პირველი დონე

არითმეტიკული პროგრესია. დეტალური თეორია მაგალითებით (2019)

რიცხვითი თანმიმდევრობა

მოდით დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვითი თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია მხოლოდ ერთი რიგითი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც -ე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რიცხვის ტოლი ინდექსით: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი მიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მეზობელ რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.
Მაგალითად:

და ა.შ.
ასეთ რიცხვობრივ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეტიუსმა ჯერ კიდევ VI საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც გაუთავებელი რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება "არითმეტიკა" გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომლითაც ძველი ბერძნები იყვნენ დაკავებულნი.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და აღინიშნება.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვების მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

Გავიგე? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
Არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი th წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომრის წინა მნიშვნელობა, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ შეჯამება ბევრი არ გვაქვს - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრი უდრის.

2. გზა

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდებოდა და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებდით.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ დაგჭირდებათ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რა შეადგენს ამ არითმეტიკული პროგრესიის --ე წევრის მნიშვნელობას:


Სხვა სიტყვებით:

შეეცადეთ დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ გზით ამ არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გათვლილი? შეადარეთ თქვენი ჩანაწერები პასუხთან:

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ზუსტად იგივე რიცხვი მიიღეთ, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად ვამატებთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაციას“ - მივიღებთ მას ზოგად ფორმაში და მივიღებთ:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები იზრდება ან მცირდება.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
Მაგალითად:

Დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან:

Მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ფორმულა მუშაობს როგორც შემცირებაში, ასევე არითმეტიკული პროგრესიის გაზრდისას.
ეცადეთ, დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე-ე წევრები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

დავალება გავართულოთ – გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
დავუშვათ, რომ გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
ადვილია, თქვენ ამბობთ, და დაიწყეთ დათვლა იმ ფორმულის მიხედვით, რომელიც უკვე იცით:

მოდით, ა, მაშინ:

Აბსოლუტურად სწორი. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მოგვცემენ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომების დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ჩვენ შევეცდებით ახლავე გამოვიტანოთ.

მოდით აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის სასურველი ტერმინი, როგორც ვიცით მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რომელიც ჩვენ გამოვიღეთ დასაწყისში:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა წევრია:
• პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდეგი წევრები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და მომდევნო წევრების ჯამი ორჯერ აღემატება მათ შორის მდებარე პროგრესიის წევრის მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესირების წევრის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, აუცილებელია მათი დამატება და გაყოფა.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. გავასწოროთ მასალა. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, რადგან ეს საერთოდ არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, "მათემატიკოსთა მეფემ" - კარლ გაუსმა, თავისთვის ადვილად გამოიტანა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასის მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, გაკვეთილზე დაუსვა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი მდე (სხვა წყაროების მიხედვით) ჩათვლით. " რა იყო მასწავლებელს სიურპრიზი, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ გასცა სწორი პასუხი დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ გრძელი გამოთვლების შემდეგ არასწორი შედეგი მიიღო ...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა ნიმუში, რომელსაც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ti წევრებისაგან: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის მოცემული წევრების ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალებაში უნდა ვიპოვოთ მისი ტერმინების ჯამი, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. კარგად დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? სწორად! მათი ჯამები ტოლია

ახლა უპასუხეთ, რამდენი ასეთი წყვილი იქნება ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
გამომდინარე იქიდან, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი ტოლი წყვილები, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჯამის ფორმულაში ჩაანაცვლოთ მე-1 წევრის ფორმულა.
Რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც მიეცა კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ რა არის -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა გაირკვა, რომ წევრთა ჯამი ტოლია და ტერმინთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს დიდი და მთავარი.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტე და იმ დროის უდიდესი სამშენებლო მოედანი - პირამიდის აგება... ფიგურაში ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი შენ ამბობ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? დათვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაში. იმედია მონიტორზე თითის გადატანით არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში, პროგრესი ასე გამოიყურება:
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (ჩვენ ვითვლით ბლოკების რაოდენობას 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ მონიტორზე: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობას. დათანხმდა? კარგად გააკეთეთ, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-6 წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებიდან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

Ვარჯიში

Დავალებები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ დაიძვრება მაშა კვირებში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება.
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. მორების შენახვისას, მეტყევეები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთით ნაკლებ მორს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა ძირი არის მორები.

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში მაშა დღეში ერთხელ უნდა იჯდეს.

2. პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარში, თუმცა, შეამოწმეთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრის საპოვნელად ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   ჩვენ ვცვლით არსებულ მონაცემებს ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს მას უდრის.

3. გაიხსენეთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, არის მხოლოდ რამდენიმე ფენა, ანუ.
   ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა არის მორები.

შეჯამება

1. - რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის იზრდება და მცირდება.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სადაც - რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. შუა დონე

რიცხვითი თანმიმდევრობა

დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელი მათგანია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვითი თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება ასოცირებული იყოს გარკვეულ ნატურალურ რიცხვთან და მხოლოდ ერთთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რიცხვის ტოლი ინდექსით: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მე-მე წევრი შეიძლება მიცემული იყოს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება). ან (, განსხვავება).

მე-n ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ მორეციდივე ფორმულას, რომლის დროსაც, იმისათვის, რომ გაიგოთ -ე ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ასეთი ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, მოდით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ვამატებთ, ვამრავლებთ რაღაც რიცხვზე. Რისთვის? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო კომფორტულია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიის დროს იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გადაწყვეტილება:

პირველი ვადა თანაბარია. და რა განსხვავებაა? და აი რა:

(მას ხომ განსხვავება ჰქვია, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული წევრების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა არის:

მაშინ მეასე წევრია:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭი, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვის ჯამი ტოლია, მეორე და წინაბოლო რიცხვის ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. Ისე,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გადაწყვეტილება:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი შემდეგი მიიღება წინა რიცხვის მიმატებით. ამრიგად, ჩვენთვის საინტერესო რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა არის:

რამდენი წევრია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი დარბის 1 მეტრით მეტს, ვიდრე წინა დღეს. რამდენ კილომეტრს გაივლის ის კვირებში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღიურად უფრო მეტ მილს ატარებს, ვიდრე წინა. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე უნდა იაროს კილომეტრის დასაფარად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გასაყიდად რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი პუნქტების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია:, აუცილებელია იპოვოთ.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის მანძილზე გავლილი მანძილი --ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . Პოვნა: .
   ეს არ არის ადვილი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.

არითმეტიკული პროგრესია იზრდება () და მცირდება ().

Მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულის სახით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ეს აადვილებს პროგრესიის წევრის პოვნას, თუ ცნობილია მისი მეზობელი წევრები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

ჯამის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

მაგალითად, თანმიმდევრობა \(2\); \(5\); \(რვა\); \(თერთმეტი\); \(14\)… არის არითმეტიკული პროგრესია, რადგან ყოველი შემდეგი ელემენტი განსხვავდება წინადან სამით (შეიძლება მიიღოთ წინადან სამის მიმატებით):

ამ პროგრესიაში სხვაობა \(d\) დადებითია (ტოლია \(3\)) და ამიტომ ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე მეტია. ასეთ პროგრესებს ე.წ იზრდება.

თუმცა, \(d\) ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიაში \(16\); \(ათი\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… პროგრესიის სხვაობა \(d\) უდრის მინუს ექვსი.

და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი წინაზე ნაკლები იქნება. ამ პროგრესირებას ე.წ მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესიის აღნიშვნა

პროგრესირება აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით.

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, მას უწოდებენ წევრები(ან ელემენტები).

ისინი აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც ტოლია ელემენტის რიცხვის თანმიმდევრობით.

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) შედგება ელემენტებისაგან \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) და ასე შემდეგ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიისთვის \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული პროგრესიით

პრინციპში, ზემოთ მოყვანილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის თითქმის ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის OGE-ში შემოთავაზებული).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=7; d=4\). იპოვეთ \(b_5\).
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(b_5=23\)

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი მოცემულია: \(62; 49; 36…\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი უარყოფითი წევრის მნიშვნელობა..
გადაწყვეტილება:

	ჩვენ მოცემულია მიმდევრობის პირველი ელემენტები და ვიცით, რომ ეს არის არითმეტიკული პროგრესია. ანუ, თითოეული ელემენტი განსხვავდება მეზობელისაგან ერთი და იგივე რაოდენობით. გაარკვიეთ რომელი გამოკლებით წინა ელემენტს: \(d=49-62=-13\).
	ახლა ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ ჩვენი პროგრესი სასურველ (პირველ უარყოფით) ელემენტამდე.
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(-3\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული ელემენტი: \(...5; x; 10; 12.5...\) იპოვეთ ელემენტის მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასო \(x\).
გადაწყვეტილება:

	\(x\) საპოვნელად უნდა ვიცოდეთ, რამდენად განსხვავდება შემდეგი ელემენტი წინა ელემენტისგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესირების განსხვავება. ვიპოვოთ ის ორი ცნობილი მეზობელი ელემენტიდან: \(d=12.5-10=2.5\).
	ახლა კი უპრობლემოდ ვპოულობთ იმას, რასაც ვეძებთ: \(x=5+2.5=7.5\).
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(7,5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია შემდეგი პირობებით: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი.
გადაწყვეტილება:

	ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი. მაგრამ ჩვენ არ ვიცით მათი მნიშვნელობები, ჩვენ მხოლოდ პირველი ელემენტია მოცემული. ამიტომ, ჩვენ ჯერ რიგრიგობით ვიანგარიშებთ მნიშვნელობებს ჩვენთვის მოცემულის გამოყენებით: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) და ჩვენ გვჭირდება ექვსი ელემენტის გამოთვლის შემდეგ, ვპოულობთ მათ ჯამს.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	მოთხოვნილი თანხა ნაპოვნია.

პასუხი: \(S_6=9\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესიით \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). იპოვნეთ ამ პროგრესის განსხვავება.
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(d=7\).

მნიშვნელოვანი არითმეტიკული პროგრესის ფორმულები

როგორც ხედავთ, ბევრი არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანის ამოხსნა შეიძლება უბრალოდ მთავარის გაგებით - რომ არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების ჯაჭვი და ამ ჯაჭვის ყოველი შემდეგი ელემენტი მიიღება იმავე რიცხვის წინას მიმატებით (განსხვავება პროგრესირება).

თუმცა, ზოგჯერ არის სიტუაციები, როდესაც ძალიან მოუხერხებელია გადაჭრა "შუბლზე". მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ პირველ მაგალითში უნდა ვიპოვოთ არა მეხუთე ელემენტი \(b_5\), არამედ სამას ოთხმოცდამეექვსე \(b_(386)\). რა არის, ჩვენ \ (385 \) ჯერ დავამატოთ ოთხი? ან წარმოიდგინეთ, რომ ბოლო მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი სამოცდასამი ელემენტის ჯამი. დათვლა დამაბნეველია...

ამიტომ, ასეთ შემთხვევებში, ისინი არ ხსნიან "შუბლზე", არამედ იყენებენ სპეციალურ ფორმულებს, რომლებიც მიღებულია არითმეტიკული პროგრესიისთვის. და მთავარია პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა და პირველი წევრის \(n\) ჯამის ფორმულა.

\(n\)-ე წევრის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\), სადაც \(a_1\) არის პროგრესიის პირველი წევრი;
\(n\) – საჭირო ელემენტის ნომერი;
\(a_n\) არის პროგრესიის წევრი ნომრით \(n\).

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს სწრაფად ვიპოვოთ მინიმუმ სამასი, თუნდაც მემილიონე ელემენტი, მხოლოდ პირველისა და პროგრესირების განსხვავების ცოდნით.

მაგალითი. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). იპოვეთ \(b_(246)\).
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(b_(246)=1850\).

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა არის: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), სადაც

\(a_n\) არის ბოლო შეჯამებული ტერმინი;

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(a_n=3.4n-0.6\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \(25\) წევრთა ჯამი.
გადაწყვეტილება:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		პირველი ოცდახუთი ელემენტის ჯამის გამოსათვლელად, უნდა ვიცოდეთ პირველი და ოცდამეხუთე წევრის მნიშვნელობა. ჩვენი პროგრესირება მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით მისი რიცხვიდან გამომდინარე (იხილეთ დეტალები). მოდით გამოვთვალოთ პირველი ელემენტი \(n\) ერთით ჩანაცვლებით.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		ახლა ვიპოვოთ ოცდამეხუთე წევრი \(n\)-ის ნაცვლად ოცდახუთის ჩანაცვლებით.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		აბა, ახლა უპრობლემოდ ვიანგარიშებთ საჭირო თანხას.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(25)=1090\).

პირველი ტერმინების ჯამისთვის \(n\) შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა: თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ნაცვლად \(a_n\) შეცვალეთ მისი ფორმულა \(a_n=a_1+(n-1)d\). ჩვენ ვიღებთ:

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა არის: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), სადაც

\(S_n\) – პირველი ელემენტების საჭირო ჯამი \(n\);
\(a_1\) არის პირველი წევრი, რომელიც შეჯამდება;
\(d\) – პროგრესირების განსხვავება;
\(n\) - ელემენტების რაოდენობა ჯამში.

მაგალითი. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \(33\)-ექს წევრთა ჯამი: \(17\); \(15,5\); \(თოთხმეტი\)…
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(S_(33)=-231\).

უფრო რთული არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები

ახლა თქვენ გაქვთ ყველა ინფორმაცია, რომელიც გჭირდებათ თითქმის ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პრობლემის გადასაჭრელად. მოდით დავასრულოთ თემა იმ პრობლემების გათვალისწინებით, რომლებშიც საჭიროა არა მხოლოდ ფორმულების გამოყენება, არამედ ცოტათი ფიქრიც (მათემატიკაში ეს შეიძლება იყოს სასარგებლო ☺)

მაგალითი (OGE). იპოვეთ პროგრესიის ყველა უარყოფითი წევრის ჯამი: \(-19.3\); \(-ცხრამეტი\); \(-18.7\)…
გადაწყვეტილება:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		დავალება ძალიან ჰგავს წინას. ჩვენ ვიწყებთ ამოხსნას იგივე გზით: ჯერ ვპოულობთ \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ახლა ჩვენ შევცვლით \(d\) ჯამის ფორმულაში ... და აქ ჩნდება პატარა ნიუანსი - ჩვენ არ ვიცით \(n\). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტერმინის დამატება იქნება საჭირო. როგორ გავარკვიოთ? მოდი ვიფიქროთ. ჩვენ შევწყვეტთ ელემენტების დამატებას, როდესაც მივიღებთ პირველ დადებით ელემენტს. ანუ, თქვენ უნდა გაარკვიოთ ამ ელემენტის რაოდენობა. Როგორ? მოდით ჩამოვწეროთ არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი ელემენტის გამოთვლის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\) ჩვენი შემთხვევისთვის.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		ჩვენ გვჭირდება \(a_n\) იყოს ნულზე მეტი. მოდით გავარკვიოთ რისთვის \(n\) მოხდება ეს.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|: 0.3\)		უტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ \(0,3\)-ზე.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		ჩვენ გადავცემთ მინუს ერთს, არ გვავიწყდება ნიშნების შეცვლა
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		გამოთვლა...
\(n>65,333…\)		...და გამოდის, რომ პირველ დადებით ელემენტს ექნება რიცხვი \(66\). შესაბამისად, ბოლო უარყოფითს აქვს \(n=65\). ყოველი შემთხვევისთვის, მოდით შევამოწმოთ.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		ამრიგად, ჩვენ უნდა დავამატოთ პირველი \(65\) ელემენტები.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(65)=-630.5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). იპოვეთ ჯამი \(26\)-დან \(42\) ელემენტის ჩათვლით.
გადაწყვეტილება:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ამ პრობლემაში თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ ელემენტების ჯამი, მაგრამ დაწყებული არა პირველიდან, არამედ \(26\)-დან. ჩვენ არ გვაქვს ამის ფორმულა. როგორ გადაწყვიტოს? მარტივი - რომ მიიღოთ ჯამი \(26\)-დან \(42\)-მდე, ჯერ უნდა იპოვოთ ჯამი \(1\)-დან \(42\)-მდე და შემდეგ გამოაკლოთ ჯამი. პირველი \ (25 \)-მდე (იხ. სურათი).
	ჩვენი პროგრესიისთვის \(a_1=-33\) და სხვაობისთვის \(d=4\) (ბოლოს და ბოლოს, წინა ელემენტს ვამატებთ ოთხს, რომ ვიპოვოთ შემდეგი). ამის ცოდნა ჩვენ ვპოულობთ პირველი \(42\)-uh ელემენტების ჯამს.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ახლა პირველი \(25\)-ე ელემენტების ჯამი.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ პასუხს.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

პასუხი: \(S=1683\).

არითმეტიკული პროგრესიისთვის, არის კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომლებიც ჩვენ არ განვიხილეთ ამ სტატიაში მათი დაბალი პრაქტიკული სარგებლობის გამო. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ისინი.

სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი მიმდევრობა, რადგან არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის რიცხვითი ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის რიგითი ნომერი მითითებულია ინდექსით:

მიმდევრობის პირველი ელემენტი;

მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;

- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "მდგომი რიგში" ნომერზე n.

არსებობს დამოკიდებულება მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის რიგით რიცხვს შორის. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება ითქვას თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სამი გზით:

1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.

მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა გაეკეთებინა დროის პირადი მენეჯმენტი და, დასაწყისისთვის, გამოეთვალა რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე კვირის განმავლობაში. დროის ცხრილში ჩაწერით, ის მიიღებს შვიდი ელემენტისგან შემდგარ თანმიმდევრობას:

ცხრილის პირველი სტრიქონი შეიცავს კვირის დღის რაოდენობას, მეორე - დროს წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს, მხოლოდ 15.

2 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს n-ე წევრის ფორმულით.

ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.

მაგალითად, თუ, მაშინ

მოცემული რიცხვით მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად, ელემენტის ნომერი ჩავანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულაში.

ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:

თუ, მაგალითად, , მაშინ

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, მხოლოდ ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს არგუმენტი.

3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს n რიცხვით მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა, რათა ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა. ჩვენ უნდა მივუთითოთ მიმდევრობის პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი.

მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა ,

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები თანმიმდევრობითმესამედან დაწყებული:

ანუ, ყოველ ჯერზე, რათა ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. თანმიმდევრობის ამ ხერხს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი- დაბრუნდი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.

არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით.

ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნული.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.

მაგალითად, 2; 5; რვა; თერთმეტი;...

თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.

მაგალითად, 2; - ერთი; -4; -7;...

თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა წევრი ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.

მაგალითად, 2;2;2;2;...

არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:

მოდით შევხედოთ სურათს.

ჩვენ ამას ვხედავთ

, და ამავე დროს

ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:

.

გაყავით განტოლების ორივე მხარე 2-ზე:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:

უფრო მეტიც, მას შემდეგ

, და ამავე დროს

, მაშინ

, და აქედან გამომდინარე

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, რომელიც იწყება title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

წევრის ფორმულა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

და ბოლოს

Მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. იცოდეთ პირველი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე წევრი.

არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი.

თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბრად დაშორებული ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრის ჯამი იყოს ტოლი.

დაალაგეთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:

მოდით დავაწყვილოთ იგი:

თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.

ჩვენ ვიღებთ:

Ისე, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

განიხილეთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.

1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის ერთი და იგივე რიცხვის ტოლია.

მივიღეთ, რომ მიმდევრობის ორი მიმდებარე წევრის სხვაობა არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...

ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.

ბ) დაადგინეთ, შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.

ა)ჩვენ ვხედავთ ამას;

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.

Ზოგადად

ჩვენს შემთხვევაში , Ამიტომაც

ჩვენ ვიღებთ:

ბ)დავუშვათ, რიცხვი 41 არის მიმდევრობის წევრი. მოდი ვიპოვოთ მისი ნომერი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

მივიღეთ n-ის ბუნებრივი მნიშვნელობა, შესაბამისად, დიახ, რიცხვი 41 არის პროგრესიის წევრი. თუ n-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა არ იქნებოდა ნატურალური რიცხვი, მაშინ ჩვენ ვუპასუხებდით, რომ რიცხვი 41 არ არის პროგრესიის წევრი.

3 . ა) 2 და 8 რიცხვებს შორის ჩასვით 4 რიცხვი ისე, რომ მოცემულ რიცხვებთან ერთად შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

ბ) იპოვეთ მიღებული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ა)მოდით ჩავსვათ ოთხი რიცხვი 2 და 8 რიცხვებს შორის:

მივიღეთ არითმეტიკული პროგრესია, რომელშიც არის 6 წევრი.

მოდი ვიპოვოთ ამ პროგრესის განსხვავება. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ n-ე ტერმინის ფორმულას:

ახლა ადვილია რიცხვების მნიშვნელობების პოვნა:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

ბ)

პასუხი: ა) დიახ; ბ) 30

4. სატვირთო მანქანა გადააქვს 240 ტონა წონით დატეხილი ქვის პარტიას, რაც ყოველდღიურად ზრდის ტრანსპორტირების სიჩქარეს იმავე რაოდენობის ტონებით. ცნობილია, რომ პირველ დღეს 2 ტონა ნაგავი გადმოიტანეს. დაადგინეთ რამდენი ტონა დატეხილი ქვა გადაიტანეს მეთორმეტე დღეს, თუ ყველა სამუშაო დასრულდა 15 დღეში.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, დაქუცმაცებული ქვის რაოდენობა, რომელსაც სატვირთო მანქანა გადააქვს, ყოველდღიურად ერთი და იგივე რაოდენობით იზრდება. აქედან გამომდინარე, საქმე გვაქვს არითმეტიკულ პროგრესირებასთან.

ჩვენ ამ პრობლემას ვაყალიბებთ არითმეტიკული პროგრესიის მიხედვით.

პირველი დღის განმავლობაში გადაიტანეს 2 ტონა ნატეხი: a_1=2.

ყველა სამუშაო დასრულდა 15 დღეში: .

სატვირთო მანქანა 240 ტონას იწონის დატეხილი ქვის პარტიას:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ.

პირველი, მოდით ვიპოვოთ პროგრესის განსხვავება. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესიის n წევრის ჯამისთვის.

ჩვენს შემთხვევაში:

IV იაკოვლევი | მასალები მათემატიკაზე | MathUs.ru

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის სპეციალური სახის მიმდევრობა. ამიტომ, სანამ არითმეტიკული (და შემდეგ გეომეტრიული) პროგრესია განვსაზღვროთ, მოკლედ უნდა განვიხილოთ რიცხვების მიმდევრობის მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

ქვემიმდევრობა

წარმოიდგინეთ მოწყობილობა, რომლის ეკრანზე რამდენიმე რიცხვი გამოსახულია ერთმანეთის მიყოლებით. ვთქვათ 2; 7; ცამეტი; ერთი; 6; 0; 3; : : : რიცხვთა ასეთი ნაკრები მხოლოდ მიმდევრობის მაგალითია.

განმარტება. რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელშიც თითოეულ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური რიცხვი (ანუ შეესაბამებოდეს ერთ ნატურალურ რიცხვს)1. რიცხვს n რიცხვით ეწოდება მიმდევრობის n-ე წევრი.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში პირველ რიცხვს აქვს რიცხვი 2, რომელიც არის მიმდევრობის პირველი წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a1-ით; რიცხვ ხუთს აქვს რიცხვი 6, რომელიც არის რიგითობის მეხუთე წევრი, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ a5. ზოგადად, მიმდევრობის n-ე წევრი აღინიშნება ან-ით (ან bn , cn და ა.შ.).

ძალიან მოსახერხებელი სიტუაციაა, როდესაც რიგითობის n-ე წევრი შეიძლება იყოს მითითებული რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა an = 2n 3 განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; 3; 5; 7; : : : ფორმულა an = (1)n განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; ერთი; ერთი; : ::

რიცხვების ყველა ნაკრები არ არის თანმიმდევრობა. ასე რომ, სეგმენტი არ არის თანმიმდევრობა; ის შეიცავს ¾ძალიან ბევრ¿ რიცხვს ხელახლა დანომრვისთვის. ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე ასევე არ არის მიმდევრობა. ეს ფაქტები დასტურდება მათემატიკური ანალიზის დროს.

არითმეტიკული პროგრესია: ძირითადი განმარტებები

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია.

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) უდრის წინა წევრისა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს (ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას).

მაგალითად, თანმიმდევრობა 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 2 და სხვაობით 3. თანმიმდევრობა 7; 2; 3; რვა; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 7 და სხვაობით 5. თანმიმდევრობა 3; 3; 3; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია ნულოვანი სხვაობით.

ეკვივალენტური განმარტება: an მიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ განსხვავება an+1 an არის მუდმივი მნიშვნელობა (არ არის დამოკიდებული n-ზე).

არითმეტიკული პროგრესია ითვლება მზარდად, თუ მისი სხვაობა დადებითია და მცირდება, თუ განსხვავება უარყოფითია.

1 და აქ არის უფრო მოკლე განმარტება: მიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე. მაგალითად, რეალური რიცხვების მიმდევრობა არის ფუნქცია f: N! რ.

ნაგულისხმევად, მიმდევრობები განიხილება უსასრულოდ, ანუ შეიცავს რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მაგრამ არავინ იწუხებს სასრულ მიმდევრობების განხილვას; სინამდვილეში, რიცხვების ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს შეიძლება ეწოდოს სასრული მიმდევრობა. მაგალითად, საბოლოო თანმიმდევრობა 1; 2; 3; 4; 5 შედგება ხუთი ნომრისგან.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

ადვილი გასაგებია, რომ არითმეტიკული პროგრესია მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვით: პირველი წევრი და სხვაობა. მაშასადამე, ჩნდება კითხვა: როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური ვადა პირველი წევრისა და სხვაობის ცოდნით?

არ არის რთული არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის სასურველი ფორმულის მიღება. დაე ა

არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით დ. Ჩვენ გვაქვს:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
კერძოდ, ჩვენ ვწერთ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
და ახლა ცხადი ხდება, რომ ფორმულა არის:
an = a1 + (n 1)d:

ამოცანა 1. არითმეტიკული პროგრესია 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და გამოთვალეთ მეასე წევრი.

გადაწყვეტილება. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება. არითმეტიკული პროგრესიით ან ნებისმიერისთვის

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) არის მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული.

	მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს:
	a n 1+ a n+1		(ან დ) + (ან + დ)

რაც საჭირო იყო.

უფრო ზოგადად, არითმეტიკული პროგრესია a აკმაყოფილებს თანასწორობას

a n = a n k+ a n+k

ნებისმიერი n > 2-ისთვის და ნებისმიერი ბუნებრივი k-სთვის< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

გამოდის, რომ ფორმულა (2) არა მხოლოდ აუცილებელი, არამედ საკმარისი პირობაა იმისთვის, რომ მიმდევრობა იყოს არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ნიშანი. თუ თანასწორობა (2) მოქმედებს ყველა n > 2-ისთვის, მაშინ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2) შემდეგნაირად:

a na n 1= a n+1a n:

ეს გვიჩვენებს, რომ განსხვავება an+1 an არ არის დამოკიდებული n-ზე და ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც ერთი დებულება; მოხერხებულობისთვის ჩვენ ამას გავაკეთებთ სამი ნომრისთვის (ეს არის სიტუაცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრობლემებში).

არითმეტიკული პროგრესიის დახასიათება. სამი რიცხვი a, b, c ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2b = a + c.

ამოცანა 2. (მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, ეკონომიკის ფაკულტეტი, 2007 წ.) სამი რიცხვი 8x, 3 x2 და 4 მითითებული თანმიმდევრობით ქმნის კლებად არითმეტიკულ პროგრესიას. იპოვეთ x და დაწერეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

გადაწყვეტილება. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით გვაქვს:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

თუ x = 1, მაშინ მიიღება კლებადი პროგრესია 8, 2, 4 6-ის სხვაობით. თუ x = 5, მაშინ მიიღება მზარდი პროგრესია 40, 22, 4; ეს საქმე არ მუშაობს.

პასუხი: x = 1, სხვაობა არის 6.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

ლეგენდა ამბობს, რომ ერთხელ მასწავლებელმა ბავშვებს უთხრა, რომ იპოვონ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე და ჩუმად დაჯდა გაზეთის წასაკითხად. თუმცა, რამდენიმე წუთში ერთმა ბიჭმა თქვა, რომ პრობლემა მოაგვარა. ეს იყო 9 წლის კარლ ფრიდრიხ გაუსი, მოგვიანებით ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი.

პატარა გაუსის იდეა ასეთი იყო. დაე იყოს

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

მოდით ჩავწეროთ ეს ჯამი საპირისპირო თანმიმდევრობით:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

და დაამატეთ ეს ორი ფორმულა:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ფრჩხილებში თითოეული წევრი უდრის 101-ს და სულ არის 100 ასეთი წევრი.მაშასადამე

2S = 101 100 = 10100;

ამ იდეას ვიყენებთ ჯამის ფორმულის გამოსატანად

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) ფორმულის სასარგებლო მოდიფიკაცია მიიღება n-ე ტერმინის an = a1 + (n 1)d ფორმულის ჩანაცვლებით მასში:

		2a1 + (n 1)d

დავალება 3. იპოვეთ 13-ზე გაყოფილი ყველა დადებითი სამნიშნა რიცხვის ჯამი.

გადაწყვეტილება. სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც 13-ის ჯერადი არიან, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით 104 და სხვაობით 13; ამ პროგრესის მე-n ტერმინი არის:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

მოდით გავარკვიოთ რამდენ წევრს შეიცავს ჩვენი პროგრესი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

ან 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ასე რომ, ჩვენს პროგრესში 69 წევრია. ფორმულის მიხედვით (4) ვპოულობთ საჭირო რაოდენობას:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.

ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარია. ასოების ინდექსები, პროგრესიის n-ე ტერმინი, პროგრესიის სხვაობა - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოვა.)

არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და გასაგები ცნებაა. ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.

მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

1, 2, 3, 4, 5, ...

შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს ხაზი? რა რიცხვები წავა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ. უფრო შორს წავა.

დავალება გავართულოთ. მე ვაძლევ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

2, 5, 8, 11, 14, ...

შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერია და სახელი მეშვიდერიგის ნომერი?

თუ გაარკვიეთ, რომ ეს რიცხვი არის 20 - გილოცავთ! თქვენ არა მარტო გრძნობდით არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი პუნქტები,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ არ გესმით, წაიკითხეთ.

ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)

პირველი საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ შეჩვეულები ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების აგებას და ამ ყველაფერს... და შემდეგ გავაგრძელოთ სერიები, ვიპოვოთ სერიების რიცხვი...

Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებით. შეეგუე.)

მეორე საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამჯერ მეტია წინაზე. სინამდვილეში, სწორედ ეს მომენტი გვაძლევს შესაძლებლობას დავიჭიროთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.

მესამე საკვანძო წერტილი.

ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Აი ისიც: თითოეული პროგრესირების ნომერი თავის ადგილზეა.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესიაც გაქრება. ეს მხოლოდ რიცხვების სერიაა.

ამაშია მთელი აზრი.

რა თქმა უნდა, ახალ თემაში ჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნები. მათ უნდა იცოდნენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2,5.

შთააგონებს?) წერილები, რაღაც ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, ადვილი არ იქნებოდა. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინების მნიშვნელობა და აღნიშვნა. ახლა ამ საკითხს დავეუფლებით და დავალებას დავუბრუნდებით.

პირობები და აღნიშვნები.

არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

ეს მნიშვნელობა ე.წ . მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ ეს კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესირების რიცხვი მეტიწინა.

ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი მიიღება დასძინაარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორერიგის ნომრები, აუცილებელია პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხეკარგად და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაშესაძლოა დადებითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესს ე.წ იზრდება.Მაგალითად:

8; 13; 18; 23; 28; .....

აქ არის თითოეული ნომერი დასძინადადებითი რიცხვი, +5 წინას.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.

Მაგალითად:

8; 3; -2; -7; -12; .....

აქაც ყველა რიცხვი მიიღება დასძინაწინა, მაგრამ უკვე უარყოფით რიცხვს -5.

სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყოვნებლად დადგენა - იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან გვეხმარება გადაწყვეტილების მიღებისას, გამოავლინოს თქვენი შეცდომები და გამოასწოროს ისინი, სანამ გვიან არ არის.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.

როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)

განვსაზღვროთ, მაგალითად, დმზარდი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ვიღებთ მწკრივის ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. გამოვაკლოთ მას წინა ნომერიიმათ. რვა:

ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის განსხვავება სამია.

შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რაოდენობის პროგრესირება,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.მაინც სადღაც რიგის დასაწყისში, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მხოლოდ პირველივე ნომრის აღება. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არა წინა.)

სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს ვამატებთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსე რიცხვს ვამატებთ სამს, ვიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.

განვსაზღვროთ დკლებადი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

8; 3; -2; -7; -12; .....

შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, უნდა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.ჩვენ ვირჩევთ პროგრესირების ნებისმიერ რაოდენობას, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი.

სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.

სერიის თითოეულ რიცხვს ეძახიან არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.

პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით ...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!

როგორ დავწეროთ პროგრესი ზოგადი ფორმით? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად, როგორც წესი, გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსით. წევრები იწერება გამოყოფილი მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1არის პირველი ნომერი a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი სახიფათო. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს სერია მოკლედ ასე: (n).

არის პროგრესები სასრული და უსასრულო.

საბოლოოპროგრესს ჰყავს წევრების შეზღუდული რაოდენობა. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.

დაუსრულებელიპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიის მეშვეობით, ყველა წევრი და ბოლო წერტილი:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

ან ასე, თუ ბევრი წევრია:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

მოკლე ჩანაწერში დამატებით მოგიწევთ მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:

(a n), n = 20

უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.

ახლა უკვე შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.

არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების მაგალითები.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ზემოთ მოცემულ დავალებას:

1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

ჩვენ ვთარგმნით დავალებას გასაგებ ენაზე. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.ცნობილი პროგრესირების განსხვავება: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე წევრები.

სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირველი ექვსი წევრი, სადაც მეორე წევრი ხუთია:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + დ

გამონათქვამში ვცვლით a 2 = 5და d=-2.5. ნუ დაგავიწყდებათ მინუსი!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

მესამე ტერმინი მეორეზე ნაკლებია. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, ამიტომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) განვიხილავთ ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:

a 4 = a 3 + დ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + დ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + დ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ასე რომ, მესამედან მეექვსემდე ვადები დათვლილია. ამან გამოიწვია სერია:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) აქედან გამომდინარე, არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:

a 1 = a 2 - დ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

სულ ეს არის. დავალების პასუხი:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

გარდა ამისა, მე აღვნიშნავ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვა ნიშნავს მხოლოდ პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრით.პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზები მოგვიანებით იქნება განხილული.

ამ მარტივი ამოცანიდან ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება.

გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.

გახსოვს? ეს მარტივი დასკვნა საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ სასკოლო კურსის პრობლემების უმეტესობა ამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს სამი ძირითადი პარამეტრის გარშემო: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველაფერი.

რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) პროგრესიას თან ერთვის უტოლობა, განტოლებები და სხვა. მაგრამ პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.

მაგალითად, განიხილეთ რამდენიმე პოპულარული დავალება ამ თემაზე.

2. საბოლოო არითმეტიკული პროგრესია ჩაწერეთ რიგით თუ n=5, d=0.4 და a 1=3.6.

აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მოცემულია. თქვენ უნდა გახსოვდეთ, როგორ გამოითვლება არითმეტიკული პროგრესიის წევრები, ითვლიან და ჩაწერენ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები ამოცანის პირობაში: "ფინალური" და " n=5იმისათვის, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

რჩება პასუხის ჩაწერა:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

კიდევ ერთი დავალება:

3. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 7 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?

როგორ-როგ... კი, ჩაწერეთ პროგრესი სერიების სახით და ნახეთ, იქნება თუ არა შვიდი! Ჩვენ გვჯერა:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ახლა აშკარად ჩანს, რომ ჩვენ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.

პასუხი: არა.

და აქ არის დავალება, რომელიც დაფუძნებულია GIA-ს რეალურ ვერსიაზე:

4. არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი იწერება:

...; თხუთმეტი; X; ცხრა; 6; ...

აქ არის სერია დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. ვნახოთ და ვნახოთ რა შეგვიძლია აღმოჩენაამ ხაზიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?

წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.

მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელიცნობილი ნომრები? Დიახ მაქვს! ეს არის 9 და 6. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! ექვსს ვაკლებთ წინანომერი, ე.ი. ცხრა:

დარჩენილია ცარიელი ადგილები. რომელი რიცხვი იქნება x-ის წინა? თხუთმეტი. ასე რომ x ადვილად იპოვება მარტივი მიმატებით. 15-ს დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა:

Სულ ეს არის. პასუხი: x=12

ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს თავსატეხები არ არის ფორმულებისთვის. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.) ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვ-ასოების სერიას, ვუყურებთ და ვფიქრობთ.

5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.

6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ ტერმინის ნომერი n.

7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. იპოვეთ 3.

8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15.6; X; 3.4; ...

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.

9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანდათან გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.

პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; ცხრა; 0.3; 4.

ყველაფერი გამოვიდა? საოცარი! თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესი უფრო მაღალ დონეზე შემდეგ გაკვეთილებზე.

ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. 555-ე სპეციალურ განყოფილებაში ყველა ეს პრობლემა დაყოფილია ნაწილებად.) და, რა თქმა უნდა, აღწერილია მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც დაუყოვნებლივ ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, როგორც ხელის გულზე!

სხვათა შორის, მატარებლის შესახებ თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომლებზეც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი - წმინდა პროგრესიით, და მეორე - საერთო ნებისმიერი ამოცანისთვის მათემატიკაში და ფიზიკაშიც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დნომრებზე დაწერეთ სერია, ყველაფერი გადაწყდება.

თითის ხსნარი კარგად მუშაობს სერიის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ შეკითხვაში მე-9 პრობლემაშია, შეცვალეთ "ხუთი წუთი"ზე "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა კიდევ უფრო გაუარესდება.)

და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ სრულიად აბსურდული გამოთვლების თვალსაზრისით, მაგალითად:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

და რა, 1/6-ს ბევრ, ბევრჯერ დავამატებთ?! შესაძლებელია თუ არა თავის მოკვლა!?

შეგიძლიათ.) თუ არ იცით მარტივი ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.