მათემატიკური ანალიზის ფუნდამენტური სახელმძღვანელო, რომელმაც გამოიარა მრავალი გამოცემა და ითარგმნა არაერთ უცხო ენაზე, გამოირჩევა, ერთის მხრივ, სისტემატური და მკაცრი წარმოდგენით, ხოლო მეორე მხრივ, მარტივი ენით, დეტალური განმარტებებით. და თეორიის ამსახველი მრავალი მაგალითი.
კურსი განკუთვნილია უნივერსიტეტების, პედაგოგიური და ტექნიკური უნივერსიტეტების სტუდენტებისთვის და დიდი ხანია გამოიყენება სხვადასხვა საგანმანათლებლო დაწესებულებებში, როგორც ერთ-ერთი მთავარი სასწავლო საშუალება. იგი საშუალებას აძლევს სტუდენტს არა მარტო დაეუფლოს თეორიულ მასალას, არამედ შეიძინოს უმნიშვნელოვანესი პრაქტიკული უნარ-ჩვევები. მათემატიკოსების კურსს ძალიან აფასებენ, როგორც სხვადასხვა ანალიზის ფაქტების უნიკალურ კოლექციას, რომელთაგან ზოგიერთი ვერ მოიძებნება სხვა წიგნებში რუსულ ენაზე.
პირველი გამოცემა 1948 წელს გამოჩნდა.
რედაქტორის წინასიტყვაობა
დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსიგრიგორი მიხაილოვიჩ ფიხტენგოლცი არის სამეცნიერო და პედაგოგიური ლიტერატურის გამორჩეული ნაშრომი, რომელმაც გამოიარა მრავალი გამოცემა და ითარგმნა მრავალ უცხო ენაზე. კურსი უბადლოა ფაქტობრივი მასალის მოცულობით, გეომეტრიაში, ალგებრაში, მექანიკაში, ფიზიკასა და ტექნოლოგიაში ზოგადი თეორემების სხვადასხვა გამოყენების რაოდენობით. ბევრი ცნობილი თანამედროვე მათემატიკოსი აღნიშნავს, რომ სწორედ ფიხტენგოლზის კურსმა ჩაუნერგა მათ გემოვნება და სიყვარული მათემატიკური ანალიზის მიმართ სტუდენტობის წლებში და მისცა მათ ამ საგნის პირველი ნათელი გაგება.
კურსის პირველი გამოცემიდან გასული 50 წლის განმავლობაში, მისი ტექსტი პრაქტიკულად არ არის მოძველებული და ამ დროისთვის მისი გამოყენება ჯერ კიდევ შესაძლებელია და გამოიყენება როგორც უნივერსიტეტების, ასევე სხვადასხვა ტექნიკური და პედაგოგიური უნივერსიტეტების სტუდენტების მიერ. ძირითადი სასწავლო საშუალებები მათემატიკური ანალიზისა და უმაღლესი განათლების კურსში.მათემატიკა. უფრო მეტიც, ახალი კარგი სახელმძღვანელოების გამოჩენის მიუხედავად, G. M. Fikhtengolts კურსის მკითხველი მისი არსებობის განმავლობაში მხოლოდ გაფართოვდა და ახლა მოიცავს სტუდენტებს ფიზიკისა და მათემატიკის ლიცეუმებიდან, ინჟინრების მათემატიკური კვალიფიკაციის კურსების სტუდენტებს.
კურსზე მოთხოვნის მაღალი დონე განპირობებულია მისი უნიკალური მახასიათებლებით. კურსში შემავალი ძირითადი თეორიული მასალაა თანამედროვე მათემატიკური ანალიზის კლასიკური ნაწილი, რომელიც საბოლოოდ ჩამოყალიბდა მე-20 საუკუნის დასაწყისში (არ შეიცავს ზომების თეორიას და სიმრავლეების ზოგად თეორიას). ანალიზის ეს ნაწილი ისწავლება უნივერსიტეტების პირველ ორ კურსში და შედის (მთლიანად ან დიდწილად) ყველა ტექნიკური და პედაგოგიური უნივერსიტეტის პროგრამებში. კურსის I ტომი მოიცავს ერთი და რამდენიმე რეალური ცვლადის დიფერენციალურ გამოთვლას და მის ძირითად აპლიკაციებს, II ტომი ეძღვნება რიმანის ინტეგრალის თეორიას და სერიების თეორიას, III ტომი - მრავლობითი, მრუდი და ზედაპირული ინტეგრალებისთვის, Stieltjes. ინტეგრალი, სერია და ფურიეს ტრანსფორმაცია.
მაგალითებისა და აპლიკაციების დიდი რაოდენობა, როგორც წესი, ძალიან საინტერესოა, რომელთაგან ზოგიერთი ვერ მოიძებნება სხვა ლიტერატურაში რუსულ ენაზე, არის ზემოთ ნახსენები კურსის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელი.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელია მასალის ხელმისაწვდომობა, დეტალური და საფუძვლიანი პრეზენტაცია. კურსის მნიშვნელოვანი მოცულობა არ ხდება მისი ასიმილაციის შემაფერხებელი. პირიქით, ის საშუალებას აძლევს ავტორს საკმარისად ყურადღება მიაქციოს ახალი განმარტებებისა და პრობლემური განცხადებების მოტივებს, ძირითადი თეორემების დეტალურ და საფუძვლიან მტკიცებულებებს და ბევრ სხვა ასპექტს, რაც მკითხველს გაუადვილებს საგნის გაგებას. ზოგადად, სიცხადისა და პრეზენტაციის სიმკაცრის შერწყმის პრობლემა (ამ უკანასკნელის არარსებობა უბრალოდ მათემატიკური ფაქტების დამახინჯებას იწვევს) კარგად არის ცნობილი ნებისმიერი მასწავლებლისთვის. გრიგორი მიხაილოვიჩის უზარმაზარი პედაგოგიური ოსტატობა საშუალებას აძლევს მას მთელი კურსის განმავლობაში მოიყვანოს ამ პრობლემის გადაჭრის მრავალი მაგალითი; სხვა გარემოებებთან ერთად, ეს ხდის კურსს ახალბედა ლექტორისთვის შეუცვლელ მოდელად და უმაღლესი მათემატიკის სწავლების მეთოდოლოგიის სპეციალისტებისთვის კვლევის ობიექტად.
კურსის კიდევ ერთი მახასიათებელია სიმრავლეების თეორიის ნებისმიერი ელემენტის (მათ შორის აღნიშვნის) ძალიან მცირე გამოყენება. ამავდროულად, შენარჩუნებულია პრეზენტაციის სრული სიმკაცრე; ზოგადად, ისევე როგორც 50 წლის წინ, ეს მიდგომა მკითხველთა მნიშვნელოვან ნაწილს უადვილებს საგნის საწყის ეტაპზე ათვისებას.
G. M. Fikhtengolts-ის კურსის ახალ გამოცემაში, რომელიც მკითხველის ყურადღების ცენტრშია, აღმოფხვრილია რიგ წინა გამოცემაში აღმოჩენილი ტიპოგრაფიული შეცდომები. გარდა ამისა, პუბლიკაციას მიეწოდება მოკლე კომენტარები ტექსტში იმ ადგილებთან დაკავშირებით (ძალიან ცოტა), რომლებთან მუშაობისას მკითხველს შეიძლება შეექმნას გარკვეული უხერხულობა; შენიშვნები კეთდება, კერძოდ, იმ შემთხვევებში, როდესაც ავტორის მიერ გამოყენებული სიტყვის ტერმინი ან მონაცვლეობა გარკვეულწილად განსხვავდება ამჟამად ყველაზე გავრცელებულისგან. შენიშვნების შინაარსზე პასუხისმგებლობა მთლიანად ეკისრება გამოცემის რედაქტორს.
რედაქტორი ღრმად მადლიერია პროფესორ ბ.მ. მაკაროვის, რომელმაც წაიკითხა ყველა ჩანაწერის ტექსტი და გამოთქვა არაერთი ღირებული მოსაზრება. ასევე მინდა მადლობა გადავუხადო სანქტ-პეტერბურგის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მათემატიკისა და მექანიკის ფაკულტეტის მათემატიკური ანალიზის კათედრის ყველა თანამშრომელს, რომელმაც ამ სტრიქონების ავტორთან განიხილა სხვადასხვა საკითხები, რომლებიც დაკავშირებულია წინა გამოცემების ტექსტებთან და იდეასთან. კურსის ახალი გამოცემა.
რედაქტორები წინასწარ მადლობას უხდიან ყველა მკითხველს, ვისაც სურს კიდევ უფრო გააუმჯობესოს პუბლიკაციის ხარისხი თავისი კომენტარებით.
ა.ა.ფლორინსკი
ფიხთენგოლც გ.მ. (2003) დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსი. T.1.
წიგნები. ჩამოტვირთეთ DJVU წიგნები, PDF უფასოდ. უფასო ელექტრონული ბიბლიოთეკა
გ.მ. ფიხტენგოლცი, დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსი (ტომი 2)
შეგიძლიათ (პროგრამა მონიშნავს ყვითლად)
თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ უმაღლესი მათემატიკის წიგნების სია დალაგებული ანბანურად.
შეგიძლიათ ნახოთ უმაღლესი ფიზიკის წიგნების სია დალაგებული ანბანურად.
Ქალბატონებო და ბატონებო!! იმისათვის, რომ ჩამოტვირთოთ ელექტრონული პუბლიკაციების ფაილები „შეფერხებების“ გარეშე, დააწკაპუნეთ ფაილის ხაზგასმულ ბმულზე მაუსის მარჯვენა ღილაკიაირჩიეთ ბრძანება "სამიზნის შენახვა როგორც ..." ("სამიზნის შენახვა როგორც...") და შეინახეთ e-pub ფაილი თქვენს ადგილობრივ კომპიუტერში. ელექტრონული პუბლიკაციები, როგორც წესი, არის Adobe PDF და DJVU ფორმატებში.
თავი მერვე. წარმოებული ფუნქცია (განუსაზღვრელი ინტეგრალი)
§ 1. განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მისი გამოთვლის უმარტივესი მეთოდები
263. ანტიწარმოებული ფუნქციის (და განუსაზღვრელი ინტეგრალის) ცნება.
264. ინტეგრალი და ფართობის პრობლემა
265. ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი
266. ინტეგრაციის უმარტივესი წესები
267. მაგალითები
268. ინტეგრაცია ცვლადის ცვლილებით
269. მაგალითები
270. ინტეგრაცია ნაწილებით
271. მაგალითები
§ 2. რაციონალური გამონათქვამების ინტეგრაცია
272. ინტეგრაციის პრობლემის ჩამოყალიბება საბოლოო ფორმით
273. მარტივი წილადები და მათი ინტეგრაცია
274. სათანადო წილადების დაშლა მარტივებად
275. კოეფიციენტების დადგენა. სათანადო წილადების ინტეგრაცია
276. ინტეგრალის რაციონალური ნაწილის გამოყოფა
277. მაგალითები
§ 3. რადიკალების შემცველი ზოგიერთი გამონათქვამის ინტეგრაცია
278. გამოთქმათა ინტეგრაცია
279. ბინომალური დიფერენციალთა ინტეგრაცია. მაგალითები
280. შემცირების ფორმულები
281. გამოთქმათა ინტეგრაცია. ეილერის ჩანაცვლება
282. ეილერის ჩანაცვლების გეომეტრიული დამუშავება
283. მაგალითები
284. გაანგარიშების სხვა მეთოდები
285. მაგალითები
§ 4. ტრიგონომეტრიული და ექსპონენციალური ფუნქციების შემცველი გამონათქვამების ინტეგრაცია
286. დიფერენციალთა ინტეგრაცია R(sin x, cos x)
287. გამოთქმათა ინტეგრაცია
288. მაგალითები
289. სხვა საქმეების განხილვა
§ 5. ელიფსური ინტეგრალები
290. ზოგადი შენიშვნები და განმარტებები
291. დამხმარე გარდაქმნები
292. კანონიკურ ფორმამდე შემცირება
293. 1-ლი, მე-2 და მე-3 სახის ელიფსური ინტეგრალები
თავი მეცხრე. DEFINITION INTEGRAL
§ 1. განსაზღვრული ინტეგრალის არსებობის განმარტება და პირობები
294. ტერიტორიის პრობლემის კიდევ ერთი მიდგომა
295. განმარტება
296. დარბოს ჯამები
297. ინტეგრალის არსებობის პირობა
298. ინტეგრირებადი ფუნქციების კლასები
299. ინტეგრირებადი ფუნქციების თვისებები
300. მაგალითები და დამატებები
301. ქვედა და ზედა ინტეგრალები ლიმიტების სახით
§ 2. განსაზღვრული ინტეგრალების თვისებები
302. ინტეგრალი ორიენტირებულ ინტერვალზე
303. ტოლობებით გამოხატული თვისებები
304. უტოლობებით გამოხატული თვისებები PO
305. განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც ფუნქცია ზედა ლიმიტის
306. მეორე საშუალო მნიშვნელობის თეორემა
§ 3. განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა და გარდაქმნა
307. გამოთვლა ინტეგრალური ჯამების დახმარებით
308. ინტეგრალური გამოთვლის ძირითადი ფორმულა
309. მაგალითები
310. მთავარი ფორმულის კიდევ ერთი წარმოშობა
311. შემცირების ფორმულები
312. მაგალითები
313. განსაზღვრულ ინტეგრალში ცვლადის ცვლილების ფორმულა
314. მაგალითები
315. გაუსის ფორმულა. ლანდენის ტრანსფორმაცია
316. ცვლადის ფორმულის ცვლილების კიდევ ერთი წარმოშობა
§ 4. განსაზღვრული ინტეგრალების ზოგიერთი გამოყენება
317. უოლისის ფორმულა
318. ტეილორის ფორმულა დამატებითი ტერმინით
319. რიცხვის ტრანსცენდენცია ე
320. ლეჟანდრის პოლინომები
321. ინტეგრალური უტოლობები
§ 5. ინტეგრალების სავარაუდო გამოთვლა
322. პრობლემის განცხადება. ფორმულები მართკუთხედებისა და ტრაპეციებისთვის
323 პარაბოლური ინტერპოლაცია
324. ინტეგრაციის ინტერვალის გაყოფა
325. ოთხკუთხედების ფორმულის დამატებითი წევრი
326. ტრაპეციის ფორმულის დამატებითი ვადა
327. სიმპსონის ფორმულის დამატებითი ვადა
328. მაგალითები
თავი მეათე. ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება გეომეტრიაში, მექანიკასა და ფიზიკაში
§ 1. მრუდის სიგრძე
329 მრუდის სიგრძის გამოთვლა
330. კიდევ ერთი მიდგომა მრუდის სიგრძის ცნების განსაზღვრისა და მისი გამოთვლისადმი
331. მაგალითები
332. სიბრტყის მრუდის ბუნებრივი განტოლება
333. მაგალითები
334. სივრცის მრუდის რკალის სიგრძე
§ 2. ფართობები და ტომები
335. ფართობის ცნების განმარტება. დანამატის თვისება
336. ფართობი, როგორც ლიმიტი
337. კვადრატული რეგიონების კლასები
338. ფართობის გამოხატვა ინტეგრალის მიხედვით
339. მაგალითები
340. მოცულობის ცნების განმარტება. მისი თვისებები
341. მოცულობის მქონე სხეულთა კლასები
342. მოცულობის გამოხატვა ინტეგრალით
343. მაგალითები
344. ბრუნვის ზედაპირის ფართობი
345. მაგალითები
346. ცილინდრული ზედაპირის ფართობი
347. მაგალითები
§ 3. მექანიკური და ფიზიკური სიდიდეების გამოთვლა
348. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენების სქემა
349. მრუდის სტატიკური მომენტებისა და სიმძიმის ცენტრის პოვნა
350. მაგალითები
351. სიბრტყე ფიგურის სტატიკური მომენტებისა და სიმძიმის ცენტრის პოვნა
352. მაგალითები
353. მექანიკური სამუშაო
354. მაგალითები
355. ხახუნის ძალის მუშაობა ბრტყელ ქუსლში
356. უსასრულო ელემენტების ჯამის ამოცანები
§ 4. უმარტივესი დიფერენციალური განტოლებები
357. ძირითადი ცნებები. პირველი რიგის განტოლებები
358. პირველი ხარისხის განტოლებები წარმოებულის მიმართ. ცვლადების გამოყოფა
359. ამოცანები
360. შენიშვნები დიფერენციალური განტოლებების შედგენის შესახებ
361. ამოცანები
თავი მეთერთმეტე. გაუთავებელი რიგები მუდმივი წევრებით
§ 1. შესავალი
362. ძირითადი ცნებები
363. მაგალითები
364. ფუნდამენტური თეორემები
§ 2. დადებითი სერიების კონვერგენცია
365. პოზიტიური სერიის კონვერგენციის პირობა
366. სერიების შედარების თეორემები
367. მაგალითები
368. კოშისა და დ'ალბერტის ნიშნები
369. ნიშანი რააბისა
370. მაგალითები
371. კუმერის ნიშანი
372. გაუსის ნიშანი
373. მაკლორინ-კოშის ინტეგრალური ნიშანი
374. ერმაკოვის ნიშანი
375. დამატებები
§ 3. თვითნებური სერიების კონვერგენცია
376. სერიის კონვერგენციის ზოგადი პირობა
377. აბსოლუტური კონვერგენცია
378. მაგალითები
379. სიმძლავრის სერია, მისი კონვერგენციის ინტერვალი
380. კონვერგენციის რადიუსის გამოხატვა კოეფიციენტებით
381. ალტერნატიული სერია
382. მაგალითები
383. აბელის ტრანსფორმაცია
384. აბელისა და დირიხლეტის ნიშნები
385. მაგალითები
§ 4. კონვერგენტული რიგის თვისებები
386. ასოციაციური საკუთრება
387. აბსოლუტურად კონვერგენტული რიგის კომუტაციური თვისება
388. არააბსოლუტურად კონვერგენტული სერიების შემთხვევა
389. რიგების გამრავლება
390. მაგალითები
391. ზოგადი თეორემა ზღვრების თეორიიდან
392. სერიების გამრავლების შემდგომი თეორემები
§ 5. განმეორებითი და ორმაგი რიგები
393. განმეორებითი რიგები
394. ორმაგი რიგები
395. მაგალითები
396 სიმძლავრის სერია ორი ცვლადით; კონვერგენციის რეგიონი
397. მაგალითები
398. მრავალი მწკრივი
§ 6. უსასრულო პროდუქტები
399. ძირითადი ცნებები
400. მაგალითები
401. ძირითადი თეორემები. რიგებთან ურთიერთობა
402. მაგალითები
§ 7. ელემენტარული ფუნქციების გაფართოებები
403. ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში; ტეილორის სერია
404. გაფართოება ექსპონენციალური, ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სერიაში და სხვ.
405. ლოგარითმული სერია
406. სტერლინგის ფორმულა
407. Binomial Series
408. სინუსის და კოსინუსის დაშლა უსასრულო ნაწარმოებად
§ 8. მიახლოებითი გამოთვლები სერიების დახმარებით. სერიის კონვერტაცია
409. ზოგადი შენიშვნები
410. ტტ-ის რაოდენობის გამოთვლა
411. ლოგარითმების გამოთვლა
412. ფესვების გამოთვლა
413. ეილერის სერიის ტრანსფორმაცია
414. მაგალითები
415. კუმერის ტრანსფორმაცია
416. მარკოვის ტრანსფორმაცია
§ 9. განსხვავებული სერიების შეჯამება
417. შესავალი
418. დენის სერიის მეთოდი
419. ტაუბერის თეორემა
420. საშუალო არითმეტიკული მეთოდი
421. კავშირი პუასონ-აბელისა და ცეზაროს მეთოდებს შორის
422. ჰარდი-ლანდაუს თეორემა
423. განზოგადებული ჯამის გამოყენება რიგის გამრავლებაზე
424. სერიების განზოგადებული შეჯამების სხვა მეთოდები
425. მაგალითები
426. წრფივი რეგულარული შეჯამების მეთოდების ზოგადი კლასი
თავი მეთორმეტე. ფუნქციური მიმდევრობები და სერიები
§ 1. ერთიანი კონვერგენცია
427. შესავალი შენიშვნები
428. ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი კონვერგენცია
429. ერთგვაროვანი კონვერგენციის პირობა
430. სერიების ერთიანი კონვერგენციის კრიტერიუმები
§ 2. რიგის ჯამის ფუნქციური თვისებები
431. რიგის ჯამის უწყვეტობა
432. შენიშვნა კვაზიერთგვაროვან კონვერგენციაზე
433. ლიმიტზე გადასვლა ვადის მიხედვით
434. სერიის Termwise Integration
435. სერიის ტერმინთა დიფერენციაცია
436. თანმიმდევრობა თვალსაზრისი
437. სიმძლავრის რიგის ჯამის უწყვეტობა
438. სიმძლავრის სერიების ინტეგრაცია და დიფერენციაცია
§ 3. განაცხადები
439. მაგალითები რიგის ჯამის უწყვეტობისა და ტერმინების მიხედვით ზღვრულ ტერმინზე გადასვლის შესახებ.
440. სერიების ტერმინი-ტერმინი ინტეგრაციის მაგალითები
441. სერიების ტერმინებით დიფერენცირების მაგალითები
442. თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდი იმპლიციტური ფუნქციების თეორიაში
443. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ანალიტიკური განმარტება
444. წარმოებულის გარეშე უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი
§ 4. დამატებითი ინფორმაცია სიმძლავრის სერიების შესახებ
445. მოქმედებები სიმძლავრის სერიებზე
446. მწკრივის მწკრივად ჩანაცვლება
447. მაგალითები
448. სიმძლავრის სერიის დაყოფა
449. ბერნულის რიცხვები და გაფართოებები, რომლებშიც ისინი ჩნდებიან
450. განტოლებების სერიებში ამოხსნა
451. დენის სერიის ინვერსია
452. ლაგრანჟის სერია
§ 5. რთული ცვლადის ელემენტარული ფუნქციები
453. რთული რიცხვები
454. რთული ვარიანტი და მისი ლიმიტი
455. რთული ცვლადის ფუნქციები
456. Power Series
457. ექსპონენციალური ფუნქცია
458. ლოგარითმული ფუნქცია
459. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და მათი ინვერსიები
460. დენის ფუნქცია
461. მაგალითები
§ 6. კონვერტული და ასიმპტომური სერია. ეილერ-მაკლაურინის ფორმულა
462. მაგალითები
463. განმარტებები
464. ასიმპტომური გაფართოებების ძირითადი თვისებები
465. ეილერ-მაკლაურინის ფორმულის წარმოშობა
466. დამატებითი წევრის შესწავლა
467. ეილერ-მაკლაურინის ფორმულის გამოყენებით გამოთვლების მაგალითები
468. ეილერ-მაკლაურინის ფორმულის კიდევ ერთი ფორმა
469. სტერლინგის ფორმულა და სერია
თავი მეცამეტე. არასწორი ინტეგრალები
§ 1. უსასრულო ზღვრებით არასწორი ინტეგრალები
470. ინტეგრალების განმარტება უსასრულო ზღვრებით
471. ინტეგრალური გამოთვლის ძირითადი ფორმულის გამოყენება
472. მაგალითები
473. ანალოგია სერიასთან. უმარტივესი თეორემები
474. ინტეგრალის კონვერგენცია დადებითი ფუნქციის შემთხვევაში
475. ინტეგრალის დაახლოება ზოგად საქმეში
476. აბელისა და დირიხლეტის ნიშნები
477. არასწორი ინტეგრალის დაყვანა უსასრულო სერიებამდე
478. მაგალითები
§ 2. შეუზღუდავი ფუნქციების არასწორი ინტეგრალები
479. შეუზღუდავი ფუნქციების ინტეგრალების განმარტება
480. შენიშვნა ცალკეულ წერტილებზე
481. ინტეგრალური გამოთვლების ძირითადი ფორმულის გამოყენება მაგალითები
482. ინტეგრალის არსებობის პირობები და ნიშნები
483. მაგალითები
484. არასწორი ინტეგრალების ძირითადი მნიშვნელობები
485. შენიშვნა განსხვავებული ინტეგრალების განზოგადებული მნიშვნელობების შესახებ
§ 3. არასწორ ინტეგრალების თვისებები და ტრანსფორმაცია
486. უმარტივესი თვისებები
487. საშუალო მნიშვნელობის თეორემები
488 ნაწილების მიერ ინტეგრაცია არასწორი ინტეგრალების შემთხვევაში
489. მაგალითები
490. ცვლადების ცვლილება არასწორ ინტეგრალებში
491. მაგალითები
§ 4. არასათანადო ინტეგრალების გამოთვლის სპეციალური მეთოდები
492. ზოგიერთი საყურადღებო ინტეგრალი
493. არასწორი ინტეგრალების გამოთვლა ინტეგრალური ჯამების დახმარებით. ინტეგრალების შემთხვევა სასრული ზღვრებით
494. ინტეგრალების შემთხვევა უსასრულო ზღვრით
495 ფრულანის ინტეგრალები
496. რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები უსასრულო ზღვრებს შორის
497. შერეული მაგალითები და სავარჯიშოები
§ 5. არასწორი ინტეგრალების სავარაუდო გამოთვლა
498. ინტეგრალები სასრულ ზღვრებით; მახასიათებლების ხაზგასმა
499. მაგალითები
500. შენიშვნა ეგენინტეგრალების სავარაუდო გამოთვლაზე
501. უსასრულო ზღვრით არასწორი ინტეგრალების მიახლოებითი გამოთვლა
502. ასიმპტომური გაფართოებების გამოყენება
თავი მეთოთხმეტე. ინტეგრალები, რომლებიც დამოკიდებულია პარამეტრზე
§ 1. ელემენტარული თეორია
503. პრობლემის განცხადება
504. ერთიანი სწრაფვა ლიმიტის ფუნქციისკენ
505. ორი გადასასვლელის პერმუტაცია ზღვრამდე
506. ინტეგრალური ნიშნით ზღვრამდე გადასვლა
507. დიფერენციაცია ინტეგრალური ნიშნით
508. ინტეგრაცია ინტეგრალური ნიშნით
509. შემთხვევა როდის და ინტეგრალის საზღვრები დამოკიდებულია პარამეტრზე
510. მულტიპლიკატორის შემოღება დამოკიდებულია მხოლოდ x-ზე
511. მაგალითები
512. ალგებრის ფუნდამენტური თეორემის გაუსის მტკიცებულება
§ 2. ინტეგრალების ერთგვაროვანი კონვერგენცია
513. ინტეგრალების ერთგვაროვანი კონვერგენციის განმარტება
514. ერთიანი კონვერგენციის პირობა. რიგებთან ურთიერთობა
515. საკმარისი ტესტები ერთიანი კონვერგენციისთვის
516. ერთიანი დაახლოების კიდევ ერთი შემთხვევა
517. მაგალითები
§ 3. ინტეგრალების ერთგვაროვანი კონვერგენციის გამოყენება
518. ინტეგრალური ნიშნით ზღვრამდე გადასვლა
519. მაგალითები
520. ინტეგრალის უწყვეტობა და დიფერენცირებადობა პარამეტრთან მიმართებაში
521. პარამეტრზე ინტეგრაცია
522. გამოყენება ცალკეული ინტეგრალის გამოთვლაზე
523. ინტეგრალური ნიშნით დიფერენციაციის მაგალითები
524. ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ ინტეგრაციის მაგალითები
§ 4. დამატებები
525. არზელის ლემა
526. ინტეგრალური ნიშნით ზღვრამდე გადასვლა
527. დიფერენციაცია ინტეგრალური ნიშნით
528. ინტეგრაცია ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ
§ 5. ეილერის ინტეგრალები
529. ეილერის ინტეგრალი პირველი სახის
530. ეილერის ინტეგრალი მეორე სახის
531. ფუნქციის უმარტივესი თვისებები Γ
532. Γ ფუნქციის უნიკალური განმარტება მისი თვისებებით
533. ფუნქციის კიდევ ერთი ფუნქციონალური მახასიათებელი Г
534. მაგალითები
535. Г ფუნქციის ლოგარითმული წარმოებული
536. გამრავლების თეორემა Г ფუნქციისთვის
537. ზოგიერთი გაფართოება სერიებად და პროდუქტებად
538. მაგალითები და დამატებები
539. გარკვეული განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა
540. სტერლინგის ფორმულა 9
541 ეილერის მუდმივის გამოთვლა
542. გ ფუნქციის ათობითი ლოგარითმების ცხრილის შედგენა
თავი მეთხუთმეტე. მრგვალი ინტეგრალები. სტილის ინტეგრალი
§ 1. პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალები 11
543. პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალის განმარტება 11
544. შემცირება ჩვეულებრივ განსაზღვრულ ინტეგრალამდე 13
545. მაგალითები 15
§ 2. მეორე ტიპის მრუდი ინტეგრალები 20
546. მეორე ტიპის მრუდი ინტეგრალების განმარტება 20
547. მეორე ტიპის მრუდი ინტეგრალის არსებობა და გამოთვლა
548. დახურული წრედის შემთხვევა. თვითმფრინავის ორიენტაცია 25
549. მაგალითები 27
550. მიახლოება 30 გაწყვეტილ ხაზზე აღებული ინტეგრალის გამოყენებით
551 არეების გამოთვლა მრუდი ინტეგრალის გამოყენებით 32
552. მაგალითები 35
553. კავშირი ორივე ტიპის მრუდი ინტეგრალებს შორის 38
554. ფიზიკური პრობლემები 40 § 3. მრუდი ინტეგრალის დამოუკიდებლობის პირობები ბილიკისგან 45
555. პრობლემის ფორმულირება, ზუსტი დიფერენციალური საკითხის კავშირი 45
556. ბილიკისგან დამოუკიდებელი ინტეგრალის წარმოშობა 46
557. მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა ანტიწარმოებულის მეშვეობით 49
558. ზუსტი დიფერენციალური ტესტი და ანტიწარმოებულის პოვნა მართკუთხა რეგიონის შემთხვევაში
559. განზოგადება თვითნებური რეგიონის საქმეზე 52
560. საბოლოო შედეგები 55
561 დახურული მარყუჟის ინტეგრალი 56
562. არაუბრალოდ დაკავშირებული რეგიონის შემთხვევა ან სინგულარული წერტილების არსებობა 57
563. გაუსის ინტეგრალი 62
564. სამგანზომილებიანი საქმე 64
565. მაგალითები 67
566. გამოყენება ფიზიკურ პრობლემებზე 71
§ 4. ფუნქციები შეზღუდული ვარიაციით 74
567. ფუნქციის განსაზღვრა შეზღუდული ცვლილებით 74
568. ფუნქციების კლასები შეზღუდული ვარიაციით 76
569. ფუნქციების თვისებები შეზღუდული ვარიაციით 79
570. შეზღუდული ცვლილების მქონე ფუნქციების კრიტერიუმები 82
571 უწყვეტი ფუნქციები შემოსაზღვრული ვარიაციით 84
572 გამოსწორებადი მრუდები 87
§ 5. Stieltjes ინტეგრალი 89
573. Stieltjes ინტეგრალის განმარტება 89
574 Stieltjes ინტეგრალის არსებობის ზოგადი პირობები 91
575. სტიელტესის ინტეგრალის არსებობის შემთხვევების კლასები 92
576 Stieltjes ინტეგრალის თვისებები 95
577. ინტეგრაცია 97-ე ნაწილებით
578 Stieltjes ინტეგრალის შემცირება რიმანის ინტეგრალზე 98
579 Stieltjes ინტეგრალების გამოთვლა 100
580. მაგალითები 104
581. სტიელტესის ინტეგრალის გეომეტრიული ილუსტრაცია 111
582. საშუალო თეორემა, შეფასება 112
583 ზღვარზე გადასვლა Stieltjes ინტეგრალის ნიშნით 114
584. მაგალითები და დამატებები 115
585. მეორე ტიპის მრუდი ინტეგრალის შემცირება Stieltjes ინტეგრალამდე.
თავი მეთექვსმეტე. ორმაგი ინტეგრალები
§ 1. ორმაგი ინტეგრალის განმარტება და ელემენტარული თვისებები 122
586. ცილინდრული ზოლის მოცულობის პრობლემა 122
587. ორმაგი ინტეგრალის შემცირება განმეორებით 123
588. ორმაგი ინტეგრალის განმარტება 125
589. ორმაგი ინტეგრალის არსებობის პირობები 127
ინტეგრირებადი ფუნქციების 590 კლასი 128
591. ქვედა და ზედა ინტეგრალები როგორც ზღვრები 130
592. ინტეგრირებადი ფუნქციების და ორმაგი ინტეგრალების თვისებები 131
593. ინტეგრალი, როგორც რეგიონის დანამატის ფუნქცია; რეგიონის დიფერენციაცია
§ 2. ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა 137
594. ორმაგი ინტეგრალის შემცირება განმეორებით მართკუთხა რეგიონის შემთხვევაში.
595. მაგალითები 141
596. ორმაგი ინტეგრალის შემცირება განმეორებადზე მრუდი უბნის შემთხვევაში
597. მაგალითები 152
598. მექანიკური აპლიკაციები 165
599. მაგალითები 167
§ 3. გრინის ფორმულა 174
600. გრინის ფორმულა 174-ის წარმოშობა
601. გრინის ფორმულის გამოყენება მრუდი ხაზოვანი ინტეგრალების შესწავლაში
602. მაგალითები და დამატებები 179
§ 4. ცვლადების ცვლილება ორმაგ ინტეგრალში 182
603. ბრტყელი უბნების ტრანსფორმირება 182
604. მაგალითები 184
605. ფართობის გამოხატვა მრუდის კოორდინატებში 189
606. დამატებითი შენიშვნები 192
607. გეომეტრიული წარმოშობა 194
608. მაგალითები 196
609 ცვლადების ცვლილება ორმაგ ინტეგრალებში 204
610. ანალოგი მარტივი ინტეგრალით. ინტეგრალური ორიენტირებულ ზონაზე
611. მაგალითები 207
§ 5. არასწორი ორმაგი ინტეგრალი 214
612. ინტეგრალები ვრცელდება შეუზღუდავ რეგიონზე 214
613. თეორემა არასწორი ორმაგი ინტეგრალის აბსოლუტური კონვერგენციის შესახებ
614. ორმაგი ინტეგრალის შემცირება განმეორებით 219
615. შეუზღუდავი ფუნქციების ინტეგრალები 221
616 ცვლადების ცვლილება არასწორ ინტეგრალებში 223
617. მაგალითები 225
თავი მეჩვიდმეტე. ᲖᲔᲓᲐᲞᲘᲠᲘᲡ ᲤᲐᲠᲗᲝᲑᲘ. ზედაპირის ინტეგრალები
§ 1. ორმხრივი ზედაპირები 241
618. ზედაპირის მხარე 241
617. მაგალითები 243
620. ზედაპირებისა და სივრცის ორიენტაცია 244
621. ფორმულებში ნიშნის არჩევა ნორმალური 246-ის მიმართულების კოსინუსებისთვის
622. The Case of a Piecwise Smooth Surface 247
§ 2. მოხრილი ზედაპირის ფართობი 248
623. შვარცი მაგალითი 248
624. მოხრილი ზედაპირის ფართობის განსაზღვრა 251
625. შენიშვნა 252
626. ზედაპირის ფართობის არსებობა და მისი გამოთვლა 253
627. მიახლოება წარწერიანი მრავალწახნაგოვანი ზედაპირებით 258
628. ფართობის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევები 259
629. მაგალითები 260
§ 3. პირველი ტიპის ზედაპირული ინტეგრალები 274
630. პირველი ტიპის ზედაპირული ინტეგრალის განმარტება 274
631. შემცირება ჩვეულებრივ ორმაგ ინტეგრალამდე 275
632. პირველი ტიპის ზედაპირული ინტეგრალების მექანიკური გამოყენება 277
633. მაგალითები 279
§ 4. მეორე ტიპის ზედაპირული ინტეგრალები 285
634. მეორე ტიპის ზედაპირული ინტეგრალის განმარტება 285
635. უმარტივესი სპეციალური შემთხვევები 287
636. ზოგადი საქმე 290
637. მტკიცებულების დეტალი 292
638. სხეულის მოცულობის გამოხატვა ზედაპირული ინტეგრალით 293
639. სტოკსის ფორმულა 297
640. მაგალითები 299
641. სტოქსის ფორმულის გამოყენება სივრცეში მრუდი ინტეგრალების შესწავლაში
თავი მეთვრამეტე. სამმაგი და მრავალჯერადი ინტეგრალები
§ 1. სამმაგი ინტეგრალი და მისი გამოთვლა 308
642. სხეულის მასის გამოთვლის ამოცანა 308
643. სამმაგი ინტეგრალი და მისი არსებობის პირობები 309
644. ინტეგრირებადი ფუნქციების და სამმაგი ინტეგრალების თვისებები 310
645. პარალელეპიპედზე გაშლილი სამმაგი ინტეგრალის შეფასება
646. სამმაგი ინტეგრალის გამოთვლა ნებისმიერ ფართობზე 314
647 არასწორი სამმაგი ინტეგრალი 315
648. მაგალითები 316
649. მექანიკური აპლიკაციები 323
650. მაგალითები 325
§ 2. გაუს-ოსტროგრადსკის ფორმულა 333
651. ოსტროგრადსკის ფორმულა 333
652. ოსტროგრადსკის ფორმულის გამოყენება ზედაპირული ინტეგრალის შესწავლაში
653 გაუსის ინტეგრალი 336
654. მაგალითები 338
§ 3. ცვლადების ცვლილება სამმაგ ინტეგრალებში 342
655. სივრცეებისა და მრუდი კოორდინატების ტრანსფორმაცია 342
656. მაგალითები 343
657 მოცულობის გამოხატვა მრუდი კოორდინატებით 345
658. დამატებითი შენიშვნები 348
659. გეომეტრიული წარმოშობა 349
660. მაგალითები 350
661 ცვლადების ცვლილება სამმაგ ინტეგრალებში 358
662. მაგალითები 359
663. მიზიდულობა სხეულიდან და პოტენციალიდან შიდა წერტილამდე 364
§ 4. ვექტორული ანალიზის ელემენტები 366
664. სკალარები და ვექტორები 366
665. სკალარული და ვექტორული ველები 367
666. გრადიენტი 368
667 ვექტორული ნაკადი ზედაპირზე 370
668. ოსტროგრადსკის ფორმულა. დივერგენცია 371
669. ვექტორული ცირკულაცია. სტოკსის ფორმულა. Whirlwind 372
670. სპეციალური ველები 374
671. ვექტორული ანალიზის შებრუნებული ამოცანა 378
672. განაცხადები 378
§ 5. მრავლობითი ინტეგრალი 384
673. ორი სხეულის მიზიდულობის და პოტენციალის პრობლემა 384
674. n-განზომილებიანი სხეულის მოცულობა, n-ნაკეც ინტეგრალი 386.
675 ცვლადების ცვლილება n-ნაკეც ინტეგრალში 388
676. მაგალითები 391
თავი მეცხრამეტე. ფურიეს სერია
§ 1 შესავალი 414
677 პერიოდული სიდიდეები და ჰარმონიული ანალიზი 414
678. კოეფიციენტების განსაზღვრა ეილერ-ფურიეს მეთოდით 417
679. ფუნქციათა ორთოგონალური სისტემები 419
680. ტრიგონომეტრიული ინტერპოლაცია 424
§ 2. ფუნქციების ფურიეს გაფართოება 427
681. კითხვის განცხადება. დირიხლეს ინტეგრალი 427
682. პირველი მთავარი ლემა 429
683. ლოკალიზაციის პრინციპი 432
684. დინის და ლიპშიცის ტესტები ფურიეს სერიის კონვერგენციისთვის 433
685. მეორე მთავარი ლემა 436
686. ნიშანი დირიხლე-იორდანია 438 წ
687. არაპერიოდული ფუნქციის შემთხვევა 440
688. თვითნებური ინტერვალის საქმე 441
689. გაფართოებები მხოლოდ კოსინუსებში ან მხოლოდ სინუსებში 442
690. მაგალითები 446
691. In T(x)-ის დაშლა 461
§ 3. დამატებები 463
692. სერია კლებადი კოეფიციენტებით 463
693. ტრიგონომეტრიული სერიების შეჯამება რთული ცვლადის ანალიტიკური ფუნქციების გამოყენებით
694. მაგალითები 472
695. ფურიეს სერიის რთული ფორმა 477
696. კონიუგირებული სერია 480
697 Multiple Fourier Series 483
§ 4. ფურიეს სერიის კონვერგენციის ბუნება 484
698. ძირითადი ლემების ზოგიერთი დამატება 484
699. ტესტები ფურიეს სერიის ერთგვაროვანი კონვერგენციის 487
700 ფურიეს სერიის ქცევა შეწყვეტის წერტილთან ახლოს; სპეციალური შემთხვევა 490
701. თვითნებური ფუნქციის საქმე 495
702. ფურიეს სერიის სინგულარები; წინასწარი შენიშვნები 497
703. სინგულარების აგება 500
§ 5. ნაშთის შეფასება 502 ფუნქციის დიფერენციალური თვისებების მიხედვით
704. კავშირი ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტებსა და მის წარმოებულებს შორის 502
705 ნაწილობრივი ჯამის შეფასება შეზღუდული ფუნქციის შემთხვევაში 503
706 ნაშთის შეფასება ფუნქციის შემთხვევაში შემოსაზღვრული kth წარმოებული 505
707. ფუნქციის შემთხვევა, რომელსაც აქვს kth წარმოებული შეკრული ვარიაციით
708. ფუნქციისა და მისი წარმოებულების უწყვეტობათა გავლენა ფურიეს კოეფიციენტების სიმცირეზე.
709. 514 ინტერვალში განსაზღვრული ფუნქციის შემთხვევა
710. ნიშნების ამოღების მეთოდი 516
§ 6. ფურიეს ინტეგრალი 524
711. ფურიეს ინტეგრალი, როგორც ფურიეს სერიის შემზღუდველი შემთხვევა 524
712. წინასწარი შენიშვნები 526
713. საკმაო ნიშნები 527
714. ძირითადი დაშვების ცვლილება 529
715. ფურიეს ფორმულა 532-ის სხვადასხვა ფორმები
716. ფურიეს ტრანსფორმაცია 534
717. ფურიეს გარდაქმნების ზოგიერთი თვისება 537
718. მაგალითები და დამატებები 538
719. ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევა 545
ნაწილი 7 დანართები 547
720. პლანეტის ექსცენტრიული ანომალიის გამოხატვა მისი საშუალო ანომალიის მიხედვით
721. სიმის ვიბრაციის პრობლემა 549
722. სითბოს გავრცელების პრობლემა სასრულ ღეროში 553
723. უსასრულო ღეროს საქმე 557
724. ლიმიტის პირობების შეცვლა 559
725. სითბოს განაწილება მრგვალ ფირფიტაში 561
726 პრაქტიკული ჰარმონიული ანალიზი სქემა თორმეტ ორდინატზე
727. მაგალითები 565
728. სქემა ოცდაოთხი ორდინატისათვის 569
729. მაგალითები 570
730. ფურიეს კოეფიციენტების სავარაუდო და ზუსტი მნიშვნელობების შედარება
თავი მეოცე. FOURIER SERIES (გაგრძელება)
§ 1. ოპერაციები ფურიეს სერიებზე. სისრულე და დახურულობა 574
731. ფურიეს სერიის 574-ე ტერმინალური ინტეგრაცია
732. ფურიეს სერიის ტერმინთა დიფერენციაცია 577
733. ტრიგონომეტრიული სისტემის სისრულე 578
734. ფუნქციების ერთგვაროვანი დაახლოება. ვაიერშტრასის თეორემა 580
735. ფუნქციების დაახლოება საშუალოზე. ფურიეს სერიის სეგმენტების ექსტრემალური თვისებები
736. ტრიგონომეტრიული სისტემის დახურულობა. ლიაპუნოვის თეორემა 586
737. განზოგადებული დახურვის განტოლება 589
738. ფურიეს სერიის გამრავლება 592
739. დახურვის განტოლების ზოგიერთი გამოყენება 593
§ 2. განზოგადებული შეჯამების მეთოდების გამოყენება ფურიეს სერიებზე 599
740. მთავარი ლემა 599
741. პუასონ-აბელის ჯამი ფურიეს სერიის 601
742. 605 წრის დირიხლეს ამოცანის ამოხსნა
743. ფურიეს რიგის შეჯამება სესარო-ფეჟერის მეთოდით 607
744. ფურიეს 609-ე სერიის განზოგადებული შეჯამების ზოგიერთი გამოყენება
745. ფურიეს სერიის ტერმინთა დიფერენციაცია 611
§ 3. 613 ფუნქციის ტრიგონომეტრიული გაფართოების უნიკალურობა
746. დამხმარე წინადადებები განზოგადებული წარმოებულების შესახებ 613
747. ტრიგონომეტრიული რიგის შეჯამების რიმანის მეთოდი 616
748. ლემა კონვერგენტული სერიის კოეფიციენტებზე 620
749. ტრიგონომეტრიული გაფართოების უნიკალურობა 621
750. დასკვნითი თეორემები ფურიეს სერიებზე 623
751. განზოგადება 626
დამატება. ზოგადი თვალსაზრისი ლიმიტზე
752. 631-ე ანალიზში შემხვედრი სხვადასხვა სახის ლიმიტები
753. შეკვეთილი კომპლექტები (სწორად) 632
754. მოწესრიგებული კომპლექტები (განზოგადებული გაგებით) 633
755. მოწესრიგებული ცვლადი და მისი ლიმიტი 636
756. მაგალითები 637
757. შენიშვნა 639 ფუნქციის ლიმიტის შესახებ
758. ლიმიტების თეორიის გაფართოება 640
759. თანაბრად მოწესრიგებული ცვლადები 643
760 შეკვეთა რიცხვითი პარამეტრით 644
761. შემცირება 645 ვარიანტზე
762. მოწესრიგებული ცვლადის უდიდესი და უმცირესი ლიმიტები 647
