არსებობს სამი ძირითადი თვისება, რომელიც დაკავშირებულია ნებისმიერ რაოდენობასთან:
- სახელი,
- მნიშვნელობა,
- ტიპი.
ღირებულების სახელიშესაძლოა სემანტიკური და სიმბოლური . სემანტიკური სახელის მაგალითია "გაზის წნევა", იგივე რაოდენობის სიმბოლური სახელია R.
Თუ რაოდენობის ღირებულებაარ იცვლება, მაშინ მას უწოდებენ მუდმივ მნიშვნელობას ან მუდმივი . მუდმივის მაგალითია პითაგორას რიცხვი ¶=3.14259... . სიდიდეს, რომლის მნიშვნელობაც შეიძლება შეიცვალოს, ეწოდება ცვლადი . მაგალითად, სხეულის დაცემის პროცესის აღწერაში ცვლადებია სიმაღლე H და დაცემის დრო t.
ტიპიგანსაზღვრავს მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომელიც შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობამ. რაოდენობების ძირითადი ტიპები : რიცხვითი, სიმბოლო, ლოგიკური. ზომები განსაზღვრეთ ერთეულები, რომლებშიც წარმოდგენილია რაოდენობების მნიშვნელობები. მაგალითად, t (s) არის შემოდგომის დრო; H (მ) - დაცემის სიმაღლე.
მათემატიკური მოდელები
თუ რაოდენობებს შორის კავშირი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მათემატიკური ფორმით, მაშინ ეს მათემატიკური მოდელი .
მათემატიკური მოდელი არის ზოგიერთი ობიექტის (პროცესის) რაოდენობრივი მახასიათებლების ერთობლიობა და მათ შორის ურთიერთობა, წარმოდგენილი მათემატიკის ენაზე.
ეს არის დამოკიდებულების მაგალითი, რომელიც წარმოდგენილია ფუნქციური ფორმით. ამ დამოკიდებულებას ეწოდება ფესვის დამოკიდებულება (დრო სიმაღლის კვადრატული ფესვის პროპორციულია).
უფრო რთულ ამოცანებში მათემატიკური მოდელები წარმოდგენილია როგორც განტოლებები ან განტოლებათა სისტემები.
ტაბულური და გრაფიკული მოდელები
ეს არის სხვა, არაფორმულის გზები, რომლებიც წარმოადგენენ რაოდენობებს შორის დამოკიდებულებებს. მაგალითად, გადავწყვიტეთ ექსპერიმენტულად გამოგვემოწმებინა სხეულის თავისუფალი ვარდნის კანონი.
| ექსპერიმენტს ვაწყობთ შემდეგნაირად: 6 მეტრის სიმაღლიდან, 9 მეტრის სიმაღლიდან და ა.შ. (3 მეტრის შემდეგ) დავყრით ფოლადის ბურთს, გავზომოთ ბურთის საწყისი პოზიციის სიმაღლე და დაცემის დრო. ექსპერიმენტის შედეგების მიხედვით შევადგენთ ცხრილს და დავხატავთ გრაფიკს.თუ ამ ცხრილიდან H და t მნიშვნელობების ყოველი წყვილი ჩანაცვლდება ზემოთ მოცემულ ფორმულაში სიმაღლის დროზე დამოკიდებულებისთვის, მაშინ ფორმულა გადაიქცევა ტოლობაში (სიზუსტითგაზომვის შეცდომამდე). ასე რომ, მოდელი კარგად მუშაობს. თუმცა, თუ თქვენ ჩამოაგდებთ არა ფოლადის, არამედ დიდ მსუბუქ ბურთს, მაშინ თანასწორობა არ მიიღწევა, ხოლო თუ ეს არის გასაბერი ბურთი, მაშინ ფორმულის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების მნიშვნელობები ძალიან განსხვავდება. ბევრი. Რატომ ფიქრობ? |  |  |
ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს დამოკიდებულება ნებისმიერი ფიზიკური ბუნების ფენომენზე, რომელიც აღწერილია ცნობილი ფორმულებით.
ინფორმაციის მოდელებს, რომლებიც აღწერს სისტემების განვითარებას დროთა განმავლობაში, აქვთ სპეციალური სახელი: დინამიური მოდელები . ფიზიკაში დინამიური ინფორმაციის მოდელები აღწერს სხეულების მოძრაობას, ბიოლოგიაში - ორგანიზმების ან ცხოველთა პოპულაციების განვითარებას, ქიმიაში - ქიმიური რეაქციების მიმდინარეობას და ა.შ.
სტატისტიკური პროგნოზირების მოდელები
სტატისტიკა- მეცნიერება მასობრივი რაოდენობრივი მონაცემების შეგროვების, გაზომვისა და ანალიზის შესახებ.
არის სამედიცინო სტატისტიკა, ეკონომიკური სტატისტიკა, სოციალური სტატისტიკა და სხვა. სტატისტიკის მათემატიკურ აპარატს ავითარებს მეცნიერება ე.წ მათემატიკის სტატისტიკა
.
| მაგალითად, ნახშირბადის მონოქსიდს აქვს ყველაზე ძლიერი გავლენა ბრონქულ და ფილტვის დაავადებებზე -. ამ ურთიერთობის განსაზღვრის მიზნის დასახვით, სამედიცინო სტატისტიკოსები აგროვებენ მონაცემებს. მიღებული მონაცემები შეიძლება შეჯამდეს ცხრილში, ასევე წარმოდგენილი იყოს სკატერული ნაკვეთის სახით. და როგორ ავაშენოთ ამ ფენომენის მათემატიკური მოდელი? ცხადია, თქვენ უნდა მიიღოთ ფორმულა, რომელიც ასახავს P ქრონიკული პაციენტების რაოდენობის დამოკიდებულებას ნახშირბადის მონოქსიდის C კონცენტრაციაზე. მათემატიკის ენაზე ამას ეწოდება P-ის დამოკიდებულების ფუნქცია C-ზე: P(C). ასეთი ფუნქციის ფორმა უცნობია; ის უნდა ვეძებოთ ექსპერიმენტული მონაცემების შერჩევის მეთოდით. |  |  |
აქედან დაიცავით ძირითადი მოთხოვნები სასურველი ფუნქციისთვის:
ის საკმარისად მარტივი უნდა იყოს შემდგომი გამოთვლების გამოსაყენებლად;
ამ ფუნქციის გრაფიკი უნდა გაიაროს ექსპერიმენტულ წერტილებთან ისე, რომ ამ წერტილების გადახრები გრაფიკიდან მინიმალური და ერთგვაროვანი იყოს. სტატისტიკაში მიღებულ ფუნქციას ჩვეულებრივ უწოდებენ რეგრესიის მოდელი.
მინიმალური კვადრატის მეთოდი
რეგრესიის მოდელი მიიღება ორ ეტაპად:
1) ფუნქციის ტიპის შერჩევა;
2) ფუნქციის პარამეტრების გაანგარიშება.
პირველ პრობლემას არ აქვს მკაცრი გადაწყვეტა.
ყველაზე ხშირად, არჩევანი კეთდება შემდეგ ფუნქციებს შორის:
y \u003d ცული + b - წრფივი ფუნქცია (1-ლი ხარისხის პოლინომი);
y \u003d ცული 2 + bx + c - კვადრატული ფუნქცია
y=a n x n + a (n-1) x n-1 +...+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 -n-ე ხარისხის მრავალწევრი;
y = a ლნ(x) + b - ლოგარითმული ფუნქცია;
y = ae bx - ექსპონენციალური ფუნქცია;
y = ax b არის სიმძლავრის ფუნქცია.
ერთ-ერთი შემოთავაზებული ფუნქციის არჩევის შემდეგ, თქვენ უნდა აირჩიოთ პარამეტრები (a, b, c და ა.შ.), რათა ფუნქცია მაქსიმალურად ახლოს იყოს ექსპერიმენტულ წერტილებთან პარამეტრის გამოთვლის მეთოდის გამოყენებით. ეს მეთოდი შემოგვთავაზა მე-18 საუკუნეში გერმანელმა მათემატიკოსმა კ.გაუსმა. მას უწოდებენ უმცირეს კვადრატების მეთოდს (LSM) და ძალიან ფართოდ გამოიყენება სტატისტიკური მონაცემების დამუშავებაში და ჩაშენებულია მრავალ მათემატიკურ პროგრამულ პაკეტში. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს შემდეგი: ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება აშენდეს უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენებით ექსპერიმენტული წერტილების მოცემული ნაკრებისთვის. მაგრამ გვაკმაყოფილებს თუ არა, ეს უკვე შესაბამისობის კრიტერიუმის საკითხია. ჩვენი მაგალითისთვის განვიხილოთ სამი ფუნქცია, რომელიც აგებულია უმცირესი კვადრატების მეთოდით.
ეს მაჩვენებლები მიღებულია Microsoft Excel-ის ცხრილის გამოყენებით. რეგრესიის მოდელის ნაკვეთი ე.წ ტენდენცია.
ინგლისური სიტყვა "ტენდენცია" შეიძლება ითარგმნოს როგორც "ზოგადი მიმართულება", ან "ტენდენცია".
წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი. ამ გრაფიკიდან ძნელია რაიმეს თქმა ამ ზრდის ბუნების შესახებ. მაგრამ კვადრატული და ექსპონენციალური ტენდენციები დასაჯერებელი.
სქემებზე არის ტენდენციის შედეგად მიღებული მნიშვნელობა. იგი დანიშნულია როგორც R 2. სტატისტიკაში ამას ე.წ დეტერმინიზმის კოეფიციენტი. სწორედ ის განსაზღვრავს, რამდენად წარმატებულია რეგრესიის მოდელი. დეტერმინიზმის კოეფიციენტი ყოველთვის დევს 0-დან 1-მდე დიაპაზონში. რაც უფრო ახლოს არის R2 1-თან, მით უკეთესია რეგრესიის მოდელი.
სამი შერჩეული მოდელიდან R 2-ის მნიშვნელობა ყველაზე მცირეა ხაზოვანი მოდელისთვის. ასე რომ, ის ყველაზე ცუდია. R2-ის მნიშვნელობები დანარჩენი ორი მოდელისთვის საკმაოდ ახლოსაა (განსხვავება 0,01-ზე ნაკლებია). ისინი ერთნაირად წარმატებულები არიან.
რეგრესიული მოდელის პროგნოზირება
რეგრესიული მათემატიკური მოდელის მიღების შემდეგ, შესაძლებელია პროცესის პროგნოზირება გამოთვლებით, ანუ ასთმის სიხშირის შეფასება არა მხოლოდ იმ მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიღებულია გაზომვებით, არამედ სხვა მნიშვნელობებისთვისაც.
თუ პროგნოზი კეთდება ექსპერიმენტული მნიშვნელობების ფარგლებში, მაშინ ამას ე.წ მნიშვნელობის აღდგენა
.
ექსპერიმენტული მონაცემების მიღმა პროგნოზირება ეწოდება ექსტრაპოლაცია.
რეგრესიის მოდელის არსებობისას, ადვილია პროგნოზირება ცხრილების გამოყენებით გამოთვლებით.
ზოგიერთ შემთხვევაში, ექსტრაპოლაცია სიფრთხილით უნდა მოხდეს. ნებისმიერი რეგრესიის მოდელის გამოყენებადობა შეზღუდულია, განსაკუთრებით მის ფარგლებს გარეთ
ექსპერიმენტული ტერიტორია. ჩვენს მაგალითში, ექსტრაპოლაციისას, შორს არ უნდა წავიდეს 5 მგ/მ 3 მნიშვნელობიდან. რა მოხდება ამ ტერიტორიის მოშორებით, ჩვენ არ ვიცით. ნებისმიერი ექსტრაპოლაცია ეყრდნობა ჰიპოთეზას: „დავუშვათ, რომ ნიმუში შენარჩუნებულია ექსპერიმენტული არეალის გარეთ“. რა მოხდება, თუ ის არ არის შენახული?
მაგალითად, კვადრატული მოდელი ჩვენს მაგალითში 0-სთან მიახლოებული კონცენტრაციით გამოიმუშავებს 150 ავადმყოფ ადამიანს, ანუ 5 მგ/მ3-ზე მეტს. ცხადია, ეს სისულელეა. C-ის მცირე მნიშვნელობების რეგიონში ექსპონენციალური მოდელი უკეთ მუშაობს. სხვათა შორის, ეს საკმაოდ ტიპიური სიტუაციაა: მონაცემთა სხვადასხვა სფერო შეიძლება უკეთესად მოერგოს სხვადასხვა მოდელს.
კორელაციური დამოკიდებულებების მოდელირება
დაე, ფაქტორი A იყოს რაიმე რთული სისტემის მნიშვნელოვანი მახასიათებელი. მასზე ერთდროულად მრავალი სხვა ფაქტორი მოქმედებს: B, C, D და ა.შ.
სიდიდეებს შორის ურთიერთობა, რომელთაგან თითოეული ექვემდებარება უკონტროლო გაფანტვას, ეწოდება კორელაციური დამოკიდებულებები.
მათემატიკური სტატისტიკის ფილიალს, რომელიც სწავლობს ასეთ დამოკიდებულებებს, ე.წ კორელაციის ანალიზი.კორელაციური ანალიზი სწავლობს თითოეული სიდიდის ქცევის საშუალო კანონს, რაც დამოკიდებულია სხვა სიდიდის მნიშვნელობებზე, ისევე როგორც ასეთი დამოკიდებულების ზომას.
ფასეულობების კორელაციის შეფასება იწყება ჰიპოთეზის განცხადებით მათ ღირებულებებს შორის ურთიერთობის შესაძლო ბუნების შესახებ. ყველაზე ხშირად, ვარაუდობენ წრფივ ურთიერთობას. ამ შემთხვევაში, კორელაციური დამოკიდებულების საზომი არის მნიშვნელობა ე.წ კორელაციის კოეფიციენტი.
კორელაციის კოეფიციენტი (ჩვეულებრივ აღინიშნება ბერძნული ასოებით ρ ) არის რიცხვი -1-დან +1-მდე დიაპაზონიდან;
თუρ მოდული 1-თან ახლოს, მაშინ არის ძლიერი კორელაცია, თუ 0-მდე, მაშინ სუსტი;
სიახლოვეρ +1-მდე ნიშნავს, რომ ერთი ნაკრების მნიშვნელობების ზრდა შეესაბამება სხვა ნაკრების მნიშვნელობების ზრდას, -1-თან სიახლოვე ნიშნავს, რომ ერთი ნაკრების მნიშვნელობების ზრდა შეესაბამება შემცირებას. სხვა ნაკრების მნიშვნელობები;
მნიშვნელობაρ მარტივი პოვნა Excel-ის გამოყენებით, რადგან შესაბამისი ფორმულები ჩაშენებულია ამ პროგრამაში.
| როგორც რთული სისტემის მაგალითი, განიხილეთ სკოლა. მოდით, სკოლის ეკონომიკური ხარჯები გამოვხატოთ, როგორც რუბლის რაოდენობა, რომელიც დაკავშირებულია სკოლაში მოსწავლეთა რაოდენობასთან (რუბლი/ადამიანი) დახარჯული გარკვეული პერიოდის განმავლობაში (მაგალითად, ბოლო 5 წლის განმავლობაში). დაე, პროგრესი შეფასდეს სკოლის მოსწავლეების საშუალო ქულით, გასული სასწავლო წლის დასრულების შედეგების მიხედვით. მონაცემთა შეგროვების ჯამი 20 სკოლისთვის შევიდა ცხრილებში დაგაფანტული ნაკვეთინაჩვენებია ფიგურებში. ორივე სიდიდის მნიშვნელობები: ფინანსური ხარჯები და სტუდენტის მიღწევები - აქვს მნიშვნელოვანი გაფანტვა და, ერთი შეხედვით, მათ შორის ურთიერთობა არ ჩანს. თუმცა, ის შეიძლება არსებობდეს. Excel-ში კორელაციის კოეფიციენტის გამოთვლის ფუნქციას უწოდებენ კორელიდა შედის სტატისტიკურ ფუნქციების ჯგუფში. მოდით გაჩვენოთ, როგორ გამოიყენოთ იგი. იმავე Excel-ის ფურცელზე, სადაც ცხრილი მდებარეობს, თქვენ უნდა მოათავსოთ კურსორი ნებისმიერ თავისუფალ უჯრედზე და გაუშვათ CORREL ფუნქცია. ის ითხოვს მნიშვნელობების ორ დიაპაზონს. ჩვენ მივუთითებთ, შესაბამისად, B2:B21 და C2:C21. მათი შეყვანის შემდეგ გამოჩნდება პასუხი: p = 0.500273843. ეს მნიშვნელობა მიუთითებს კორელაციის საშუალო დონეს. ახლა განვიხილოთ ორი პარამეტრიდან რომელია: სახელმძღვანელოების თუ კომპიუტერების ხელმისაწვდომობა უფრო კორელაციური, ე.ი. უფრო დიდ გავლენას ახდენს შესრულებაზე Ქვევითფიგურაში ნაჩვენებია ორივე ფაქტორის გაზომვის შედეგები 11 სხვადასხვა სკოლაში. ორივე დამოკიდებულებისთვის მიღებულ იქნა წრფივი კორელაციის კოეფიციენტები. როგორც ცხრილიდან ჩანს, კორელაცია სახელმძღვანელოების ხელმისაწვდომობასა და აკადემიურ მოსწრებას შორის უფრო ძლიერია, ვიდრე კორელაცია კომპიუტერულ უზრუნველყოფასა და აკადემიურ მოსწრებას შორის (თუმცა ორივე კორელაციის კოეფიციენტი არც თუ ისე დიდია). აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წიგნი ამ დროისთვის რჩება ცოდნის უფრო მნიშვნელოვან წყაროდ, ვიდრე კომპიუტერი. |  |
 |  |
ერთი შემთხვევითი ცვლადის დამოკიდებულებას იმ მნიშვნელობებზე, რომლებსაც სხვა შემთხვევითი ცვლადი (ფიზიკური მახასიათებელი) იღებს, სტატისტიკაში ჩვეულებრივ რეგრესიას უწოდებენ. თუ ამ დამოკიდებულებას ეძლევა ანალიტიკური ფორმა, მაშინ პრეზენტაციის ეს ფორმა წარმოდგენილია რეგრესიის განტოლებით.
სხვადასხვა ციფრულ პოპულაციას შორის სავარაუდო ურთიერთობის ძიების პროცედურა ჩვეულებრივ მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:
მათ შორის ურთიერთობის მნიშვნელობის დადგენა;
ამ დამოკიდებულების მათემატიკური გამოხატვის (რეგრესიის განტოლების) სახით წარმოჩენის შესაძლებლობა.
ამ სტატისტიკური ანალიზის პირველი ნაბიჯი ეხება ე.წ. კორელაციის, ანუ კორელაციური დამოკიდებულების იდენტიფიცირებას. კორელაცია განიხილება, როგორც ნიშანი, რომელიც მიუთითებს რიგი რიცხვითი მიმდევრობების ურთიერთობაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კორელაცია ახასიათებს ურთიერთობის სიძლიერეს მონაცემებში. თუ ეს ეხება ორი რიცხვითი მასივის ურთიერთობას xi და yi, მაშინ ასეთ კორელაციას ეწოდება დაწყვილებული.
კორელაციის ძიებისას, ერთი გაზომილი x მნიშვნელობის სავარაუდო კავშირი (მისი ცვლილების გარკვეული შეზღუდული დიაპაზონისთვის, მაგალითად, x1-დან xn-მდე) სხვა გაზომილ მნიშვნელობასთან y (ასევე იცვლება რაღაც ინტერვალში y1 ... yn) ჩვეულებრივ არის. გამოავლინა. ამ შემთხვევაში საქმე გვექნება ორ რიცხვობრივ მიმდევრობასთან, რომელთა შორისაც აუცილებელია სტატისტიკური (კორელაციური) ურთიერთობის არსებობის დადგენა. ამ ეტაპზე, ამოცანა ჯერ არ არის დაყენებული იმის დასადგენად, არის თუ არა ამ შემთხვევითი ცვლაებიდან ერთი ფუნქცია, ხოლო მეორე არის არგუმენტი. მათ შორის რაოდენობრივი კავშირის პოვნა კონკრეტული ანალიტიკური გამოხატვის y = f(x) სახით სხვა ანალიზის, რეგრესიის ამოცანაა.
ᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, კორელაციური ანალიზი ადგენს მონაცემთა x და y წყვილებს შორის კავშირის სიძლიერეს, ხოლო რეგრესიის ანალიზი გამოიყენება ერთი ცვლადის (y) პროგნოზირებისთვის მეორის (x) საფუძველზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ შემთხვევაში, ისინი ცდილობენ გამოავლინონ მიზეზობრივი კავშირი გაანალიზებულ პოპულაციებს შორის.
მკაცრად რომ ვთქვათ, ჩვეულებრივ უნდა განვასხვავოთ ორი ტიპის კავშირი ციფრულ კომპლექტებს შორის - ϶ᴛᴏ შეიძლება იყოს ფუნქციური დამოკიდებულება ან სტატისტიკური (შემთხვევითი). ფუნქციური კავშირის არსებობისას, გავლენის ფაქტორის (არგუმენტის) თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება სხვა ინდიკატორის (ფუნქციის) მკაცრად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ᴛ.ᴇ. ეფექტიანი ატრიბუტის ცვლილება მთლიანად განპირობებულია ფაქტორის ატრიბუტის მოქმედებით.
ანალიტიკურად, ფუნქციური დამოკიდებულება წარმოდგენილია შემდეგი სახით: y = f(x).
სტატისტიკური ურთიერთობის შემთხვევაში, ერთი ფაქტორის მნიშვნელობა შეესაბამება შესასწავლი პარამეტრის გარკვეულ მიახლოებით მნიშვნელობას, მისი ზუსტი მნიშვნელობა არის არაპროგნოზირებადი, არაპროგნოზირებადი და, შესაბამისად, მიღებული ინდიკატორები აღმოჩნდება შემთხვევითი ცვლადები. ეს ნიშნავს, რომ y ეფექტური ატრიბუტის ცვლილება განპირობებულია x ფაქტორის ატრიბუტის გავლენით მხოლოდ ნაწილობრივ, რადგან შესაძლებელია სხვა ფაქტორების გავლენაც, რომელთა წვლილი მითითებულია როგორც є: y = f(x) + є.
მათი ბუნებით, კორელაციები არის ϶ᴛᴏ კორელაციური კავშირები. კომერციული საქმიანობის ინდიკატორებს შორის კორელაციის მაგალითია, მაგალითად, სადისტრიბუციო ხარჯების ოდენობების დამოკიდებულება ვაჭრობის მოცულობაზე. ამასთან დაკავშირებით, x ფაქტორის ნიშნის გარდა (სასაქონლო ბრუნვის მოცულობა), ეფექტურ ნიშანზე y (დისტრიბუციის ხარჯების ჯამი) გავლენას ახდენს სხვა ფაქტორები, მათ შორის გაუთვალისწინებელი ფაქტორები, რომლებიც წარმოქმნიან წვლილს є.
შემთხვევითი ცვლადების შესწავლილ სიმრავლეს შორის კავშირის არსებობის რაოდენობრივი შეფასებისთვის გამოიყენება სპეციალური სტატისტიკური მაჩვენებელი - კორელაციის კოეფიციენტი r.
თუ ვივარაუდებთ, რომ ეს ურთიერთობა შეიძლება აღწერილი იყოს y \u003d a + bx ტიპის წრფივი განტოლებით (სადაც a და b მუდმივებია), მაშინ ჩვეულებრივად უნდა ვისაუბროთ წრფივი კორელაციის არსებობაზე.
კოეფიციენტი r არის განზომილებიანი სიდიდე, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს 0-დან ±1-მდე. რაც უფრო ახლოს არის კოეფიციენტის მნიშვნელობა ერთიანობასთან (არ აქვს მნიშვნელობა რა ნიშნით), მით უფრო დარწმუნებით შეიძლება ამტკიცებდეს, რომ არსებობს წრფივი კავშირი განსახილველ ცვლადების ორ კომპლექტს შორის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთ-ერთი ამ შემთხვევითი ცვლადის (y) მნიშვნელობა არსებითად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მნიშვნელობას იღებს მეორე (x).
თუ აღმოჩნდება, რომ r = 1 (ან -1), მაშინ არის წმინდა ფუნქციონალური დამოკიდებულების კლასიკური შემთხვევა (ᴛ.ᴇ. რეალიზებულია იდეალური ურთიერთობა).
ორგანზომილებიანი scatterplot-ის გაანალიზებისას, შეგიძლიათ იპოვოთ სხვადასხვა ურთიერთობა. უმარტივესი ვარიანტია წრფივი ურთიერთობა, რომელიც გამოიხატება იმით, რომ წერტილები შემთხვევით განლაგებულია სწორი ხაზის გასწვრივ. დიაგრამა არ აჩვენებს ურთიერთობას, თუ წერტილები შემთხვევით არის განლაგებული და არ არის გამოვლენილი დახრილობა (არც ზემოთ და არც ქვემოთ) მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილებისას.
თუ მასზე წერტილები დაჯგუფებულია მრუდი ხაზის გასწვრივ, მაშინ სკატერის დიაგრამა ხასიათდება არაწრფივი ურთიერთობით. ასეთი სიტუაციები სავსებით შესაძლებელია.
რაოდენობები არის ობიექტების რაოდენობრივი მნიშვნელობები, სეგმენტების სიგრძე, დრო, კუთხეები და ა.შ.
განმარტება. მნიშვნელობა - გაზომვის შედეგი, რომელიც წარმოდგენილია რიცხვით და საზომი ერთეულის სახელით.
მაგალითად: 1 კმ; 5 საათი 60 კმ/სთ; 15 კგ; 180°.
რაოდენობებიშეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ან ერთმანეთზე დამოკიდებული. რაოდენობების ურთიერთობა შეიძლება მკაცრად დადგინდეს (მაგალითად, 1 დმ \u003d 10 სმ) ან შეიძლება ასახავდეს რაოდენობებს შორის ურთიერთობას, რომელიც გამოხატულია კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობის განსაზღვრის ფორმულით (მაგალითად, გზა დამოკიდებულია სიჩქარეზე და ხანგრძლივობაზე მოძრაობა; კვადრატის ფართობი - მისი სიგრძის გვერდებზე და ა.შ.).
სიგრძის ზომების მეტრული სისტემის საფუძველი - მეტრი - შემოიღეს რუსეთში XIX საუკუნის დასაწყისში, მანამდე კი სიგრძის გასაზომად გამოიყენებოდა: არშინი (= 71 სმ), ვერსტი (= 1067 მ. ), ირიბი საჟენი (= 2 მ 13 სმ), საფრენი ბორბალი (= 1 მ 76 სმ), მარტივი ფათომი (= 1 მ 52 სმ), მეოთხედი (= 18 სმ), კუბიტი (დაახლოებით 35 სმ-დან 46 სმ-მდე), სიგრძე (18 სმ-დან 23 სმ-მდე).
როგორც ხედავთ, ბევრი იყო რაოდენობებისიგრძის გასაზომად. ზომების მეტრიკული სისტემის დანერგვით, სიგრძის მნიშვნელობების დამოკიდებულება მკაცრად ფიქსირდება:
- 1 კმ = 1000 მ; 1 მ = 100 სმ;
- 1 დმ = 10 სმ; 1 სმ = 10 მმ.
ზომების მეტრულ სისტემაში განსაზღვრულია დროის, სიგრძის, მასის, მოცულობის, ფართობის და სიჩქარის საზომი ერთეულები.
ორ ან მეტ რაოდენობას ან ზომების სისტემას შორის ასევე შესაძლებელია დაამყაროს ურთიერთობა, ის ფიქსირდება ფორმულებში და ფორმულები მიღებულია ემპირიულად.
განმარტება. ორ ურთიერთდამოკიდებულ რაოდენობას უწოდებენ პროპორციულითუ მათი მნიშვნელობების თანაფარდობა უცვლელი რჩება.
ორი სიდიდის მუდმივ თანაფარდობას პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. პროპორციულობის ფაქტორიგვიჩვენებს ერთი სიდიდის რამდენი ერთეულია მეორე სიდიდის ერთეულზე. თუ კოეფიციენტები ტოლია. ეს ურთიერთობა თანაბარია.
მანძილი არის მოძრაობის სიჩქარისა და დროის პროდუქტი: აქედან გამომდინარეობს მოძრაობის ძირითადი ფორმულა:
სადაც ს- გზა; ვ- სიჩქარე; ტ- დრო.
მოძრაობის ძირითადი ფორმულა არის მანძილის დამოკიდებულება მოძრაობის სიჩქარეზე და დროზე. ამ დამოკიდებულებას ე.წ ცხარე პროპორციული.
განმარტება. ორი ცვლადი პირდაპირპროპორციულია, თუ ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (ან შემცირებით), მეორე მნიშვნელობა იზრდება (ან მცირდება) იმავე ოდენობით; იმათ. ასეთი რაოდენობების შესაბამისი მნიშვნელობების თანაფარდობა არის მუდმივი მნიშვნელობა.
მუდმივ მანძილზე სიჩქარე და დრო დაკავშირებულია სხვა ურთიერთობით, რომელსაც ე.წ უკუპროპორციულია.
წესი. ორი ცვლადი უკუპროპორციულია, თუ ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (ან შემცირებით), მეორე მნიშვნელობა მცირდება (ან იზრდება) იმავე ოდენობით; იმათ. ასეთი რაოდენობების შესაბამისი მნიშვნელობების პროდუქტი არის მუდმივი მნიშვნელობა.
მოძრაობის ფორმულიდან შეიძლება გამოვიდეს კიდევ ორი მიმართება, რომელიც გამოხატავს მათში შემავალი რაოდენობების პირდაპირ და შებრუნებულ დამოკიდებულებას:
t=S:V- მოგზაურობის დრო პირდაპირი თანაფარდობითგზა გაიარა და პირიქითმოძრაობის სიჩქარე (გზის იგივე სეგმენტებისთვის, რაც უფრო დიდია სიჩქარე, მით ნაკლები დროა საჭირო მანძილის დასაძლევად).
V=S:t- მოძრაობის სიჩქარე პირდაპირპროპორციულიაგზა გაიარა და უკუპროპორციულიამოგზაურობის დრო (გზის იგივე სეგმენტებისთვის, მით მეტი
როდესაც ობიექტი მოძრაობს, მით ნაკლები სიჩქარეა საჭირო მანძილების დასაძლევად).
მოძრაობის სამივე ფორმულა ექვივალენტურია და გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად.
საგანი: მათემატიკა
კლასი: 4
გაკვეთილის თემა: კავშირი სიჩქარეს, გავლილ მანძილსა და დროს
მოძრაობა.
მიზანი: გამოავლინოს და დაასაბუთოს ურთიერთობა სიდიდეებს შორის: სიჩქარე, დრო,
მანძილი;
ამოცანები: ხელი შეუწყოს არასტანდარტული აზროვნების განვითარებას, დასკვნების გამოტანის უნარს,
მიზეზი; წვლილი შეიტანოს შემეცნებითი აქტივობის აღზრდაში.
აღჭურვილობა: ინდივიდუალური ბარათები სხვადასხვა ფერში, შეფასების კრიტერიუმები,
ასახვის ბარათი, ორი ფერის წრეები.
გაკვეთილების დროს.
1. საორგანიზაციო მომენტი.
ბარათი ორ ფერში: ყვითელი და ლურჯი. აჩვენე შენი განწყობა ბარათით
გაკვეთილის დასაწყისში და ბოლოს.
ბარათის შევსება გაკვეთილის დასაწყისში (დანართი 1.)
არა დამტკიცება
გაკვეთილის დასასრული
გაკვეთილის დაწყება
დიახ
არა
არ ვიცი დიახ
არა არა
მე ვიცი
1. მე ვიცი ყველა ფორმულა
მოძრაობის ამოცანები
2. მესმის გადაწყვეტილება
მოძრაობის ამოცანები
3. მე შემიძლია თავად გადავწყვიტო
დავალებები
4. შემიძლია შედგენა
დავალებების სქემები
მოძრაობა
5. ვიცი რა შეცდომები
აღიაროს გადაწყვეტილებაში
მოძრაობის ამოცანები
2. გამეორება.
როგორ მოვძებნოთ სიჩქარე? დრო? მანძილი?
რა არის სიჩქარის, მანძილის, დროის საზომი ერთეულები.
3. გაკვეთილის თემის მესიჯი.
რას ვისწავლით კლასში?
4. ჯგუფში მუშაობა.
მოძრაობის ობიექტების დაკავშირება (დანართი 2)
ფეხით მოსიარულეთა 70 კმ/სთ
მოთხილამურე 5 კმ/სთ
მანქანა 10 კმ/სთ
რეაქტიული თვითმფრინავი 12 კმ/სთ
მატარებელი 50 კმ/სთ
ლოკოკინა 900კმ/სთ
ცხენი 90 კმ/სთ
სამუშაოს შემოწმება.
5. მათემატიკური თავსატეხი (დამოუკიდებელი სამუშაო)
რამდენად ნაკლებია ველოსიპედისტის სიჩქარე მატარებლის სიჩქარეზე?
რამდენი კილომეტრია მოთხილამურეს სიჩქარე სიარულის სიჩქარეზე?
რამდენჯერ ნაკლებია მანქანის სიჩქარე რეაქტიული თვითმფრინავის სიჩქარეზე?
იპოვნეთ ყველაზე სწრაფად მოძრავი სატრანსპორტო საშუალების და ყველაზე სწრაფი კომბინირებული სიჩქარე
ნელი.
იპოვეთ ველოსიპედისტი და მოთხილამურე მატარებლის კომბინირებული სიჩქარე.
6. სამუშაოების თვითშემოწმება კრიტერიუმების მიხედვით.
7. ფიზიკური წუთი.
კვადრატის წითელი ფერი დგას
მწვანე - წავიდეთ
ყვითელი - 1-ჯერ დაუკრათ ტაში
8. ჯგუფში მუშაობა. (ბარათი ყვითელი) (ჯეგსო მეთოდი)
დავალება.
ორი ქალი ამტკიცებდა, რომ სტუპა თუ პომელო უფრო სწრაფი იყო? Იგივე
228 კმ მანძილი ბაბაიაგამ ნაღმტყორცნებიდან 4 საათში დაფარა, ხოლო ცოცხზე ბაბაიგამ 3 საათში. Რა
მეტი სიჩქარის სტუპა თუ პომელო?
9. მუშაობა წყვილში „ექსპერიმენტი“.
შექმენით მოძრაობის პრობლემა შემდეგი მნიშვნელობების გამოყენებით: 18 კმ/სთ, 4 სთ, 24 კმ, 3 სთ.
სამუშაოს შემოწმება.
10. ტესტი.
1. ჩაწერეთ სიჩქარის პოვნის ფორმულა.
2. ჩამოწერეთ დროის გამოძებნის ფორმულა.
3. როგორ მოვძებნოთ მანძილი? ჩამოწერეთ ფორმულა.
4. ჩაწერეთ 8 კმ/წთ კმ/სთ-ში
5. იპოვეთ დრო, რომელიც სჭირდება ფეხით მოსიარულეს 42 კმ სიარულისთვის, მოძრაობს 5 კმ/სთ სიჩქარით.
6. რა მანძილზე გაივლის ფეხით მოსიარულე, რომელიც 6 საათის განმავლობაში მოძრაობს 5 კმ/სთ სიჩქარით?
11. გაკვეთილის შედეგი.
შეავსეთ ცხრილი, რა შედეგებით მივედით გაკვეთილის ბოლოს.
აჩვენეთ ბარათი, რომელიც შეესაბამება თქვენს განწყობას.
გაკვეთილის დაწყება
დიახ
არა
დანართი 1.
გაკვეთილის დასასრული
არ ვიცი დიახ
არა დამტკიცება
1. მე ვიცი ყველა ფორმულა
მოძრაობის ამოცანები
2. მესმის გადაწყვეტილება
მოძრაობის ამოცანები
3. მე შემიძლია თავად გადავწყვიტო
დავალებები
4. შემიძლია შედგენა
დავალებების სქემები
მოძრაობა
5. ვიცი რა შეცდომები
აღიაროს გადაწყვეტილებაში
მოძრაობის ამოცანები
შეაერთეთ მოძრაობის ობიექტები.
ფეხით მოსიარულეთა 70 კმ/სთ
მოთხილამურე 5 კმ/სთ
მანქანა 10 კმ/სთ
რეაქტიული თვითმფრინავი 12 კმ/სთ
მატარებელი 50 კმ/სთ
ლოკოკინა 900კმ/სთ
ცხენი 90 კმ/სთ
არა არა
მე ვიცი
დანართი 2
