იპოვეთ წერტილების კოორდინატებით მოცემულ სიბრტყეებს შორის კუთხე. როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის

თეორემა

სიბრტყეებს შორის კუთხე არ არის დამოკიდებული ჭრის სიბრტყის არჩევანზე.

მტკიცებულება.

იყოს ორი სიბრტყე α და β, რომლებიც იკვეთება c წრფის გასწვრივ. დახაზეთ γ სიბრტყე c წრფის პერპენდიკულარული. შემდეგ γ სიბრტყე კვეთს α და β სიბრტყეებს a და b წრფეების გასწვრივ, შესაბამისად. α და β სიბრტყეებს შორის კუთხე ტოლია a და b წრფეებს შორის კუთხის.
აიღეთ სხვა საჭრელი სიბრტყე γ`, c-ზე პერპენდიკულარული. მაშინ სიბრტყე γ` გადაკვეთს α და β სიბრტყეებს a` და b` წრფეების გასწვრივ.
პარალელური გადაყვანისას γ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი c წრფესთან გადავა სიბრტყის γ` წრფესთან გადაკვეთის წერტილამდე. ამ შემთხვევაში, პარალელური გადაყვანის თვისებით, a წრფე გადავა a` წრფეზე, b - b` წრფეზე. აქედან გამომდინარე, კუთხეები a და b წრფეებს შორის, a` და b` ტოლია. თეორემა დადასტურდა.

ეს სტატია ეხება სიბრტყეებს შორის კუთხეს და როგორ უნდა იპოვოთ იგი. პირველ რიგში მოცემულია ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება და მოცემულია გრაფიკული ილუსტრაცია. ამის შემდეგ გაანალიზდა კოორდინატთა მეთოდით ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნის პრინციპი, მიიღეს ფორმულა, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ კუთხის კვეთა სიბრტყეებს შორის ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების ცნობილი კოორდინატების გამოყენებით. დასასრულს, ნაჩვენებია ტიპიური პრობლემების დეტალური გადაწყვეტილებები.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხე სიბრტყეებს შორის - განმარტება.

მასალის წარდგენისას გამოვიყენებთ სტატიების სიბრტყეში სივრცეში და სწორ ხაზს სივრცეში მოცემულ განმარტებებსა და ცნებებს.

მოვიყვანოთ არგუმენტები, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს თანდათან მივუდგეთ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის განსაზღვრას.

მოგვცეს ორი გადამკვეთი სიბრტყე და . ეს სიბრტყეები იკვეთება სწორი ხაზით, რომელსაც ასოთი აღვნიშნავთ გ. შექმენით თვითმფრინავი, რომელიც გადის წერტილში მსწორი გდა ხაზის პერპენდიკულარული გ. ამ შემთხვევაში, თვითმფრინავი გადაკვეთს სიბრტყეებს და . ჩვენ აღვნიშნავთ ხაზს, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები იკვეთება და როგორც ა, მაგრამ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები იკვეთება და როგორ ბ. აშკარად პირდაპირი. ადა ბიკვეთება ერთ წერტილში მ.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის ადა ბარ არის დამოკიდებული წერტილის მდებარეობაზე მსწორ ხაზზე გრომლის მეშვეობითაც თვითმფრინავი გადის.

ააგეთ სიბრტყე წრფის პერპენდიკულარულად გდა განსხვავდება თვითმფრინავისგან. სიბრტყე იკვეთება სიბრტყეებით და სწორი ხაზებით, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ a 1და ბ 1შესაბამისად.

თვითმფრინავების აგების მეთოდიდან გამომდინარეობს, რომ ხაზები ადა ბხაზის პერპენდიკულარული გდა პირდაპირი a 1და ბ 1ხაზის პერპენდიკულარული გ. მას შემდეგ რაც პირდაპირ ადა a 1 გ, მაშინ ისინი პარალელურები არიან. ანალოგიურად, პირდაპირ ბდა ბ 1წევენ იმავე სიბრტყეში და არიან წრფის პერპენდიკულარული გასე რომ ისინი პარალელურები არიან. ამრიგად, შესაძლებელია თვითმფრინავის პარალელური გადატანა იმ სიბრტყეში, რომელშიც სწორი ხაზია a 1ემთხვევა ხაზს ადა სწორი ხაზი ბსწორი ხაზით ბ 1. აქედან გამომდინარე, კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის a 1და ბ 1გადამკვეთ ხაზებს შორის კუთხის ტოლია ადა ბ.

ეს ადასტურებს, რომ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის ადა ბწევს გადაკვეთის სიბრტყეებში და არ არის დამოკიდებული წერტილის არჩევანზე მრომლის მეშვეობითაც თვითმფრინავი გადის. მაშასადამე, ლოგიკურია ეს კუთხე მივიღოთ, როგორც კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ კუთხის განსაზღვრა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და.

განმარტება.

კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის გთვითმფრინავები დაარის კუთხე ორ წრფეს შორის ადა ბ, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და კვეთენ წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეს გ.

ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად იყოს მოცემული. თუ სწორ ხაზზე თან, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები და იკვეთება, მონიშნეთ წერტილი მდა დახაზეთ სწორი ხაზები მასში ადა ბ, ხაზის პერპენდიკულარულად გდა წევს სიბრტყეებში და შესაბამისად, შემდეგ ხაზებს შორის კუთხე ადა ბარის კუთხე სიბრტყეებს შორის და . ჩვეულებრივ, პრაქტიკაში, ასეთი კონსტრუქციები კეთდება სიბრტყეებს შორის კუთხის მისაღებად.

ვინაიდან გადამკვეთ წრფეებს შორის კუთხე არ აღემატება , ხმოვანი განმარტებიდან გამომდინარეობს , რომ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის ხარისხიანი ზომა გამოიხატება რეალური რიცხვით ინტერვალიდან . ამ შემთხვევაში გადამკვეთ სიბრტყეებს უწოდებენ პერპენდიკულარულითუ მათ შორის კუთხე ოთხმოცდაათი გრადუსია. კუთხე პარალელურ სიბრტყეებს შორის ან საერთოდ არ არის განსაზღვრული, ან ითვლება ნულის ტოლად.

გვერდის ზედა

კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ჩვეულებრივ, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნისას ჯერ უნდა შეასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები, რათა დაინახოთ გადამკვეთი ხაზები, რომელთა შორის კუთხე უდრის სასურველ კუთხს და შემდეგ დააკავშიროთ ეს კუთხე ორიგინალურ მონაცემებთან თანაბარი ნიშნების გამოყენებით. მსგავსების ნიშნები, კოსინუსების თეორემა ან სინუსის, კოსინუსის და კუთხის ტანგენსის განმარტებები. გიმნაზიის გეომეტრიის კურსშიც მსგავსი პრობლემებია.

მაგალითად, 2012 წლის მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან C2 ამოცანის ამოხსნა მივცეთ (პირობა შეგნებულად არის შეცვლილი, მაგრამ ეს არ მოქმედებს ამოხსნის პრინციპზე). მასში უბრალოდ საჭირო იყო კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, სადაც AB=3, AD=2, AA 1 =7და წერტილი ეყოფს მხარეს AA 1ურთიერთობაში 4 რომ 3 წერტილიდან დათვლა მაგრამ ABCდა საწოლი 1.

პირველ რიგში, მოდით გავაკეთოთ ნახატი.

შევასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები სიბრტყეებს შორის კუთხის „დასანახად“.

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ სწორ ხაზს, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები იკვეთება ABCდა საწოლი 1. Წერტილი ATარის მათი ერთ-ერთი საერთო წერტილი. იპოვეთ ამ სიბრტყეების მეორე საერთო წერტილი. პირდაპირი DAდა D 1 Eდაწექი იმავე თვითმფრინავში დაამატე 1, და ისინი არ არიან პარალელური და, შესაბამისად, იკვეთებიან. მეორეს მხრივ, პირდაპირ DAწევს თვითმფრინავში ABCდა სწორი ხაზი D 1 E- თვითმფრინავში საწოლი 1, აქედან გამომდინარეობს ხაზების გადაკვეთის წერტილი DAდა D 1 Eთვითმფრინავების საერთო წერტილი იქნება ABCდა საწოლი 1. ასე რომ გავაგრძელოთ პირდაპირ DAდა D 1 Eსანამ ისინი იკვეთებიან, მათი გადაკვეთის წერტილს ასოებით აღვნიშნავთ ფ. მერე ბფ- ხაზი, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები იკვეთება ABCდა საწოლი 1.

რჩება თვითმფრინავებში ორი სწორი ხაზის აგება ABCდა საწოლი 1შესაბამისად, ხაზის ერთი წერტილის გავლით ბფდა ხაზის პერპენდიკულარული ბფ, - ამ ხაზებს შორის კუთხე, განსაზღვრებით, ტოლი იქნება სიბრტყეებს შორის სასურველი კუთხის ABCდა საწოლი 1. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

Წერტილი მაგრამწერტილის პროექციაა ეთვითმფრინავამდე ABC. დახაზეთ ხაზი, რომელიც კვეთს ხაზს მარჯვენა კუთხით BFწერტილში მ. შემდეგ ხაზი ᲕᲐᲠარის სწორი ხაზის პროექცია ჭამეთვითმფრინავამდე ABCდა სამი პერპენდიკულარის თეორემით.

ამრიგად, სასურველი კუთხე თვითმფრინავებს შორის ABCდა საწოლი 1უდრის .

ამ კუთხის სინუსი, კოსინუსი ან ტანგენსი (აქედან გამომდინარე, თავად კუთხე) შეგვიძლია განვსაზღვროთ მართკუთხა სამკუთხედიდან AEMთუ ვიცით მისი ორი მხარის სიგრძეები. მდგომარეობიდან ადვილია სიგრძის პოვნა AE: მას შემდეგ, რაც წერტილი ეყოფს მხარეს AA 1ურთიერთობაში 4 რომ 3 წერტილიდან დათვლა მაგრამდა გვერდის სიგრძე AA 1უდრის 7 , მაშინ AE=4. მოდი ვიპოვოთ სხვა სიგრძე ᲕᲐᲠ.

ამისათვის განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი ABFსწორი კუთხე მაგრამ, სად ᲕᲐᲠარის სიმაღლე. პირობით AB=2. მხარის სიგრძე AFჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსებიდან DD 1Fდა AEF:

პითაგორას თეორემით სამკუთხედიდან ABFიპოვე . სიგრძე ᲕᲐᲠიპოვეთ სამკუთხედის ფართობით ABF: ერთ მხარეს სამკუთხედის ფართობი ABFუდრის მეორე მხრივ, საიდანაც .

ასე რომ, მართკუთხა სამკუთხედიდან AEMჩვენ გვაქვს .

შემდეგ სასურველი კუთხე თვითმფრინავებს შორის ABCდა საწოლი 1უდრის (გაითვალისწინეთ, რომ ).

ზოგიერთ შემთხვევაში, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის საპოვნელად მოსახერხებელია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის დაყენება. ოქსიზიდა გამოიყენეთ კოორდინატთა მეთოდი. მოდით შევჩერდეთ მასზე.

დავსვათ დავალება: ვიპოვოთ კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და . ავღნიშნოთ სასურველი კუთხე, როგორც .

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიჩვენ ვიცით გადამკვეთი სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატები და ან გვაქვს მათი პოვნის შესაძლებლობა. მოდით იყოს სიბრტყის ნორმალური ვექტორი და იყოს სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით.

ავღნიშნოთ ის ხაზი, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები იკვეთება და როგორც გ. წერტილის მეშვეობით მსწორ ხაზზე გდახაზეთ სიბრტყე წრფის პერპენდიკულარულად გ. თვითმფრინავი კვეთს სიბრტყეებს და სწორი ხაზების გასწვრივ ადა ბშესაბამისად პირდაპირი ადა ბიკვეთება ერთ წერტილში მ. განმარტებით, კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ტოლია გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის ადა ბ.

დააყენეთ წერტილი მსიბრტყეში არის ნორმალური ვექტორები და სიბრტყეებისა და . ვექტორი დევს წრფეზე, რომელიც წრფის პერპენდიკულარულია ა, და ვექტორი არის წრფეზე, რომელიც წრფის პერპენდიკულარულია ბ. ამრიგად, სიბრტყეში ვექტორი არის წრფის ნორმალური ვექტორი ა, - ნორმალური ხაზის ვექტორი ბ.

სტატიაში „გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის პოვნა“ მივიღეთ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსი ნორმალური ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით. ასე რომ, წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსი ადა ბდა, შესაბამისად, გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსიდა გვხვდება ფორმულით, სადაც და არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები და, შესაბამისად. მერე კუთხე გადაკვეთის სიბრტყეებს შორისგამოითვლება როგორც.

კოორდინატთა მეთოდით ამოვხსნათ წინა მაგალითი.

მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, სადაც AB=3, AD=2, AA 1 =7და წერტილი ეყოფს მხარეს AA 1ურთიერთობაში 4 რომ 3 წერტილიდან დათვლა მაგრამ. იპოვნეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის ABCდა საწოლი 1.

ვინაიდან მართკუთხა პარალელეპიპედის გვერდები ერთ წვეროზე წყვილი პერპენდიკულურია, მოსახერხებელია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის შემოღება. ოქსიზიასე: დაიწყეთ ზემოდან შერწყმა თანდა კოორდინატთა ღერძები ოქსი, ოიდა ოზიგაგზავნა გარშემო CD, CBდა CC 1შესაბამისად.

კუთხე თვითმფრინავებს შორის ABCდა საწოლი 1შეიძლება მოიძებნოს ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით ფორმულით, სადაც და არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები ABCდა საწოლი 1შესაბამისად. განვსაზღვროთ ნორმალური ვექტორების კოორდინატები.

თვითმფრინავიდან მოყოლებული ABCემთხვევა კოორდინატულ სიბრტყეს ოქსი, მაშინ მისი ნორმალური ვექტორი არის კოორდინატთა ვექტორი, ანუ .

როგორც ჩვეულებრივი სიბრტყის ვექტორი საწოლი 1ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი და, თავის მხრივ, ვექტორების კოორდინატები და შეიძლება ვიპოვოთ წერტილების კოორდინატების მეშვეობით AT, ედა D1(რომელიც სტატიაში წერია ვექტორის კოორდინატები მისი დასაწყისისა და დასასრულის წერტილების კოორდინატების მეშვეობით) და წერტილების კოორდინატები. AT, ედა D1შემოღებულ კოორდინატთა სისტემაში განვსაზღვრავთ პრობლემის მდგომარეობიდან.

ცხადია,. ვინაიდან , მაშინ ჩვენ ვპოულობთ წერტილების კოორდინატებით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სეგმენტის არტიკული დაყოფა მოცემულ თანაფარდობაში). მაშინ და Oxyz არის განტოლებები და .

როდესაც სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება შევისწავლეთ, აღმოვაჩინეთ, რომ კოეფიციენტები მაგრამ, ATდა თანარის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის შესაბამისი კოორდინატები. ამრიგად, და არის თვითმფრინავების ნორმალური ვექტორები და, შესაბამისად.

ჩვენ ვცვლით სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატებს ფორმულაში, რომლითაც გამოვთვალოთ კუთხე ორ გადაკვეთილ სიბრტყეს შორის:

მაშინ . ვინაიდან კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის არ არის ბლაგვი, მაშინ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით ვპოულობთ კუთხის სინუსს:.

ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხე სიბრტყეებს შორის - განმარტება.

მოგვცეს ორი გადამკვეთი სიბრტყე და . ეს სიბრტყეები იკვეთება სწორი ხაზით, რომელსაც აღვნიშნავთ c ასოთი. ავაშენოთ სიბრტყე, რომელიც გადის c წრფის M წერტილში და c წრფეზე პერპენდიკულარულია. ამ შემთხვევაში, თვითმფრინავი გადაკვეთს სიბრტყეებს და . ავღნიშნოთ წრფე, რომლის გასწვრივაც სიბრტყეები იკვეთება და როგორც a, და ხაზი, რომლის გასწვრივაც სიბრტყეები იკვეთება და როგორც b. ცხადია, a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში.

ამის ჩვენება ადვილია კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის a და b არ არის დამოკიდებული c წრფეზე M წერტილის მდებარეობაზე, რომლითაც გადის სიბრტყე.

ავაშენოთ c წრფის პერპენდიკულარული და სიბრტყისგან განსხვავებული სიბრტყე. სიბრტყე იკვეთება სიბრტყეებით და სწორი ხაზებით, რომლებსაც აღვნიშნავთ შესაბამისად a 1 და b 1-ით.

სიბრტყეების აგების მეთოდიდან გამომდინარეობს, რომ a და b წრფეები პერპენდიკულარულია c წრფეზე, ხოლო a 1 და b 1 წრფეები c წრფის პერპენდიკულარულია. ვინაიდან a და a 1 წრფეები დევს ერთ სიბრტყეში და პერპენდიკულარულია c წრფეზე, ისინი პარალელურები არიან. ანალოგიურად, წრფეები b და b 1 დევს ერთ სიბრტყეში და პერპენდიკულარულია c წრფეზე, შესაბამისად ისინი პარალელურია. ამრიგად, შესაძლებელია თვითმფრინავის პარალელური გადატანა სიბრტყეში, რომელშიც a 1 წრფე ემთხვევა a წრფეს, ხოლო b წრფე b 1 წრფეს. მაშასადამე, კუთხე a 1 და b 1 გადამკვეთ წრფეებს შორის უდრის კუთხეს a და b ხაზებს შორის.

ეს ადასტურებს, რომ კუთხე a და b ხაზებს შორის გადამკვეთ სიბრტყეებში დევს და არ არის დამოკიდებული M წერტილის არჩევანზე, რომლითაც გადის სიბრტყე. მაშასადამე, ლოგიკურია ეს კუთხე მივიღოთ, როგორც კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

განმარტება.

კუთხე ორ სიბრტყეს შორის, რომლებიც იკვეთებიან სწორ ხაზზე დაარის კუთხე a და b გადამკვეთ წრფეს შორის, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და კვეთენ c წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეს.

ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად იყოს მოცემული. თუ c წრფეზე, რომლის გასწვრივაც კვეთენ სიბრტყეები, მონიშნეთ M წერტილი და გავავლოთ ხაზები a და b მასში, c წრფეზე პერპენდიკულარული და სიბრტყეში მდებარე და, შესაბამისად, a და b წრფეებს შორის კუთხე არის კუთხე სიბრტყეებს შორის და. ჩვეულებრივ, პრაქტიკაში, ასეთი კონსტრუქციები კეთდება სიბრტყეებს შორის კუთხის მისაღებად.

კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, მოდით გავაკეთოთ ნახატი.

ჯერ განვსაზღვროთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ ABC და BED 1 სიბრტყეები იკვეთება. წერტილი B არის მათი ერთ-ერთი საერთო წერტილი. იპოვეთ ამ სიბრტყეების მეორე საერთო წერტილი. სწორი ხაზები DA და D 1 E დევს იმავე სიბრტყეში ADD 1 და ისინი არ არიან პარალელურები და, შესაბამისად, იკვეთებიან. მეორეს მხრივ, DA წრფე დევს ABC სიბრტყეში, ხოლო ხაზი D 1 E დევს სიბრტყეში BED 1, შესაბამისად, DA და D 1 E ხაზების გადაკვეთის წერტილი იქნება ABC სიბრტყეების საერთო წერტილი და საწოლი 1. ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ DA და D 1 E ხაზებს, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება, ჩვენ აღვნიშნავთ მათი გადაკვეთის წერტილს ასო F-ით. მაშინ BF არის სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივაც ABC და BED 1 სიბრტყეები იკვეთება.

რჩება ABC და BED 1 სიბრტყეებში მოთავსებული ორი ხაზის აგება, შესაბამისად, რომელიც გაივლის BF წრფის ერთ წერტილს და BF წრფეზე პერპენდიკულარულს - ამ წრფეებს შორის კუთხე, განსაზღვრებით, ტოლი იქნება სასურველი კუთხის ტოლი. თვითმფრინავები ABC და BED 1. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

Წერტილი A არის E წერტილის პროექცია ABC სიბრტყეზე. დახაზეთ ხაზი, რომელიც მართი კუთხით კვეთს BF წრფეს M წერტილში. მაშინ AM წრფე არის EM წრფის პროექცია ABC სიბრტყეზე და სამი პერპენდიკულარულის თეორემით.

ამრიგად, ABC და BED 1 სიბრტყეებს შორის სასურველი კუთხე არის.

ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ კუთხის (და, შესაბამისად, თავად კუთხე) სინუსი, კოსინუსი ან ტანგენსი AEM მართკუთხა სამკუთხედიდან, თუ ვიცით მისი ორი გვერდის სიგრძე. მდგომარეობიდან მარტივია AE სიგრძის პოვნა: რადგან წერტილი E ყოფს AA 1 მხარეს 4-დან 3-თან მიმართებაში, ითვლის A წერტილიდან, ხოლო AA 1 მხარის სიგრძე არის 7, შემდეგ AE \u003d 4. ვიპოვოთ AM-ის სიგრძე.

ამისათვის განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABF მართი კუთხით A, სადაც AM არის სიმაღლე. პირობით AB=2. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ AF გვერდის სიგრძე DD 1 F და AEF მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსებიდან:

პითაგორას თეორემით, ABF სამკუთხედიდან ვპოულობთ . ჩვენ ვპოულობთ AM სიგრძეს ABF სამკუთხედის ფართობის გავლით: ერთ მხარეს სამკუთხედის ABF ფართობი უდრის , მეორეს მხრივ , სად .

ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედიდან AEM გვაქვს .

მაშინ სასურველი კუთხე ABC და BED 1 სიბრტყეს შორის არის (გაითვალისწინეთ, რომ ).

პასუხი:

ზოგიერთ შემთხვევაში, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის მოსაძებნად, მოსახერხებელია Oxyz-ის მითითება და კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება. მოდით შევჩერდეთ მასზე.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მოცემულ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxyz ვიცით გადამკვეთი სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატები და ან შესაძლებელია მათი პოვნა. დაე იყოს - სიბრტყის ნორმალური ვექტორი, ა არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით.

ავღნიშნოთ ხაზი, რომლის გასწვრივაც სიბრტყეები იკვეთება და როგორც c. c წრფის M წერტილის გავლით ვხატავთ სიბრტყეს c წრფეზე პერპენდიკულარულს. სიბრტყე კვეთს სიბრტყეებს და a და b წრფეების გასწვრივ, შესაბამისად, a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში. განმარტებით, კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ტოლია კუთხის a და b ხაზებს შორის.

სიბრტყეში M წერტილიდან გამოვყოთ ნორმალური ვექტორები და სიბრტყეები და . ამ შემთხვევაში, ვექტორი დევს წრფეზე, რომელიც პერპენდიკულარულია a წრფეზე, ხოლო ვექტორი მდებარე წრფეზე, რომელიც არის b წრფის პერპენდიკულარული. ამრიგად, სიბრტყის ვექტორში - ნორმალური ვექტორი სწორი a , არის b წრფის ნორმალური ვექტორი.

სტატიაში გადამკვეთ ხაზებს შორის კუთხის პოვნაჩვენ მივიღეთ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსი ნორმალური ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით. ამრიგად, a და b წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, და გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსიდა გვხვდება ფორმულით, სადაც და არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები და შესაბამისად. შემდეგ ის გამოითვლება როგორც .

კოორდინატთა მეთოდით ამოვხსნათ წინა მაგალითი.

მაგალითი.

მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, რომელშიც AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 და წერტილი E ყოფს AA 1 მხარეს 4-დან 3-მდე თანაფარდობით, ითვლის წერტილიდან ა. იპოვეთ კუთხე ABC და BED 1 სიბრტყეს შორის.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან ერთ წვეროზე მართკუთხა პარალელეპიპედის გვერდები წყვილი პერპენდიკულურია, მოსახერხებელია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის Oxyz შემოღება შემდეგნაირად: დასაწყისი შეესაბამება C წვეროს, ხოლო კოორდინატთა ღერძები Ox, Oy და Oz მიმართულია გვერდების გასწვრივ. CD, CB და CC 1, შესაბამისად.

ABC და BED 1 სიბრტყეებს შორის კუთხე შეიძლება მოიძებნოს ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით, სადაც და არიან ABC და BED 1 სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად. განვსაზღვროთ ნორმალური ვექტორების კოორდინატები.

\(\შავი სამკუთხედი\) ორკუთხედი არის კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით და სწორი ხაზით \(a\), რომელიც არის მათი საერთო საზღვარი.

\(\შავი სამკუთხედი\) \(\xi\) და \(\pi\) სიბრტყეებს შორის კუთხის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ წრფივი კუთხე. ცხარეან სწორი) \(\xi\) და \(\pi\) სიბრტყეებით წარმოქმნილი დიედრული კუთხის:

ნაბიჯი 1: მოდით \(\xi\cap\pi=a\) (სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი). \(\xi\) სიბრტყეში ვნიშნავთ თვითნებურ წერტილს \(F\) და ვხატავთ \(FA\perp a\) ;

ნაბიჯი 2: დახაზეთ \(FG\perp \pi\) ;

ნაბიჯი 3: TTP-ის მიხედვით (\(FG\) - პერპენდიკულარული, \(FA\) - ირიბი, \(AG\) - პროექცია) გვაქვს: \(AG\perp a\) ;

ნაბიჯი 4: კუთხეს \(\კუთხე FAG\) ეწოდება დიედრული კუთხის წრფივ კუთხეს, რომელიც წარმოიქმნება \(\xi\) და \(\pi\) სიბრტყეებით.

გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედი \(AG\) არის მართკუთხა სამკუთხედი.
ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ამ გზით აგებული სიბრტყე \(AFG\) პერპენდიკულარულია როგორც \(\xi\) და \(\pi\) სიბრტყეებზე. აქედან გამომდინარე, სხვაგვარად შეიძლება ითქვას: კუთხე სიბრტყეებს შორის\(\xi\) და \(\pi\) არის კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს \(c\in \xi\) და \(b\in\pi\) შორის, რომლებიც ქმნიან სიბრტყეს პერპენდიკულარულ და \(\xi-ზე. \ ) და \(\pi\) .

ამოცანა 1 #2875

დავალების დონე: უფრო რთული ვიდრე გამოცდა

მოცემულია ოთხკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა კიდე ტოლია და ფუძე არის კვადრატი. იპოვეთ \(6\cos \alpha\), სადაც \(\alpha\) არის კუთხე მის მიმდებარე გვერდებს შორის.

მოდით \(SABCD\) იყოს მოცემული პირამიდა (\(S\) არის წვერო), რომლის კიდეები უდრის \(a\)-ს. ამრიგად, ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლგვერდა სამკუთხედია. იპოვეთ კუთხე სახეებს შორის \(SAD\) და \(SCD\) .

მოდით დავხატოთ \(CH\perp SD\) . როგორც \(\სამკუთხედი SAD=\სამკუთხედი SCD\), მაშინ \(AH\) ასევე იქნება \(\სამკუთხედის SAD\) სიმაღლე. ამიტომ, განმარტებით, \(\კუთხე AHC=\alpha\) არის წრფივი დიედრული კუთხე სახეებს შორის \(SAD\) და \(SCD\) .
ვინაიდან საფუძველი არის კვადრატი, მაშინ \(AC=a\sqrt2\) . ასევე გაითვალისწინეთ, რომ \(CH=AH\) არის ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე \(a\) გვერდით, აქედან გამომდინარე, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
შემდეგ კოსინუსების თეორემით \(\სამკუთხედი AHC\)-დან: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

პასუხი: -2

ამოცანა 2 #2876

დავალების დონე: უფრო რთული ვიდრე გამოცდა

სიბრტყეები \(\pi_1\) და \(\pi_2\) იკვეთება კუთხით, რომლის კოსინუსი უდრის \(0,2\) . სიბრტყეები \(\pi_2\) და \(\pi_3\) იკვეთება სწორი კუთხით, ხოლო \(\pi_1\) და \(\pi_2\) სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი პარალელურია გადაკვეთის წრფის. თვითმფრინავები \(\pi_2\) და \(\ pi_3\) . იპოვეთ კუთხის სინუსი \(\pi_1\) და \(\pi_3\) სიბრტყეებს შორის.

დაე, \(\pi_1\) და \(\pi_2\) გადაკვეთის წრფე იყოს წრფე \(a\) , \(\pi_2\) და \(\pi_3\) გადაკვეთის წრფე იყოს \ (b\) , ხოლო გადაკვეთის ხაზი \(\pi_3\) და \(\pi_1\) არის სწორი ხაზი \(c\) . ვინაიდან \(a\პარალელური b\) , შემდეგ \(c\პარალელური a\პარალელური b\) (თეორემის მიხედვით თეორიული ცნობარის განყოფილებიდან "გეომეტრია სივრცეში" \(\მარჯვენა ისარი\) "შესავალი სტერეომეტრიაში, პარალელიზმი“).

მონიშნეთ წერტილები \(A\in a, B\in b\) ისე, რომ \(AB\perp a, AB\perp b\) (ეს შესაძლებელია, რადგან \(a\პარალელური b\) ). შენიშვნა \(C\in c\) ისე, რომ \(BC\perp c\) , აქედან გამომდინარე \(BC\perp b\) . შემდეგ \(AC\perp c\) და \(AC\perp a\) .
მართლაც, ვინაიდან \(AB\perp b, BC\perp b\) , მაშინ \(b\) სიბრტყის პერპენდიკულარულია \(ABC\) . ვინაიდან \(c\პარალელური a\პარალელური b\) , მაშინ წრფეები \(a\) და \(c\) ასევე პერპენდიკულარულია \(ABC\) სიბრტყეზე და, შესაბამისად, ამ სიბრტყის ნებისმიერ წრფეზე, კერძოდ. , ხაზამდე \ (AC\) .

აქედან გამომდინარეობს, რომ \(\კუთხე BAC=\კუთხე (\pi_1, \pi_2)\), \(\კუთხე ABC=\კუთხე (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\კუთხე BCA=\კუთხე (\pi_3, \pi_1)\). გამოდის, რომ \(\სამკუთხედი ABC\) მართკუთხაა, რაც ნიშნავს \[\sin \კუთხე BCA=\cos \კუთხე BAC=0,2.\]

პასუხი: 0.2

ამოცანა 3 #2877

დავალების დონე: უფრო რთული ვიდრე გამოცდა

მოცემული წრფეები \(a, b, c\) იკვეთება ერთ წერტილში და კუთხე რომელიმე მათგანს შორის უდრის \(60^\circ\) . იპოვეთ \(\cos^(-1)\alpha\) , სადაც \(\alpha\) არის კუთხე \(a\) და \(c\) წრფეებით წარმოქმნილ სიბრტყესა და ხაზებით წარმოქმნილ სიბრტყეს შორის. \(b\ ) და \(c\) . მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

მოდით, ხაზები იკვეთოს \(O\) წერტილში. ვინაიდან კუთხე ორ მათგანს შორის უდრის \(60^\circ\) , მაშინ სამივე წრფე არ შეიძლება იყოს ერთ სიბრტყეში. მოდით აღვნიშნოთ წერტილი \(A\) ხაზზე \(a\) და დავხატოთ \(AB\perp b\) და \(AC\perp c\) . მერე \(\სამკუთხედი AOB=\სამკუთხედი AOC\)როგორც მართკუთხა ჰიპოტენუზაში და მახვილ კუთხეში. აქედან გამომდინარე, \(OB=OC\) და \(AB=AC\) .
მოდით გავაკეთოთ \(AH\perp (BOC)\) . შემდეგ სამი პერპენდიკულარულის თეორემა \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . ვინაიდან \(AB=AC\) , მაშინ \(\სამკუთხედი AHB=\სამკუთხედი AHC\)როგორც მართკუთხა ჰიპოტენუზისა და ფეხის გასწვრივ. ამიტომ, \(HB=HC\) . აქედან გამომდინარე, \(OH\) არის კუთხის ბისექტორი \(BOC\) (რადგან წერტილი \(H\) თანაბრად დაშორებულია კუთხის გვერდებიდან).

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გზით ჩვენ ასევე ავაშენეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება \(a\) და \(c\) ხაზებით წარმოქმნილი სიბრტყით და \(b\) და \( ხაზებით წარმოქმნილი სიბრტყით. გ\) . ეს არის კუთხე \(ACH\) .

მოდი ვიპოვოთ ეს კუთხე. ვინაიდან წერტილი \(A\) თვითნებურად ავირჩიეთ, მოდით ავირჩიოთ ის ისე, რომ \(OA=2\) . შემდეგ მართკუთხა \(\სამკუთხედი AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]ვინაიდან \(OH\) არის ბისექტორი, მაშინ \(\კუთხე HOC=30^\circ\) , შესაბამისად, მართკუთხა \(\სამკუთხედში HOC\) : \[\ mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]შემდეგ მართკუთხა \(\სამკუთხედი ACH\)-დან: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

პასუხი: 3

ამოცანა 4 #2910

დავალების დონე: უფრო რთული ვიდრე გამოცდა

სიბრტყეები \(\pi_1\) და \(\pi_2\) იკვეთება \(l\) წრფის გასწვრივ, რომელიც შეიცავს \(M\) და \(N\) წერტილებს. სეგმენტები \(MA\) და \(MB\) პერპენდიკულარულია \(l\) წრფეზე და დევს სიბრტყეებზე \(\pi_1\) და \(\pi_2\), შესაბამისად, და \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . იპოვეთ \(3\cos\alpha\) , სადაც \(\alpha\) არის კუთხე \(\pi_1\) და \(\pi_2\) სიბრტყეებს შორის.

სამკუთხედი \(AMN\) არის მართკუთხა, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , საიდანაც \ სამკუთხედი \(BMN\) არის მართკუთხა, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , საიდანაც \ ჩვენ ვწერთ კოსინუსების თეორემას სამკუთხედისთვის \(AMB\): \ მერე \ ვინაიდან სიბრტყეებს შორის კუთხე \(\alpha\) არის მახვილი კუთხე და \(\კუთხე AMB\) აღმოჩნდა ბლაგვი, მაშინ \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . მერე \

პასუხი: 1.25

ამოცანა 5 #2911

დავალების დონე: უფრო რთული ვიდრე გამოცდა

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) არის პარალელეპიპედი, \(ABCD\) არის კვადრატი \(a\) გვერდით, წერტილი \(M\) არის პერპენდიკულარულის საფუძველი, რომელიც ჩამოვარდა \(A_1\) წერტილიდან სიბრტყეზე \ ((ABCD)\) , უფრო მეტიც, \(M\) არის \(ABCD\) კვადრატის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. ცნობილია, რომ \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს \((ABCD)\) და \((AA_1B_1B)\) შორის. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

ჩვენ ვაშენებთ \(MN\) \(AB\)-ზე პერპენდიკულარულად, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.

ვინაიდან \(ABCD\) არის კვადრატი გვერდით \(a\) და \(MN\perp AB\) და \(BC\perp AB\) გვერდით, მაშინ \(MN\პარალელური BC\) . ვინაიდან \(M\) არის კვადრატის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, მაშინ \(M\) არის \(AC\)-ის შუა წერტილი, შესაბამისად, \(MN\) არის შუა ხაზი და \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) არის \(A_1N\)-ის პროექცია \((ABCD)\) სიბრტყეზე, და \(MN\) არის პერპენდიკულარული \(AB\)-ზე, შემდეგ სამი პერპენდიკულარულის თეორემა, \( A_1N\) პერპენდიკულარულია \(AB \)-ზე და კუთხე სიბრტყეებს შორის \((ABCD)\) და \(AA_1B_1B)\) არის \(\კუთხე A_1NM\) .
\[\ mathrm(tg)\, \კუთხე A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\კუთხე A_1NM = 60^(\circ)\]

პასუხი: 60

ამოცანა 6 #1854

დავალების დონე: უფრო რთული ვიდრე გამოცდა

კვადრატში \(ABCD\) : \(O\) არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი; \(S\) არ არის კვადრატის სიბრტყეში, \(SO \perp ABC\) . იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის \(ASD\) და \(ABC\) თუ \(SO = 5\) და \(AB = 10\) .

მართკუთხა სამკუთხედები \(\სამკუთხედი SAO\) და \(\სამკუთხედი SDO\) ტოლია ორ გვერდში და კუთხე მათ შორის (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\კუთხის SOA = \კუთხე SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , რადგან \(O\) არის კვადრატის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, \(SO\) არის საერთო გვერდი) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\სამკუთხედი ASD\) არის ტოლფერდა. წერტილი \(K\) არის \(AD\) შუა წერტილი, შემდეგ \(SK\) არის სიმაღლე სამკუთხედში \(\სამკუთხედი ASD\) , და \(OK\) არის სიმაღლე სამკუთხედში \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) სიბრტყე \(SOK\) არის სიბრტყეების პერპენდიკულარული \(ASD\) და \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\კუთხე SKO\) არის ტოლი წრფივი კუთხე. საჭირო დიედრალურ კუთხემდე.

\(\სამკუთხედი SKO\)-ში: \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\სამკუთხედი SOK\) არის ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედი \(\Rightarrow\) \(\კუთხე SKO = 45^\circ\) .

პასუხი: 45

ამოცანა 7 #1855

დავალების დონე: უფრო რთული ვიდრე გამოცდა

კვადრატში \(ABCD\) : \(O\) არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი; \(S\) არ არის კვადრატის სიბრტყეში, \(SO \perp ABC\) . იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის \(ASD\) და \(BSC\) თუ \(SO = 5\) და \(AB = 10\) .

მართკუთხა სამკუთხედები \(\სამკუთხედი SAO\) , \(\სამკუთხედი SDO\) , \(\სამკუთხედი SOB\) და \(\სამკუთხედი SOC\) ტოლია ორ მხარეს და მათ შორის კუთხე (\(SO \perp ABC \) \(\მარჯვენა ისარი\) \(\კუთხის SOA = \კუთხის SOD = \კუთხის SOB = \კუთხის SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , რადგან \(O\) არის კვადრატის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, \(SO\) არის საერთო მხარე) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\სამკუთხედი ASD\) და \(\სამკუთხედი BSC\) არის ტოლფერდა. წერტილი \(K\) არის \(AD\) შუა წერტილი, შემდეგ \(SK\) არის სიმაღლე სამკუთხედში \(\სამკუთხედი ASD\) , და \(OK\) არის სიმაღლე სამკუთხედში \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) სიბრტყე \(SOK\) არის სიბრტყის პერპენდიკულარული \(ASD\) . წერტილი \(L\) არის \(BC\) შუა წერტილი, შემდეგ \(SL\) არის სიმაღლე სამკუთხედში \(\სამკუთხედი BSC\) , და \(OL\) არის სიმაღლე სამკუთხედში \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) სიბრტყე \(SOL\) (aka სიბრტყე \(SOK\) ) არის სიბრტყის პერპენდიკულარული \(BSC\) . ამრიგად, მივიღებთ, რომ \(\კუთხე KSL\) არის წრფივი კუთხე, რომელიც ტოლია სასურველი დიედრული კუთხის.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\მარჯვენა ისარი\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - სიმაღლეები თანაბარ ტოლფერდა სამკუთხედებში, რომლებიც შეიძლება მოიძებნოს პითაგორას თეორემის გამოყენებით: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). ჩანს რომ \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) სამკუთხედისთვის \(\სამკუთხედი KSL\) შებრუნებული პითაგორას თეორემა მოქმედებს \(\Rightarrow\) \(\სამკუთხედი KSL\) არის მართკუთხა სამკუთხედი \(\Rightarrow\) \(\კუთხე KSL = 90^\ წრე\) .

პასუხი: 90

სტუდენტების მომზადება მათემატიკაში გამოცდისთვის, როგორც წესი, იწყება ძირითადი ფორმულების გამეორებით, მათ შორის, რაც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ კუთხე სიბრტყეებს შორის. იმისდა მიუხედავად, რომ გეომეტრიის ეს მონაკვეთი საკმარისად დეტალურად არის დაფარული სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში, ბევრ კურსდამთავრებულს სჭირდება ძირითადი მასალის გამეორება. იმის გაგებით, თუ როგორ უნდა იპოვოთ კუთხე სიბრტყეებს შორის, საშუალო სკოლის მოსწავლეები შეძლებენ სწრაფად გამოთვალონ სწორი პასუხი პრობლემის გადაჭრის პროცესში და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საფუძველზე ღირსეული ქულების დათვლას დაითვალონ.

ძირითადი ნიუანსი

იმისათვის, რომ კითხვამ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ დიედრული კუთხე, არ გამოიწვიოს სირთულეები, გირჩევთ, მიჰყვეთ ამოხსნის ალგორითმს, რომელიც დაგეხმარებათ გაუმკლავდეთ გამოცდის ამოცანებს.

ჯერ უნდა დაადგინოთ ხაზი, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები იკვეთება.

შემდეგ ამ ხაზზე თქვენ უნდა აირჩიოთ წერტილი და დახაზოთ მასზე ორი პერპენდიკულარი.

შემდეგი ნაბიჯი არის დიედრული კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის პოვნა, რომელიც იქმნება პერპენდიკულარებით. ამის გაკეთება ყველაზე მოსახერხებელია მიღებული სამკუთხედის დახმარებით, რომლის ნაწილიც კუთხეა.

პასუხი იქნება კუთხის მნიშვნელობა ან მისი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

შკოლკოვოსთან ერთად საგამოცდო ტესტისთვის მომზადება თქვენი წარმატების გასაღებია

გამოცდის ჩაბარების წინა დღეს სწავლის პროცესში ბევრ სტუდენტს აწყდება განმარტებებისა და ფორმულების პოვნის პრობლემა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ კუთხე 2 სიბრტყეს შორის. სასკოლო სახელმძღვანელო ყოველთვის არ არის ხელთ ზუსტად მაშინ, როცა ეს საჭიროა. და იმისათვის, რომ იპოვოთ საჭირო ფორმულები და მათი სწორი გამოყენების მაგალითები, მათ შორის ინტერნეტში თვითმფრინავებს შორის კუთხის პოვნა ინტერნეტში, ზოგჯერ საჭიროა დიდი დროის დახარჯვა.

მათემატიკური პორტალი „შკოლკოვო“ გთავაზობთ სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების ახალ მიდგომას. ჩვენს ვებ-გვერდზე გაკვეთილები დაეხმარება სტუდენტებს გამოავლინონ ყველაზე რთული სექციები და შეავსონ ცოდნის ხარვეზები.

ჩვენ მოვამზადეთ და ნათლად წარმოვადგინეთ ყველა საჭირო მასალა. ძირითადი განმარტებები და ფორმულები წარმოდგენილია განყოფილებაში "თეორიული მითითება".

მასალის უკეთ ათვისების მიზნით, ასევე გთავაზობთ შესაბამისი სავარჯიშოების შესრულებას. სხვადასხვა სირთულის დავალებების დიდი არჩევანი, მაგალითად, on, წარმოდგენილია კატალოგის განყოფილებაში. ყველა დავალება შეიცავს დეტალურ ალგორითმს სწორი პასუხის საპოვნელად. საიტზე არსებული სავარჯიშოების სია მუდმივად ავსებს და ახლდება.

ივარჯიშეთ ამოცანების ამოხსნაში, რომლებშიც საჭიროა ორ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნა, მოსწავლეებს საშუალება ეძლევათ შეინახონ ნებისმიერი დავალება ონლაინ "რჩეულებში". ამის წყალობით, ისინი შეძლებენ მას რამდენჯერმე დაუბრუნდნენ და სკოლის მასწავლებელთან ან დამრიგებელთან განიხილონ მისი გადაწყვეტის პროგრესი.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

კუთხე სიბრტყეებს შორის - განმარტება.

კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

კუთხე სიბრტყეებს შორის - განმარტება.

კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ძირითადი ნიუანსი

შკოლკოვოსთან ერთად საგამოცდო ტესტისთვის მომზადება თქვენი წარმატების გასაღებია

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ