განმარტება.

ეს არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეები ორი თანაბარი კვადრატია, ხოლო გვერდითი სახეები თანაბარი მართკუთხედებია.

გვერდითი ნეკნიარის ორი მიმდებარე გვერდითი სახის საერთო მხარე

პრიზმის სიმაღლეარის პრიზმის ფუძეების პერპენდიკულარული ხაზის სეგმენტი

პრიზმის დიაგონალი- სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფუძის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს

დიაგონალური სიბრტყე- სიბრტყე, რომელიც გადის პრიზმის დიაგონალზე და მის გვერდით კიდეებზე

დიაგონალური განყოფილება- პრიზმისა და დიაგონალური სიბრტყის გადაკვეთის საზღვრები. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი

პერპენდიკულარული მონაკვეთი (ორთოგონალური მონაკვეთი)- ეს არის პრიზმისა და მისი გვერდითი კიდეების პერპენდიკულარულად დახატული სიბრტყის კვეთა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ელემენტები

ნახატზე ნაჩვენებია ორი რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა, რომლებიც აღნიშნულია შესაბამისი ასოებით:

• ფუძეები ABCD და A 1 B 1 C 1 D 1 ტოლია და ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდითი სახეები AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C და CC 1 D 1 D, რომელთაგან თითოეული არის მართკუთხედი
• გვერდითი ზედაპირი - პრიზმის ყველა გვერდითი სახის ფართობების ჯამი
• მთლიანი ზედაპირი - ყველა ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი (გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობის ჯამი)
• გვერდითი ნეკნები AA 1 , BB 1 , CC 1 და DD 1 .
• დიაგონალი B 1 D
• ბაზის დიაგონალი BD
• დიაგონალური მონაკვეთი BB 1 D 1 D
• პერპენდიკულარული მონაკვეთი A 2 B 2 C 2 D 2 .

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები

• ფუძეები ორი თანაბარი კვადრატია
• ფუძეები ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდები მართკუთხედია.
• გვერდითი სახეები ერთმანეთის ტოლია
• გვერდითი სახეები ბაზების პერპენდიკულარულია
• გვერდითი ნეკნები ერთმანეთის პარალელურია და თანაბარია
• პერპენდიკულური მონაკვეთი პერპენდიკულარული ყველა გვერდითი ნეკნებისა და ბაზების პარალელურად
• პერპენდიკულარული მონაკვეთის კუთხეები - მარჯვენა
• რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი
• პერპენდიკულური (ორთოგონალური მონაკვეთი) ფუძეების პარალელურად

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფორმულები

ინსტრუქციები პრობლემების გადასაჭრელად

თემის პრობლემების გადაჭრისას " რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა"იგულისხმება, რომ:

სწორი პრიზმა- პრიზმა, რომლის ფუძეზე დევს რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეებზე. ანუ, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შეიცავს მის ძირში კვადრატი. (იხილეთ ზემოთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები) შენიშვნა. ეს არის გაკვეთილის ნაწილი გეომეტრიის დავალებებით (განყოფილება მყარი გეომეტრია - პრიზმა). აქ არის ამოცანები, რომლებიც სირთულეებს იწვევს ამოხსნაში. თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომელიც აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. ამოცანების ამოხსნისას კვადრატული ფესვის ამოღების მოქმედების აღსანიშნავად გამოიყენება სიმბოლო√ .

დავალება.

რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძის ფართობია 144 სმ 2 და სიმაღლე 14 სმ. იპოვეთ პრიზმის დიაგონალი და მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.
რეგულარული ოთხკუთხედი არის კვადრატი.
შესაბამისად, ბაზის მხარე ტოლი იქნება

√144 = 12 სმ.
საიდანაც რეგულარული მართკუთხა პრიზმის ფუძის დიაგონალი ტოლი იქნება
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

რეგულარული პრიზმის დიაგონალი ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს ფუძის დიაგონალთან და პრიზმის სიმაღლესთან. შესაბამისად, პითაგორას თეორემის მიხედვით, მოცემული რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალი ტოლი იქნება:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 სმ

უპასუხე: 22 სმ

დავალება

იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის მთლიანი ფართობი, თუ მისი დიაგონალი არის 5 სმ, ხოლო გვერდითი სახის დიაგონალი 4 სმ.

გადაწყვეტილება.
ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი, მაშინ ფუძის მხარე (აღნიშნული როგორც a) გვხვდება პითაგორას თეორემით:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

გვერდითი სახის სიმაღლე (აღნიშნულია როგორც h) მაშინ იქნება ტოლი:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
სთ 2 + 12,5 = 16
სთ 2 \u003d 3.5
სთ = √3.5

მთლიანი ზედაპირის ფართობი ტოლი იქნება გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამის და ბაზის ფართობის ორჯერ

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 სმ 2.

პასუხი: 25 + 10√7 ≈ 51.46 სმ 2.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

ჩვეულებრივ სამკუთხა პრიზმაში ABCA_1B_1C_1, ფუძის გვერდები არის 4, ხოლო გვერდითი კიდეები 10. იპოვეთ პრიზმის მონაკვეთის ფართობი სიბრტყით, რომელიც გადის AB, AC, A_1B_1 და A_1C_1 კიდეების შუა წერტილებში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა.

სეგმენტი MN არის A_1B_1C_1 სამკუთხედის შუა ხაზი, ასე რომ MN = \frac12 B_1C_1=2.ანალოგიურად, KL=\frac12BC=2.გარდა ამისა, MK = NL = 10. ეს გულისხმობს, რომ ოთხკუთხედი MNLK არის პარალელოგრამი. ვინაიდან MK\პარალელური AA_1, შემდეგ MK\perp ABC და MK\perp KL. ამრიგად, ოთხკუთხედი MNLK არის მართკუთხედი. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

უპასუხე

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ABCDA_1B_1C_1D_1 მოცულობა არის 24. წერტილი K არის CC_1 კიდის შუა. იპოვეთ პირამიდის KBCD მოცულობა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

პირობის მიხედვით, KC არის KBCD პირამიდის სიმაღლე. CC_1 არის ABCDA_1B_1C_1D_1 პრიზმის სიმაღლე.

ვინაიდან K არის CC_1-ის შუა წერტილი, მაშინ KC=\frac12CC_1.მოდით CC_1=H, მაშინ KC=\frac12H. გაითვალისწინეთ ისიც S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).შემდეგ, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).აქედან გამომდინარე, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

იპოვეთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდია 6 და სიმაღლე 8.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გვხვდება ფორმულით S გვერდით. = P მთავარი. · h = 6a\cdot h, სადაც P მთავარი. და h არის, შესაბამისად, ფუძის პერიმეტრი და პრიზმის სიმაღლე, 8-ის ტოლი და a არის რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი, უდრის 6-ს. ამიტომ, S მხარე. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

წყალი შეედინება ჩვეულებრივი სამკუთხა პრიზმის ფორმის ჭურჭელში. წყლის დონე 40 სმ-ს აღწევს, რა სიმაღლეზე იქნება წყლის დონე, თუ მას ჩაასხამენ იმავე ფორმის სხვა ჭურჭელში, რომლის ფუძის მხარე ორჯერ აღემატება პირველს? გამოხატეთ თქვენი პასუხი სანტიმეტრებში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით a იყოს პირველი ჭურჭლის ფუძის მხარე, შემდეგ 2 a არის მეორე ჭურჭლის ფუძის მხარე. პირობით, V სითხის მოცულობა პირველ და მეორე ჭურჭელში ერთნაირია. H-ით აღნიშნეთ ის დონე, რომლითაც ავიდა სითხე მეორე ჭურჭელში. მერე V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,და, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.აქედან \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4სთ, H=10.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმაში ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 ყველა კიდე არის 2 . იპოვეთ მანძილი A და E_1 წერტილებს შორის.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

სამკუთხედი AEE_1 მართკუთხაა, რადგან კიდე EE_1 პერპენდიკულარულია პრიზმის ფუძის სიბრტყის მიმართ, კუთხე AEE_1 იქნება მართი კუთხე.

შემდეგ პითაგორას თეორემით AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. იპოვეთ AE სამკუთხედიდან AFE კოსინუსების თეორემის გამოყენებით. რეგულარული ექვსკუთხედის თითოეული შიდა კუთხე არის 120^(\circ). მერე AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\მარცხნივ (-\frac12 \მარჯვნივ).

აქედან გამომდინარე, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

იპოვეთ სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძეა რომბი დიაგონალებით ტოლი 4\sqrt5და 8 და გვერდითი კიდე 5-ის ტოლი.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გვხვდება ფორმულით S გვერდით. = P მთავარი. · h = 4a\cdot h, სადაც P მთავარი. და h, შესაბამისად, ფუძის პერიმეტრი და პრიზმის სიმაღლე 5-ის ტოლია და a არის რომბის მხარე. ვიპოვოთ რომბის გვერდი, გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ რომბის ABCD დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულურია და გადაკვეთის წერტილი გაყოფილია ნახევრად.

დაე, მოითხოვოს მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის მოცულობის პოვნა, რომლის ფუძის ფართობი უდრის S-ს, ხოლო სიმაღლე უდრის თ= AA' = BB' = CC' (ნახ. 306).

ცალ-ცალკე ვხატავთ პრიზმის ფუძეს, ანუ სამკუთხედს ABC (ნახ. 307, ა) და ვასრულებთ მართკუთხედად, რისთვისაც B || AC და A და C წერტილებიდან ამ წრფეზე ავაგებთ AF და CE პერპენდიკულარებს. ჩვენ ვიღებთ ACEF მართკუთხედს. ABC სამკუთხედის BD სიმაღლის დახაზვის შემდეგ დავინახავთ, რომ ACEF მართკუთხედი იყოფა 4 მართკუთხა სამკუთხედად. უფრო მეტიც, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD და \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. ეს ნიშნავს, რომ ACEF მართკუთხედის ფართობი ორჯერ აღემატება ABC სამკუთხედის ფართობს, ანუ ის უდრის 2S-ს.

ამ პრიზმას ABC ფუძით ვამატებთ პრიზმებს ALL და BAF ფუძეებით და სიმაღლეებით თ(სურ. 307, ბ). ვიღებთ მართკუთხა პარალელეპიპედს ACEF ფუძით.

თუ ამ პარალელეპიპედს BD და BB' წრფეებზე გამავალი სიბრტყით გავჭრით, დავინახავთ, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედი შედგება 4 პრიზმისგან BCD, ALL, BAD და BAF ფუძეებით.

BCD და ALL ფუძის მქონე პრიზმები შეიძლება გაერთიანდეს, რადგან მათი ფუძეები ტოლია (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BSE) და მათი გვერდითი კიდეები, რომლებიც პერპენდიკულარულია ერთი სიბრტყის მიმართ, ასევე ტოლია. აქედან გამომდინარე, ამ პრიზმების მოცულობა თანაბარია. BAD და BAF ფუძის მქონე პრიზმების მოცულობა ასევე ტოლია.

ამრიგად, გამოდის, რომ მოცემული სამკუთხა პრიზმის მოცულობა ABC ფუძით არის ACEF ფუძესთან მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობის ნახევარი.

ჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს, ანუ ამ შემთხვევაში ის უდრის 2S-ს. თ. აქედან გამომდინარე, ამ მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის მოცულობა უდრის S-ს თ.

მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.

2. სწორი მრავალკუთხა პრიზმის მოცულობა.

სწორი მრავალკუთხა პრიზმის მოცულობის პოვნა, როგორიცაა ხუთკუთხა, ფუძის ფართობი S და სიმაღლე თ, დავყოთ სამკუთხა პრიზმებად (სურ. 308).

სამკუთხა პრიზმების საბაზისო არეების აღნიშვნა S 1, S 2 და S 3-ის მეშვეობით და ამ მრავალკუთხა პრიზმის მოცულობა V-ის გავლით, მივიღებთ:

V = S 1 თ+S2 თ+ S 3 თ, ან

V = (S 1 + S 2 + S 3) თ.

და ბოლოს: V = S თ.

ანალოგიურად, მიღებულია სწორი პრიზმის მოცულობის ფორმულა მის ფუძეზე ნებისმიერი მრავალკუთხედით.

ნიშნავს, ნებისმიერი სწორი პრიზმის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.

პრიზმის მოცულობა

თეორემა. პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობს სიმაღლეზე.

ჯერ ვამტკიცებთ ამ თეორემას სამკუთხა პრიზმისთვის, შემდეგ კი მრავალკუთხედისთვის.

1) ABCA 1 B 1 C 1 სამკუთხა პრიზმის AA 1 კიდეზე დახაზეთ (ნახ. 95) სიბრტყე BB 1 C 1 C სახის პარალელურად, ხოლო კიდეზე CC 1 - სიბრტყე AA 1 სახის პარალელურად. B 1 B; შემდეგ ვაგრძელებთ პრიზმის ორივე ფუძის სიბრტყეს მანამ, სანამ არ გადაიკვეთება დახატულ სიბრტყეებთან.

შემდეგ ვიღებთ პარალელეპიპედს BD 1, რომელიც იყოფა დიაგონალური სიბრტყით AA 1 C 1 C ორ სამკუთხა პრიზმად (მოყვანილია ერთი მათგანი). მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს პრიზები ტოლია. ამისათვის ჩვენ ვხატავთ პერპენდიკულარულ მონაკვეთს ა ბ გ დ. განყოფილებაში მიიღებთ პარალელოგრამს, რომელიც არის დიაგონალი ტუზიიყოფა ორ თანაბარ სამკუთხედად. ეს პრიზმა უდრის ასეთ სწორ პრიზმას, რომლის ფუძეა \(\დელტა\) abcდა სიმაღლე არის კიდე AA 1 . კიდევ ერთი სამკუთხა პრიზმა ფართობით უდრის წრფეს, რომლის ფუძეა \(\დელტა\) ადკდა სიმაღლე არის კიდე AA 1 . მაგრამ ორი სწორი პრიზმა თანაბარი ფუძეებით და თანაბარი სიმაღლეებით ტოლია (რადგან ისინი გაერთიანებულია ბუდობისას), რაც ნიშნავს, რომ ABCA 1 B 1 C 1 და ADCA 1 D 1 C 1 პრიზმები ტოლია. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ პრიზმის მოცულობა არის პარალელეპიპედის BD 1 მოცულობის ნახევარი; მაშასადამე, პრიზმის სიმაღლის აღნიშვნა H-ით, მივიღებთ:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) მრავალკუთხა პრიზმის AA 1 კიდეზე გადაიტანეთ დიაგონალური სიბრტყეები AA 1 C 1 C და AA 1 D 1 D.

შემდეგ ეს პრიზმა დაიჭრება რამდენიმე სამკუთხა პრიზმად. ამ პრიზმების მოცულობების ჯამი არის სასურველი მოცულობა. თუ მათი ფუძის ფართობებს აღვნიშნავთ ბ 1 , ბ 2 , ბ 3, და მთლიანი სიმაღლე H-ის მიხედვით, მივიღებთ:

მრავალკუთხა პრიზმის მოცულობა = ბ 1H+ ბ 2H+ ბ 3 H =( ბ 1 + ბ 2 + ბ 3) H =

= (არეალი ABCDE) H.

შედეგი. თუ V, B და H არის რიცხვები, რომლებიც გამოხატავენ შესაბამის ერთეულებში პრიზმის მოცულობას, ფუძის ფართობს და სიმაღლეს, მაშინ, დადასტურებულის მიხედვით, შეგვიძლია დავწეროთ:

სხვა მასალები

ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.