სწორი რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი

მათემატიკაში გამოცდისთვის მომზადებისას მოსწავლეებმა უნდა მოახდინოს ცოდნის სისტემატიზაცია ალგებრასა და გეომეტრიაში. მსურს გავაერთიანოთ ყველა ცნობილი ინფორმაცია, მაგალითად, როგორ გამოვთვალოთ პირამიდის ფართობი. უფრო მეტიც, დაწყებული ძირიდან და გვერდითი სახეებიდან მთელ ზედაპირზე. თუ სიტუაცია ნათელია გვერდითი სახეებით, რადგან ისინი სამკუთხედებია, მაშინ ბაზა ყოველთვის განსხვავებულია.

რა უნდა გავაკეთოთ პირამიდის ფუძის ფართობის პოვნისას?

ეს შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი ფიგურა: თვითნებური სამკუთხედიდან n-გონამდე. და ეს ბაზა, გარდა კუთხეების რაოდენობის სხვაობისა, შეიძლება იყოს ჩვეულებრივი ფიგურა ან არასწორი. სკოლის მოსწავლეებისთვის საინტერესო USE ამოცანებში არის მხოლოდ დავალებები, სადაც მოცემულია სწორი ფიგურები. ამიტომ, ჩვენ მხოლოდ მათზე ვისაუბრებთ.

მართკუთხა სამკუთხედი

ანუ ტოლგვერდა. ერთი, რომელშიც ყველა მხარე თანაბარია და აღინიშნება ასო "ა". ამ შემთხვევაში, პირამიდის ფუძის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

S = (a 2 * √3) / 4.

მოედანი

მისი ფართობის გამოთვლის ფორმულა ყველაზე მარტივია, აქ "a" ისევ არის მხარე:

თვითნებური რეგულარული n-gon

მრავალკუთხედის გვერდს იგივე აღნიშვნა აქვს. კუთხეების რაოდენობისთვის გამოიყენება ლათინური ასო n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

როგორ მოვიქცეთ გვერდითი და მთლიანი ზედაპირის ფართობის გაანგარიშებისას?

ვინაიდან ფუძე არის რეგულარული ფიგურა, პირამიდის ყველა სახე თანაბარია. უფრო მეტიც, თითოეული მათგანი არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რადგან გვერდითი კიდეები თანაბარია. შემდეგ, პირამიდის გვერდითი ფართობის გამოსათვლელად, საჭიროა ფორმულა, რომელიც შედგება იდენტური მონომების ჯამისგან. ტერმინების რაოდენობა განისაზღვრება ფუძის გვერდების რაოდენობით.

ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულით, რომელშიც ფუძის ნამრავლის ნახევარი მრავლდება სიმაღლეზე. პირამიდაში ამ სიმაღლეს აპოთემას უწოდებენ. მისი აღნიშვნაა "A". გვერდითი ზედაპირის ზოგადი ფორმულა არის:

S \u003d ½ P * A, სადაც P არის პირამიდის ფუძის პერიმეტრი.

არის სიტუაციები, როდესაც ფუძის გვერდები უცნობია, მაგრამ მოცემულია გვერდითი კიდეები (c) და ბრტყელი კუთხე მის წვეროზე (α). შემდეგ უნდა გამოვიყენოთ ასეთი ფორმულა პირამიდის გვერდითი ფართობის გამოსათვლელად:

S = n/2 * 2 sin α-ში .

დავალება #1

მდგომარეობა.იპოვეთ პირამიდის მთლიანი ფართობი, თუ მისი ფუძე დგას 4 სმ გვერდით, ხოლო აპოთემას აქვს მნიშვნელობა √3 სმ.

გადაწყვეტილება.თქვენ უნდა დაიწყოთ ბაზის პერიმეტრის გაანგარიშებით. ვინაიდან ეს არის რეგულარული სამკუთხედი, მაშინ P \u003d 3 * 4 \u003d 12 სმ. ვინაიდან აპოთემა ცნობილია, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოთვალოთ მთელი გვერდითი ზედაპირის ფართობი: ½ * 12 * √3 = 6 √3 სმ 2.

ბაზაზე სამკუთხედისთვის მიიღება შემდეგი ფართობის მნიშვნელობა: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 სმ 2.

მთელი ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა დაამატოთ ორი მიღებული მნიშვნელობა: 6√3 + 4√3 = 10√3 სმ 2.

უპასუხე. 10√3 სმ2.

დავალება #2

მდგომარეობა. არის რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა. ძირის გვერდის სიგრძე 7 მმ, გვერდითი კიდე 16 მმ. თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.ვინაიდან პოლიედონი ოთხკუთხა და რეგულარულია, მისი ფუძე არის კვადრატი. ბაზისა და გვერდითი სახეების არეების შესწავლის შემდეგ, შესაძლებელი იქნება პირამიდის ფართობის გამოთვლა. კვადრატის ფორმულა მოცემულია ზემოთ. ხოლო გვერდით გვერდებზე ცნობილია სამკუთხედის ყველა მხარე. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჰერონის ფორმულა მათი ფართობის გამოსათვლელად.

პირველი გამოთვლები მარტივია და მივყავართ ამ რიცხვამდე: 49 მმ 2. მეორე მნიშვნელობისთვის, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ნახევრად პერიმეტრი: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 მმ. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 მმ 2. ასეთი სამკუთხედები მხოლოდ ოთხია, ამიტომ საბოლოო რიცხვის გამოთვლისას დაგჭირდებათ მისი 4-ზე გამრავლება.

გამოდის: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 მმ 2.

უპასუხე. სასურველი მნიშვნელობა არის 267.576 მმ 2.

დავალება #3

მდგომარეობა. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდისთვის, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფართობი. მასში კვადრატის გვერდი 6 სმ, სიმაღლე კი 4 სმ.

გადაწყვეტილება.უმარტივესი გზაა ფორმულის გამოყენება პერიმეტრისა და აპოთემის ნამრავლით. პირველი მნიშვნელობის პოვნა ადვილია. მეორე ცოტა უფრო რთულია.

ჩვენ უნდა გავიხსენოთ პითაგორას თეორემა და განვიხილოთ ის ჩამოყალიბებულია პირამიდის სიმაღლით და აპოთემით, რომელიც არის ჰიპოტენუზა. მეორე ფეხი უდრის კვადრატის ნახევრის გვერდს, რადგან პოლიედრონის სიმაღლე მის შუაში მოდის.

სასურველი აპოთემა (მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა) არის √(3 2 + 4 2) = 5 (სმ).

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (სმ 2).

უპასუხე. 96 სმ2.

დავალება #4

მდგომარეობა.მისი ფუძის სწორი მხარეა 22 მმ, გვერდითი ნეკნები 61 მმ. რა არის ამ პოლიედრონის გვერდითი ზედაპირის ფართობი?

გადაწყვეტილება.მასში მსჯელობა იგივეა, რაც აღწერილია No2 პრობლემაში. მხოლოდ იქ იყო მოცემული პირამიდა კვადრატით ძირში, ახლა კი ის ექვსკუთხედია.

უპირველეს ყოვლისა, ბაზის ფართობი გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 სმ 2.

ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, რომელიც არის გვერდითი სახე. (22 + 61 * 2): 2 = 72 სმ. რჩება გამოთვალოთ თითოეული ასეთი სამკუთხედის ფართობი ჰერონის ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ გავამრავლოთ ის ექვსზე და დავუმატოთ ის, რაც აღმოჩნდა ბაზა.

გამოთვლები ჰერონის ფორმულის გამოყენებით: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 სმ 2. გამოთვლები, რომლებიც მისცემს გვერდითი ზედაპირის ფართობს: 660 * 6 \u003d 3960 სმ 2. რჩება მათი შეკრება მთელი ზედაპირის გასარკვევად: 5217.47≈5217 სმ 2.

უპასუხე.ძირი - 726√3 სმ 2, გვერდითი ზედაპირი - 3960 სმ 2, მთელი ფართობი - 5217 სმ 2.

პირამიდის ზედაპირის ფართობი. ამ სტატიაში განვიხილავთ თქვენთან პრობლემებს ჩვეულებრივ პირამიდებთან. შეგახსენებთ, რომ რეგულარული პირამიდა არის პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ამ მრავალკუთხედის ცენტრში.

ასეთი პირამიდის გვერდითი სახე არის ტოლფერდა სამკუთხედი.ამ სამკუთხედის სიმაღლეს, რომელიც გამოყვანილია რეგულარული პირამიდის ზემოდან, ეწოდება აპოთემა, SF არის აპოთემა:

ქვემოთ მოყვანილი პრობლემების ტიპში, საჭიროა იპოვოთ მთელი პირამიდის ზედაპირის ფართობი ან მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ბლოგმა უკვე განიხილა რამდენიმე პრობლემა რეგულარული პირამიდებთან დაკავშირებით, სადაც დაისვა საკითხი ელემენტების (სიმაღლე, ფუძის კიდე, გვერდითი კიდე) პოვნის შესახებ.

საგამოცდო ამოცანებში, როგორც წესი, განიხილება რეგულარული სამკუთხა, ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდები. მე არ მინახავს პრობლემები რეგულარული ხუთკუთხა და შვიდკუთხა პირამიდებთან.

მთელი ზედაპირის ფართობის ფორმულა მარტივია - თქვენ უნდა იპოვოთ პირამიდის ფუძის ფართობისა და მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი:

განიხილეთ დავალებები:

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები არის 72, გვერდითი კიდეები 164. იპოვეთ ამ პირამიდის ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის ზედაპირის ფართობი ტოლია გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობების ჯამს:

*გვერდითი ზედაპირი შედგება თანაბარი ფართობის ოთხი სამკუთხედისგან. პირამიდის საფუძველი არის კვადრატი.

პირამიდის მხარის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

ამრიგად, პირამიდის ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 28224

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები არის 22, გვერდითი კიდეები 61. იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის საფუძველი არის რეგულარული ექვსკუთხედი.

ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი შედგება 61.61 და 22 გვერდით თანაბარი სამკუთხედის ექვსი უბნისგან:

იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ჰერონის ფორმულის გამოყენებით:

ასე რომ, გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის:

პასუხი: 3240

*ზემოთ წარმოდგენილ ამოცანებში, გვერდითი სახის ფართობის პოვნა შესაძლებელია სხვადასხვა სამკუთხედის ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ამისათვის საჭიროა აპოთემის გამოთვლა.

27155. იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 6 და სიმაღლე 4.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ პირამიდის ზედაპირის ფართობი, უნდა ვიცოდეთ ფუძის ფართობი და გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

ფუძის ფართობია 36, რადგან ის არის კვადრატი 6-იანი გვერდით.

გვერდითი ზედაპირი შედგება ოთხი სახისგან, რომლებიც ტოლი სამკუთხედებია. იმისათვის, რომ იპოვოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი საფუძველი და სიმაღლე (აპოთემა):

* სამკუთხედის ფართობი უდრის ფუძის ნამრავლის ნახევარს და ამ ფუძისკენ მიზიდულ სიმაღლეს.

ფუძე ცნობილია, უდრის ექვსს. მოდი ვიპოვოთ სიმაღლე. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი (მონიშნული ყვითლად):

ერთი ფეხი უდრის 4-ს, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე, მეორე უდრის 3-ს, რადგან ის უდრის ფუძის კიდის ნახევარს. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ჰიპოტენუზა პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

ასე რომ, პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

ამრიგად, მთელი პირამიდის ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 96

27069. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები არის 10, გვერდითი კიდეები 13. იპოვეთ ამ პირამიდის ზედაპირის ფართობი.

27070. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები არის 10, გვერდითი კიდეები 13. იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ასევე არსებობს ფორმულები ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის. ჩვეულებრივ პირამიდაში, ფუძე არის გვერდითი ზედაპირის ორთოგონალური პროექცია, ამიტომ:

პ- ბაზის პერიმეტრი, ლ- პირამიდის აპოთემა

*ეს ფორმულა ეფუძნება სამკუთხედის ფართობის ფორმულას.

თუ გსურთ გაიგოთ მეტი, თუ როგორ წარმოიქმნება ეს ფორმულები, არ გამოტოვოთ, მიჰყევით სტატიების გამოქვეყნებას.Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

თვითნებური პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი გვერდითი სახეების ფართობების ჯამს. აზრი აქვს ამ არეალის გამოხატვის სპეციალური ფორმულის მიცემას რეგულარული პირამიდის შემთხვევაში. მაშ ასე, მივცეთ რეგულარული პირამიდა, რომლის ძირში დევს რეგულარული n-გონი, რომლის გვერდი ტოლია a. მოდით h იყოს გვერდითი სახის სიმაღლე, ასევე ე.წ აპოთემაპირამიდები. ერთი გვერდითი სახის ფართობია 1/2 აჰ, ხოლო პირამიდის მთელ გვერდით ზედაპირს აქვს n/2 ჰა ფართობი. ვინაიდან na არის პირამიდის ფუძის პერიმეტრი, შეგვიძლია ნაპოვნი ფორმულა დავწეროთ შემდეგნაირად. :

გვერდითი ზედაპირის ფართობირეგულარული პირამიდის ტოლია მისი აპოთემის ნამრავლის ფუძის პერიმეტრის ნახევარი.

რაც შეეხება მთლიანი ზედაპირის ფართობი, შემდეგ უბრალოდ დაამატეთ ბაზის ფართობი გვერდზე.

ჩაწერილი და შემოხაზული სფერო და ბურთი. უნდა აღინიშნოს, რომ პირამიდაში ჩაწერილი სფეროს ცენტრი მდგომარეობს პირამიდის შიდა დიედრული კუთხეების ბისექტრული სიბრტყეების გადაკვეთაზე. პირამიდის მახლობლად აღწერილი სფეროს ცენტრი მდგომარეობს სიბრტყეების გადაკვეთაზე, რომლებიც გადიან პირამიდის კიდეების შუა წერტილებში და მათზე პერპენდიკულარულია.

შეკვეცილი პირამიდა.თუ პირამიდა იჭრება მისი ფუძის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ საჭრელ სიბრტყესა და ფუძეს შორის ჩასმული ნაწილი ე.წ. შეკვეცილი პირამიდა.ნახატზე ნაჩვენებია პირამიდა, უგულებელყოფს მის ნაწილს, რომელიც დევს საჭრელი სიბრტყის ზემოთ, ვიღებთ ჩამოჭრილ პირამიდას. ცხადია, რომ გადაგდებული პატარა პირამიდა ჰომოთეტურია დიდი პირამიდის მიმართ, რომლის ცენტრიც ჰომოთეტურობაზეა მწვერვალზე. მსგავსების კოეფიციენტი უდრის სიმაღლეების თანაფარდობას: k=h 2 /h 1, ან გვერდითი ნეკნები, ან ორივე პირამიდის სხვა შესაბამისი წრფივი ზომები. ჩვენ ვიცით, რომ მსგავსი ფიგურების ფართობები დაკავშირებულია როგორც წრფივი განზომილებების კვადრატები; ასე რომ, ორივე პირამიდის ფუძის ფართობები (ე.

აქ S 1 არის ქვედა ბაზის ფართობი, ხოლო S 2 არის შეკვეცილი პირამიდის ზედა ფუძის ფართობი. პირამიდების გვერდითი ზედაპირები ერთნაირი თანაფარდობითაა. მსგავსი წესია მოცულობებისთვის.

მსგავსი ორგანოების მოცულობებიდაკავშირებულია მათი წრფივი ზომების კუბებად; მაგალითად, პირამიდების მოცულობები დაკავშირებულია მათი სიმაღლის პროდუქტებად ფუძის ფართობზე, საიდანაც ჩვენი წესი დაუყოვნებლივ მოჰყვება. მას აქვს სრულიად ზოგადი ხასიათი და პირდაპირ გამომდინარეობს იქიდან, რომ მოცულობას ყოველთვის აქვს სიგრძის მესამე სიმძლავრის განზომილება. ამ წესის გამოყენებით, ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას, რომელიც გამოხატავს შეკვეცილი პირამიდის მოცულობას ფუძეების სიმაღლისა და ფართობების მიხედვით.

მიეცით ჩამოჭრილი პირამიდა h სიმაღლით და ფუძის ფართობებით S 1 და S 2. თუ წარმოვიდგენთ, რომ ის სრულ პირამიდამდეა გაშლილი, მაშინ სრული პირამიდისა და პატარა პირამიდის მსგავსების კოეფიციენტი ადვილად შეიძლება მოიძებნოს S 2 /S 1 თანაფარდობის ფესვად. დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე გამოიხატება როგორც h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). ახლა ჩვენ გვაქვს შეკვეცილი პირამიდის მოცულობა (V 1 და V 2 აღნიშნავს სრული და პატარა პირამიდების მოცულობას)

შეკვეცილი პირამიდის მოცულობის ფორმულა

ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის S ფართობის საფუძვლების P 1 და P 2 პერიმეტრების და აპოთემ a სიგრძის გავლით. ჩვენ ვკამათობთ ზუსტად ისევე, როგორც მოცულობის ფორმულის გამოყვანისას. ჩვენ ვავსებთ პირამიდას ზედა ნაწილით, გვაქვს P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, სადაც k არის მსგავსების კოეფიციენტი, P 1 და P 2 არის ფუძის პერიმეტრი, ხოლო S 1 და. S 2 არის მთელი მიღებული პირამიდის და მისი ზედა ზედაპირის ცხენები, შესაბამისად. გვერდითი ზედაპირისთვის ჩვენ ვპოულობთ (1 და 2 - პირამიდების აპოთემები, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფორმულა

ტიპიური გეომეტრიული ამოცანები სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში არის სხვადასხვა ფიგურების ზედაპირის ფართობის განსაზღვრის პრობლემები. ამ სტატიაში წარმოგიდგენთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულას.

რა არის პირამიდა?

მოდით მივცეთ პირამიდის მკაცრი გეომეტრიული განმარტება. დავუშვათ, არის რამდენიმე მრავალკუთხედი n გვერდით და n კუთხით. ვირჩევთ სივრცეში თვითნებურ წერტილს, რომელიც არ იქნება მითითებული n-კუთხედის სიბრტყეში და ვუკავშირდებით მას მრავალკუთხედის თითოეულ წვეროსთან. ჩვენ მივიღებთ ფიგურას, რომელსაც აქვს გარკვეული მოცულობა, რომელსაც n-გონალური პირამიდა ეწოდება. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ვაჩვენოთ, როგორ გამოიყურება ხუთკუთხა პირამიდა.

ნებისმიერი პირამიდის ორი მნიშვნელოვანი ელემენტია მისი ფუძე (n-gon) და ზედა. ეს ელემენტები ერთმანეთთან დაკავშირებულია n სამკუთხედით, რომლებიც ზოგადად არ არის ერთმანეთის ტოლი. ზემოდან ძირამდე ჩამოშვებულ პერპენდიკულარს ფიგურის სიმაღლე ეწოდება. თუ იგი კვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში (ემთხვევა მრავალკუთხედის მასის ცენტრს), მაშინ ასეთ პირამიდას სწორ ხაზს უწოდებენ. თუ ამ პირობის გარდა, ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, მაშინ მთელ პირამიდას ეწოდება რეგულარული. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება რეგულარული პირამიდები სამკუთხა, ოთხკუთხა, ხუთკუთხა და ექვსკუთხა ფუძეებით.

პირამიდის ზედაპირი

სანამ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საკითხს მივმართავთ, უფრო დეტალურად უნდა ვისაუბროთ თავად ზედაპირის კონცეფციაზე.

როგორც ზემოთ აღინიშნა და ნახატებზეა ნაჩვენები, ნებისმიერი პირამიდა იქმნება სახეების ან გვერდების ნაკრებით. ერთი მხარე არის ფუძე და n გვერდი სამკუთხედია. მთელი ფიგურის ზედაპირი არის მისი თითოეული მხარის ფართობების ჯამი.

მოსახერხებელია ზედაპირის შესწავლა ფიგურის გაშლის მაგალითის გამოყენებით. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სკანირება ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურებში.

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი ზედაპირის ფართობი უდრის იდენტური ტოლფერდა სამკუთხედების ოთხი ფართობის ჯამს და კვადრატის ფართობს.

ყველა სამკუთხედის საერთო ფართობს, რომლებიც ქმნიან ფიგურის გვერდებს, ეწოდება გვერდითი ზედაპირის ფართობი. შემდეგი, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ის რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდისთვის.

მართკუთხა რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

მითითებული ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, ჩვენ კვლავ მივმართავთ ზემოხსენებულ გაწმენდას. დავუშვათ, ვიცით კვადრატული ფუძის მხარე. ავღნიშნოთ ა სიმბოლოთი. ჩანს, რომ ოთხი იდენტური სამკუთხედიდან თითოეულს აქვს a სიგრძის ფუძე. მათი მთლიანი ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს მნიშვნელობა ერთი სამკუთხედისთვის. გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია, რომ S t სამკუთხედის ფართობი უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, რომელიც უნდა გაიყოს ნახევრად. ანუ:

სადაც h b არის a ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე. პირამიდისთვის ეს სიმაღლე აპოთემაა. ახლა რჩება მიღებული გამოხატულების გამრავლება 4-ზე, რათა მივიღოთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი S b მოცემული პირამიდისთვის:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

ეს ფორმულა შეიცავს ორ პარამეტრს: აპოთემას და ბაზის მხარეს. თუ ეს უკანასკნელი ცნობილია პრობლემების უმეტეს პირობებში, მაშინ პირველი უნდა გამოითვალოს სხვა რაოდენობების ცოდნით. აქ მოცემულია აპოტემა h b-ის გამოანგარიშების ფორმულები ორი შემთხვევისთვის:

როდესაც ცნობილია გვერდითი ნეკნის სიგრძე;
როდესაც პირამიდის სიმაღლე ცნობილია.

თუ გვერდითი კიდის (ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდი) სიგრძეს აღვნიშნავთ L სიმბოლოთი, მაშინ აპოტემა h b განისაზღვრება ფორმულით:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

ეს გამოთქმა არის პითაგორას თეორემის გამოყენების შედეგი გვერდითი ზედაპირის სამკუთხედისთვის.

თუ პირამიდის h სიმაღლე ცნობილია, მაშინ h b აპოტემა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

h b = √(h 2 + a 2 /4).
ასევე არ არის რთული ამ გამოთქმის მიღება, თუ განვიხილავთ პირამიდის შიგნით მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც წარმოიქმნება h და a / 2 ფეხებითა და ჰიპოტენუზა h b.
ჩვენ გაჩვენებთ როგორ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ორი საინტერესო ამოცანის ამოხსნით.

პრობლემა ცნობილ ზედაპირზე

ცნობილია, რომ ოთხკუთხედის გვერდითი ზედაპირის ფართობია 108 სმ 2. აუცილებელია გამოვთვალოთ მისი აპოთემის სიგრძის მნიშვნელობა h bif პირამიდის სიმაღლე არის 7 სმ.
ჩვენ ვწერთ ფორმულას გვერდითი ზედაპირის S b ფართობის სიმაღლეზე. Ჩვენ გვაქვს:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

აქ ჩვენ უბრალოდ ჩავანაცვლეთ შესაბამისი აპოტემის ფორმულა S b-ის გამოსახულებაში. მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

a-ს მნიშვნელობის საპოვნელად, ვაკეთებთ ცვლადების ცვლილებას:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

ჩვენ ახლა ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს და ვხსნით კვადრატულ განტოლებას:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

ჩვენ დავწერეთ ამ განტოლების მხოლოდ დადებითი ფესვი. მაშინ პირამიდის ფუძის გვერდები ტოლი იქნება:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 სმ.

აპოტემის სიგრძის მისაღებად, უბრალოდ გამოიყენეთ ფორმულა:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6.916 2 / 4) ≈ 7.808 სმ.

კეოპსის პირამიდის გვერდითი ზედაპირი

მოდით განვსაზღვროთ გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა უდიდესი ეგვიპტური პირამიდისთვის. ცნობილია, რომ მის ძირში მდებარეობს კვადრატი, რომლის გვერდის სიგრძეა 230,363 მეტრი. სტრუქტურის სიმაღლე თავდაპირველად 146,5 მეტრი იყო. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები S b-ის შესაბამის ფორმულაში, მივიღებთ:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146.5 2 + 230.363 2 / 4) * 230.363 ≈ 85860 m 2.

ნაპოვნი ღირებულება ოდნავ აღემატება 17 საფეხბურთო მოედნის ფართობს.

ამ გაკვეთილზე:

ამოცანა 1. იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი
დავალება 2. იპოვეთ რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

იხილეთ ასევე დაკავშირებული მასალები:
.

შენიშვნა . თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომელიც აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. ამოცანებში "კვადრატული ფესვის" სიმბოლოს ნაცვლად გამოიყენება sqrt () ფუნქცია, რომელშიც sqrt არის კვადრატული ფესვის სიმბოლო, ხოლო რადიკალური გამოხატულება მითითებულია ფრჩხილებში. მარტივი რადიკალური გამონათქვამებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნიშანი "√"..

დავალება 1. იპოვეთ ჩვეულებრივი პირამიდის მთლიანი ზედაპირი

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძის სიმაღლეა 3 სმ, ხოლო კუთხე პირამიდის გვერდსა და ფუძეს შორის 45 გრადუსია.
იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი

გადაწყვეტილება.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ძირში დგას ტოლგვერდა სამკუთხედი.
ამიტომ, პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ ვიყენებთ რეგულარული სამკუთხედის თვისებებს:

ჩვენ ვიცით სამკუთხედის სიმაღლე, საიდანაც შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი ფართობი.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

საიდანაც ფუძის ფართობი იქნება ტოლი:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ გვერდითი სახის ფართობი, ჩვენ ვიანგარიშებთ სიმაღლეს KM. OKM კუთხე, პრობლემის განცხადების მიხედვით, არის 45 გრადუსი.
ამრიგად:
OK / MK = cos 45
გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი და შევცვალოთ ცნობილი მნიშვნელობები.

OK / MK = √2/2

გავითვალისწინებთ, რომ OK უდრის ჩაწერილი წრის რადიუსს. მერე
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

მერე
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

მაშინ გვერდითი სახის ფართობი უდრის სამკუთხედის სიმაღლისა და ფუძის ნამრავლის ნახევარს.
გვერდი = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

ამრიგად, პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი ტოლი იქნება
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

უპასუხე: 3√3 + 18/√6

დავალება 2. იპოვეთ ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში სიმაღლეა 10 სმ, ხოლო ფუძის მხარე 16 სმ. . იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი .

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია, მაშინ AO არის ფუძის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი.
(ეს გამომდინარეობს)

ტოლგვერდა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი მისი თვისებებიდან არის ნაპოვნი

საიდანაც რეგულარული სამკუთხა პირამიდის კიდეების სიგრძე ტოლი იქნება:
AM 2 = MO 2 + AO 2
პირამიდის სიმაღლე ცნობილია პირობით (10 სმ), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

პირამიდის თითოეული მხარე არის ტოლფერდა სამკუთხედი. ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი გვხვდება ქვემოთ მოცემული პირველი ფორმულიდან

S = 1/2 * 16 კვტ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 კვტ((556/3) - 64)
S = 8 კვტ(364/3)
S = 16 კვტ(91/3)

ვინაიდან რეგულარული პირამიდის სამივე სახე ტოლია, გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლი იქნება
3S = 48√(91/3)

პასუხი: 48 √(91/3)

ამოცანა 3. იპოვნეთ ჩვეულებრივი პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი

ჩვეულებრივი სამკუთხა პირამიდის გვერდი არის 3 სმ, ხოლო კუთხე პირამიდის გვერდითა და ფუძეს შორის 45 გრადუსია. იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.
ვინაიდან პირამიდა რეგულარულია, მას ფუძესთან ტოლგვერდა სამკუთხედი აქვს. ასე რომ, ბაზის ფართობი არის

ასე რომ = 9 * √3/4

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი