განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. განტოლებებს ადამიანი უძველესი დროიდან იყენებდა და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. მათემატიკაში საკმაოდ გავრცელებულია უმაღლესი ხარისხის განტოლებები მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით. ამ სახის განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

განტოლების რაციონალური ფესვების განსაზღვრა;

ფაქტორზე ამოიღეთ მრავალწევრი, რომელიც არის განტოლების მარცხენა მხარეს;

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს განტოლება შემდეგი სახის:

მოდი ვიპოვოთ მისი ნამდვილი ფესვები. გაამრავლეთ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები \-ზე

მოდით შევცვალოთ ცვლადები \

ამრიგად, მივიღეთ მეოთხე ხარისხის შემცირებული განტოლება, რომელიც წყდება სტანდარტული ალგორითმის მიხედვით: ვამოწმებთ გამყოფებს, ვასრულებთ გაყოფას და შედეგად ვხვდებით, რომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი \ და ორი რთული. პირობა. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ პასუხს მეოთხე ხარისხის ჩვენს განტოლებაზე:

სად შემიძლია ამოხსნა უფრო მაღალი სიმძლავრის განტოლება ონლაინ გამხსნელით?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https: // საიტი. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლება რამდენიმე წამში. თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ უყუროთ ვიდეო ინსტრუქციას და გაიგოთ როგორ ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს Vkontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

განტოლებების ამოხსნის მეთოდები: n n n h(f(x)) = h(g(x)) განტოლების ჩანაცვლება f(x) = g(x) ფაქტორიზაცია. ახალი ცვლადის დანერგვა. ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი. ფესვის შერჩევა. Vieta ფორმულების გამოყენება.

h(f(x)) = h(g(x)) განტოლების ჩანაცვლება f(x) = g(x) განტოლებით. მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც y = h(x) არის მონოტონური ფუნქცია, რომელიც იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას ერთხელ. თუ ფუნქცია არაერთფეროვანია, მაშინ ფესვების დაკარგვა შესაძლებელია.

ამოხსენით განტოლება (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ მზარდი ფუნქცია, ასე რომ განტოლებიდან (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ შეგიძლიათ გადახვიდეთ განტოლებაზე 3 x + 2 \u003d 5 x - 9, საიდანაც ვპოულობთ x \u003d 5.5 პასუხი: 5.5.

ფაქტორიზაცია. განტოლება f(x)g(x)h(x) = 0 შეიძლება შეიცვალოს განტოლებათა სიმრავლით f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. ამ სიმრავლის განტოლებების ამოხსნის შემდეგ, თქვენ უნდა აიღოთ ის ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება თავდაპირველი განტოლების განსაზღვრის სფეროს, ხოლო დანარჩენი, როგორც გარედან, უნდა გადააგდოთ.

ამოხსენით განტოლება x³ - 7 x + 6 = 0 7 x ტერმინის სახით x + 6 x გამოსახულებით, მივიღებთ თანმიმდევრობით: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6(x - 1) = 0 x (x - 1)(x + 1) - 6(x - 1) = 0 (x - 1)(x² + x - 6) = 0 ახლა ამოცანა მცირდება განტოლებათა სიმრავლის ამოხსნამდე x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. პასუხი: 1, 2, - 3.

ახალი ცვლადის დანერგვა. თუ განტოლება y(x) = 0 შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში p(g(x)) = 0, მაშინ თქვენ უნდა შემოიტანოთ ახალი ცვლადი u = g(x), ამოხსნათ განტოლება p(u) = 0, და შემდეგ ამოხსენით განტოლებათა სიმრავლე g( x) = u 1; g(x) = u2; … ; g(x) = un , სადაც u 1, u 2, ... , un არის განტოლების ფესვები p(u) = 0.

განტოლების ამოხსნა ამ განტოლების თვისებაა მისი მარცხენა მხარის კოეფიციენტების ტოლობა, მისი ბოლოებიდან თანაბარი მანძილით. ასეთ განტოლებებს ორმხრივი ეწოდება. ვინაიდან 0 არ არის ამ განტოლების ფესვი, x²-ზე გაყოფა იძლევა

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი შემდეგ მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას ასე რომ ფესვი y 1 = - 1 შეიძლება იგნორირებული იყოს. ვიღებთ პასუხს: 2, 0, 5.

ამოხსენით განტოლება 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას როგორც ერთგვაროვანი. გაყავით განტოლების ორივე მხარე (x² - 7 x +12)²-ზე (ნათელია, რომ x მნიშვნელობები ისეთი, რომ x² - 7 x +12=0 არ არის ამონახსნები). ახლა აღვნიშნოთ ჩვენ გვაქვს პასუხი აქედან:

ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი. თუ ერთ-ერთი ფუნქცია y \u003d f (x), y \u003d g (x) იზრდება, ხოლო მეორე მცირდება, მაშინ განტოლებას f (x) \u003d g (x) ან არ აქვს ფესვები, ან აქვს ერთი ფესვი.

განტოლების ამოხსნა აშკარაა, რომ x = 2 არის განტოლების ფესვი. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს არის ერთადერთი ფესვი. განტოლებას ვცვლით ფორმაში ვამჩნევთ, რომ ფუნქცია იზრდება, ფუნქცია კი კლებულობს. ასე რომ, განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი. პასუხი: 2.

ფესვების შერჩევა n n n თეორემა 1: თუ მთელი რიცხვი m არის მრავალწევრის ფესვი მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით, მაშინ მრავალწევრის მუდმივი წევრი იყოფა m-ზე. თეორემა 2: შემცირებულ მრავალწევრს მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით არ აქვს წილადი ფესვები. თეორემა 3: – განტოლება მთელი რიცხვით მოდით კოეფიციენტებით. თუ რიცხვი და წილადი, სადაც p და q მთელი რიცხვებია, შეუქცევადია, ეს არის განტოლების ფესვი, მაშინ p არის თავისუფალი წევრის გამყოფი an, ხოლო q არის კოეფიციენტის გამყოფი უმაღლესი წევრის a 0-ზე.

ბეზუტის თეორემა. ნარჩენი ნებისმიერი მრავალწევრის ბინომად (x - a) გაყოფისას უდრის გამყოფი მრავალწევრის მნიშვნელობას x = a-ზე. ბეზუტის თეორემის შედეგები n n n n ორი რიცხვის იდენტური ხარისხების სხვაობა ნაშთების გარეშე იყოფა ერთი და იგივე რიცხვების სხვაობაზე; ორი რიცხვის იდენტური ლუწი ძალების სხვაობა იყოფა ნარჩენების გარეშე როგორც ამ რიცხვების სხვაობით, ასევე მათი ჯამით; ორი რიცხვის იდენტური კენტი ძალების სხვაობა არ იყოფა ამ რიცხვების ჯამზე; ორი არარიცხვის ტოლი ძალების ჯამი იყოფა ამ რიცხვთა სხვაობაზე; ორი რიცხვის იდენტური კენტი ძალების ჯამი ნაშთების გარეშე იყოფა ამ რიცხვების ჯამზე; ორი რიცხვის იდენტური ლუწი ძალების ჯამი არ იყოფა არც ამ რიცხვების სხვაობით და არც მათი ჯამით; მრავალწევრი იყოფა ორწევრზე (x - a), თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვი a არის ამ მრავალწევრის ფესვი; არანულოვანი მრავალწევრის განსხვავებული ფესვების რაოდენობა არ აღემატება მის ხარისხს.

ამოხსენით განტოლება x³ - 5 x² - x + 21 = 0 მრავალწევრს x³ - 5 x² - x + 21 აქვს მთელი კოეფიციენტები. თეორემა 1-ით მისი მთელი ფესვები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორისაა: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. შემოწმებით ვრწმუნდებით, რომ რიცხვი 3 არის ფესვი. ბეზუტის თეორემის შედეგად, მრავალწევრი იყოფა (x – 3-ზე). ამრიგად, x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7). პასუხი:

ამოხსენით განტოლება 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 თეორემა 1-ის მიხედვით, განტოლების მთელი ფესვები შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვები ± 1. შემოწმება აჩვენებს, რომ ეს რიცხვები ფესვები არ არის. ვინაიდან განტოლება არ არის შემცირებული, მას შეიძლება ჰქონდეს წილადი რაციონალური ფესვები. მოდი ვიპოვოთ ისინი. ამისათვის გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე 4-ზე: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 2 x = t ჩანაცვლებით, მივიღებთ t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Terem 2-ით, ამ შემცირებული განტოლების ყველა რაციონალური ფესვი უნდა იყოს მთლიანი. ისინი შეიძლება მოიძებნოს მუდმივი წევრის გამყოფებს შორის: ± 1, ± 2, ± 4. ამ შემთხვევაში, t = - 1 შესაფერისია. ამიტომ, მრავალწევრი 2 x³ - 5 x² - x + 1 იყოფა (x-ზე. + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) კვადრატული განტოლების ამოხსნა 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0, ჩვენ ვპოულობთ დარჩენილი ფესვები: პასუხი:

ამოხსენით განტოლება 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 თეორემა 3-ის მიხედვით, ამ განტოლების რაციონალური ფესვები უნდა ვეძებოთ რიცხვებს შორის, მათი სათითაოდ ჩანაცვლებით განტოლებაში ვხვდებით, რომ ისინი აკმაყოფილებენ განტოლებას. ისინი ამოწურავენ განტოლების ყველა ფესვს. პასუხი:

იპოვეთ განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 ვიეტას თეორემით გაითვალისწინეთ, რომ საიდან

მიუთითეთ მეთოდი, რომლითაც შესაძლებელია თითოეული ამ განტოლების ამოხსნა. ამოხსენით განტოლებები #1, 4, 15, 17.

პასუხები და ინსტრუქციები: 1. ახალი ცვლადის გაცნობა. 2. ფუნქციონალურ - გრაფიკული მეთოდი. 3. h(f(x)) = h(g(x)) განტოლების შეცვლა f(x) = g(x) განტოლებით. 4. ფაქტორიზაცია. 5. ფესვების შერჩევა. 6 ფუნქციონალურად - გრაფიკული მეთოდი. 7. Vieta ფორმულების გამოყენება. 8. ფესვების შერჩევა. 9. h(f(x)) = h(g(x)) განტოლების შეცვლა f(x) = g(x) განტოლებით. 10. ახალი ცვლადის დანერგვა. 11. ფაქტორიზაცია. 12. ახალი ცვლადის დანერგვა. 13. ფესვების შერჩევა. 14. Vieta ფორმულების გამოყენება. 15. ფუნქციონალურ - გრაფიკული მეთოდი. 16. ფაქტორიზაცია. 17. ახალი ცვლადის დანერგვა. 18. ფაქტორიზაცია.

1. ინსტრუქცია. დაწერეთ განტოლება 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², გაყავით ორივე მხარე x²-ზე. შეიყვანეთ ცვლადი პასუხი: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. მითითება. დაამატეთ 6 y და - 6 y განტოლების მარცხენა მხარეს და ჩაწერეთ როგორც (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - 3 წ - რვა). პასუხი:

14. ინსტრუქცია. ვიეტას თეორემის მიხედვით ვინაიდან - მთელი რიცხვებია, მაშინ განტოლების ფესვები შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვები - 1, - 2, - 3 პასუხი: 15. პასუხი: - 1. 17. მითითება. გაყავით განტოლების ორივე მხარე x²-ზე და ჩაწერეთ ცვლადის სახით. პასუხი: 1; თხუთმეტი; 2; 3.

ბიბლიოგრაფია. n n n კოლმოგოროვი A. N. "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, 10 - 11" (M.: Prosveshchenie, 2003). ბაშმაკოვი M. I. "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, 10 - 11" (მ.: განათლება, 1993). Mordkovich A. G. "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, 10 - 11" (M.: Mnemozina, 2003). ალიმოვი შ.ა., კოლიაგინი იუ.მ. და სხვ. „ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, 10 – 11“ (M.: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. "ამოცანების კრებული ალგებრაში, 8 - 9" (M .: განათლება, 1997). Karp A.P. "ალგებრაში ამოცანების კრებული და ანალიზის დასაწყისი, 10 - 11" (M .: განათლება, 1999). Sharygin I. F. "არჩევითი კურსი მათემატიკაში, ამოცანების ამოხსნა, 10" (მ.: განათლება. 1989). Skopets Z. A. "დამატებითი თავები მათემატიკის კურსში, 10" (M .: განათლება, 1974). ლიტინსკი G.I. "მათემატიკის გაკვეთილები" (მოსკოვი: ასლანი, 1994). Muravin G. K. "განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები" (მათემატიკა, ჩანართი გაზეთ "პირველი სექტემბერი", No2, 3, 2003 წ.). Kolyagin Yu. M. "პოლინომები და უმაღლესი ხარისხის განტოლებები" (მათემატიკა, ჩანართი გაზეთ "პირველი სექტემბერი", No3, 2005 წ.).

ტრიფანოვა მარინა ანატოლიევნა
მათემატიკის მასწავლებელი, გიმნაზია No48 (მრავალპროფილი)

გაკვეთილის სამეული მიზანი:

საგანმანათლებლო:
უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის შესახებ ცოდნის სისტემატიზაცია და განზოგადება.
განვითარება:
ხელი შეუწყოს ლოგიკური აზროვნების განვითარებას, დამოუკიდებლად მუშაობის უნარს, ურთიერთკონტროლისა და თვითკონტროლის უნარებს, საუბრისა და მოსმენის უნარს.
აღზრდა:
მუდმივი დასაქმების ჩვევის განვითარება, პასუხისმგებლობის განათლება, შრომისმოყვარეობა, სიზუსტე.

გაკვეთილის ტიპი:

ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების ინტეგრირებული გამოყენების გაკვეთილი.

გაკვეთილის ფორმა:

ეთერში გაშვება, ფიზიკური წუთი, მუშაობის სხვადასხვა ფორმა.

აღჭურვილობა:

საცნობარო შენიშვნები, დავალების ბარათები, გაკვეთილის მონიტორინგის მატრიცა.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი

1. გაკვეთილის მიზნის გაცნობა მოსწავლეებს.
2. საშინაო დავალების შემოწმება (დანართი 1). მუშაობა ძირითად აბსტრაქტთან (დანართი 2).

დაფაზე იწერება თითოეულის განტოლებები და პასუხები. მოსწავლეები ამოწმებენ პასუხებს და აძლევენ თითოეული განტოლების ამოხსნის მოკლე ანალიზს ან პასუხობენ მასწავლებლის კითხვებს (ფრონტალური გამოკითხვა). თვითკონტროლი - მოსწავლეები აძლევენ საკუთარ თავს შეფასებებს და გადასცემენ მასწავლებელს რვეულებს, რათა შეამოწმოს შეფასებების შესწორება ან მათი დამტკიცება. სკოლის კლასის დაფაზე დაწერილი:

„5+“ - 6 განტოლება;
"5" - 5 განტოლება;
"4" - 4 განტოლება;
"3" - 3 განტოლება.

მასწავლებლის კითხვები საშინაო დავალების შესახებ:

1 განტოლება

1. რა არის ცვლადების ცვლილება განტოლებაში?
2. რა განტოლება მიიღება ცვლადების ცვლილების შემდეგ?

2 განტოლება

1. რომელმა მრავალწევრმა გაყო განტოლების ორივე მხარე?
2. ცვლადების რა ჩანაცვლება იქნა მიღებული?

3 განტოლება

1. რა მრავალწევრების გამრავლებაა საჭირო ამ განტოლების ამოხსნის გასამარტივებლად?

4 განტოლება

1. დაასახელეთ ფუნქცია f(x).
2. როგორ აღმოაჩინეს სხვა ფესვები?

5 განტოლება

1. რამდენი ინტერვალი იქნა მიღებული განტოლების ამოსახსნელად?

6 განტოლება

1. როგორ შეიძლება ამ განტოლების ამოხსნა?
2. რომელი გამოსავალია უფრო რაციონალური?

II. ჯგუფური მუშაობა გაკვეთილის ძირითადი ნაწილია.

კლასი დაყოფილია 4 ჯგუფად. თითოეულ ჯგუფს ეძლევა ბარათი თეორიული და პრაქტიკული (დანართი 3) კითხვებით: „დაშალე განტოლების ამოხსნის შემოთავაზებული მეთოდი და ახსენი ამ მაგალითის გამოყენებით“.

1. ჯგუფური მუშაობა 15 წუთი.
2. დაფაზე იწერება მაგალითები (დაფა დაყოფილია 4 ნაწილად).
3. ჯგუფის მოხსენებას 2-3 წუთი სჭირდება.
4. მასწავლებელი ასწორებს ჯგუფების ანგარიშებს და ეხმარება სირთულის შემთხვევაში.

ჯგუფური მუშაობა გრძელდება No5 - 8 ბარათებზე. თითოეული განტოლებისთვის ჯგუფში განსახილველად ეძლევა 5 წუთი. შემდეგ დაფას აქვს მოხსენება ამ განტოლებაზე - ამოხსნის მოკლე ანალიზი. განტოლება შეიძლება ბოლომდე არ იყოს ამოხსნილი - ის სრულდება სახლში, მაგრამ განიხილება კლასში მისი ამოხსნის მთელი თანმიმდევრობა.

III. დამოუკიდებელი მუშაობა.დანართი 4.

1. თითოეული მოსწავლე იღებს ინდივიდუალურ დავალებას.
2. სამუშაოს 20 წუთი სჭირდება.
3. გაკვეთილის დასრულებამდე 5 წუთით ადრე მასწავლებელი იძლევა ღია პასუხებს თითოეულ განტოლებაზე.
4. მოსწავლეები წრეში ცვლიან რვეულებს და პასუხებს ამოწმებენ მეგობართან ერთად. რეიტინგების მიცემა.
5. რვეულები მასწავლებელს გადაეცემა შეფასებების შესამოწმებლად და გასასწორებლად.

IV. გაკვეთილის შეჯამება.

Საშინაო დავალება.

დაასრულეთ არასრული განტოლებების ამოხსნა. მოემზადეთ საკონტროლო ჭრისთვის.

შეფასება.

ძირითადი მიზნები:

1. მე-ე ხარისხის მთელი რაციონალური განტოლების ცნების კონსოლიდაცია.
2. ჩამოაყალიბეთ უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები (n > 3).
3. უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების სწავლება.
4. განტოლების ფორმით ასწავლოს მისი ამოხსნის ყველაზე ეფექტური ხერხის დადგენა.

ფორმები, მეთოდები და პედაგოგიური ტექნიკა, რომელსაც მასწავლებელი იყენებს კლასში:

• ლექცია-სემინარის სასწავლო სისტემა (ლექციები - ახალი მასალის ახსნა, სემინარები - პრობლემის გადაჭრა).
• საინფორმაციო და საკომუნიკაციო ტექნოლოგიები (ფრონტალური გამოკითხვა, კლასთან ზეპირი მუშაობა).
• დიფერენცირებული ტრენინგი, ჯგუფური და ინდივიდუალური ფორმები.
• კვლევის მეთოდის გამოყენება სწავლებაში, რომელიც მიმართულია თითოეული ცალკეული მოსწავლის მათემატიკური აპარატისა და გონებრივი შესაძლებლობების განვითარებაზე.
• ბეჭდური მასალა - გაკვეთილის ინდივიდუალური რეზიუმე (ძირითადი ცნებები, ფორმულები, დებულებები, სალექციო მასალა შეკუმშულია დიაგრამების ან ცხრილების სახით).

Გაკვეთილის გეგმა:

1. ორგანიზების დრო.
   ეტაპის მიზანი: მოსწავლეთა ჩართვა სასწავლო აქტივობებში, გაკვეთილის შინაარსის განსაზღვრა.
2. მოსწავლეთა ცოდნის განახლება.
   ეტაპის მიზანი: მოსწავლეთა ცოდნის განახლება ადრე შესწავლილ დაკავშირებულ თემებზე
3. ახალი თემის შესწავლა (ლექცია). ეტაპის მიზანი: ჩამოაყალიბოს უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები (n > 3)
4. შეჯამება.
   ეტაპის მიზანი: კიდევ ერთხელ გამოვყოთ გაკვეთილზე შესწავლილ მასალაში ძირითადი პუნქტები.
5. Საშინაო დავალება.
   ეტაპის მიზანი: მოსწავლეებისთვის საშინაო დავალების ჩამოყალიბება.

გაკვეთილის შეჯამება

1. საორგანიზაციო მომენტი.

გაკვეთილის თემის ფორმულირება: „უმაღლესი ხარისხის განტოლებები. მათი გადაჭრის მეთოდები“.

2. მოსწავლეთა ცოდნის აქტუალიზაცია.

თეორიული გამოკითხვა - საუბარი. თეორიიდან ზოგიერთი ადრე შესწავლილი ინფორმაციის გამეორება. მოსწავლეები აყალიბებენ ძირითად განმარტებებს და გამოთქვამენ საჭირო თეორემების დებულებებს. მოყვანილია მაგალითები, რომლებიც ასახავს ადრე შეძენილი ცოდნის დონეს.

• განტოლების კონცეფცია ერთი ცვლადით.
• განტოლების ფესვის ცნება, განტოლების ამოხსნა.
• წრფივი განტოლების კონცეფცია ერთი ცვლადით, კვადრატული განტოლების კონცეფცია ერთი ცვლადით.
• განტოლებათა ეკვივალენტობის ცნება, განტოლება-შედეგები (გარე ფესვების ცნება), გარდამავალი არა შედეგით (ფესვების დაკარგვის შემთხვევა).
• მთელი რაციონალური გამოხატვის კონცეფცია ერთი ცვლადით.
• მთელი რაციონალური განტოლების კონცეფცია ნე ხარისხი. მთელი რაციონალური განტოლების სტანდარტული ფორმა. შემცირდა მთელი რაციონალური განტოლება.
• გადასვლა ქვედა ხარისხების განტოლებათა სიმრავლეზე თავდაპირველი განტოლების ფაქტორინგით.
• მრავალწევრის ცნება ნე ხარისხიდან x. ბეზუტის თეორემა. შედეგები ბეზუტის თეორემიდან. ძირეული თეორემები ( ზ-ფესვები და ქ-ძირები) მთელი რაციონალური განტოლების მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით (შესაბამისად შემცირებული და არაშემცირებული).
• ჰორნერის სქემა.

3. ახალი თემის სწავლა.

განვიხილავთ მთელ რაციონალურ განტოლებას ნსტანდარტული ფორმის ე ძალა ერთი უცნობი ცვლადით x:Pn(x)= 0, სადაც P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- მრავალწევრი ნე ხარისხიდან x, ა n ≠ 0 . Თუ ა n = 1 მაშინ ასეთ განტოლებას ეწოდება შემცირებული მთლიანი რაციონალური განტოლება ნე ხარისხი. განვიხილოთ ასეთი განტოლებები სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის ნდა ჩამოთვალეთ მათი გადაჭრის ძირითადი მეთოდები.

ნ= 1 არის წრფივი განტოლება.

ნ= 2 არის კვადრატული განტოლება.დისკრიმინაციული ფორმულა. ფესვების გამოთვლის ფორმულა. ვიეტას თეორემა. სრული კვადრატის შერჩევა.

ნ= 3 არის კუბური განტოლება.

დაჯგუფების მეთოდი.

მაგალითი: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x2 = 1,x 3 = -1.

ფორმის ორმხრივი კუბური განტოლება ნაჯახი 3 + bx 2 + bx + ა= 0. ჩვენ ვხსნით ერთი და იგივე კოეფიციენტების ტერმინების გაერთიანებით.

მაგალითი: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Z- ფესვების შერჩევა თეორემაზე დაყრდნობით. ჰორნერის სქემა. ამ მეთოდის გამოყენებისას აუცილებელია ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ ჩამოთვლა ამ შემთხვევაში სასრულია და ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს გარკვეული ალგორითმის მიხედვით თეორემის შესაბამისად. ზ-შემცირებული მთელი რაციონალური განტოლების ფესვები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

მაგალითი: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. განტოლება შემცირებულია. ჩვენ ვწერთ თავისუფალი ტერმინის გამყოფებს ( + 1; + 3; + 5; + თხუთმეტი). გამოვიყენოთ ჰორნერის სქემა:

	x 3	x 2	x 1	x 0	დასკვნა
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - ფესვი
	x 2	x 1	x 0

ჩვენ ვიღებთ ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

განტოლება მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. Q- ფესვების შერჩევა თეორემაზე დაყრდნობით. ჰორნერის სქემა. ამ მეთოდის გამოყენებისას აუცილებელია ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ ჩამოთვლა ამ შემთხვევაში სასრულია და ვირჩევთ ფესვებს გარკვეული ალგორითმის მიხედვით თეორემის შესაბამისად. ქ- შეუმცირებელი მთელი რაციონალური განტოლების ფესვები მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით.

მაგალითი: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. განტოლება არ არის შემცირებული. ჩვენ ვწერთ თავისუფალი ტერმინის გამყოფებს ( + 1; + 3). მოდით ჩამოვწეროთ კოეფიციენტის გამყოფები უცნობის უმაღლეს ხარისხზე. ( + 1; + 3; + 9) ამიტომ, ჩვენ ვეძებთ ფესვებს მნიშვნელობებს შორის ( + 1; + ; + ; + 3). გამოვიყენოთ ჰორნერის სქემა:

	x 3	x 2	x 1	x 0	დასკვნა
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 არ არის ფესვი
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 არ არის ფესვი
	9	x9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	ფესვი
	x 2	x 1	x 0

ჩვენ ვიღებთ ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Q-ს არჩევისას გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის -ფესვებიშეიძლება მოსახერხებელი იყოს ცვლადის შეცვლა, გადადით ზემოთ განტოლებაზე და შეცვალეთ Z -ფესვები.

• თუ კვეთა არის 1

.

• თუ შესაძლებელია ფორმის შემცვლელის გამოყენება y=kx

.

ფორმულა კარდანო. არსებობს კუბური განტოლებების ამოხსნის უნივერსალური მეთოდი - ეს არის კარდანოს ფორმულა. ეს ფორმულა დაკავშირებულია იტალიელი მათემატიკოსების გეროლამო კარდანოს (1501–1576), ნიკოლო ტარტალიას (1500–1557), სციპიო დელ ფეროს (1465–1526) სახელებთან. ეს ფორმულა ჩვენი კურსის ფარგლებს სცილდება.

ნ= 4 არის მეოთხე ხარისხის განტოლება.

დაჯგუფების მეთოდი.

მაგალითი: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x- 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.

• ფორმის ორმხრივი განტოლება ნაჯახი 4 + bx 2+წმ = 0 .

მაგალითი: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. შეცვლა წ = x 2. აქედან წ 1 = 4, წ 2 = -9. Ამიტომაც x 1,2 = + 2 .

• ფორმის მეოთხე ხარისხის საპასუხო განტოლება ნაჯახი 4 + bx 3+c x 2 + bx + ა = 0.

ჩვენ ამოვხსნით ერთი და იგივე კოეფიციენტების ტერმინების გაერთიანებით, ფორმის შეცვლით

• ნაჯახი 4 + bx 3 + cx 2 – bx + ა = 0.

• ფორმის მეოთხე ხარისხის განზოგადებული უკანა განტოლება ნაჯახი 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

• ზოგადი ჩანაცვლება. რამდენიმე სტანდარტული ჩანაცვლება.

მაგალითი 3 . ზოგადი ხედის შეცვლა(გამოდის კონკრეტული განტოლების ფორმიდან).

ნ = 3.

განტოლება მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. Q- ფესვების შერჩევა ნ = 3.

ზოგადი ფორმულა. არსებობს მეოთხე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის უნივერსალური მეთოდი. ეს ფორმულა ასოცირდება ლუდოვიკო ფერარის (1522-1565) სახელთან. ეს ფორმულა ჩვენი კურსის ფარგლებს სცილდება.

ნ > 5 - მეხუთე და უმაღლესი ხარისხის განტოლებები.

განტოლება მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. Z- ფესვების შერჩევა თეორემაზე დაყრდნობით. ჰორნერის სქემა. ალგორითმი მსგავსია ზემოთ განხილულისთვის ნ = 3.

განტოლება მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. Q- ფესვების შერჩევათეორემაზე დაყრდნობით. ჰორნერის სქემა. ალგორითმი მსგავსია ზემოთ განხილულისთვის ნ = 3.

სიმეტრიული განტოლებები. კენტი ხარისხის ნებისმიერ საპასუხო განტოლებას აქვს ფესვი x= -1 და ფაქტორებად დაშლის შემდეგ მივიღებთ, რომ ერთ ფაქტორს აქვს ფორმა ( x+ 1), ხოლო მეორე ფაქტორი არის ლუწი ხარისხის ორმხრივი განტოლება (მისი ხარისხი ერთით ნაკლებია საწყისი განტოლების ხარისხზე). ლუწი ხარისხის ნებისმიერი საპასუხო განტოლება ფორმის ფესვთან ერთად x = φასევე შეიცავს ფორმის ფესვს. ამ განცხადებების გამოყენებით ჩვენ ვხსნით პრობლემას შესასწავლი განტოლების ხარისხის შემცირებით.

ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი. ჰომოგენურობის გამოყენება.

არ არსებობს მთელი მეხუთე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ზოგადი ფორმულა (ეს აჩვენა იტალიელმა მათემატიკოსმა პაოლო რუფინმა (1765–1822) და ნორვეგიელმა მათემატიკოსმა ნილს ჰენრიკ აბელმა (1802–1829)) და უფრო მაღალი ძლევამოსილებით (ეს აჩვენეს ფრანგებმა. მათემატიკოსი ევარისტ გალუა (1811–1832)).

• კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ პრაქტიკაში მისი გამოყენება შესაძლებელია კომბინაციებიზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდები. მოსახერხებელია გადავიდეს უფრო დაბალი ხარისხის განტოლებათა სიმრავლეზე საწყისი განტოლების ფაქტორიზაცია.
• ჩვენი დღევანდელი დისკუსიის ფარგლებს გარეთ, პრაქტიკაში ფართოდ გამოიყენება გრაფიკული მეთოდებიგანტოლებების ამოხსნა და გადაჭრის სავარაუდო მეთოდებიუმაღლესი ხარისხის განტოლებები.
• არის სიტუაციები, როდესაც განტოლებას არ აქვს R- ფესვები.
შემდეგ გამოსავალი ჩნდება იმის ჩვენებაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ამის დასამტკიცებლად ვაანალიზებთ განხილული ფუნქციების ქცევას მონოტონურობის ინტერვალებზე. მაგალითი: განტოლება x 8 – x 3 + 1 = 0-ს ფესვები არ აქვს.
• ფუნქციების ერთფეროვნების თვისების გამოყენება
. არის სიტუაციები, როდესაც ფუნქციების სხვადასხვა თვისებების გამოყენება საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ დავალება.
მაგალითი 1: განტოლება x 5 + 3x– 4 = 0 აქვს ერთი ფესვი x= 1. გაანალიზებული ფუნქციების ერთფეროვნების თვისებით სხვა ფესვები არ არსებობს.
მაგალითი 2: განტოლება x 4 + (x– 1) 4 = 97-ს აქვს ფესვები x 1 = -2 და x 2 = 3. ერთფეროვნების ინტერვალებზე შესაბამისი ფუნქციების ქცევის გაანალიზების შემდეგ დავასკვნით, რომ სხვა ფესვები არ არსებობს.

4. შეჯამება.

რეზიუმე: ახლა ჩვენ ავითვისეთ ძირითადი მეთოდები უმაღლესი ხარისხის სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისათვის (n-ისთვის > 3). ჩვენი ამოცანაა ვისწავლოთ თუ როგორ ეფექტურად გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ალგორითმები. განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე, ჩვენ უნდა ვისწავლოთ როგორ განვსაზღვროთ ამოხსნის რომელი მეთოდია ყველაზე ეფექტური ამ შემთხვევაში, ასევე სწორად გამოვიყენოთ არჩეული მეთოდი.

5. საშინაო დავალება.

: პუნქტი 7, გვ.164–174, No 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

მოხსენებების ან რეფერატების შესაძლო თემები ამ თემაზე:

• ფორმულა კარდანო
• განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი. გადაწყვეტის მაგალითები.
• განტოლებების სავარაუდო ამოხსნის მეთოდები.

მასალის ათვისების ანალიზი და მოსწავლეთა ინტერესი თემით:

გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ სტუდენტების ინტერესი პირველ რიგში არის შერჩევის შესაძლებლობა ზ-ფესვები და ქ- განტოლებების ფესვები საკმაოდ მარტივი ალგორითმის გამოყენებით ჰორნერის სქემის გამოყენებით. მოსწავლეებს ასევე აინტერესებთ ცვლადის ჩანაცვლების სხვადასხვა სტანდარტული ტიპები, რომლებსაც შეუძლიათ მნიშვნელოვნად გაამარტივონ პრობლემის ტიპი. გადაწყვეტის გრაფიკული მეთოდები ჩვეულებრივ განსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დამატებით გაანალიზოთ ამოცანები განტოლებების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდად; განიხილეთ გრაფიკის ზოგადი ხედვა 3, 4, 5 გრადუსიანი მრავალწევრისთვის; გააანალიზეთ, თუ როგორ არის დაკავშირებული 3, 4, 5 გრადუსიანი განტოლებების ფესვების რაოდენობა შესაბამისი გრაფიკის ტიპთან. ქვემოთ მოცემულია წიგნების სია, სადაც შეგიძლიათ მიიღოთ დამატებითი ინფორმაცია ამ თემაზე.

ბიბლიოგრაფია:

1. ვილენკინი ნ.ია.და ა.შ „ალგებრა. სახელმძღვანელო მე -9 კლასების სტუდენტებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით ”- მ., განათლება, 2007 - 367 გვ.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.მათემატიკის სახელმძღვანელოს ფურცლებს მიღმა. არითმეტიკა. Ალგებრა. 10-11 კლასები“ – მ., განმანათლებლობა, 2008 – 192 გვ.
3. ვიგოდსკი M.Ya."მათემატიკის სახელმძღვანელო" - მ., AST, 2010 - 1055 გვ.
4. გალიცკი მ.ლ.„პრობლემების კრებული ალგებრაში. სახელმძღვანელო 8-9 კლასებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით ”- მ., განათლება, 2008 - 301 გვ.
5. ზვავიჩ ლ.ი.და სხვები „ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. 8-11 უჯრედი სახელმძღვანელო სკოლებისთვის და კლასებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით ”- მ., დროფა, 1999 - 352 გვ.
6. ზვავიჩ ლ.ი., ავერიანოვი დ.ი., პიგარევი ბ.პ., ტრუშანინა ტ.ნ.„დავალებები მათემატიკაში მე-9 კლასში წერითი გამოცდისთვის მოსამზადებლად“ - მ., განათლება, 2007 - 112 გვ.
7. ივანოვი A.A., Ivanov A.P.„თემატური ტესტები მათემატიკაში ცოდნის სისტემატიზაციისთვის“ ნაწილი 1 - მ., ფიზმატიგა, 2006 - 176 გვ.
8. ივანოვი A.A., Ivanov A.P.„თემატური ტესტები მათემატიკაში ცოდნის სისტემატიზაციისთვის“ ნაწილი 2 - მ., ფიზმატიგა, 2006 - 176 გვ.
9. ივანოვი A.P.„ტესტები და ტესტები მათემატიკაში. სახელმძღვანელო". - მ., ფიზმათკნიგა, 2008 - 304გვ.
10. ლეიბსონი კ.ლ.„პრაქტიკული ამოცანების კრებული მათემატიკაში. ნაწილი 2–9 კლასი“ – M., MTsNMO, 2009 – 184 გვ.
11. მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ."Ალგებრა. მე-9 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოს დამატებითი თავები. სახელმძღვანელო სკოლებისა და კლასების მოსწავლეებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით“. - მ., განათლება, 2006 - 224გვ.
12. მორდკოვიჩი ა.გ."Ალგებრა. სიღრმისეული შესწავლა. მე-8 კლასი. სახელმძღვანელო“ – მ., მნემოსინე, 2006 – 296 გვ.
13. Savin A.P.„ახალგაზრდა მათემატიკოსის ენციკლოპედიური ლექსიკონი“ - მ., პედაგოგიკა, 1985 - 352 გვ.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.”დიდაქტიკური მასალები ალგებრაზე მე-9 კლასისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით” - მ., განათლება, 2006 - 95 გვ.
15. ჩულკოვი P.V.„განტოლებები და უტოლობა მათემატიკის სასკოლო კურსში. ლექციები 1–4“ – მ., 2006 წლის პირველი სექტემბერი – 88 გვ.
16. ჩულკოვი P.V.„განტოლებები და უტოლობა მათემატიკის სასკოლო კურსში. ლექციები 5–8” – მ., 2009 წლის პირველი სექტემბერი – 84 გვ.

ზოგადად, განტოლება, რომელსაც აქვს 4-ზე მაღალი ხარისხი, შეუძლებელია რადიკალების ამოხსნა. მაგრამ ზოგჯერ მაინც შეგვიძლია ვიპოვოთ მარცხნივ მრავალწევრის ფესვები უმაღლესი ხარისხის განტოლებაში, თუ მას წარმოვადგენთ მრავალწევრების ნამრავლად არაუმეტეს 4 ხარისხით. ასეთი განტოლებების ამოხსნა ემყარება მრავალწევრის ფაქტორებად დაშლას, ამიტომ გირჩევთ ამ სტატიის შესწავლამდე გადახედოთ ამ თემას.

ყველაზე ხშირად, უწევს საქმე უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებებს მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით. ამ შემთხვევებში, ჩვენ შეგვიძლია ვცადოთ რაციონალური ფესვების პოვნა, შემდეგ კი პოლინომიის ფაქტორირება ისე, რომ შემდეგ შეგვიძლია მისი გადაყვანა უფრო დაბალი ხარისხის განტოლებად, რომლის ამოხსნაც ადვილი იქნება. ამ მასალის ფარგლებში განვიხილავთ სწორედ ასეთ მაგალითებს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

უმაღლესი ხარისხის განტოლებები მთელი რიცხვის კოეფიციენტებით

a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის ყველა განტოლება. . . + a 1 x + a 0 = 0, შეგვიძლია დავიყვანოთ იმავე ხარისხის განტოლებამდე ორივე მხარის n n - 1-ზე გამრავლებით და ცვლადის შეცვლით, როგორიცაა y = a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

შედეგად მიღებული კოეფიციენტები ასევე იქნება მთელი რიცხვები. ამრიგად, ჩვენ დაგვჭირდება n-ე ხარისხის შემცირებული განტოლების ამოხსნა მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით, რომელსაც აქვს ფორმა x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

ჩვენ ვიანგარიშებთ განტოლების მთელ ფესვებს. თუ განტოლებას აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, თქვენ უნდა მოძებნოთ ისინი თავისუფალი წევრის a 0-ის გამყოფებს შორის. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი და ჩავანაცვლოთ სათითაოდ თავდაპირველ ტოლობაში, შევამოწმოთ შედეგი. მას შემდეგ რაც მივიღებთ იდენტურობას და ვიპოვით განტოლების ერთ-ერთ ფესვს, შეგვიძლია დავწეროთ ის x - x 1 სახით · P n - 1 (x) = 0 . აქ x 1 არის განტოლების ფესვი და P n - 1 (x) არის x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 გაყოფილი x - x 1-ზე.

ჩვენ ჩაწერილი დანარჩენ გამყოფებს ვცვლით P n - 1 (x) = 0 , დაწყებული x 1-ით, რადგან ფესვები შეიძლება განმეორდეს. იდენტურობის მიღების შემდეგ ფესვი x 2 ითვლება ნაპოვნი და განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. აქ P n - 2 (x ) იქნება კოეფიციენტი P n - 1 (x) x - x 2-ზე გაყოფისგან.

ჩვენ ვაგრძელებთ გამყოფების დახარისხებას. იპოვეთ ყველა მთელი ძირი და აღნიშნეთ მათი რიცხვი როგორც m. ამის შემდეგ, თავდაპირველი განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. აქ P n - m (x) არის n - m -th ხარისხის მრავალწევრი. გამოსათვლელად მოსახერხებელია ჰორნერის სქემის გამოყენება.

თუ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას აქვს მთელი რიცხვი კოეფიციენტები, ჩვენ ვერ მივიღებთ წილადის ფესვებს.

შედეგად მივიღეთ განტოლება P n - m (x) = 0, რომლის ფესვები შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი მოსახერხებელი გზით. ისინი შეიძლება იყოს ირაციონალური ან რთული.

მოდით ვაჩვენოთ კონკრეტულ მაგალითზე, თუ როგორ გამოიყენება ასეთი გადაწყვეტის სქემა.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:იპოვეთ x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 განტოლების ამონახსნი.

გამოსავალი

დავიწყოთ მთელი რიცხვების ფესვების მოძიებით.

გვაქვს მინუს სამის ტოლი კვეთა. მას აქვს გამყოფები ტოლი 1 , - 1 , 3 და - 3 . მოდით ჩავანაცვლოთ ისინი თავდაპირველ განტოლებაში და ვნახოთ, რომელი მათგანი მისცემს იდენტურობას შედეგად.

x-ისთვის, რომელიც უდრის ერთს, ვიღებთ 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, რაც ნიშნავს, რომ ერთი იქნება ამ განტოლების ფესვი.

ახლა მოდით გავყოთ მრავალწევრი x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 (x - 1) სვეტად:

ასე რომ, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

ჩვენ მივიღეთ იდენტობა, რაც ნიშნავს, რომ ვიპოვეთ განტოლების სხვა ფესვი, ტოლი - 1-ის.

ჩვენ ვყოფთ მრავალწევრს x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 (x + 1) სვეტში:

ჩვენ ამას მივიღებთ

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

ჩვენ ვცვლით შემდეგ გამყოფს განტოლებაში x 2 + x + 3 = 0, დაწყებული - 1-დან:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

შედეგად მიღებული ტოლობები არასწორი იქნება, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აღარ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები.

დარჩენილი ფესვები იქნება x 2 + x + 3 გამოხატვის ფესვები.

D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ნამდვილი ფესვები, მაგრამ აქვს რთული კონიუგატები: x = - 1 2 ± i 11 2 .

განვმარტოთ, რომ სვეტად დაყოფის ნაცვლად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჰორნერის სქემა. ეს კეთდება ასე: მას შემდეგ, რაც განტოლების პირველი ფესვი დავადგინეთ, ვავსებთ ცხრილს.

კოეფიციენტების ცხრილში ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავინახოთ კოეფიციენტების კოეფიციენტები მრავალწევრების გაყოფიდან, რაც ნიშნავს x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

შემდეგი ფესვის პოვნის შემდეგ, რომელიც უდრის - 1-ს, მივიღებთ შემდეგს:

პასუხი: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.

მაგალითი 2

მდგომარეობა:ამოხსენით განტოლება x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

გამოსავალი

თავისუფალ წევრს აქვს გამყოფები 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .

მოდით შევამოწმოთ ისინი თანმიმდევრობით:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

ასე რომ, x = 2 იქნება განტოლების ფესვი. გაყავით x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 x - 2-ზე ჰორნერის სქემის გამოყენებით:

შედეგად ვიღებთ x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

ასე რომ, 2 კვლავ იქნება ფესვი. გაყავით x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 x - 2-ზე:

შედეგად, ვიღებთ (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

დარჩენილი გამყოფების შემოწმებას აზრი არ აქვს, რადგან ტოლობა x 2 + 3 x + 3 = 0 უფრო სწრაფი და მოსახერხებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით ამოსახსნელად.

მოდით ამოხსნათ კვადრატული განტოლება:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

ვიღებთ ფესვების რთულ კონიუგატ წყვილს: x = - 3 2 ± i 3 2 .

უპასუხე: x = - 3 2 ± i 3 2 .

მაგალითი 3

მდგომარეობა:იპოვეთ რეალური ფესვები განტოლებისთვის x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

გამოსავალი

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

ჩვენ ვასრულებთ განტოლების ორივე ნაწილის 2 3 გამრავლებას:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

ჩვენ ვცვლით ცვლადებს y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

შედეგად მივიღეთ მე-4 ხარისხის სტანდარტული განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია სტანდარტული სქემის მიხედვით. მოდით შევამოწმოთ გამყოფები, გავყოთ და საბოლოოდ მივიღებთ, რომ მას აქვს 2 რეალური ფესვი y \u003d - 2, y \u003d 3 და ორი რთული. ჩვენ აქ არ წარმოგიდგენთ სრულ გადაწყვეტას. ჩანაცვლების ძალით, ამ განტოლების რეალური ფესვები იქნება x = y 2 = - 2 2 = - 1 და x = y 2 = 3 2 .

პასუხი: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter