უტოლობების ამოხსნის უნივერსალურ მეთოდად ითვლება ინტერვალების მეთოდი. ეს არის მისი გამოყენების უმარტივესი გზა კვადრატული უტოლობების გადასაჭრელად ერთი ცვლადით. ამ მასალაში განვიხილავთ კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ინტერვალის მეთოდის გამოყენების ყველა ასპექტს. მასალის ათვისების გასაადვილებლად, განვიხილავთ სხვადასხვა ხარისხის სირთულის მაგალითების დიდ რაოდენობას.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ინტერვალის მეთოდის გამოყენების ალგორითმი
განვიხილოთ ინტერვალის მეთოდის გამოყენების ალგორითმი ადაპტირებული ვერსიაში, რომელიც შესაფერისია კვადრატული უტოლობების გადასაჭრელად. სწორედ ინტერვალის მეთოდის ამ ვერსიით ეცნობიან მოსწავლეებს ალგებრის გაკვეთილებს. ნუ გავართულებთ ამოცანას და ჩვენ.
მოდით გადავიდეთ თავად ალგორითმზე.
გვაქვს კვადრატული ტრინომი a x 2 + b x + c კვადრატული უტოლობის მარცხენა მხრიდან. ამ ტრინომიდან ვპოულობთ ნულებს.
დახაზეთ კოორდინატთა ხაზი კოორდინატულ სისტემაში. ჩვენ მასზე ვნიშნავთ ფესვებს. მოხერხებულობისთვის, ჩვენ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ მკაცრი და არამკაცრი უთანასწორობის წერტილების აღნიშვნის სხვადასხვა გზები. შევთანხმდეთ, რომ მკაცრი უტოლობის ამოხსნისას კოორდინატებს „ცარიელი“ წერტილებით აღვნიშნავთ, ხოლო ჩვეულებრივი წერტილებით – არამკაცრს. წერტილების მონიშვნით ვიღებთ რამდენიმე უფსკრული კოორდინატთა ღერძზე.
თუ პირველ ეტაპზე ჩვენ ვიპოვეთ ნულები, მაშინ ჩვენ განვსაზღვრავთ ტრინომის მნიშვნელობების ნიშნებს თითოეული მიღებული ინტერვალისთვის. თუ ჩვენ არ მივიღეთ ნულები, მაშინ ამ მოქმედებას ვასრულებთ მთელი რიცხვითი ხაზისთვის. ხარვეზებს აღვნიშნავთ ნიშნებით „+“ ან „-“.
გარდა ამისა, დაჩრდილვას შემოვიტანთ იმ შემთხვევებში, როდესაც უტოლობას ვხსნით ნიშნებით > ან ≥ და< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
ტრინომის მნიშვნელობების ნიშნების მონიშვნით და სეგმენტებზე გამოჩეკით ვიღებთ გარკვეული რიცხვითი სიმრავლის გეომეტრიულ გამოსახულებას, რომელიც რეალურად არის უტოლობის ამოხსნა. ჩვენ უბრალოდ უნდა დავწეროთ პასუხი.
მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ ალგორითმის მესამე საფეხურზე, რომელიც გულისხმობს უფსკრულის ნიშნის განსაზღვრას. ნიშნების განსაზღვრის რამდენიმე გზა არსებობს. მოდით განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით, დაწყებული ყველაზე ზუსტი, თუმცა არა ყველაზე სწრაფი. ეს მეთოდი გულისხმობს ტრინომის მნიშვნელობების გამოთვლას მიღებული ინტერვალების რამდენიმე წერტილში.
მაგალითი 1
მაგალითად, აიღეთ ტრინომი x 2 + 4 · x − 5.
ამ ტრინომის 1 და -5 ფესვები ყოფს კოორდინატთა ღერძს სამ ინტერვალად (− ∞ , − 5), (− 5 , 1) და (1 , + ∞) .
დავიწყოთ ინტერვალით (1 , + ∞) . იმისათვის, რომ საკუთარი თავისთვის დავალება გავამარტივოთ, ავიღოთ x \u003d 2. ვიღებთ 2 2 + 4 2 − 5 = 7 .
7 დადებითი რიცხვია. ეს ნიშნავს, რომ ამ კვადრატული ტრინომის მნიშვნელობები ინტერვალზე (1, + ∞) დადებითია და ის შეიძლება აღინიშნოს "+" ნიშნით.
ინტერვალის ნიშნის დასადგენად (− 5 , 1) ვიღებთ x = 0 . გვაქვს 0 2 + 4 0 − 5 = − 5 . ინტერვალის ზემოთ ვსვამთ "-" ნიშანს.
(− ∞ , − 5) ინტერვალისთვის ვიღებთ x = − 6 , ვიღებთ (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 . ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ინტერვალს "+" ნიშნით.
გაცილებით სწრაფია ნიშნების დადგენა შემდეგი ფაქტების გათვალისწინებით.
დადებითი დისკრიმინანტით, კვადრატული ტრინომი ორი ფესვით იძლევა მისი მნიშვნელობების ნიშნების მონაცვლეობას იმ ინტერვალებზე, რომლებშიც რიცხვითი ღერძი იყოფა ამ ტრინომის ფესვებით. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ არ უნდა განვსაზღვროთ ნიშნები თითოეული ინტერვალისთვის. საკმარისია ერთის გამოთვლების ჩატარება და დანარჩენისთვის ნიშნების დადება, მონაცვლეობის პრინციპის გათვალისწინებით.
თუ სასურველია, შეგიძლიათ გააკეთოთ გათვლების გარეშე, დასკვნების გამოტანა ნიშნების შესახებ წამყვანი კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან. თუ a > 0 , მაშინ მივიღებთ სიმბოლოების თანმიმდევრობას + , − , + და თუ a< 0 – то − , + , − .
ერთი ფესვის მქონე კვადრატული ტრინომებისთვის, როდესაც დისკრიმინანტი არის ნული, ვიღებთ ორ უფსკრული კოორდინატთა ღერძზე იგივე ნიშნებით. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიშანს ერთ-ერთი ინტერვალისთვის და იგივე ვაყენებთ მეორეს.
აქ ასევე გამოვიყენებთ ნიშნის განსაზღვრის მეთოდს a კოეფიციენტის სიდიდეზე დაყრდნობით: თუ a > 0 , მაშინ იქნება + , + და თუ a< 0 , то − , − .
თუ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები, მაშინ მისი მნიშვნელობების ნიშნები მთელი კოორდინატთა ხაზისთვის ემთხვევა როგორც წამყვანი კოეფიციენტის a ნიშანს, ასევე თავისუფალი ტერმინის c ნიშანს.
მაგალითად, თუ ავიღებთ კვადრატულ ტრინომს - 4 x 2 - 7, მას ფესვები არ აქვს (მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია). x 2-ზე კოეფიციენტი არის უარყოფითი რიცხვი - 4, ხოლო თავისუფალი წევრი - 7 ასევე უარყოფითია. ეს ნიშნავს, რომ ინტერვალზე (− ∞ , + ∞) მისი მნიშვნელობები უარყოფითია.
განვიხილოთ კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მაგალითები ზემოთ განხილული ალგორითმის გამოყენებით.
მაგალითი 2
ამოხსენით უტოლობა 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 .
გამოსავალი
უტოლობის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ტრინომის ფესვებს 8 · x 2 − 4 · x − 1 . იმის გამო, რომ x-ზე კოეფიციენტი ლუწია, ჩვენთვის უფრო მოსახერხებელი იქნება გამოვთვალოთ არა დისკრიმინანტი, არამედ დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი: D " = (− 2) 2 − 8 (− 1) = 12.
დისკრიმინანტი ნულზე მეტია. ეს საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ორი ფესვი: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 და x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . გაითვალისწინეთ ეს მნიშვნელობები რიცხვთა ხაზში. ვინაიდან განტოლება არ არის მკაცრი, ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ წერტილებს გრაფიკზე.
ახლა ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით განვსაზღვრავთ მიღებული სამი ინტერვალის ნიშანს. კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის 8-ს, ანუ დადებითია, შესაბამისად, ნიშნების თანმიმდევრობა იქნება + , − , + .
ვინაიდან უტოლობას ვხსნით ≥ ნიშნით, უფსკრულის გამოჩეკვას ვხატავთ პლიუს ნიშნებით: 
მიღებული გრაფიკული გამოსახულების მიხედვით ანალიზურად ჩამოვწეროთ რიცხვითი სიმრავლე. ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება ორი გზით:
პასუხი:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ან x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
მაგალითი 3
ამოხსენით კვადრატული უტოლობა - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
გამოსავალი
ჯერ ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები უტოლობის მარცხენა მხრიდან:
D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7
ეს არის მკაცრი უთანასწორობა, ამიტომ ჩვენ ვიყენებთ "ცარიელ" წერტილს გრაფიკზე. კოორდინატით 7 .
ახლა უნდა განვსაზღვროთ ნიშნები მიღებულ ინტერვალებზე (− ∞ , 7) და (7 , + ∞) . ვინაიდან კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ხოლო წამყვანი კოეფიციენტი უარყოფითია, ჩვენ ჩამოვთვლით − , − ნიშანს:
ვინაიდან ჩვენ ვხსნით ხელმოწერილ უტოლობას< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
ამ შემთხვევაში ამონახსნები ორივე ინტერვალია (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
პასუხი:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ≠ 7 .
მაგალითი 4
არის თუ არა კვადრატული უტოლობა x 2 + x + 7< 0 решения?
გამოსავალი
ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები უტოლობის მარცხენა მხრიდან. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27. დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.
გრაფიკული გამოსახულება გამოიყურება როგორც რიცხვითი ხაზი, მასზე მონიშნული წერტილების გარეშე.
მოდით განვსაზღვროთ კვადრატული ტრინომის მნიშვნელობების ნიშანი. დ< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიკვლიოთ ხარვეზებზე „-“ ნიშნით. მაგრამ ჩვენ არ გვაქვს ასეთი ხარვეზები. ასე რომ, ნახატი ასე გამოიყურება:
გამოთვლების შედეგად მივიღეთ ცარიელი ნაკრები. ეს ნიშნავს, რომ ამ კვადრატულ უტოლობას არ აქვს გამოსავალი.
პასუხი:არა.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
უძველესი დროიდან პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას საჭირო იყო ღირებულებებისა და რაოდენობების შედარება. ამავდროულად გაჩნდა ისეთი სიტყვები, როგორიცაა მეტი და ნაკლები, უფრო მაღალი და ქვედა, მსუბუქი და მძიმე, უფრო მშვიდი და ხმამაღალი, იაფი და ძვირი და ა.შ., რაც ერთგვაროვანი რაოდენობების შედარების შედეგებს აღნიშნავს.
ცნებები მეტი და ნაკლები წარმოიშვა საგნების დათვლასთან, სიდიდეების გაზომვასთან და შედარებასთან დაკავშირებით. მაგალითად, ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა იცოდნენ, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე და რომ სამკუთხედის დიდი გვერდი უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროდ მდებარეობს. არქიმედესმა წრის გარშემოწერილობის გამოთვლისას აღმოაჩინა, რომ ნებისმიერი წრის პერიმეტრი უდრის სამჯერ დიამეტრს, ჭარბი, რომელიც დიამეტრის მეშვიდეზე ნაკლებია, მაგრამ დიამეტრის ათ სამოცდათერთმეტზე მეტი.
სიმბოლურად დაწერეთ ურთიერთობები რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის > და b ნიშნების გამოყენებით. ჩანაწერები, რომლებშიც ორი რიცხვი დაკავშირებულია ერთ-ერთი ნიშნით: > (უფრო მეტი), დაწყებით კლასებშიც შეგხვდათ რიცხვითი უტოლობები. თქვენ იცით, რომ უთანასწორობა შეიძლება იყოს ან არ იყოს ჭეშმარიტი. მაგალითად, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) არის სწორი რიცხვითი უტოლობა, 0.23 > 0.235 არის არასწორი რიცხვითი უტოლობა.
უტოლობები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს, შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი უცნობის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და მცდარი სხვებისთვის. მაგალითად, უტოლობა 2x+1>5 მართალია x = 3-ისთვის, მაგრამ მცდარია x = -3-ისთვის. უტოლობისთვის ერთ უცნობისთან, შეგიძლიათ დააყენოთ დავალება: ამოხსნათ უტოლობა. პრაქტიკაში უტოლობების ამოხსნის ამოცანები დასმული და გადაწყვეტილია არანაკლებ ხშირად, ვიდრე განტოლებების ამოხსნის ამოცანები. მაგალითად, მრავალი ეკონომიკური პრობლემა მცირდება წრფივი უტოლობების სისტემების შესწავლასა და გადაწყვეტაზე. მათემატიკის ბევრ დარგში უტოლობები უფრო ხშირია, ვიდრე განტოლებები.
ზოგიერთი უტოლობა ერთადერთი დამხმარე საშუალებაა გარკვეული ობიექტის არსებობის დასამტკიცებლად ან უარყოფისთვის, მაგალითად, განტოლების ფესვი.
რიცხვითი უტოლობები
შეგიძლიათ შეადაროთ მთელი რიცხვები და ათწილადები. იცოდეთ ერთი და იგივე მნიშვნელის, მაგრამ განსხვავებული მრიცხველის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შედარების წესები; ერთი და იგივე მრიცხველებით, მაგრამ განსხვავებული მნიშვნელებით. აქ თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეადაროთ ნებისმიერი ორი რიცხვი მათი განსხვავების ნიშნის აღმოჩენით.
რიცხვების შედარება ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში. მაგალითად, ეკონომისტი ადარებს დაგეგმილ მაჩვენებლებს რეალურს, ექიმი ადარებს პაციენტის ტემპერატურას ნორმალურთან, ტურნერი ადარებს დამუშავებული ნაწილის ზომებს სტანდარტს. ყველა ასეთ შემთხვევაში შედარებულია ზოგიერთი რიცხვი. რიცხვების შედარების შედეგად წარმოიქმნება რიცხვითი უტოლობები.
განმარტება.რიცხვი a მეტია b რიცხვზე, თუ განსხვავება a-b დადებითია. რიცხვი a ნაკლებია b რიცხვზე, თუ განსხვავება a-b უარყოფითია.
თუ a მეტია b-ზე, მაშინ წერენ: a > b; თუ a ნაკლებია b-ზე, მაშინ წერენ: a ამრიგად, უტოლობა a > b ნიშნავს, რომ სხვაობა a - b დადებითია, ე.ი. a - b > 0. უტოლობა a ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის a და b შემდეგი სამი მიმართებიდან a > b, a = b, a თეორემა.თუ a > b და b > c, მაშინ a > c.
თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
შედეგი.ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით.
თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია იმავე დადებით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლდა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
შედეგი.თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა ერთნაირი დადებითი რიცხვით, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
თქვენ იცით, რომ რიცხვითი ტოლობები შეიძლება დაემატოს და გავამრავლოთ ტერმინით. შემდეგი, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეასრულოთ მსგავსი მოქმედებები უტოლობებით. პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება უტოლობების ტერმინით ტერმინით დამატებისა და გამრავლების უნარი. ეს მოქმედებები დაგეხმარებათ გადაჭრათ გამოხატვის მნიშვნელობების შეფასებისა და შედარების პრობლემები.
სხვადასხვა ამოცანის ამოხსნისას ხშირად საჭიროა უტოლობათა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ტერმინით დამატება ან გამრავლება. ზოგჯერ ამბობენ, რომ უტოლობები ემატება ან მრავლდება. მაგალითად, თუ ტურისტმა პირველ დღეს გაიარა 20 კმ-ზე მეტი, ხოლო მეორე დღეს 25 კმ-ზე მეტი, მაშინ შეიძლება იმის მტკიცება, რომ ორ დღეში მან 45 კმ-ზე მეტი გაიარა. ანალოგიურად, თუ მართკუთხედის სიგრძე 13 სმ-ზე ნაკლებია, ხოლო სიგანე 5 სმ-ზე ნაკლები, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ამ მართკუთხედის ფართობი 65 სმ2-ზე ნაკლებია.
ამ მაგალითების განხილვისას შემდეგი თეორემები უტოლობების შეკრებისა და გამრავლების შესახებ:
თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების შეკრებისას ვიღებთ იმავე ნიშნის უტოლობას: თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d.
თეორემა.ერთი და იმავე ნიშნის უტოლობების გამრავლებისას, რომლის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები დადებითია, მიიღება ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობა: თუ a > b, c > d და a, b, c, d დადებითი რიცხვებია, მაშინ ac >. ბდ.
უტოლობები ნიშნით > (უფრო მეტი) და 1/2, 3/4 b, c მკაცრი უტოლობის ნიშნებთან ერთად > და ანალოგიურად, უტოლობა \(a \geq b \) ნიშნავს, რომ რიცხვი a მეტია. b-ზე ან ტოლია, ანუ და არანაკლებ b.
\(\geq \) ნიშნის ან \(\leq \) ნიშნის შემცველ უტოლობას უწოდებენ არამკაცრს. მაგალითად, \(18 \geq 12, \; 11 \leq 12 \) არ არის მკაცრი უტოლობები.
მკაცრი უტოლობების ყველა თვისება ასევე მოქმედებს არამკაცრ უტოლობაზე. უფრო მეტიც, თუ მკაცრი უტოლობებისთვის ნიშნები > საპირისპიროდ ჩაითვალა და თქვენ იცით, რომ რიგი გამოყენებითი ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეადგინოთ მათემატიკური მოდელი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის სახით. გარდა ამისა, თქვენ შეიტყობთ, რომ მრავალი პრობლემის გადაჭრის მათემატიკური მოდელები არის უტოლობები უცნობებთან. ჩვენ გავაცნობთ უტოლობის ამოხსნის ცნებას და ვაჩვენებთ, როგორ შევამოწმოთ არის თუ არა მოცემული რიცხვი კონკრეტული უტოლობის ამოხსნა.
ფორმის უტოლობები
\(ax > b, \quad ax სადაც a და b მოცემულია რიცხვები და x უცნობია, ეწოდება წრფივი უტოლობა ერთი უცნობით.
განმარტება.უტოლობის ამოხსნა ერთ უცნობთან არის უცნობის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ეს უტოლობა გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. უთანასწორობის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამოხსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.
თქვენ ამოხსნით განტოლებებს უმარტივეს განტოლებამდე მათი შემცირებით. ანალოგიურად, უტოლობების ამოხსნისას, მიდრეკილია მათი შემცირება თვისებების დახმარებით უმარტივესი უტოლობების სახით.
მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნა ერთი ცვლადით
ფორმის უტოლობები
\(ax^2+bx+c >0 \) და \(ax^2+bx+c სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \) ეწოდება მეორე ხარისხის უტოლობები ერთი ცვლადით.
უტოლობის ამოხსნა
\(ax^2+bx+c >0 \) ან \(ax^2+bx+c \) შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ხარვეზების პოვნა, სადაც ფუნქცია \(y= ax^2+bx+c \) დადებითია. ან უარყოფითი მნიშვნელობები ამისათვის საკმარისია გავაანალიზოთ, თუ როგორ მდებარეობს \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეში: სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები - ზემოთ ან ქვემოთ. , კვეთს თუ არა პარაბოლა x ღერძს და თუ კვეთს, მაშინ რომელ წერტილებზე.
მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ერთი ცვლადით:
1) იპოვეთ \(ax^2+bx+c \) კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი და გაარკვიეთ აქვს თუ არა ტრინომს ფესვები;
2) თუ ტრინომს აქვს ფესვები, მაშინ მონიშნეთ ისინი x ღერძზე და სქემატურად დახაზეთ პარაბოლა მონიშნულ წერტილებში, რომელთა ტოტები მიმართულია ზევით > 0-ზე ან ქვევით 0-ზე ან ბოლოში 3) იპოვეთ ხარვეზები x ღერძზე, რომლისთვისაც წერტილების პარაბოლები განლაგებულია x ღერძის ზემოთ (თუ ისინი ამოხსნიან უტოლობას \(ax^2+bx+c >0 \)) ან x ღერძის ქვემოთ (თუ ისინი ხსნიან უტოლობას
\(ax^2+bx+c უტოლობების ამოხსნა ინტერვალების მეთოდით
განიხილეთ ფუნქცია
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა რიცხვის ნაკრები. ფუნქციის ნულები არის რიცხვები -2, 3, 5. ისინი ყოფენ ფუნქციის დომენს \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) ინტერვალებად. ) \) და \( (5; +\infty)\)
მოდით გავარკვიოთ, რა არის ამ ფუნქციის ნიშნები თითოეულ მითითებულ ინტერვალში.
გამოხატულება (x + 2) (x - 3) (x - 5) არის სამი ფაქტორის ნამრავლი. თითოეული ამ ფაქტორის ნიშანი განხილულ ინტერვალებში მითითებულია ცხრილში:
ზოგადად, ფუნქცია მოცემულია ფორმულით
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
სადაც x არის ცვლადი და x 1, x 2, ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები. რიცხვები x 1 , x 2 , ..., x n არის ფუნქციის ნულები. თითოეულ ინტერვალში, რომლებშიც განსაზღვრების დომენი იყოფა ფუნქციის ნულებით, ფუნქციის ნიშანი შენარჩუნებულია და ნულზე გავლისას იცვლება მისი ნიშანი.
ეს თვისება გამოიყენება ფორმის უტოლობების გადასაჭრელად
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) სადაც x 1 , x 2 , ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები
განხილული მეთოდი უტოლობების ამოხსნას ინტერვალების მეთოდს უწოდებენ.
მოვიყვანოთ უტოლობების ინტერვალის მეთოდით ამოხსნის მაგალითები.
ამოხსენით უტოლობა:
\(x(0.5-x)(x+4) ცხადია, f(x) = x(0.5-x)(x+4) ფუნქციის ნულები არის წერტილები \frac(1)(2) , \; x=-4 \)ჩვენ გამოვსახავთ ფუნქციის ნულებს რეალურ ღერძზე და გამოვთვლით ნიშანს თითოეულ ინტერვალზე:
ვირჩევთ იმ ინტერვალებს, რომლებზედაც ფუნქცია არის ნულის ტოლი ან ნაკლები და ვწერთ პასუხს.
პასუხი:
\(x \in \ მარცხნივ (-\infty; \; 1 \მარჯვნივ) \თასი \მარცხნივ[ 4; \; +\infty \მარჯვნივ) \)
გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „კვადრატული უტოლობა, ამონახსნების მაგალითები“
დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.
სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-9 კლასისთვის
ელექტრონული სახელმძღვანელო „გასაგები გეომეტრია“ 7-9 კლასებისთვის
საგანმანათლებლო კომპლექსი 1C: "გეომეტრია, მე-9 კლასი"
ბიჭებო, ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები. ახლა ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ კვადრატული უტოლობა.
კვადრატული უტოლობამსგავს უტოლობას ეწოდება:
$ax^2+bx+c>0$.
უტოლობის ნიშანი შეიძლება იყოს ნებისმიერი, a, b, c კოეფიციენტები ნებისმიერი რიცხვია ($a≠0$).
ყველა წესი, რომელიც ჩვენ განვსაზღვრეთ წრფივი უტოლობებისთვის, აქაც მუშაობს. გაიმეორეთ ეს წესები თავად!
შემოვიღოთ კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წესი:
თუ $ax^2+bx+c$ ტრინომილს აქვს უარყოფითი დისკრიმინანტი, მაშინ თუ ჩავანაცვლებთ x-ის რომელიმე მნიშვნელობას, ტრინომის ნიშანი იგივე იქნება, რაც a კოეფიციენტის y-ის ნიშანი.
კვადრატული უტოლობის ამოხსნის მაგალითები
შეიძლება ამოხსნას გრაფიკების ან ინტერვალების შედგენით. ვნახოთ უტოლობების ამოხსნის მაგალითები.მაგალითები.
1. ამოხსენით უტოლობა: $x^2-2x-8
გამოსავალი:
იპოვეთ $x^2-2x-8=0$ განტოლების ფესვები.
$x_1=4$ და $x_2=-2$.
გამოვსახოთ კვადრატული განტოლება. აბსცისის ღერძი იკვეთება 4 და -2 წერტილებზე. 2. ამოხსენით უტოლობა: $5x-6 გამოსავალი: ავაშენოთ კვადრატული განტოლების გრაფიკი, აბსცისის ღერძი იკვეთება 2 და 3 წერტილებზე. 3. ამოხსენით უტოლობა: $2^2+2x+1≥0$. გამოსავალი: 4. ამოხსენით უტოლობა: $x^2+x-2 ეს სტატია შეიცავს მასალას თემაზე " კვადრატული უტოლობების ამოხსნა". ჯერ ნაჩვენებია რა არის კვადრატული უტოლობა ერთ ცვლადთან, მოცემულია მათი ზოგადი ფორმა. შემდეგ კი დეტალურად არის გაანალიზებული, თუ როგორ უნდა ამოხსნას კვადრატული უტოლობა. ნაჩვენებია ამოხსნის ძირითადი მიდგომები: გრაფიკული მეთოდი, ინტერვალების მეთოდი და უტოლობის მარცხენა მხარეს ბინომის კვადრატის ხაზგასმა. მოცემულია ტიპიური მაგალითების გადაწყვეტილებები. გვერდის ნავიგაცია. ბუნებრივია, სანამ კვადრატული უტოლობების ამოხსნაზე ვისაუბრებთ, ნათლად უნდა გვესმოდეს, რა არის კვადრატული უტოლობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა შეგეძლოთ განასხვავოთ კვადრატული უტოლობები სხვა ტიპის უტოლობებისაგან ჩანაწერის ტიპის მიხედვით. განმარტება.
კვადრატული უთანასწორობაარის a x 2 +b x+c ფორმის უტოლობა<0
(вместо знака >შეიძლება არსებობდეს ნებისმიერი სხვა უტოლობის ნიშანი ≤, >, ≥), სადაც a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი, და a≠0 და x არის ცვლადი (ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი სხვა ასოთი). მოდით დაუყოვნებლივ მივცეთ სხვა სახელი კვადრატულ უტოლობებს - მეორე ხარისხის უთანასწორობა. ეს სახელი აიხსნება იმით, რომ უტოლობების მარცხენა მხარეს x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». თქვენ ასევე შეგიძლიათ ხანდახან გაიგოთ, რომ კვადრატულ უტოლობას უწოდებენ კვადრატულ უტოლობას. ეს მთლად სწორი არ არის: „კვადრატულის“ განმარტება ეხება y=a x 2 +b x+c ფორმის განტოლებით მოცემულ ფუნქციებს. ასე რომ, არსებობს კვადრატული უტოლობა და კვადრატული ფუნქციები, მაგრამ არა კვადრატული უტოლობები. ვნახოთ კვადრატული უტოლობების რამდენიმე მაგალითი: 5 x 2 −3 x+1>0 , აქ a=5 , b=−3 და c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, ამ კვადრატული უტოლობის კოეფიციენტებია a=−2,2 , b=−0,5 და c=−11 ; , ამ შემთხვევაში გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული უტოლობის განსაზღვრისას x 2-ზე a კოეფიციენტი ითვლება არა ნულოვანი. ეს გასაგებია, a კოეფიციენტის ტოლობა ნულამდე რეალურად „ამოიღებს“ კვადრატს და საქმე გვექნება b x + c>0 ფორმის წრფივ უტოლობასთან ცვლადის კვადრატის გარეშე. მაგრამ b და c კოეფიციენტები შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, როგორც ცალკე, ისე ერთდროულად. აი ასეთი კვადრატული უტოლობების მაგალითები: x 2 −5≥0 , აქ კოეფიციენტი b ცვლადის x უდრის ნულს; −3 x 2 −0,6 x<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 და b და c არის ნული. ახლა თქვენ შეიძლება გაგიკვირდეთ კითხვამ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ კვადრატული უტოლობა. ძირითადად, სამი ძირითადი მეთოდი გამოიყენება გადაჭრისთვის: მოდით, დაუყოვნებლივ გავაკეთოთ დათქმა, რომ კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდს, რომლის განხილვას ვიწყებთ, ალგებრის სასკოლო სახელმძღვანელოებში გრაფიკული არ არის. თუმცა, არსებითად, ეს არის ის, რაც არის. უფრო მეტიც, პირველი გაცნობა უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული გზაჩვეულებრივ იწყება, როდესაც ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა ამოხსნას კვადრატული უტოლობა. კვადრატული უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული ხერხი a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) არის y=a x 2 +b x+c კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის ანალიზი, რათა ვიპოვოთ ის ინტერვალები, რომლებშიც მითითებული ფუნქცია იღებს უარყოფით, დადებით, არადადებით ან არაუარყოფით მნიშვნელობებს. ეს ინტერვალები ქმნიან a x 2 +b x+c კვადრატული უტოლობების ამონახსნებს.<0
, a·x 2 +b·x+c>0, x 2 +b x+c≤0 და x 2 +b x+c≥0 შესაბამისად. კვადრატული უტოლობების ერთი ცვლადით ამოსახსნელად, გრაფიკული მეთოდის გარდა, საკმაოდ მოსახერხებელია ინტერვალის მეთოდი, რომელიც თავისთავად ძალიან მრავალმხრივია და შესაფერისია არა მხოლოდ კვადრატული, არამედ სხვადასხვა უტოლობების ამოსახსნელად. მისი თეორიული მხარე მდგომარეობს მე-8, მე-9 კლასების ალგებრის კურსის მიღმა, როდესაც ისინი სწავლობენ კვადრატული უტოლობების ამოხსნას. აქედან გამომდინარე, აქ არ შევალთ ინტერვალის მეთოდის თეორიულ დასაბუთებაზე, არამედ გავამახვილებთ ყურადღებას იმაზე, თუ როგორ იხსნება კვადრატული უტოლობები მისი დახმარებით. ინტერვალის მეთოდის არსი კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მიმართ a x 2 +b x + c<0
(≤, >, ≥), მოიცავს იმ ნიშნების განსაზღვრას, რომლებსაც აქვთ კვადრატული ტრინომის a x 2 + b x + c მნიშვნელობები იმ ინტერვალებზე, რომლებშიც კოორდინატთა ღერძი იყოფა ამ ტრინომის ნულებზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). მინუს ნიშნებით უფსკრული ადგენს a x 2 +b x+c კვადრატული უტოლობის ამონახსნებს.<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , ხოლო არამკაცრი უტოლობების ამოხსნისას მითითებულ ინტერვალებს ემატება ტრინომის ნულების შესაბამისი წერტილები. თქვენ შეგიძლიათ გაეცნოთ ამ მეთოდის ყველა დეტალს, მის ალგორითმს, ინტერვალებზე ნიშნების განთავსების წესებს და განიხილოთ მზა გადაწყვეტილებები ტიპიური მაგალითებისთვის მოცემული ილუსტრაციებით, სტატიის მასალის მითითებით, რომელიც ხსნის კვადრატულ უტოლობას ინტერვალით. მეთოდი. გარდა გრაფიკული მეთოდისა და ინტერვალის მეთოდისა, არსებობს სხვა მიდგომები, რომლებიც იძლევა კვადრატული უტოლობების ამოხსნის საშუალებას. და მივედით ერთ-ერთ მათგანთან, რომელიც ეფუძნება ბინომის კვადრატშიკვადრატული უტოლობის მარცხენა მხარეს. კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ამ მეთოდის პრინციპია უტოლობის ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულება, რაც საშუალებას გაძლევთ გადავიდეთ (x−p) 2 ფორმის ეკვივალენტური უტოლობის ამოხსნაზე. და როგორ ხდება გადასვლა უტოლობაზე (x−p) 2 პრაქტიკაში, ძალიან ხშირად უწევს საქმე უტოლობებს, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს x 2 +b x + c ფორმის კვადრატულ უტოლობამდე ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით.<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. დავიწყოთ უმარტივესი უტოლობების მაგალითებით, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს კვადრატამდე. ზოგჯერ კვადრატულ უტოლობაზე გადასასვლელად საკმარისია ამ უტოლობაში ტერმინების გადალაგება ან ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანა. მაგალითად, თუ ყველა წევრს 5≤2 x−3 x 2 უტოლობის მარჯვენა მხრიდან გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, მაშინ მივიღებთ კვადრატულ უტოლობას ზემოთ მითითებული სახით 3 x 2 −2 x+5≤0. . კიდევ ერთი მაგალითი: 5+0,6 x 2 −x უტოლობის გადაწყობა მარცხენა მხარეს<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. სკოლაში, ალგებრის გაკვეთილებზე, როდესაც სწავლობენ კვადრატული უტოლობების ამოხსნას, ერთდროულად უმკლავდებიან რაციონალური უტოლობების ამოხსნაკვადრატამდე შემცირება. მათი ამოხსნა გულისხმობს ყველა ტერმინის მარცხენა მხარეს გადატანას იქ წარმოქმნილი გამოხატვის შემდგომი გარდაქმნით x 2 +b x + c სახით შესრულებით. განვიხილოთ მაგალითი. მაგალითი. იპოვეთ უტოლობის ამონახსნების ნაკრები 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.ირაციონალური უთანასწორობა ბიბლიოგრაფია. საშუალო დონე იმის გასარკვევად, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები, უნდა გავარკვიოთ, რა არის კვადრატული ფუნქცია და რა თვისებები აქვს მას. ნამდვილად გაინტერესებთ, რატომ არის საჭირო კვადრატული ფუნქცია საერთოდ? სად გამოიყენება მისი გრაფიკი (პარაბოლა)? დიახ, თქვენ უბრალოდ უნდა მიმოიხედოთ ირგვლივ და შეამჩნევთ, რომ ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხვდებით მას. შეგიმჩნევიათ როგორ დაფრინავს ნასროლი ბურთი ფიზიკურ აღზრდაში? "რკალში"? ყველაზე სწორი პასუხი იქნება "პარაბოლაში"! და რა ტრაექტორიით მოძრაობს ჭავლი შადრევანში? დიახ, პარაბოლაშიც! და როგორ დაფრინავს ტყვია ან ჭურვი? ასეა, პარაბოლაშიც! ამრიგად, კვადრატული ფუნქციის თვისებების ცოდნით, შესაძლებელი იქნება მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადაჭრა. მაგალითად, რა კუთხით უნდა გაისროლოს ბურთი, რომ მაქსიმალური დიაპაზონი იყოს? ან სად დამთავრდებოდა ჭურვი გარკვეული კუთხით გასროლის შემთხვევაში? და ა.შ. ასე რომ, მოდით გაერკვნენ. Მაგალითად, . რა არის აქ ტოლი და? კარგად, რა თქმა უნდა და! თუ, ე.ი. ნულზე ნაკლები? რა თქმა უნდა, ჩვენ "სევდიანი" ვართ, რაც ნიშნავს, რომ ტოტები ქვემოთ იქნება მიმართული! მოდით შევხედოთ სქემას. ეს ფიგურა გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს. ვინაიდან, ე.ი. ნულზე ნაკლები, პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვემოთ. გარდა ამისა, თქვენ ალბათ უკვე შენიშნეთ, რომ ამ პარაბოლის ტოტები კვეთენ ღერძს, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს 2 ფესვი და ფუნქცია იღებს როგორც დადებით, ასევე უარყოფით მნიშვნელობებს! თავიდანვე, როცა კვადრატული ფუნქციის განმარტებას ვაძლევდით, ითქვა, რომ და არის რამდენიმე რიცხვი. შეიძლება ისინი ნულის ტოლი იყოს? რა თქმა უნდა, მათ შეუძლიათ! კიდევ უფრო დიდ საიდუმლოსაც კი გავამხელ (რაც საიდუმლო სულაც არ არის, მაგრამ აღნიშვნის ღირსია): ამ ციფრებზე (და) შეზღუდვები საერთოდ არ არის დაწესებული! აბა, ვნახოთ, რა დაემართება გრაფიკებს, თუ ნულის ტოლია. როგორც ხედავთ, განხილული ფუნქციების (u) გრაფიკები გადაინაცვლა ისე, რომ მათი წვეროები ახლა არის კოორდინატებთან, ანუ ღერძების გადაკვეთაზე და ეს არ იმოქმედებს ტოტების მიმართულებაზე. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ისინი პასუხისმგებელნი არიან პარაბოლის გრაფიკის „მოძრაობაზე“ კოორდინატთა სისტემის გასწვრივ. ფუნქციის გრაფიკი ეხება ღერძს წერტილში. ასე რომ, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ამრიგად, ფუნქცია იღებს ნულზე მეტ ან ტოლ მნიშვნელობებს. იგივე ლოგიკას მივყვებით ფუნქციის გრაფიკით. ის ერთ წერტილში ეხება x ღერძს. ასე რომ, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ამრიგად, ფუნქცია იღებს მნიშვნელობებს ნულზე ნაკლები ან ტოლი, ანუ. ამრიგად, გამოხატვის ნიშნის დასადგენად, პირველი რაც უნდა გააკეთოთ არის განტოლების ფესვების პოვნა. ეს ძალიან გამოგვადგება. ასეთი უტოლობების ამოხსნისას დაგვჭირდება იმის უნარი, განვსაზღვროთ სად არის კვადრატული ფუნქცია მეტი, ნაკლები ან ნულის ტოლი. ანუ: თუ უტოლობა არ არის მკაცრი (და), მაშინ ფესვები (პარაბოლას ღერძთან გადაკვეთის კოორდინატები) შედის სასურველ რიცხვობრივ ინტერვალში, მკაცრი უტოლობებით ისინი გამორიცხულია. ეს ყველაფერი საკმაოდ ფორმალიზებულია, მაგრამ არ დაიდარდოთ და შეგეშინდეთ! ახლა მოდით გადავხედოთ მაგალითებს და ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება. კვადრატული უტოლობების ამოხსნისას ჩვენ დავიცავთ ზემოთ მოცემულ ალგორითმს და აუცილებლად მივაღწევთ წარმატებას! Გავიგე? მაშინ დამაგრდი წინ! მაგალითი: კარგად, მუშაობდა? თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, მაშინ გაიგეთ გადაწყვეტილებები. გამოსავალი: ამოვიწეროთ " " ნიშნის შესაბამისი ინტერვალები, ვინაიდან უტოლობის ნიშანია " ". უთანასწორობა არ არის მკაცრი, ამიტომ ფესვები შედის ინტერვალებში: ჩვენ ვწერთ შესაბამის კვადრატულ განტოლებას: იპოვეთ ამ კვადრატული განტოლების ფესვები: მიღებულ ფესვებს სქემატურად ვნიშნავთ ღერძზე და ვაწყობთ ნიშნებს: ამოვიწეროთ " " ნიშნის შესაბამისი ინტერვალები, ვინაიდან უტოლობის ნიშანია " ". უთანასწორობა მკაცრია, ამიტომ ფესვები არ შედის ინტერვალებში: ჩვენ ვწერთ შესაბამის კვადრატულ განტოლებას: იპოვეთ ამ კვადრატული განტოლების ფესვები: ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი მიღებულ ფესვებს სქემატურად ვნიშნავთ ღერძზე და ვაწყობთ ნიშნებს: ამოვიწეროთ " " ნიშნის შესაბამისი ინტერვალები, ვინაიდან უტოლობის ნიშანია " ". ნებისმიერი ფუნქციისთვის იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს. ვინაიდან უთანასწორობა არ არის მკაცრი, პასუხი არის დავწეროთ შესაბამისი კვადრატული განტოლება: იპოვეთ ამ კვადრატული განტოლების ფესვები: სქემატურად დახაზეთ პარაბოლის გრაფიკი და მოათავსეთ ნიშნები: ამოვიწეროთ " " ნიშნის შესაბამისი ინტერვალები, ვინაიდან უტოლობის ნიშანია " ". ნებისმიერისთვის ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს, შესაბამისად, უტოლობის გამოსავალი იქნება ინტერვალი: სანამ „კვადრატულ უტოლობაზე“ ვისაუბრებთ, გავიხსენოთ რა არის კვადრატული ფუნქცია და როგორია მისი გრაფიკი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს მეორე ხარისხის მრავალწევრი. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა (გახსოვთ, რა არის ეს?). მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ, თუ "ა) ფუნქცია იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს ყველასთვის, ხოლო მეორეში () - მხოლოდ უარყოფით: იმ შემთხვევაში, როდესაც განტოლებას () აქვს ზუსტად ერთი ფესვი (მაგალითად, თუ დისკრიმინანტი არის ნული), ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკი ეხება ღერძს: შემდეგ, წინა შემთხვევის მსგავსად, " . ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ ახლახან ვისწავლეთ იმის დადგენა, სად არის კვადრატული ფუნქცია ნულზე მეტი და სად ნაკლები: თუ კვადრატული უტოლობა არ არის მკაცრი, მაშინ ფესვები შედის რიცხვით ინტერვალში, თუ მკაცრი, ისინი არ არიან. თუ მხოლოდ ერთი ფესვია, არა უშავს, ყველგან ერთი და იგივე ნიშანი იქნება. თუ ფესვები არ არის, ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ კოეფიციენტზე: თუ "25((x)^(2))-30x+9 პასუხები: 2) 25((x)^(2))-30x+9> ფესვები არ არის, ამიტომ მარცხენა მხარეს მთელი გამოხატულება იღებს კოეფიციენტის ნიშანს ადრე: კვადრატული ფუნქციაარის ფორმის ფუნქცია: კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ, თუ და ქვევით, თუ: კვადრატული უტოლობების სახეები: ყველა კვადრატული უტოლობა მცირდება შემდეგ ოთხ ტიპად: გადაწყვეტის ალგორითმი:
ჩვენი კვადრატული ტრინომი იღებს ნულზე ნაკლებ მნიშვნელობებს, სადაც ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ.
ფუნქციის გრაფიკის დათვალიერებისას ვიღებთ პასუხს: $x^2-2x-8 პასუხი: $-2
გადავცვალოთ უტოლობა: $-x^2+5x-6 გავყოთ უტოლობა მინუს ერთზე. არ დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა: $x^2-5x+6>0$.
ვიპოვოთ ტრინომის ფესვები: $x_1=2$ და $x_2=3$.
ჩვენი კვადრატული ტრინომი იღებს ნულზე მეტ მნიშვნელობებს, სადაც ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ. ფუნქციის გრაფიკის დათვალიერებისას მივიღებთ პასუხს: $5x-6
ვიპოვოთ ჩვენი ტრინომის ფესვები, ამისთვის გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი: $D=2^2-4*2=-4 დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე. გამოვიყენოთ ის წესი, რომელიც თავიდან შემოვიღეთ. უტოლობის ნიშანი იგივე იქნება, რაც კვადრატული კოეფიციენტის ნიშანი. ჩვენს შემთხვევაში, კოეფიციენტი დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენი განტოლება დადებითი იქნება x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
პასუხი: ყველა x-ისთვის უტოლობა მეტია ნულზე.
გამოსავალი:
ვიპოვოთ ტრინომის ფესვები და მოვათავსოთ კოორდინატთა წრფეზე: $x_1=-2$ და $x_2=1$. 
თუ $x>1$ და $x თუ $x>-2$ და $x პასუხი: $x>-2$ და $xკვადრატული უტოლობების ამოხსნის ამოცანები
უტოლობების ამოხსნა:
ა) $x^2-11x+30 ბ) $2x+15≥x^2$.
გ) $3x^2+4x+3 დ) $4x^2-5x+2>0$. რა არის კვადრატული უტოლობა?
.როგორ მოვაგვაროთ კვადრატული უტოლობა?
გრაფიკულად
ინტერვალის მეთოდი
ბინომის კვადრატის იზოლირებით
, ≥), სადაც p და q არის რამდენიმე რიცხვი.
, ≥) და როგორ ამოხსნათ იგი, სტატიის მასალა ხსნის კვადრატული უტოლობების ამოხსნას ბინომის კვადრატის ხაზგასმით. ასევე მოცემულია კვადრატული უტოლობების ამ გზით ამოხსნის მაგალითები და მოცემულია საჭირო გრაფიკული ილუსტრაციები.
კვადრატული უტოლობები
უდრის x 2 −6 x−9 კვადრატულ უტოლობას<0
, а ლოგარითმული უტოლობა 
– უტოლობა x 2 +x−2≥0 .კვადრატული უტოლობა. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)
კვადრატული ფუნქცია
კვადრატული უთანასწორობა
ალგორითმი
მაგალითი:
1) დავწეროთ უტოლობის შესაბამისი კვადრატული განტოლება (უბრალოდ შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი ტოლობის ნიშნით "=").
2) იპოვეთ ამ განტოლების ფესვები.
3) მონიშნეთ ფესვები ღერძზე და სქემატურად აჩვენეთ პარაბოლის ტოტების ორიენტაცია ("ზევით" ან "ქვემოთ")
4) ღერძზე მოვათავსოთ კვადრატული ფუნქციის ნიშნის შესაბამისი ნიშნები: სადაც პარაბოლა ღერძის ზემოთ არის, ვსვამთ "", ხოლო სადაც ქვედა - "".
5) ჩვენ ვწერთ ინტერვალს (ებ)ს, რომელიც შეესაბამება "" ან ""-ს, უტოლობის ნიშნის მიხედვით. თუ უტოლობა მკაცრი არ არის, ფესვები შედის ინტერვალში, თუ მკაცრია, არ შედის.
კვადრატული უთანასწორობები. საშუალო დონე
კვადრატული ფუნქცია.
კვადრატული ფუნქცია ფორმის ფუნქციაა
კვადრატული უთანასწორობები. მოკლედ მთავარის შესახებ
ალგორითმი
მაგალითი:
1) დავწეროთ უტოლობის შესაბამისი კვადრატული განტოლება (უბრალოდ შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი ტოლობის ნიშნით "").
2) იპოვეთ ამ განტოლების ფესვები.
3) მონიშნეთ ფესვები ღერძზე და სქემატურად აჩვენეთ პარაბოლის ტოტების ორიენტაცია ("ზევით" ან "ქვემოთ")
4) ღერძზე მოვათავსოთ კვადრატული ფუნქციის ნიშნის შესაბამისი ნიშნები: სადაც პარაბოლა ღერძის ზემოთ არის, ვსვამთ "", ხოლო სადაც ქვედა - "".
5) ჩვენ ვწერთ ინტერვალს (s), რომელიც შეესაბამება (s) "" ან "", უტოლობის ნიშნის მიხედვით. თუ უტოლობა მკაცრი არ არის, ფესვები შედის ინტერვალში, თუ უტოლობა მკაცრია, ისინი არ ჩაირთვება.
