რაციონალური რიცხვების განმარტება

რაციონალური რიცხვებია:

• ნატურალური რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, $7=\frac(7)(1)$.
• მთელი რიცხვები, ნულის რიცხვის ჩათვლით, რომლებიც შეიძლება გამოისახოს როგორც დადებითი ან უარყოფითი წილადები, ან როგორც ნული. მაგალითად, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• ჩვეულებრივი წილადები (დადებითი ან უარყოფითი).
• შერეული რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს არასწორ საერთო წილადად. მაგალითად, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ და $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• სასრულ ათწილადი და უსასრულო პერიოდული წილადი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც საერთო წილადი. მაგალითად, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

შენიშვნა 1

გაითვალისწინეთ, რომ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი არ ვრცელდება რაციონალურ რიცხვებზე, რადგან ის არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი.

მაგალითი 1

ნატურალური რიცხვები $7, 670, 21 \ 456$ რაციონალურია.

მთელი რიცხვები $76, -76, 0, -555 \ 666$ რაციონალურია.

ჩვეულებრივი წილადები $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ რაციონალური რიცხვებია. .

ამრიგად, რაციონალური რიცხვები იყოფა დადებით და უარყოფითად. ნული რაციონალური რიცხვია, მაგრამ ეს არ არის დადებითი ან უარყოფითი რაციონალური რიცხვი.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ რაციონალური რიცხვების უფრო მოკლე განმარტება.

განმარტება 3

რაციონალურიზარის ნომრები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სასრული ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის სახით.

შესაძლებელია შემდეგი დასკვნების გამოტანა:

• დადებითი და უარყოფითი მთელი რიცხვები და წილადი რიცხვები მიეკუთვნება რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს;
• რაციონალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი და ბუნებრივი მნიშვნელი და არის რაციონალური რიცხვი;
• რაციონალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნებისმიერი პერიოდული ათობითი რიცხვი, რომელიც რაციონალური რიცხვია.

როგორ განვსაზღვროთ რიცხვი რაციონალურია თუ არა

1. რიცხვი მოცემულია რიცხვითი გამოსახულების სახით, რომელიც შედგება მხოლოდ რაციონალური რიცხვებისგან და არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებისგან. ამ შემთხვევაში, გამოხატვის მნიშვნელობა იქნება რაციონალური რიცხვი.
2. ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვი რაციონალური რიცხვია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფესვი არის რიცხვი, რომელიც არის რომელიმე ნატურალური რიცხვის სრულყოფილი კვადრატი. მაგალითად, $\sqrt(9)$ და $\sqrt(121)$ რაციონალური რიცხვებია, რადგან $9=3^2$ და $121=11^2$.
3. მთელი რიცხვის $n$th ფესვი რაციონალური რიცხვია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ძირის ნიშნის ქვეშ არსებული რიცხვი არის რომელიმე მთელი რიცხვის $n$th ხარისხში. მაგალითად, $\sqrt(8)$ არის რაციონალური რიცხვი, რადგან $8=2^3$.

რაციონალური რიცხვები ყველგან მკვრივია რიცხვების ღერძზე: ყოველ ორ რაციონალურ რიცხვს შორის, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია, შეიძლება განთავსდეს მინიმუმ ერთი რაციონალური რიცხვი (აქედან გამომდინარე, რაციონალური რიცხვების უსასრულო რაოდენობა). ამავდროულად, რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს ახასიათებს თვლადი კარდინალობა (ანუ სიმრავლის ყველა ელემენტის დანომრვა შესაძლებელია). ძველმა ბერძნებმა დაადასტურეს, რომ არსებობს რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წილადის სახით დაიწეროს. მათ აჩვენეს, რომ არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის $2$-ს. მაშინ რაციონალური რიცხვები არ იყო საკმარისი ყველა სიდიდის გამოსახატავად, რამაც მოგვიანებით გამოიწვია რეალური რიცხვების გამოჩენა. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე, რეალური რიცხვებისგან განსხვავებით, ნულოვანია.

საშუალო სკოლის მოსწავლეები და მათემატიკური სპეციალობების სტუდენტები, სავარაუდოდ, ადვილად უპასუხებენ ამ კითხვას. მაგრამ მათთვის, ვინც პროფესიით შორს არის ამისგან, ეს უფრო რთული იქნება. რა არის სინამდვილეში?

არსი და აღნიშვნა

რაციონალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. პოზიტიური, უარყოფითი, ასევე ნული ასევე შედის ამ კომპლექტში. წილადის მრიცხველი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელი უნდა იყოს

ეს სიმრავლე მათემატიკაში აღინიშნება როგორც Q და ეწოდება "რაციონალური რიცხვების ველი". იგი მოიცავს ყველა მთელ რიცხვს და ნატურალურ რიცხვს, რომლებიც აღნიშნავენ შესაბამისად Z და N. სიმრავლე Q თავად შედის R სიმრავლეში. სწორედ ეს ასო აღნიშნავს ე.წ.

Შესრულება

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რაციონალური რიცხვები არის სიმრავლე, რომელიც მოიცავს ყველა მთელ და წილად მნიშვნელობებს. ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით. პირველი, ჩვეულებრივი წილადის სახით: 5/7, 1/5, 11/15 და ა.შ. რა თქმა უნდა, მთელი რიცხვები შეიძლება დაიწეროს მსგავსი ფორმით: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 და ა.შ. მეორე, სხვა ტიპის წარმოდგენა არის ათობითი წილადი ბოლო წილადი ნაწილით: 0.01, -15.001006 და ა.შ. ეს ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული ფორმაა.

მაგრამ არის მესამეც - პერიოდული ფრაქცია. ეს ტიპი არ არის ძალიან გავრცელებული, მაგრამ მაინც გამოიყენება. მაგალითად, წილადი 10/3 შეიძლება დაიწეროს როგორც 3.33333... ან 3,(3). ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა წარმოდგენები განიხილება მსგავს რიცხვებად. ტოლ წილადებს ასევე დაერქმევა, მაგალითად, 3/5 და 6/10. როგორც ჩანს, ცხადი გახდა, რა არის რაციონალური რიცხვები. მაგრამ რატომ გამოიყენება ეს ტერმინი მათ მიმართ?

სახელის წარმოშობა

სიტყვა "რაციონალური" თანამედროვე რუსულ ენაზე ზოგადად ოდნავ განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს. საკმაოდ „გონივრული“, „გათვლილია“. მაგრამ მათემატიკური ტერმინები ახლოსაა ამის პირდაპირ მნიშვნელობასთან.ლათინურად „რატიო“ არის „ფარდობა“, „წილადი“ ან „გაყოფა“. ამრიგად, სახელი ასახავს რაციონალური რიცხვების არსს. თუმცა, მეორე მნიშვნელობა

შორს არ არის სიმართლისგან.

მოქმედებები მათთან

მათემატიკური ამოცანების ამოხსნისას გამუდმებით ვხვდებით რაციონალურ რიცხვებს, თვითონაც არ ვიცით ამის შესახებ. და მათ აქვთ მრავალი საინტერესო თვისება. ყველა მათგანი გამომდინარეობს ან კომპლექტის განმარტებიდან ან მოქმედებებიდან.

პირველი, რაციონალურ რიცხვებს აქვთ თანმიმდევრობის მიმართების თვისება. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ ერთი თანაფარდობა შეიძლება არსებობდეს ორ რიცხვს შორის - ისინი ან ერთმანეთის ტოლია, ან ერთი მეორეზე დიდი ან ნაკლები. ანუ:

ან a = bან a > bან ა< b.

უფრო მეტიც, ეს თვისება ასევე გულისხმობს ურთიერთობის გარდამავალობას. ანუ თუ ამეტი ბ, ბმეტი გ, მაშინ ამეტი გ. მათემატიკის ენაზე ასე გამოიყურება:

(ა > ბ) ^ (ბ > გ) => (ა > გ).

მეორეც, არის არითმეტიკული მოქმედებები რაციონალური რიცხვებით, ანუ შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და, რა თქმა უნდა, გამრავლება. ამავდროულად, გარდაქმნების პროცესში შეიძლება გამოიყოს მრავალი თვისება.

• a + b = b + a (ტერმინების ჩანაცვლება, კომუტატიულობა);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (ასოციაციურობა);
• a + (-a) = 0;
• აბ=ბა;
• (ab)c = a(bc) (განაწილება);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (ამ შემთხვევაში, a არ არის 0-ის ტოლი);
• (a + b)c = ac + ab;
• (ა > ბ) ^ (გ > 0) => (ac > ძვ. წ.).

რაც შეეხება ჩვეულებრივ, და არა ან მთელ რიცხვებს, მათთან ოპერაციებმა შეიძლება გამოიწვიოს გარკვეული სირთულეები. ამრიგად, შეკრება და გამოკლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელები ტოლია. თუ ისინი თავდაპირველად განსხვავდებიან, უნდა იპოვოთ საერთო, მთელი წილადის გარკვეულ რიცხვებზე გამრავლების გამოყენებით. შედარება ასევე ყველაზე ხშირად შესაძლებელია მხოლოდ ამ პირობის დაკმაყოფილების შემთხვევაში.

ჩვეულებრივი წილადების გაყოფა და გამრავლება ხდება საკმაოდ მარტივი წესების შესაბამისად. საერთო მნიშვნელამდე შემცირება საჭირო არ არის. მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება ცალ-ცალკე, ხოლო მოქმედების შესრულების პროცესში, თუ შესაძლებელია, წილადი მაქსიმალურად უნდა შემცირდეს და გამარტივდეს.

რაც შეეხება დაყოფას, ეს ქმედება პირველის მსგავსია მცირედი განსხვავებით. მეორე წილადისთვის თქვენ უნდა იპოვოთ საპასუხო, ანუ,

"გაატრიალეთ". ამრიგად, პირველი წილადის მრიცხველი უნდა გამრავლდეს მეორის მნიშვნელზე და პირიქით.

დაბოლოს, რაციონალური რიცხვებისთვის დამახასიათებელი სხვა თვისება ეწოდება არქიმედეს აქსიომას. ტერმინი „პრინციპი“ ასევე ხშირად გვხვდება ლიტერატურაში. ის მოქმედებს რეალური რიცხვების მთელი ნაკრებისთვის, მაგრამ არა ყველგან. ამრიგად, ეს პრინციპი არ მუშაობს რაციონალური ფუნქციების ზოგიერთ კოლექციაზე. არსებითად, ეს აქსიომა ნიშნავს, რომ ორი a და b სიდიდის არსებობის გათვალისწინებით, ყოველთვის შეგიძლიათ აიღოთ საკმარისი a, რომ გადააჭარბოთ b.

განაცხადის არეალი

ასე რომ, მათთვის, ვინც ისწავლა ან გაიხსენა, რა არის რაციონალური რიცხვები, ცხადი ხდება, რომ ისინი ყველგან გამოიყენება: ბუღალტერიაში, ეკონომიკაში, სტატისტიკაში, ფიზიკაში, ქიმიაში და სხვა მეცნიერებებში. ბუნებრივია, მათემატიკაშიც აქვთ ადგილი. ყოველთვის არ ვიცით, რომ მათთან გვაქვს საქმე, მუდმივად ვიყენებთ რაციონალურ რიცხვებს. მცირეწლოვანი ბავშვებიც კი, რომლებიც სწავლობენ საგნების დათვლას, ვაშლის ნაჭრებად დაჭრას ან სხვა მარტივ მოქმედებებს, ხვდებიან მათ. ისინი ფაქტიურად გვახვევენ გარშემო. და მაინც, ისინი არ არის საკმარისი ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად, კერძოდ, პითაგორას თეორემის მაგალითის გამოყენებით, შეიძლება გაიგოს კონცეფციის დანერგვის აუცილებლობა.

) არის რიცხვები დადებითი ან უარყოფითი ნიშნით (მთლიანი და წილადი) და ნული. რაციონალური რიცხვების უფრო ზუსტი კონცეფცია ასე ჟღერს:

რაციონალური რიცხვი- რიცხვი, რომელიც წარმოდგენილია მარტივი წილადით მ/ნ, სადაც მრიცხველი მარის მთელი რიცხვები და მნიშვნელი ნ- მთელი რიცხვები, მაგალითად 2/3.

უსასრულო არაპერიოდული წილადები არ შედის რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეში.

ა/ბ, სად ა∈ ზ (ამიეკუთვნება მთელ რიცხვებს) ბ∈ ნ (ბეკუთვნის ნატურალურ რიცხვებს).

რაციონალური რიცხვების გამოყენება რეალურ ცხოვრებაში.

რეალურ ცხოვრებაში, რაციონალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება ზოგიერთი მთელი რიცხვის გამყოფი ობიექტის ნაწილების დასათვლელად, Მაგალითად, ნამცხვრები ან სხვა საკვები, რომლებიც ნაწილებად იჭრება მოხმარებამდე, ან გაფართოებული ობიექტების სივრცითი ურთიერთობების უხეში შეფასებისთვის.

რაციონალური რიცხვების თვისებები.

რაციონალური რიცხვების ძირითადი თვისებები.

1. მოწესრიგებულობა ადა ბარსებობს წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ცალსახად ამოიცნოთ მათ შორის 1-მაგრამ და მხოლოდ 3 ურთიერთობიდან: ”<», «>" ან "=". ეს წესი არის - შეკვეთის წესიდა ჩამოაყალიბეთ ასე:

• 2 დადებითი რიცხვი a=m a /n aდა b=m b /n bდაკავშირებული იგივე ურთიერთობით, როგორც 2 მთელი რიცხვი მ ა⋅ ნბდა მ ბ⋅ ნ ა;
• 2 უარყოფითი რიცხვი ადა ბდაკავშირებული იგივე მიმართებით, როგორც 2 დადებითი რიცხვი |ბ|და |ა|;
• როდესაც ადადებითი და ბ- მაშინ უარყოფითი ა>ბ.

∀ ა, ბ∈ Q(a ∨ ა>ბ∨ ა=ბ)

2. დამატების ოპერაცია. ყველა რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბიქ არის შეჯამების წესი, რაც მათ შესაბამისობაში აყენებს გარკვეულ რაციონალურ რიცხვთან გ. თუმცა, თავად ნომერი გ- ეს ჯამინომრები ადა ბდა მოიხსენიება როგორც (a+b) შეჯამება.

შეჯამების წესიასე გამოიყურება:

მ ა/n a + m ბ/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n ა)/(n ა⋅ ნბ).

∀ ა, ბ∈ ქ∃ !(ა+ბ)∈ ქ

3. გამრავლების ოპერაცია. ყველა რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბიქ არის გამრავლების წესი, ის მათ გარკვეულ რაციონალურ რიცხვთან აკავშირებს გ. რიცხვი c ეწოდება მუშაობანომრები ადა ბდა აღვნიშნავთ (a⋅b), და ამ ნომრის პოვნის პროცესი ე.წ გამრავლება.

გამრავლების წესიასე გამოიყურება: მ ა ნ ა⋅ m b n b =m a⋅ მ ბ ნ ა⋅ ნბ.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. წესრიგის მიმართების გარდამავლობა.ნებისმიერი სამი რაციონალური რიცხვისთვის ა, ბდა გთუ აუფრო პატარა ბდა ბუფრო პატარა გ, მაშინ აუფრო პატარა გ, და თუ აუდრის ბდა ბუდრის გ, მაშინ აუდრის გ.

∀ ა, ბ, გ∈ Q(a ∧ ბ ⇒ ა ∧ (a=b∧ b=c⇒ ა = გ)

5. დამატების კომუტატიულობა. რაციონალური ტერმინების ადგილების ცვლილებიდან ჯამი არ იცვლება.

∀ ა, ბ∈ ქა+ბ=ბ+ა

6. დამატების ასოციაციურობა. 3 რაციონალური რიცხვის შეკრების რიგი არ მოქმედებს შედეგზე.

∀ ა, ბ, გ∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. ნულის არსებობა. არის რაციონალური რიცხვი 0, ის ინახავს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს, როდესაც დამატებულია.

∃ 0 ∈ ქ∀ ა∈ Qa+0=a

8. საპირისპირო რიცხვების არსებობა. ყველა რაციონალურ რიცხვს აქვს საპირისპირო რაციონალური რიცხვი, მათი შეკრებით მივიღებთ 0-ს.

∀ ა∈ ქ∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. გამრავლების კომუტატიულობა. რაციონალური ფაქტორების ადგილების შეცვლით პროდუქტი არ იცვლება.

∀ ა, ბ∈ ქ ა⋅ b=b⋅ ა

10. გამრავლების ასოციაციურობა. 3 რაციონალური რიცხვის გამრავლების რიგი არ მოქმედებს შედეგზე.

∀ ა, ბ, გ∈ Q(a⋅ ბ)⋅ c=a⋅ (ბ⋅ გ)

11. ერთეულის ხელმისაწვდომობა. არის რაციონალური რიცხვი 1, ის ინახავს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს გამრავლების პროცესში.

∃ 1 ∈ ქ∀ ა∈ ქ ა⋅ 1=a

12. ორმხრივების არსებობა. ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს ნულის გარდა აქვს შებრუნებული რაციონალური რიცხვი, რომელზედაც გამრავლებით მივიღებთ 1-ს .

∀ ა∈ ქ∃ a−1∈ ქ ა⋅ a−1=1

13. შეკრების მიმართ გამრავლების განაწილება. გამრავლების ოპერაცია დაკავშირებულია შეკრებასთან განაწილების კანონის გამოყენებით:

∀ ა, ბ, გ∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ გ+ბ⋅ გ

14. შეკვეთის მიმართების კავშირი მიმატების ოპერაციასთან. რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ემატება იგივე რაციონალური რიცხვი.

∀ ა, ბ, გ∈ ქ ა ⇒ ა+გ

15. რიგის მიმართების კავშირი გამრავლების მოქმედებასთან. რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები შეიძლება გამრავლდეს იმავე არაუარყოფით რაციონალურ რიცხვზე.

∀ ა, ბ, გ∈ Qc>0∧ ა ⇒ ა⋅ გ ⋅ გ

16. არქიმედეს აქსიომა. რაც არ უნდა იყოს რაციონალური რიცხვი ა, ადვილია იმდენი ერთეულის აღება, რომ მათი ჯამი მეტი იყოს ა.

რაციონალური რიცხვების თემა საკმაოდ ვრცელია. შეგიძლიათ უსასრულოდ ისაუბროთ და დაწეროთ მთელი ნამუშევრები, ყოველ ჯერზე ახალი ჩიპებით გაკვირვებული.

მომავალში შეცდომების თავიდან აცილების მიზნით, ამ გაკვეთილზე ცოტათი ჩავუღრმავდებით რაციონალური რიცხვების თემას, გამოვყოფთ მისგან საჭირო ინფორმაციას და გავაგრძელებთ.

გაკვეთილის შინაარსი

რა არის რაციონალური რიცხვი

რაციონალური რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, სადაც ა -არის წილადის მრიცხველი ბარის წილადის მნიშვნელი. და ბარ უნდა იყოს ნული, რადგან ნულზე გაყოფა დაუშვებელია.

რაციონალური რიცხვები მოიცავს რიცხვების შემდეგ კატეგორიებს:

• მთელი რიცხვები (მაგალითად -2, -1, 0 1, 2 და ა.შ.)

• ათობითი წილადები (მაგალითად 0.2 და ა.შ.)

• უსასრულო პერიოდული წილადები (მაგალითად, 0, (3) და ა.შ.)

ამ კატეგორიის თითოეული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით.

მაგალითი 1მთელი რიცხვი 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ასე რომ, ნომერი 2 ეხება არა მხოლოდ მთელ რიცხვებს, არამედ რაციონალურებსაც.

მაგალითი 2შერეული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ეს წილადი მიიღება შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევით.

ასე რომ, შერეული რიცხვი რაციონალური რიცხვია.

მაგალითი 3ათობითი 0.2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ეს წილადი მიღებული იყო ათობითი წილადის 0.2 ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევით. თუ ამ ეტაპზე გიჭირთ, გაიმეორეთ თემა.

ვინაიდან ათობითი წილადი 0.2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, ეს ნიშნავს, რომ ის ასევე ეხება რაციონალურ რიცხვებს.

მაგალითი 4უსასრულო პერიოდული წილადი 0, (3) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ეს წილადი მიიღება სუფთა პერიოდული წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევით. თუ ამ ეტაპზე გიჭირთ, გაიმეორეთ თემა.

ვინაიდან უსასრულო პერიოდული წილადი 0, (3) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, ეს ნიშნავს, რომ ის ასევე რაციონალურ რიცხვებს ეკუთვნის.

მომავალში, ყველა რიცხვს, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, ჩვენ სულ უფრო და უფრო დავარქმევთ ერთ ფრაზას - რაციონალური რიცხვი.

რაციონალური რიცხვები კოორდინატთა წრფეზე

უარყოფითი რიცხვების შესწავლისას განვიხილეთ კოორდინატთა წრფე. შეგახსენებთ, რომ ეს არის სწორი ხაზი, რომელზეც მრავალი წერტილი დევს. Შემდეგნაირად:

ეს ფიგურა გვიჩვენებს კოორდინატთა ხაზის მცირე ფრაგმენტს -5-დან 5-მდე.

ძნელი არ არის კოორდინატთა წრფეზე 2, 0, −3 ფორმის მთელი რიცხვების მონიშვნა.

დანარჩენი რიცხვებით საქმე ბევრად უფრო საინტერესოა: ჩვეულებრივი წილადებით, შერეული რიცხვებით, ათობითი წილადებით და ა.შ. ეს რიცხვები დევს მთელ რიცხვებს შორის და ეს რიცხვები უსასრულოდ ბევრია.

მაგალითად, ავღნიშნოთ რაციონალური რიცხვი კოორდინატთა წრფეზე. ეს რიცხვი ზუსტად ნულსა და ერთს შორისაა.

შევეცადოთ გავიგოთ, რატომ მდებარეობს წილადი მოულოდნელად ნულსა და ერთს შორის.

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, მთელ რიცხვებს შორის დევს სხვა რიცხვები - ჩვეულებრივი წილადები, ათობითი წილადები, შერეული რიცხვები და ა.შ. მაგალითად, თუ გაზრდით კოორდინატთა ხაზის მონაკვეთს 0-დან 1-მდე, შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი სურათი

ჩანს, რომ 0 და 1 რიცხვებს შორის უკვე არის სხვა რაციონალური რიცხვები, რომლებიც ჩვენთვის ნაცნობი ათობითი წილადებია. აქაც ჩანს ჩვენი წილადი, რომელიც მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 0.5. ამ ფიგურის საგულდაგულო ​​გამოკვლევა იძლევა პასუხს კითხვაზე, თუ რატომ მდებარეობს წილადი ზუსტად იქ.

წილადი ნიშნავს 1-ის 2-ზე გაყოფას. და თუ 1-ს გავყოფთ 2-ზე, მაშინ მივიღებთ 0,5-ს.

ათობითი წილადი 0.5 შეიძლება შენიღბული იყოს სხვა წილადებად. წილადის ძირითადი თვისებიდან ვიცით, რომ თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება ან იყოფა იმავე რიცხვზე, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლებთ ნებისმიერ რიცხვზე, მაგალითად 4 რიცხვზე, მაშინ მივიღებთ ახალ წილადს და ეს წილადიც უდრის 0,5-ს.

ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატთა ხაზზე, წილადი შეიძლება განთავსდეს იმავე ადგილას, სადაც მდებარეობდა ფრაქცია

მაგალითი 2ვცადოთ რაციონალური რიცხვის აღნიშვნა კოორდინატზე. ეს რიცხვი მდებარეობს ზუსტად 1 და 2 ნომრებს შორის

წილადის მნიშვნელობა არის 1,5

თუ კოორდინატთა ხაზის მონაკვეთს გავზრდით 1-დან 2-მდე, მაშინ დავინახავთ შემდეგ სურათს:

ჩანს, რომ 1 და 2 რიცხვებს შორის უკვე არის სხვა რაციონალური რიცხვები, რომლებიც ჩვენთვის ნაცნობი ათობითი წილადებია. აქაც ჩანს ჩვენი წილადი, რომელიც მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 1.5.

ჩვენ გავზარდეთ გარკვეული სეგმენტები კოორდინატთა ხაზზე, რათა დავინახოთ ამ სეგმენტზე არსებული დანარჩენი რიცხვები. შედეგად, ჩვენ ვიპოვეთ ათობითი წილადები, რომლებსაც ერთი ციფრი ჰქონდათ ათობითი წერტილის შემდეგ.

მაგრამ ეს არ იყო ერთადერთი რიცხვები, რომლებიც დევს ამ სეგმენტებზე. კოორდინატთა ხაზზე უსასრულოდ ბევრი რიცხვია.

ადვილი მისახვედრია, რომ ათობითი წილადებს შორის, რომლებსაც აქვთ ერთი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ, უკვე არის სხვა ათწილადი წილადები, რომლებსაც აქვთ ორი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტის მეასედი.

მაგალითად, ვცადოთ ვნახოთ რიცხვები, რომლებიც დევს ათწილადის წილადებს შორის 0.1 და 0.2.

Სხვა მაგალითი. ათწილადები, რომლებსაც აქვთ ორი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ და დევს ნულსა და რაციონალურ რიცხვს 0.1 შორის, ასე გამოიყურება:

მაგალითი 3ჩვენ ვნიშნავთ რაციონალურ რიცხვს კოორდინატთა ხაზზე. ეს რაციონალური რიცხვი ძალიან ახლოს იქნება ნულთან.

წილადის მნიშვნელობა არის 0,02

თუ სეგმენტს გავზრდით 0-დან 0,1-მდე, დავინახავთ, სად მდებარეობს ზუსტად რაციონალური რიცხვი

ჩანს, რომ ჩვენი რაციონალური რიცხვი მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 0.02.

მაგალითი 4მოდით აღვნიშნოთ რაციონალური რიცხვი 0 კოორდინატთა წრფეზე, (3)

რაციონალური რიცხვი 0, (3) არის უსასრულო პერიოდული წილადი. მისი წილადი ნაწილი არასოდეს მთავრდება, ის უსასრულოა

და რადგან რიცხვს 0, (3) აქვს უსასრულო წილადი ნაწილი, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვერ ვიპოვით ზუსტ ადგილს კოორდინატთა ხაზზე, სადაც ეს რიცხვი მდებარეობს. ეს ადგილი მხოლოდ დაახლოებით შეგვიძლია მივუთითოთ.

რაციონალური რიცხვი 0.33333... ძალიან ახლოს იქნება ჩვეულებრივ ათობითი 0.3-თან

ეს ფიგურა არ აჩვენებს 0,(3) რიცხვის ზუსტ მდებარეობას. ეს მხოლოდ ილუსტრაციაა, რომელიც გვიჩვენებს, რამდენად ახლოს შეიძლება იყოს პერიოდული წილადი 0.(3) ჩვეულებრივ ათწილად 0.3-თან.

მაგალითი 5ჩვენ ვნიშნავთ რაციონალურ რიცხვს კოორდინატთა ხაზზე. ეს რაციონალური რიცხვი განთავსდება შუაში 2 და 3 რიცხვებს შორის

ეს არის 2 (ორი მთელი რიცხვი) და (ერთი წამი). წილადს ასევე უწოდებენ "ნახევარს". აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნეთ ორი მთლიანი სეგმენტი და სეგმენტის კიდევ ნახევარი კოორდინატთა ხაზზე.

თუ შერეულ რიცხვს ვთარგმნით არასწორ წილადად, მივიღებთ ჩვეულებრივ წილადს. კოორდინატთა ხაზის ეს წილადი განთავსდება იმავე ადგილას, სადაც წილადი

წილადის მნიშვნელობა არის 2,5

თუ კოორდინატთა ხაზის მონაკვეთს გავზრდით 2-დან 3-მდე, მაშინ დავინახავთ შემდეგ სურათს:

ჩანს, რომ ჩვენი რაციონალური რიცხვი მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 2.5

მინუსი რაციონალური რიცხვის წინ

წინა გაკვეთილზე, რომელიც ეწოდა, ვისწავლეთ როგორ გავყოთ რიცხვები. დივიდენდი და გამყოფი შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვები.

განვიხილოთ უმარტივესი გამოთქმა

(−6) : 2 = −3

ამ გამოსახულებაში დივიდენდი (−6) არის უარყოფითი რიცხვი.

ახლა განიხილეთ მეორე გამოთქმა

6: (−2) = −3

აქ გამყოფი (−2) უკვე უარყოფითი რიცხვია. მაგრამ ორივე შემთხვევაში ვიღებთ ერთსა და იმავე პასუხს -3.

იმის გათვალისწინებით, რომ ნებისმიერი გაყოფა შეიძლება დაიწეროს წილადად, ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ ზემოთ განხილული მაგალითები წილადის სახით:

და რადგან ორივე შემთხვევაში წილადის მნიშვნელობა ერთნაირია, მრიცხველში ან მნიშვნელში მყოფი მინუსი შეიძლება იყოს საერთო წილადის წინ დაყენებით.

ამიტომ, გამონათქვამებს შორის და შეგიძლიათ დააყენოთ თანაბარი ნიშანი, რადგან ისინი ატარებენ იგივე მნიშვნელობას

მომავალში, წილადებთან მუშაობისას, თუ მრიცხველში ან მნიშვნელში მინუსს შევხვდებით, ამ მინუსს საერთო გავხდით, წილადის წინ დავაყენებთ.

საპირისპირო რაციონალური რიცხვები

მთელი რიცხვის მსგავსად, რაციონალურ რიცხვს აქვს თავისი საპირისპირო რიცხვი.

მაგალითად, რაციონალური რიცხვისთვის საპირისპირო რიცხვია. იგი მდებარეობს კოორდინატთა ხაზზე სიმეტრიულად მდებარეობის მიმართ საწყისის მიმართ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორივე ეს რიცხვი თანაბრად არის დაშორებული საწყისიდან

შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად

ჩვენ ვიცით, რომ შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევისთვის საჭიროა მთელი ნაწილი გაამრავლოთ წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და დაამატოთ წილადი ნაწილის მრიცხველი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება ახალი წილადის მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება.

მაგალითად, გადავიყვანოთ შერეული რიცხვი არასწორ წილადად

გაამრავლეთ მთელი ნაწილი წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და დაამატეთ წილადი ნაწილის მრიცხველი:

გამოვთვალოთ ეს გამოთქმა:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

შედეგად მიღებული რიცხვი 5 იქნება ახალი წილადის მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი იგივე დარჩება:

მთელი პროცესი დაწერილია შემდეგნაირად:

თავდაპირველი შერეული რიცხვის დასაბრუნებლად საკმარისია წილადის მთელი ნაწილის შერჩევა

მაგრამ შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევის ეს გზა გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შერეული რიცხვი დადებითია. უარყოფითი რიცხვისთვის ეს მეთოდი არ იმუშავებს.

განვიხილოთ წილადი. ავიღოთ ამ წილადის მთელი რიცხვი. მიიღეთ

თავდაპირველი წილადის დასაბრუნებლად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ შერეული რიცხვი არასწორ წილადად. მაგრამ თუ გამოვიყენებთ ძველ წესს, კერძოდ, გავამრავლებთ მთელ ნაწილს წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და დავამატებთ წილადი ნაწილის მრიცხველს მიღებულ რიცხვს, მაშინ მივიღებთ შემდეგ წინააღმდეგობას:

ჩვენ მივიღეთ წილადი, მაგრამ უნდა მიგვეღო წილადი.

ჩვენ ვასკვნით, რომ შერეული რიცხვი არასწორად იყო გადათარგმნილი არასწორ წილადში

უარყოფითი შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადასატანად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი ნაწილი წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და მიღებული რიცხვიდან. გამოკლებაწილადი მრიცხველი. ამ შემთხვევაში ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება

უარყოფითი შერეული რიცხვი შერეული რიცხვის საპირისპიროა. თუ დადებითი შერეული რიცხვი მდებარეობს მარჯვენა მხარეს და ასე გამოიყურება

Რაციონალური რიცხვი

მეოთხედი

1. მოწესრიგებულობა. ადა ბარსებობს წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ცალსახად ამოიცნოთ მათ შორის სამი და მხოლოდ ერთი ურთიერთობა: ”< », « >'ან ' = '. ამ წესს ე.წ შეკვეთის წესიდა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი არაუარყოფითი რიცხვი და დაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი მთელი რიცხვი და ; ორი არადადებითი რიცხვი ადა ბდაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი არაუარყოფითი რიცხვი და ; თუ მოულოდნელად აარაუარყოფითი და ბ- მაშინ უარყოფითი ა > ბ. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   წილადების ჯამი

2. დამატების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ შეჯამების წესი გ. თუმცა, თავად ნომერი გდაურეკა ჯამინომრები ადა ბდა აღინიშნება და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესი ეწოდება შეჯამება. შეჯამების წესს აქვს შემდეგი ფორმა: .
3. გამრავლების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ გამრავლების წესი, რაც მათ შესაბამისობაში აყენებს რაღაც რაციონალურ რიცხვთან გ. თუმცა, თავად ნომერი გდაურეკა მუშაობანომრები ადა ბდა აღინიშნება და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესსაც უწოდებენ გამრავლება. გამრავლების წესი ასეთია: .
4. წესრიგის მიმართების გარდამავლობა.რაციონალური რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი ა , ბდა გთუ აუფრო პატარა ბდა ბუფრო პატარა გ, მაშინ აუფრო პატარა გ, და თუ აუდრის ბდა ბუდრის გ, მაშინ აუდრის გ. 6435">მიმატების ურთიერთშენაცვლება. რაციონალური ტერმინების ადგილების შეცვლით ჯამი არ იცვლება.
5. დამატების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის მიმატების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
6. ნულის არსებობა.არის რაციონალური რიცხვი 0, რომელიც შეჯამებისას ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს.
7. საპირისპირო რიცხვების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს საპირისპირო რაციონალური რიცხვი, რომელიც შეჯამებისას იძლევა 0-ს.
8. გამრავლების კომუტატიულობა.რაციონალური ფაქტორების ადგილების შეცვლით პროდუქტი არ იცვლება.
9. გამრავლების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის გამრავლების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
10. ერთეულის არსებობა.არის რაციონალური რიცხვი 1, რომელიც გამრავლებისას ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს.
11. ორმხრივების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს შებრუნებული რაციონალური რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას იძლევა 1-ს.
12. შეკრების მიმართ გამრავლების განაწილება.გამრავლების ოპერაცია შეესაბამება შეკრების ოპერაციას განაწილების კანონით:
13. შეკვეთის მიმართების კავშირი მიმატების ოპერაციასთან.იგივე რაციონალური რიცხვი შეიძლება დაემატოს რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. არქიმედეს აქსიომა.რაც არ უნდა იყოს რაციონალური რიცხვი ა, შეგიძლიათ აიღოთ იმდენი ერთეული, რომ მათი ჯამი გადააჭარბოს ა. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

დამატებითი თვისებები

რაციონალური რიცხვების თანდაყოლილი ყველა სხვა თვისება არ არის გამოყოფილი, როგორც ძირითადი, რადგან, ზოგადად, ისინი აღარ არის დაფუძნებული პირდაპირ მთელი რიცხვების თვისებებზე, მაგრამ შეიძლება დადასტურდეს მოცემული ძირითადი თვისებების საფუძველზე ან პირდაპირ განსაზღვრებით. რაღაც მათემატიკური ობიექტი. უამრავი ასეთი დამატებითი თვისებაა. აქ აზრი აქვს მხოლოდ რამდენიმე მათგანის მოყვანას.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

თვლადობის დაყენება

რაციონალური რიცხვების ნუმერაცია

რაციონალური რიცხვების რაოდენობის შესაფასებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი ნაკრების კარდინალურობა. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. ამისათვის საკმარისია მივცეთ ალგორითმი, რომელიც ჩამოთვლის რაციონალურ რიცხვებს, ანუ ადგენს ბიექციას რაციონალურ და ნატურალურ რიცხვებს შორის.

ამ ალგორითმებიდან ყველაზე მარტივი შემდეგია. შედგენილია ჩვეულებრივი წილადების უსასრულო ცხრილი, თითოეულზე მე-მეე ხაზი თითოეულში ჯრომლის სვეტი არის წილადი. დაზუსტებისთვის, ვარაუდობენ, რომ ამ ცხრილის რიგები და სვეტები დანომრილია ერთიდან. ცხრილის უჯრედები აღინიშნება, სადაც მე- ცხრილის რიგის ნომერი, რომელშიც მდებარეობს უჯრედი და ჯ- სვეტის ნომერი.

მიღებულ ცხრილს მართავს „გველი“ შემდეგი ფორმალური ალგორითმის მიხედვით.

ეს წესები იძებნება ზემოდან ქვემოდან და შემდეგი პოზიცია ირჩევა პირველი მატჩით.

ასეთი შემოვლითი პროცესის დროს ყოველი ახალი რაციონალური რიცხვი ენიჭება შემდეგ ნატურალურ რიცხვს. ანუ წილადებს 1/1 ენიჭებათ რიცხვი 1, წილადებს 2/1 - რიცხვი 2 და ა.შ. უნდა აღინიშნოს, რომ დანომრილია მხოლოდ შეუქცევადი წილადები. შეუქცევადობის ფორმალური ნიშანი არის წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის ტოლობა ერთიანობაში.

ამ ალგორითმის მიხედვით, შეიძლება ყველა დადებითი რაციონალური რიცხვის ჩამოთვლა. ეს ნიშნავს, რომ დადებითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. დადებითი და უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს შორის ბიექციის დადგენა მარტივია, უბრალოდ თითოეულ რაციონალურ რიცხვს მისი საპირისპირო მინიჭებით. რომ. უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეც თვლადია. მათი გაერთიანება ასევე დასათვლელია თვლადი სიმრავლეების თვისებით. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე ასევე დასათვლელია, როგორც თვლადი სიმრავლის კავშირი სასრულთან.

რაციონალური რიცხვების სიმრავლის თვლადობის შესახებ განცხადებამ შეიძლება გარკვეული გაკვირვება გამოიწვიოს, რადგან ერთი შეხედვით იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ის ბევრად აღემატება ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს. სინამდვილეში ეს ასე არ არის და საკმარისია ნატურალური რიცხვები ყველა რაციონალურის დასათვლელად.

რაციონალური რიცხვების უკმარისობა

ასეთი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არ არის გამოხატული რაიმე რაციონალური რიცხვით

ფორმის რაციონალური რიცხვები 1 / ნდიდად ნთვითნებურად მცირე რაოდენობით შეიძლება გაიზომოს. ეს ფაქტი ქმნის მატყუარა შთაბეჭდილებას, რომ რაციონალურ რიცხვებს შეუძლიათ გაზომონ ნებისმიერი გეომეტრიული მანძილი ზოგადად. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს სიმართლეს არ შეესაბამება.

შენიშვნები

ლიტერატურა

• ი.კუშნირი. მათემატიკის სახელმძღვანელო სკოლის მოსწავლეებისთვის. - კიევი: ASTARTA, 1998. - 520გვ.
• P.S. ალექსანდროვი. სიმრავლეების თეორიისა და ზოგადი ტოპოლოგიის შესავალი. - მ.: თავი. რედ. ფიზ.-მათ. განათებული. რედ. "მეცნიერება", 1977 წ
• I. L. ხმელნიცკი. ალგებრული სისტემების თეორიის შესავალი

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.