ეს სტატია განიხილავს, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მათემატიკური გამონათქვამების მნიშვნელობები. დავიწყოთ მარტივი რიცხვითი გამონათქვამებით და შემდეგ განვიხილავთ შემთხვევებს მათი სირთულის მატებასთან ერთად. დასასრულს ვაძლევთ გამონათქვამს, რომელიც შეიცავს ასოების აღნიშვნებს, ფრჩხილებს, ფესვებს, სპეციალურ მათემატიკურ ნიშნებს, ხარისხებს, ფუნქციებს და ა.შ. მთელი თეორია, ტრადიციის მიხედვით, მოწოდებული იქნება უხვი და დეტალური მაგალითებით.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა?

რიცხვითი გამონათქვამები, სხვა საკითხებთან ერთად, ეხმარება მათემატიკური ენით პრობლემის მდგომარეობის აღწერას. ზოგადად, მათემატიკური გამონათქვამები შეიძლება იყოს ძალიან მარტივი, შედგება რიცხვებისა და არითმეტიკული ნიშნების წყვილისაგან, ან ძალიან რთული, შეიცავდეს ფუნქციებს, გრადუსებს, ფესვებს, ფრჩხილებს და ა.შ. როგორც ამოცანის ნაწილი, ხშირად საჭიროა გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა. როგორ გავაკეთოთ ეს ქვემოთ იქნება განხილული.

უმარტივესი შემთხვევები

ეს ის შემთხვევებია, როდესაც გამოთქმა არაფერს შეიცავს, გარდა რიცხვებისა და არითმეტიკისა. ასეთი გამონათქვამების მნიშვნელობების წარმატებით მოსაძებნად, დაგჭირდებათ ცოდნა არითმეტიკული ოპერაციების შესრულების თანმიმდევრობის შესახებ ფრჩხილების გარეშე, ასევე სხვადასხვა რიცხვებით მოქმედებების შესრულების შესაძლებლობა.

თუ გამოთქმა შეიცავს მხოლოდ რიცხვებს და არითმეტიკულ ნიშნებს " + " , " · " , " - " , " ÷ " , მაშინ მოქმედებები სრულდება მარცხნიდან მარჯვნივ შემდეგი თანმიმდევრობით: ჯერ გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ შეკრება და გამოკლება. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

მოდით, საჭირო გახდეს გამოხატვის მნიშვნელობების პოვნა 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

ჯერ გავაკეთოთ გამრავლება და გაყოფა. ჩვენ ვიღებთ:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

ახლა ვაკლებთ და მივიღებთ საბოლოო შედეგს:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

მაგალითი 2. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოვთვალოთ: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

პირველ რიგში, ჩვენ ვასრულებთ წილადების გადაქცევას, გაყოფას და გამრავლებას:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

ახლა გავაკეთოთ შეკრება და გამოკლება. დავაჯგუფოთ წილადები და მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

ნაპოვნია სასურველი მნიშვნელობა.

გამონათქვამები ფრჩხილებით

თუ გამონათქვამი შეიცავს ფრჩხილებს, მაშინ ისინი განსაზღვრავენ ამ გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობას. ჯერ ფრჩხილებში შესრულებული მოქმედებები, შემდეგ კი ყველა დანარჩენი. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.

მაგალითი 3. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

გამოთქმა შეიცავს ფრჩხილებს, ამიტომ ჯერ ფრჩხილებში ვასრულებთ გამოკლების ოპერაციას და მხოლოდ ამის შემდეგ გამრავლებას.

0.5 (0.76 - 0.06) = 0.5 0.7 = 0.35.

ფრჩხილებში ფრჩხილების შემცველი გამონათქვამების მნიშვნელობა იმავე პრინციპით გვხვდება.

მაგალითი 4. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოვთვალოთ მნიშვნელობა 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

ჩვენ შევასრულებთ მოქმედებებს დაწყებული ყველაზე შიდა ფრჩხილებიდან, გადავდივართ გარეზე.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

ფრჩხილებით გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნისას, მთავარია დაიცვას მოქმედებების თანმიმდევრობა.

გამონათქვამები ფესვებით

მათემატიკური გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობებიც უნდა ვიპოვოთ, შეიძლება შეიცავდეს ფესვის ნიშნებს. უფრო მეტიც, თავად გამოხატულება შეიძლება იყოს ფესვის ნიშნის ქვეშ. როგორ უნდა იყოს ამ შემთხვევაში? ჯერ თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა ფესვის ქვეშ და შემდეგ ამოიღოთ ფესვი მიღებული რიცხვიდან. თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია თავიდან აიცილოთ ფესვები რიცხვით გამოსახულებებში, შეცვალოთ რიცხვითი მნიშვნელობები.

მაგალითი 5. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოვთვალოთ გამოთქმის მნიშვნელობა ფესვებით - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

პირველ რიგში, ჩვენ ვიანგარიშებთ რადიკალურ გამონათქვამებს.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მთელი გამოხატვის მნიშვნელობა.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

ხშირად, ფესვებით გამოხატვის მნიშვნელობის საპოვნელად, ხშირად საჭიროა პირველად ორიგინალური გამონათქვამის გარდაქმნა. ავხსნათ ეს სხვა მაგალითით.

მაგალითი 6. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

რა არის 3 + 1 3 - 1 - 1

როგორც ხედავთ, ჩვენ არ გვაქვს შესაძლებლობა შევცვალოთ ფესვი ზუსტი მნიშვნელობით, რაც ართულებს დათვლის პროცესს. თუმცა, ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

ამრიგად:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

გამონათქვამები ძალებით

თუ გამოთქმა შეიცავს უფლებამოსილებებს, მათი მნიშვნელობები უნდა გამოითვალოს ყველა სხვა მოქმედების გაგრძელებამდე. ეს ხდება, რომ თავად მაჩვენებლები ან ხარისხის საფუძველი გამოსახულებებია. ამ შემთხვევაში, ჯერ გამოითვლება ამ გამონათქვამების მნიშვნელობა, შემდეგ კი ხარისხის მნიშვნელობა.

მაგალითი 7. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

ჩვენ ვიწყებთ გამოთვლას თანმიმდევრობით.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

რჩება მხოლოდ დამატების ოპერაციის განხორციელება და გამოთქმის მნიშვნელობის გარკვევა:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

ასევე ხშირად მიზანშეწონილია გამოხატვის გამარტივება ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

მაგალითი 8. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოვთვალოთ შემდეგი გამონათქვამის მნიშვნელობა: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

ექსპონენტები ისევ ისეთია, რომ მათი ზუსტი რიცხვითი მნიშვნელობების მიღება შეუძლებელია. გაამარტივეთ ორიგინალური გამოხატულება მისი მნიშვნელობის საპოვნელად.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

გამონათქვამები წილადებით

თუ გამონათქვამი შეიცავს წილადებს, მაშინ ასეთი გამოხატვის გამოთვლისას მასში შემავალი ყველა წილადი უნდა იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადები და მათი მნიშვნელობები გამოითვალოს.

თუ არის გამონათქვამები წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში, მაშინ ჯერ გამოითვლება ამ გამონათქვამების მნიშვნელობები და ჩაიწერება თავად წილადის საბოლოო მნიშვნელობა. არითმეტიკული მოქმედებები შესრულებულია სტანდარტული თანმიმდევრობით. განვიხილოთ გადაწყვეტის მაგალითი.

მაგალითი 9. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

ვიპოვოთ წილადების შემცველი გამოხატვის მნიშვნელობა: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

როგორც ხედავთ, თავდაპირველ გამოხატულებაში სამი წილადია. ჯერ გამოვთვალოთ მათი მნიშვნელობები.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

მოდით გადავწეროთ ჩვენი გამონათქვამი და გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობა:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

ხშირად, გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნისას, მოსახერხებელია წილადების შემცირება. არსებობს გამოუთქმელი წესი: მისი მნიშვნელობის პოვნამდე, ნებისმიერი გამოთქმა საუკეთესოდ არის გამარტივებული მაქსიმუმამდე, ყველა გამოთვლების შემცირება უმარტივეს შემთხვევებამდე.

მაგალითი 10. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოვთვალოთ გამოთქმა 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

ჩვენ არ შეგვიძლია სრულად გამოვყოთ ხუთის ფესვი, მაგრამ შეგვიძლია ორიგინალური გამოხატვის გამარტივება ტრანსფორმაციების საშუალებით.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

ორიგინალური გამოთქმა იღებს ფორმას:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

მოდით გამოვთვალოთ ამ გამონათქვამის მნიშვნელობა:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

გამონათქვამები ლოგარითმებით

როდესაც ლოგარითმები არის გამოხატულებაში, მათი მნიშვნელობა, თუ ეს შესაძლებელია, გამოითვლება თავიდანვე. მაგალითად, გამოთქმაში log 2 4 + 2 4, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ ამ ლოგარითმის მნიშვნელობა log 2 4-ის ნაცვლად და შემდეგ შეასრულოთ ყველა მოქმედება. ვიღებთ: ჟურნალი 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

რიცხვითი გამონათქვამები ასევე გვხვდება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაზე. ამ შემთხვევაში, პირველი ნაბიჯი არის მათი ღირებულებების პოვნა. ავიღოთ გამოთქმა log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Ჩვენ გვაქვს:

ჟურნალი 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = ჟურნალი 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

თუ შეუძლებელია ლოგარითმის ზუსტი მნიშვნელობის გამოთვლა, გამოხატვის გამარტივება ხელს უწყობს მისი მნიშვნელობის პოვნას.

მაგალითი 11. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

ლოგარითმების თვისების მიხედვით:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

კვლავ გამოვიყენებთ ლოგარითმების თვისებებს, გამოსახულებაში ბოლო წილადისთვის მივიღებთ:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააგრძელოთ ორიგინალური გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლა.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

გამონათქვამები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით

ეს ხდება, რომ გამოხატულებაში არის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ისევე როგორც მათზე შებრუნებული ფუნქციები. მნიშვნელობიდან გამოითვლება ყველა სხვა არითმეტიკული მოქმედების შესრულებამდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გამოხატვა გამარტივდება.

მაგალითი 12. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

პირველ რიგში, ჩვენ გამოვთვალეთ გამოხატულებაში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები.

ცოდვა - 5 π 2 \u003d - 1

შეცვალეთ მნიშვნელობები გამოხატულებაში და გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

ნაპოვნია გამოხატვის მნიშვნელობა.

ხშირად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მქონე გამოხატვის მნიშვნელობის საპოვნელად, ჯერ ის უნდა გადაკეთდეს. ავხსნათ მაგალითით.

მაგალითი 13. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

აუცილებელია ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

ტრანსფორმაციისთვის გამოვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულებს ორმაგი კუთხის კოსინუსისთვის და ჯამის კოსინუსისთვის.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

რიცხვითი გამოხატვის ზოგადი შემთხვევა

ზოგადად, ტრიგონომეტრიული გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ზემოთ აღწერილ ყველა ელემენტს: ფრჩხილებს, გრადუსებს, ფესვებს, ლოგარითმებს, ფუნქციებს. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი წესი ასეთი გამონათქვამების მნიშვნელობების მოსაძებნად.

როგორ მოვძებნოთ გამოხატვის მნიშვნელობა

1. ფესვები, სიმძლავრეები, ლოგარითმები და ა.შ. მათი ღირებულებებით იცვლება.
2. ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები შესრულებულია.
3. დარჩენილი ნაბიჯები შესრულებულია თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ. ჯერ - გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ - შეკრება და გამოკლება.

ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი 14. რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოვთვალოთ რა არის გამოხატვის მნიშვნელობა - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

გამოთქმა საკმაოდ რთული და რთულია. შემთხვევითი არ არის, რომ სწორედ ასეთი მაგალითი ავირჩიეთ, ვცდილობთ მასში ჩავდოთ ზემოთ აღწერილი ყველა შემთხვევა. როგორ გავარკვიოთ ასეთი გამოთქმის მნიშვნელობა?

ცნობილია, რომ რთული წილადი ფორმის მნიშვნელობის გაანგარიშებისას, ჯერ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის მნიშვნელობები, შესაბამისად, ცალკე გვხვდება. ჩვენ თანმიმდევრულად გარდაქმნით და გავამარტივებთ ამ გამოთქმას.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვიანგარიშებთ რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობას 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ სინუსის მნიშვნელობა და გამონათქვამი, რომელიც არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ სინუსის მნიშვნელობა:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

ჩვენ ვიანგარიშებთ რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობას:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

წილადის მნიშვნელით ყველაფერი უფრო ადვილია:

ახლა შეგვიძლია დავწეროთ მთელი წილადის მნიშვნელობა:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ მთელ გამონათქვამს:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Საბოლოო შედეგი:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

ამ შემთხვევაში ჩვენ შევძელით ზუსტი მნიშვნელობების გამოთვლა ფესვებისთვის, ლოგარითმებისთვის, სინუსებისთვის და ა.შ. თუ ეს შეუძლებელია, შეგიძლიათ სცადოთ მათი მოშორება მათემატიკური გარდაქმნებით.

გამოთვლების გამოთვლა რაციონალური გზებით

რიცხვითი მნიშვნელობები უნდა გამოითვალოს თანმიმდევრულად და ზუსტად. ამ პროცესის რაციონალიზაცია და დაჩქარება შესაძლებელია რიცხვებთან მოქმედებების სხვადასხვა თვისებების გამოყენებით. მაგალითად, ცნობილია, რომ პროდუქტი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ამ თვისებიდან გამომდინარე, დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გამონათქვამი 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 უდრის ნულს. ამ შემთხვევაში სულაც არ არის საჭირო ზემოთ სტატიაში აღწერილი თანმიმდევრობით ნაბიჯების შესრულება.

ასევე მოსახერხებელია თანაბარი რიცხვების გამოკლების თვისების გამოყენება. ყოველგვარი მოქმედების განხორციელების გარეშე შესაძლებელია დავალაგოთ, რომ გამოთქმის მნიშვნელობა 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 ასევე ნულის ტოლია.

კიდევ ერთი ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დააჩქაროთ პროცესი, არის იდენტური გარდაქმნების გამოყენება, როგორიცაა ტერმინებისა და ფაქტორების დაჯგუფება და საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება. რაციონალური მიდგომა წილადებით გამოთვლების გამოსათვლელად არის იგივე გამონათქვამების შემცირება მრიცხველსა და მნიშვნელში.

მაგალითად, ავიღოთ გამოთქმა 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . ფრჩხილებში მოქმედებების შესრულების გარეშე, მაგრამ წილადის შემცირებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა არის 1 3.

გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნა ცვლადებით

სიტყვასიტყვითი გამოხატვისა და ცვლადებით გამოხატვის მნიშვნელობა გვხვდება ასოებისა და ცვლადების კონკრეტული მოცემული მნიშვნელობებისთვის.

გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნა ცვლადებით

პირდაპირი გამოხატვისა და ცვლადებით გამოხატვის მნიშვნელობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ ასოების და ცვლადების მოცემული მნიშვნელობები თავდაპირველ გამოსახულებაში და შემდეგ გამოთვალოთ მიღებული რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა.

მაგალითი 15. ცვლადებით გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოთვალეთ 0, 5 x-y გამოხატვის მნიშვნელობა x = 2, 4 და y = 5.

ჩვენ ვცვლით ცვლადების მნიშვნელობებს გამოსახულებაში და ვიანგარიშებთ:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

ზოგჯერ შესაძლებელია გამოსახულების გადაკეთება ისე, რომ მივიღოთ მისი მნიშვნელობა მასში შემავალი ასოებისა და ცვლადების მნიშვნელობების მიუხედავად. ამისათვის აუცილებელია გამოსახულებაში ასოებისა და ცვლადების მოშორება, თუ ეს შესაძლებელია, იდენტური გარდაქმნების, არითმეტიკული მოქმედებების თვისებების და ყველა შესაძლო სხვა მეთოდის გამოყენებით.

მაგალითად, გამოხატულებას x + 3 - x აქვს 3 მნიშვნელობა და არ არის აუცილებელი x-ის მნიშვნელობის ცოდნა ამ მნიშვნელობის გამოსათვლელად. ამ გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის სამს ცვლადის x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის მისი მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონიდან.

კიდევ ერთი მაგალითი. x x გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის ერთს ყველა დადებითი x-ისთვის.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მე-7 კლასის ალგებრის კურსში ჩვენ დაკავებულნი ვიყავით მთელი რიცხვითი გამონათქვამების, ანუ რიცხვებისა და ცვლადებისგან შემდგარი გამონათქვამების გარდაქმნით, შეკრების, გამოკლების და გამრავლების ოპერაციების გამოყენებით, ასევე ნულის გარდა სხვა რიცხვზე გაყოფით. ამრიგად, გამონათქვამები მთელი რიცხვებია

ამის საპირისპიროდ, გამონათქვამები

შეკრების, გამოკლების და გამრავლების მოქმედების გარდა, ისინი შეიცავს ცვლადებთან გამოსახულებით გაყოფას. ასეთ გამონათქვამებს წილადური გამოსახულებები ეწოდება.

მთელ და წილად გამოსახულებებს რაციონალურ გამოსახულებებს უწოდებენ.

მთელი გამოსახულებას აზრი აქვს მასში შემავალი ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, რადგან მთელი გამოხატვის მნიშვნელობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა შეასრულოთ მოქმედებები, რომლებიც ყოველთვის შესაძლებელია.

ცვლადის ზოგიერთი მნიშვნელობის წილადი გამოხატულება შეიძლება არ იყოს აზრი. მაგალითად, გამონათქვამს - არ აქვს აზრი a = 0-სთვის. a-ს ყველა სხვა მნიშვნელობისთვის, ეს გამოთქმა აზრი აქვს. გამოთქმა აზრი აქვს x და y მნიშვნელობებს, როდესაც x ≠ y.

ცვლადის მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც გამოხატულებას აზრი აქვს, მოქმედი ცვლადი მნიშვნელობები ეწოდება.

ფორმის გამოხატულებას, როგორც მოგეხსენებათ, წილადი ეწოდება.

წილადს, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია, რაციონალური წილადი ეწოდება.

წილადები რაციონალური წილადების მაგალითებია.

რაციონალურ წილადში დასაშვებია ცვლადების ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც წილადის მნიშვნელი არ ქრება.

მაგალითი 1მოდით ვიპოვოთ ცვლადის სწორი მნიშვნელობები წილადში

გადაწყვეტილებაიმის გასაგებად, თუ რა მნიშვნელობებზე ქრება წილადის მნიშვნელი, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება a (a - 9) \u003d 0. ამ განტოლებას აქვს ორი ფესვი: 0 და 9. ამიტომ, ყველა რიცხვი გარდა 0 და 9-ისა. არის მოქმედი მნიშვნელობები a ცვლადისთვის.

მაგალითი 2 x-ის რა მნიშვნელობაზეა წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლია?

გადაწყვეტილებაწილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ a არის 0 და b ≠ 0.

ასე რომ, თუ რიცხვითი გამონათქვამი შედგება რიცხვებისა და ნიშნებისგან +, −, · და:, მაშინ მარცხნიდან მარჯვნივ, ჯერ უნდა შეასრულოთ გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ შეკრება და გამოკლება, რაც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ სასურველი. გამოხატვის ღირებულება.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს განმარტებისთვის.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 14−2·15:6−3 გამოხატვის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

გამოხატვის მნიშვნელობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა შეასრულოთ მასში მითითებული ყველა მოქმედება ამ მოქმედებების შესრულების მიღებული თანმიმდევრობის შესაბამისად. ჯერ მარცხნიდან მარჯვნივ ვასრულებთ გამრავლებას და გაყოფას, მივიღებთ 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. ახლა, თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ ვასრულებთ დარჩენილ მოქმედებებს: 14−5−3=9−3=6 . ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ორიგინალური გამოხატვის მნიშვნელობა, ის უდრის 6-ს.

პასუხი:

14−2 15:6−3=6 .

მაგალითი.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ამ მაგალითში ჩვენ ჯერ უნდა შევასრულოთ გამრავლება 2 (−7) და გაყოფა გამრავლებით გამოსახულებაში. როგორ გავიხსენოთ, ვპოულობთ 2 (−7)=−14. და მოქმედებების შესრულება გამოხატვაში, ჯერ , მაშინ და შეასრულეთ: .

ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობებს თავდაპირველ გამოსახულებაში: .

მაგრამ რა შეიძლება ითქვას, როცა ძირის ნიშნის ქვეშ არის რიცხვითი გამოხატულება? ასეთი ფესვის მნიშვნელობის მისაღებად, ჯერ უნდა იპოვოთ root გამოხატვის მნიშვნელობა, ოპერაციების მიღებული თანმიმდევრობის შემდეგ. Მაგალითად, .

ციფრულ გამონათქვამებში ფესვები უნდა იქნას აღქმული, როგორც ზოგიერთი რიცხვი და მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ შეცვალოთ ფესვები მათი მნიშვნელობებით, შემდეგ კი იპოვოთ მიღებული გამონათქვამის მნიშვნელობა ფესვების გარეშე, მოქმედებების შესრულება მიღებული თანმიმდევრობით.

მაგალითი.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ფესვებით.

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, იპოვნეთ ფესვის მნიშვნელობა . ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ გამოვთვალეთ რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობა, გვაქვს −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. და მეორეც, ჩვენ ვპოულობთ ფესვის მნიშვნელობას.

ახლა გამოვთვალოთ მეორე ფესვის მნიშვნელობა ორიგინალური გამოსახულებიდან: .

და ბოლოს, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ორიგინალური გამოხატვის მნიშვნელობა ფესვების მათი მნიშვნელობებით ჩანაცვლებით: .

პასუხი:

ხშირად, იმისათვის, რომ შესაძლებელი გახდეს გამონათქვამის მნიშვნელობის პოვნა ფესვებით, ჯერ უნდა გადაიყვანოთ იგი. მოდით ვაჩვენოთ გადაწყვეტის მაგალითი.

მაგალითი.

რას ნიშნავს გამოთქმა .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ არ შეგვიძლია შევცვალოთ სამის ფესვი მისი ზუსტი მნიშვნელობით, რაც არ გვაძლევს საშუალებას გამოვთვალოთ ამ გამოხატვის მნიშვნელობა ზემოთ აღწერილი წესით. თუმცა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ გამოხატვის მნიშვნელობა მარტივი გარდაქმნების შესრულებით. გამოიყენება კვადრატების განსხვავება ფორმულა: . იმის გათვალისწინებით, მივიღებთ . ასე რომ, ორიგინალური გამოხატვის მნიშვნელობა არის 1.

პასუხი:

.

გრადუსით

თუ ფუძე და მაჩვენებლები რიცხვებია, მაშინ მათი მნიშვნელობა გამოითვლება ხარისხის განსაზღვრებით, მაგალითად, 3 2 =3 3=9 ან 8 −1 =1/8 . ასევე არის ჩანაწერები, როდესაც ფუძე და/ან მაჩვენებლები არის ზოგიერთი გამონათქვამი. ამ შემთხვევებში, თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა ბაზაში, გამოხატვის მნიშვნელობა ექსპონენტში და შემდეგ გამოთვალოთ თავად ხარისხის მნიშვნელობა.

მაგალითი.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ფორმის ძალებით 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

გადაწყვეტილება.

თავდაპირველ გამოსახულებას აქვს ორი ძალა 2 3 4−10 და (1−1/2) 3.5−2 1/4 . მათი მნიშვნელობები უნდა გამოითვალოს დანარჩენი ნაბიჯების შესრულებამდე.

დავიწყოთ 2 3·4−10 სიმძლავრით. მისი მაჩვენებელი შეიცავს რიცხვით გამოსახულებას, გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობა: 3·4−10=12−10=2 . ახლა თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ თავად ხარისხის მნიშვნელობა: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

არის გამონათქვამები ფუძეში და მაჩვენებელში (1−1/2) 3.5−2 1/4, ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ მნიშვნელობებს, რათა მოგვიანებით ვიპოვოთ ხარისხის მნიშვნელობა. Ჩვენ გვაქვს (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით თავდაპირველ გამოსახულებას, ვცვლით მასში არსებულ ხარისხებს მათი მნიშვნელობებით და ვიპოვით ჩვენთვის საჭირო გამოთქმის მნიშვნელობას: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

პასუხი:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

აღსანიშნავია, რომ უფრო ხშირია შემთხვევები, როდესაც მიზანშეწონილია წინასწარი ჩატარება გამოხატვის გამარტივება უფლებამოსილებითბაზაზე.

მაგალითი.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

გადაწყვეტილება.

თუ ვიმსჯელებთ ამ გამოხატვის მაჩვენებლების მიხედვით, გრადუსების ზუსტი მნიშვნელობების მიღება შეუძლებელია. შევეცადოთ გავამარტივოთ ორიგინალური გამოხატულება, იქნებ ეს დაგვეხმაროს მისი მნიშვნელობის პოვნაში. Ჩვენ გვაქვს

პასუხი:

.

გამონათქვამებში სიძლიერე ხშირად მიდის ლოგარითმებთან ერთად, მაგრამ ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმებთან გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნაზე.

წილადებით გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნა

რიცხვითი გამონათქვამები მათ ჩანაწერში შეიძლება შეიცავდეს წილადებს. როდესაც გსურთ იპოვოთ ასეთი გამოხატვის მნიშვნელობა, წილადები, გარდა ჩვეულებრივი წილადებისა, უნდა შეიცვალოს მათი მნიშვნელობებით სხვა ნაბიჯების შესრულებამდე.

წილადების მრიცხველი და მნიშვნელი (რომლებიც განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადებისგან) შეიძლება შეიცავდეს როგორც ზოგიერთ რიცხვს, ასევე გამოსახულებას. ასეთი წილადის მნიშვნელობის გამოსათვლელად საჭიროა გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა მრიცხველში, გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა მნიშვნელში და შემდეგ გამოთვალოთ თავად წილადის მნიშვნელობა. ეს თანმიმდევრობა აიხსნება იმით, რომ წილადი a/b, სადაც a და b ზოგიერთი გამონათქვამია, სინამდვილეში არის (a):(b) ფორმის კოეფიციენტი, ვინაიდან .

განვიხილოთ გადაწყვეტის მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა წილადებით .

გადაწყვეტილება.

თავდაპირველ რიცხვით გამოხატულებაში სამი წილადი და . ორიგინალური გამოხატვის მნიშვნელობის საპოვნელად, ჯერ ეს წილადები გვჭირდება და მათი მნიშვნელობებით ჩანაცვლება. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი არის რიცხვები. ასეთი წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად, ჩვენ ვცვლით წილადის ზოლს გაყოფის ნიშნით და ვასრულებთ ამ მოქმედებას: .

წილადის მრიცხველი შეიცავს გამოსახულებას 7−2 3 , მისი მნიშვნელობა ადვილი საპოვნელია: 7−2 3=7−6=1 . ამრიგად, . შეგიძლიათ გააგრძელოთ მესამე წილადის მნიშვნელობის პოვნა.

მრიცხველისა და მნიშვნელის მესამე წილადი შეიცავს ციფრულ გამონათქვამებს, ამიტომ ჯერ უნდა გამოთვალოთ მათი მნიშვნელობები და ეს საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ თავად წილადის მნიშვნელობა. Ჩვენ გვაქვს .

რჩება ნაპოვნი მნიშვნელობების ორიგინალურ გამოსახულებაში ჩანაცვლება და დარჩენილი ნაბიჯების შესრულება: .

პასუხი:

.

ხშირად, წილადებით გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნისას, თქვენ უნდა შეასრულოთ წილადური გამონათქვამების გამარტივება, წილადებთან მოქმედებების შესრულებისა და წილადების შემცირების საფუძველზე.

მაგალითი.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

გადაწყვეტილება.

ხუთის ფესვი ბოლომდე არ არის ამოღებული, ამიტომ ორიგინალური გამოხატვის მნიშვნელობის საპოვნელად, ჯერ გავამარტივოთ იგი. Ამისთვის გათავისუფლდით მნიშვნელში არსებული ირაციონალურობისგანპირველი ფრაქცია: . ამის შემდეგ, ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს ფორმას . წილადების გამოკლების შემდეგ ფესვები გაქრება, რაც საშუალებას მოგვცემს ვიპოვოთ თავდაპირველად მოცემული გამოხატვის მნიშვნელობა:.

პასუხი:

.

ლოგარითმებით

თუ რიცხვითი გამოხატულება შეიცავს და თუ შესაძლებელია მათი მოშორება, მაშინ ეს კეთდება სხვა მოქმედებების შესრულებამდე. მაგალითად, გამოთქმის log 2 4+2 3 მნიშვნელობის პოვნისას, log 2 4-ის ლოგარითმი იცვლება მისი მნიშვნელობით 2, რის შემდეგაც დანარჩენი ოპერაციები შესრულებულია ჩვეულებრივი თანმიმდევრობით, ანუ log 2 4. +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

როდესაც არის რიცხვითი გამონათქვამები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ან/და მის ბაზაზე, მაშინ პირველად გვხვდება მათი მნიშვნელობები, რის შემდეგაც გამოითვლება ლოგარითმის მნიშვნელობა. მაგალითად, განიხილეთ გამოხატულება ფორმის ლოგარითმით . ლოგარითმის ფუძეზე და მის ნიშნის ქვეშ არის რიცხვითი გამონათქვამები, ვპოულობთ მათ მნიშვნელობებს: . ახლა ვპოულობთ ლოგარითმს, რის შემდეგაც ვასრულებთ გამოთვლებს: .

თუ ლოგარითმები ზუსტად არ არის გამოთვლილი, მაშინ მისი წინასწარი გამარტივება . ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გქონდეთ კარგად ფლობა სტატიის მასალას. ლოგარითმული გამოსახულებების ტრანსფორმაცია.

მაგალითი.

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ლოგარითმებით .

გადაწყვეტილება.

დავიწყოთ ჟურნალი 2-ის (log 2 256) გამოთვლით. ვინაიდან 256=2 8, მაშინ log 2 256=8, აქედან გამომდინარე ჟურნალი 2 (ლოგი 2 256) = ჟურნალი 2 8 = ჟურნალი 2 2 3 =3.

ლოგარითმები log 6 2 და log 6 3 შეიძლება დაჯგუფდეს. ლოგარითმების ჯამი log 6 2+log 6 3 უდრის ნამრავლის log 6 (2 3) ლოგარითმს, ასე რომ log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

ახლა მოდით საქმე წილადებს. დასაწყისისთვის, ჩვენ გადავწერთ ლოგარითმის საფუძველს მნიშვნელში, როგორც ჩვეულებრივი წილადი, როგორც 1/5, რის შემდეგაც გამოვიყენებთ ლოგარითმების თვისებებს, რაც საშუალებას მოგვცემს მივიღოთ წილადის მნიშვნელობა:
.

რჩება მხოლოდ მიღებული შედეგების ორიგინალურ გამონათქვამში ჩანაცვლება და მისი მნიშვნელობის პოვნის დასრულება:

პასუხი:

როგორ მოვძებნოთ ტრიგონომეტრიული გამოხატვის მნიშვნელობა?

როდესაც რიცხვითი გამოხატულება შეიცავს ან ა.შ., მაშინ მათი მნიშვნელობები გამოითვლება სხვა მოქმედებების შესრულებამდე. თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნის ქვეშ არის რიცხვითი გამონათქვამები, მაშინ ჯერ გამოითვლება მათი მნიშვნელობები, რის შემდეგაც იპოვება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები.

მაგალითი.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

გადაწყვეტილება.

მივმართავთ სტატიას, მივიღებთ და cosπ=−1 . ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს თავდაპირველ გამოხატულებაში, ის იღებს ფორმას . მისი მნიშვნელობის საპოვნელად ჯერ უნდა შეასრულოთ გაძლიერება და შემდეგ დაასრულოთ გამოთვლები: .

პასუხი:

.

უნდა აღინიშნოს, რომ გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლა სინუსებით, კოსინუსებით და ა.შ. ხშირად მოითხოვს წინასწარ ტრიგონომეტრიული გამოხატვის გარდაქმნები.

მაგალითი.

რა არის ტრიგონომეტრიული გამოხატვის მნიშვნელობა .

გადაწყვეტილება.

მოდით გადავცვალოთ ორიგინალური გამოხატულება , ამ შემთხვევაში გვჭირდება ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულა და ჯამის კოსინუსის ფორმულა:

შესრულებული გარდაქმნები დაგვეხმარა გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნაში.

პასუხი:

.

ზოგადი შემთხვევა

ზოგად შემთხვევაში, რიცხვითი გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ფესვებს, ხარისხებს, წილადებს და ნებისმიერ ფუნქციას და ფრჩხილებს. ასეთი გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნა მოიცავს შემდეგი მოქმედებების შესრულებას:

• პირველი ფესვები, გრადუსები, წილადები და ა.შ. იცვლება მათი ღირებულებებით,
• შემდგომი ქმედებები ფრჩხილებში,
• და თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ სრულდება დარჩენილი მოქმედებები - გამრავლება და გაყოფა, რასაც მოჰყვება შეკრება და გამოკლება.

ზემოაღნიშნული მოქმედებები ხორციელდება საბოლოო შედეგის მიღებამდე.

მაგალითი.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

გადაწყვეტილება.

ამ გამოთქმის ფორმა საკმაოდ რთულია. ამ გამონათქვამში ჩვენ ვხედავთ წილადს, ფესვებს, ხარისხს, სინუსს და ლოგარითმს. როგორ მოვძებნოთ მისი მნიშვნელობა?

ჩანაწერის გასწვრივ მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილებით, ჩვენ ვხვდებით ფორმის ნაწილს . ვიცით, რომ რთული ტიპის წილადებთან მუშაობისას ცალ-ცალკე უნდა გამოვთვალოთ მრიცხველის მნიშვნელობა, ცალკე მნიშვნელი და ბოლოს ვიპოვოთ წილადის მნიშვნელობა.

მრიცხველში გვაქვს ფორმის ფესვი . მისი მნიშვნელობის დასადგენად, ჯერ უნდა გამოთვალოთ რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობა . აქ არის სინუსი. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა მხოლოდ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლის შემდეგ . ეს არის ის, რისი გაკეთებაც შეგვიძლია: . მერე საიდან და .

მნიშვნელთან ერთად ყველაფერი მარტივია: .

ამრიგად, .

ამ შედეგის თავდაპირველ გამოსახულებაში ჩანაცვლების შემდეგ ის მიიღებს ფორმას. მიღებული გამოხატულება შეიცავს ხარისხს. მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, ჯერ უნდა იპოვოთ ინდიკატორის მნიშვნელობა, ჩვენ გვაქვს .

Ისე, .

პასუხი:

.

თუ შეუძლებელია ფესვების ზუსტი მნიშვნელობების გამოთვლა, გრადუსი და ა.

გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლის რაციონალური გზები

რიცხვითი გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლა მოითხოვს თანმიმდევრულობას და სიზუსტეს. დიახ, აუცილებელია წინა აბზაცებში ჩაწერილი მოქმედებების თანმიმდევრობის დაცვა, მაგრამ ეს არ უნდა გაკეთდეს ბრმად და მექანიკურად. ამით ვგულისხმობთ იმას, რომ ხშირად შესაძლებელია გამონათქვამის მნიშვნელობის პოვნის პროცესის რაციონალიზაცია. მაგალითად, რიცხვებით მოქმედებების ზოგიერთი თვისება საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ და გაამარტივოთ გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნა.

მაგალითად, ჩვენ ვიცით გამრავლების ეს თვისება: თუ ნამრავლის ერთ-ერთი ფაქტორი ნულია, მაშინ ნამრავლის მნიშვნელობა არის ნული. ამ თვისების გამოყენებით, ჩვენ დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4+456:3 43) არის ნული. თუ მივყვებოდით ოპერაციების სტანდარტულ თანმიმდევრობას, მაშინ ჯერ უნდა გამოვთვალოთ უხერხული გამონათქვამების მნიშვნელობები ფრჩხილებში და ამას დიდი დრო დასჭირდება და შედეგი მაინც ნული იქნება.

ასევე მოსახერხებელია თანაბარი რიცხვების გამოკლების თვისების გამოყენება: თუ რიცხვს გამოაკლებთ ტოლ რიცხვს, მაშინ შედეგი იქნება ნული. ეს თვისება შეიძლება უფრო ფართოდ განვიხილოთ: ორი იდენტური რიცხვითი გამონათქვამის სხვაობა ნულის ტოლია. მაგალითად, ფრჩხილებში გამოსახულებების მნიშვნელობის გამოთვლის გარეშე, შეგიძლიათ იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ის ნულის ტოლია, რადგან თავდაპირველი გამოხატულება არის იდენტური გამონათქვამების განსხვავება.

იდენტურ გარდაქმნებს შეუძლიათ ხელი შეუწყონ გამონათქვამების მნიშვნელობების რაციონალურ გაანგარიშებას. მაგალითად, ტერმინებისა და ფაქტორების დაჯგუფება შეიძლება სასარგებლო იყოს, მაგრამ არანაკლებ ხშირად ხდება საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება. ასე რომ, 53 5+53 7−53 11+5 გამოხატვის მნიშვნელობა ძალიან ადვილია 53 ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღების შემდეგ: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. პირდაპირ გაანგარიშებას გაცილებით მეტი დრო დასჭირდება.

ამ პუნქტის დასასრულს, მოდით ყურადღება მივაქციოთ რაციონალურ მიდგომას წილადებით გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლისას - წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში იგივე ფაქტორები მცირდება. მაგალითად, წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე გამონათქვამების შემცირება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ იპოვოთ მისი მნიშვნელობა, რომელიც არის 1/2.

ლიტერალური გამოხატვისა და ცვლადებით გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნა

სიტყვასიტყვითი გამოხატვისა და ცვლადებით გამოხატვის მნიშვნელობა გვხვდება ასოებისა და ცვლადების კონკრეტული მოცემული მნიშვნელობებისთვის. ანუ, ჩვენ ვსაუბრობთ სიტყვასიტყვითი გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნაზე მოცემული ასოების მნიშვნელობებისთვის ან გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნაზე ცვლადების შერჩეული მნიშვნელობებისთვის.

წესისიტყვასიტყვითი გამოხატვის ან გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნა ცვლადებით ასოების მოცემული მნიშვნელობებისთვის ან ცვლადების შერჩეული მნიშვნელობებისთვის შემდეგია: თავდაპირველ გამონათქვამში თქვენ უნდა შეცვალოთ ასოების ან ცვლადების მოცემული მნიშვნელობები და გამოთვალეთ მიღებული რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა, ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 0,5 x−y გამოხატვის მნიშვნელობა x=2,4 და y=5 .

გადაწყვეტილება.

გამოსახულების საჭირო მნიშვნელობის მოსაძებნად, ჯერ უნდა ჩაანაცვლოთ ეს ცვლადი მნიშვნელობები თავდაპირველ გამოსახულებაში და შემდეგ შეასრულოთ შემდეგი მოქმედებები: 0.5 2.4−5=1.2−5=−3.8.

პასუხი:

−3,8 .

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ზოგჯერ პირდაპირი გამონათქვამებისა და გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ცვლადებით საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მათი მნიშვნელობები, მიუხედავად ასოებისა და ცვლადების მნიშვნელობებისა. მაგალითად, გამოხატულება x+3−x შეიძლება გამარტივდეს და გახდეს 3. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ x + 3 - x გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის 3-ს ცვლადის x ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მისი მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონიდან (ODZ). კიდევ ერთი მაგალითი: გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის 1-ს ყველა დადებითი მნიშვნელობისთვის x, ასე რომ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი x ცვლადი ორიგინალურ გამოსახულებაში არის დადებითი რიცხვების ნაკრები და ტოლობა ხდება ამ არეალში. .

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა: სწავლობს. 5 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / ნ. ია. ვილენკინი, ვ.ი. ჟოხოვი, ა.ს. ჩესნოკოვი, ს.ი. შვარცბურდი. - 21-ე გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280გვ.: ილ. ISBN 5-346-00699-0.
• მათემატიკა.მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ნ. ია ვილენკინი და სხვები]. - 22-ე გამოცემა, რევ. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 288 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.