მარტივი რიცხვები ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო მათემატიკური ფენომენია, რომელიც ორ ათასწლეულზე მეტია იპყრობს მეცნიერთა და რიგითი მოქალაქეების ყურადღებას. იმისდა მიუხედავად, რომ ჩვენ ახლა ვცხოვრობთ კომპიუტერების და ყველაზე თანამედროვე საინფორმაციო პროგრამების ეპოქაში, მარტივი რიცხვების მრავალი საიდუმლო ჯერ კიდევ არ არის ამოხსნილი, არის ისეთებიც, რომლებსაც მეცნიერებმა არ იციან როგორ მიუახლოვდნენ.

მარტივი რიცხვები, როგორც ცნობილია ელემენტარული არითმეტიკის კურსიდან, არის ის რიცხვები, რომლებიც ნაშთების გარეშე იყოფა მხოლოდ ერთზე და საკუთარ თავზე. სხვათა შორის, თუ ნატურალური რიცხვი, გარდა ზემოთ ჩამოთვლილთა გარდა, იყოფა სხვა რიცხვზე, მაშინ მას კომპოზიციური ეწოდება. ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერი შედგენილი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც მარტივი რიცხვების ერთადერთი შესაძლო ნამრავლი.

რამდენიმე საინტერესო ფაქტი. ჯერ ერთი, ერთეული უნიკალურია იმ გაგებით, რომ, ფაქტობრივად, ის არ მიეკუთვნება არც მარტივ და არც შედგენილ რიცხვებს. ამავდროულად, სამეცნიერო საზოგადოებაში ჯერ კიდევ ჩვეულებრივია მისი მიკუთვნება პირველ ჯგუფს, რადგან ფორმალურად იგი სრულად აკმაყოფილებს მის მოთხოვნებს.

მეორეც, ერთადერთი ლუწი რიცხვი, რომელიც შევიდა "პირველ რიცხვებში" ჯგუფში, რა თქმა უნდა, ორია. ნებისმიერი სხვა ლუწი რიცხვი უბრალოდ აქ ვერ მოხვდება, რადგან განსაზღვრებით, გარდა თავისა და ერთისა, ის ასევე იყოფა ორზე.

მარტივი რიცხვები, რომელთა სია, როგორც ზემოთ აღინიშნა, შეიძლება დაიწყოს ერთით, არის უსასრულო რიგი, ისეთივე უსასრულო, როგორც ნატურალური რიცხვების სერია. არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემიდან გამომდინარე, შეიძლება მივიდეთ დასკვნამდე, რომ მარტივი რიცხვები არასოდეს წყდება და არასოდეს მთავრდება, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ნატურალური რიცხვების სერია აუცილებლად შეწყდება.

პირველი რიცხვები შემთხვევით არ ჩნდება ბუნებრივ სერიებში, როგორც ეს ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს. მათი გულდასმით გაანალიზების შემდეგ დაუყოვნებლივ შეამჩნევთ რამდენიმე მახასიათებელს, რომელთაგან ყველაზე ცნობისმოყვარე ასოცირდება ეგრეთ წოდებულ "ტყუპ" ნომრებთან. მათ ასე ეძახიან იმიტომ, რომ რაღაც გაუგებარი სახით, ისინი ერთმანეთის გვერდით ხვდებოდნენ, მხოლოდ ლუწი განმსაზღვრელი (ხუთი და შვიდი, ჩვიდმეტი და ცხრამეტი) გამოყოფილი.

თუ მათ ყურადღებით დააკვირდებით, შეამჩნევთ, რომ ამ რიცხვების ჯამი ყოველთვის სამის ნამრავლია. უფრო მეტიც, სამზე გაყოფისას მარცხენა ძმას ყოველთვის რჩება ორი, ხოლო მარჯვენას - ერთი. გარდა ამისა, ამ რიცხვების განაწილება ბუნებრივი სერიების გასწვრივ შეიძლება ვიწინასწარმეტყველოთ, თუ მთელი ეს სერია წარმოდგენილია რხევადი სინუსოიდების სახით, რომელთა ძირითადი წერტილები იქმნება, როდესაც რიცხვები იყოფა სამზე და ორზე.

მარტივი რიცხვები არა მხოლოდ მათემატიკოსების მიერ მთელი მსოფლიოს მასშტაბით შესწავლის ობიექტია, არამედ დიდი ხანია წარმატებით გამოიყენება რიცხვების სხვადასხვა სერიის შედგენისას, რაც საფუძველს წარმოადგენს, მათ შორის შიფროგრაფიისთვისაც. ამავდროულად, უნდა ვაღიაროთ, რომ ამ შესანიშნავ ელემენტებთან დაკავშირებული საიდუმლოებების უზარმაზარი რაოდენობა ჯერ კიდევ ელოდება გადაჭრას, ბევრ კითხვას აქვს არა მხოლოდ ფილოსოფიური, არამედ პრაქტიკული მნიშვნელობა.

მარტივი რიცხვი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა მხოლოდ თავისთავზე და ერთზე.

დანარჩენ რიცხვებს კომპოზიციური ეწოდება.

მარტივი ნატურალური რიცხვები

მაგრამ ყველა ნატურალური რიცხვი არ არის მარტივი.

მარტივი ნატურალური რიცხვები არის მხოლოდ ის, რომლებიც იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და ერთზე.

მარტივი რიცხვების მაგალითები:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

მარტივი მთელი რიცხვები

აქედან გამომდინარეობს, რომ მხოლოდ ნატურალური რიცხვები არიან მარტივი რიცხვები.

ეს ნიშნავს, რომ მარტივი რიცხვები აუცილებლად ბუნებრივია.

მაგრამ ყველა ნატურალური რიცხვი ასევე მთელი რიცხვია.

ამრიგად, ყველა მარტივი რიცხვი არის მთელი რიცხვები.

მარტივი რიცხვების მაგალითები:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

თუნდაც მარტივი რიცხვები

არსებობს მხოლოდ ერთი ლუწი მარტივი რიცხვი და ეს არის ორი.

ყველა სხვა მარტივი რიცხვი კენტია.

რატომ არ შეიძლება ორზე მეტი ლუწი რიცხვი იყოს მარტივი რიცხვი?

მაგრამ რადგან ორზე მეტი ლუწი რიცხვი თავისთავად იყოფა არა ერთზე, არამედ ორზე, ანუ ასეთ რიცხვს ყოველთვის ექნება სამი გამყოფი და შესაძლოა მეტიც.

ყველა ნატურალური რიცხვი, გარდა ერთისა, იყოფა მარტივ და კომპოზიტურად. მარტივი რიცხვი არის ბუნებრივი რიცხვი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი გამყოფი: ერთი და საკუთარი თავი.. ყველა დანარჩენს კომპოზიტს უწოდებენ. მარტივი რიცხვების თვისებების შესწავლა ეხება მათემატიკის განსაკუთრებულ მონაკვეთს - რიცხვთა თეორიას. რგოლების თეორიაში მარტივი რიცხვები დაკავშირებულია შეუქცევად ელემენტებთან.

აქ არის მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც იწყება 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73. , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... და ა.შ.

არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით, ყოველი ნატურალური რიცხვი, რომელიც ერთზე მეტია, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად. თუმცა, ეს ერთადერთი გზაა ნატურალური რიცხვების წარმოდგენის ფაქტორების თანმიმდევრობით. ამის საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მარტივი რიცხვები ნატურალური რიცხვების ელემენტარული ნაწილებია.

ნატურალური რიცხვის ასეთ წარმოდგენას ეწოდება ნატურალური რიცხვის დაშლა მარტივ რიცხვებად ან რიცხვის ფაქტორიზაცია.

მარტივი რიცხვების გამოსათვლელად ერთ-ერთი უძველესი და ეფექტური გზაა „ერასტოთენეს საცერი“.

პრაქტიკამ აჩვენა, რომ ერასტოფენის საცრის გამოყენებით მარტივი რიცხვების გამოთვლის შემდეგ, საჭიროა შემოწმდეს, არის თუ არა მოცემული რიცხვი მარტივი. ამისთვის შემუშავებულია სპეციალური ტესტები, ეგრეთ წოდებული სიმარტივის ტესტები. ამ ტესტების ალგორითმი სავარაუდოა. ყველაზე ხშირად ისინი გამოიყენება კრიპტოგრაფიაში.

სხვათა შორის, რიცხვების ზოგიერთი კლასისთვის არის სპეციალიზებული ეფექტური პირველობის ტესტები. მაგალითად, მერსენის რიცხვების სიმარტივისთვის შესამოწმებლად გამოიყენება ლუკას-ლემერის ტესტი, ხოლო ფერმას რიცხვების სიმარტივის შესამოწმებლად გამოიყენება პეპინის ტესტი.

ყველამ ვიცით, რომ უსასრულოდ ბევრი რიცხვია. სამართლიანად ჩნდება კითხვა: რამდენი მარტივი რიცხვია მაშინ? ასევე არის უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები. ამ განსჯის უძველესი მტკიცებულებაა ევკლიდეს მტკიცებულება, რომელიც მოცემულია ელემენტებში. ევკლიდეს მტკიცებულება შემდეგია:

წარმოიდგინეთ, რომ მარტივი რიცხვები სასრულია. გავამრავლოთ ისინი და დავამატოთ ერთი. შედეგად მიღებული რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს მარტივი რიცხვების რომელიმე სასრულ სიმრავლეზე, რადგან რომელიმე მათგანზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი იძლევა ერთს. ამრიგად, რიცხვი უნდა გაიყოს ზოგიერთ მარტივზე, რომელიც არ შედის ამ სიმრავლეში.

მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემა ამბობს, რომ n-ზე ნაკლები მარტივი რიცხვების რიცხვი, რომელიც აღინიშნება π(n), იზრდება როგორც n/ln(n).

მარტივი რიცხვების ათასობით წლის შესწავლის შედეგად აღმოჩნდა, რომ ყველაზე დიდი ცნობილი მარტივი რიცხვია 243112609 − 1. ამ რიცხვს აქვს 12,978,189 ათობითი ციფრი და არის მერსენის მარტივი რიცხვი (M43112609). ეს აღმოჩენა გაკეთდა 2008 წლის 23 აგვისტოს uCLA უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტში, როგორც GIMPS-ის მერსენის პრაიმების ძიების ნაწილი.

მერსენის რიცხვების მთავარი განმასხვავებელი მახასიათებელია მაღალეფექტური ლუკ-ლემერის პირველობის ტესტის არსებობა. მასთან ერთად, მერსენის მარტივი რიცხვები, დიდი ხნის განმავლობაში, არის ყველაზე დიდი ცნობილი მარტივი რიცხვები.

თუმცა, დღემდე ბევრ კითხვას მარტივი რიცხვების შესახებ არ მიუღია ზუსტი პასუხი. მე-5 საერთაშორისო მათემატიკურ კონგრესზე ედმუნდ ლანდაუმ ჩამოაყალიბა ძირითადი ამოცანები მარტივი რიცხვების სფეროში:

გოლდბახის პრობლემა, ან ლანდაუს პირველი პრობლემა, არის დაამტკიცოს ან უარყოს, რომ ორზე მეტი ლუწი რიცხვი შეიძლება იყოს ორი მარტივი რიცხვის ჯამი, ხოლო 5-ზე მეტი ყოველი უცნაური რიცხვი შეიძლება იყოს სამი მარტივი რიცხვის ჯამი.
ლანდაუს მეორე პრობლემა მოითხოვს პასუხის პოვნას კითხვაზე: არის თუ არა უსასრულო სიმრავლე "უბრალო ტყუპების" - მარტივი რიცხვები, რომელთა შორის განსხვავება უდრის 2-ს?
ლეჟანდრის ვარაუდი ან ლანდაუს მესამე პრობლემაა: მართალია, რომ n2-სა და (n + 1)2-ს შორის ყოველთვის არის მარტივი რიცხვი?
ლანდაუს მეოთხე ამოცანა: არის n2 + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების სიმრავლე უსასრულო?
ზემოაღნიშნული პრობლემების გარდა, არსებობს მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობის განსაზღვრის პრობლემა მრავალი მთელი რიგითობით, როგორიცაა ფიბონაჩის რიცხვი, ფერმატის რიცხვი და ა.შ.

ილიას პასუხი სწორია, მაგრამ არც ისე დეტალური. მე-18 საუკუნეში, სხვათა შორის, ერთი ჯერ კიდევ პირველ რიცხვად ითვლებოდა. მაგალითად, ისეთი ძირითადი მათემატიკოსები, როგორებიც არიან ეილერი და გოლდბახი. გოლდბახი არის ათასწლეულის შვიდი ამოცანის ავტორი - გოლდბახის ჰიპოთეზა. თავდაპირველ ფორმულირებაში ნათქვამია, რომ ნებისმიერი ლუწი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მარტივის ჯამის სახით. უფრო მეტიც, თავდაპირველად 1 იყო გათვალისწინებული, როგორც მარტივი რიცხვი და ჩვენ ვხედავთ ამას: 2 = 1 + 1. ეს არის ყველაზე პატარა მაგალითი, რომელიც აკმაყოფილებს ჰიპოთეზის თავდაპირველ ფორმულირებას. მოგვიანებით ის გამოსწორდა და ფორმულირებამ თანამედროვე სახე მიიღო: „ყოველი ლუწი რიცხვი, 4-დან დაწყებული, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მარტივი რიცხვის ჯამად“.

გავიხსენოთ განმარტება. მარტივი რიცხვი არის ბუნებრივი რიცხვი p, რომელსაც აქვს მხოლოდ 2 განსხვავებული ბუნებრივი გამყოფი: თავად p და 1. განმარტების შედეგი: მარტივ რიცხვს p აქვს მხოლოდ ერთი მარტივი გამყოფი - თავად p.

ახლა დავუშვათ 1 არის მარტივი რიცხვი. განმარტებით, მარტივ რიცხვს აქვს მხოლოდ ერთი მარტივი გამყოფი - თავად. შემდეგ გამოდის, რომ 1-ზე მეტი ნებისმიერი მარტივი რიცხვი იყოფა მისგან განსხვავებულ მარტივ რიცხვზე (1-ზე). მაგრამ ორი განსხვავებული მარტივი რიცხვი არ შეიძლება დაიყოს ერთმანეთზე, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი არ არიან მარტივი, არამედ შედგენილი რიცხვები და ეს ეწინააღმდეგება განმარტებას. ამ მიდგომით, გამოდის, რომ არსებობს მხოლოდ 1 მარტივი რიცხვი - თავად ერთეული. მაგრამ ეს აბსურდია. ამიტომ, 1 არ არის მარტივი რიცხვი.

1, ისევე როგორც 0, ქმნიან რიცხვთა სხვა კლასს - ნეიტრალური ელემენტების კლასს n-nar ოპერაციების მიმართ ალგებრული ველის ზოგიერთ ქვეჯგუფში. უფრო მეტიც, შეკრების ოპერაციასთან დაკავშირებით, 1 ასევე არის მთელი რიცხვების რგოლის წარმომქმნელი ელემენტი.

ამის გათვალისწინებით, სხვა ალგებრულ სტრუქტურებში მარტივი რიცხვების ანალოგების პოვნა არ არის რთული. დავუშვათ, გვაქვს მამრავლებითი ჯგუფი, რომელიც ჩამოყალიბებულია 2-ის ხარისხებიდან დაწყებული 1-დან: 2, 4, 8, 16, ... და ა.შ. 2 აქ მოქმედებს როგორც ფორმირების ელემენტი. ამ ჯგუფში მარტივი რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც აღემატება უმცირეს ელემენტს და იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და უმცირეს ელემენტზე. ჩვენს ჯგუფში ასეთი თვისებები მხოლოდ 4-ს აქვს.ეგ. ჩვენს ჯგუფში აღარ არის მარტივი რიცხვები.

თუ 2 ასევე მარტივი რიცხვი იყო ჩვენს ჯგუფში, მაშინ იხილეთ პირველი აბზაცი - ისევ აღმოჩნდება, რომ მხოლოდ 2 არის მარტივი რიცხვი.

სტატია ეხება მარტივი და შედგენილი რიცხვების ცნებებს. მოცემულია ასეთი რიცხვების განმარტებები მაგალითებით. ჩვენ ვაძლევთ მტკიცებულებას, რომ მარტივი რიცხვების რაოდენობა შეუზღუდავია და ვაკეთებთ ჩანაწერს მარტივი რიცხვების ცხრილში ერატოსთენეს მეთოდით. მოყვანილი იქნება მტკიცებულება, არის თუ არა რიცხვი მარტივი თუ შედგენილი.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მარტივი და შედგენილი რიცხვები - განმარტებები და მაგალითები

მარტივი და კომპოზიტური რიცხვები კლასიფიცირდება როგორც დადებითი მთელი რიცხვები. ისინი უნდა იყოს ერთზე მეტი. გამყოფები ასევე იყოფა მარტივ და რთულებად. კომპოზიტური რიცხვების ცნების გასაგებად, ჯერ უნდა შევისწავლოთ გამყოფებისა და ჯერადების ცნებები.

განმარტება 1

მარტივი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ ორი დადებითი გამყოფი, ანუ საკუთარი თავი და 1.

განმარტება 2

კომპოზიტური რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ მინიმუმ სამი დადებითი გამყოფი.

ერთი არც მარტივი და არც შედგენილი რიცხვია. მას აქვს მხოლოდ ერთი დადებითი გამყოფი, ამიტომ იგი განსხვავდება ყველა სხვა დადებითი რიცხვისგან. ყველა დადებით რიცხვს ბუნებრივს უწოდებენ, ანუ გამოიყენება დათვლაში.

განმარტება 3

მარტივი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ორი დადებითი გამყოფი.

განმარტება 4

კომპოზიტური ნომერიარის ნატურალური რიცხვი, რომელსაც აქვს ორზე მეტი დადებითი გამყოფი.

1-ზე მეტი ნებისმიერი რიცხვი არის მარტივი ან კომპოზიტური. გაყოფის თვისებიდან გვაქვს ის, რომ 1 და რიცხვი a ყოველთვის იქნება გამყოფი ნებისმიერი a რიცხვისთვის, ანუ ის იყოფა თავის თავზე და 1-ზე. ჩვენ ვაძლევთ მთელი რიცხვების განმარტებას.

განმარტება 5

ბუნებრივ რიცხვებს, რომლებიც არ არიან მარტივი, ეწოდებათ შედგენილი რიცხვები.

მარტივი რიცხვები: 2, 3, 11, 17, 131, 523. ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე. კომპოზიტური ნომრები: 6, 63, 121, 6697. ანუ რიცხვი 6 შეიძლება დაიშალოს 2-ად და 3-ად, ხოლო 63-ად 1, 3, 7, 9, 21, 63 და 121 11-ად, 11-ად, ანუ მისი გამყოფები იქნება 1, 11, 121. რიცხვი 6697 დაიშლება 37-ად და 181-ად. გაითვალისწინეთ, რომ მარტივი და შედარებით მარტივი რიცხვების ცნებები განსხვავებული ცნებებია.

მარტივი რიცხვების გამოყენების გასაადვილებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ცხრილი:

ცხრილი ყველა არსებული ნატურალური რიცხვისთვის არარეალურია, რადგან მათი რიცხვი უსასრულოა. როდესაც რიცხვები მიაღწევს ზომებს 10000 ან 1000000000, მაშინ უნდა იფიქროთ ერატოსთენეს საცრის გამოყენებაზე.

განვიხილოთ თეორემა, რომელიც ხსნის ბოლო დებულებას.

თეორემა 1

1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვის უმცირესი დადებითი გამყოფი 1-ის გარდა არის მარტივი რიცხვი.

მტკიცებულება 1

დავუშვათ, რომ a არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b არის a-ის უმცირესი არაერთი გამყოფი. უნდა დავამტკიცოთ, რომ b არის მარტივი რიცხვი წინააღმდეგობების მეთოდის გამოყენებით.

ვთქვათ b არის კომპოზიტური რიცხვი. აქედან გვაქვს, რომ არსებობს b-ის გამყოფი, რომელიც განსხვავდება როგორც 1-ისგან, ასევე b-ისგან. ასეთი გამყოფი აღინიშნება როგორც b 1 . აუცილებელია 1 პირობა< b 1 < b დასრულებულია.

ეს ჩანს იმ პირობით, რომ a იყოფა b-ზე, b იყოფა b 1-ზე, რაც ნიშნავს, რომ გაყოფის ცნება ასე გამოიხატება: a = b qდა b = b 1 q 1 , საიდანაც a = b 1 (q 1 q) , სადაც q და q 1არის მთელი რიცხვები. მთელი რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით გვაქვს, რომ მთელი რიცხვების ნამრავლი არის a = b 1 · (q 1 · q) ფორმის ტოლობის მთელი რიცხვი. ჩანს, რომ b 1 არის ა-ს გამყოფი. უტოლობა 1< b 1 < b არაემთხვევა, რადგან მივიღებთ, რომ b არის a-ს ყველაზე პატარა დადებითი არა-1 გამყოფი.

თეორემა 2

უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

მტკიცებულება 2

დავუშვათ, რომ ავიღებთ n ნატურალური რიცხვების სასრულ რაოდენობას და აღვნიშნავთ როგორც p 1 , p 2 , ... , p n . მოდით განვიხილოთ მითითებულიდან განსხვავებული მარტივი რიცხვის პოვნის ვარიანტი.

განვიხილოთ რიცხვი p, რომელიც უდრის p 1 , p 2 , … , p n + 1 . ის არ უდრის p 1 , p 2 , ... , p n ფორმის მარტივ რიცხვებს . რიცხვი p არის მარტივი. მაშინ თეორემა დადასტურებულად ითვლება. თუ ის კომპოზიტურია, მაშინ უნდა ავიღოთ აღნიშვნა p n + 1 და აჩვენეთ გამყოფის შეუსაბამობა რომელიმე p 1 , p 2 , … , p n .

თუ ეს ასე არ იყო, მაშინ ნამრავლის გაყოფის თვისებაზე დაყრდნობით p 1 , p 2 , ... , p n , მივიღებთ, რომ ის იყოფა p n + 1-ზე. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება p n + 1 რიცხვი p გაყოფილი უდრის ჯამს p 1 , p 2 , ... , p n + 1 . მივიღებთ, რომ გამოთქმა p n + 1 ამ ჯამის მეორე წევრი, რომელიც უდრის 1-ს, უნდა გაიყოს, მაგრამ ეს შეუძლებელია.

ჩანს, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი შეიძლება მოიძებნოს მოცემულ მარტივ რიცხვებს შორის. აქედან გამომდინარეობს, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

ვინაიდან უამრავი მარტივი რიცხვია, ცხრილები შემოიფარგლება 100, 1000, 10000 და ა.შ.

მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენისას უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ასეთი დავალება მოითხოვს რიცხვების თანმიმდევრულ შემოწმებას, დაწყებული 2-დან 100-მდე. თუ გამყოფი არ არის, ის ჩაიწერება ცხრილში, თუ კომპოზიტურია, მაშინ არ შეიტანება ცხრილში.

განვიხილოთ ეტაპობრივად.

თუ დაიწყებთ 2 რიცხვით, მაშინ მას აქვს მხოლოდ 2 გამყოფი: 2 და 1, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება შევიდეს ცხრილში. ასევე 3 ნომრით. რიცხვი 4 არის კომპოზიტური, ის უნდა დაიშალოს 2-ად და 2-ად. რიცხვი 5 არის მარტივი, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაფიქსირდეს ცხრილში. გააკეთეთ ეს 100 რიცხვამდე.

ეს მეთოდი არასასიამოვნო და შრომატევადია. მაგიდის გაკეთება შეგიძლიათ, მაგრამ დიდი დროის დახარჯვა მოგიწევთ. აუცილებელია გაყოფის კრიტერიუმების გამოყენება, რაც დააჩქარებს გამყოფების პოვნის პროცესს.

ყველაზე მოსახერხებლად ითვლება ერატოსთენეს საცრის გამოყენებით მეთოდი. მოდით შევხედოთ ქვემოთ მოცემულ ცხრილებს. დასაწყისისთვის იწერება რიცხვები 2, 3, 4, ..., 50.

ახლა თქვენ უნდა გადაკვეთოთ ყველა ის რიცხვი, რომელიც არის 2-ის ჯერადი. გააკეთეთ თანმიმდევრული გადაკვეთა. ჩვენ ვიღებთ ფორმის ცხრილს:

მოდით გადავიდეთ რიცხვების გადაკვეთაზე, რომლებიც 5-ის ჯერადი არიან. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ გადავხაზავთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლდებიან 7-ის, 11-ის. საბოლოოდ მაგიდა ასე გამოიყურება

გადავიდეთ თეორემის ფორმულირებაზე.

თეორემა 3

a საბაზისო რიცხვის უმცირესი დადებითი და არა-1 გამყოფი არ აღემატება a-ს, სადაც a არის მოცემული რიცხვის არითმეტიკული ფესვი.

მტკიცებულება 3

აუცილებელია b აღვნიშნოთ a შედგენილი რიცხვის უმცირესი გამყოფი. არის მთელი რიცხვი q , სადაც a = b · q , და გვაქვს რომ b ≤ q . ფორმის უთანასწორობა b > qრადგან პირობა დარღვეულია. b ≤ q უტოლობის ორივე ნაწილი უნდა გავამრავლოთ ნებისმიერ დადებით რიცხვზე b და არა 1-ის ტოლი. მივიღებთ, რომ b b ≤ b q, სადაც b 2 ≤ a და b ≤ a.

დადასტურებული თეორემიდან ჩანს, რომ ცხრილის რიცხვების გადაკვეთა იწვევს იმ ფაქტს, რომ აუცილებელია დაიწყოს რიცხვი, რომელიც უდრის b 2-ს და აკმაყოფილებს b 2 ≤ a უტოლობას. ანუ თუ გადახაზავთ რიცხვებს, რომლებიც 2-ის ჯერადებია, მაშინ პროცესი იწყება 4-დან, ხოლო 3-ის ნამრავლები იწყება 9-დან და ასე შემდეგ 100-მდე.

ერატოსთენეს თეორემის გამოყენებით ასეთი ცხრილის შედგენა ამბობს, რომ როდესაც ყველა შედგენილი რიცხვი გადახაზულია, დარჩება მარტივი რიცხვები, რომლებიც არ აღემატება n-ს. მაგალითში, სადაც n = 50, გვაქვს, რომ n = 50. აქედან მივიღებთ, რომ ერატოსთენეს საცერი ამოიღებს ყველა შედგენილ რიცხვს, რომელიც არ აღემატება 50-ის ფესვის მნიშვნელობას. ნომრების ძებნა ხდება გადაკვეთით.

ამოხსნამდე აუცილებელია გაირკვეს რიცხვი მარტივია თუ შედგენილი. ხშირად გამოიყენება გაყოფის კრიტერიუმები. მოდით შევხედოთ ამას ქვემოთ მოცემულ მაგალითში.

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ 898989898989898989 შედგენილი რიცხვია.

გადაწყვეტილება

მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამია 9 8 + 9 9 = 9 17 . ასე რომ, რიცხვი 9 17 იყოფა 9-ზე, 9-ზე გაყოფის ნიშნიდან გამომდინარე. აქედან გამომდინარეობს, რომ ის კომპოზიტურია.

ასეთი ნიშნები არ ძალუძს დაამტკიცოს რიცხვის პირველობა. თუ გადამოწმება საჭიროა, სხვა ნაბიჯები უნდა გადაიდგას. ყველაზე შესაფერისი გზაა რიცხვების ჩამოთვლა. პროცესის დროს შეგიძლიათ იპოვოთ მარტივი და შედგენილი რიცხვები. ანუ, მნიშვნელობის რიცხვები არ უნდა აღემატებოდეს a-ს. ანუ რიცხვი a უნდა დაიშალოს პირველ ფაქტორებად. თუ ეს მართალია, მაშინ რიცხვი a შეიძლება ჩაითვალოს უბრალო.

მაგალითი 2

განსაზღვრეთ კომპოზიტური ან მარტივი რიცხვი 11723.

გადაწყვეტილება

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა გამყოფი ნომრისთვის 11723. უნდა შევაფასოთ 11723.

აქედან ვხედავთ, რომ 11723 წ< 200 , то 200 2 = 40 000 და 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

11723 რიცხვის უფრო ზუსტი შეფასებისთვის საჭიროა დაწეროთ გამოხატულება 108 2 = 11 664 და 109 2 = 11 881 , მაშინ 108 2 < 11 723 < 109 2 . აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 წ< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

დაშლისას მივიღებთ, რომ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 7 , 6 . 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 ყველა მარტივი რიცხვია. მთელი ეს პროცესი შეიძლება გამოსახული იყოს, როგორც დაყოფა სვეტით. ანუ გაყავით 11723 19-ზე. რიცხვი 19 მისი ერთ-ერთი ფაქტორია, რადგან ვიღებთ გაყოფას ნაშთის გარეშე. მოდით გამოვსახოთ გაყოფა სვეტით:

აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 არის შედგენილი რიცხვი, რადგან თავის გარდა და 1-ს აქვს გამყოფი 19 .

პასუხი: 11723 არის კომპოზიტური რიცხვი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter