ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

პრიზმა. პარალელეპიპედი

პრიზმაეწოდება პოლიედრონს, რომლის ორი სახე ტოლია n-გონებით (საფუძვლები) , დევს პარალელურ სიბრტყეზე, ხოლო დარჩენილი n სახე პარალელოგრამებია (გვერდითი სახეები) . გვერდითი ნეკნი პრიზმა არის გვერდითი სახის მხარე, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს.

პრიზმა, რომლის გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძეების სიბრტყეზე, ეწოდება სწორი პრიზმა (სურ. 1). თუ გვერდითი კიდეები არ არის პერპენდიკულარული ფუძეების სიბრტყეზე, მაშინ პრიზმა ეწოდება ირიბი . სწორი პრიზმა არის სწორი პრიზმა, რომლის ფუძეები არის რეგულარული მრავალკუთხედები.

სიმაღლეპრიზმა ეწოდება მანძილი ფუძეების სიბრტყეებს შორის. დიაგონალი პრიზმა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წვეროს, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს. დიაგონალური განყოფილება პრიზმის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს, ეწოდება. პერპენდიკულარული მონაკვეთი ეწოდება პრიზმის მონაკვეთს პრიზმის გვერდითი კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყით.

გვერდითი ზედაპირის ფართობი პრიზმა არის ყველა მხარის ფართობის ჯამი. სრული ზედაპირის ფართობი პრიზმის ყველა სახის ფართობების ჯამს ეწოდება (ე.ი. გვერდითა და ფუძეების ფართობების ჯამი).

თვითნებური პრიზმისთვის, ფორმულები მართალია:

სადაც ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პ

ქ

S მხარე

S სავსე

S მთავარიარის ბაზების ფართობი;

ვარის პრიზმის მოცულობა.

სწორი პრიზმისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე.

პარალელეპიპედიპრიზმა, რომლის ფუძე პარალელოგრამია, ეწოდება. პარალელეპიპედს, რომლის გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია, ეწოდება პირდაპირი (ნახ. 2). თუ გვერდითი კიდეები არ არის ფუძეების პერპენდიკულარული, მაშინ პარალელეპიპედი ეწოდება ირიბი . მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი, ეწოდება მართკუთხა. მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება კუბი.

პარალელეპიპედის სახეებს, რომლებსაც საერთო წვეროები არ აქვთ, ეწოდება საწინააღმდეგო . ერთი წვეროდან გამომავალი კიდეების სიგრძეს უწოდებენ გაზომვები პარალელეპიპედი. ვინაიდან ყუთი არის პრიზმა, მისი ძირითადი ელემენტები განისაზღვრება ისევე, როგორც ისინი განისაზღვრება პრიზმებისთვის.

თეორემები.

1. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ორად კვეთენ მას.

2. მართკუთხა პარალელეპიპედში დიაგონალის სიგრძის კვადრატი მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამის ტოლია:

3. მართკუთხა პარალელეპიპედის ოთხივე დიაგონალი ერთმანეთის ტოლია.

თვითნებური პარალელეპიპედისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პარის პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრი;

ქ- პერპენდიკულარული მონაკვეთის ფართობი;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მთავარიარის ბაზების ფართობი;

ვარის პრიზმის მოცულობა.

მარჯვენა პარალელეპიპედისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი ფორმულები:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰარის მარჯვენა პარალელეპიპედის სიმაღლე.

მართკუთხა პარალელეპიპედისთვის შემდეგი ფორმულები მართალია:

(3)

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ჰ- სიმაღლე;

დ- დიაგონალი;

ა, ბ, გ- პარალელეპიპედის გაზომვები.

კუბის სწორი ფორმულებია:

სადაც აარის ნეკნის სიგრძე;

დარის კუბის დიაგონალი.

მაგალითი 1მართკუთხა კუბოიდის დიაგონალი არის 33 დმ და მისი ზომები დაკავშირებულია 2:6:9. იპოვეთ კუბოიდის ზომები.

გადაწყვეტილება.პარალელეპიპედის ზომების საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (3), ე.ი. ის ფაქტი, რომ კუბოიდის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს. აღნიშნეთ მიერ კპროპორციულობის კოეფიციენტი. მაშინ პარალელეპიპედის ზომები იქნება 2-ის ტოლი კ, 6კდა 9 კ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (3) პრობლემის მონაცემებისთვის:

ამ განტოლების ამოხსნა კ, ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე, პარალელეპიპედის ზომებია 6 დმ, 18 დმ და 27 დმ.

პასუხი: 6 დმ, 18 დმ, 27 დმ.

მაგალითი 2იპოვეთ დახრილი სამკუთხა პრიზმის მოცულობა, რომლის ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი გვერდით 8 სმ, თუ გვერდითი კიდე უდრის ფუძის მხარეს და დახრილია ფუძის მიმართ 60º კუთხით.

გადაწყვეტილება . დავხატოთ ნახატი (სურ. 3).

იმისათვის, რომ იპოვოთ დახრილი პრიზმის მოცულობა, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი. ამ პრიზმის ფუძის ფართობი არის ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი, რომლის გვერდია 8 სმ. მოდით გამოვთვალოთ:

პრიზმის სიმაღლე არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. Ზევიდან მაგრამზედა ბაზის 1 ჩვენ ვამცირებთ პერპენდიკულარულს ქვედა ბაზის სიბრტყეზე მაგრამ 1 დ. მისი სიგრძე იქნება პრიზმის სიმაღლე. განვიხილოთ დ მაგრამ 1 ახ.წ: ვინაიდან ეს არის გვერდითი ნეკნის დახრის კუთხე მაგრამ 1 მაგრამსაბაზო სიბრტყემდე მაგრამ 1 მაგრამ= 8 სმ. ამ სამკუთხედიდან ვპოულობთ მაგრამ 1 დ:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მოცულობას ფორმულის გამოყენებით (1):

პასუხი: 192 სმ3.

მაგალითი 3რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი კიდე არის 14 სმ. ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთის ფართობია 168 სმ 2. იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 4)

ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი აა 1 DD 1, დიაგონალიდან ახ.წრეგულარული ექვსკუთხედი ABCDEFარის ყველაზე დიდი. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად აუცილებელია ვიცოდეთ ფუძის მხარე და გვერდითი ნეკნის სიგრძე.

დიაგონალური მონაკვეთის (მართკუთხედის) ფართობის გაცნობით, ჩვენ ვპოულობთ ფუძის დიაგონალს.

Მას შემდეგ

Მას შემდეგ AB= 6 სმ.

მაშინ ბაზის პერიმეტრი არის:

იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი 6 სმ გვერდით არის:

იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4მარჯვენა პარალელეპიპედის ფუძე არის რომბი. დიაგონალური მონაკვეთების ფართობია 300 სმ 2 და 875 სმ 2. იპოვეთ პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 5).

აღნიშნეთ რომბის გვერდი ა, რომბის დიაგონალები დ 1 და დ 2, ყუთის სიმაღლე თ. სწორი პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად საჭიროა ფუძის პერიმეტრის გამრავლება სიმაღლეზე: (ფორმულა (2)). ბაზის პერიმეტრი p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, როგორც Ა Ბ Გ Დ- რომბი. H = AA 1 = თ. რომ. საჭიროა მოძებნა ადა თ.

განვიხილოთ დიაგონალური მონაკვეთები. აა 1 SS 1 - მართკუთხედი, რომლის ერთი მხარე არის რომბის დიაგონალი AC = დ 1, მეორე - გვერდითი კიდე აა 1 = თ, მაშინ

ანალოგიურად განყოფილებისთვის BB 1 DD 1 ვიღებთ:

პარალელოგრამის ისეთი თვისების გამოყენებით, რომ დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის მისი ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს, მივიღებთ ტოლობას ვიღებთ შემდეგს.

„პითაგორას თეორემის გაკვეთილი“ - პითაგორას თეორემა. ოთხკუთხა KMNP-ის ტიპის განსაზღვრა. Გახურება. თეორემის შესავალი. სამკუთხედის ტიპის განსაზღვრა: გაკვეთილის გეგმა: ისტორიული დიგრესია. მარტივი პრობლემების გადაჭრა. და იპოვნეთ 125 ფუტის სიგრძის კიბე. გამოთვალეთ ABCD ტრაპეციის CF სიმაღლე. მტკიცებულება. სურათების ჩვენება. თეორემის დადასტურება.

„პრიზმის მოცულობა“ - პრიზმის ცნება. პირდაპირი პრიზმა. საწყისი პრიზმის მოცულობა უდრის ნამრავლს S · h. როგორ მოვძებნოთ სწორი პრიზმის მოცულობა? პრიზმა შეიძლება დაიყოს h სიმაღლის სწორ სამკუთხა პრიზმებად. დახაზეთ ABC სამკუთხედის სიმაღლე. პრობლემის გადაწყვეტა. გაკვეთილის მიზნები. ძირითადი ნაბიჯები პირდაპირი პრიზმის თეორემის დასამტკიცებლად? პრიზმის მოცულობის თეორემის შესწავლა.

"პრიზმული პოლიედრები" - განსაზღვრეთ პოლიედონი. DABC არის ტეტრაედონი, ამოზნექილი პოლიედონი. პრიზმების გამოყენება. სად გამოიყენება პრიზმები? ABCDMP არის რვააედონი, რომელიც შედგება რვა სამკუთხედისგან. ABCDA1B1C1D1 არის პარალელეპიპედი, ამოზნექილი პოლიედონი. ამოზნექილი პოლიედონი. პოლიედრონის კონცეფცია. პოლიედონი A1A2..AnB1B2..Bn არის პრიზმა.

"პრიზმის კლასი 10" - პრიზმა არის პოლიედონი, რომლის სახეები პარალელურ სიბრტყეშია. პრიზმის გამოყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში. Sside = Pbased. + h სწორი პრიზმისთვის: Sp.p = Pmain. h + 2 Smain. დახრილი. სწორი. პირდაპირ. პრიზმა. ფართობის პოვნის ფორმულები. პრიზმის გამოყენება არქიტექტურაში. Sp.p \u003d S მხარე + 2 S დაფუძნებული.

"პითაგორას თეორემის მტკიცებულება" - გეომეტრიული მტკიცებულება. პითაგორას თეორემის მნიშვნელობა. Პითაგორას თეორემა. ევკლიდეს მტკიცებულება. „მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. თეორემის მტკიცებულებები. თეორემის მნიშვნელობა ის არის, რომ გეომეტრიის თეორემების უმეტესი ნაწილი შეიძლება გამოიტანოს მისგან ან მისი დახმარებით.

მყარი გეომეტრიის კურსის სასკოლო სასწავლო გეგმაში სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება მარტივი გეომეტრიული სხეულით - პრიზმული პოლიედრონით. მისი ფუძეების როლს ასრულებს 2 თანაბარი მრავალკუთხედი, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში. განსაკუთრებული შემთხვევაა რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. მისი ფუძეები არის 2 იდენტური რეგულარული ოთხკუთხედი, რომლებზედაც გვერდები პერპენდიკულარულია, პარალელოგრამების ფორმის მქონე (ან მართკუთხედები, თუ პრიზმა არ არის დახრილი).

რას ჰგავს პრიზმა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეებზე არის 2 კვადრატი, ხოლო გვერდითი სახეები წარმოდგენილია ოთხკუთხედებით. ამ გეომეტრიული ფიგურის კიდევ ერთი სახელია სწორი პარალელეპიპედი.

ფიგურა, რომელიც ასახავს ოთხკუთხა პრიზმას, ნაჩვენებია ქვემოთ.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ სურათზე ყველაზე მნიშვნელოვანი ელემენტები, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიულ სხეულს. მათ ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ, როგორც:

ზოგჯერ გეომეტრიის პრობლემებში შეგიძლიათ იპოვოთ მონაკვეთის კონცეფცია. განმარტება ასე ჟღერს: მონაკვეთი არის მოცულობითი სხეულის ყველა წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ჭრის სიბრტყეს. მონაკვეთი პერპენდიკულარულია (ფიგურის კიდეებს კვეთს 90 გრადუსიანი კუთხით). მართკუთხა პრიზმისთვის ასევე განიხილება დიაგონალური მონაკვეთი (სექციების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც შეიძლება აშენდეს არის 2), რომელიც გადის 2 კიდეზე და ფუძის დიაგონალებზე.

თუ მონაკვეთი ისეა დახატული, რომ ჭრის სიბრტყე არ იყოს პარალელურად არც ფუძეებთან და არც გვერდითი გვერდებთან, შედეგი არის შეკვეცილი პრიზმა.

შემცირებული პრიზმული ელემენტების საპოვნელად გამოიყენება სხვადასხვა კოეფიციენტები და ფორმულები. ზოგიერთი მათგანი ცნობილია პლანიმეტრიის კურსიდან (მაგალითად, პრიზმის ფუძის ფართობის საპოვნელად, საკმარისია გავიხსენოთ კვადრატის ფართობის ფორმულა).

ზედაპირის ფართობი და მოცულობა

ფორმულის გამოყენებით პრიზმის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი:

V = Sprim h

ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი გვერდით ა,თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ფორმულა უფრო დეტალური ფორმით:

V = a² სთ

თუ ვსაუბრობთ კუბზე - ჩვეულებრივ პრიზმაზე თანაბარი სიგრძით, სიგანე და სიმაღლე, მოცულობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ მისი გადახვევა.

ნახატიდან ჩანს, რომ გვერდითი ზედაპირი შედგება 4 თანაბარი ოთხკუთხედისგან. მისი ფართობი გამოითვლება ფუძის პერიმეტრისა და ფიგურის სიმაღლის ნამრავლით:

Sside = Pos h

ვინაიდან კვადრატის პერიმეტრი არის P = 4a,ფორმულა იღებს ფორმას:

გვერდი = 4ა სთ

კუბისთვის:

გვერდი = 4a²

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ 2 ბაზის ფართობი გვერდით ფართობზე:

Sfull = Side + 2Sbase

როგორც ოთხკუთხა რეგულარულ პრიზმაზე გამოიყენება, ფორმულას აქვს ფორმა:

სავსე = 4a h + 2a²

კუბის ზედაპირის ფართობისთვის:

სავსე = 6a²

მოცულობის ან ზედაპირის ფართობის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გეომეტრიული სხეულის ცალკეული ელემენტები.

პრიზმის ელემენტების მოძიება

ხშირად არის პრობლემები, რომლებშიც მოცემულია მოცულობა ან ცნობილია გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა, სადაც აუცილებელია ფუძის მხარის სიგრძის ან სიმაღლის დადგენა. ასეთ შემთხვევებში, ფორმულები შეიძლება გამოვიდეს:

• ბაზის მხარის სიგრძე: a = გვერდითი / 4სთ = √(V / სთ);
• სიმაღლე ან გვერდითი ნეკნის სიგრძე: h = გვერდი / 4a = V / a²;
• ბაზის ფართობი: სპრიმი = V / სთ;
• გვერდითი სახის ფართობი: მხარე გრ = გვერდი / 4.

იმის დასადგენად, თუ რამდენი ფართობი აქვს დიაგონალურ მონაკვეთს, უნდა იცოდეთ დიაგონალის სიგრძე და ფიგურის სიმაღლე. კვადრატისთვის d = a√2.ამიტომ:

Sdiag = ah√2

პრიზმის დიაგონალის გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა:

dპრიზი = √(2a² + h²)

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული კოეფიციენტები, შეგიძლიათ ივარჯიშოთ და გადაჭრათ რამდენიმე მარტივი ამოცანა.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

აქ არის რამდენიმე დავალება, რომელიც ჩნდება მათემატიკაში სახელმწიფო ფინალურ გამოცდებზე.

სავარჯიშო 1.

ქვიშა შეედინება ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პრიზმის ფორმის ყუთში. მისი დონის სიმაღლეა 10 სმ. როგორი იქნება ქვიშა, თუ მას იმავე ფორმის, მაგრამ ძირის სიგრძით 2-ჯერ მეტი ჭურჭელში გადაიტანეთ?

ამის მტკიცება შემდეგნაირად უნდა მოხდეს. პირველ და მეორე კონტეინერებში ქვიშის რაოდენობა არ შეცვლილა, ანუ მისი მოცულობა მათში იგივეა. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ბაზის სიგრძე როგორც ა. ამ შემთხვევაში, პირველი ყუთისთვის, ნივთიერების მოცულობა იქნება:

V1 = ha² = 10a²

მეორე ყუთისთვის, ბაზის სიგრძეა 2ა, მაგრამ ქვიშის დონის სიმაღლე უცნობია:

V₂ = h(2a)² = 4ჰა²

Იმდენად, რამდენადაც V1 = V2, გამონათქვამები შეიძლება გაიგივდეს:

10a² = 4ჰა²

განტოლების ორივე მხარის a²-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ:

შედეგად, ახალი ქვიშის დონე იქნება სთ = 10 / 4 = 2,5სმ.

დავალება 2.

ABCDA1B1C1D1 არის რეგულარული პრიზმა. ცნობილია, რომ BD = AB₁ = 6√2. იპოვნეთ სხეულის მთლიანი ზედაპირი.

იმისათვის, რომ გაიგოთ, რომელი ელემენტებია ცნობილი, შეგიძლიათ დახაზოთ ფიგურა.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ რეგულარულ პრიზმაზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუძე არის კვადრატი, რომლის დიაგონალია 6√2. გვერდითი სახის დიაგონალს აქვს იგივე მნიშვნელობა, შესაბამისად, გვერდით სახეს ასევე აქვს კვადრატის ფორმა, რომელიც ტოლია ფუძისა. გამოდის, რომ სამივე განზომილება - სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე - თანაბარია. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ABCDA1B1C1D1 არის კუბი.

ნებისმიერი კიდის სიგრძე განისაზღვრება ცნობილი დიაგონალის საშუალებით:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გვხვდება კუბის ფორმულით:

სავსე = 6a² = 6 6² = 216

დავალება 3.

ოთახის რემონტი მიმდინარეობს. ცნობილია, რომ მის იატაკს აქვს კვადრატის ფორმა 9 მ² ფართობით. ოთახის სიმაღლეა 2,5 მ. რა ღირს ოთახის შპალერების დახატვა, თუ 1 მ² ღირს 50 მანეთი?

ვინაიდან იატაკი და ჭერი არის კვადრატები, ანუ რეგულარული ოთხკუთხედები და მისი კედლები პერპენდიკულარულია ჰორიზონტალურ ზედაპირებზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის რეგულარული პრიზმა. აუცილებელია განისაზღვროს მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ოთახის სიგრძე არის a = √9 = 3მ.

მოედანი შპალერით დაიფარება გვერდი = 4 3 2.5 = 30 მ².

ამ ოთახისთვის ფონის ყველაზე დაბალი ღირებულება იქნება 50 30 = 1500რუბლი.

ამრიგად, მართკუთხა პრიზმისთვის ამოცანების გადასაჭრელად საკმარისია კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობისა და პერიმეტრის გამოთვლა, აგრეთვე მოცულობისა და ზედაპირის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა.

როგორ მოვძებნოთ კუბის ფართობი

განმარტება. პრიზმა- ეს არის პოლიჰედრონი, რომლის ყველა წვერო განლაგებულია ორ პარალელურ სიბრტყეში, და იმავე ორ სიბრტყეში არის პრიზმის ორი სახე, რომლებიც არის თანაბარი მრავალკუთხედები, შესაბამისად პარალელური გვერდებით, და ყველა კიდე, რომელიც არ დევს მათში. თვითმფრინავები პარალელურია.

ორ თანაბარ სახეს უწოდებენ პრიზმის ბაზები(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

პრიზმის ყველა სხვა სახე ეწოდება გვერდითი სახეები(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

ყველა გვერდითი სახე იქმნება პრიზმის გვერდითი ზედაპირი .

პრიზმის ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამებია .

კიდეებს, რომლებიც არ დევს ფუძესთან, ეწოდება პრიზმის გვერდითი კიდეები ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

პრიზმის დიაგონალი სეგმენტი ეწოდება, რომლის ბოლოები არის პრიზმის ორი წვერო, რომელიც არ დევს მის ერთ-ერთ სახეზე (AD 1).

პრიზმის ფუძის დამაკავშირებელი და ორივე ფუძის პერპენდიკულარული მონაკვეთის სიგრძეს ე.წ. პრიზმის სიმაღლე .

Დანიშნულება:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (პირველ რიგში, შემოვლითი თანმიმდევრობით, მითითებულია ერთი ფუძის წვეროები, შემდეგ კი, იმავე თანმიმდევრობით, მეორის წვეროები; თითოეული გვერდითი კიდის ბოლოები აღინიშნება იგივე ასოებით, მხოლოდ წვეროები დევს. ერთი ბაზა მითითებულია ასოებით ინდექსის გარეშე, ხოლო მეორეში - ინდექსით)

პრიზმის სახელწოდება ასოცირდება ფიგურის კუთხეების რაოდენობასთან, რომელიც დევს მის ფუძესთან, მაგალითად, 1 სურათზე, ფუძე არის ხუთკუთხედი, ამიტომ პრიზმას ე.წ. ხუთკუთხა პრიზმა. მაგრამ მას შემდეგ ასეთ პრიზმას აქვს 7 სახე, შემდეგ ის ჰეპტაედონი(2 სახე არის პრიზმის საფუძველი, 5 სახე არის პარალელოგრამი, არის მისი გვერდითი სახეები)

სწორ პრიზმებს შორის განსაკუთრებული ტიპი გამოირჩევა: რეგულარული პრიზმები.

სწორი პრიზმა ეწოდება სწორი,თუ მისი ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია.

რეგულარულ პრიზმას აქვს ყველა მხარის ტოლი ოთხკუთხედი. პრიზმის განსაკუთრებული შემთხვევაა პარალელეპიპედი.

პარალელეპიპედი

პარალელეპიპედი- ეს არის ოთხკუთხა პრიზმა, რომლის ძირში დევს პარალელოგრამი (ირიბი პარალელეპიპედი). მარჯვენა პარალელეპიპედი- პარალელეპიპედი, რომლის გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეებზე.

კუბოიდური- მარჯვენა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი.

თვისებები და თეორემები:

პარალელეპიპედის ზოგიერთი თვისება მსგავსია პარალელოგრამის კარგად ცნობილი თვისებების.მართკუთხა პარალელეპიპედის თანაბარი ზომების ე.წ. კუბი კუბს აქვს ყველა სახის ტოლი კვადრატი, დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს.

,

სადაც d არის კვადრატის დიაგონალი;
ა - კვადრატის მხარე.

პრიზმის იდეა მოცემულია:

• სხვადასხვა არქიტექტურული ნაგებობები;
• საბავშვო სათამაშოები;
• შესაფუთი ყუთები;
• დიზაინერის ნივთები და ა.შ.

პრიზმის მთლიანი და გვერდითი ზედაპირის ფართობი

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობიარის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი გვერდითი ზედაპირის ფართობიეწოდება მისი გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი. პრიზმის ფუძეები თანაბარი მრავალკუთხედებია, მაშინ მათი ფართობი ტოლია. Ისე

S სრული \u003d S მხარე + 2S მთავარი,

სადაც S სავსე- მთლიანი ზედაპირის ფართობი, S მხარე- გვერდითი ზედაპირის ფართობი, S მთავარი- ბაზის ფართობი

სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლს..

S მხარე\u003d P მთავარი * სთ,

სადაც S მხარეარის სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი,

P მთავარი - სწორი პრიზმის ფუძის პერიმეტრი,

h არის სწორი პრიზმის სიმაღლე, ტოლი გვერდითი კიდის.

პრიზმის მოცულობა

პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.