უპასუხე: სერია განსხვავდება.

მაგალითი #3

იპოვეთ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3)) სერიის ჯამი.

ვინაიდან შეჯამების ქვედა ზღვარი არის 1, სერიის საერთო ტერმინი იწერება ჯამის ნიშნის ქვეშ: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. შეადგინეთ რიგის n-ე ნაწილობრივი ჯამი, ე.ი. შეაჯამეთ მოცემული რიცხვითი სერიის პირველი $n$ წევრები:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

რატომ ვწერ ზუსტად $\frac(2)(3\cdot 5)$ და არა $\frac(2)(15)$, შემდგომი თხრობიდან გაირკვევა. თუმცა ნაწილობრივი თანხის ჩაწერამ მიზანთან ერთი იოტიც არ დაგვაახლოვა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $\lim_(n\to\infty)S_n$, მაგრამ თუ უბრალოდ დავწერთ:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\მარჯვნივ), $$

მაშინ ეს ჩანაწერი, ფორმაში სრულიად სწორი, არსებითად არაფერს მოგვცემს. ლიმიტის მოსაძებნად, ნაწილობრივი ჯამის გამოხატულება ჯერ უნდა გამარტივდეს.

ამისათვის არსებობს სტანდარტული ტრანსფორმაცია, რომელიც შედგება $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ წილადის ელემენტარულ წილადებად დაშლაში. ცალკე თემა ეთმობა რაციონალური წილადების ელემენტარულებად დაშლის საკითხს (იხილეთ, მაგალითად, ამ გვერდზე N3 მაგალითი). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ წილადის ელემენტარულ წილადებად გაფართოებით, გვაქვს:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

ჩვენ ვაიგივებთ წილადების მრიცხველებს მიღებული ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

არსებობს ორი გზა, რომ იპოვოთ $A$ და $B$ მნიშვნელობები. შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები და განაახლოთ პირობები, ან შეგიძლიათ უბრალოდ შეცვალოთ რამდენიმე შესაფერისი მნიშვნელობა $n$-ის ნაცვლად. უბრალოდ შესაცვლელად, ამ მაგალითში ჩვენ მივდივართ პირველ გზაზე, ხოლო შემდეგ - ჩვენ შევცვლით $n$-ის კერძო მნიშვნელობებს. ფრჩხილების გაფართოებით და ტერმინების გადალაგებით, მივიღებთ:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

განტოლების მარცხენა მხარეს $n$-ს წინ უძღვის ნული. თუ გსურთ, ტოლობის მარცხენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიცხადისთვის, როგორც $0\cdot n+ 2$. ვინაიდან ტოლობის მარცხენა მხარეს $n$ წინ უსწრებს ნულს, ხოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს $2A+2B$ წინ უსწრებს $n$-ს, გვაქვს პირველი განტოლება: $2A+2B=0$. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვყოფთ ამ განტოლების ორივე ნაწილს 2-ზე, რის შემდეგაც მივიღებთ $A+B=0$.

ვინაიდან ტოლობის მარცხენა მხარეს თავისუფალი წევრი უდრის 2-ს, ხოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს თავისუფალი წევრი უდრის $3A+B$, მაშინ $3A+B=2$. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სისტემა:

$$ \მარცხნივ\(\ დასაწყისი (გასწორებული) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end (გასწორებული)\მარჯვნივ. $$

მტკიცება განხორციელდება მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით. პირველ ეტაპზე ჩვენ უნდა შევამოწმოთ არის თუ არა საჭირო ტოლობა $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$-ისთვის. ჩვენ ვიცით, რომ $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, მაგრამ გამონათქვამი $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ მისცემს მნიშვნელობას $\frac( 2 )(15)$ თუ $n=1$ ჩანაცვლებულია მასში? მოდით შევამოწმოთ:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

ასე რომ, $n=1$-ისთვის $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ თანასწორობა დაკმაყოფილებულია. ეს ასრულებს მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის პირველ საფეხურს.

დავუშვათ, რომ $n=k$-ისთვის მოქმედებს ტოლობა, ე.ი. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. დავამტკიცოთ, რომ იგივე ტოლობა იქნება $n=k+1$. ამისათვის განიხილეთ $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

ვინაიდან $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, მაშინ $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. ზემოაღნიშნული დაშვების მიხედვით $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, ასე რომ, ფორმულა $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ იღებს ფორმა:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

დასკვნა: ფორმულა $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ მართალია $n=k+1$-ისთვის. მაშასადამე, მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის მიხედვით, ფორმულა $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ მართალია ნებისმიერი $n\N$-ისთვის. თანასწორობა დადასტურდა.

უმაღლესი მათემატიკის სტანდარტულ კურსში, როგორც წესი, ადამიანი კმაყოფილდება გაუქმების პირობების „წაშლით“ ყოველგვარი მტკიცებულების საჭიროების გარეშე. ასე რომ, მივიღეთ გამოხატულება n-ე ნაწილობრივი ჯამისთვის: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. იპოვეთ $\lim_(n\to\infty)S_n$-ის მნიშვნელობა:

დასკვნა: მოცემული სერია იყრის თავს და მისი ჯამია $S=\frac(1)(3)$.

მეორე გზა არის ნაწილობრივი ჯამის ფორმულის გამარტივება.

მართალი გითხრათ, მე თვითონ მირჩევნია ეს მეთოდი:) მოდით, ნაწილობრივი ჯამი ჩამოვწეროთ შემოკლებით:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

ადრე მივიღეთ $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, ასე რომ:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\მარცხნივ (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\მარჯვნივ). $$

ჯამი $S_n$ შეიცავს ტერმინების სასრულ რაოდენობას, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მათი გადალაგება, როგორც გვინდა. მინდა ჯერ დავამატო $\frac(1)(2k+1)$ ფორმის ყველა პირობა და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავიდე $\frac(1)(2k+3)$ ფორმის პირობებზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ წარმოვადგენთ ნაწილობრივ ჯამს ამ ფორმით:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

რა თქმა უნდა, გაფართოებული აღნიშვნა უკიდურესად მოუხერხებელია, ამიტომ ზემოაღნიშნული თანასწორობა შეიძლება უფრო კომპაქტურად დაიწეროს:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

ახლა ჩვენ გარდაქმნით გამონათქვამებს $\frac(1)(2k+1)$ და $\frac(1)(2k+3)$ იმავე ფორმაში. მგონია, რომ მოსახერხებელია, რომ უფრო დიდი წილადი გამოიყურებოდეს (თუმცა შეგიძლიათ გამოიყენოთ უფრო პატარა, ეს გემოვნების საკითხია). ვინაიდან $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (რაც უფრო დიდია მნიშვნელი, მით უფრო მცირეა წილადი), ჩვენ შევამცირებთ წილადს $\frac(1)(2k+ 3) $ ფორმაში $\frac(1)(2k+1)$.

გამონათქვამს $\frac(1)(2k+3)$ წილადის მნიშვნელში წარმოვადგენ შემდეგნაირად:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

და ჯამი $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ახლა შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

თუ ტოლობა $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ არ ბადებს კითხვებს, მაშინ მოდით წავიდეთ უფრო შორს. თუ გაქვთ შეკითხვები, გთხოვთ გააფართოვოთ შენიშვნა.

როგორ მივიღეთ კონვერტაციული თანხა? ჩვენება დამალვა

ჩვენ გვქონდა სერია $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( კ+1)+1)$. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი $k+1$-ის ნაცვლად - მაგალითად, $t$. ასე რომ, $t=k+1$.

როგორ შეიცვალა ძველი ცვლადი $k$? და ის შეიცვალა 1-დან $n$-მდე. მოდით გავარკვიოთ, როგორ შეიცვლება ახალი ცვლადი $t$. თუ $k=1$, მაშინ $t=1+1=2$. თუ $k=n$, მაშინ $t=n+1$. ასე რომ, გამოხატულება $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ არის: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2ტ+1). $$

გვაქვს ჯამი $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. კითხვა: აქვს მნიშვნელობა, რომელი ასო გამოვიყენოთ ამ თანხაში? :) $t$-ის ნაცვლად ასო $k$-ის უცვლელად დაწერით, მივიღებთ შემდეგს:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

ასეა $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) მიიღება \frac(1)(2k+1)$.

ამრიგად, ნაწილობრივი ჯამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

გაითვალისწინეთ, რომ ჯამები $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ და $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ განსხვავდება მხოლოდ შეჯამების საზღვრებში. მოდით, ეს საზღვრები იგივე გავხადოთ. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ჯამიდან პირველი ელემენტის „ავღებით“ მივიღებთ:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

ბოლო ელემენტის "აღებით" $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ ჯამიდან, მივიღებთ:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

შემდეგ ნაწილობრივი ჯამის გამოთქმა მიიღებს ფორმას:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

თუ ყველა ახსნას გამოტოვებთ, მაშინ n-ე ნაწილობრივი ჯამის შემოკლებული ფორმულის პოვნის პროცესი მიიღებს შემდეგ ფორმას:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

შეგახსენებთ, რომ $\frac(1)(2k+3)$ წილადი შევამცირეთ $\frac(1)(2k+1)$ სახით. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ პირიქით გააკეთოთ, ე.ი. წარმოადგინეთ წილადი $\frac(1)(2k+1)$ როგორც $\frac(1)(2k+3)$. ნაწილობრივი ჯამის საბოლოო გამოხატულება არ შეიცვლება. ამ შემთხვევაში მე დავმალავ შენიშვნის ქვეშ ნაწილობრივი თანხის პოვნის პროცესს.

როგორ ვიპოვოთ $S_n$, თუ მიიყვანთ სხვა წილადის ფორმას? ჩვენება დამალვა

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ). $$

ასე რომ, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. იპოვეთ ლიმიტი $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

მოცემული სერია იყრის თავს და მისი ჯამია $S=\frac(1)(3)$.

უპასუხე: $S=\frac(1)(3)$.

სერიის ჯამის პოვნის თემის გაგრძელება მეორე და მესამე ნაწილებში იქნება განხილული.

მოდით რიცხვების უსასრულო თანმიმდევრობა u1, u2, u3…

გამონათქვამს u1+ u2+ u3…+ un (1) ეწოდება რიცხვითი სერიები და მისი კომპონენტების რიცხვები სერიის წევრებია.

სერიის პირველი წევრების n სასრული რიცხვის ჯამს ეწოდება რიგის n-ე ნაწილობრივი ჯამი: Sn = u1+..+un

თუ არსებითი სახელი. სასრული ზღვარი: მაშინ მას უწოდებენ სერიების ჯამს და ამბობენ, რომ სერიები იყრის თავს, თუ ასეთი ზღვარი არ არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ სერია განსხვავდება და არ აქვს ჯამი.

2 გეომეტრიული და არითმეტიკული სერიები

სერია, რომელიც შედგება უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის წევრებისაგან, ე.წ. გეომეტრიული:
ან

a+ aq +…+aq n -1

a  0 q-ის პირველი წევრი არის მნიშვნელი. მწკრივის ჯამი:

მაშასადამე, რიგის ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობის სასრული ზღვარი დამოკიდებულია q რაოდენობაზე

შესაძლო შემთხვევები:

1 |ქ|<1

ანუ რიგი სხდ-სია და მისი ჯამი
2 |q|>1
და ჯამის ზღვარიც უსასრულობის ტოლია

ანუ სერია განსხვავდება.

3 q = 1-ით, მიიღება რიგი: a+a+…+a… Sn = na
სერია განსხვავდება

4 q1-ისთვის, რიგი ასე გამოიყურება: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 ლუწი n-სთვის, Sn=a კენტი n-სთვის, არ არსებობს ნაწილობრივი ჯამების ზღვარი. რიგი განსხვავდება.

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესიის უსასრულო წევრების სერია:
u არის პირველი წევრი, d არის განსხვავება. მწკრივის ჯამი

ნებისმიერი u1 და d ორივესთვის  0 და სერიები ყოველთვის განსხვავდება.

3 C-va კონვერგენტული სერია

მიეცით ორი სერია: u1+u2+…un = (1) და v1+v2+…vn = (2)

(1) რიგის ნამრავლი   R რიცხვით და რიგით: u1+u2+…un = (3)

სტრიქონების (1) და (2) უკანა რიგის ჯამი:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(განსხვავებისთვის არის მხოლოდ გარეგნობა)

T1 საერთო მამრავლის შესახებ

თუ სერია (1) იყრის თავს და მისი ჯამი = S, მაშინ ნებისმიერი რიცხვისთვის  სერია = ასევე იყრის თავს და მისი ჯამი S’ = S თუ სერია (1) განსხვავდება და   0, მაშინ რიგი ასევე განსხვავდება. ანუ საერთო ფაქტორი არ ახდენს გავლენას სერიების განსხვავებებზე.

T2 თუ სერიები (1) და (2) ერთმანეთს ემთხვევა და მათი ჯამები = S და S', მაშინ რიგი:
ასევე იყრის თავს და თუ  მისი ჯამია, მაშინ  = S+S’. ანუ, კონვერგენტული სერიების დამატება და გამოკლება შესაძლებელია ტერმინით. თუ სერია (1) იყრის თავს და სერია (2) განსხვავდება, მაშინ მათი ჯამი (ან განსხვავება) ასევე განსხვავდება. მაგრამ თუ ორივე მწკრივი განსხვავდება. მაშინ მათი ჯამი (ან სხვაობა) შეიძლება განსხვავდებოდეს (თუ un=vn) ან გადავიდეს (თუ un=vn)

რიგისთვის (1) რიგისთვის
ეწოდება რიგის n-ე ნაშთი. თუ მწკრივის ეს ნარჩენი ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მისი ჯამი აღინიშნა: r n =

T3 თუ სერიები იყრის თავს, მაშინ მისი რომელიმე ნარჩენი იყრის თავს, თუ სერიების რომელიმე ნარჩენი იყრის თავს, მაშინ სერია თავად იყრის თავს. უფრო მეტიც, Sn + r n სერიის მთლიანი ჯამი = ნაწილობრივი ჯამი

შეცვლა, ისევე როგორც ტერმინების სასრული რაოდენობის გაუქმება ან დამატება, გავლენას არ ახდენს სერიის კონვერგენციაზე (განსხვავებაზე).

4 სერიების კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმი

თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მისი საერთო წევრის ზღვარი ნულის ტოლია:

Doc-in:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, ასე რომ:

ეს ნიშანი მხოლოდ აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისია, ანუ თუ საერთო ტერმინის ზღვარი და ტოლია ნულის ტოლია, ამ შემთხვევაში სერიების დაახლოება სულაც არ არის აუცილებელი. შესაბამისად, ეს პირობა, თუ ის არ შესრულდება, მეორე მხრივ, საკმარისი პირობაა სერიების განსხვავებისთვის.

5 სერიების კონვერგენციის ინტეგრალური ნიშანი. დირიხლეს რიგი

T1 Გაუშვი (1), რომლის პირობები არაუარყოფითია და არ იზრდება: u1>=u2>=u3…>=un

თუ არსებობს f(x) ფუნქცია, რომელიც არის არაუარყოფითი, უწყვეტი და არ იზრდება იმით, რომ f(n) = Un,  n  N, მაშინ იმისათვის, რომ სერია (1) გადაიზარდოს, აუცილებელია, რომ und საკმარისია არასწორი ინტეგრალის დაახლოებისთვის:
, და დივერგენციისთვის საკმარისი და აუცილებელია, რომ ეს ინტეგრალი, პირიქით, განსხვავდებოდეს (WOW!).

მოდით გამოვიყენოთ ეს ფუნქცია დირიხლეს სერიის შესასწავლად: აი: ,  R ამ სერიას ეწოდება განზოგადებული ჰარმონიული სერია, როდესაც  >0 ამ სერიის საერთო წევრია un=1/n  0 და მცირდება, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტეგრალური ფუნქცია, ფუნქცია აქ იქნება ფუნქცია. f(x)=1/x  ( x>=1) ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს თეორემა 1-ის პირობებს; შესაბამისად, დირიხლეს სერიის კონვერგენცია (დივერგენცია) უდრის ინტეგრალის დივერგენციის კონვერგენციას:

შესაძლებელია სამი შემთხვევა:

1  >1,

ინტეგრალი და, შესაბამისად, სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

ინტეგრალი და სერია განსხვავდება

ინტეგრალი და სერია განსხვავდება

ძირითადი განმარტებები.

განმარტება. უსასრულო რიცხვთა მიმდევრობის წევრთა ჯამი ეწოდება რიცხვითი სერია.

ამავე დროს, ნომრები
სერიალის წევრებს ეძახიან და u ნარის სერიალის საერთო წევრი.

განმარტება. თანხები
,ნ = 1, 2, … დაურეკა კერძო (ნაწილობრივი) თანხებირიგი.

ამრიგად, შესაძლებელია სერიის ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობების გათვალისწინება ს 1 , ს 2 , …, ს ნ , …

განმარტება. მწკრივი
დაურეკა თანხვედრათუ მისი ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა ერთმანეთს ემთხვევა. კონვერგენტული სერიის ჯამიარის მისი ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობის ზღვარი.

განმარტება. თუ რიგის ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა განსხვავდება, ე.ი. არ აქვს ლიმიტი, ან აქვს უსასრულო ლიმიტი, მაშინ სერია ეწოდება განსხვავებულიდა მისთვის არანაირი თანხა არ არის გამოყოფილი.

მწკრივის თვისებები.

1) სერიის კონვერგენცია ან განსხვავება არ დაირღვევა, თუ თქვენ შეცვლით, გაუქმებთ ან დაამატებთ ტერმინების სასრულ რაოდენობას სერიაში.

2) განვიხილოთ ორი რიგი
და
, სადაც C არის მუდმივი რიცხვი.

თეორემა. თუ რიგი
იყრის და მისი ჯამი არისს, შემდეგ რიგი
ასევე იყრის თავს და მისი ჯამი არის Cს. (C  0)

3) განვიხილოთ ორი რიგი
და
.ჯამიან განსხვავებაამ სტრიქონებს მწკრივი დაერქმევა
, სადაც ელემენტები მიიღება თავდაპირველი ელემენტების შეკრების (გამოკლების) შედეგად იმავე რიცხვებით.

თეორემა. თუ რიგები
და
თანხვედრა და მათი ჯამები, შესაბამისად, ტოლია.სდა , შემდეგ რიგი
ასევე იყრის თავს და მისი ჯამი უდრისს +  .

ორი კონვერგენტული სერიის სხვაობა ასევე იქნება კონვერგენტული სერია.

კონვერგენციული და განსხვავებული სერიების ჯამი იქნება განსხვავებული სერია.

შეუძლებელია ზოგადი განცხადების გაკეთება ორი განსხვავებული სერიის ჯამის შესახებ.

სერიების შესწავლისას ძირითადად ორი პრობლემა წყდება: კონვერგენციის შესწავლა და სერიების ჯამის პოვნა.

კოშის კრიტერიუმი.

(სერიის დაახლოების აუცილებელი და საკმარისი პირობები)

თანმიმდევრობის მიზნით
იყო კონვერგენტული, აუცილებელი და საკმარისია, რომ ნებისმიერი
იყო ნომერინ, რომელიც ზენ > ნდა ნებისმიერიგვ> 0, სადაც p არის მთელი რიცხვი, შენარჩუნდება შემდეგი უტოლობა:

.

მტკიცებულება. (საჭიროება)

დაე იყოს
, შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის
არის რიცხვი N ისეთი, რომ უტოლობაა

შესრულებულია n>N-ისთვის. n>N და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის p>0, უტოლობა ასევე მოქმედებს
. ორივე უტოლობის გათვალისწინებით, მივიღებთ:

საჭიროება დადასტურდა. ჩვენ არ განვიხილავთ საკმარისობის მტკიცებულებას.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ კოშის კრიტერიუმი სერიებისთვის.

იმისათვის, რომ ნომერი
იყო კონვერგენტული აუცილებელი და საკმარისი, რომ ნებისმიერი
იყო ნომერინისეთი, რომ ზენ> ნდა ნებისმიერიგვ>0 დააკმაყოფილებს უთანასწორობას

.

თუმცა, პრაქტიკაში, არ არის ძალიან მოსახერხებელი კოშის კრიტერიუმის პირდაპირ გამოყენება. ამიტომ, როგორც წესი, უფრო მარტივი კონვერგენციის კრიტერიუმები გამოიყენება:

1) თუ მწკრივი
თანხვედრა, აუცილებელია, რომ საერთო ტერმინი u ნმიზიდული ნულისკენ. თუმცა, ეს პირობა არ არის საკმარისი. შეგვიძლია მხოლოდ ვთქვათ, რომ თუ საერთო ტერმინი არ არის ნულისკენ მიდრეკილი, მაშინ სერია ზუსტად განსხვავდება. მაგალითად, ჰარმონიული სერიების ე.წ არის განსხვავებული, თუმცა მისი საერთო ტერმინი ნულისკენ მიისწრაფვის.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

მოდი ვიპოვოთ
- კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმი არ არის დაკმაყოფილებული, ამიტომ სერია განსხვავდება.

2) თუ რიგი იყრის თავს, მაშინ მისი ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია.

თუმცა, ეს ფუნქცია ასევე არ არის საკმარისი.

მაგალითად, სერია 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… განსხვავდება, რადგან მისი ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა განსხვავდება იმის გამო, რომ

თუმცა, ამ შემთხვევაში ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა შეზღუდულია, რადგან
ნებისმიერისთვის ნ.

სერიები არაუარყოფითი პირობებით.

მუდმივი ნიშნით სერიების შესწავლისას შემოვიფარგლებით არაუარყოფითი ტერმინებით სერიების განხილვით, ვინაიდან როდესაც უბრალოდ მრავლდება -1-ზე, ეს სერიები შეიძლება გამოყენებულ იქნას უარყოფითი ტერმინების მქონე სერიების მისაღებად.

თეორემა. სერიის კონვერგენციისთვის
არაუარყოფითი პირობებით აუცილებელია და საკმარისია სერიის ნაწილობრივი ჯამები შემოსაზღვრული იყოს.

სერიების არაუარყოფით ტერმინებთან შედარების ნიშანი.

მოდით იყოს ორი რიგი
და
ზე u ნ , ვ ნ  0 .

თეორემა. Თუ u ნ  ვ ნნებისმიერისთვის ნ, შემდეგ სერიის კონვერგენციიდან
მიჰყვება სერიის კონვერგენციას
, და სერიის განსხვავებულობიდან
მიჰყვება სერიის განსხვავებას
.

მტკიცებულება. აღნიშნეთ მიერ ს ნ და  ნსერიების ნაწილობრივი ჯამები
და
. რადგან თეორემის მიხედვით, სერია
იყრის თავს, შემდეგ მისი ნაწილობრივი ჯამები შემოიფარგლება, ე.ი. ყველასთვის ნ n  M, სადაც M არის რაღაც რიცხვი. მაგრამ მას შემდეგ u ნ  ვ ნ, მაშინ ს ნ   ნშემდეგ სერიის ნაწილობრივი ჯამები
ასევე შემოსაზღვრულია და ეს საკმარისია კონვერგენციისთვის.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ კონვერგენციის სერიები

რადგან
და ჰარმონიული სერია განსხვავდება, შემდეგ სერია განსხვავდება
.

მაგალითი.

რადგან
და რიგი
კონვერგირდება (როგორც კლებადი გეომეტრიული პროგრესია), შემდეგ სერია
თან ერთვის.

ასევე გამოიყენება შემდეგი კონვერგენციის კრიტერიუმი:

თეორემა. Თუ
და არის ზღვარი
, სადთარის არანულოვანი რიცხვი, შემდეგ სერია
და
მოიქცეს ერთნაირად კონვერგენციის თვალსაზრისით.

დ'ალმბერის ნიშანი.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - ფრანგი მათემატიკოსი)

თუ სერიალისთვის
დადებითი პირობებით, არის რიცხვიქ<1, что для всех достаточно больших ნუთანასწორობა

შემდეგ რიგი
თანხვედრა, თუ ყველა საკმარისად დიდიანმდგომარეობა

შემდეგ რიგი
განსხვავდება.

დ'ალბერტის შეზღუდვის ნიშანი.

დ'ალმბერის შემზღუდველი ტესტი არის დ'ალმბერის ზემოაღნიშნული ტესტის შედეგი.

თუ არის ლიმიტი
, შემდეგ ზე < 1 ряд сходится, а при  > 1 - განსხვავდება. Თუ = 1, მაშინ დაახლოების კითხვაზე პასუხის გაცემა შეუძლებელია.

მაგალითი.განსაზღვრეთ სერიის კონვერგენცია .

დასკვნა: სერია იყრის თავს.

მაგალითი.განსაზღვრეთ სერიის კონვერგენცია

დასკვნა: სერია იყრის თავს.

კოშის ნიშანი. (რადიკალური ნიშანი)

თუ სერიალისთვის
არაუარყოფითი ტერმინებით, არსებობს რიცხვიქ<1, что для всех достаточно больших ნუთანასწორობა

,

შემდეგ რიგი
თანხვედრა, თუ ყველა საკმარისად დიდიანუთანასწორობა

შემდეგ რიგი
განსხვავდება.

შედეგი. თუ არის ლიმიტი
, შემდეგ -ზე<1 ряд сходится, а при >1 რიგი განსხვავდება.

მაგალითი.განსაზღვრეთ სერიის კონვერგენცია
.

დასკვნა: სერია იყრის თავს.

მაგალითი.განსაზღვრეთ სერიის კონვერგენცია
.

იმათ. კოშის კრიტერიუმი არ პასუხობს კითხვას სერიების კონვერგენციის შესახებ. შევამოწმოთ საჭირო კონვერგენციის პირობების შესრულება. როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ სერიის საერთო ტერმინი ნულისკენ მიისწრაფვის.

,

ამრიგად, დაახლოების აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, რაც ნიშნავს, რომ სერია განსხვავდება.

ინტეგრალური კოშის ტესტი.

Თუ (x) არის უწყვეტი დადებითი ფუნქცია, რომელიც მცირდება ინტერვალზედა
შემდეგ ინტეგრალები
და
მოიქცეს იგივე კონვერგენციის თვალსაზრისით.

ცვლადი რიგები.

ალტერნატიული რიგები.

ალტერნატიული სერია შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

სადაც

ლაიბნიცის ნიშანი.

თუ ალტერნატიული სერია აბსოლუტური ღირებულებებიu მე შემცირება
და საერთო ტერმინი მიდრეკილია ნულისკენ
, შემდეგ სერია იყრის თავს.

სერიების აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია.

განვიხილოთ რამდენიმე ალტერნატიული სერია (თვითნებური ნიშნების ტერმინებით).

(1)

და სერია, რომელიც შედგება სერიის ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობებით (1):

(2)

თეორემა. სერიის (2) დაახლოება გულისხმობს (1) სერიების დაახლოებას.

მტკიცებულება. სერია (2) არის არაუარყოფითი ტერმინების გვერდით. თუ სერია (2) იყრის თავს, მაშინ კოშის კრიტერიუმით ნებისმიერი >0 არის რიცხვი N ისეთი, რომ n>N და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის p>0 შემდეგი უტოლობა მართალია:

აბსოლუტური სიდიდეების თვისების მიხედვით:

ანუ, კოშის კრიტერიუმის მიხედვით, სერიების (2) დაახლოება გულისხმობს (1) სერიების დაახლოებას.

განმარტება. მწკრივი
დაურეკა აბსოლუტურად კონვერგენტულითუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა
.

ცხადია, მუდმივი ნიშნის სერიებისთვის, კონვერგენციის და აბსოლუტური კონვერგენციის ცნებები ემთხვევა.

განმარტება. მწკრივი
დაურეკა პირობითად კონვერგენტული, თუ ის იყრის თავს და სერია
განსხვავდება.

დ'ალბერტისა და კოშის ტესტები ალტერნატიული სერიებისთვის.

დაე იყოს
- ალტერნატიული სერია.

დ'ალმბერის ნიშანი. თუ არის ლიმიტი
, შემდეგ -ზე<1 ряд
იქნება აბსოლუტურად კონვერგენტული და როცა >

კოშის ნიშანი. თუ არის ლიმიტი
, შემდეგ -ზე<1 ряд
იქნება აბსოლუტურად კონვერგენტული, ხოლო როდესაც >1 სერია იქნება განსხვავებული. როდესაც =1, ნიშანი არ იძლევა პასუხს რიგის კონვერგენციაზე.

აბსოლუტურად კონვერგენტული სერიების თვისებები.

1) თეორემა. სერიის აბსოლუტური კონვერგენციისთვის
აუცილებელია და საკმარისია, რომ იგი წარმოდგენილი იყოს ორი კონვერგენტული რიგის სხვაობით არაუარყოფითი ტერმინებით.

შედეგი. პირობითად კონვერგენტული სერია არის ორი განსხვავებული სერიების განსხვავება, რომელთა არაუარყოფითი ტერმინები ნულისკენ მიდრეკილია.

2) კონვერგენციულ სერიაში, სერიის ტერმინების ნებისმიერი დაჯგუფება, რომელიც არ ცვლის მათ თანმიმდევრობას, ინარჩუნებს სერიის კონვერგენციას და ზომას.

3) თუ რიგი აბსოლიტურად იყრის თავს, მაშინ მისგან მიღებული მწკრივი ტერმინების ნებისმიერი გადანაცვლებითაც აბსოლუტურად იყრის თავს და აქვს იგივე ჯამი.

პირობითად კონვერგენტული სერიის პირობების გადალაგებით, შეიძლება მივიღოთ პირობითად კონვერგენტული სერიები, რომელსაც აქვს რაიმე წინასწარ განსაზღვრული ჯამი და თუნდაც განსხვავებული სერია.

4) თეორემა. აბსოლუტურად კონვერგენტული სერიის წევრების ნებისმიერი დაჯგუფებით (ამ შემთხვევაში, ჯგუფების რაოდენობა შეიძლება იყოს სასრულიც და უსასრულოც, ხოლო ჯგუფში წევრების რაოდენობა შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო), მიიღება კონვერგენტული სერია, ჯამი. რომლის ტოლია ორიგინალური სერიის ჯამი.

5) თუ რიგები და აბსოლიტურად იყრიან თავს და მათი ჯამები შესაბამისად ტოლია. ს და , შემდეგ სერია, რომელიც შედგება ფორმის ყველა პროდუქტისგან
ნებისმიერი თანმიმდევრობით აღებული, ასევე აბსოლუტურ თანხვედრაშია და მისი ჯამი უდრის ს - გამრავლებული სერიის ჯამების ნამრავლი.

თუმცა, თუ პირობითად კონვერგენტული სერიები გავამრავლოთ, მაშინ შედეგი შეიძლება იყოს განსხვავებული სერია.

ფუნქციური თანმიმდევრობები.

განმარტება. თუ სერიის წევრები არ არიან რიცხვები, არამედ ფუნქციები X, მაშინ სერია ე.წ ფუნქციონალური.

ფუნქციონალური სერიების კონვერგენციის შესწავლა უფრო რთულია, ვიდრე რიცხვითი სერიების შესწავლა. იგივე ფუნქციური სერია შეიძლება, ცვლადის იგივე მნიშვნელობებისთვის Xთანხვედრა, ხოლო სხვებში - განსხვავდებიან. ამრიგად, ფუნქციონალური სერიების კონვერგენციის საკითხი მცირდება ცვლადის ამ მნიშვნელობების განსაზღვრაზე. Xრისთვისაც სერია იყრის თავს.

ასეთი მნიშვნელობების ნაკრები ეწოდება კონვერგენციის რეგიონი.

ვინაიდან სერიის კონვერგენციის რეგიონში შემავალი თითოეული ფუნქციის ზღვარი არის გარკვეული რიცხვი, მაშინ ფუნქციური მიმდევრობის ზღვარი იქნება გარკვეული ფუნქცია:

განმარტება. შემდგომი ( ვ ნ (x) } იყრის თავსფუნქციონირებს ვ(x) სეგმენტზე, თუ რომელიმე რიცხვისთვის >0 და ნებისმიერი წერტილისთვის Xგანხილული სეგმენტიდან არსებობს რიცხვი N = N(, x) ისეთი, რომ უტოლობა

შესრულებულია n>N-ისთვის.

არჩეული მნიშვნელობით >0, სეგმენტის თითოეული წერტილი შეესაბამება საკუთარ რიცხვს და, შესაბამისად, იქნება რიცხვების უსასრულო რაოდენობა, რომელიც შეესაბამება სეგმენტის ყველა წერტილს. თუ ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდს აირჩევთ, მაშინ ეს რიცხვი შესაფერისი იქნება სეგმენტის ყველა წერტილისთვის, ე.ი. საერთო იქნება ყველა პუნქტისთვის.

განმარტება. შემდგომი ( ვ ნ (x) } ერთნაირად ერწყმისფუნქციონირებს ვ(x) ინტერვალზე, თუ რომელიმე რიცხვისთვის >0 არის რიცხვი N = N() ისეთი, რომ უტოლობა

შესრულებულია n>N-სთვის სეგმენტის ყველა წერტილისთვის.

მაგალითი.განიხილეთ თანმიმდევრობა

ეს თანმიმდევრობა აერთიანებს მთელ რიცხვთა ღერძს ფუნქციას ვ(x)=0 , იმიტომ

მოდით დავხატოთ ეს თანმიმდევრობა:

სინქსი

როგორც ჩანს, რიცხვი იზრდება ნმიმდევრობის გრაფიკი უახლოვდება ღერძს X.

ფუნქციური რიგები.

განმარტება. კერძო (ნაწილობრივი) თანხებიფუნქციური დიაპაზონი
ფუნქციები ეწოდება

განმარტება. ფუნქციური დიაპაზონი
დაურეკა თანხვედრაწერტილში ( x=x 0 ) თუ მისი ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა იყრის თავს ამ წერტილში. თანმიმდევრობის ლიმიტი
დაურეკა ჯამირიგი
წერტილში X 0 .

განმარტება. ყველა მნიშვნელობის ნაკრები X, რისთვისაც სერია იყრის თავს
დაურეკა კონვერგენციის რეგიონირიგი.

განმარტება. მწკრივი
დაურეკა ერთნაირად კონვერგენტულისეგმენტზე, თუ ამ სერიის ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა ერთნაირად ეყრება ამ სეგმენტს.

თეორემა. (კოშის კრიტერიუმი სერიის ერთგვაროვანი კონვერგენციისთვის)

სერიის ერთიანი კონვერგენციისთვის
აუცილებელი და საკმარისია ნებისმიერი რაოდენობისთვის >0 იყო ასეთი რიცხვინ( ), რომელიც ზენ> ნდა ნებისმიერი მთლიანიგვ>0 უტოლობა

დარჩება ყველა x სეგმენტზე [ა, ბ].

თეორემა. (ვეიერშტრასის ერთიანი კონვერგენციის ტესტი)

(კარლ თეოდორ ვილჰელმ ვაიერშტრასი (1815 - 1897) - გერმანელი მათემატიკოსი)

მწკრივი
ერთნაირად და აბსოლიტურად ერწყმის სეგმენტს [ა, ბ], თუ მისი წევრების მოდულები იმავე სეგმენტზე არ აღემატება დადებითი წევრების მქონე კონვერგენტული რიცხვითი სერიის შესაბამის წევრებს:

იმათ. არის უთანასწორობა:

.

ისინი ასევე ამბობენ, რომ ამ შემთხვევაში ფუნქციური სერია
მაჟორიტარირიცხვითი სერია
.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ კონვერგენციის სერიები
.

როგორც
ყოველთვის, აშკარაა, რომ
.

ცნობილია, რომ ზოგადი ჰარმონიული სერია ემთხვევა როცა =3>1, მაშინ, ვეიერშტრასის ტესტის შესაბამისად, შესასწავლი სერიები ერთნაირად იყრის თავს და უფრო მეტიც, ნებისმიერ ინტერვალში.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ კონვერგენციის სერიები .

[-1,1] სეგმენტზე უტოლობა
იმათ. ვეიერშტრასის ტესტის მიხედვით, შესასწავლი სერიები თავსდება ამ სეგმენტზე და განსხვავდება (-, -1)  (1, ) ინტერვალებზე.

თანაბრად კონვერგენტული სერიების თვისებები.

1) თეორემა რიგის ჯამის უწყვეტობის შესახებ.

თუ სერიალის წევრები
- უწყვეტი ინტერვალზე [ა, ბ] ფუნქცია და რიგი ერთნაირად იყრის თავს, შემდეგ მისი ჯამის(x) არის უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე [ა, ბ].

2) თეორემა სერიის ტერმინებით ინტეგრაციის შესახებ.

სეგმენტზე ერთნაირად კონვერგენტული [ა, ბ] სერიები უწყვეტი ტერმინებით შეიძლება იყოს ინტეგრირებული ტერმინით ამ სეგმენტზე, ე.ი. სერია, რომელიც შედგება მისი ტერმინების ინტეგრალებისგან ინტერვალით [ა, ბ] , ემთხვევა სერიების ჯამის ინტეგრალს ამ სეგმენტზე.

3) თეორემა რიგის ტერმინებით დიფერენციაციის შესახებ.

თუ სერიალის წევრები
შეკრება სეგმენტზე [ა, ბ] არის უწყვეტი ფუნქციები უწყვეტი წარმოებულებით და ამ წარმოებულებისგან შემდგარი სერია
ერთნაირად იყრის თავს ამ ინტერვალზე, მაშინ მოცემული სერიაც ერთნაირად იყრის თავს და შეიძლება დიფერენცირებული იყოს ტერმინით.

გამომდინარე იქიდან, რომ სერიების ჯამი არის ცვლადის გარკვეული ფუნქცია X, შეგიძლიათ შეასრულოთ ფუნქციის სერიად წარმოდგენის ოპერაცია (ფუნქციის სერიაში გაფართოება), რომელიც ფართოდ გამოიყენება ინტეგრაციის, დიფერენციაციისა და ფუნქციების სხვა ოპერაციებში.

პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება ფუნქციების გაფართოება დენის სერიებში.

დენის სერია.

განმარტება. ძალა შემდეგისერიას უწოდებენ

.

სიმძლავრის სერიების კონვერგენციის შესასწავლად მოსახერხებელია დ'ალმბერის ტესტის გამოყენება.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ კონვერგენციის სერიები

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

.

ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა
და განსხვავდება
.

ახლა განვსაზღვროთ კონვერგენცია 1 და –1 სასაზღვრო წერტილებში.

x = 1-ისთვის:
სერია იყრის თავს ლაიბნიცის ტესტის მიხედვით (იხ. ლაიბნიცის ნიშანი.).

x = -1-ისთვის:
სერია განსხვავდება (ჰარმონიული სერია).

აბელის თეორემები.

(ნილს ჰენრიკ აბელი (1802 - 1829) - ნორვეგიელი მათემატიკოსი)

თეორემა. თუ სიმძლავრის სერია
იყრის თავსx = x 1 , შემდეგ ის იყრის თავს და, უფრო მეტიც, აბსოლუტურად ყველასთვის
.

მტკიცებულება. თეორემის პირობით, ვინაიდან სერიის პირობები შეზღუდულია, მაშინ

სადაც კრაღაც მუდმივი რიცხვია. შემდეგი უტოლობა მართალია:

ამ უთანასწორობიდან ჩანს, რომ x< x 1 ჩვენი სერიის წევრების რიცხვითი მნიშვნელობები იქნება ნაკლები (ნებისმიერ შემთხვევაში, არა უმეტეს) ზემოთ დაწერილი უტოლობის მარჯვენა მხარეს სერიის შესაბამის წევრებზე, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიულ პროგრესიას. ამ პროგრესირების მნიშვნელი თეორემის პირობით არის ერთზე ნაკლები, შესაბამისად, ეს პროგრესია არის კონვერგენტული სერია.

მაშასადამე, შედარების ტესტის საფუძველზე დავასკვნით, რომ სერია
თანხვედრა, რაც ნიშნავს სერიას
აბსოლუტურად ემთხვევა.

ამრიგად, თუ სიმძლავრის სერია
ერთ წერტილში იყრის თავს X 1 , მაშინ ის გადაიყრება აბსოლუტურად 2 სიგრძის ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში წერტილზე ორიენტირებული X = 0.

შედეგი. თუ ზე x = x 1 სერია განსხვავდება, შემდეგ ის ყველასთვის განსხვავდება
.

ამრიგად, თითოეული სიმძლავრის სერიისთვის არსებობს დადებითი რიცხვი R ისეთი, რომ ყველასთვის Xისეთივე როგორც
სერიები აბსოლუტურად თანხვედრაშია და ყველასთვის
რიგი განსხვავდება. ამ შემთხვევაში, რიცხვი R ეწოდება კონვერგენციის რადიუსი. ინტერვალი (-R, R) ე.წ კონვერგენციის ინტერვალი.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ინტერვალი შეიძლება დახურული იყოს ერთ ან ორ მხარეს და არა დახურული.

კონვერგენციის რადიუსი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

მაგალითი.იპოვეთ სერიის კონვერგენციის არე

კონვერგენციის რადიუსის პოვნა
.

აქედან გამომდინარე, ეს სერია ერთდება ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის X. ამ სერიის საერთო ვადა ნულისკენ მიისწრაფვის.

თეორემა. თუ სიმძლავრის სერია
კონვერგირდება დადებითი მნიშვნელობისთვის x=x 1 , შემდეგ ის ერთნაირად ერწყმის შიგნით ნებისმიერ ინტერვალში
.

მოქმედებები დენის სერიებით.

1. რიცხვების სერიები: ძირითადი ცნებები, რიგის დაახლოების აუცილებელი პირობები. რიგის დანარჩენი ნაწილი.

2. სერიები დადებითი ტერმინებით და მათი დაახლოების ნიშნებით: შედარების ნიშნები, d'Alembert, Cauchy.

3. ალტერნატიული რიგები, ლაიბნიცის ტესტი.

1. რიცხვითი რიგის განმარტება. კონვერგენცია

მათემატიკურ აპლიკაციებში, ისევე როგორც ეკონომიკის, სტატისტიკისა და სხვა სფეროების ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას, განიხილება ჯამები უსასრულო რაოდენობის ტერმინებით. აქ განვსაზღვრავთ რა იგულისხმება ასეთ თანხებში.

მიეცით უსასრულო რიცხვითი მიმდევრობა

განმარტება 1.1. რიცხვითი სერიაან უბრალოდ ახლოსფორმის გამოხატულება (ჯამს) ეწოდება

. (1.1)

ნომრები დაურეკა ნომრის წევრები, –გენერალიან მე-2რიგის წევრი.

(1.1) სერიების დასაყენებლად საკმარისია რიგის მე-ა წევრის გამოთვლის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციის დაყენება მისი რიცხვით.

მაგალითი 1.1. იყოს . მწკრივი

(1.2)

დაურეკა ჰარმონიული სერია.

მაგალითი 1.2. ნება Row

(1.3)

დაურეკა განზოგადებული ჰარმონიული სერია. კონკრეტულ შემთხვევაში, ზე, მიიღება ჰარმონიული სერია.

მაგალითი 1.3. მოდით =. მწკრივი

დაურეკა გეომეტრიული პროგრესიის გვერდით.

სერიის პირობებიდან (1.1) ვქმნით რიცხვით ნაწილობრივი თანმიმდევრობა თანხები სადაც - სერიის პირველი ტერმინების ჯამი, რომელსაც ე.წ ნ-და ნაწილობრივი ჯამი, ე.ი.

…………………………….

…………………………….

რიცხვითი თანმიმდევრობა რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, მას შეუძლია:

1) აქვს სასრული ზღვარი;

2) არ აქვს სასრული ზღვარი (ლიმიტი არ არსებობს ან უდრის უსასრულობას).

განმარტება 1.2. სერია (1.1) ე.წ თანხვედრა,თუ მისი ნაწილობრივი ჯამების (1.5) მიმდევრობას აქვს სასრული ზღვარი, ე.ი.

ამ შემთხვევაში, ნომერი იწოდება ჯამისერია (1.1) და იწერება

განმარტება 1.3.სერია (1.1) ე.წ განსხვავებული,თუ მის ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობას არ აქვს სასრული ზღვარი.

განსხვავებულ სერიებს ჯამი არ ენიჭება.

ამრიგად, კონვერგენტული სერიის (1.1) ჯამის პოვნის პრობლემა უდრის მისი ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობის ზღვრის გამოთვლას.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1.4.დაამტკიცე რომ სერია

იყრის თავს და იპოვის მის ჯამს.

ვიპოვოთ მოცემული სერიის n-ე ნაწილობრივი ჯამი.

საერთო წევრი ჩვენ წარმოვადგენთ სერიებს ფორმაში .

აქედან გამომდინარე გვაქვს: . მაშასადამე, ეს რიგი იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის 1-ს:

მაგალითი 1.5. გამოიკვლიეთ კონვერგენციის სერიები

ამ რიგისთვის

. ამიტომ, ეს სერია განსხვავდება.

კომენტარი.რადგან სერია (1.6) არის უსასრულო რაოდენობის ნულების ჯამი და აშკარად კონვერგენტულია.

2. რიცხვთა რიგის ძირითადი თვისებები

სასრული რაოდენობის ტერმინების ჯამის თვისებები განსხვავდება რიგის თვისებებისგან, ანუ უსასრულო რაოდენობის წევრთა ჯამისაგან. ასე რომ, ტერმინების სასრული რაოდენობის შემთხვევაში, ისინი შეიძლება დაჯგუფდეს ნებისმიერი თანმიმდევრობით, ეს არ ცვლის ჯამს. არსებობს კონვერგენტული სერიები (პირობითად კონვერგენტული, რომელიც განხილული იქნება მე-5 ნაწილში), რისთვისაც, როგორც რიმანმა აჩვენა * , მათი წევრების თანმიმდევრობის სათანადოდ შეცვლით, შეიძლება სერიების ჯამი ტოლი იყოს ნებისმიერი რიცხვისა და თუნდაც განსხვავებული რიგის.

მაგალითი 2.1.განვიხილოთ ფორმის განსხვავებული სერია (1.7)

მისი წევრების წყვილებში დაჯგუფება, მივიღებთ კონვერგენტულ რიცხვთა სერიას, რომლის ჯამი ტოლია ნულის:

მეორეს მხრივ, მისი წევრების წყვილებში დაჯგუფება, მეორე წევრიდან დაწყებული, ასევე ვიღებთ კონვერგენტულ სერიას, მაგრამ ერთის ტოლი ჯამით:

კონვერგენტულ სერიებს აქვთ გარკვეული თვისებები, რაც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ისინი ისე, თითქოს ისინი სასრული ჯამები იყვნენ. ასე რომ, ისინი შეიძლება გავამრავლოთ რიცხვებზე, დავამატოთ და გამოვაკლოთ ვადები ტერმინით. მათ შეუძლიათ ჯგუფებად გააერთიანონ ნებისმიერი მიმდებარე ტერმინი.

თეორემა 2.1.(სერიის კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმი).

თუ სერია (1.1) იყრის თავს, მაშინ მისი ზოგადი წევრი მიისწრაფვის ნულისკენ, რადგან n იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, ე.ი.

თეორემის დადასტურება გამომდინარეობს იქიდან, რომ , და თუ

S არის სერიების ჯამი (1.1), მაშინ

პირობა (2.1) არის აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობა სერიების დაახლოებისთვის. ანუ, თუ სერიის საერთო ტერმინი ნულისკენ მიისწრაფვის ზე, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ სერიები იყრის თავს. მაგალითად, ჰარმონიული სერიებისთვის (1.2) თუმცა, როგორც ქვემოთ იქნება ნაჩვენები, ის განსხვავდება.