იგივე ფორმულები სწორია: \[(\large(S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv))\]
ერთი წერტილიდან ერთი მიმართულებითსიჩქარით \(v_1>v_2\) .
მაშინ თუ \(l\) არის წრის სიგრძე, \(t_1\) არის დრო, რის შემდეგაც ისინი პირველად იქნებიან იმავე წერტილში, მაშინ:
ანუ, \(t_1\)-ისთვის პირველი სხეული დაფარავს \(l\) მეორე სხეულზე მეტ მანძილს.
თუ \(t_n\) არის დრო, რომლის შემდეგაც ისინი იქნებიან იმავე წერტილში \(n\) -ე დრო, მაშინ შემდეგი ფორმულა მართალია: \[(\large(t_n=n\cdot t_1))\]
\(\შავი სამკუთხედი\) ორმა სხეულმა დაიწყოს მოძრაობა სხვადასხვა წერტილიდან ერთი და იმავე მიმართულებითსიჩქარით \(v_1>v_2\) .
მაშინ პრობლემა მარტივად შეიძლება დაიყვანოს წინა შემთხვევამდე: ჯერ უნდა იპოვოთ დრო \(t_1\), რის შემდეგაც ისინი პირველად იქნებიან იმავე წერტილში.
თუ მოძრაობის დაწყების მომენტში მათ შორის მანძილი \(\buildrel\smile\over(A_1A_2)=s\), შემდეგ:
ამოცანა 1 #2677
დავალების დონე: EGE უფრო ადვილია
ორი სპორტსმენი იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ტრასის დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებიდან. ისინი მუშაობენ სხვადასხვა არასტაბილური სიჩქარით. ცნობილია, რომ იმ მომენტში, როდესაც სპორტსმენებმა პირველად დაიჭირეს, ვარჯიში შეწყვიტეს. რამდენი წრე გაიარა სპორტსმენმა უფრო მაღალი საშუალო სიჩქარით, ვიდრე სხვა სპორტსმენმა?
ჯერ ყველაზე მაღალი საშუალო სიჩქარის მქონე სპორტსმენს ვუწოდოთ. ჯერ პირველ სპორტსმენს უნდა გაეტარებინა ნახევარი წრე, რათა მეორე სპორტსმენის საწყის წერტილს მიაღწია. ამის შემდეგ მას მოუწია იმდენი სირბილი, რამდენიც მეორე სპორტსმენმა გაირბინა (უხეშად რომ ვთქვათ, მას შემდეგ რაც პირველმა სპორტსმენმა გაირბინა ნახევარ წრეში, შეკრების წინ მას მოუწია გარბენი ტრასის ყოველი მეტრი, რომელიც მეორე სპორტსმენმა გაირბინა და რამდენჯერაც მეორე სპორტსმენმა გაირბინა ეს მეტრი).
ამრიგად, პირველმა სპორტსმენმა გაირბინა \(0,5\) მეტი წრე.
პასუხი: 0.5
ამოცანა 2 #2115
დავალების დონე: EGE უფრო ადვილია
კატა მურზიკი დარბის ძაღლ შარიკს. მურზიკისა და შარიკის სიჩქარე მუდმივია. ცნობილია, რომ მურზიკი \(1.5\)-ჯერ უფრო სწრაფად დარბის ვიდრე შარიკი და \(10\) წუთში სულ ორ წრეს რბენენ. რამდენ წუთში გაიქცევა შარიკი ერთ წრეში?
ვინაიდან მურზიკი \(1.5\)-ჯერ უფრო სწრაფად გარბის, ვიდრე შარიკი, მაშინ \(10\) წუთში მურზიკი და შარიკი მთლიანობაში გარბიან იმავე მანძილს, რასაც შარიკი გაუშვებდა \(10\cdot (1 + 1.5 ) = 25\) წუთში. . ამიტომ, შარიკი ორ წრეს გადის \(25\) წუთში, შემდეგ ერთი წრე გადის ბურთი \(12,5\) წუთში
პასუხი: 12.5
ამოცანა 3 #823
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
შორეული პლანეტის წრიული ორბიტის A წერტილიდან ორი მეტეორიტი ერთდროულად გაფრინდა იმავე მიმართულებით. პირველი მეტეორიტის სიჩქარე 10000 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე. ცნობილია, რომ გამგზავრების შემდეგ ისინი პირველად 8 საათის შემდეგ შეხვდნენ ერთმანეთს. იპოვეთ ორბიტის სიგრძე კილომეტრებში.
იმ მომენტში, როდესაც ისინი პირველად შეხვდნენ, მათ მიერ გავლილი მანძილების სხვაობა ორბიტის სიგრძის ტოლია.
8 საათში სხვაობა გახდა \(8 \cdot 10000 = 80000\) კმ.
პასუხი: 80000
ამოცანა 4 #821
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
ქურდი, რომელმაც ჩანთა მოიპარა, ჩანთის პატრონს წრიული გზის გასწვრივ გარბის. ქურდის სიჩქარე 0,5 კმ/სთ-ით მეტია ჩანთის პატრონის სიჩქარეზე, რომელიც მის უკან გარბის. რამდენი საათის შემდეგ დააღწევს ქურდი მეორედ ხელჩანთის პატრონს, თუ გზის სიგრძე, რომელზეც ისინი გადიან 300 მეტრია (დავარაუდოთ, რომ მას პირველად დაეწია ჩანთის მოპარვის შემდეგ) ?
პირველი გზა:
ქურდი მეორედ დაეწევა ხელჩანთის პატრონს იმ მომენტში, როდესაც მანძილი, რომელიც მან გაიარა, 600 მეტრით მეტი გახდება ვიდრე მანძილი, რომელსაც გაივლის ჩანთის პატრონი (ქურდობის მომენტიდან).
ვინაიდან მისი სიჩქარე \(0,5 \) კმ / სთ მეტია, შემდეგ საათში ის გარბის 500 მეტრზე მეტს, შემდეგ \ (1: 5 \u003d 0,2\) საათში \ (500: 5 \u003d 100 \) მეტრს მეტი. ის კიდევ 600 მეტრს გაივლის \(1 + 0.2 \u003d 1.2\) საათში.
მეორე გზა:
მაშინ \(v\) კმ/სთ იყოს ჩანთის მფლობელის სიჩქარე
\ (v + 0,5 \) კმ / სთ - ქურდის სიჩქარე.
დაე, \(t\) h იყოს დრო, რის შემდეგაც ქურდი მეორედ დაეწია ხელჩანთის პატრონს, მაშინ
\(v\cdot t\) - მანძილი, რომელსაც ჩანთის მფლობელი გაივლის \(t\) სთ-ში,
\((v + 0.5)\cdot t\) არის მანძილი, რომელსაც ქურდი გაივლის \(t\) საათში.
ქურდი მეორედ დაეწევა ხელჩანთის ბედიას იმ მომენტში, როდესაც ის მასზე ზუსტად 2 წრეზე მეტს გარბის (ანუ \ (600 \) მ \u003d \ (0,6 \) კმ. \[(v + 0.5)\cdot t - v\cdot t = 0.6\qquad\Leftrightarrow\qquad 0.5\cdot t = 0.6,\]საიდანაც \(t = 1,2\) სთ.
პასუხი: 1.2
ამოცანა 5 #822
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება წრიული ბილიკის ერთი და იმავე წერტილიდან სხვადასხვა მიმართულებით. პირველი მოტოციკლისტის სიჩქარე ორჯერ აღემატება მეორეს. დაწყებიდან ერთი საათის შემდეგ ისინი მესამედ შეხვდნენ (ჩავთვალოთ, რომ პირველად დაწყების შემდეგ შეხვდნენ). იპოვეთ პირველი მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 40 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
მოტოციკლისტების მესამედ შეხვედრის მომენტში მათ მიერ განვლილი საერთო მანძილი შეადგენდა \(3 \cdot 40 = 120\) კმ.
ვინაიდან პირველის სიჩქარე 2-ჯერ მეტია მეორის სიჩქარეზე, მან იმოგზაურა 120 კმ-დან მეორეზე 2-ჯერ მეტი ნაწილი, ანუ 80 კმ.
მას შემდეგ, რაც ისინი ერთ საათში მესამედ შეხვდნენ, პირველმა საათში 80 კმ გაიარა. მისი სიჩქარე 80 კმ/სთ-ია.
პასუხი: 80
ამოცანა 6 #824
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
ორი მორბენალი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 400 მეტრია. რამდენი წუთის შემდეგ მიაღწევენ მორბენალი პირველად, თუ პირველი მორბენალი ერთ საათში 1 კილომეტრით მეტს გაირბენს მეორეზე?
ერთ საათში პირველი მორბენალი მეორეზე 1000 მეტრზე მეტს გარბის, რაც იმას ნიშნავს, რომ ის 100 მეტრს მეტს ირბენს \ (60: 10 \u003d 6\) წუთში.
მორბენალებს შორის საწყისი მანძილი 200 მეტრია. ისინი გაათანაბრებენ, როცა პირველი მორბენალი მეორეზე 200 მეტრზე მეტს გაივლის.
ეს მოხდება \(2 \cdot 6 = 12\) წუთში.
პასუხი: 12
ამოცანა 7 #825
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
ტურისტმა დატოვა ქალაქი M 220 კილომეტრის სიგრძის წრიული გზის გასწვრივ, ხოლო 55 წუთის შემდეგ მძღოლმა დატოვა ქალაქი M მის შემდეგ. გამგზავრებიდან 5 წუთში პირველად დაეწია ტურისტს, 4 საათის შემდეგ კი მეორედ. იპოვნეთ ტურისტის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
პირველი გზა:
პირველი შეხვედრის შემდეგ მძღოლი ტურისტს (მეორედ) 4 საათის შემდეგ დაეწია. მეორე შეხვედრის დროისთვის მძღოლმა წრეზე მეტი გაიარა, ვიდრე ტურისტმა გაიარა (ანუ \ (220 \) კმ).
ვინაიდან ამ 4 საათის განმავლობაში მძღოლმა გადაასწრო ტურისტს \(220\) კმ-ით, მძღოლის სიჩქარე \(220: 4 \u003d 55\) კმ / სთ მეტია ტურისტის სიჩქარეზე.
მოდით ახლა ტურისტის სიჩქარე \ (v \) კმ / სთ, შემდეგ პირველ შეხვედრამდე მან მოახერხა გავლა \ მძღოლი გავიდა \[(v + 55)\dfrac(5)(60) = \dfrac(v + 55)(12)\ \ტექსტი(კმ).\]შემდეგ \[\dfrac(v + 55)(12) = v,\] საიდანაც ვპოულობთ \(v = 5\) კმ/სთ.
მეორე გზა:
\(v\) კმ/სთ იყოს ტურისტის სიჩქარე. სავარჯიშოში მნიშვნელობების გამოყენებისას, რომლებიც დაკავშირებულია მანძილთან (სიჩქარე, წრის სიგრძე), მათი ამოხსნა შესაძლებელია სწორი ხაზით გადაადგილებამდე. მოსკოვისა და სხვა ქალაქების სკოლის მოსწავლეებისთვის ყველაზე დიდი სირთულე, როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, გამოწვეულია ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე წრიული მოძრაობის დავალებებით, პასუხის ძებნა, რომელშიც დაკავშირებულია კუთხის გამოყენებასთან. სავარჯიშოს ამოსახსნელად, გარშემოწერილობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წრის ნაწილი. თქვენ შეგიძლიათ გაიმეოროთ ეს და სხვა ალგებრული ფორმულები "თეორიული მითითების" განყოფილებაში. იმისათვის, რომ ისწავლოთ მათი პრაქტიკაში გამოყენება, ამოხსენით სავარჯიშოები ამ თემაზე „კატალოგში“.
დაე, \(w\) კმ/სთ იყოს მძღოლის სიჩქარე. შემდეგ \(55\) წუთი \(+ 5\) წუთი \(= 1\) საათი, მაშინ
\(v\cdot 1\) კმ - ტურისტის მიერ გავლილი მანძილი პირველ შეხვედრამდე. შემდეგ \(5\) წუთი \(= \dfrac(1)(12)\) საათი, მაშინ
\(w\cdot \dfrac(1)(12)\) კმ არის მანძილი, რომელიც გაიარა მძღოლმა პირველ შეხვედრამდე. მანძილი, რომელიც მათ პირველ შეხვედრამდე გაიარეს არის: \
მომდევნო 4 საათის განმავლობაში, მძღოლმა უფრო მეტი მოძრაობდა, ვიდრე ტურისტი წრეზე (ჩართულია \(220\)
\
\
წრიულ ტრასაზე მოძრაობის ამოცანები. წრიულ ტრასაზე მოძრაობის ამოცანები.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ვარიანტი 1.
რაც უდრის 14 კმ. რამდენ წუთში მიაღწევენ მოტოციკლისტები
პირველად, თუ რომელიმე მათგანის სიჩქარე სიჩქარეზე 21 კმ/სთ-ით მეტია
სხვა?
წრიული ბილიკის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძეა 14 კმ,
პირველი მანქანის სიჩქარე 80 კმ/სთ-ია, შემდეგ კი 40 წუთის შემდეგ
სიჩქარე
ველოსიპედისტმა წრიული ტრასის A წერტილი დატოვა. 30 წუთის შემდეგ მან
ჯერ არ დაბრუნებულა A წერტილში და A წერტილიდან გაჰყვა მას
მოტოციკლისტი. გამგზავრებიდან 10 წუთში ის დაეწია
ველოსიპედისტი პირველად და 30 წუთის შემდეგ დაეწია
მას მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძეა
უდრის 30 კმ. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ორი მრბოლელი რბოლა. მათ 60 წრე უნდა გაიარონ
სარკინიგზო გზა 3 კმ სიგრძით. ორივე მხედარი დაიწყო
ამავდროულად, და პირველი მივიდა ფინიშამდე 10 წუთით ადრე, ვიდრე მეორე.
პირველმა მძღოლმა მეორე წრეში პირველად 15 წუთის შემდეგ გაასწრო?
გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ერთი საათი, როცა ერთ-ერთ მათგანს პირველის დასრულებამდე 1 კმ რჩებოდა
წრე, მას უთხრეს, რომ მეორე მორბენალმა დაასრულა პირველი წრე 20 წუთი
კმ/სთ წამის სიჩქარეზე ნაკლებია.
კვალი მეტრით, თუ მეორე სხეული 36-ის შემდეგ უბრუნდება A წერტილს
შეხვედრიდან წუთებში.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ვარიანტი 2.
ორი მხედარი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით
წრიული ბილიკის ორი დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილი, სიგრძე
რაც უდრის 16 კმ. რამდენი წუთის შემდეგ მოტოციკლისტები
გათანაბრება პირველად, თუ რომელიმე მათგანის სიჩქარე 10 კმ/სთ-ია
სხვაზე მეტი სიჩქარე?
ორი მანქანა ერთდროულად მოძრაობს ერთი და იმავე მიმართულებით.
პირველი მანქანის სიჩქარე 101 კმ/სთ-ია, შემდეგ კი 20 წუთის შემდეგ
დაწყება, ის ერთი წრე უსწრებდა მეორე მანქანას. იპოვე
ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ბილიკის A წერტილი და 50 წუთის შემდეგ
მოტოციკლისტი მას გაჰყვა. გაგზავნიდან 5 წუთის შემდეგ
ლენია პირველად დაეწია ველოსიპედისტს და კიდევ 30 წუთის შემდეგ
შემდეგ მეორედ დაეწია მას. იპოვნეთ სიჩქარე
მოტოციკლისტი, თუ ტრასის სიგრძე 50 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ორი მრბოლელი რბოლა. მათ უნდა გაიარონ 68 წრე
სარკინიგზო გზა 6 კმ სიგრძით. ორივე მხედარი დაიწყო
ამავდროულად და პირველი მივიდა ფინიშთან უფრო ადრე, ვიდრე მეორე
15 წუთი. როგორი იყო მეორე მხედრის საშუალო სიჩქარე თუ
ცნობილია, რომ პირველმა მხედარმა მეორეს წრეში პირველად გადაუსწრო
60 წუთის შემდეგ? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ორი მორბენალი ერთდროულად დაიწყო ერთი და იგივე მიმართულებით
იგივე ადგილი წრიულ ტრასაზე მრავალ წრეში. მოგვიანებით
ერთი საათი, როცა ერთ-ერთ მათგანს პირველის დასრულებამდე 3 კმ დარჩა
უკან. იპოვეთ პირველი მორბენლის სიჩქარე, თუ ცნობილია
წამის სიჩქარეზე 5კმ/სთ ნაკლები.
წრიული ბილიკის A წერტილიდან, ერთიანი
ბილიკები მეტრებში, თუ მეორე სხეული 20-ის შემდეგ უბრუნდება A წერტილს
შეხვედრიდან წუთებში.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ვარიანტი 3.
ორი მხედარი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით
წრიული ბილიკის ორი დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილი, სიგრძე
რაც უდრის 20 კმ. რამდენ წუთში მიაღწევენ მოტოციკლისტები
პირველად, თუ რომელიმე მათგანის სიჩქარე სიჩქარეზე 15 კმ/სთ-ით მეტია
სხვა?
წრიული ბილიკის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 8 კმ-ია,
ორი მანქანა ერთდროულად მოძრაობს ერთი და იმავე მიმართულებით.
პირველი მანქანის სიჩქარე 114 კმ/სთ-ია, შემდეგ კი 20 წუთის შემდეგ
მეორე მანქანა. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
მოტოციკლისტი მას გაჰყვა. 8 წუთის შემდეგ
გამგზავრებისას მან პირველად დაეწია ველოსიპედისტს და კიდევ 21-ის შემდეგ
ერთი წუთის შემდეგ მეორედ დაეწია მას. იპოვნეთ სიჩქარე
მოტოციკლისტი, თუ ტრასის სიგრძეა 35 კმ. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ორი მრბოლელი რბოლა. მათ უნდა გაიარონ 94 წრე
სარკინიგზო გზა 7,5 კმ სიგრძით. ორივე მხედარი დაიწყო
ამავდროულად, და პირველი მივიდა ფინიშზე უფრო ადრე, ვიდრე მეორე 18 წუთით.
რა იყო მეორე მხედრის საშუალო სიჩქარე თუ ცნობილია რომ
პირველმა მძღოლმა მეორეს პირველად 50 წუთში ერთი წრე გადაუსწრო?
გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ორი მორბენალი ერთდროულად დაიწყო ერთი და იგივე მიმართულებით
იგივე ადგილი წრიულ ტრასაზე მრავალ წრეში. მოგვიანებით
ერთი საათი, როცა ერთ-ერთ მათგანს პირველის დასრულებამდე 4 კმ დარჩა
წრე, მას უთხრეს, რომ მეორე მორბენალმა დაასრულა პირველი წრე 6 წუთის განმავლობაში
უკან. იპოვეთ პირველი მორბენლის სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ ის არის 6
კმ/სთ წამის სიჩქარეზე ნაკლებია.
წრიული ბილიკის A წერტილიდან, ერთიანი
ორი სხეული მოძრაობს საპირისპირო მიმართულებით. პირველი სხეული რომ
მათი შეხვედრის მომენტში მეორეზე 300 მეტრით მეტს გადის და
უბრუნდება A პუნქტს შეხვედრიდან 5 წუთის შემდეგ. იპოვეთ სიგრძე
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ვარიანტი 4.
ორი მხედარი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით
წრიული ბილიკის ორი დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილი, სიგრძე
რაც უდრის 40 კმ. რამდენი წუთის შემდეგ მოტოციკლისტები
პირველად გათანაბრება, თუ რომელიმე მათგანის სიჩქარეა 25 კმ/სთ
სხვაზე მეტი სიჩქარე?
წრიული ბილიკის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძეა 12 კმ,
ორი მანქანა ერთდროულად მოძრაობს ერთი და იმავე მიმართულებით.
პირველი მანქანის სიჩქარე 106 კმ/სთ-ია, შემდეგ კი 48 წუთის შემდეგ
დაწყება, ის ერთი წრე უსწრებდა მეორე მანქანას. იპოვე
მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ბილიკის A წერტილი და 40 წუთის შემდეგ
მოტოციკლისტი მას გაჰყვა. 10 წუთის შემდეგ
გამგზავრებისას მან პირველად დაეწია ველოსიპედისტს და კიდევ 36-ის შემდეგ
წუთის შემდეგ მეორედ დაეწია მას. იპოვნეთ სიჩქარე
მოტოციკლისტი, თუ ტრასის სიგრძეა 36 კმ. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
ორ მხედარს რინგ ტრასაზე 85 წრე მოუწევს
სიგრძე 8 კმ. ორივე მხედარმა დაიწყო ერთდროულად და
პირველი დასრულება მეორეზე ადრე 17 წუთით მოვიდა. Რა იყო
მეორე მხედრის საშუალო სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ პირველი მხედარი
პირველად გადაუსწრო მეორეს წრეში 48 წუთში? მიპასუხე
კმ/სთ
ორი მორბენალი ერთდროულად დაიწყო ერთი და იგივე მიმართულებით
იგივე ადგილი წრიულ ტრასაზე მრავალ წრეში. მოგვიანებით
ერთი საათი, როცა ერთ-ერთ მათგანს პირველის დასრულებამდე 7 კმ დარჩა
წრე, მას უთხრეს, რომ მეორე მორბენალმა პირველი წრე 3 წუთის განმავლობაში გაირბინა
უკან. იპოვეთ პირველი მორბენლის სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ ის არის 8
კმ/სთ წამის სიჩქარეზე ნაკლებია.
წრიული ბილიკის A წერტილიდან, ერთიანი
ორი სხეული მოძრაობს საპირისპირო მიმართულებით. იმ დროისთვის ისინი
შეხვედრისას პირველი სხეული მეორეზე 200 მ-ით მეტს მოგზაურობს და
უბრუნდება A პუნქტს შეხვედრიდან 25 წუთის შემდეგ. იპოვეთ სიგრძე
შინკარევი ეგორ ალექსანდროვიჩი
პრობლემების კრებული
არასტანდარტული ამოცანები მოძრაობისთვის
პროექტის სამეცნიერო ხელმძღვანელი კუდრიავცევა ნატალია ნიკოლაევნა
კრებული შეიცავს შემდეგ ჯგუფებს პირობითად მინიჭებული პრობლემების დეტალურ გადაწყვეტილებებს: შემოთავაზებულია წრიული მოძრაობა, გაფართოებული სხეულების მოძრაობა და დამოუკიდებელი გადაწყვეტის ამოცანები. ამოცანების ეს კრებული შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ტიპის ამოცანების გადაჭრის უნარების გასავითარებლად მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და ოლიმპიადისთვის მომზადებისთვის. კრებული შეიძლება გამოადგეს 8-11 კლასების მოსწავლეებს, მასწავლებლებს გადაადგილებისთვის ამოცანების კონსოლიდაციისა და განმეორების ორგანიზებისთვის, როგორც კლასში, ასევე კლასგარეშე აქტივობებში.
აბაკანი 2017 წელი
შესავალი _________________________________________________________________3
Თავი 1
§ 1.1. ამოცანები მოძრაობა წრეში, ერთი მიმართულებით, ერთ დროს ერთი წერტილიდან
§ 1.2. წრეში გადაადგილების ამოცანები, ერთი მიმართულებით, ერთ დროს დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებიდან _________________________________6
§ 1.3. წრეში, ერთი მიმართულებით, სხვადასხვა დროს ერთი წერტილიდან გადაადგილების ამოცანები........7
§ 1.4. ამოცანები მოძრაობა წრეში, საპირისპირო მიმართულებით, ერთდროულად ერთი წერტილიდან.…………………..8
თავი 2
§ 2.1. ორი გაფართოებული სხეულის ერთი მიმართულებით მოძრაობის პრობლემები
§ 2.2. პრობლემები ორი გაფართოებული სხეულის მიმართ მოძრაობაზე
§ 2.3. ერთი გაფართოებული სხეულის მოძრაობის პრობლემები სხვა ფიქსირებულ სხეულთან მიმართებაში
§ 2.4. გაფართოებული სხეულის მოძრაობის პრობლემები ფიქსირებულ წერტილთან მიმართებაში
§ 2.5. პრობლემები გაშლილი სხეულისა და წერტილის მოძრაობაზე
§ 2.6 დავალება გაფართოებული სხეულისა და წერტილის გადაადგილებისთვის ერთი მიმართულებით ______
შესავალი
პრაქტიკაში ბევრი საინტერესო ამოცანაა მოძრაობისთვის. გასართობ პრობლემებს გვთავაზობენ სხვადასხვა ოლიმპიადებსა და ფინალურ გამოცდებზე. ეს კრებული შეიცავს მხოლოდ პრობლემებს, რომლებიც პირობითად იყოფა შემდეგ ჯგუფებად: წრეში მოძრაობის პრობლემები, გაფართოებული სხეულების მოძრაობის პრობლემები.
თითოეულ ჯგუფში გამოიყოფა ქვეჯგუფები, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ამოხსნის გზებით.
პრობლემების ეს კრებული შეიცავს თითოეული ტიპის ამოცანების კრებულს პასუხებით. კოლექცია შეიცავს თითოეული ტიპის პრობლემის დეტალურ გადაწყვეტილებებს და გთავაზობთ ამოცანებს დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. დავალებების ეს კრებული შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრის უნარების გასავითარებლად OGE-სთვის, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და მათემატიკის ოლიმპიადებისთვის მომზადებისთვის. კრებული შეიძლება გამოადგეს 8-11 კლასების მოსწავლეებს, მასწავლებლებს მოძრაობისთვის ამოცანების კონსოლიდაციისა და განმეორების ორგანიზებისთვის, როგორც კლასში, ასევე კლასგარეშე აქტივობებში.
Თავი 1
წრეში მოძრაობის ამოცანები§1.1 ამოცანები მოძრაობა წრეში, ერთი მიმართულებით, ერთ დროს ერთი წერტილიდან
ამოცანა: წრიული ლიანდაგის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 14 კმ-ია, ორი მანქანა ერთდროულად დაიძრა ერთი და იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 80 კმ/სთ-ია, დაწყებიდან 40 წუთის შემდეგ კი მეორე მანქანას ერთი წრე უსწრებდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
გადაწყვეტილება:
სიჩქარე
დრო
მანძილი
1 მანქანა
80 კმ/სთ
80*=კმ
მე-2 მანქანა
X კმ/სთ
x ⋅ კმ
იმის ცოდნა, რომ 2/3 საათში პირველმა მანქანამ შემოიარა წრე, ანუ მეორეზე 14 კმ-ით მეტი, ჩვენ განტოლებას გავაკეთებთ.
X ⋅ +14;
2x=160 −14 ⋅ 3;
x=59 .
პასუხი: 59 კმ/სთ
1. ორმა მორბენალმა ერთდროულად დაიწყო ერთსა და იმავე მიმართულებით წრეზე ერთი და იგივე ადგილიდან მრავალწახნაგა რბოლაში. ერთი საათის შემდეგ, როდესაც ერთ-ერთ მათგანს პირველი წრის დასრულებამდე 1 კმ დარჩა, მას აცნობეს, რომ მეორე მორბენალმა პირველი წრე 20 წუთის წინ დაასრულა. იპოვეთ პირველი მორბენლის სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ ის 8 კმ/სთ-ით ნაკლებია მეორეს სიჩქარეზე.(13)( )
2. ორი მრბოლელი რბოლა. მათ უწევთ 60 წრე 3 კმ სიგრძის სარკინიგზო გზის გავლა. ორივე მხედარი ერთდროულად დაიწყო, პირველი კი ფინიშთან მეორეზე 10 წუთით ადრე მივიდა. რა იყო მეორე მხედრის საშუალო სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ პირველმა მხედარმა მეორეს პირველად 15 წუთში ერთი წრე გადაუსწრო? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში. (108) ( )
3. ორ მხედარს 8 კმ სიგრძის რინგ ტრასაზე 85 წრე მოუწევს. ორივე მხედარი ერთდროულად დაიწყო, პირველი კი ფინიშთან მეორეზე ადრე 17 წუთით მივიდა. რა იყო მეორე მხედრის საშუალო სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ პირველმა მხედარმა მეორეს პირველად 48 წუთში ერთი წრე გადაუსწრო? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
(150)( )
4. ორ მხედარს მოუწევს 68 წრის გავლა 6 კმ სიგრძის რინგ ტრასაზე. ორივე მხედარი ერთდროულად დაიწყო, პირველი კი ფინიშამდე 15 წუთით ადრე მივიდა, ვიდრე მეორე. როგორი იყო მეორე მხედრის საშუალო სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ პირველმა მხედარმა მეორეს პირველად 60 წუთში ერთი წრე გადაუსწრო? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
(96 )( )
5.
ორი წერტილი, რომელიც მოძრაობს წრის გასწვრივ იმავე მიმართულებით, ხვდება ყოველ 12 წუთში, პირველი მოძრაობს წრეზე 10 წამით უფრო სწრაფად, ვიდრე მეორე. წრის რომელ ნაწილს მოიცავს თითოეული წერტილი 1 წამში? (წრის 1/80 და 1/90)
)
§1.2. წრეში მოძრაობის ამოცანები, ერთი მიმართულებით, ერთ დროს დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებიდან
ამოცანა: ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 14 კმ-ია. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 21 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე?
გადაწყვეტილება:
სიჩქარე
დრო
მანძილი
1-ლი მოტოციკლისტი
X კმ/სთ
თ სთ
xt კმ
მე-2 მოტოციკლისტი
X + 21 კმ/სთ
თ სთ
(x+21)t კმ
მოდით, მოტოციკლისტები იყვნენ გზაზე ერთსა და იმავე დროს, ტოლი t
საათები. იმისთვის, რომ მოტოციკლისტებმა მიაღწიონ წინ, უფრო სწრაფად უნდა გადალახონ მანძილი, რომელიც თავდაპირველად აშორებს მათ, ტოლია ტრასის ნახევარის სიგრძისა, ანუ 14:2 = 7 კმ. მაშასადამე, მეორე მოტოციკლისტის მიერ გავლილი მანძილი 7 კმ-ით მეტია, ვიდრე პირველის გავლილი მანძილი:
(x+21)t−xt=7;
21ტ=7
t=h
ამგვარად, მოტოციკლისტები დაეწევიან t= საათის შემდეგ ან 20 წუთის შემდეგ.
მოდი სხვა გამოსავალი მივცეთ
სწრაფი მოტოციკლისტი მოძრაობს შედარებით ნელი სიჩქარით 21 კმ/სთ და უნდა გადალახოს მათ გამყოფი 7 კმ. ამიტომ მას საათის მესამედი დასჭირდება.
პასუხი: 20 წთ
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
6.ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 22 კმ-ია. რამდენ წუთში მიაღწევენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 20 კმ/სთ აღემატება მეორის სიჩქარეს? (33)
7. ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 5 კმ-ია. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 5 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე? (30) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
8 . ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 14 კმ-ია. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 21 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე? (20)
9 . ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 27 კმ-ია. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 27 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე? (ოცდაათი)
10. ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად ეშვება ერთი და იმავე მიმართულებით წრიული ლიანდაგის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძეა 6 კმ. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 9 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე? (20)
§1.3. წრეში, ერთი მიმართულებით, ერთი წერტილიდან სხვადასხვა დროს მოძრაობის ამოცანები
ამოცანა: ველოსიპედისტმა წრიული ტრასის A წერტილი დატოვა და 30 წუთის შემდეგ მოტოციკლისტი მიჰყვა მას. გამგზავრებიდან 10 წუთის შემდეგ პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 30 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 30 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
გადაწყვეტილება:
სიჩქარე
დრო
მანძილი
1 შეხვედრა
ველოსიპედისტი
X კმ/სთ
40წთ=სთ
მოტოციკლისტი
4X კმ/სთ
10 წთ=სთ
2 შეხვედრა
ველოსიპედისტი
X კმ/სთ
მოტოციკლისტი
4X კმ/სთ
პირველი გასწრების მომენტისთვის მოტოციკლისტმა იმდენი იმოგზაურა 10 წუთში, რამდენიც ველოსიპედისტმა 40 წუთში, შესაბამისად, მისი სიჩქარე 4-ჯერ მეტია. მაშასადამე, თუ ველოსიპედისტის სიჩქარე ავიღეთ x კმ/სთ, მაშინ მოტოციკლისტის სიჩქარე იქნება 4x კმ/სთ და მათი მიახლოების სიჩქარე იქნება 3x კმ/სთ.
მეორე მხრივ, მოტოციკლისტი მეორედ დაეწია ველოსიპედისტს 30 წუთში, ამ დროის განმავლობაში მან 30 კმ მეტი გაიარა. ამიტომ მათი დაახლოების სიჩქარე 60 კმ/სთ-ია.
ასე რომ, 3x=60 კმ/სთ, სადაც ველოსიპედისტის სიჩქარეა 20 კმ/სთ, ხოლო მოტოციკლისტის სიჩქარე 80 კმ/სთ.
პასუხი: 80 კმ/სთ.
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
11 . აბზაციდანველოსიპედისტმა წრიული ტრასა დატოვა, 10 წუთის შემდეგ კი მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 2 წუთის შემდეგ პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 3 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 5 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში. (6) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm
12. აბზაციდანველოსიპედისტმა წრიული ტრასა დატოვა, 40 წუთის შემდეგ კი მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 8 წუთში ის პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 36 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 30 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში. (60) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
13. ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ტრასის „A“ წერტილი და 50 წუთის შემდეგ მას მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 10 წუთის შემდეგ პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 18 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 15 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.(60)
14. ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ტრასის პუნქტი "A" და 30 წუთის შემდეგ მას მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 8 წუთში პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 12 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 15 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში. (95)
15. ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ტრასის „A“ წერტილი და 40 წუთის შემდეგ მას მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 10 წუთში ის პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 36 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 36 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.(75)
§1.4. ამოცანები მოძრაობა წრეში, საპირისპირო მიმართულებით, ამავე დროს ერთი წერტილიდან
ვ ჯოჯოხეთი აჩა 1: წრეზე აღებულია რაღაც A წერტილი.ორი სხეული ერთდროულად ტოვებს ამ წერტილს და ერთნაირად მოძრაობს მოცემულ წრის გასწვრივ საპირისპირო მიმართულებით. მათი შეხვედრის მომენტში გაირკვა, რომ პირველმა ცხედარმა მეორეზე 10 მეტრით მეტი გაიარა. გარდა ამისა, პირველი სხეული A წერტილში მივიდა 9 წამის შემდეგ, ხოლო მეორე - შეხვედრიდან 16 წამის შემდეგ. განსაზღვრეთ გარშემოწერილობა მეტრებში.
გადაწყვეტილება:
დრო
მანძილი
1 ქულა
X კმ/სთ
თ სთ
xt კმ
მე-2 პუნქტი
y კმ/სთ
თ სთ
იტკმ
მოდით x იყოს ერთი წერტილის სიჩქარე, რომელიც მოძრაობს საათის ისრის მიმართულებით, ხოლო y იყოს მეორის სიჩქარე. შემდეგ შეხვედრამდე პირველი წერტილი გაივლის xt მანძილს, მეორე კი yt დისტანციას.
პირველი წერტილის საწყის წერტილამდე შეხვედრის შემდეგ, თქვენ უნდა გაიაროთ იგივე მანძილი, რომელიც მეორემ გაიარა შეხვედრამდე და პირველი წერტილი ამ დროს ხარჯავს 10 წამის ტოლი, ხოლო მეორე, პირიქით, უნდა გაიაროს. მანძილი, რომელიც პირველმა გაიარა შეხვედრამდე და ის ხარჯავს ამ 16 გვ. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ თანასწორობებს:
Xt = 16 წ
Yt=9x
გამოვხატოთ წერტილების მოძრაობის დრო თ შეხვედრამდე
ტ= =
სად მივიღოთ
x=
პირობის მიხედვით, პირველმა სხეულმა მეორეზე 10 მ-ით მეტი გაიარა, ანუ
16y-9x=10
ჩვენ ვცვლით ერთ-ერთ უცნობს ამ განტოლებაში:
16 წ-12 წ =10
და ვპოულობთ Y=2.5 საიდანაც x= .
წრის მთლიანი სიგრძეა: 70
პასუხი: გარშემოწერილობა 70 მეტრია.
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
16. მუდმივი სიჩქარით 500 მ სიგრძის წრის გასწვრივ სხვადასხვა მიმართულებით მოძრავი ორი სხეული ხვდება ყოველ 125 წამში. ერთი მიმართულებით მოძრაობისას პირველი სხეული ეწევა მეორეს ყოველ 12,5 წამში. იპოვეთ თითოეული სხეულის სიჩქარე. (22 და 18)
17. წრიული ბილიკის A წერტილიდან ორი სხეული ერთდროულად იწყებს ერთგვაროვან მოძრაობას საპირისპირო მიმართულებით. როდესაც ისინი შეიკრიბებიან, პირველი სხეული მეორეზე 100 მეტრით მეტს მოგზაურობს და შეხვედრიდან 9 წუთის შემდეგ ბრუნდება A წერტილში. იპოვეთ ბილიკის სიგრძე მეტრებში, თუ მეორე სხეული დაბრუნდება A წერტილში შეხვედრიდან 16 წუთის შემდეგ. (700)
18. წრის გასწვრივ ერთი და იმავე მიმართულებით მოძრავი ორი სხეული ხვდება ყოველ 112 წუთში, ხოლო საპირისპირო მიმართულებით მოძრაობს - ყოველ 16 წუთში. მეორე შემთხვევაში სხეულებს შორის მანძილი 12 წამში 40 მ-დან 26 მ-მდე შემცირდა. წუთში რამდენ მეტრს გადის თითოეული სხეული და რა არის გარშემოწერილობა? (1120 მ; 40 მ/წთ, 30 მ/წთ)
19. 2.4-ში
20. 2.4-ში
თავი 2
გაფართოებული სხეულების მოძრაობასთან დაკავშირებული პრობლემები
§2.1. ორი გაფართოებული სხეულის ერთი მიმართულებით მოძრაობის პრობლემები
ამოცანა: ზღვით ორი მშრალი სატვირთო გემი ერთი მიმართულებით პარალელურად გადის: პირველი 130 მეტრია, მეორე 120 მეტრი. ჯერ ერთი, მეორე ნაყარი ჩამორჩება პირველს და დროის გარკვეულ მომენტში მანძილი პირველი ნაყარი მატარებლის ღერიდან მეორის მშვილდამდე 600 მეტრია. ამის შემდეგ 11 წუთის შემდეგ პირველი ნაყარი ჩამორჩება მეორეს ისე, რომ მანძილი მეორე ნაყარი გადამზიდიდან პირველის მშვილდამდე 800 მეტრია. რამდენი კილომეტრია საათში პირველი სატვირთო გემის სიჩქარე მეორეზე? (http://www.ug.ru/method_article/519)
გადაწყვეტილება:
დრო
მანძილი
2 - 1
X მ/წთ
11 წთ
600+130+120+800= 1650 მ
ნაყარი გადამზიდის 2-ის მშვილდის მიერ გავლილი მანძილი ტოლია: საწყისი მანძილი ნაყარი გადამზიდის 2-დან მშვილდოსანამდე 1(600) + სიგრძე 1(130) + სიგრძე 2(120) + ბოლო მანძილი მშვილდიდან 1-მდე 2(800) = 1650 მ
V= S: ტ
V = 1650: 11= 150 მ/წთ = 9 კმ/სთ
პასუხი: 9 კმ/სთ
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
21. სამგზავრო და სატვირთო მატარებლები ერთი და იმავე მიმართულებით მოძრაობენ ორი პარალელური სარკინიგზო ლიანდაგის გასწვრივ, შესაბამისად 80 კმ/სთ და 50 კმ/სთ სიჩქარით. სატვირთო მატარებლის სიგრძე 800 მეტრია. იპოვეთ სამგზავრო მატარებლის სიგრძე, თუ სატვირთო მატარებლის გავლას დრო სჭირდება 2 წუთი. მიეცით პასუხი მეტრებში. (200)
22. ზღვით ორი მშრალი სატვირთო გემი ერთი მიმართულებით პარალელურად გადის: პირველის სიგრძე 110 მეტრია, მეორის სიგრძე 70 მეტრია. ჯერ ერთი, მეორე ნაყარი ჩამორჩება პირველს და დროის გარკვეულ მომენტში მანძილი პირველი ნაყარი მატარებლის ღერიდან მეორის მშვილდამდე 200 მეტრია. მას შემდეგ 8 წუთის შემდეგ პირველი ნაყარი ჩამორჩება მეორეს ისე, რომ მანძილი მეორე ნაყარი გადამზიდიდან პირველის მშვილდამდე 500 მეტრია. რამდენი კილომეტრით საათში ნაკლებია პირველი სატვირთო გემის სიჩქარე მეორეზე? (6.6)
( )
23. ზღვით ორი ბარჟა ერთი მიმართულებით მიჰყვება პარალელურ კურსებს: პირველი 70 მეტრია, მეორე 30 მეტრი. ჯერ ერთი, მეორე ბარჟა ჩამორჩება პირველს და დროის გარკვეულ მომენტში მანძილი პირველი ბარგის საყრდენიდან მეორის მშვილდამდე 250 მეტრია. აქედან 14 წუთის შემდეგ პირველი ბარჟა უკვე მეორეს უკან დგას ისე, რომ მანძილი მეორე ბარგის საყრდენიდან პირველის მშვილდამდე 350 მეტრია. რამდენი კილომეტრია საათში პირველი ბარგის სიჩქარე მეორეზე? (3)
( )
24. ზღვით ორი ბარჟა ერთი მიმართულებით მიჰყვება პარალელურ კურსებს: პირველის სიგრძე 60 მეტრია, მეორის სიგრძე 40 მეტრია. ჯერ ერთი, მეორე ბარჟა ჩამორჩება პირველს და დროის გარკვეულ მომენტში მანძილი პირველი ბარგის საყრდენიდან მეორის მშვილდამდე 200 მეტრია. ამის შემდეგ 18 წუთის შემდეგ პირველი ბარჟა უკვე მეორეს უკან დგას ისე, რომ მეორე ბარგის საყრდენიდან პირველის მშვილდამდე მანძილი 300 მეტრია. რამდენი კილომეტრია საათში პირველი ბარგის სიჩქარე მეორეზე? (2.1)
( )
25 . ზღვით ორი მშრალი სატვირთო გემი ერთი მიმართულებით პარალელურად გადის: პირველი 120 მეტრია, მეორე 80 მეტრი. ჯერ ერთი, მეორე ნაყარი ჩამორჩება პირველს და დროის გარკვეულ მომენტში მანძილი პირველი ნაყარი მატარებლის ღერიდან მეორის მშვილდამდე 400 მეტრია. ამის შემდეგ 12 წუთის შემდეგ პირველი ნაყარი ჩამორჩება მეორეს ისე, რომ მანძილი მეორე ნაყარი გადამზიდიდან პირველის მშვილდამდე 600 მეტრია. რამდენი კილომეტრით საათში ნაკლებია პირველი სატვირთო გემის სიჩქარე მეორეზე? (6)
( )
§3
ნომრის ციფრული ჩაწერის ამოცანები
ამოცანა 1: იპოვეთ უმცირესი ოთხნიშნა რიცხვი, რომელიც იყოფა 11-ზე, რომლის ციფრთა ნამრავლი არის 12.
გადაწყვეტილება:
რიცხვი უნდა იყოს 11-ის ჯერადი, ანუ განსხვავება ლუწი პოზიციების ციფრებსა და კენტ პოზიციებში ციფრებს შორის არის 11-ის ჯერადი, განიხილეთ შემთხვევა, როდესაც მათი სხვაობა არის 0. გაითვალისწინეთ, რომ 0 არ უნდა იყოს, მას შემდეგ, რაც გამრავლებული 0-ზე მივიღებთ 0 რადგან რიცხვი ყველაზე პატარაა, ავიღოთ პირველი ციფრი 1. რიცხვი მიიღებს 1bcd ფორმას. ასე რომ, 1 + c = b + d და c×b×d = 12. უფრო მეტიც, თუ 12-ს წარმოვადგენთ 3 რიცხვის ნამრავლად, მაშინ მივიღებთ 12 = 2 × 3 × 2, ხოლო 2 + 2 = 3 + 1 და მივიღებთ 1232
პასუხი: 1232
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
26. იპოვეთ ოთხნიშნა რიცხვი, რომელიც არის 22-ის ნამრავლი და რომლის ციფრთა ნამრავლი არის 40. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ერთი ასეთი რიცხვი.
27. იპოვეთ ოთხნიშნა რიცხვი, რომელიც არის 22-ის ნამრავლი და რომლის ციფრთა ნამრავლი არის 60. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ერთი ასეთი რიცხვი.
28. იპოვეთ ოთხნიშნა რიცხვი, რომელიც არის 18-ის ნამრავლი და მისი ციფრების ნამრავლი არის 24. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რომელიმე ასეთი რიცხვი.
29. იპოვეთ ოთხნიშნა რიცხვი, რომელიც იყოფა 33-ზე, რომლის რიცხვის ნამრავლი არის 40. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რომელიმე ასეთი რიცხვი.
30. იპოვეთ უმცირესი ოთხნიშნა რიცხვი, რომელიც იყოფა 11-ზე, რომლის ციფრების ნამრავლი არის 12.
დავალება 2: იპოვეთ ექვსნიშნა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იწერება მხოლოდ 1-ით და 0-ით და იყოფა 24-ზე.
გადაწყვეტილება:
რიცხვი რომ გაიყოს 24-ზე, ის უნდა გაიყოს 3-ზე და 8-ზე.
რიცხვი იყოფა 8-ზე, თუ მისი ბოლო სამი ციფრი ქმნის რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე.
სასურველი რიცხვი იწერება მხოლოდ ნულებით და ერთებით, რაც ნიშნავს, რომ ის მთავრდება 000-ით. რიცხვი იყოფა 3-ზე, თუ მისი რიცხვების ჯამი იყოფა 3-ზე. ვინაიდან რიცხვის ბოლო სამი ციფრი არის ნულები, პირველი სამი უნდა იყოს პირობა. ამრიგად, ერთადერთი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას, არის რიცხვი 111000.
პასუხი: 111000
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
31. იპოვეთ ექვსნიშნა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იწერება მხოლოდ 2-ით და 0-ით და იყოფა 120-ზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რომელიმე ასეთი რიცხვი.
32. იპოვეთ ექვსნიშნა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იწერება მხოლოდ 1-ით და 5-ით და იყოფა 45-ზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რომელიმე ასეთი რიცხვი.
33. იპოვეთ ექვსნიშნა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იწერება მხოლოდ 2-ად და 3-ად და იყოფა 6-ზე.
34. იპოვეთ ექვსნიშნა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იწერება მხოლოდ 7-ად და 3-ად და იყოფა 11-ზე.
35. იპოვეთ ექვსნიშნა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იწერება მხოლოდ 3, 4, 9 და 5-ად და იყოფა 9-ზე.
36. იპოვე უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა 36-ზე, რომელიც შეიცავს 10-ვე ციფრს.
37. იპოვეთ 6-ნიშნა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა 47-ზე, რომელიც იწერება მხოლოდ 2, 8 და 0 რიცხვებით.
დავალება 3: სამნიშნა ნატურალური A რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 12-ზე, A + 6 რიცხვის ციფრების ჯამი ასევე იყოფა 12-ზე იპოვე ყველაზე პატარა A რიცხვი.
გამოსავალი: მოხერხებულობისთვის დარეკეთ ჩვენს ნომერზე abc. თითოეული ასო აღნიშნავს A რიცხვის ცალკეულ ციფრს: a - ასეულებს, b - ათეულებს, c - ერთეულებს. a + b + c ციფრების ჯამი უნდა გაიყოს 12-ზე. დავუშვათ, რომ ეს ასეა და შევეცადოთ ავირჩიოთ რიცხვი A + 6 ისე, რომ მისი ციფრების ჯამიც გაიყოს 12-ზე. გაითვალისწინეთ, რომ ჯამი A + 6 რიცხვის ციფრები უნდა განსხვავდებოდეს A რიცხვის ციფრების ჯამისგან 12-ით, 24-ით, ... წინააღმდეგ შემთხვევაში ის არ დაიყოფა 12-ზე. განიხილეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი:
ვარიანტი 1. თუ გ<4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.
ვარიანტი 2. თუ c ≥ 4 და b<9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.
ვარიანტი 3. თუ c ≥ 4, b = 9, a<9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.
ვარიანტი 4. თუ c ≥ 4, b = 9, a = 9, მაშინ ახალი რიცხვი A + 6 იქნება: A + 6 = 100(c - 4) ამ რიცხვის ციფრების ჯამია: 1 + 0 + 0 + c - 4 \u003d c - 3 A რიცხვის ციფრების ჯამი a \u003d 9 და b \u003d 9 არის: 9 + 9 + c \u003d c + 18 გამოდის, რომ ამ რიცხვებიდან 2 განსხვავდება 21-ით (18 - (-3)). ეს ვარიანტი არ იმუშავებს. ამრიგად, abc-ის ციფრები უნდა შეესაბამებოდეს c ≥ 4, b = 9, a< 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1
პასუხი: 699
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
38. ნატურალური სამნიშნა A რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 13-ზე, A + 5 რიცხვის ციფრების ჯამი ასევე იყოფა 13-ზე. იპოვეთ ასეთი რიცხვი A.
39. ნატურალური სამნიშნა A რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 12-ზე, A + 6 რიცხვის ციფრების ჯამი ასევე იყოფა 12-ზე. იპოვეთ ყველაზე პატარა A რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს A > 700 პირობას.
40. იპოვეთ A სამნიშნა რიცხვი, რომელსაც აქვს ყველა შემდეგი თვისება:
A-ს ციფრების ჯამი იყოფა 6-ზე
A + 3 რიცხვის ციფრების ჯამი ასევე იყოფა 6-ზე
რიცხვი A არის 350-ზე მეტი და 400-ზე ნაკლები
მიეცით თქვენი პასუხი, როგორც ერთი ასეთი რიცხვი.
§4
ამოცანები რიცხვების გადაკვეთისა და დამატების შესახებ
ამოცანა 1: რიცხვში 123456 გადახაზეთ სამი ციფრი ისე, რომ მიღებული რიცხვი გაიყოს 27-ზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რიცხვი.
გადაწყვეტილება:
დავიწყოთ რიცხვებით, რომლებიც იწყება 1 ნომრით, რათა არ დაირღვეს რიგი:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
ამ რიცხვებს შორის 135 იყოფა 27-ზე (13–8 5= –27)
შემდეგი, ჩვენ ვამოწმებთ ნომრებს, რომლებიც იწყება 2-ით:
234, 235, 236, 245, 246, 256
3-ით დაწყებული რიცხვების შემოწმება:
345, 346, 356.
არცერთი რიცხვი არ იყოფა 27-ზე.
მოდით გადავიდეთ რიცხვებზე, რომლებიც იწყება 4-ით.
456: არ იყოფა 27-ზე.
ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ რიცხვს 135
პასუხი: 135
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
41. 123456 რიცხვში გადახაზეთ სამი ციფრი ისე, რომ მიღებული რიცხვი გაიყოს 35-ზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რიცხვი.
42. 123456 რიცხვში გადახაზეთ სამი ციფრი ისე, რომ მიღებული რიცხვი გაიყოს 5-ზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რიცხვი.
43. გადახაზეთ სამი ციფრი 85417627 რიცხვში ისე, რომ მიღებული რიცხვი გაიყოს 18-ზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ზუსტად ერთი მიღებული რიცხვი.
44. გადახაზეთ სამი ციფრი 141565041 რიცხვში ისე, რომ მიღებული რიცხვი გაიყოს 30-ზე. პასუხშიდააკონკრეტეთ ზუსტად ერთი მიღებული რიცხვი.
45. გადაკვეთა ნომერს 181615121 აქვს სამი ციფრი ისე, რომ მიღებული რიცხვი იყოფა 12-ზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რომელიმე ასეთი რიცხვი.
დავალება 2: 26 რიცხვს დაუმატეთ მარცხნივ და მარჯვნივ რიცხვით ისე, რომ მიღებული რიცხვი იყოს 45-ის ჯერადი.
გადაწყვეტილება:
ამ რიცხვის ციფრების ჯამი უნდა გაიყოს 9-ზე, თავად რიცხვი უნდა გაიყოს 5-ზე, ამიტომ ბოლო ციფრი არის 0 ან 5. და შემდეგ ვირჩევთ პირველ ციფრს.
1260 და 5265 წ.
პასუხი: 1260 ან 5262
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
46. 374 რიცხვს დაუმატეთ ერთი ციფრი მარცხნივ და მარჯვნივ ისე, რომ მიღებული რიცხვი გაიყოს 45-ზე.
47. მივაწეროთ 1022-ის მარცხნივ და მარჯვნივ ერთი ციფრი ისე, რომ მიღებული ექვსნიშნა რიცხვი გაიყოს 7-ზე, 8-ზე, 9-ზე.
48. რიცხვი 15-ს მარცხნივ და მარჯვნივ დაამატეთ ერთი ციფრი ისე, რომ მიღებული რიცხვი გაიყოს 15-ზე.
49. რიცხვ 10-ს დაუმატეთ ერთი ციფრი მარცხნივ და მარჯვნივ ერთ ციფრს, რომ მიიღოთ რიცხვი, რომელიც არის 72-ის ნამრავლი.
50. რიცხვით 2012 დაუმატეთ მარჯვნივ ორი ციფრი ისე, რომ მიღებული ექვსნიშნა რიცხვი გაიყოს 36-ზე.
პასუხები ამოცანებზე:
1. 1125
2. 1044
3. 1245
4. 3225
5. 4312
6. 6
7. 5
8. 3
9. 321 0
10. 3211
11. 11
12. 5
13. 1152
14. 1152
15. 2120
16. 20
17. 20
18. 10
19. 35
20. 10
21. 30
22. 24
23. 25
24. 24
25. 54
26. 1254
27. 2156
28. 3222
29. 2541
30. 1232
31. 222000
32. 111555
33. 333222
34. 377333
35. 333459
36. 1023457896
37. 282000
38. 899
39. 798
40. 369
41. 245
42. 12345
43. 54162
44. 115650
45. 181512
46. 43740
47. 910224
48. 1155
49. 4104
50. 420120
ბიბლიოგრაფია:
1) სასკოლო ცოდნა - პორტალი [ელექტრონული რესურსი]. - წვდომის რეჟიმი: https://znanija.com/task/, უფასო. - სათაური ეკრანიდან.
2) ფოსტა. en- პორტალი [ელექტრონული რესურსი]. - წვდომის რეჟიმი: https://answer.mail.ru/question/, უფასო. - სათაური ეკრანიდან.
3) გამოყენება: 4000 დავალება მათემატიკაში პასუხებით. ყველა დავალება "დახურული სეგმენტი". ძირითადი და პროფილის დონეები / I. V. Yashchenko, I. R. Vysotsky, A. V. Zabelin, P. I. Zakharov, S. L. Krupetsky, V. B. Nekrasov, M. A. Positselskaya, S. E. შესტაკოვი, დ.ე.შნოლი; რედ. ი.ვ.იაშჩენკო. - მ .: გამომცემლობა "გამოცდა", 2015. - 686, გვ. (სერია "Bank of USE ამოცანები")
4) მათემატიკოსი - პორტალი [ელექტრონული რესურსი]. - წვდომის რეჟიმი: http://mathematichka.ru/, უფასო. - სათაური ეკრანიდან.
5) მათემატიკური ოლიმპიადების ამოცანები / I. L. Babinskaya. - მ. : გამომცემლობა ნაუკას ფიზიკურ-მათემატიკური ლიტერატურის მთავარი გამოცემა, 1975. - 109, გვ.
6) მათემატიკაში USE ამოცანების ღია ბანკი - პორტალი [ელექტრონული რესურსი]. - წვდომის რეჟიმი: http://base.mathege.ru/, უფასო. - სათაური ეკრანიდან.
7) მზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და OGE - გამოცდები პერსონალურ პორტალზე [ელექტრონული რესურსი]. - წვდომის რეჟიმი: http://worksbase.ru/, უფასო. - სათაური ეკრანიდან.
მისაღები გამოცდის დემო ვერსიაGBOU ლიცეუმის №1535 მე-8 მათემატიკური კლასამდე. ეტაპი 1
1) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
გადაწყვეტილება:
ნახატზე ნაჩვენებია ტურისტის გადაადგილების გრაფიკი A ქალაქიდან B ქალაქამდე და გზად ისინი შეჩერდნენ. განსაზღვრეთ:
ა) A ქალაქიდან რა მანძილზე (კმ-ში) გაჩერდა ტურისტი?
ბ) როგორი იყო ტურისტის სიჩქარე (კმ/სთ) გაჩერების შემდეგ?
გ) როგორი იყო ტურისტის საშუალო სიჩქარე (კმ/სთ) A-დან B-ში გადაადგილებისას? 
ამოხსნა: ა) პასუხი: 9; ბ) 18-9=9, 7-5=2, ანუ 9:2=4,5 კმ/სთ; გ) 18:5=3,6 კმ/სთ.
3) მიიტანეთ მრავალწევრი (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) სტანდარტულ ფორმაში/
ამოხსნა: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p 2 -16)-p(p 2 - p-16)=p 3 +3p 2 -16p-48- p 3 +p 2 +16p=4p 2 -48
4) იპოვეთ გამოხატვის განტოლების ფესვი: 8 15: x=4 17 2 6
გადაწყვეტილება: 
5) ფიგურის მონაცემების გამოყენებით იპოვეთ α კუთხის ხარისხის ზომა 
ამოხსნა: 136°+44°=180°, ანუ წრფეები პარალელურია. ამიტომ, ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, ანუ ∠α=180°-44°-56°=80°.
6) რა არის განტოლების ფესვი 
ამოხსნა: გავამრავლოთ ყველა წევრი 30-ზე, მნიშვნელები შემცირდება: 
7) იპოვნეთ რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა: 
გადაწყვეტილება:
8) თუ კვადრატის ერთ-ერთი მიმდებარე გვერდი შემცირდა 2 სმ-ით, ხოლო მეორე გაიზარდა 6 სმ-ით, მაშინ მიიღებთ მართკუთხედს, რომლის ფართობი უდრის მართკუთხედის ფართობს, რომელიც გამოვა იგივე თავდაპირველი კვადრატი, თუ მისი ერთ-ერთი მიმდებარე გვერდი არ არის შეცვლილი, ხოლო მეორე იზრდება 3 სმ-ით. რა (კვადრატულ სანტიმეტრებში) არის თავდაპირველი კვადრატის ფართობი?
გადაწყვეტილება. დაე იყოს x- კვადრატის მხარე. მოდით გავაკეთოთ განტოლება:
(x-2)(x+6)=x(x+3);
x 2 +4x-12=x 2 +3x;
x=12
თავდაპირველი კვადრატის ფართობია 12 12=144 სმ 2.
9) დააყენეთ ფორმულა წრფივ ფუნქციაზე, რომლის გრაფიკი 0xy კოორდინატულ სისტემაში გადის Т(209,908) წერტილს და არ კვეთს 9x+3y=14 განტოლების გრაფიკს.
გადაწყვეტილება. განტოლებას ვწერთ ფორმაში 
წრფივი ფუნქციის ფორმულა ზოგადი ფორმით არის y=kx+b. თუ საჭირო განტოლების გრაფიკი არ იკვეთება მოცემული განტოლების გრაფიკს, მაშინ k=-3. მაშასადამე, 908=-3 209 + b, საიდანაც b=1535.
სასურველი წრფივი ფუნქციის ფორმულა: y=-3x+1535
10) არის სპილენძისა და კალის შენადნობის ნაჭერი საერთო მასით 24 კგ, რომელიც შეიცავს 45% სპილენძს. რამდენი კილოგრამი სუფთა კალა უნდა დაემატოს ამ შენადნობის ნაჭერს, რომ მიღებულ ახალ შენადნობაში 40% სპილენძი იყოს?
გადაწყვეტილება. თუ სპილენძისა და კალის შენადნობი შეიცავს 45% სპილენძს, მაშინ ის შეიცავს 55% კალას. თუ ახალი შენადნობი შეიცავს 40% სპილენძს, მაშინ ის შეიცავს 60% კალას. მოდით x იყოს კილოგრამ სუფთა კალის რაოდენობა, რომელიც უნდა დაემატოს შენადნობას. მოდით გავაკეთოთ განტოლება:
0.55 24 + x = 0.6 (x+24)
x-0.6x=0.6 24- 0.55 24
0.4x=0.05 24
x=3
პასუხი: 3 კგ.
მათემატიკის დამრიგებლის შენიშვნა: შეგიძლიათ მეტი წაიკითხოთ შენადნობებისა და ნარევების ამოცანების გადაჭრის მეთოდების შესახებ სტატიაში შენადნობებისა და ნარევების ამოცანების გადაჭრის სხვადასხვა მეთოდების უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები
11) ნახატის მიხედვით, სადაც ნაჩვენებია ორი წრფივი ფუნქციისა და პარაბოლის გრაფიკები, იპოვეთ T წერტილის აბსციზა. 
გადაწყვეტილება. სწორი წრფე y=5x და პარაბოლა y=x 2 იკვეთება ორ წერტილზე. ვიპოვოთ ამ წერტილების აბსცისები 5x=x2 განტოლების გამოყენებით. აქედან გამომდინარე x 1 =0; x2=5. ასე რომ, გადაკვეთის წერტილის ორდინატი არის 25
წრფე, რომელზეც დევს T წერტილი, გადის (5;25) და (0;27) კოორდინატების მქონე წერტილებს. სწორი წრფის განტოლება ზოგადი ფორმით: y=kx+b. x და y-ის ნაცვლად წრფის წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას: 
T წერტილს აქვს ნულის ტოლი ორდინატი. აქედან გამომდინარე 
უპასუხე. 67.5.
12) წრიული ბილიკის A წერტილიდან ორი ობიექტი ერთდროულად იწყებს ერთგვაროვან მოძრაობას საპირისპირო მიმართულებით. როდესაც ისინი შეხვდებიან, პირველი ობიექტი მეორეზე 100 მეტრით მეტს მოგზაურობს და შეხვედრიდან 9 წუთის შემდეგ ბრუნდება A წერტილში. იპოვეთ ტრასის სიგრძე მეტრებში, თუ მეორე ობიექტი დაბრუნდება A წერტილში შეხვედრიდან 16 წუთის შემდეგ.
Შენიშვნა. ინტერნეტში შეგიძლიათ იპოვოთ საიტები, სადაც ასეთი პრობლემები წყდება კვადრატული განტოლებით. იმავდროულად, ეს ნამუშევარი განკუთვნილია მე-8 კლასში მოსწავლისთვის. ანუ ამ პრობლემის გადაჭრა, მე-8 კლასში გავლილი კვადრატული განტოლების ცოდნა არასწორია. მეშვიდე კლასელებისთვის მიმართული პრობლემის გადასაჭრელად მე-8 კლასის პროგრამის გამოყენება არ არის საჭირო. ქვემოთ მოცემულია ამონახსნი, რომელიც არ საჭიროებს კვადრატულ განტოლებას
გადაწყვეტილება. მოდით t იყოს დრო ობიექტების შეხვედრამდე, v 1 - პირველი ობიექტის სიჩქარე, v 2 - მეორე ობიექტის სიჩქარე.
შემდეგ v 1 · t - v 2 · t = 100, ვინაიდან შეხვედრის დროს პირველმა ობიექტმა 100 მ მეტი იმოგზაურა. ვინაიდან v 2 t არის გზა, რომელიც გაიარა პირველმა ობიექტმა შეხვედრის შემდეგ, v 1 არის მისი სიჩქარე და ის დაბრუნდა A წერტილში 9 წუთის შემდეგ, მაშინ შეგვიძლია განტოლება გავაკეთოთ.
ანალოგიურად
. სამი განტოლება ქმნის სამი განტოლების სისტემას სამი უცნობით: 
1-ლი განტოლება გავყოთ მე-2-ზე. მიიღეთ: 
სადაც
ამრიგად,
ამ გამოხატვის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ t=12 წთ
ბოლო გამოსახულებისა და t=12 სისტემის მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: 
აქედან 
პირობის მიხედვით, მარშრუტის სიგრძე მეტრებში შეიძლება განისაზღვროს პირველი ობიექტის ბილიკის შეკრებაზე და მეორე ობიექტის შეხვედრის ბილიკის დამატებით. ე.ი 
უპასუხე. 700 მეტრი
13) MNKL კვადრატის ML მხარეს აგებულია ტოლგვერდა სამკუთხედი MPL, ხოლო წერტილი P მდებარეობს კვადრატის შიგნით. იპოვეთ LPK კუთხის ხარისხის ზომა.
გადაწყვეტილება 
პირობით ML=PL=KL; სამკუთხედი PLM ტოლგვერდაა, ამიტომ ყველა კუთხე არის 60°, ანუ ∠PLK=30°. ამრიგად, ∠LPK=(180°-30°) : 2=75°.
14) ფაქტორიზაცია: (გადაწყვეტილებები იწერება დაუყოვნებლივ)
ალექსანდრე ანატოლიევიჩი, მასწავლებელი მათემატიკაში. 8-968-423-9589. მაქვს ამ ლიცეუმისთვის სტუდენტების მომზადების წარმატებული გამოცდილება, მათ შორის მათემატიკური სპეციალობის მე-8 კლასისა და სხვა სპეციალობის კლასების ჩათვლით. მათთვის, ვინც ემზადება 1535 ლიცეუმში, ისევე როგორც სხვა ლიცეუმებში შესასვლელად, მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ მისაღები გამოცდების რეალური ვარიანტები გარკვეულწილად განსხვავდება საჩვენებელი ვარიანტებისგან. ამიტომ აუცილებელია სხვა მსგავსი ამოცანების გადაჭრა.
ამოხსნის ვარიანტი 238 ლარინა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2018. ამოცანების დეტალური ანალიზი 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 alexlarin.net-დან. ალექს ლარინი 238 დრო: 7-12)5:34 13)15:15 14)18:05 15)26:51 ტვიტერი:https://twitter.com/mrMathlesson
VK ჯგუფი: https://vk.com/mr.mathlesson
საიტი:
დავალებების მაგალითები: 1) აუზს აქვს მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმა. მისი სიგრძე, სიგანე და სიღრმე, შესაბამისად, 25 მ, 12 მ და 2 მ. აუზის ფსკერისა და კედლების მოსაპირკეთებლად გადაწყდა ფილების შეძენა 500 რუბლის ფასად. კვადრატულ მეტრზე. რამდენი რუბლი დაჯდება შესყიდვა, თუ დაგეგმილია დამატებით მართკუთხა ბილიკის გაყვანა იმავე ფილიდან 1 მ სიგანით აუზის პერიმეტრის გასწვრივ? 2) გრაფიკი აჩვენებს წნევის ცვლილებას ორთქლის ტურბინაში გაშვების შემდეგ. დრო წუთებში გამოსახულია აბსცისის ღერძზე, წნევა ატმოსფეროში გამოსახულია ორდინატთა ღერძზე. გრაფიკიდან განსაზღვრეთ რამდენი წუთი გავიდა ტურბინის გაშვებიდან იმ მომენტამდე, როდესაც წნევამ პირველად მიაღწია მაქსიმალურ მნიშვნელობას. 3) იპოვეთ ABC სამკუთხედის ფართობი, თუ უჯრედის გვერდი არის 4. 4) დახლზე არის 8 იდენტური წყვილი ხელთათმანები, მაგრამ ერთ წყვილს ორივე ხელთათმანის შიგნით შეუმჩნეველი ქორწინება აქვს. მორგების დროს ყველა ხელთათმანი იყო შერეული. გამყიდველმა ყველა ხელთათმანი შემთხვევით დაყო 4 ჯგუფად 4 ცალი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე დეფექტური ხელთათმანი ერთ ჯგუფშია? 5) ამოხსენით განტოლება. თუ განტოლებას აქვს ერთზე მეტი ფესვი, თქვენს პასუხში მიუთითეთ ფესვებიდან უფრო მცირე. 6) იპოვეთ მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის ბისექტრებს შორის. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით. 7) ნახაზი გვიჩვენებს გრაფიკს y \u003d f "(x) - ფუნქციის წარმოებული f (x) განსაზღვრული ინტერვალზე (-4; 10) . იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც ტანგენსი y \ გრაფიკზე. u003d f (x) პარალელურია y \u003d x წრფის ან ემთხვევა მას. 8) რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე სამჯერ ნაკლებია ფუძის მხარეს. იპოვეთ კუთხე გვერდითა კიდესა და სიბრტყეს შორის. პირამიდის საფუძველი გაეცით პასუხი გრადუსით 10) წვიმის შემდეგ ჭაში წყლის დონემ შეიძლება მოიმატოს. ბიჭი ამას ადგენს ჭაბურღილში პატარა კენჭების t ვარდნის დროის გაზომვით და ფორმულით h = 5ტ. წვიმამდე კენჭების ცვენის დრო იყო 1.4 წმ. რა მინიმალურ სიმაღლეზე უნდა აეწიოს წყლის დონე წვიმის შემდეგ, რომ გაზომილი დრო შეიცვალოს 0.2 წმ-ზე მეტით? 11) A წერტილებიდან. წრიული ბილიკი ერთდროულად იწყებს ერთგვაროვან მოძრაობას ორი სხეულის საპირისპირო მიმართულებით. მათი შეხვედრისას პირველი სხეული მეორეზე 200 მ-ით მეტს მოგზაურობს და შეხვედრიდან 25 წუთის შემდეგ ბრუნდება A წერტილში. იპოვეთ ბილიკის სიგრძე მეტრებში, თუ მეორე სხეული o უბრუნდება A პუნქტს შეხვედრიდან 36 წუთის შემდეგ. 14) ABCD სამკუთხა პირამიდაში ყველა კიდეების სიგრძე ტოლია. წერტილი P თანაბრად არის დაშორებული A და D წვეროებიდან და ცნობილია, რომ PB = PC და PB ხაზი პერპენდიკულარულია ACD სამკუთხედის სიმაღლეზე, D წვეროდან დაბლა. ა) დაამტკიცეთ, რომ წერტილი P დგას ABCD პირამიდის სიმაღლეების გადაკვეთაზე. ბ) გამოთვალეთ ABCD პირამიდის მოცულობა, თუ ცნობილია, რომ დაუკავშირდით ვარიანტის თავდაპირველ წყაროს:
#mrMathlesson #Larin #USE #პროფილი #მათემატიკა
