ყველაზე ხშირად დასმული კითხვები

შესაძლებელია თუ არა დოკუმენტზე ბეჭდის დადება მოწოდებული ნიმუშის მიხედვით? უპასუხე დიახ, შესაძლებელია. გაგზავნეთ სკანირებული ასლი ან ფოტო ჩვენს ელფოსტის მისამართზე კარგი ხარისხისდა ჩვენ გავაკეთებთ საჭირო დუბლიკატს.

რა სახის გადახდას ეთანხმებით? უპასუხე დოკუმენტის გადახდა შეგიძლიათ კურიერის მიერ მიღების დროს, მას შემდეგ რაც შეამოწმებთ შევსების სისწორეს და დიპლომის ხარისხს. ეს ასევე შეიძლება გაკეთდეს საფოსტო კომპანიების ოფისებში, რომლებიც სთავაზობენ ნაღდი ფულის მიწოდების მომსახურებას.
დოკუმენტების მიწოდებისა და გადახდის ყველა პირობა აღწერილია განყოფილებაში "გადახდა და მიტანა". ჩვენ ასევე მზად ვართ მოვისმინოთ თქვენი წინადადებები დოკუმენტის მიწოდებისა და გადახდის პირობებთან დაკავშირებით.

შემიძლია დარწმუნებული ვიყო, რომ შეკვეთის გაკეთების შემდეგ ჩემი ფულით არ გაქრები? უპასუხე საკმაოდ დიდი გამოცდილება გვაქვს დიპლომის წარმოების სფეროში. გვაქვს რამდენიმე საიტი, რომელიც მუდმივად განახლდება. ჩვენი სპეციალისტები მუშაობენ ქვეყნის სხვადასხვა კუთხეში, დღეში 10-ზე მეტ დოკუმენტს ამზადებენ. წლების განმავლობაში ჩვენი დოკუმენტები ბევრ ადამიანს დაეხმარა დასაქმების პრობლემების გადაჭრაში ან მაღალანაზღაურებად სამუშაოებზე გადასვლაში. ჩვენ დავიმსახურეთ ნდობა და აღიარება მომხმარებლებში, ამიტომ ჩვენ ამის გაკეთების არანაირი საფუძველი არ გვაქვს. უფრო მეტიც, ამის გაკეთება ფიზიკურად უბრალოდ შეუძლებელია: თქვენ იხდით თქვენს შეკვეთას ხელში მიღების დროს, არ არის წინასწარ გადახდა.

შემიძლია თუ არა რომელიმე უნივერსიტეტის დიპლომის შეკვეთა? უპასუხე ზოგადად, დიახ. ამ სფეროში თითქმის 12 წელია ვმუშაობთ. ამ ხნის განმავლობაში შეიქმნა ქვეყნის თითქმის ყველა უნივერსიტეტის მიერ გაცემული და გამოცემის სხვადასხვა წლების დოკუმენტების თითქმის სრული მონაცემთა ბაზა. საკმარისია აირჩიოთ უნივერსიტეტი, სპეციალობა, დოკუმენტი და შეავსოთ შეკვეთის ფორმა.

რა უნდა გავაკეთო, თუ დოკუმენტში ბეჭდვითი შეცდომები და შეცდომები აღმოვაჩინე? უპასუხე ჩვენი კურიერის ან საფოსტო კომპანიისგან დოკუმენტის მიღებისას გირჩევთ, ყურადღებით შეამოწმოთ ყველა დეტალი. თუ დაფიქსირდა შეცდომა, შეცდომა ან უზუსტობა, უფლება გაქვთ არ აიღოთ დიპლომი და აღმოჩენილი ხარვეზები უნდა მიუთითოთ პირადად კურიერს ან წერილობით ელ.ფოსტის გაგზავნით.
რაც შეიძლება მალე, ჩვენ ვასწორებთ დოკუმენტს და ხელახლა გამოგიგზავნით მითითებულ მისამართზე. რა თქმა უნდა, ტრანსპორტირებას გადაიხდის ჩვენი კომპანია.
ასეთი გაუგებრობების თავიდან ასაცილებლად, ორიგინალური ფორმის შევსებამდე ვაგზავნით მომხმარებლის მეილზე მომავალი დოკუმენტის განლაგებას საბოლოო ვერსიის გადამოწმებისა და დასამტკიცებლად. დოკუმენტის კურიერის ან ფოსტით გაგზავნამდე ჩვენ ასევე ვიღებთ დამატებით ფოტოს და ვიდეოს (მათ შორის ულტრაიისფერ შუქზე), რათა გქონდეთ ვიზუალური წარმოდგენა იმაზე, თუ რას მიიღებთ საბოლოოდ.

რა უნდა გააკეთოთ იმისათვის, რომ შეუკვეთოთ დიპლომი თქვენი კომპანიისგან? უპასუხე დოკუმენტის შეკვეთისთვის (სერთიფიკატი, დიპლომი, აკადემიური სერთიფიკატი და ა.შ.) უნდა შეავსოთ ონლაინ შეკვეთის ფორმა ჩვენს ვებ-გვერდზე ან მოგვაწოდოთ თქვენი ელექტრონული ფოსტა, რათა გამოგიგზავნოთ კითხვარის ფორმა, რომელიც უნდა შეავსოთ და გამოაგზავნოთ. უკან ჩვენთან.
თუ არ იცით რა მიუთითოთ შეკვეთის ფორმის/კითხვის რომელიმე ველში, დატოვეთ ისინი ცარიელი. ამიტომ, ყველა გამოტოვებულ ინფორმაციას ტელეფონით დავაზუსტებთ.

უახლესი მიმოხილვები

ალექსეი:

დიპლომის აღება მჭირდებოდა მენეჯერად სამუშაოდ. და რაც მთავარია, მაქვს გამოცდილებაც და უნარებიც, მაგრამ საბუთის გარეშე არ შემიძლია, სადმე ვიმუშავებ. თქვენს საიტზე ერთხელ მაინც გადავწყვიტე დიპლომის ყიდვა. დიპლომი დასრულდა 2 დღეში! ახლა მაქვს სამსახური, რაზეც აქამდე არასდროს მიოცნებია!! Გმადლობთ!

მოცემულია თანაფარდობები მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. ტრიგონომეტრიული ფორმულები. და რადგან ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის საკმაოდ ბევრი კავშირია, ეს ასევე ხსნის ტრიგონომეტრიული ფორმულების სიმრავლეს. ზოგიერთი ფორმულა აკავშირებს ერთი და იგივე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, სხვები - მრავალჯერადი კუთხის ფუნქციებს, სხვები - საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ხარისხი, მეოთხე - გამოვხატოთ ყველა ფუნქცია ნახევარი კუთხის ტანგენტის საშუალებით და ა.შ.

ამ სტატიაში ჩვენ თანმიმდევრობით ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულებს, რომლებიც საკმარისია ტრიგონომეტრიის ამოცანების დიდი უმრავლესობის გადასაჭრელად. დამახსოვრებისა და გამოყენების სიმარტივის მიზნით, ჩვენ დავაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით და შევიყვანთ ცხრილებში.

გვერდის ნავიგაცია.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობებიდააყენეთ კავშირი ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ისინი გამომდინარეობს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებიდან, ასევე ერთეული წრის კონცეფციიდან. ისინი საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მეორის მეშვეობით.

ამ ტრიგონომეტრიის ფორმულების დეტალური აღწერა, მათი წარმოშობისა და გამოყენების მაგალითები იხილეთ სტატიაში.

ჩამოსხმის ფორმულები

ჩამოსხმის ფორმულებიმოჰყვება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის თვისებებს, ანუ ისინი ასახავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის თვისებას, სიმეტრიის თვისებას და ასევე მოცემული კუთხით გადანაცვლების თვისებას. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური კუთხით სამუშაოდან ნულიდან 90 გრადუსამდე დიაპაზონის კუთხეებზე მუშაობაზე.

ამ ფორმულების დასაბუთება, მათი დამახსოვრების მნემონური წესი და მათი გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ შეისწავლოთ სტატიაში.

დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ორი კუთხის ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. ეს ფორმულები ემსახურება შემდეგი ტრიგონომეტრიული ფორმულების წარმოშობის საფუძველს.

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე (მათ ასევე უწოდებენ მრავალი კუთხის ფორმულებს) გვიჩვენებს, თუ როგორ ფუნქციონირებს ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხეები () გამოიხატება ერთი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. მათი წარმოშობა ემყარება დამატების ფორმულებს.

უფრო დეტალური ინფორმაცია გროვდება სტატიის ფორმულებში ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე .

ნახევარი კუთხის ფორმულები

ნახევარი კუთხის ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ნახევარკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მთელი რიცხვის კუთხის კოსინუსებით. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამომდინარეობს ორმაგი კუთხის ფორმულებიდან.

მათი დასკვნა და განაცხადის მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.

შემცირების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფორმულები ხარისხების შემცირებისთვისშექმნილია იმისთვის, რომ ხელი შეუწყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბუნებრივი ძალებიდან პირველი ხარისხის სინუსებსა და კოსინუსებზე გადასვლას, მაგრამ მრავალ კუთხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძალა პირველზე.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

მთავარი მიზანი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულებიმოიცავს ფუნქციების პროდუქტზე გადასვლას, რაც ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას. ეს ფორმულები ასევე ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რადგან ისინი იძლევა სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფაქტორინგის საშუალებას.

სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლიდან ჯამზე ან განსხვავებაზე გადასვლა ხორციელდება სინუსების, კოსინუსების და სინუსების ნამრავლის ფორმულების მეშვეობით.

ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.

Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. www.site-ის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

მე არ დაგარწმუნებთ, რომ არ დაწეროთ თაღლითური ფურცლები. დაწერე! მოტყუების ფურცლების ჩათვლით ტრიგონომეტრიაზე. მოგვიანებით ვაპირებ ახსნას, თუ რატომ არის საჭირო ჩეთ ფურცლები და რამდენად სასარგებლოა ჩეთ ფურცლები. და აქ - ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ როგორ არ უნდა ვისწავლოთ, არამედ გახსოვდეთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა. ასე რომ - ტრიგონომეტრია თაღლითობის გარეშე! დასამახსოვრებლად ვიყენებთ ასოციაციებს.

1. დამატების ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის „წყვილად მიდიან“: კოსინუს-კოსინუსი, სინუს-სინუსი. და კიდევ ერთი რამ: კოსინუსები "არაადეკვატურია". ისინი „ყველაფერი არასწორია“, ამიტომ ცვლიან ნიშნებს: „-“ „+“-ზე და პირიქით.

სინუსები - "ნარევი": სინუს-კოსინუსი, კოსინუს-სინუსი.

2. ჯამისა და სხვაობის ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის "წყვილად მიდიან". ორი კოსინუსის - "ფუნთუშების" დამატების შემდეგ ვიღებთ წყვილ კოსინუსს - "კოლობოკებს". და გამოკლებით, ჩვენ ნამდვილად არ მივიღებთ კოლობოკებს. ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე სინუსს. ჯერ კიდევ წინ არის მინუსი.

სინუსები - "ნარევი" :

3. პროდუქტის ჯამად და სხვაობად გარდაქმნის ფორმულები.

როდის ვიღებთ კოსინუსების წყვილს? კოსინუსების დამატებისას. Ისე

როდის ვიღებთ სინუსების წყვილს? კოსინუსების გამოკლებისას. აქედან:

„შერევა“ მიიღება როგორც სინუსების შეკრებით, ასევე გამოკლებით. რომელია უფრო სახალისო: შეკრება თუ გამოკლება? მართალია, დაკეცეთ. და ფორმულისთვის აიღეთ დამატება:

პირველ და მესამე ფორმულებში ფრჩხილებში - რაოდენობა. ვადების ადგილების გადალაგებიდან თანხა არ იცვლება. შეკვეთა მნიშვნელოვანია მხოლოდ მეორე ფორმულისთვის. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეოთ, დასამახსოვრებლად მარტივად, პირველ ფრჩხილებში სამივე ფორმულაში ვიღებთ განსხვავებას

და მეორე, ჯამი

ჯიბეში საწოლის ფურცლები სიმშვიდეს იძლევა: თუ ფორმულა დაგავიწყდათ, შეგიძლიათ ჩამოწეროთ იგი. და ისინი იძლევიან თავდაჯერებულობას: თუ თქვენ ვერ იყენებთ თაღლითობის ფურცელს, ფორმულები ადვილად დაიმახსოვრებთ.

ორი α და β კუთხისთვის სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ მითითებული კუთხეების ჯამიდან α + β 2 და α - β 2 კუთხეების ნამრავლზე. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ არ უნდა აურიოთ სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები ჯამისა და სხვაობის სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულებთან. ქვემოთ ჩამოვთვლით ამ ფორმულებს, ვაძლევთ მათ წარმოშობას და ვაჩვენებთ გამოყენების მაგალითებს კონკრეტული პრობლემებისთვის.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

მოდით დავწეროთ როგორ გამოიყურება სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

ჯამისა და განსხვავების ფორმულები სინუსებისთვის

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები კოსინუსებისთვის

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

ეს ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი α და β კუთხისთვის. კუთხეებს α + β 2 და α - β 2 ეწოდება, შესაბამისად, ალფა და ბეტა კუთხეების ნახევრად ჯამი და ნახევრად სხვაობა. ჩვენ ვაძლევთ ფორმულირებას თითოეული ფორმულისთვის.

ჯამისა და სხვაობის ფორმულების განმარტებები სინუსებისა და კოსინუსებისთვის

ორი კუთხის სინუსების ჯამიუდრის ორჯერ ნამრავლის სინუსს ამ კუთხეების ნახევრად ჯამისა და ნახევრად განსხვავების კოსინუსის.

ორი კუთხის სინუსების განსხვავებაუდრის ამ კუთხეების ნახევრად სხვაობის სინუსისა და ნახევარჯმის კოსინუსის ნამრავლის ორჯერ.

ორი კუთხის კოსინუსების ჯამიუდრის ორჯერ ნამრავლის ნამრავლის ნახევრად ჯამის კოსინუსისა და ამ კუთხეების ნახევრად სხვაობის კოსინუსის.

ორი კუთხის კოსინუსების განსხვავებაუდრის ამ კუთხეების ნახევრადგანსხვავების სინუსების ნამრავლის ორჯერ ნამრავლს, აღებული უარყოფითი ნიშნით.

სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების წარმოშობა

ორი კუთხის სინუსის და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გამოსატანად გამოიყენება შეკრების ფორმულები. მათ ქვემოთ წარმოგიდგენთ

sin (α + β) = ცოდვა α cos β + cos α sin β sin (α - β) = ცოდვა α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - ცოდვა α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

ჩვენ ასევე წარმოვადგენთ თავად კუთხეებს, როგორც ნახევრად ჯამებისა და ნახევრად განსხვავებების ჯამი.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

ჩვენ პირდაპირ მივდივართ sin და cos-ის ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გამოყვანაზე.

სინუსების ჯამის ფორმულის გამოყვანა

sin α + sin β ჯამში, ჩვენ ვცვლით α და β ამ კუთხით ზემოთ მოცემული გამოსახულებებით. მიიღეთ

sin α + ცოდვა β = ცოდვა α + β 2 + α - β 2 + ცოდვა α + β 2 - α - β 2

ახლა ჩვენ გამოვიყენებთ დამატების ფორმულას პირველ გამოსახულებაში, ხოლო კუთხის განსხვავებების სინუსური ფორმულა მეორეზე (იხ. ფორმულები ზემოთ)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

დანარჩენი ფორმულების გამოყვანის ნაბიჯები მსგავსია.

სინუსების სხვაობის ფორმულის წარმოშობა

sin α - ცოდვა β = ცოდვა α + β 2 + α - β 2 - ცოდვა α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - ცოდვა α + β 2 - α - β 2 = ცოდვა α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

კოსინუსების ჯამის ფორმულის გამოყვანა

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

კოსინუსების სხვაობის ფორმულის წარმოშობა

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრის მაგალითები

დასაწყისისთვის, ჩვენ შევამოწმებთ ერთ-ერთ ფორმულას მასში კონკრეტული კუთხის მნიშვნელობების ჩანაცვლებით. მოდით α = π 2 , β = π 6 . გამოვთვალოთ ამ კუთხეების სინუსების ჯამის მნიშვნელობა. ჯერ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილს და შემდეგ ვიყენებთ სინუსების ჯამის ფორმულას.

მაგალითი 1. ორი კუთხის სინუსების ჯამის ფორმულის შემოწმება

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც კუთხეების მნიშვნელობები განსხვავდება ცხრილში წარმოდგენილი ძირითადი მნიშვნელობებისაგან. მოდით α = 165°, β = 75°. მოდით გამოვთვალოთ ამ კუთხეების სინუსებს შორის სხვაობის მნიშვნელობა.

მაგალითი 2. სინუს სხვაობის ფორმულის გამოყენება

α = 165 ° , β = 75 ° ცოდვა α - ცოდვა β = ცოდვა 165 ° - ცოდვა 75 ° ცოდვა 165 - ცოდვა 75 = 2 ცოდვა 165 ° - ცოდვა 75 ° 2 cos 165 ° + ცოდვა 75 ° 2 = = 2 ცოდვა 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გამოყენებით, შეგიძლიათ ჯამიდან ან სხვაობიდან გადახვიდეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლზე. ხშირად ამ ფორმულებს უწოდებენ ჯამიდან პროდუქტზე გადასვლის ფორმულებს. სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და განსხვავების ფორმულები ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისა და ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გარდაქმნაში.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა ძველ აღმოსავლეთში. პირველი ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები ასტრონომებმა შექმნეს ზუსტი კალენდრის შესაქმნელად და ვარსკვლავებზე ორიენტირებისთვის. ეს გამოთვლები დაკავშირებულია სფერულ ტრიგონომეტრიასთან, ხოლო სკოლის კურსზე ისინი სწავლობენ ბრტყელი სამკუთხედის გვერდებისა და კუთხის თანაფარდობას.

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს და სამკუთხედების გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობას.

I ათასწლეულში კულტურისა და მეცნიერების აყვავების პერიოდში ცოდნა ძველი აღმოსავლეთიდან საბერძნეთში გავრცელდა. მაგრამ ტრიგონომეტრიის მთავარი აღმოჩენები არაბთა ხალიფატის კაცების დამსახურებაა. კერძოდ, თურქმენმა მეცნიერმა ალ-მარაზვიმ შემოიტანა ისეთი ფუნქციები, როგორიცაა ტანგენსი და კოტანგენსი, შეადგინა მნიშვნელობების პირველი ცხრილები სინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების. სინუსისა და კოსინუსის ცნება შემოიღეს ინდოელმა მეცნიერებმა. დიდი ყურადღება ეთმობა ტრიგონომეტრიას ანტიკური ხანის ისეთი დიდი მოღვაწეების ნაშრომებში, როგორებიც არიან ევკლიდე, არქიმედესი და ერატოსთენე.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი რაოდენობები

რიცხვითი არგუმენტის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი გრაფიკი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

ამ რაოდენობების მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები ეფუძნება პითაგორას თეორემას. ეს უფრო ცნობილია სკოლის მოსწავლეებისთვის ფორმულირებით: „პითაგორას შარვალი, თანაბარი ყველა მიმართულებით“, რადგან დადასტურება მოცემულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის მაგალითზე.

სინუსი, კოსინუსი და სხვა დამოკიდებულებები ადგენენ კავშირს ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის მახვილ კუთხეებსა და გვერდებს შორის. ჩვენ ვაძლევთ ფორმულებს ამ სიდიდეების გამოსათვლელად A კუთხისთვის და ვადგენთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ურთიერთობას:

როგორც ხედავთ, tg და ctg შებრუნებული ფუნქციებია. თუ A ფეხს წარმოვადგენთ, როგორც sin A-ს და c ჰიპოტენუზას, ხოლო b-ს, როგორც cos A * c, მაშინ მივიღებთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შემდეგ ფორმულებს:

ტრიგონომეტრიული წრე

გრაფიკულად, აღნიშნული რაოდენობების თანაფარდობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

წრე, ამ შემთხვევაში, წარმოადგენს α კუთხის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას - 0°-დან 360°-მდე. როგორც ნახატიდან ჩანს, თითოეული ფუნქცია კუთხიდან გამომდინარე იღებს უარყოფით ან დადებით მნიშვნელობას. მაგალითად, sin α იქნება „+“ ნიშნით, თუ α ეკუთვნის წრის I და II მეოთხედებს, ანუ ის არის 0 °-დან 180 °-მდე დიაპაზონში. α 180°-დან 360°-მდე (III და IV მეოთხედი), sin α შეიძლება იყოს მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობა.

შევეცადოთ ავაშენოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილები კონკრეტული კუთხისთვის და გავარკვიოთ რაოდენობების მნიშვნელობა.

α-ის მნიშვნელობებს, რომლებიც ტოლია 30°, 45°, 60°, 90°, 180° და ა.შ. განსაკუთრებული შემთხვევები ეწოდება. მათთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოითვლება და წარმოდგენილია სპეციალური ცხრილების სახით.

ეს კუთხეები შემთხვევით არ აირჩიეს. ცხრილებში π აღნიშვნა არის რადიანებისთვის. რად არის კუთხე, რომლის დროსაც წრიული რკალის სიგრძე შეესაბამება მის რადიუსს. ეს მნიშვნელობა დაინერგა უნივერსალური ურთიერთობის დამყარების მიზნით; რადიანებში გაანგარიშებისას, რადიუსის რეალურ სიგრძეს სმ-ში მნიშვნელობა არ აქვს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილების კუთხეები შეესაბამება რადიანის მნიშვნელობებს:

ასე რომ, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ 2π არის სრული წრე ან 360°.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები: სინუსი და კოსინუსი

სინუსის და კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებების გასათვალისწინებლად და შესადარებლად აუცილებელია მათი ფუნქციების დახატვა. ეს შეიძლება გაკეთდეს მრუდის სახით, რომელიც მდებარეობს ორგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში.

განვიხილოთ სინუსუსური და კოსინუსური ტალღების თვისებების შედარებითი ცხრილი:

სინუსოიდი	კოსინუსური ტალღა
y = ცოდვა x	y = cos x
ოძ [-1; ერთი]	ოძ [-1; ერთი]
sin x = 0, x = πk-სთვის, სადაც k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk, სადაც k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk, სადაც k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk-სთვის, სადაც k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk, სადაც k ε Z	cos x = - 1, x = π + 2πk, სადაც k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, ანუ კენტი ფუნქცია	cos (-x) = cos x, ანუ ფუნქცია ლუწია
	ფუნქცია პერიოდულია, ყველაზე პატარა პერიოდი არის 2π
sin x › 0, x ეკუთვნის I და II მეოთხედებს ან 0°-დან 180°-მდე (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x მიეკუთვნება I და IV მეოთხედებს ან 270°-დან 90°-მდე (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x მიეკუთვნება III და IV მეოთხედებს ან 180°-დან 360°-მდე (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x ეკუთვნის II და III მეოთხედებს ან 90°-დან 270°-მდე (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
იზრდება ინტერვალით [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	იზრდება ინტერვალით [-π + 2πk, 2πk]
მცირდება ინტერვალებით [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	მცირდება ინტერვალებით
წარმოებული (sin x)' = cos x	წარმოებული (cos x)’ = - sin x

იმის დადგენა, არის თუ არა ფუნქცია ლუწი თუ არა, ძალიან მარტივია. საკმარისია წარმოვიდგინოთ ტრიგონომეტრიული წრე ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ნიშნებით და გონებრივად „დაკეცოთ“ გრაფიკი OX ღერძის მიმართ. თუ ნიშნები ერთნაირია, ფუნქცია ლუწია, წინააღმდეგ შემთხვევაში – კენტი.

რადიანების შემოღება და სინუსოიდური და კოსინუსური ტალღების ძირითადი თვისებების ჩამოთვლა საშუალებას გვაძლევს მოვიყვანოთ შემდეგი კანონზომიერება:

ფორმულის სისწორის გადამოწმება ძალიან მარტივია. მაგალითად, x = π/2-სთვის, სინუსი უდრის 1-ს, ისევე როგორც x = 0-ის კოსინუსი. დამოწმება შეიძლება განხორციელდეს ცხრილების ნახვით ან მოცემული მნიშვნელობებისთვის ფუნქციის მრუდების მიკვლევით.

ტანგენტოიდის და კოტანგენტოიდის თვისებები

ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების გრაფიკები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სინუსოიდური და კოსინუსური ტალღებისგან. tg და ctg მნიშვნელობები შებრუნებულია ერთმანეთის მიმართ.

1. Y = tgx.
2. ტანგენსი მიდრეკილია y-ის მნიშვნელობებზე x = π/2 + πk, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
3. ტანგენტოიდის უმცირესი დადებითი პერიოდია π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
5. Tg x = 0, x = πk-სთვის.
6. ფუნქცია იზრდება.
7. Tg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (— π/2 + πk, πk).
9. წარმოებული (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

განვიხილოთ კოტანგენტოიდის გრაფიკული გამოსახულება ქვემოთ მოცემულ ტექსტში.

კოტანგენტოიდის ძირითადი თვისებები:

1. Y = ctgx.
2. სინუსებისა და კოსინუსების ფუნქციებისგან განსხვავებით, ტანგენტოიდში Y-ს შეუძლია მიიღოს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის მნიშვნელობები.
3. კოტანგენტოიდი მიდრეკილია y მნიშვნელობებისკენ x = πk-ზე, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
4. კოტანგენტოიდის ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდია π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk.
7. ფუნქცია მცირდება.
8. Ctg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (π/2 + πk, πk).
10. წარმოებული (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x ფიქსი