y'' + (x) y' + (x) y = f (x) ზოგადი ამოხსნის საპოვნელად საჭიროა კონკრეტული ამონახსნის პოვნა.

მისი ნახვა შესაძლებელია განტოლების y'' + (x) y' + (x) y = 0 თვითნებური მუდმივების ზოგიერთი ვარიაციისგან.

ჩანაცვლება (5.1)-ში

+ + + + (x) + +

(x) += f(x)

+ + + + (x) +

(x) += f(x)

ინტეგრაციით ვპოულობთ და

შემდეგ, ფორმულის გამოყენებით (5.6), ჩვენ ვადგენთ ზოგად გადაწყვეტას

თეორემა (5.2) : ამოხსნის დაწესება

თუ განტოლების მარჯვენა მხარე y'' + (x) y' + (x) y = f (x) არის 2 ფუნქციის ჯამი:

f(x) = (x) + (x) ,

და u არის განტოლების კონკრეტული ამოხსნა

+ (x) y' + (x) y = (x)

+ (x) y' + (x) y = (x)

რომ ფუნქცია

არის ამ განტოლების ამონახსნი

() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

10. ბერნულის განტოლება.

11. რიკატის განტოლება.:

რიკატის განტოლებაარის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო პირველი რიგის არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები. წერია ფორმაში:

სადაც ა(x), ბ(x), გ(x) არის უწყვეტი ფუნქციები ცვლადის მიხედვით x.

რიკატის განტოლება გვხვდება მათემატიკის სხვადასხვა სფეროში (მაგალითად, ალგებრულ გეომეტრიაში და კონფორმალური რუკების თეორიაში) და ფიზიკაში. ის ასევე ხშირად ჩნდება გამოყენებითი მათემატიკური ამოცანების დროს.

ზემოაღნიშნული განტოლება ე.წ ზოგადი რიკატის განტოლება. მისი ამოხსნა ემყარება შემდეგ თეორემას:

თეორემა: თუ ცნობილია კონკრეტული გამოსავალი წრიკატის განტოლების 1, მაშინ მისი ზოგადი ამონახსნი მოცემულია

მართლაც, ხსნარის ჩანაცვლება y=y 1 + uრიკატის განტოლებაში გვაქვს:

მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ხაზგასმული ტერმინები შეიძლება იყოს შეკვეცილი, რადგან წ 1 არის კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ფუნქციის დიფერენციალურ განტოლებას u(x):

რიკატის მეორე ვარიანტი (დაწერეთ მხოლოდ ერთი)

ზოგადად, არ არის ინტეგრირებული კვადრატებში

თუმცა, თუ ცნობილია ერთი კონკრეტული ამონახსნი, მაშინ რიკატის განტოლება შეიძლება შემცირდეს ბერნულის განტოლებამდე.

ამისათვის მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z + q(x) = 0

Z(p(x) + 2q(x) ) + q(x) =0

n=2 ბერნული

12. ლაგრანგის განტოლება.:

13. კლარაუტის განტოლება.:

14. პირველზე მაღალი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. შემთხვევების დაქვეითება.

15. n-ე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები. ვრონსკიანი. ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა:

16. ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით. დამახასიათებელი განტოლება:

ზემოაღნიშნული წრფივი ჰომოგენური განსაკუთრებული შემთხვევა

დიფერენციალური განტოლებები არის LODE მუდმივებით

კოეფიციენტები.

17. წრფივი არაჰომოგენური განტოლებები. კონკრეტული ამოხსნის პოვნა განტოლების შემთხვევაში კვაზი-პოლინომით:

ეილერის კვაზიპოლინომი:განვიხილოთ მე-2 რიგის LIDE მუდმივი კოეფიციენტებით: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) თქვენ შეგიძლიათ მოძებნოთ კონკრეტული გამოსავალი ლაგრანჟის მეთოდით, მაგრამ ზოგ შემთხვევაში უფრო ადვილია. განიხილეთ ეს შემთხვევები: 1. f(x) = , -n ხარისხის პოლინომი. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x). ამ შემთხვევებში f(x)-ს ეილერის კვაზი-პოლინომი ეწოდება. ამ შემთხვევაში ჩაწერეთ ამოხსნის მოსალოდნელი ფორმა განუსაზღვრელი კოეფიციენტებით და ჩაანაცვლეთ იგი (5.1) განტოლებით. მიღებული იდენტობიდან იპოვეთ კოეფიციენტების მნიშვნელობა. შემთხვევა 1 : (5.7)-ის მარჯვენა მხარეს აქვს ფორმა: f(x) = α R -n ხარისხის პოლინომი. განტოლება (5.7) დაიწერება: y’’ + p y’ + q y = (5.8) ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვეძებთ კონკრეტულ გამოსავალს სახით: = Qn (x) (5.9) სადაც r არის რიცხვი = α-ის სიმრავლეები, როგორც დამახასიათებელი განტოლების ფესვი + p k + q = 0, ე.ი. r არის რიცხვი, რომელიც აჩვენებს, რამდენჯერ არის α ძირი ur-i + p k + q = 0, ხოლო Qn (x) = + + …. + A n არის n ხარისხის პოლინომი, რომელიც იწერება განუსაზღვრელი Ai კოეფიციენტებით (i= 0, 1, 2,…n) α , r = 0 და ამონახსნის ძიებაა ფორმაში = Q n (x) B) ვთქვათ α არის დამახასიათებელი განტოლების ერთი (მარტივი) ფესვი + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) C) დავუშვათ α = იყოს დამახასიათებელი განტოლების 2-ჯერადი ფესვი + p k + q = 0 , r = 2 = Q n (x) შემთხვევა 2: (5.7)-ის მარჯვენა მხარეს აქვს ფორმა: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) , სადაც ) და Qm (x) არიან n და m ხარისხის პოლინომები, შესაბამისად, α და β არის რეალური რიცხვები, მაშინ განტოლება (5.7) იწერება როგორც y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) ამ შემთხვევაში კონკრეტული ამონახსნები არის: = * (Ml (x ) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) r- რიცხვი ტოლია სიმრავლის (α + βi), როგორც განტოლების ფესვი: + pk + q = 0, Me (x) და Ne (x) არის l ხარისხის მრავალწევრები განუსაზღვრელი კოეფიციენტებით. l არის მრავალწევრების უმაღლესი ხარისხი ) და Qm (x), l =max(n,m). შენიშვნა 1: ფუნქციის (5.11) (5.10) ჩანაცვლების შემდეგ ტოლდება ამავე სახელწოდების ტრიგონის წინ მრავალწევრები. ფუნქციები ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. შენიშვნა 2 : ფორმულა (5.11) ასევე შენარჩუნებულია ) 0-სთვის და Qm (x) 0-ისთვის. შენიშვნა 3 : თუ (5.7) განტოლების მარჯვენა მხარე არის 1 და 2 ფორმის ფუნქციების ჯამი, მაშინ უნდა გამოვიყენოთ თეორემა (5.2) ამონახსნების დადებაზე. თეორემა (5.2): ამონახსნების დაწესების შესახებ: თუ (5.1) განტოლების მარჯვენა ნაწილები არის 2 ფუნქციის ჯამი: f(x) = (x) + (x) , და u არის განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნები + (x) y ' + (x) y = (x) ) + (x) y ' + (x) y = (x) მე-n რიგის LIDE ინტეგრაცია (n მუდმივი კოეფიციენტი და სპეციალური ფორმის მარჯვენა მხარე. განვიხილოთ n-ე რიგი LIDE + (x) + (x) + … + (x)y = f(x), სადაც (x) , …, (x) , f(x) მოცემულია უწყვეტი ფუნქციით ინტერვალი (а, ბ) . რეპ. ერთგვაროვანი ur-e + (x) + ... + (x)y = 0 . ზოგადი ამონახსნი y n-ე რიგის LNDE = NU-ის კონკრეტული ამონახსნის ჯამი და OU y=-ის ზოგადი ამონახსნები. შეიძლება მოიძებნოს, თუ OU = + + ... + ზოგადი ამონახსნი ცნობილია 0 + + … + = 0 + + … + = f (x) განტოლებისთვის y'' + + … + y = f (x) R, სადაც f (x) არის ეილერის კვაზი-პოლინომი იგივე, რაც n=2-ისთვის.

თვითნებური მუდმივთა ვარიაციის მეთოდი

თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ასაგებად

ა ნ (ტ)ზ (ნ) (ტ) + ა ნ − 1 (ტ)ზ (ნ − 1) (ტ) + ... + ა 1 (ტ)ზ"(ტ) + ა 0 (ტ)ზ(ტ) = ვ(ტ)

შედგება თვითნებური მუდმივების შეცვლაში გ კსაერთო გადაწყვეტილებაში

ზ(ტ) = გ 1 ზ 1 (ტ) + გ 2 ზ 2 (ტ) + ... + გ ნ ზ ნ (ტ)

შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება

ა ნ (ტ)ზ (ნ) (ტ) + ა ნ − 1 (ტ)ზ (ნ − 1) (ტ) + ... + ა 1 (ტ)ზ"(ტ) + ა 0 (ტ)ზ(ტ) = 0

დამხმარე ფუნქციებისთვის გ კ (ტ) , რომლის წარმოებულები აკმაყოფილებს ხაზოვან ალგებრულ სისტემას

სისტემის (1) განმსაზღვრელი არის ფუნქციების ვრონსკი ზ 1 ,ზ 2 ,...,ზ ნ , რაც უზრუნველყოფს მის უნიკალურ ხსნადობას .

თუ ინტეგრაციის მუდმივების ფიქსირებული მნიშვნელობებით აღებული ანტიდერივატივებია, მაშინ ფუნქცია

არის საწყისი წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი. არაჰომოგენური განტოლების ინტეგრაცია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის არსებობისას მცირდება კვადრატებამდე.

თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებების სისტემის ამონახსნების ასაგებად ვექტორული ნორმალური ფორმით

შედგება კონკრეტული ხსნარის (1) ფორმით

სადაც ზ(ტ) არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების საფუძველი, დაწერილი მატრიცის სახით და ვექტორული ფუნქცია, რომელმაც ჩაანაცვლა თვითნებური მუდმივების ვექტორი, განისაზღვრება მიმართებით. სასურველი კონკრეტული გადაწყვეტა (ნულოვანი საწყისი მნიშვნელობებით ტ = ტ 0 აქვს ფორმა

მუდმივი კოეფიციენტების მქონე სისტემისთვის ბოლო გამოხატულება გამარტივებულია:

მატრიცა ზ(ტ)ზ− 1 (τ)დაურეკა კოშის მატრიცაოპერატორი ლ = ა(ტ) .

გარე ბმულები

• exponenta.ru - თეორიული მითითება მაგალითებით

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება თვითნებური n-ე რიგის მუდმივი კოეფიციენტებით:
(1) .
მუდმივი ვარიაციის მეთოდი, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ პირველი რიგის განტოლებისთვის, ასევე გამოიყენება უმაღლესი რიგის განტოლებებზე.

ხსნარი ტარდება ორ ეტაპად. პირველ ეტაპზე ვაშორებთ მარჯვენა მხარეს და ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას. შედეგად ვიღებთ n თვითნებურ მუდმივთა შემცველ ხსნარს. მეორე ეტაპზე ჩვენ ვცვლით მუდმივებს. ანუ მიგვაჩნია, რომ ეს მუდმივები არის x დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციები და ვპოულობთ ამ ფუნქციების ფორმას.

მართალია აქ განვიხილავთ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით, მაგრამ ლაგრანგის მეთოდი ასევე გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნისთვის. ამისთვის კი ცნობილი უნდა იყოს ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

ნაბიჯი 1. ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა

ისევე როგორც პირველი რიგის განტოლებების შემთხვევაში, ჩვენ ჯერ ვეძებთ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსანს, მარჯვენა არაერთგვაროვანი ნაწილის ტოლფასი ნულამდე:
(2) .
ასეთი განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:
(3) .
აქ არის თვითნებური მუდმივები; - n (2) ერთგვაროვანი განტოლების წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები, რომლებიც ქმნიან ამ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას.

ნაბიჯი 2. მუდმივთა ვარიაცია - მუდმივების ჩანაცვლება ფუნქციებით

მეორე ეტაპზე ჩვენ განვიხილავთ მუდმივთა ცვალებადობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ჩავანაცვლებთ მუდმივებს დამოუკიდებელი ცვლადის x ფუნქციებით:
.
ანუ, ჩვენ ვეძებთ ამოხსნას საწყისი განტოლებისთვის (1) შემდეგი ფორმით:
(4) .

თუ (4) ჩავანაცვლებთ (1), მივიღებთ ერთ დიფერენციალურ განტოლებას n ფუნქციისთვის. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ეს ფუნქციები დამატებითი განტოლებებით. შემდეგ მიიღებთ n განტოლებებს, საიდანაც შეგიძლიათ განსაზღვროთ n ფუნქცია. დამატებითი განტოლებები შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა გზით. მაგრამ ჩვენ ამას გავაკეთებთ ისე, რომ გამოსავალს ჰქონდეს უმარტივესი ფორმა. ამისათვის, დიფერენცირებისას, თქვენ უნდა გაიგივოთ ნულოვანი ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ფუნქციების წარმოებულებს. მოდით ვაჩვენოთ ეს.

შემოთავაზებული ამოხსნის (4) ჩასანაცვლებლად თავდაპირველ განტოლებაში (1), უნდა ვიპოვოთ (4) სახით დაწერილი ფუნქციის პირველი n რიგის წარმოებულები. განასხვავეთ (4) განაცხადით ჯამის დიფერენციაციის წესებიდა მუშაობს:
.
მოდით დავაჯგუფოთ წევრები. ჯერ ვწერთ ტერმინებს -ს წარმოებულებით და შემდეგ ტერმინებს წარმოებულებით:

.
ჩვენ პირველ პირობას ვაკისრებთ ფუნქციებს:
(5.1) .
მაშინ პირველი წარმოებულის გამოთქმას უფრო მარტივი ფორმა ექნება:
(6.1) .

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე წარმოებულს:

.
ჩვენ ვაკისრებთ მეორე პირობას ფუნქციებს:
(5.2) .
მერე
(6.2) .
და ა.შ. დამატებითი პირობებით ფუნქციების წარმოებულების შემცველ ტერმინებს ვატოლებთ ნულს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ავირჩევთ შემდეგ დამატებით განტოლებებს ფუნქციებისთვის:
(5.k) ,
მაშინ პირველ წარმოებულებს ექნებათ უმარტივესი ფორმა:
(6.k) .
Აქ .

ჩვენ ვპოულობთ n-ე წარმოებულს:
(6.n)
.

ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებას (1):
(1) ;






.
ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ ყველა ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (2):
.
შემდეგ ტერმინთა ჯამი, რომელიც შეიცავს ნულს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
(7) .

შედეგად, მივიღეთ წარმოებულების წრფივი განტოლებების სისტემა:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

ამ სისტემის ამოხსნისას ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულების გამონათქვამებს x-ის ფუნქციების სახით. ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ:
.
აქ არის მუდმივები, რომლებიც აღარ არიან დამოკიდებული x-ზე. ჩანაცვლებით (4), მივიღებთ საწყისი განტოლების ზოგად ამონახსანს.

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ არასდროს გამოგვიყენებია ის ფაქტი, რომ a i კოეფიციენტები მუდმივია წარმოებულების მნიშვნელობების დასადგენად. Ისე ლაგრანგის მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოსახსნელადთუ ცნობილია (2) ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

მაგალითები

განტოლებების ამოხსნა მუდმივების ცვალებადობის მეთოდით (ლაგრანჟი).

თეორიული მინიმუმი

დიფერენციალური განტოლებების თეორიაში არსებობს მეთოდი, რომელიც აცხადებს, რომ აქვს ამ თეორიის უნივერსალურობის საკმარისად მაღალი ხარისხი.
ჩვენ ვსაუბრობთ თვითნებური მუდმივის ცვალებადობის მეთოდზე, რომელიც გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებების სხვადასხვა კლასის ამოხსნისთვის და მათი
სისტემები. ეს არის ზუსტად ის შემთხვევა, როდესაც თეორია - თუ განცხადებების მტკიცებულებას ფრჩხილებიდან ამოიღებთ - მინიმალურია, მაგრამ საშუალებას გაძლევთ მიაღწიოთ
მნიშვნელოვანი შედეგები, ამიტომ ძირითადი აქცენტი გაკეთდება მაგალითებზე.

მეთოდის ზოგადი იდეა საკმაოდ მარტივია ჩამოსაყალიბებლად. დაე, მოცემული განტოლება (განტოლებათა სისტემა) იყოს რთული ამოსახსნელი ან თუნდაც გაუგებარი,
როგორ გადაჭრას. თუმცა, ჩანს, რომ როდესაც ზოგიერთი ტერმინი გამორიცხულია განტოლებიდან, ის ამოხსნილია. მერე სწორედ ასეთ გამარტივებულს წყვეტენ
განტოლება (სისტემა), მიიღეთ ამონახსნი, რომელიც შეიცავს გარკვეული რაოდენობის თვითნებური მუდმივების - განტოლების თანმიმდევრობის მიხედვით (რიცხვი
განტოლებები სისტემაში). შემდეგ ვარაუდობენ, რომ ნაპოვნი ამონახსნის მუდმივები ნამდვილად არ არის მუდმივები, ნაპოვნი ამონახსნები
ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში (სისტემაში), მიიღება დიფერენციალური განტოლება (ან განტოლებათა სისტემა) "მუდმივების" დასადგენად.
არსებობს გარკვეული სპეციფიკა თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდის სხვადასხვა ამოცანებზე გამოყენებისას, მაგრამ ეს უკვე დეტალებია, რომლებიც იქნება
ნაჩვენებია მაგალითებით.

ცალ-ცალკე განვიხილოთ უმაღლესი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნა, ე.ი. ფორმის განტოლებები
.
წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლებისა და კონკრეტული ამონახსნის საერთო ამონახსნის ჯამი.
მოცემული განტოლება. დავუშვათ, რომ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები უკვე ნაპოვნია, კერძოდ, აგებულია ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა (FSR).
. მაშინ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის .
აუცილებელია არაერთგვაროვანი განტოლების რაიმე კონკრეტული ამოხსნის პოვნა. ამისთვის მუდმივები ითვლება ცვლადზე დამოკიდებულებად.
შემდეგი, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა
.
თეორია იძლევა გარანტიას, რომ ალგებრული განტოლებების ამ სისტემას ფუნქციათა წარმოებულებთან მიმართებაში აქვს უნიკალური ამონახსნები.
თავად ფუნქციების პოვნისას, ინტეგრაციის მუდმივები არ ჩნდება: ბოლოს და ბოლოს, ნებისმიერი გადაწყვეტის ძიებაა.

ფორმის პირველი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნის შემთხვევაში

ალგორითმი თითქმის უცვლელი რჩება. ჯერ უნდა იპოვოთ განტოლებათა შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის FSR, შეადგინოთ ფუნდამენტური მატრიცა
სისტემა, რომლის სვეტები FSR-ის ელემენტებია. შემდეგი, განტოლება
.
სისტემის ამოხსნით, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციებს, რითაც ვპოულობთ კონკრეტულ გადაწყვეტას ორიგინალური სისტემისთვის
(ფუნდამენტური მატრიცა მრავლდება ნაპოვნი ფუნქციის სვეტით).
ჩვენ მას ვუმატებთ ჰომოგენური განტოლებების შესაბამისი სისტემის ზოგად ამონახსნებს, რომელიც აგებულია უკვე ნაპოვნი FSR-ის საფუძველზე.
მიღებულია ორიგინალური სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

მაგალითები.

მაგალითი 1 პირველი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები.

განვიხილოთ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება (მოთხოვნილ ფუნქციას აღვნიშნავთ):
.
ეს განტოლება ადვილად წყდება ცვლადების გამოყოფით:

.
ახლა ჩვენ წარმოვადგენთ თავდაპირველი განტოლების ამოხსნას სახით , სადაც ფუნქცია ჯერ არ არის ნაპოვნი.
ჩვენ ვცვლით ამ ტიპის ამოხსნას თავდაპირველ განტოლებაში:
.
როგორც ხედავთ, მარცხენა მხარეს მეორე და მესამე ტერმინები არღვევს ერთმანეთს - ეს არის თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდის დამახასიათებელი თვისება.

აქ უკვე - მართლაც, თვითნებური მუდმივი. ამრიგად,
.

მაგალითი 2 ბერნულის განტოლება.

ჩვენ ვმოქმედებთ ისევე, როგორც პირველი მაგალითი - ვხსნით განტოლებას

ცვლადების გამოყოფის მეთოდი. გამოვა, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ თავდაპირველი განტოლების ამოხსნას ფორმაში
.
ჩაანაცვლეთ ეს ფუნქცია თავდაპირველ განტოლებაში:
.
და ისევ არის ჭრილობები:
.
აქ უნდა გახსოვდეთ, რომ დარწმუნდეთ, რომ გაყოფისას გამოსავალი არ დაიკარგება. და საქმე შეესაბამება ორიგინალის გადაწყვეტას
განტოლებები. გავიხსენოთ ის. Ისე,
.
Მოდი დავწეროთ .
ეს არის გამოსავალი. პასუხის დაწერისას ასევე უნდა მიუთითოთ ადრე ნაპოვნი გამოსავალი, რადგან ის არ შეესაბამება რაიმე საბოლოო მნიშვნელობას
მუდმივები.

მაგალითი 3 უმაღლესი რიგის წრფივი არაჰომოგენური განტოლებები.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ეს განტოლება შეიძლება უფრო მარტივად გადაწყდეს, მაგრამ მოსახერხებელია მასზე მეთოდის ჩვენება. მიუხედავად იმისა, რომ გარკვეული უპირატესობები
თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი ასევე აქვს ამ მაგალითში.
ასე რომ, თქვენ უნდა დაიწყოთ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების FSR-ით. შეგახსენებთ, რომ FSR-ის მოსაძებნად, მახასიათებელი
განტოლება
.
ამრიგად, ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა
.
აქ შეტანილი მუდმივები უნდა შეიცვალოს. სისტემის შედგენა

თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი, ან ლაგრანგის მეთოდი, არის პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებების და ბერნულის განტოლების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა.

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები არის y’+p(x)y=q(x) ფორმის განტოლებები. თუ მარჯვენა მხარე ნულია: y’+p(x)y=0, მაშინ ეს არის წრფივი ერთგვაროვანი 1 რიგის განტოლება. შესაბამისად, განტოლება არანულოვანი მარჯვენა გვერდით, y’+p(x)y=q(x), — ჰეტეროგენული 1 რიგის წრფივი განტოლება.

თვითნებური მუდმივი ვარიაციის მეთოდი (ლაგრანგის მეთოდი) შედგება შემდეგი:

1) ჩვენ ვეძებთ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას y’+p(x)y=0: y=y*.

2) ზოგად ამოხსნაში C ითვლება არა მუდმივად, არამედ x-ის ფუნქციად: C=C(x). ჩვენ ვპოულობთ ზოგადი ამონახსნის წარმოებულს (y*)' და მიღებული გამოხატულებით ვცვლით y* და (y*)' საწყის მდგომარეობაში. მიღებული განტოლებიდან ვპოულობთ С(x) ფუნქციას.

3) ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნაში C-ის ნაცვლად ვცვლით ნაპოვნი გამოსახულებას C (x).

განვიხილოთ მაგალითები თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდის შესახებ. ავიღოთ იგივე ამოცანები, როგორც ში, შევადაროთ ამოხსნის მიმდინარეობა და დავრწმუნდეთ, რომ მიღებული პასუხები ერთნაირია.

1) y'=3x-y/x

მოდით გადავიწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით (ბერნულის მეთოდისგან განსხვავებით, სადაც აღნიშვნა გვჭირდებოდა მხოლოდ იმის დასანახად, რომ განტოლება წრფივია).

y'+y/x=3x (I). ახლა გეგმის მიხედვით მივდივართ.

1) ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას y’+y/x=0. ეს არის განცალკევებული ცვლადი განტოლება. წარმოადგინეთ y’=dy/dx, შემცვლელი: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. განტოლების ორივე ნაწილს ვამრავლებთ dx-ზე და ვყოფთ xy≠0-ზე: dy/y=-dx/x. ჩვენ ვაერთიანებთ:

2) ერთგვაროვანი განტოლების მიღებულ ზოგად ამოხსნაში С განვიხილავთ არა მუდმივ, არამედ x-ის ფუნქციას: С=С(x). აქედან

მიღებული გამონათქვამები ჩანაცვლებულია პირობით (I):

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე ნაწილს:

აქ C უკვე ახალი მუდმივია.

3) y \u003d C / x ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნაში, სადაც განვიხილეთ C \u003d C (x), ანუ y \u003d C (x) / x, ნაცვლად C (x) ჩვენ ვცვლით ნაპოვნია გამოხატულება x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x ან y=x²+C/x. მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ბერნულის მეთოდით ამოხსნისას.

პასუხი: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

აქ განტოლება უკვე დაწერილია სტანდარტული ფორმით, არ არის საჭირო გადაკეთება.

1) ვხსნით ერთგვაროვან წრფივ განტოლებას y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. ჩვენ ვაერთიანებთ:

უფრო მოსახერხებელი აღნიშვნის მისაღებად, ჩვენ ავიღებთ მაჩვენებელს C-ის ხარისხზე, როგორც ახალ C-ს:

ეს ტრანსფორმაცია განხორციელდა იმისათვის, რომ უფრო მოსახერხებელი ყოფილიყო წარმოებულის პოვნა.

2) წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების მიღებულ ზოგადი ამონახსნისას С განვიხილავთ არა მუდმივ, არამედ x-ის ფუნქციას: С=С(x). ამ პირობით

მიღებული გამონათქვამები y და y' ჩანაცვლებულია პირობით:

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე ნაწილს ინტეგრაციის ნაწილების ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:

აქ C აღარ არის ფუნქცია, არამედ ჩვეულებრივი მუდმივი.

3) ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნაში

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი ფუნქცია С(x):

მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ბერნულის მეთოდით ამოხსნისას.

თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი ასევე გამოიყენება ამოხსნისთვის.

y'x+y=-xy².

განტოლებას მივყავართ სტანდარტულ ფორმამდე: y’+y/x=-y² (II).

1) ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე dx-ზე და გაყავით y-ზე: dy/y=-dx/x. ახლა მოდით ინტეგრირება:

მიღებულ გამონათქვამებს ვცვლით პირობით (II):

გამარტივება:

მივიღეთ განტოლება განცალკევებული ცვლადებით C და x-სთვის:

აქ C უკვე ჩვეულებრივი მუდმივია. ინტეგრაციის პროცესში C(x-ის ნაცვლად) უბრალოდ დავწერეთ C, რათა არ გადატვირთოთ აღნიშვნა. და ბოლოს დავუბრუნდით C(x)-ს, რათა არ აგვერიოს C(x) ახალ C-ში.

3) ნაპოვნი С(x) ფუნქციას ვცვლით y=C(x)/x ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსნით:

მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ბერნულის მეთოდით ამოხსნისას.

მაგალითები თვითშემოწმებისთვის:

1. გადავიწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით: y'-2y=x.

1) ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას y'-2y=0. y’=dy/dx, აქედან გამომდინარე, dy/dx=2y, გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე dx-ზე, გავყოთ y-ზე და გავაერთიანოთ:

აქედან ჩვენ ვპოულობთ y:

ჩვენ ვცვლით y-ს და y-ს გამონათქვამებს პირობით (მოკლედობისთვის, C-ის ნაცვლად C (x)-ის ნაცვლად C-ს და C-ის ნაცვლად C-ს (x) გამოვყოფთ):

მარჯვენა მხარეს ინტეგრალის საპოვნელად ვიყენებთ ინტეგრაციის ნაწილების ფორმულას:

ახლა ჩვენ ვცვლით u, du და v ფორმულაში:

აქ C = const.

3) ახლა ჩვენ შევცვლით ერთგვაროვან ხსნარს