გეომეტრია
გაკვეთილის გეგმები მე-10 კლასებისთვის
გაკვეთილი 56
საგანი. მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობი
გაკვეთილის მიზანი: თეორემის შესწავლა მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობზე, მოსწავლეთა უნარების ჩამოყალიბება შესწავლილი თეორემის ამოცანების გადასაჭრელად გამოსაყენებლად.
აღჭურვილობა: სტერეომეტრიული ნაკრები, კუბის მოდელი.
გაკვეთილების დროს
I. საშინაო დავალების შემოწმება
1. ორი მოსწავლე ამრავლებს დაფაზე No42, 45 ამოცანების ამონახსნებს.
2. ფრონტალური დაკითხვა.
1) განსაზღვრეთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის, რომლებიც იკვეთება.
2) რა არის კუთხე შორის:
ა) პარალელური სიბრტყეები;
ბ) პერპენდიკულარული სიბრტყეები?
3) რამდენად შეიძლება შეიცვალოს კუთხე ორ სიბრტყეს შორის?
4) მართალია, რომ სიბრტყე, რომელიც კვეთს პარალელურ სიბრტყეებს, კვეთს მათ იმავე კუთხით?
5) მართალია, რომ სიბრტყე, რომელიც კვეთს პერპენდიკულარულ სიბრტყეებს, კვეთს მათ იმავე კუთხით?
3. No42, 45 ამოცანების ამოხსნის სისწორის შემოწმება, რომელიც მოსწავლეებმა ხელახლა შექმნეს დაფაზე.
II. ახალი მასალის აღქმა და გაცნობიერება
დავალება მოსწავლეებისთვის
1. დაამტკიცეთ, რომ პროექციის სიბრტყეში ერთი მხარის მქონე სამკუთხედის საპროექციო ფართობი ტოლია მისი ფართობის ნამრავლისა და მრავალკუთხედის სიბრტყესა და პროექციის სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსს.
2. დაამტკიცეთ თეორემა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც გისოსის სამკუთხედს ერთი გვერდი აქვს პროექციის სიბრტყის პარალელურად.
3. დაამტკიცეთ თეორემა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც გისოსის სამკუთხედს არც ერთი გვერდი არ აქვს პროექციის სიბრტყის პარალელურად.
4. დაამტკიცეთ თეორემა ნებისმიერი მრავალკუთხედისთვის.
Პრობლემის გადაჭრა
1. იპოვეთ მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობი, რომლის ფართობია 50 სმ2 და კუთხე მრავალკუთხედის სიბრტყესა და მის პროექციას შორის არის 60°.
2. იპოვეთ მრავალკუთხედის ფართობი, თუ ამ მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობია 50 სმ2, ხოლო კუთხე მრავალკუთხედის სიბრტყესა და მის პროექციას შორის არის 45°.
3. მრავალკუთხედის ფართობია 64 სმ2, ხოლო ორთოგონალური პროექციის ფართობი 32 სმ2. იპოვეთ კუთხე მრავალკუთხედის სიბრტყესა და მის პროექციას შორის.
4. ან იქნებ მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობი უდრის ამ მრავალკუთხედის ფართობს?
5. კუბის კიდე არის ა. იპოვეთ კუბის განივი კვეთის ფართობი სიბრტყით, რომელიც გადის ფუძის თავზე 30°-იანი კუთხით ამ ფუძის მიმართ და კვეთს ყველა გვერდით კიდეს. (პასუხი.)
6. ამოცანა No48 (1, 3) სახელმძღვანელოდან (გვ. 58).
7. ამოცანა No49 (2) სახელმძღვანელოდან (გვ. 58).
8. მართკუთხედის გვერდებია 20 და 25 სმ, მისი პროექცია სიბრტყეზე მსგავსია. იპოვეთ პროექციის პერიმეტრი. (პასუხი. 72 სმ ან 90 სმ.)
III. Საშინაო დავალება
§4, n.34; უსაფრთხოების შეკითხვა No17; ამოცანები No48 (2), 49 (1) (გვ. 58).
IV. გაკვეთილის შეჯამება
კითხვა კლასისთვის
1) ჩამოაყალიბეთ თეორემა მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობზე.
2) შეიძლება თუ არა მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობი იყოს მრავალკუთხედის ფართობზე დიდი?
3) სიბრტყე α იხაზება ABC მართკუთხა სამკუთხედის AB ჰიპოტენუზაში სამკუთხედის სიბრტყის მიმართ 45° კუთხით და α სიბრტყის პერპენდიკულარული CO. AC \u003d 3 სმ, BC \u003d 4 სმ. მიუთითეთ შემდეგი დებულებებიდან რომელია სწორი და რომელი არასწორი:
ა) ABC და α სიბრტყეებს შორის კუთხე უდრის CMO კუთხეს, სადაც H წერტილი არის ABC სამკუთხედის CM სიმაღლის საფუძველი;
ბ) SD = 2,4 სმ;
გ) სამკუთხედი AOC არის ABC სამკუთხედის ორთოგონალური პროექცია α სიბრტყეზე;
დ) სამკუთხედის AOB ფართობია 3 სმ2.
(პასუხ. ა) სწორია; ბ) არასწორი; გ) არასწორი; დ) სწორი.)
გეომეტრიის პრობლემებში წარმატება დამოკიდებულია არა მხოლოდ თეორიის ცოდნაზე, არამედ ხარისხოვან ნახატზე.
ბრტყელი ნახატებით, ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია. მაგრამ სტერეომეტრიაში სიტუაცია უფრო რთულია. ყოველივე ამის შემდეგ, აუცილებელია ასახვა სამგანზომილებიანისხეულზე ბინანახატი და ისე, რომ თქვენც და ვინც თქვენს ნახატს უყურებს, დაინახავთ ერთსა და იმავე სამგანზომილებიან სხეულს.
Როგორ გავაკეთო ეს?
რა თქმა უნდა, თვითმფრინავზე სამგანზომილებიანი სხეულის ნებისმიერი გამოსახულება პირობითი იქნება. თუმცა, არსებობს გარკვეული წესები. არსებობს საყოველთაოდ მიღებული გზა გეგმების აგების - პარალელური პროექცია.
ავიღოთ მყარი სხეული.
ავირჩიოთ პროექციის თვითმფრინავი.
მოცულობითი სხეულის თითოეული წერტილის მეშვეობით ვხატავთ სწორ ხაზებს, ერთმანეთის პარალელურად და კვეთენ პროექციის სიბრტყეს რაღაც კუთხით. თითოეული ეს წრფე რაღაც მომენტში კვეთს პროექციის სიბრტყეს. ეს პუნქტები ერთად ყალიბდება პროექტირებამოცულობითი სხეული სიბრტყეზე, ანუ მისი ბრტყელი გამოსახულება.
როგორ ავაშენოთ მოცულობითი სხეულების პროგნოზები?
წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ სამგანზომილებიანი სხეულის ჩარჩო - პრიზმა, პირამიდა ან ცილინდრი. მისი განათების პარალელური სინათლის სხივით, ჩვენ ვიღებთ გამოსახულებას - ჩრდილს კედელზე ან ეკრანზე. გაითვალისწინეთ, რომ სხვადასხვა გამოსახულება მიიღება სხვადასხვა კუთხით, მაგრამ ზოგიერთი ნიმუში ჯერ კიდევ არსებობს:
სეგმენტის პროექცია იქნება სეგმენტი.
რა თქმა უნდა, თუ სეგმენტი პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულია, ის გამოჩნდება ერთ წერტილში.
ზოგად შემთხვევაში, წრის პროექცია იქნება ელიფსი.
მართკუთხედის პროექცია არის პარალელოგრამი.
აი, როგორ გამოიყურება კუბის პროექცია თვითმფრინავზე:
აქ წინა და უკანა სახეები პროექციის სიბრტყის პარალელურია
თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება სხვაგვარად:
რა კუთხეც არ უნდა ავირჩიოთ, ნახაზზე პარალელური სეგმენტების პროგნოზები ასევე იქნება პარალელური სეგმენტები. ეს არის პარალელური პროექციის ერთ-ერთი პრინციპი.
ჩვენ ვხატავთ პირამიდის პროგნოზებს,
ცილინდრი:
კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ პარალელური პროექციის ძირითად პრინციპს. ვირჩევთ პროექციის სიბრტყეს და ვხატავთ სწორ ხაზებს ერთმანეთის პარალელურად მოცულობითი სხეულის თითოეული წერტილის გავლით. ეს ხაზები კვეთს პროექციის სიბრტყეს გარკვეული კუთხით. თუ ეს კუთხე არის 90°, ეს არის მართკუთხა პროექცია. მართკუთხა პროექციის დახმარებით აგებულია სამგანზომილებიანი ნაწილების ნახაზები ინჟინერიაში. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსაუბრობთ ზედა ხედზე, წინა ხედზე და გვერდით ხედზე.
მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის თეორემის დეტალური მტკიცებულება
თუ - ბინის პროექცია ნ -მიდი სიბრტყეზე, მაშინ სად არის კუთხე მრავალკუთხედების სიბრტყეებს შორის და. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბრტყელი მრავალკუთხედის საპროექციო ფართობი უდრის საპროექციო პოლიგონის ფართობის ნამრავლს და საპროექციო სიბრტყესა და დაპროექტებული მრავალკუთხედის სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსს.
მტკიცებულება. მე ეტაპი. ჯერ გავაკეთოთ მტკიცებულება სამკუთხედისთვის. განვიხილოთ 5 შემთხვევა.
1 შემთხვევა. დაწექი პროექციის სიბრტყეში .
მოდით იყოს წერტილების პროგნოზები სიბრტყეზე, შესაბამისად. ჩვენს შემთხვევაში. დავუშვათ, რომ. მოდით - სიმაღლე, მაშინ სამი პერპენდიკულარულის თეორემით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ - სიმაღლე (- დახრილის პროექცია, - მისი ფუძე და სწორი ხაზი გადის დახრილის ფუძეზე, მეტიც).
განიხილეთ. მართკუთხაა. კოსინუსის განმარტებით:
მეორეს მხრივ, ვინაიდან და, მაშინ, განსაზღვრებით, არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება სიბრტყეების ნახევრად სიბრტყეებით და სასაზღვრო ხაზთან და, მაშასადამე, მისი ზომა ასევე არის კუთხის საზომი. სამკუთხედის პროექციის სიბრტყეები და თავად სამკუთხედი, ანუ.
იპოვეთ ფართობის თანაფარდობა:
გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულა ჭეშმარიტი რჩება მაშინაც კი, როდესაც . Ამ შემთხვევაში
მე-2 შემთხვევა. დევს მხოლოდ პროექციის სიბრტყეში და არის პროექციის სიბრტყის პარალელურად .
მოდით იყოს წერტილების პროგნოზები სიბრტყეზე, შესაბამისად. ჩვენს შემთხვევაში.
მოდით გავავლოთ სწორი ხაზი წერტილში. ჩვენს შემთხვევაში, სწორი ხაზი კვეთს პროექციის სიბრტყეს, რაც ნიშნავს, რომ ლემის მიხედვით, სწორი ხაზი ასევე კვეთს პროექციის სიბრტყეს. დაე იყოს წერტილში ვინაიდან, მაშინ წერტილები დევს იმავე სიბრტყეში და რადგან პროექციის სიბრტყის პარალელურია, სწორი წრფის პარალელურობის ნიშნიდან და სიბრტყედან გამომდინარეობს რომ. ამიტომ არის პარალელოგრამი. განვიხილოთ და. ისინი ტოლია სამ მხარეს (- საერთო, როგორც პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები). გაითვალისწინეთ, რომ ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი და ტოლია (ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ), შესაბამისად, ის ტოლია სამი მხრიდან. Ამიტომაც.
1 შემთხვევისთვის გამოიყენება: ე.ი.
მე-3 შემთხვევა. დევს მხოლოდ პროექციის სიბრტყეში და არ არის პროექციის სიბრტყის პარალელურად .
წერტილი იყოს წრფის გადაკვეთის წერტილი საპროექციო სიბრტყესთან. აღვნიშნოთ, რომ ი. 1 შემთხვევა: ი. ასე მივიღებთ ამას
4 შემთხვევა. ვერტიკები არ დევს პროექციის სიბრტყეში . განვიხილოთ პერპენდიკულარები. აიღეთ ყველაზე პატარა ამ პერპენდიკულარებს შორის. დაე იყოს პერპენდიკულარული. შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ან მხოლოდ, ან მხოლოდ. მერე მაინც ვიღებთ.
მოდით გამოვყოთ წერტილი სეგმენტის წერტილიდან, ისე, რომ და წერტილიდან სეგმენტზე, წერტილი, ისე, რომ. ასეთი კონსტრუქცია შესაძლებელია, ვინაიდან - პერპენდიკულარებიდან ყველაზე პატარა. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის პროექცია და კონსტრუქციით. მოდით დავამტკიცოთ, რომ და თანაბარი.
განვიხილოთ ოთხკუთხედი. პირობით - პერპენდიკულარები ერთ სიბრტყეზე, მაშასადამე, თეორემის მიხედვით, მაშასადამე. ვინაიდან აგებით, მაშ, პარალელოგრამის საფუძველზე (პარალელური და თანაბარი მოპირდაპირე გვერდებზე), შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ - პარალელოგრამი. ნიშნავს,. ანალოგიურად დადასტურებულია, რომ . ამიტომ, და სამი მხრიდან თანაბარია. Ისე. გაითვალისწინეთ, რომ და, როგორც პარალელოგრამების მოპირდაპირე მხარეები, შესაბამისად, სიბრტყეების პარალელურობის საფუძველზე, . ვინაიდან ეს სიბრტყეები პარალელურია, ისინი ქმნიან იმავე კუთხეს პროექციის სიბრტყესთან.
წინა შემთხვევებისთვის გამოიყენება:
5 შემთხვევა. პროექციის სიბრტყე კვეთს გვერდებს . მოდით შევხედოთ სწორ ხაზებს. ისინი პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულია, ამიტომ თეორემით ისინი პარალელურები არიან. წერტილებში საწყისებთან ერთად მიმართულ სხივებზე, ჩვენ გამოვყოფთ თანაბარ სეგმენტებს, შესაბამისად, ისე, რომ წვეროები დევს პროექციის სიბრტყის გარეთ. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის პროექცია და კონსტრუქციით. ვაჩვენოთ, რომ თანაბარია.
მას შემდეგ, რაც და, მშენებლობით, მაშინ. მაშასადამე, პარალელოგრამის საფუძველზე (ორ ტოლ და პარალელურ მხარეს) - პარალელოგრამი. ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ და პარალელოგრამებია. მაგრამ შემდეგ, და (როგორც მოპირდაპირე მხარეები), შესაბამისად, ტოლია სამ მხარეს. ნიშნავს,.
გარდა ამისა, და, შესაბამისად, სიბრტყეების პარალელურობის საფუძველზე. ვინაიდან ეს სიბრტყეები პარალელურია, ისინი ქმნიან იმავე კუთხეს პროექციის სიბრტყესთან.
მოქმედი შემთხვევისთვის 4:.
II ეტაპი. მოდით გავყოთ ბრტყელი მრავალკუთხედი სამკუთხედებად წვეროდან გამოყვანილი დიაგონალების გამოყენებით: შემდეგ სამკუთხედების წინა შემთხვევების მიხედვით: .
ქ.ე.დ.
თავი IV. ხაზები და თვითმფრინავები სივრცეში. პოლიჰედრა
§ 55. მრავალკუთხედის პროექციის არე.
შეგახსენებთ, რომ წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხე არის კუთხე მოცემულ ხაზსა და მის პროექციას შორის სიბრტყეზე (სურ. 164).
თეორემა. მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობი სიბრტყეზე უდრის დაპროექტებული მრავალკუთხედის ფართობს, გამრავლებული მრავალკუთხედის სიბრტყით და პროექციის სიბრტყით წარმოქმნილი კუთხის კოსინუსზე.
თითოეული მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს სამკუთხედებად, რომელთა ფართობების ჯამი უდრის მრავალკუთხედის ფართობს. ამიტომ, საკმარისია სამკუთხედის თეორემას დამტკიცება.
დაე იყოს /\
ABC დაპროექტებულია თვითმფრინავზე რ. განვიხილოთ ორი შემთხვევა:
ა) ერთ-ერთი მხარე /\
ABC სიბრტყის პარალელურია რ;
ბ) არც ერთი მხარე /\
ABC არ არის პარალელური რ.
განიხილეთ პირველი შემთხვევა: ნება [AB] || რ.
დახაზეთ (AB) სიბრტყეში რ 1 || რდა პროექტირება ორთოგონალურად /\
ABC ჩართულია რ 1 და შემდეგ რ(სურ. 165); ვიღებთ /\
ABC 1 და /\
A"B"S".
საპროექციო თვისებით გვაქვს /\
ABC 1 /\
A"B"C" და ამიტომ
ს /\ ABC1=S /\ A"B"C"
დავხატოთ _|_ და სეგმენტი D 1 C 1 . მაშინ _|_ , a = φ არის კუთხე სიბრტყეს შორის /\ ABC და თვითმფრინავი რერთი . Ისე
ს /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
და აქედან გამომდინარე ს /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
მოდით გადავიდეთ განხილვაზე მეორე შემთხვევა. დახატეთ თვითმფრინავი რ 1 || რიმ მწვერვალზე /\
ABC, მანძილი საიდანაც თვითმფრინავამდე რყველაზე პატარა (მოდით იყოს A წვერო).
ჩვენ დავაპროექტებთ /\
ABC თვითმფრინავში რ 1 და რ(სურ. 166); დაე, მისი პროგნოზები იყოს შესაბამისად /\
AB 1 C 1 და /\
A"B"S".
დაე (მზე) გვ 1 = D. მაშინ
ს /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
დავალება.სიბრტყე დახაზულია რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდით ფ = 30° კუთხით მისი ფუძის სიბრტყის მიმართ. იპოვეთ მიღებული მონაკვეთის ფართობი, თუ პრიზმის ფუძის მხარე ა= 6 სმ.
გამოვსახოთ ამ პრიზმის მონაკვეთი (სურ. 167). ვინაიდან პრიზმა რეგულარულია, მისი გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეზე. ნიშნავს, /\ ABC არის პროექცია /\ ADC, ასე რომ
განვიხილოთ თვითმფრინავი გვ და ხაზი, რომელიც კვეთს მას . დაე იყოს მაგრამ არის თვითნებური წერტილი სივრცეში. დახაზეთ ხაზი ამ წერტილში , ხაზის პარალელურად . დაე იყოს . Წერტილი წერტილის პროექცია ეწოდება მაგრამთვითმფრინავამდე გვპარალელურად დიზაინში მოცემული ხაზის გასწვრივ . თვითმფრინავი გვ , რომელზედაც დაპროექტებულია სივრცის წერტილები, პროექციის სიბრტყე ეწოდება.
p - პროექციის თვითმფრინავი;
- პირდაპირი დიზაინი; ;
; ; ;
ორთოგონალური დიზაინიარის პარალელური დიზაინის განსაკუთრებული შემთხვევა. ორთოგონალური პროექცია არის პარალელური პროექცია, რომელშიც საპროექციო ხაზი პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულია. ორთოგონალური პროექცია ფართოდ გამოიყენება ტექნიკურ ნახატში, სადაც ფიგურა დაპროექტებულია სამ სიბრტყეზე - ჰორიზონტალური და ორი ვერტიკალური.
განმარტება:
წერტილის ორთოგრაფიული პროექცია მთვითმფრინავამდე გვბაზას ეძახიან M 1პერპენდიკულარული მმ 1, დაწეული წერტილიდან მთვითმფრინავამდე გვ.
Დანიშნულება: , 
, .
განმარტება: ფიგურის ორთოგრაფიული პროექცია ფთვითმფრინავამდე გვარის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელიც წარმოადგენს ფიგურის წერტილთა სიმრავლის ორთოგონალურ პროექციას ფთვითმფრინავამდე გვ.
ორთოგონალურ დიზაინს, როგორც პარალელური დიზაინის განსაკუთრებულ შემთხვევას, აქვს იგივე თვისებები:
p - პროექციის თვითმფრინავი;
- პირდაპირი დიზაინი; ;
1) ;
2) , .
- პარალელური წრფეების პროგნოზები პარალელურია.
ბრტყელი ფიგურის პროექციის არეალი
თეორემა: ბრტყელი მრავალკუთხედის პროექციის ფართობი გარკვეულ სიბრტყეზე უდრის დაპროექტებული მრავალკუთხედის ფართობს, გამრავლებული მრავალკუთხედის სიბრტყესა და პროექციის სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსზე.
ეტაპი 1: დაპროექტებული ფიგურა არის სამკუთხედი ABC, რომლის გვერდი AC დევს საპროექციო სიბრტყეში a (პროექციული სიბრტყის პარალელურად).
მოცემული:
დაამტკიცე:
მტკიცებულება:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. სამი პერპენდიკულარის თეორემის მიხედვით;
ВД - სიმაღლე; 1 D-ში - სიმაღლე;
5. - დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე;
6. ; ; ; 
;
ეტაპი 2: დაპროექტებული ფიგურა არის სამკუთხედი ABC, რომლის არცერთი გვერდი არ არის პროექციის სიბრტყეში a და არ არის მისი პარალელურად.
მოცემული:
დაამტკიცე:
მტკიცებულება:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(სტადია 1);
5. ; ; ;
(სტადია 1);
ეტაპი: შექმნილი ფიგურა არის თვითნებური მრავალკუთხედი.
მტკიცებულება:
მრავალკუთხედი იყოფა ერთი წვეროდან გამოყვანილი დიაგონალებით სამკუთხედების სასრულ რაოდენობად, რომელთაგან თითოეულისთვის თეორემა ჭეშმარიტია. მაშასადამე, თეორემა ასევე მართალი იქნება ყველა სამკუთხედის ფართობების ჯამისთვის, რომელთა სიბრტყეები პროექციის სიბრტყესთან ერთსა და იმავე კუთხეს ქმნიან.
კომენტარი: დადასტურებული თეორემა მოქმედებს დახურული მრუდით შემოსაზღვრული ნებისმიერი ბრტყელი ფიგურისთვის.
Სავარჯიშოები:
1. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის რეგულარული სამკუთხედი გვერდით a.
2. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის ტოლფერდა სამკუთხედი გვერდით 10 სმ და ფუძე 12 სმ.
3. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის სამკუთხედი გვერდებით 9, 10 და 17 სმ.
4. გამოთვალეთ ტრაპეციის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის უფრო დიდი ფუძეა 44 სმ, გვერდი 17 სმ და დიაგონალი არის. 39 სმ.
5. გამოთვალეთ რეგულარული ექვსკუთხედის პროექციის ფართობი 8 სმ გვერდით, რომლის სიბრტყე დახრილია პროექციის სიბრტყისკენ კუთხით.
6. რომბი 12 სმ გვერდით და მახვილი კუთხით ქმნის კუთხეს მოცემულ სიბრტყესთან. გამოთვალეთ რომბის პროექციის ფართობი ამ სიბრტყეზე.
7. რომბი, რომლის გვერდია 20 სმ და დიაგონალი 32 სმ, მოცემულ სიბრტყეს ქმნის კუთხეს. გამოთვალეთ რომბის პროექციის ფართობი ამ სიბრტყეზე.
8. ტილოების პროექცია ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე არის მართკუთხედი გვერდებით და . იპოვეთ ტილოების ფართობი, თუ გვერდითი მხარეები არის თანაბარი ოთხკუთხედები, რომლებიც დახრილია ჰორიზონტალური სიბრტყისკენ კუთხით, ხოლო ტილოების შუა ნაწილი არის კვადრატი პროექციის სიბრტყის პარალელურად.
11. სავარჯიშოები თემაზე "ხაზები და სიბრტყეები სივრცეში":
სამკუთხედის გვერდებია 20 სმ, 65 სმ, 75 სმ. სამკუთხედის უფრო დიდი კუთხის წვეროდან მის სიბრტყესამდე 60 სმ-ის ტოლი პერპენდიკულურია გამოყვანილი. იპოვეთ მანძილი პერპენდიკულარულის ბოლოებიდან დიდ გვერდამდე. სამკუთხედის.
2. სიბრტყიდან სმ მანძილზე გამოყოფილი წერტილიდან გამოყვანილია ორი დახრილი, სიბრტყით ტოლი კუთხეების ფორმირება, ხოლო მათ შორის - მართი კუთხე. იპოვეთ მანძილი დახრილი სიბრტყის გადაკვეთის წერტილებს შორის.
3. წესიერი სამკუთხედის გვერდი 12 სმ. წერტილი M არჩეულია ისე, რომ M წერტილის დამაკავშირებელი მონაკვეთები სამკუთხედის ყველა წვეროსთან ქმნიან კუთხეებს მის სიბრტყესთან. იპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამკუთხედის წვეროებამდე და გვერდებამდე.
4. სიბრტყე დახაზულია კვადრატის გვერდით კვადრატის დიაგონალთან კუთხით. იპოვეთ კუთხეები, რომლებზედაც კვადრატის ორი მხარე დახრილია სიბრტყისკენ.
5. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი დახრილია ჰიპოტენუზაში გამავალი სიბრტყისკენ კუთხით. დაამტკიცეთ, რომ კუთხე a სიბრტყესა და სამკუთხედის სიბრტყეს შორის არის .
6. ABC და DBC სამკუთხედების სიბრტყებს შორის დიედრული კუთხე არის . იპოვეთ AD, თუ AB = AC = 5 სმ, BC = 6 სმ, BD = DC = სმ.
საკონტროლო კითხვები თემაზე "ხაზები და სიბრტყეები სივრცეში"
1. ჩამოთვალეთ სტერეომეტრიის ძირითადი ცნებები. ჩამოაყალიბეთ სტერეომეტრიის აქსიომები.
2. დაამტკიცეთ აქსიომების შედეგები.
3. როგორია ორი წრფის ფარდობითი პოზიცია სივრცეში? განსაზღვრეთ გადამკვეთი, პარალელური, გადამკვეთი ხაზები.
4. დაამტკიცეთ წრფეთა გადაკვეთის კრიტერიუმი.
5. როგორია წრფისა და სიბრტყის ფარდობითი პოზიცია? მიეცით გადამკვეთი, პარალელური წრფეების და სიბრტყეების განმარტებები.
6. დაამტკიცეთ სწორი წრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი.
7. როგორია ორი სიბრტყის შედარებითი პოზიცია?
8. განსაზღვრეთ პარალელური სიბრტყეები. დაამტკიცეთ ორი სიბრტყის პარალელურობის კრიტერიუმი. ჩამოაყალიბეთ თეორემები პარალელური სიბრტყეების შესახებ.
9. განსაზღვრეთ კუთხე ხაზებს შორის.
10. დაამტკიცეთ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი.
11. მიეცით პერპენდიკულარულის ფუძის, ირიბის ფუძის, ირიბის პროექციის განმარტებები სიბრტყეზე. ჩამოაყალიბეთ პერპენდიკულარული და ირიბი, ერთი წერტილიდან სიბრტყეზე დაშვებული თვისებები.
12. განსაზღვრეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.
13. დაამტკიცეთ თეორემა სამ პერპენდიკულარზე.
14. მიეცით დიედრული კუთხის, ორწახნაგოვანი კუთხის წრფივი კუთხის განმარტებები.
15. დაამტკიცეთ ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი.
16. განსაზღვრეთ მანძილი ორ სხვადასხვა წერტილს შორის.
17. განსაზღვრეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
18. განსაზღვრეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.
19. განსაზღვრეთ მანძილი სწორ ხაზსა და მის პარალელურ სიბრტყეს შორის.
20. განსაზღვრეთ მანძილი პარალელურ სიბრტყეებს შორის.
21. განსაზღვრეთ მანძილი დახრილ ხაზებს შორის.
22. განსაზღვრეთ წერტილის ორთოგონალური პროექცია სიბრტყეზე.
23. განსაზღვრეთ ფიგურის ორთოგონალური პროექცია სიბრტყეზე.
24. ჩამოაყალიბეთ პროგნოზების თვისებები სიბრტყეზე.
25. ჩამოაყალიბეთ და დაადასტურეთ თეორემა ბრტყელი მრავალკუთხედის პროექციის ფართობზე.
