

დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი 1-ში ზოგადია.

დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამოხსნა მისი გამოსავალი ეწოდება, რომელშიც სპეციფიკური რიცხვითი მნიშვნელობები მინიჭებულია თვითნებურ მუდმივებზე.

მაგალითი 2იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები და კონკრეტული ამონახსნები .

გადაწყვეტილება. განტოლების ორივე ნაწილს იმდენჯერ ვაერთიანებთ, რომ დიფერენციალური განტოლების რიგი ტოლი იყოს.

,

.

შედეგად მივიღეთ ზოგადი გამოსავალი -

მოცემული მესამე რიგის დიფერენციალური განტოლება.

ახლა მოდით ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი მითითებულ პირობებში. ამისათვის ჩვენ ვცვლით მათ მნიშვნელობებს თვითნებური კოეფიციენტების ნაცვლად და ვიღებთ

.

თუ დიფერენციალური განტოლების გარდა, საწყისი პირობა მოცემულია სახით, მაშინ ასეთ პრობლემას ე.წ. კუშის პრობლემა . მნიშვნელობები და ჩანაცვლებულია განტოლების ზოგად ამოხსნაში და ნაპოვნია თვითნებური მუდმივის მნიშვნელობა Cდა შემდეგ ნაპოვნი მნიშვნელობის განტოლების კონკრეტული ამოხსნა C. ეს არის კოშის პრობლემის გადაწყვეტა.

მაგალითი 3ამოხსენით კოშის ამოცანა დიფერენციალური განტოლებისთვის მაგალითიდან 1 პირობით.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვცვლით ზოგად ხსნარში მნიშვნელობებს საწყისი მდგომარეობიდან წ = 3, x= 1. ვიღებთ

ჩვენ ვწერთ კოშის ამოცანის ამოხსნას პირველი რიგის მოცემული დიფერენციალური განტოლებისთვის:

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა, თუნდაც უმარტივესი, მოითხოვს წარმოებულების ინტეგრირებისა და აღების კარგ უნარებს, მათ შორის რთული ფუნქციების. ეს ჩანს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 4იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები.

გადაწყვეტილება. განტოლება იწერება ისე, რომ ორივე მხარე შეიძლება დაუყოვნებლივ იყოს ინტეგრირებული.

.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის მეთოდს ცვლადის შეცვლით (ჩანაცვლება). მოდით, მაშინ.

მიღებაა საჭირო dxახლა კი - ყურადღება - ამას ვაკეთებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესების მიხედვით, ვინაიდან xდა არის რთული ფუნქცია ("ვაშლი" - კვადრატული ფესვის ამოღება ან, რაც იგივეა - ხარისხზე "ერთი წამის" აწევა და "დაფქული ხორცი" - თავად გამოთქმა ფესვის ქვეშ):

ჩვენ ვპოულობთ ინტეგრალს:

ცვლადზე დაბრუნება x, ვიღებთ:

.

ეს არის პირველი ხარისხის ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტა.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას საჭირო იქნება არა მხოლოდ უმაღლესი მათემატიკის წინა სექციების უნარები, არამედ დაწყებითი, ანუ სასკოლო მათემატიკის უნარები. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ნებისმიერი რიგის დიფერენციალურ განტოლებაში არ შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ცვლადი, ანუ ცვლადი. x. პროპორციების შესახებ ცოდნა, რომელიც არ დავიწყებულია (თუმცა, ვინმეს აქვს მსგავსი) სკოლის სკამიდან, დაგეხმარებათ ამ პრობლემის მოგვარებაში. ეს არის შემდეგი მაგალითი.

გავიხსენოთ პრობლემა, რომელიც შეგვხვდა განსაზღვრული ინტეგრალების პოვნისას:

ან dy = f(x)dx. მისი გამოსავალი:

და ის მცირდება განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოთვლამდე. პრაქტიკაში უფრო რთული ამოცანაა: ფუნქციის პოვნა წთუ ცნობილია, რომ იგი აკმაყოფილებს ფორმის მიმართებას

ეს კავშირი უკავშირდება დამოუკიდებელ ცვლადს x, უცნობი ფუნქცია წდა მისი წარმოებულები შეკვეთამდე ნინკლუზიური, ე.წ .

დიფერენციალური განტოლება მოიცავს ფუნქციას ამა თუ იმ რიგის წარმოებულების (ან დიფერენციალების) ნიშნით. უმაღლესის ბრძანებას ეწოდება რიგი (9.1) .

დიფერენციალური განტოლებები:

- პირველი შეკვეთა

მეორე შეკვეთა,

- მეხუთე შეკვეთა და ა.შ.

ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ დიფერენციალურ განტოლებას, ეწოდება მისი ამონახსნი , ან ინტეგრალური . მისი გადაჭრა ნიშნავს მისი ყველა გადაწყვეტის პოვნას. თუ სასურველი ფუნქციისთვის წმოვახერხეთ ფორმულის მიღება, რომელიც იძლევა ყველა ამონახსანს, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ვიპოვეთ მისი ზოგადი ამონახსნები , ან ზოგადი ინტეგრალი .

საერთო გადაწყვეტილება შეიცავს ნთვითნებური მუდმივები და ჰგავს

თუ მიიღება მიმართება, რომელიც ეხება x, yდა ნთვითნებური მუდმივები, დაუშვებელი ფორმით წ -

მაშინ ასეთ მიმართებას ეწოდება (9.1) განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

კუშის პრობლემა

თითოეულ სპეციფიკურ ამონახსანს, ანუ თითოეულ სპეციფიკურ ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ დიფერენციალურ განტოლებას და არ არის დამოკიდებული თვითნებურ მუდმივებზე, ეწოდება კონკრეტული ამონახსნი. , ან კერძო ინტეგრალი. ზოგადიდან კონკრეტული ამონახსნების (ინტეგრალების) მისაღებად აუცილებელია მუდმივებზე კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობების მიმაგრება.

კონკრეტული ამოხსნის გრაფიკს ინტეგრალური მრუდი ეწოდება. ზოგადი ამოხსნა, რომელიც შეიცავს ყველა კონკრეტულ ამონახსნებს, არის ინტეგრალური მრუდების ოჯახი. პირველი რიგის განტოლებისთვის, ეს ოჯახი დამოკიდებულია ერთ თვითნებურ მუდმივზე; განტოლებისთვის ნრიგით - დან ნთვითნებური მუდმივები.

კოშის პრობლემა არის განტოლების კონკრეტული ამოხსნის პოვნა ნშეკვეთა, დამაკმაყოფილებელი ნსაწყისი პირობები:

რომლებიც განსაზღვრავენ n მუდმივებს с 1 , с 2 ,..., c n.

1 რიგის დიფერენციალური განტოლებები

წარმოებულთან მიმართებაში გადაუჭრელი, პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

ან შედარებით დასაშვებად

მაგალითი 3.46. იპოვნეთ განტოლების ზოგადი ამონახსნი

გადაწყვეტილება.ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი. თუ ჩვენ მივცემთ C სპეციფიკურ ციფრულ მნიშვნელობებს, მაშინ მივიღებთ კონკრეტულ ამონახსნებს, მაგალითად,

მაგალითი 3.47. განვიხილოთ ბანკში დეპონირებული თანხის მზარდი რაოდენობა, რომელიც ექვემდებარება 100 რ რთული პროცენტი წელიწადში. მოდით Yo იყოს ფულის საწყისი თანხა, ხოლო Yx ვადის გასვლის შემდეგ xწლები. როდესაც პროცენტი გამოითვლება წელიწადში ერთხელ, ვიღებთ

სადაც x = 0, 1, 2, 3,.... როდესაც პროცენტი გამოითვლება წელიწადში ორჯერ, მივიღებთ

სადაც x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... პროცენტის გაანგარიშებისას ნწელიწადში ერთხელ და თუ xთანმიმდევრულად იღებს მნიშვნელობებს 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., შემდეგ

აღნიშნეთ 1/n = h, მაშინ წინა ტოლობა ასე გამოიყურება:

შეუზღუდავი გადიდებით ნ(ზე ) ლიმიტში მივდივართ თანხის გაზრდის პროცესამდე უწყვეტი პროცენტის დარიცხვით:

ამრიგად, ჩანს, რომ უწყვეტი ცვლილებით xფულის მასის ცვლილების კანონი გამოიხატება 1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებით. სადაც Y x არის უცნობი ფუნქცია, x- დამოუკიდებელი ცვლადი, რ- მუდმივი. ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას, ამისათვის გადავწერთ შემდეგნაირად:

სადაც , ან , სადაც P ნიშნავს e C.

საწყისი პირობებიდან Y(0) = Yo , ვპოულობთ P: Yo = Pe o , საიდანაც, Yo = P. მაშასადამე, გამოსავალი ასე გამოიყურება:

განვიხილოთ მეორე ეკონომიკური პრობლემა. მაკროეკონომიკური მოდელები ასევე აღწერილია 1-ლი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებებით, რომლებიც აღწერს Y შემოსავლის ან გამომუშავების ცვლილებას დროის ფუნქციად.

მაგალითი 3.48. მოდით, ეროვნული შემოსავალი Y გაიზარდოს მისი ზომის პროპორციულად:

და მოდით, სახელმწიფო ხარჯების დეფიციტი პირდაპირპროპორციულია შემოსავალთან Y პროპორციულობის კოეფიციენტით ქ. ხარჯების დეფიციტი იწვევს ეროვნული ვალის ზრდას D:

საწყისი პირობები Y = Yo და D = Do at t = 0. პირველი განტოლებიდან Y= Yoe kt . Y-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ dD/dt = qYoe kt. ზოგად გამოსავალს აქვს ფორმა
D = (q/ k) Yoe kt +С, სადაც С = const, რომელიც განისაზღვრება საწყისი პირობებიდან. საწყისი პირობების ჩანაცვლებით მივიღებთ Do = (q/k)Yo + C. ასე რომ, საბოლოოდ,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ სახელმწიფო ვალიც იმავე ფარდობითი ტემპით იზრდება კ, რომელიც არის ეროვნული შემოსავალი.

განვიხილოთ უმარტივესი დიფერენციალური განტოლებები ნშეკვეთა, ეს არის ფორმის განტოლებები

მისი ზოგადი ხსნარის მიღება შესაძლებელია გამოყენებით ნინტეგრაციის დრო.

მაგალითი 3.49.განვიხილოთ მაგალითი y """ = cos x.

გადაწყვეტილება.ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ

ზოგად გამოსავალს აქვს ფორმა

წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

ეკონომიკაში მათ დიდი გამოყენება აქვთ, განიხილეთ ასეთი განტოლებების ამოხსნა. თუ (9.1) აქვს ფორმა:

მაშინ მას წრფივი ეწოდება, სადაც po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) მოცემულია ფუნქციები. თუ f(x) = 0, მაშინ (9.2) ეწოდება ერთგვაროვანს, წინააღმდეგ შემთხვევაში მას არაერთგვაროვანს. (9.2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები უდრის მისი რომელიმე კონკრეტული ამონახსნის ჯამს y(x)და მის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა:

თუ კოეფიციენტები p o (x), p 1 (x),..., p n (x) მუდმივებია, მაშინ (9.2)

(9.4) ეწოდება წრფივი დიფერენციალური განტოლება რიგის მუდმივი კოეფიციენტებით ნ .

(9.4)-სთვის მას აქვს ფორმა:

შეგვიძლია განზოგადების დაკარგვის გარეშე დავაყენოთ p o = 1 და ჩავწეროთ (9.5) ფორმაში

ჩვენ ვეძებთ ამონახსანს (9.6) y = e kx სახით, სადაც k არის მუდმივი. Ჩვენ გვაქვს: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. მიღებული გამონათქვამები ჩავანაცვლოთ (9.6), გვექნება:

(9.7) არის ალგებრული განტოლება, მისი უცნობია კ, მას დამახასიათებელი ეწოდება. დამახასიათებელ განტოლებას აქვს ხარისხი ნდა ნფესვები, რომელთა შორის შეიძლება იყოს როგორც მრავალჯერადი, ასევე რთული. მოდით k 1 , k 2 ,..., k n იყოს რეალური და განსხვავებული, მაშინ არის კონკრეტული გადაწყვეტილებები (9.7), ხოლო ზოგადი

განვიხილოთ მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით:

მის დამახასიათებელ განტოლებას აქვს ფორმა

(9.9)

მისი დისკრიმინანტი D = p 2 - 4q, D-ის ნიშნიდან გამომდინარე, შესაძლებელია სამი შემთხვევა.

1. თუ D>0, მაშინ ფესვები k 1 და k 2 (9.9) რეალური და განსხვავებულია, ხოლო ზოგადი ამონახსნის ფორმა აქვს:

გადაწყვეტილება.დამახასიათებელი განტოლება: k 2 + 9 = 0, საიდანაც k = ± 3i, a = 0, b = 3, ზოგადი ამონახსნი არის:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

მეორე რიგის ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებები გამოიყენება ქსელის მსგავსი ეკონომიკური მოდელის შესასწავლად საქონლის მარაგებით, სადაც P ფასის ცვლილების სიჩქარე დამოკიდებულია მარაგის ზომაზე (იხ. პუნქტი 10). თუ მიწოდება და მოთხოვნა ფასის წრფივი ფუნქციებია, ე.ი.

a - არის მუდმივი, რომელიც განსაზღვრავს რეაქციის სიჩქარეს, მაშინ ფასის ცვლილების პროცესი აღწერილია დიფერენციალური განტოლებით:

კონკრეტული გადაწყვეტისთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ მუდმივი

რომელსაც აქვს წონასწორული ფასის მნიშვნელობა. გადახრა აკმაყოფილებს ერთგვაროვან განტოლებას

(9.10)

დამახასიათებელი განტოლება იქნება შემდეგი:

იმ შემთხვევაში, ტერმინი დადებითია. აღნიშნეთ . დამახასიათებელი განტოლების ფესვები k 1,2 = ± i w, ამიტომ ზოგადი ამონახსნები (9.10) აქვს ფორმა:

სადაც C და თვითნებური მუდმივები, ისინი განისაზღვრება საწყისი პირობებიდან. ჩვენ მივიღეთ დროში ფასის ცვლილების კანონი:

შეიყვანეთ თქვენი დიფერენციალური განტოლება, აპოსტროფი """ გამოიყენება წარმოებულის შესაყვანად, დააჭირეთ გაგზავნას და ამოხსნის მისაღებად.

ან უკვე ამოხსნილია წარმოებულთან მიმართებაში, ან მათი ამოხსნა შესაძლებელია წარმოებულთან მიმართებაში .

საერთო გადაწყვეტილება დიფერენციალური განტოლებებიაკრიფეთ ინტერვალზე X, რომელიც მოცემულია, შეიძლება ვიპოვოთ ამ თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრალის აღებით.

მიიღეთ .

თუ გადავხედავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს, ვპოულობთ სასურველ ზოგად ამონახსნებს:

y = F(x) + C,

სადაც F(x)- ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი f(x)შორის X, ა თანარის თვითნებური მუდმივი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ უმეტეს დავალებებში ინტერვალი Xარ მიუთითო. ეს ნიშნავს, რომ გამოსავალი ყველასთვის უნდა მოიძებნოს. x, რისთვისაც და სასურველი ფუნქცია წდა თავდაპირველი განტოლება აზრი აქვს.

თუ საჭიროა დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნის გამოთვლა, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(x0) = y0, შემდეგ ზოგადი ინტეგრალის გამოთვლის შემდეგ y = F(x) + C, ჯერ კიდევ აუცილებელია მუდმივის მნიშვნელობის განსაზღვრა C=C0საწყისი პირობის გამოყენებით. ანუ მუდმივი C=C0განტოლებიდან განისაზღვრება F(x 0) + C = y 0და დიფერენციალური განტოლების სასურველი კონკრეტული ამოხსნა მიიღებს ფორმას:

y = F(x) + C0.

განვიხილოთ მაგალითი:

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები, შეამოწმეთ შედეგის სისწორე. მოდით ვიპოვოთ ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც დააკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას.

გადაწყვეტილება:

მას შემდეგ რაც გავაერთიანეთ მოცემული დიფერენციალური განტოლება, მივიღებთ:

.

ჩვენ ვიღებთ ამ ინტეგრალს ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდით:

რომ., არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

მოდით შევამოწმოთ, რომ დავრწმუნდეთ, რომ შედეგი სწორია. ამისათვის ჩვენ ვცვლით ამონახს, რომელიც აღმოვაჩინეთ მოცემულ განტოლებაში:

.

ანუ ზე თავდაპირველი განტოლება იქცევა იდენტურობაში:

მაშასადამე, დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები სწორად იქნა განსაზღვრული.

ჩვენ მიერ ნაპოვნი გამოსავალი არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები თითოეულისთვის მოქმედებსარგუმენტის მნიშვნელობები x.

რჩება ODE-ს კონკრეტული ამოხსნის გამოთვლა, რომელიც დააკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აუცილებელია მუდმივის მნიშვნელობის გამოთვლა თან, სადაც თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი:

.

.

შემდეგ, ჩანაცვლება C = 2 ODE-ს ზოგად ამონახსნში ვიღებთ დიფერენციალური განტოლების კონკრეტულ ამონახსანს, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას:

.

ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება შეიძლება ამოხსნას წარმოებულთან მიმართებაში განტოლების 2 ნაწილის გაყოფით f(x). ეს ტრანსფორმაცია ექვივალენტური იქნება თუ f(x)არცერთზე არ მიდის ნულზე xდიფერენციალური განტოლების ინტეგრაციის ინტერვალიდან X.

სავარაუდოა სიტუაციები, როდესაც, არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის x ∈ Xფუნქციები f(x)და g(x)ერთდროულად გადახვიდეთ ნულზე. მსგავსი ღირებულებებისთვის xდიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის ნებისმიერი ფუნქცია წ, რაც მათშია განსაზღვრული, რადგან .

თუ არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის x ∈ Xპირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ამ შემთხვევაში ODE-ს არ აქვს გადაწყვეტილებები.

ყველა დანარჩენისთვის xინტერვალიდან Xტრანსფორმირებული განტოლებიდან განისაზღვრება დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახვა.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

მაგალითი 1

მოდით ვიპოვოთ ODE-ს ზოგადი გადაწყვეტა: .

გადაწყვეტილება.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებებიდან ირკვევა, რომ ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია განისაზღვრება არგუმენტის არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, შესაბამისად, გამოხატვის დომენი. ჟურნალი (x+3)არის ინტერვალი x > -3 . აქედან გამომდინარე, მოცემული დიფერენციალური განტოლება აზრი აქვს x > -3 . არგუმენტის ამ მნიშვნელობებით, გამოხატულება x + 3არ ქრება, ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ ODE წარმოებულის მიმართ 2 ნაწილის გაყოფით x + 3.

ვიღებთ .

შემდეგი, ჩვენ ვაერთიანებთ მიღებულ დიფერენციალურ განტოლებას, ამოხსნილი წარმოებულის მიმართ: . ამ ინტეგრალის ასაღებად ვიყენებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდს.

6.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

მათემატიკისა და ფიზიკის, ბიოლოგიისა და მედიცინის სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას, საკმაოდ ხშირად შეუძლებელია ფუნქციური დამოკიდებულების დაუყოვნებლად ჩამოყალიბება ფორმულის სახით, რომელიც აკავშირებს ცვლადებს, რომლებიც აღწერს შესასწავლ პროცესს. ჩვეულებრივ, უნდა გამოვიყენოთ განტოლებები, რომლებიც, გარდა დამოუკიდებელი ცვლადისა და უცნობი ფუნქციისა, შეიცავს მის წარმოებულებსაც.

განმარტება.განტოლება, რომელიც ეხება დამოუკიდებელ ცვლადს, უცნობ ფუნქციას და სხვადასხვა რიგის მის წარმოებულებს, ეწოდება დიფერენციალური.

უცნობი ფუნქცია ჩვეულებრივ აღინიშნება y(x)ან უბრალოდ y,და მისი წარმოებულებია y", y"და ა.შ.

შესაძლებელია სხვა აღნიშვნებიც, მაგალითად: თუ წ= x(t), მაშინ x"(t), x""(t)არის მისი წარმოებულები და ტდამოუკიდებელი ცვლადია.

განმარტება.თუ ფუნქცია დამოკიდებულია ერთ ცვლადზე, მაშინ დიფერენციალურ განტოლებას ჩვეულებრივი ეწოდება. ზოგადი ფორმა ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება:

ან

ფუნქციები ფდა ვშეიძლება არ შეიცავდეს რამდენიმე არგუმენტს, მაგრამ იმისათვის, რომ განტოლებები იყოს დიფერენციალური, აუცილებელია წარმოებულის არსებობა.

განმარტება.დიფერენციალური განტოლების რიგიარის მასში შემავალი უმაღლესი წარმოებულის რიგი.

Მაგალითად, x 2 y"- წ= 0, y" + ცოდვა x= 0 არის პირველი რიგის განტოლებები და y"+ 2 y"+ 5 წ= xარის მეორე რიგის განტოლება.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ინტეგრაციის ოპერაცია, რომელიც დაკავშირებულია თვითნებური მუდმივის გამოჩენასთან. თუ ინტეგრაციის მოქმედება გამოიყენება ნჯერ, მაშინ, ცხადია, გამოსავალი შეიცავს ნთვითნებური მუდმივები.

6.2. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

ზოგადი ფორმა პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებაგანისაზღვრება გამონათქვამით

განტოლება შეიძლება აშკარად არ შეიცავდეს xდა y,მაგრამ აუცილებლად შეიცავს y“.

თუ განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც

მაშინ მივიღებთ პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას ამოხსნილი წარმოებულის მიმართ.

განმარტება.პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების (6.3) (ან (6.4)) ზოგადი ამონახსნები არის ამონახსნების სიმრავლე. , სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის გრაფიკს ეწოდება ინტეგრალური მრუდი.

თვითნებური მუდმივის მიცემა თანგანსხვავებული მნიშვნელობებით, შესაძლებელია კონკრეტული გადაწყვეტილებების მიღება. ზედაპირზე xOyზოგადი ამოხსნა არის ინტეგრალური მრუდების ოჯახი, რომელიც შეესაბამება თითოეულ კონკრეტულ ამონახსნებს.

თუ პუნქტს დაადგენ A(x0, y0),რომლის მეშვეობითაც ინტეგრალური მრუდი უნდა გაიაროს, შემდეგ, როგორც წესი, ფუნქციების სიმრავლიდან შეიძლება გამოვყოთ ერთი - კონკრეტული გამოსავალი.

განმარტება.პირადი გადაწყვეტილებადიფერენციალური განტოლების არის მისი ამონახსნი, რომელიც არ შეიცავს თვითნებურ მუდმივებს.

Თუ არის ზოგადი გამოსავალი, შემდეგ მდგომარეობიდან

შეგიძლიათ იპოვოთ მუდმივი თან.მდგომარეობა ე.წ საწყისი მდგომარეობა.

დიფერენციალური განტოლების (6.3) ან (6.4) კონკრეტული ამოხსნის პოვნის პრობლემა, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას. ზე დაურეკა კოშის პრობლემა.ამ პრობლემას ყოველთვის აქვს გამოსავალი? პასუხი მოცემულია შემდეგ თეორემაში.

კოშის თეორემა(არსებობის თეორემა და ამონახსნის უნიკალურობა). შევიტანოთ დიფერენციალური განტოლება y"= f(x, y)ფუნქცია f(x, y)და ის

ნაწილობრივი წარმოებული განსაზღვრული და ზოგიერთში უწყვეტი

ტერიტორიები D,წერტილის შემცველი მერე რაიონში დარსებობს

განტოლების ერთადერთი გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას ზე

კოშის თეორემა ამბობს, რომ გარკვეულ პირობებში არსებობს უნიკალური ინტეგრალური მრუდი წ= f(x),წერტილის გავლით წერტილები, სადაც თეორემის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული

კატებს ეძახიან განსაკუთრებული.შესვენებები ამ წერტილებში ვ(x, y) ან.

ან რამდენიმე ინტეგრალური მრუდი გადის სინგულურ წერტილში, ან არცერთი.

განმარტება.თუ გამოსავალი (6.3), (6.4) ნაპოვნია ფორმაში ვ(x, y, გ)= 0 დაუშვებელია y-სთან მიმართებაში, მაშინ მას უწოდებენ საერთო ინტეგრალიდიფერენციალური განტოლება.

კოშის თეორემა მხოლოდ იმის გარანტიას იძლევა, რომ გამოსავალი არსებობს. ვინაიდან არ არსებობს ამოხსნის ერთი მეთოდი, ჩვენ განვიხილავთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების მხოლოდ რამდენიმე ტიპს, რომლებიც ინტეგრირებადია კვადრატები.

განმარტება.დიფერენციალური განტოლება ე.წ ინტეგრირებადი კვადრატებში,თუ მისი ამოხსნის ძიება ფუნქციების ინტეგრირებამდე დაიყვანება.

6.2.1. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით

განმარტება.პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება განტოლება განცალკევებული ცვლადები,

განტოლების (6.5) მარჯვენა მხარე არის ორი ფუნქციის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული დამოკიდებულია მხოლოდ ერთ ცვლადზე.

მაგალითად, განტოლება არის განტოლება გამოყოფით

ცვლადების გავლა
და განტოლება

არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით (6.5).

Იმის გათვალისწინებით, რომ , ჩვენ ვწერთ (6.5) როგორც

ამ განტოლებიდან ვიღებთ დიფერენციალურ განტოლებას განცალკევებული ცვლადებით, რომელშიც დიფერენციალი შეიცავს ფუნქციებს, რომლებიც დამოკიდებულია მხოლოდ შესაბამის ცვლადზე:

ტერმინის მიხედვით ინტეგრირება გვაქვს

სადაც C= C 2 - C 1 არის თვითნებური მუდმივი. გამოხატულება (6.6) არის (6.5) განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

განტოლების (6.5) ორივე ნაწილის გაყოფით ჩვენ შეგვიძლია დავკარგოთ ის ამონახსნები, რომელთათვისაც: მართლაც, თუ ზე

მაშინ აშკარად არის (6.5) განტოლების ამონახსნი.

მაგალითი 1იპოვნეთ დამაკმაყოფილებელი განტოლების ამონახსნი

მდგომარეობა: წ= 6 საათზე x= 2 (y(2) = 6).

გადაწყვეტილება.შევცვალოთ ზე"მაშინ . გავამრავლოთ ორივე მხარე

dx,ვინაიდან შემდგომი ინტეგრაციისას გასვლა შეუძლებელია dxმნიშვნელში:

შემდეგ კი ორივე ნაწილის გაყოფა ჩვენ ვიღებთ განტოლებას,

რომელიც შეიძლება იყოს ინტეგრირებული. ჩვენ ვაერთიანებთ:

მაშინ ; გაძლიერება, მივიღებთ y = C. (x + 1) - ob-

გამოსავალი.

საწყის მონაცემებზე დაყრდნობით, ჩვენ განვსაზღვრავთ თვითნებურ მუდმივობას მათი ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით

ბოლოს მივიღებთ წ= 2(x + 1) არის კონკრეტული ამოხსნა. განვიხილოთ განტოლებების ამოხსნის კიდევ რამდენიმე მაგალითი გამყოფი ცვლადებით.

მაგალითი 2იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი

გადაწყვეტილება.Იმის გათვალისწინებით, რომ , ვიღებთ .

განტოლების ორივე მხარის ინტეგრირება გვაქვს

სადაც

მაგალითი 3იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი გადაწყვეტილება.განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ იმ ფაქტორებზე, რომლებიც დამოკიდებულია ცვლადზე, რომელიც არ ემთხვევა ცვლადს დიფერენციალური ნიშნით, ე.ი. და ინტეგრირება. შემდეგ მივიღებთ

და ბოლოს

მაგალითი 4იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი

გადაწყვეტილება.ვიცით რას მივიღებთ. განყოფილება -

lim ცვლადები. მაშინ

ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ

კომენტარი.მაგალითებში 1 და 2, სასურველი ფუნქცია წგამოხატული ექსპლიციტურად (ზოგადი გადაწყვეტა). მე-3 და მე-4 მაგალითებში - იმპლიციტურად (ზოგადი ინტეგრალი). სამომავლოდ გადაწყვეტილების ფორმა არ დაზუსტდება.

მაგალითი 5იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი გადაწყვეტილება.

მაგალითი 6იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი დამაკმაყოფილებელი

მდგომარეობა y(e)= 1.

გადაწყვეტილება.განტოლებას ვწერთ ფორმაში

განტოლების ორივე მხარის გამრავლება dxდა ჩვენ ვიღებთ

განტოლების ორივე მხარის ინტეგრირება (მარჯვენა მხარეს ინტეგრალი აღებულია ნაწილებით), ვიღებთ

მაგრამ პირობით წ= 1 at x= ე. მაშინ

შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები თანზოგად გადაწყვეტაში:

მიღებულ გამონათქვამს ეწოდება დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა.

6.2.2. პირველი რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები

განმარტება.პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება ეწოდება ერთგვაროვანითუ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

წარმოგიდგენთ ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნის ალგორითმს.

1. სამაგიეროდ წშეიტანეთ ახალი ფუნქცია შემდეგ და აქედან გამომდინარე

2. ფუნქციის თვალსაზრისით uგანტოლება (6.7) იღებს ფორმას

ე.ი. ჩანაცვლება ამცირებს ერთგვაროვან განტოლებას განტოლებამდე განცალკევებული ცვლადებით.

3. (6.8) განტოლების ამოხსნით, ჯერ ვპოულობთ u, შემდეგ კი წ= ux.

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა გადაწყვეტილება.განტოლებას ვწერთ ფორმაში

ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
მაშინ

შევცვალოთ

გავამრავლოთ dx-ზე: გაყავით xდა შემდეგ მაშინ

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირება შესაბამისი ცვლადების მიმართ, გვაქვს

ან, ძველ ცვლადებს დავუბრუნდეთ, საბოლოოდ მივიღებთ

მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა გადაწყვეტილება.დაე იყოს მაშინ

გაყავით განტოლების ორივე მხარე x2: გავხსნათ ფრჩხილები და ვაწესრიგოთ ტერმინები:

ძველ ცვლადებზე გადასვლისას მივდივართ საბოლოო შედეგამდე:

მაგალითი 3იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი იმის გათვალისწინებით, რომ

გადაწყვეტილება.სტანდარტული ჩანაცვლების შესრულება ვიღებთ

ან

ან

ასე რომ, კონკრეტულ გადაწყვეტას აქვს ფორმა მაგალითი 4იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი

გადაწყვეტილება.

მაგალითი 5იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი გადაწყვეტილება.

დამოუკიდებელი მუშაობა

იპოვნეთ გამოსავალი დიფერენციალური განტოლებების გამყოფი ცვლადებით (1-9).

იპოვნეთ ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნი (9-18).

6.2.3. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ზოგიერთი გამოყენება

რადიოაქტიური დაშლის პრობლემა

Ra (რადიუმის) დაშლის სიჩქარე დროის თითოეულ მომენტში არის მისი ხელმისაწვდომი მასის პროპორციული. იპოვეთ Ra-ს რადიოაქტიური დაშლის კანონი, თუ ცნობილია, რომ საწყის მომენტში იყო Ra და Ra-ს ნახევარგამოყოფის პერიოდი 1590 წელია.

გადაწყვეტილება.მოდით ამ მომენტში მასა Ra იყოს x= x(t)გ და მაშინ Ra-ს დაშლის მაჩვენებელი არის

დავალების მიხედვით

სადაც კ

ბოლო განტოლებაში ცვლადების გამოყოფა და ინტეგრირება, მივიღებთ

სადაც

დადგენისთვის Cჩვენ ვიყენებთ საწყის მდგომარეობას: .

მაშინ და, შესაბამისად,

პროპორციულობის ფაქტორი კგანისაზღვრება დამატებითი პირობით:

Ჩვენ გვაქვს

აქედან და სასურველი ფორმულა

ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარის პრობლემა

ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარე მათი რაოდენობის პროპორციულია. საწყის მომენტში 100 ბაქტერია იყო. 3 საათში მათი რიცხვი გაორმაგდა. იპოვნეთ ბაქტერიების რაოდენობის დროზე დამოკიდებულება. რამდენჯერ გაიზრდება ბაქტერიების რაოდენობა 9 საათის განმავლობაში?

გადაწყვეტილება.დაე იყოს x- ბაქტერიების რაოდენობა მომენტში ტ.შემდეგ, მდგომარეობის მიხედვით,

სადაც კ- პროპორციულობის კოეფიციენტი.

აქედან ცნობილია იმ პირობით, რომ . ნიშნავს,

დამატებითი მდგომარეობიდან . მაშინ

საჭირო ფუნქცია:

ასე რომ, ზე ტ= 9 x= 800, ანუ 9 საათის განმავლობაში ბაქტერიების რაოდენობა 8-ჯერ გაიზარდა.

ფერმენტის რაოდენობის გაზრდის ამოცანა

ლუდის საფუარის კულტურაში აქტიური ფერმენტის ზრდის ტემპი მისი საწყისი რაოდენობის პროპორციულია. x.ფერმენტის საწყისი რაოდენობა აერთ საათში გაორმაგდა. იპოვნეთ დამოკიდებულება

x(t).

გადაწყვეტილება.პირობით, პროცესის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

აქედან

მაგრამ . ნიშნავს, C= ადა მერე

ასევე ცნობილია, რომ

აქედან გამომდინარე,

6.3. მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები

6.3.1. Ძირითადი ცნებები

განმარტება.მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებაეწოდება დამოუკიდებელი ცვლადის, სასურველი ფუნქციის და მისი პირველი და მეორე წარმოებულების დამაკავშირებელ მიმართებას.

განსაკუთრებულ შემთხვევებში, x შეიძლება არ იყოს განტოლებაში, ზეან y". თუმცა მეორე რიგის განტოლება აუცილებლად უნდა შეიცავდეს y". ზოგად შემთხვევაში, მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება იწერება შემდეგნაირად:

ან, თუ შესაძლებელია, მეორე წარმოებულისთვის დაშვებული ფორმით:

როგორც პირველი რიგის განტოლების შემთხვევაში, მეორე რიგის განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ზოგადი და კონკრეტული ამონახსნი. ზოგადი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

პირადი გადაწყვეტის პოვნა

საწყის პირობებში - მოცემული

ნომერი) ეძახიან კოშის პრობლემა.გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ საჭიროა ინტეგრალური მრუდის პოვნა ზე= y(x),მოცემულ წერტილში გავლისას და ამ წერტილში ტანგენტის მქონე, რაც დაახლოებით

ჩანგლები დადებითი ღერძის მიმართულებით ოქსიმოცემული კუთხე. ე. (ნახ. 6.1). კოშის პრობლემას აქვს უნიკალური ამოხსნა, თუ განტოლების მარჯვენა მხარეა (6.10), არაპრე-

არის უწყვეტი და აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მიმართ შენ, შენ"საწყისი წერტილის რომელიღაც უბანში

მუდმივი საპოვნელად შედის კონკრეტულ გადაწყვეტაში, აუცილებელია სისტემის დაშვება

ბრინჯი. 6.1.ინტეგრალური მრუდი